ATSATSJules Ferry

EM4 : Induction électromagnétique EM4

I. Mise en évidence expérimentale

1. Expérience de Faraday (1831-Anglais)

Conclusion : une variation de champ magnétique vue par la bobine produit un courant induit dans la bobine :c’est le phénomène d’induction.

2. Loi de Lenz (ou loi de modération)

Les phénomènes d’induction s’opposent aux causes qui leur ont donné naissance.

Exemple : pour l’expérience de Faraday, le courant induit crée un champ magnétique qui s’oppose auxvariations du champ initial.

II. Loi de Faraday

1. Force électromotrice induite  eind

Le courant induit en circuit fermé peut être interprété comme le courant dû à un générateur (fictif) de forceélectromotrice (f.e.m.) eind appelée force électromotrice induite.

Cette fem induite est symbolisée par un générateur de tension :

2. Énoncé

Loi de Faraday : la fem induite  eind  apparaissant dans un circuit est liée à la variation du flux  ϕ B  du

champ magnétique  B⃗  à travers le circuit :  eind=−d ϕ B

dt avec  ϕ B=∬

M∈S

B⃗(M ) . d⃗SM  où  S  est une

surface s’appuyant sur le circuit considéré et orientée dans le sens du circuit (règle du tire-bouchon).ϕ B  est parfois exprimé en Weber,  1Wb=1T .m2 .

Remarque : cette variation de flux peut provenir :• de B⃗ variable (cf III) ;• du circuit mobile (cf IV) ;• ou des 2 à la fois (cf moteur asynchrone).

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loi de Lenz

eind

i

3. Orientation et utilisation

Méthode de calcul de  eind  :• on oriente le circuit (on choisit un sens  ⊕  puis on oriente  eind  et   i  dans ce sens  ⊕  ; si  i  ou

eind  est déjà définie par l’énoncé alors elle indique déjà le sens  ⊕  du circuit) ;• on calcule  ϕ B  ( d⃗S  orienté par le sens  ⊕ ) ;• on applique la loi de Faraday.

Exemples :1. Orientation :

2. Calcul de eind , pour une spire circulaire fixe, plongée dans un champ B⃗ uniforme mais variable, tel queB⃗⊥ surface de la spire :

4. « Démonstration » (il faut savoir d’où provient la loi de Faraday)

Équation de Maxwell-Faraday : r⃗ot ( E⃗)=−∂ B⃗∂ t

donc

∬M∈S

(r⃗ot E⃗) .d⃗SM=−∬M∈S

∂ B⃗∂ t. d⃗SM“ ≃” − ∂

∂ t ∬M∈S

B⃗(M ) . d⃗SM=−d ϕ B

dtRemarque : ce passage mathématique, plus que discutable, reste vérifié pour l’ensemble des exercices vus enATS, sauf pour le haut parleur (cf ex5 du TD).

Par le théorème de Stokes, on obtient : ∮P∈C f

E⃗ (P). d⃗lP=−d ϕ B

dt

Signification : la différence de potentiel sur un contour fermé est différente de 0 ! La loi des mailles en régimenon stationnaire est mise en défaut !!!

Plutôt que de dire ça, on préfère rajouter artificiellement cette fem induite eind=−d ϕ B

dt dans le circuit et

continuer à appliquer la loi des mailles ! On parle de loi de Faraday.

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III. Cas d’un circuit fixe dans un champ magnétique variable

1. Phénomène d’auto-induction

a) Flux propre

On considère un circuit C fixe parcouru par un courant d’intensité i (sens⊕ dans le sens de i ).

Ce circuit crée un champ magnétique propre B⃗propre dont le flux (on parle deflux propre ϕ propre ), sil varie, peut induire une fem induite : on parle d’auto-induction.

Le champ B⃗propre créé est proportionnel à i en tout point de l’espace donc ϕ propre=∬M∈S

B⃗propre(M ). d⃗SM est

aussi proportionnel à i :

on pose donc  ϕ propre=Li  avec  L=cte>0  appelée  inductance propre du circuit et s’exprime en henry(de symbole H).

Remarque : si on a un simple circuit sans bobinage, le ϕ propre et la variation de ϕ propre sont négligeables ! Etdonc eind est négligée …

b) Bobine

• Pour une bobine :

avec eind=−d ϕ

dt=−

d Lidt

=−Ldidt

donc uAB=Ldidt

Remarque : si le circuit se déforme, L peut varier donc eind=−(L didt +idLdt ) .

• Pour un solénoïde long de longueur l : B⃗ int=μ 0n i u⃗ z (avec n=Nl

et u⃗ z suivant l’axe de révolution

du solénoïde, orienté dans le sens de i , par la règle du tire-bouchon) donc ϕ propre /1spire=μ 0niS soitϕ propre / tot=N ϕ propre /1 spire=N μ 0niS=μ 0n

2l S i .

Par identification, Lsolénoïdelong=μ 0n2 l S ; Ordres de grandeur : 1mH à 100mH .

Remarques :1. si on place un noyau de fer au centre du solénoïde alors μ 0 est remplacée par μ fer≃400μ 0 :

on parle d’électroaimant !

2. On voit dans Lsolénoïdelong=μ 0n2 l S , l’unité retenue pour μ 0 : μ 0=

Lsolénoïdelongn2 l S

s’exprime en

H .m−1 .

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c) Énergie magnétique au sein d’un solénoïde long

Emagn( t)=∭M ∈V

12

B⃗2( M , t)μ0

dV M = ∭M ∈V ext

12

B⃗ext2

( M , t)μ0

dV M + ∭M ∈V int

12

B⃗int2

( M , t)μ0

dV M =12

B⃗int2

(t )μ0

V int

donc Emagn( t)=12

μ02 n2i 2

(t)μ0

S l=12

(μ0 n2 S l) i2(t )=

12

Li 2(t ) : on retrouve la définition de l’électrocinétique de

l’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine !

Remarque : Emagn( t) étant continue au cours du temps, l’intensité traversant une bobine est continue.

d) Applications d’une bobine

1. iL( t) est continue au cours du temps : protection des appareils contre les sauts d’intensité ;2. La caractéristique est intéressante pour les filtres électrocinétiques ( uL(t)= jLω i(t ) ) ;3. Si courant dans une bobine et on ouvre un interrupteur en série alors iL( t) varie très vite donc eind est

très grande : une étincelle, ou arc-électrique, apparaît à l’interrupteur (voulue ou non).

2. Phénomène de mutuelle-induction

a) Généralités

On considère deux circuits C1 et C2 parcourus par les intensités i1 et i2 .

• Le flux traversant C1 provient :◦ du flux propre de C1 : ϕ B1→C1

=L1i1 ;◦ du flux du champ magnétique créé par C2 : ϕ B2→C1

=M i2 .• Le flux traversant C2 provient :

◦ du flux propre de C2 : ϕ B2→C2=L2 i2 ;

◦ du flux du champ magnétique créé par C1 : ϕ B1→C2=M ' i1=M i1 .

Remarques :1. par le théorème de Neumann (hors programme en ATS), on démontre que M '=M .2. Dans notre exemple, M<0 .

Définition :

• Le flux total reçu par  C1  est donc  ϕ 1=L1 i1+M i2  ;

• le flux total reçu par  C2  est donc  ϕ 2=L2 i2+Mi1  ;où   M   est   l’inductance  mutuelle  des   circuits   C1   et   C2 ,   s’exprime  en  henry  (peut  être  positive  ounégative en fonction de l’orientation des deux circuits).

Par la loi de Faraday, on en déduit les fem induites :

• e1=−d ϕ 1

dt=−L1

di1dt

−Mdi2dt

dans C1 ;

• e2=−d ϕ 2

dt=−L2

di2dt

−Mdi1dt

dans C2.

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Rupteur des bougies d’un moteur thermodynamique

Étincelles dans les appareils pourvus de bobines

Remarque : ϕ 1=∬M∈S1

B⃗tot (M ) .d⃗SM (a) ;

Par principe de superposition, B⃗tot (M )=B⃗1(M )+ B⃗2(M )

donc ϕ 1=∬M∈S1

B⃗1(M ). d⃗SM+ ∬M∈S1

B⃗2(M ). d⃗SM=ϕ B1→C1+ϕ B2→C1

=L1 i1+M i2 (b) .

Les 2 écritures (a) et (b) sont justes, il faudra s’adapter à l’énoncé ( (b) est utilisée si M est donnée ou sile but de l’exercice est de calculer M ).En exemple, en TD, nous utiliserons (a) pour le transformateur (ex2) et (b) pour le couplage par mutuelle(ex3).

Propriété : M2⩽L1 L2 ; dans le cas de l’égalité, on parle de couplage parfait.

Démonstration :Par l’équation de Maxwell-Flux et par linéarité, div B⃗1=0 donc le flux de B⃗1 se conserve sur un tube dechamp. Toutes les lignes de champ magnétique de C1 ne traversent pas C2 donc ϕ B1→C1

⩾|ϕ B1→C2|

⇔L1 i1⩾|M|i1⇔L1⩾|M| .De même, L2⩾|M| d’où la propriété.Le cas du couplage parfait signifie que l’ensemble des lignes de B⃗1 traversent C2 et l’ensemble des lignes deB⃗2 traversent C1 .

Remarques :

1. On définit parfois le coefficient de couplage α=|M|

√L1L2 entre C1 et C2 ( α ∈[0 ;1] ).

2. Tout comme le phénomène d’auto-induction, la mutuelle induction est non négligeable uniquement pourdes bobines.

b) Énergie magnétique

Attention, par définition, l’énergie magnétique est non linéaire !

Définition : l’énergie magnétique d’un système constitué de 2 circuits couplés par inductance mutuelle est

Emagn( t)=12L1 i1

2(t )+

12L2 i 2

2(t )+M i1(t ) i2( t) .

Démonstration : cf TD ex3.

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IV. Cas d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

1. Méthode générale

Évolution temporelle du circuit :(a) soit mouvement initial du circuit ⇒ courant induit ⇒ F⃗ La qui s’oppose au mouvement (loi de Lenz).(b) soit courant initial dans le circuit ⇒ F⃗ La qui met en mouvement le circuit ⇒ courant induit qui

s’oppose au courant initial (loi de Lenz).Remarque : soit les 2 qui se superposent

Dans tous les cas, on écrira :• une équation mécanique où intervient  F⃗La  (deuxième loi de Newton);• une équation électrique où intervient  eind  (loi des mailles).

On aura alors 2 équations couplées ( F La=f (i) et eind=f (v) ).

Aspect énergétique : on a toujours  P ind+PLa=0  (admis) où :• Pind=eind i est la puissance électrique fournie par la fem induite ;• PLa=F⃗La . v⃗ est la puissance mécanique fournie par la force de Laplace.

Cet aspect énergétique montre que de la puissance mécanique peut être convertie en puissance électrique (sens (a), exemple : alternateur) et inversement (sens (b), exemples : moteur électrique, haut parleur) : on étudie destransducteurs !

2. Exemples à connaître

a) Rails de Laplace (conversion d’énergie électrique en énergie mécanique) TD-cours

On étudie le dispositif des rails de Laplace, distants d'une longueur l , alimenté par un générateur de tensioncontinu de fem E . On pose une barre, de masse m , entre les 2 rails, pouvant se déplacer suivant (Ox) sansfrottement.

On note R la résistance équivalente du circuit, considérée constante. Le dispositif est plongé dans un champmagnétique extérieur uniforme et stationnaire vertical B⃗ext=B e⃗ z .À t<0 , la barre est immobile et le générateur de tension est éteint.À t=0 , on allume le générateur de tension E .

1. Décrire brièvement ce qu’il se passe aux instants positifs. 2. Écrire l'équation mécanique du système pour t⩾0 . 3. Écrire l'équation électrique du système pour t⩾0 . 4. Déterminer la vitesse v (t ) de la tige pour t⩾0 . 5. Effectuer un bilan de puissance global. (On constatera que PLa+ Pind=0 ).

Remarque : il s’agit du principe de fonctionnement des moteurs électriques et du haut-parleur mais pour éviterles frottements et les arcs électriques, on modifie la technologie utilisée.

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b) Haut parleur (cf TD ex5)

c) Spire   en   rotation   uniforme   autour   d’un   axe   fixe   (principe   de   l’alternateur :conversion d’énergie mécanique en énergie électrique)

• Ce qu’il se passe : mouvement de rotation dans B⃗ext⇒eind⇒ i⇒ F⃗ La dans le sens de Lens (un couplerésistant dû aux forces de Laplace apparaît).

• Équation électrique :

◦ on néglige le phénomène d’auto-induction : ϕ Bext= ∬

M∈S1

B⃗ext (M ). d⃗SM=BScos (θ )=BScos (ω t ) ;

◦ loi de Faraday : eind=−d ϕ Bext

dt=ω BS sin (ω t) ;

◦ circuit électrique équivalent :

par loi des mailles, il vient eind(t )=Ri( t) soit i( t)=BSω sin (ω t)

R il s’agit d’un alternateur !

Remarque : pour améliorer le système, on fait un bobinage avec N spires.On obtient ϕ Bext

=NBS cos(ω t ) et eind /Bext=NBSω sint (ω t ) ;

Par principe de superposition pour le champ magnétique, et par linéarité de la loi de Faraday, on peut rajouterle phénomène d’auto-induction (flux propre) « à la main », en rajoutant l’inductance propre L du bobinagedans le circuit électrique :

par loi des mailles, il vient eind /Bext(t )=Ri( t)+L

didt

puis étude en RSF par la méthode complexe … si si …

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z

ω imposée constante

uniforme et stationnaire

vue de dessus

B⃗ext=B u⃗xB⃗ext=Bu⃗x

θ=ω tu⃗S

V. Courants de Foucault

1. Présentation

Si présence de conducteurs non filiformes (de géométrie surfacique ou volumique) mobiles dans un champ B⃗statique ou fixes dans un champ B⃗ variable, alors des courants induits apparaissent.Ces courants induits sont appelés courants de Foucault.

2. Avantages et inconvénients

• Pertes par effet Joule : chauffage par plaque à induction et forge à induction.

Remarque : c’est pour éviter les pertes par effet joule que le noyau d’un transformateur est feuilleté.

• Freinage par induction : utilisé dans les camions et TGV (ralentisseurs électromagnétiques), pas decontact donc usure modérée du dispositif !

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