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Séance 1 : Vecteurs et cinématique du mouve-

ment rectiligne

1. A partir des vecteurs ~A, ~B, ~C représentés sur la Figure 1, dessinez lesvecteurs suivants et calculez leurs composantes :~A = (−2,−3); ~B = (3, 3); ~C = (−2, 4)

(a) ~D = ~B + ~C ~D = (3− 2, 3 + 4) = (1, 7)

(b) ~E = ~A− ~C ~E = (−2 + 2,−3− 4) = (0,−7)

(c) ~F = ~A+ 2~C ~F = (−2 + 2.(−2),−3 + 2.4) = (−6, 5)

Figure 1

2. Calculez le module des vecteurs ~A, ~B et ~C de la Figure 1 et les anglesqu'ils forment avec l'axe des X positifs (mesurés dans le sens antihor-logique).

(a) A =√

4 + 9 =√

13, θa = arctan(−3−2

) + 180◦ = 236.31◦

(b) B =√

9 + 9 =√

18, θb = arctan(33) = 45◦

(c) C =√

4 + 16 =√

20, θc = arctan( 4−2

) + 180◦ = 116.57◦

1

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3. Déterminez les composantes des vecteurs ~A, ~B et ~C de la Figure 2,sachant que ‖ ~A‖ = 3.675 cm, ‖ ~B‖ = 4.826 cm et ‖~C‖ = 3.890 cm.Calculez le module et l'orientation du vecteur ~D = ~B − 2 ~A+ ~C.

(a) ~A = (−3.675 cos(60◦) cm;−3.675 sin(60◦) cm) = (−1.8375 cm;−3.1826 cm)

(b) ~B = (4.826 cos(34◦) cm; 4.826 sin(34) cm) = (4.0009 cm; 2.6987 cm)

(c) ~C = (−3.890 sin(18◦) cm; 3.890 cos(18◦) cm) = (−1.2021 cm; 3.6996 cm)

(d) ~D = (6.4739 cm; 12.7636 cm), D =√

6.47392 + 12.76362 = 14.312 cm, θc =arctan(12.7636

6.4739) = 63.11◦

Figure 2

4. Une boîte est tirée sur une route horizontale, vers le nord, par deuxpersonnes. La force horizontale exercée par la première personne formeun angle de 25�avec la direction du déplacement de la boîte et estorientée vers le nord-ouest. La force exercée par la première per-sonne est deux fois plus grande que la force horizontale exercée parla deuxième personne. Sachant que l'intensité de la force résultanteest de 460 N, déterminez l'intensité et l'orientation des forces exercées

2

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par chacune des personnes.

θ2 = 57.7◦

F2 =460

2 cos(25◦) + cos(57.7◦)= 196 N

F1 = 392 N

5. Déterminez les composantes des vecteurs ~N et ~P dans le référentielindiqué sur la Figure 3. (‖ ~N‖ = 8.91 N , ‖~P‖ = 10 N)

(a) ~N = (0 N ; 8.91 N)

(b) ~P = (10 sin(27◦);−10 cos(27◦)) = (4.54 N ;−8.91 N)

Figure 3

6. Une fusée d'essai est lancée à la verticale, à partir du sol, avec uneaccélération constante de 50 m/s2. Elle épuise son carburant après4 s. En négligeant la résistance de l'air, trouvez :

(a) la hauteur de la fusée lorsque le moteur s'arrête, 400 m

(b) la hauteur maximale atteinte, 2400 m

(c) la durée totale du vol. 46 s

7. Une pierre est lâche sans vitesse initiale du sommet d'un immeuble de30 m de hauteur. Une demi-seconde plus tard, une seconde pierreest jetée verticalement vers le bas avec une vitesse de 20 m/s. Aquelle hauteur, par rapport à la base de l'immeuble, la seconde pierrerattrape-t-elle la première ? 28, 32 m

8. Le record mondial du 100 m plat est de 9, 95 s et celui du 60 m de6, 45 s. On suppose qu'un sprinter maintient une même accélération

3

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constante durant un certain temps (le même pour 100 m et 60 m)pour atteindre la vitesse maximum puis, qu'il maintient cette vitessependant le reste de la course.

(a) Que vaut cette vitesse maximale ? 11, 43 m/s

(b) Combien de temps dure la période d'accélération ? 2, 4 s

(c) Que vaut cette accélération ? 4, 75 m/s2

9. Un mobile se déplace le long d'un axe z et est soumis à une accélérationreprésentée dans le graphique ci-dessous (graphique de gauche). Portezen graphique (celui de droite) la composante vitesse en z entre t0 et t1,en partant de la vitesse initiale telle qu'elle est indiquée en t0. Justi�ezvotre réponse.

 Figure 4

10. Une voiture roule selon une trajectoire rectiligne sur un axe de réfé-rence orienté. La composante de sa vitesse en fonction du temps estindiquée dans la �gure ci-dessous. Que vaut :

(a) La composante de l'accélération instantanée au temps t = 1 s ?20 m/s2

(b) La distance séparant sa position au temps t = 0 et sa position autemps t = 3 s ? 10 m

4

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Figure 5

11. Voici le graphique de la vitesse VX(t) en fonction de t d'un mobile.Nous savons de plus que X(0) = 5 m.

(a) Quelle est la position X(8) à l'instant t = 8 s ? 0 m

(b) Quelle est la position X(5) à l'instant t = 5 s ? 5 m

(c) A quel instant t la position est maximale et pourquoi ? 2 s

(d) Quelle est l'accélération entre 0 s < t < 2 s ? −5 m/s2

(e) Quelle est l'accélération entre 6 s < t < 8 s ? 5 m/s2

5

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 Figure 6

6

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Séance 2 : Cinématique 2D

1. Une balle de tennis est servie horizontalement à 2, 40 m au-dessus dusol. Elle se dirige vers une portion de �let, de 90 cm de hauteur, situéeà 12 m du serveur.

(a) La balle passera-t-elle au-dessus du �let si sa vitesse initiale est de30 m/s ?Oui, h = 1, 6 m > 0, 9 m

(b) Quelle doit être la vitesse initiale minimale de la balle pour quecelle-ci puisse passer à au moins 20 cm au-dessus du �let ? vmin =23, 5 m/s

(c) Où retombera la balle si celle-ci passe à 20 cm au-dessus du �-let ?d = 16, 28 m

2. Une �èche est tirée sur une cible avec une vitesse initiale v0 dans unedirection faisant un angle de 25◦ avec l'horizontale. Le frottement del'air peut être négligé. Démontrer à partir des équations fondamentalesde la cinématique que la cible sera également atteinte si la �èche esttirée avec la même vitesse v0 dans une direction faisant un angle de65◦ avec l'horizontale (Figure 2).xcible =

2v20 sin(θ) cos(θ)

g

 Figure 7

3. Un cascadeur à moto décolle d'une rampe qui fait un angle de 30◦

avec l'horizontale. Il parvient de justesse à franchir un alignement decamions placés sur une longueur de 36 m et retombe à la hauteur deson point de départ. Quelle est sa vitesse au moment du décollage ?v0 = 20, 39 m/s

4. La �gure 3 schématise un parcours de golf. Le joueur désire envoyer laballe dans le trou situé en contrebas (drapeau). Le Green est toutefois

7

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bordé par un rideau d'arbres d'une hauteur de 12 m. Déterminer lavitesse initiale (amplitude v0 et direction θ) que le joueur doit commu-niquer à la balle s'il désire que celle-ci frôle la cime des arbres et tombedirectement dans le trou (sans rouler). v0 = 46, 49 m/s, θ = 32, 84◦

 Figure 8

5. Un disque de phonographe de 0, 15 m de rayon e�ectue 78 tours parminute.

(a) Quelle est son accélération radiale ?ar = 10 m/s2

(b) Le disque s'arrête en 2 s avec une décélération angulaire uniforme.Trouver la décélération tangentielle au bord du disque et la décé-lération angulaire.at = −0, 62 m/s2, α = −4, 1 rad/s2

6. Une voiture en accélération uniforme part du repos et atteint la vitesse20 m/s en 15 secondes. Le roues ont un rayon de 0, 3 m.

(a) Que vaut la vitesse angulaire �nale des roues ?ω = 67 rad/s

(b) Que vaut l'accélération angulaire des roues ?α = 4, 4 rad/s2

(c) Que vaut le déplacement angulaire pendant l'intervalle de tempsde 15 secondes ?θ = 500 rad

7. La lentille de la caméra d'un satellite d'espionnage est à 0, 50 m del'axe central du satellite. Pour stabiliser le satellite on le fait tournerautour de cet axe en laissant échapper une paire de jets pour 10 s,ce qui produit une vitesse angulaire ω = 0, 0066 rad/s. Quel est ledéplacement subi par la lentille entre les instants t = 0 et t = 4 s ?s =2, 7 10−3 m

8. Une bicyclette, dont les roues ont un diamètre de 61 cm, roule à16 km/h. A quelle vitesse angulaire les roues tournent- elles ? Combiende temps faut-il pour qu'elles fassent un tour ?ω = 14, 6 rad/s, t =0, 861 s

8

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9. Un disque de diamètre 1 m est animé d'un mouvement de rotationautour de son axe, d'accélération angulaire 5 rad/s2, de l'arrêt jusqu'à20 tours/minute. Combien de tours a-t-il e�ectué pendant ce temps ?Quelle est la distance totale parcourue par un point à la périphérie dudisque ?0,07 tour, s = 0, 220 m

10. Une roue cylindrique tourne avec une accélération angulaire constantede 4, 0 rad/s2. Lorsqu'elle atteint la vitesse angulaire de 2, 0 rad/s,un point de sa périphérie a une accélération totale de 8 m/s2.Quel estle rayon de la roue ?R = 1, 4 m

9

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Séance 3 : Dynamique 1

1. Trois blocs, de masses respectives 2 kg, 3 kg et 4 kg, sont disposéscôté à côte sur une surface parfaitement lisse (pas de frottement). Onexerce une force horizontale de 18 N sur le premier bloc. Déterminerla valeur des forces de contact entre ces blocs.F1/2 = F2/1 = 14 N ,F2/3 = F3/2 = 8 N

Figure 9

2. Un bloc C repose sur un bloc A de 4, 4 kg. L'ensemble est tiré le longd'un plan horizontal par un bloc B de 2, 2 kg. Les blocs A et B sontreliés par une corde de masse négligeable passant par une poulie sansfrottement. Le frottement du bloc A sur le plan est caractérisé par uncoe�cient de frottement statique de 0,2 et un coe�cient de frottementcinétique de 0,15.

(a) Quelle est la masse minimale du bloc C qu'il faut poser sur le blocA pour qu'il n'y ait pas de mouvement ? 6, 6 kg

(b) Ensuite, on enlève brusquement le bloc C. Déterminer l'accéléra-tion des blocs A et B, la tension de la corde ainsi que la distanceparcourue par ces blocs après 0,75 seconde. a = 2, 33 m/s2, T =16, 87 N,∆x = 0, 655 m

10

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Figure 10

3. Un corps glisse du haut du toit d'une maison sans vitesse initiale.Lorsque le corps quitte le toit, il se trouve à une hauteur de 10 mdu sol. Le toit fait un angle de 35◦ par rapport à l'horizontale. Lalongueur de la pente est de 5 m et le coe�cient de frottement estde 0,3. A quelle distance de la maison le corps va-t-il toucher le sol ?x = 5, 26 m

Figure 11

4. Une skieuse de masse 60 kg utilise un remonte-pente pour rejoindrele haut de la piste. Elle est tractée avec une vitesse constante le longd'une pente qui fait un angle 15◦ par rapport à l'horizontale. L'angleentre le câble et la pente vaut 30◦ et le coe�cient de frottement ci-nétique entre les skis et la neige est de 0,1. Déterminer la force detraction qui s'exerce sur la skieuse. T = 232, 8 N

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5. La Lune se trouve à une distante de 3, 87.105 km du centre de laTerre. Sachant que la masse de la Terre vaut 81 fois la masse de laLune, à quelle distance du centre de la Terre se situe le point pourlequel l'attraction terrestre est égale à l'attraction lunaire ? (supposerque le point se trouve sur la droite reliant la Terre à la Lune)d =3, 483 105 km

6. Un joueur de hockey imprime une vitesse initiale de 20 m/s à la ron-delle grâce à un lancer exécuté sur la surface gelée d'une patinoire. Sila rondelle demeure sur la glace et se déplace en ligne droite sur unedistance de 120 m avant de s'immobiliser, déterminer le coe�cient defrottement cinétique entre la rondelle et la surface glacée.µc = 0.167

7. Deux masses A et B respectivement de 700 g et 500 g sont suspenduesau plafond (point S) par l'intermédiaire d'une poulie. Un �l attachéau sol (point S') évite que les masses ne se mettent en mouvement. Lesmasses des �ls et de la poulie sont négligeables ainsi que les frottementsde l'axe de la poulie.

(a) L'ensemble étant au repos, que vaut les tensions des �ls en A, enS' et en S ?TA = 7 N , TS = 14 N , TS′ = 2 N

(b) On coupe le �l en S', déterminer l'accélération de la masse A ainsique les tensions des �ls en B et en S.a = 1, 67 m/s2, TB = 5, 83 N ,TS = 11, 66 N

Figure 12

12

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Séance 4 : Statique

1. Un cycliste exerce sur la pédale de son vélo, une force ~F de 100 Ndirigée vers le bas :

(a) Trouver les vecteurs moments de cette force ( ~MF/O), relativementau point O (axe de rotation), associés à chacune des 3 positionsde la pédale (schéma ci-dessous) en calculant leurs normes et en yreprésentant le vecteur ~MF/O pour chaque position ; 30 Nm (ren-trant) ; 24 Nm (rentrant) ; 21, 2 Nm (sortant)

(b) À quelle position correspond le moment maximum? À quoi celaest-il dû ? (1) ; bras de levier maximal (= 0, 3 m)

 

F

O  

0,3 m

(1)

F

O  

53°

(2)

F

O  

45°

(3)

Figure 13

2. Une personne tient en main un poids w1 alors que son avant-bras, depoids w = 12 N , est en position horizontale. Cet avant-bras peut êtremodélisé par une barre horizontale, articulée autour d'un pivot (coude,à l'extrémité gauche) et soutenue par un câble (biceps), subissanttoutes les forces représentées dans la �gure ci-dessous :

(a) Évaluer la tension T exercée par le biceps et la force E exercée parl'articulation du coude, dans 2 situations : 1) w1 = 0 N (aucunpoids porté par la main) et 2) w1 = 12 N ; T = 36 N et E = 24 N(si w1 = 0 N) ; T = 120 N et E = 96 N (si w1 = 12 N)

(b) Pourquoi les forces T et E sont-elles plus que doublées dans la 2e

situation ?bien que w1 = w, le bras de levier de w1 est > celui dew, et génère donc un moment + gd qui s'ajoute à celui de w. . .d'où l'ampli�cation de T (donc de E).

13

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0,2 m

0,15 m

0,05 m

w w1

E

T  

Figure 14

3. Une personne se penche vers l'avant pour ramasser un objet (de poids= 175 N), en maintenant son dos à l'horizontale. Dans cette situation(voir schéma), la colonne vertébrale peut être modélisée par une poutrehorizontale (de longueur l et d'épaisseur négligeable) supportant lepoids w(= 490 N) de tout le haut du corps et reposant à son extrémitégauche sur un point d'appui (le sacrum) exerçant sur elle une force ~R.Évaluer la norme de la force ~T que les muscles du dos doivent sollicitersur cette colonne pour assurer le maintien de cette position, ainsi queles composantes Rx et Ry de la force ~R :

(a) juste avant de soulever l'objet (w1 = 0 N) ; T = 2020 N ; Rx =1976 N ; Ry = 70 N (si w1 = 0 N )

(b) lorsque l'objet est soulevé (sollicitant une force w1 à l'extrémitédroite de la poutre). T = 3223 N ; Rx = 3152 N ; Ry = −5 N (siw1 = 175 N )

(c) Quel e�et ce soulèvement a-t-il produit ? Quelle en est la raisonfondamentale ?E�et : T augmente de moitié→ se répercute sur R ;Raison : En se penchant fort, T a 1 très petit bras de levier (parrapport à ceux des poids) => 1 valeur élevée de T pour générerun moment capable de contrer ceux des poids.

14

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12°  

w

w1

R T

l  0,7  l  

0,6  l  

 

Figure 15

4. Un dessus de table carré de 1 m de côté, de masse homogène de 20 kg etd'épaisseur négligeable, est supporté par 4 pieds (0, 8 m de longueur etmasse homogène de 2 kg chacun) �xés aux 4 coins de la table. La tableest disposée sur un plan incliné, de manière symétrique par rapportau plan � z = 0 m � de la feuille (axe z sortant, non représenté dansle schéma).

(a) Déterminer la position tridimensionnelle de son centre de gravité(dans le référentiel imposé) ; CG en (0, 5 m ; 0, 686 m ; 0 m)

(b) Pour quelle valeur de l'angle d'inclinaison α la table va-t-elle bas-culer ? α = 36, 1◦

 

α  

 

 

1  m  

 

 

0,8  m  

 

 

y  

 

 

x  

 

 (0,0,0)  

 

 

Figure 16

5. On dépose une poutre métallique de masse m et de longueur l incon-nues contre un mur. L'angle d'inclinaison de la poutre est de 60◦ (voirschéma). La force de frottement du mur sur la poutre est négligeable,mais pas celle exercée par le sol dont le coe�cient de frottement sta-tique vaut 0,25. Au moment où la poutre vient d'être lâchée :

15

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(a) Indiquer clairement sur le schéma toutes les forces s'exerçant surla poutre ; ~Nsol ; ~Nmur ; ~Ffr,sol et ~W (CG au milieu de la poutre)

(b) Celle-ci reste-t-elle immobile ou bien va-t-elle glisser ? (justi�cationpar calcul en utilisant le référentiel indiqué) Supposer l'équilibre=> Ffr,sol = 0, 289Nsol c-à-d Ffr,sol > Fst,max (impossible !) => lapoutre glisse.

  y  

x  z   sol

60°  

Figure 17

6. Un bloc parallélépipédique de 10 kg (de masse homogène) est posé surun plan incliné à 30◦ par rapport à l'horizontale. Le contact du blocavec le plan est caractérisé par des coe�cients de frottement statiqueet cinétique valant 0.8 et 0.7, respectivement. Si la vitesse du bloc estnulle dans sa position initiale indiquée dans le schéma :(a) En se basant sur ce schéma, le bloc ainsi positionné est-il en situa-

tion de pivoter par basculement ? Pourquoi ? Non (la ligne d'actionde w traverse la surface d'appui)

(b) Que vaut la force de frottement initiale ? Et le bloc se mettra-t-il en mouvement ? (justi�er par le calcul) Ffr = 50N ; Non : lacomposante de W sollicitant le frottement < Fst,max

 

30°  

Figure 18

16

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7. Une enseigne de magasin (plaque carrée homogène de 15 kg et de50 cm de côté) est accrochée à la façade comme indiqué sur le dessin.L'enseigne est retenue dans le bas par un barreau de soutien horizontal(de 40 cm de long) à l'extrémité duquel elle peut pivoter verticalementsans frottement. Elle est aussi retenue au coin supérieur gauche parun tendeur (�l de masse négligeable, faisant un angle de 65◦ avec laverticale). a) Indiquer clairement sur le dessin toutes les forces s'exer-çant sur l'enseigne ; ~T orienté selon le �l (haut) ; ~R oblique (→ et ↑) ;w (CG au centre du carré) b) Que valent les normes T et R de la forcede traction exercée par le tendeur sur la façade et de la force exercéepar l'enseigne sur le barreau ? (justi�cation par calcul)T = 82, 75 N ;R = 137, 32 N

 

Figure 19

17

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Séance 5 : Dynamique 2

1. Un moment de force de 40 N.m agit sur une roue de moment d'inertie10 kg.m2 pendant 5 s puis est supprimé.

(a) Quelle est l'accélération angulaire de la roue durant ces cinq pre-mières secondes ?α = 4, 00 rad/s2

(b) Combien de tours e�ectue la roue en 10 s si elle part du repos ?n =23, 9 tours

2. Un mètre à mesurer de masse 40 g pivote autour de la graduation35 cm. Quelle est son accélération angulaire lorsqu'il est incliné de 20◦

par rapport à l'horizontale ? (On assimile le mètre à une tige mince).Remarque : le moment d'inertie, d'une tige de masseM et de longueurL, par rapport à un axe situé à une distance h (inférieur à L/2) ducentre de masse et perpendiculaire à la tige est M(L2/12 + h2).α =13, 3 rad/s2 avec I = 4, 23. 10−3kg.m2

3. Deux perles chacune de masse m, peuvent glisser sur une tige sansfrottement de masse M et de longueur L. Les perles se trouvent ini-tialement à L/4 du centre autour duquel la tige tourne librement dansun plan horizontal à 20 rad/s. Déterminer la vitesse angulaire :

(a) lorsque les perles atteignent les extrémités de la tige ;ω = 7, 14 rad/s

(b) lorsqu'elles sont éjectées des extrémités ; ω = 7, 14 rad/s

(c) pourquoi le perles se déplacent-elles ?Pas de force centripète

4. Une �llette de masse 40 kg se tient à côté d'une plate-forme circulairede masse 80 kg et de rayon 2 m tournant sur elle-même à 2 rad/s. Onassimile la plate-forme à un disque. La �llette saute sur la circonférencede la plate-forme.

(a) La vitesse angulaire change-t-elle ? Si oui, quelle est sa nouvellevaleur ?ω = 1, 00 rad/s

(b) Elle marche ensuite vers le centre. La vitesse angulaire change-t-elle ? Si oui, quelle est sa nouvelle valeur ?ω = 2, 00 rad/s

(c) L'énergie cinétique change-t-elle lorsque la �llette marche du bordvers le centre ? Si oui, de combien ? ∆K = 160 J

5. Une �celle de masse négligeable tire verticalement vers le haut l'extré-mité d'une tige (1 m de longueur ; masse homogène de 0, 8 kg) pourque celle-ci fasse un angle de 60◦ avec un support plan horizontal situésur l'axe des abscisses.

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(a) Positionnez, sur le schéma ci-dessous, chacune des forces qui s'exercentsur la tige en indiquant à chaque fois clairement de quel type ils'agit. (pas de justi�cation nécessaire ici)Réaction du support ~Rdirigée verticalement vers le haut, Poids ~P vert. vers le bas, Ten-sion dans la corde ~T vert. vers le haut

(b) Calculez, par rapport au point de contact (0.5 m ; 0 m) de l'ex-trémité basse de la tige, les moments associés à chacune de cesforces (numériquement quand c'est possible ; sous forme paramé-

trique (inconnue(s)) sinon) et représentez-les adéquatement sur leschéma ci-dessous.τR = 0, τP = τT = 2 Nm

(c) Que valent, dans le référentiel indiqué, les composantes de la force~R exercée par le support plan sur la tige ?~R = (0 N, 4 N)

(d) Si on lâche la �celle, l'extrémité droite de la tige (où est �xée la�celle) va chuter sur le support en un certain point P de l'axedes abscisses. Quelle est, dans le référentiel indiqué, la positionxP de ce point, dans le cas particulier où il n'existe pas de

frottement entre la tige et le support ?1, 25 m

 

1

60°  

x(m)

y(m))

0,5

0

ficelle

tige

Figure 20

6. Une roue de rayon R est montée sur un axe horizontal, à partir d'unpetit cylindre central de rayon r = 0, 01 m dans lequel s'encastre l'axe(le contact avec l'axe huilé n'occasionne pas de frottement). Un bloc demasse m = 5 kg est attaché à une cordelette (de masse et d'épaisseurnégligeables) qui est enroulée autour du cylindre (�gure ci-dessous).

19

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En tombant à partir d'une situation de repos, le bloc acquiert uneaccélération de 1, 5 m/s2.

(a) Que vaut alors la tension dans la cordelette ?42, 5 N

(b) Quel est le moment d'inertie du système � roue + cylindre � demasse M? 2, 83 10−3 kg m2

 R 2r

r

M

m

Figure 21

7. Les masses m1 et m2 sont suspendues, au moyen d'une corde de massenégligeable, de part et d'autre d'une poulie de masse M . La poulie,entraînée par le frottement de la corde, peut être assimilée à un cy-lindre plein de rayon R qui tourne sans frottement autour de l'axehorizontal qui la supporte. Que vaut l'accélération tangentielle de lapoulie, si m2 = M et m1 = m2

2? atg = g/4

8. Un boule de bowling de masse m = 4 kg, de rayon R = 10, 8 cm et demoment d'inertie I = 2

5mR2 roule (sans glisser) vers le bas d'un plan

incliné. Le plan incliné fait un angle de 38◦ par rapport à l'horizontale.Déterminer l'accélération de la boule de bowling et l'intensité de laforce de frottement statique. a = 4, 40 m/s2

f = 7, 04 N

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Séance 6 : Energie

1. Un objet de 200 g tombe à la verticale, d'une hauteur de 10 m.

(a) Que vaut le travail de la force de pesanteur sur l'objet ?W = 20 J

(b) Si l'objet était initialement au repos, que vaut sa vitesse au mo-ment où il touche le sol ?v = 14, 14 m/s

2. Une balle de ping-pong est lancée en l'air. En utilisant le théorèmede l'énergie cinétique, déterminez si elle mettra plus de temps pourmonter ou pour descendre :

(a) en tenant compte de la force de frottement de l'air sur la balle(supposée constante) ; Tmontee < Tdescente

(b) en négligeant la force de frottement de l'air sur la balle. Tmontee =Tdescente car conservation de l'énergie mécanique

3. La poulie et la corde de la �gure ci-dessous sont de masses négligeables.Les deux blocs ont respectivement une masse de m1 = 5 kg et m2 =10 kg. Le système est initialement au repos et se déplace de 3 m.

(a) Si on néglige la force de frottement, que vaut la vitesse �nale dusystème ?v = 6, 32 m/s

(b) Si on considère un coe�cient de frottement dynamique de 0,2 entrele bloc et la surface horizontale, que vaut le travail e�ectué contrele frottement pendant le déplacement ?Wf = 30 J

(c) Dans ce dernier cas, que vaut la vitesse �nale du système ?v =6 m/s

Figure 22

4. Un skieur de massem = 70 kg, au sommet d'une colline d'une hauteurde 30 mètres et dont la pente fait un angle de 30◦ avec l'horizontale,

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glisse le long de celle-ci sans vitesse initiale (le coe�cient de frottementdynamique entre le sol et les skis est de 0,25). Arrivé au bas de lacolline, il poursuit sa course horizontalement tout en freinant sousl'e�et d'un coe�cient de frottement dynamique estimé à 0,5. Calculez :

(a) Sa vitesse au bas de la colline ; v =√

2gh(1− 0, 25 cot(30◦))

(b) La distance nécessaire à son arrêt complet.d = 2h(1− µ cot(30◦))

5. Une meule est constituée d'un cylindre d'épaisseur uniforme dont lamasse vaut 3 kg et le rayon 10 cm (moment d'inertie d'un cylindreplein : Icylindre = 1

2MR2). Elle e�ectue 2400 tours par minute. A l'ins-

tant t = 0 s, un outil est alors mis au contact de la meule avec uneforce normale de 10 N . Si le coe�cient de frottement vaut 0,7 et siaucun autre moment n'agit sur la meule :

(a) combien de tour e�ectuera la meule avant de s'arrêter ? 107,7 tours

(b) combien de temps faudra-t-il pour que la meule s'arrête ?T =5, 38 s

6. Une sphère et un cylindre (Isphere = 25MR2, Icylindre = 1

2MR2), de

même masse M = 1 kg et de même rayon R = 5 cm, roulent sansglisser vers le bas le long d'un plan incliné. Sachant que les deuxobjets démarrent sans vitesse initiale d'une même hauteur h = 1 m,déterminez :

(a) leur vitesse respective au bas du plan incliné ; vsphere = 3, 78 m/s,vcylindre = 3, 65 m/s

(b) leur vitesse respective au bas du plan incliné, si les deux objetsglissent sans frottement. v = 4, 47 m/s

7. Avec quelle vitesse minimale doit je lancer une massem = 500 kg de lasurface de la planète Mars pour qu'elle quitte dé�nitivement celle-ci ?(gTerre = 2, 6.gMars, RTerre = 1, 88RMars = 6, 4 . 103 km et négliger larotation de Mars)v > 5, 12 . 103 m/s

8. A quelle vitesse dois-je lancer un satellite de 100 kg pour le placer enorbite circulaire à une altitude h = 300 km au-dessus de la surfacede la Terre ? (Négliger la rotation de la Terre, RTerre = 6, 4 . 103 km)v = 8, 18 . 103 m/s

9. Pour un satellite géostationnaire de masse m = 1000 kg au-dessus dela Terre (GMT = 4 . 1014 m3s−2), déterminez :

(a) son altitude,h = 3, 62 . 107 m

(b) sa vitesse sur son orbite circulaire, v = 3, 1 . 103 m/s

(c) l'énergie totale qu'il possède sur son orbite circulaire. ETot = −4, 73 . 109 J

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Séance 7 : Chocs et poids apparent

1. Un homme de 80 kg est debout sur un radeau de 120 kg. Le radeauest immobile. Si l'homme se met à marcher à la vitesse de 1, 5 m/spar apport au radeau quelle sera la vitesse de déplacement du radeau ?0, 6 m/s

2. Une voiture de 1000 kg roule vers le nord, à une vitesse de 20 m/s.Elle percute un camion de 10000 kg qui se dirige à la même vitesse,vers le sud. Immédiatement après le choc, la voiture prend la directionde l'est à la vitesse de 20 m/s :

(a) Quelle est la vitesse du camion et quelle est sa direction immédia-tement après le choc ?vx = −2 m/s, vy = −18 m/s, Ox suivant ladirection sud-nord, OY suivant la direction ouest-est.

(b) Quelle est la quantité d'énergie mécanique dissipée au cours de lacollision ?0, 36 106 J

3. Une boule de billard frappe une autre boule identique qui est au repos.La première est déviée de 45◦ par rapport à sa direction originale.Montrer que si la collision est élastique, la seconde boule se déplaceraà 90◦ de la première et à la même vitesse.

4. Un pendule simple dont la masse m = 500 g est suspendue à un �l delongueur L = 1 m. On lâche le pendule alors que le �l est horizontal. Ilsubit, lorsqu'il arrive en position verticale, une collision élastique avecun bloc de masse M pouvant glisser sans frottement sur une surfacehorizontale. Jusqu'à quelle hauteur la masse du pendule s'élèvera-t-elle après la collision sachant que M = 25 kg.0, 92 m

5. Un neutron de masse m et de vitesse V1 entre en collision élastiquefrontale avec un noyau de carbone dont la masse est 12 m

(a) Quelle fraction d'énergie cinétique du neutron est-elle transféréeau noyau de carbone ?

(b) Quelles sont les vitesses du neutron et de noyau de carbone aprèsle choc ?

6. Une cible est constituée d'un disque de masseM = 5 kg, de rayon R =0, 4 m et d'épaisseur négligeable. Le disque est placé verticalement etil est susceptible de tourner autour d'un axe vertical passant par soncentre. A un certain moment, une balle de fusil de masse m = 12 get dont la vitesse v = 500 m/s est horizontale, atteint la cible en unpoint P situé à 30 cm de l'axe vertical en faisant un angle de 60◦ avecle plan du disque. La balle reste dans la cible qui est mise en rotation.

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(a) Calculer la vitesse angulaire du disque immédiatement après lechoc

(b) Si la rotation est freinée par un couple de forces 5 Nm, calculer lenombre de tours e�ectuées par la cible avant de s'arrêter

Figure 23

7. Une personne de masse m est debout sur une balance à ressort placéedans un ascenseur. Trouver le poids e�ectif de la personne lorsquel'ascenseur, en montée, a une accélération de 0, 2 g.

8. Un avion de chasse pique, à la verticale, avec une accélération de 3g.Quelles sont la grandeur et la direction du poids e�ectif du pilote, sison poids vaut G = mg ?

9. Dans une fête foraine, une �llette de masse m est debout dans unecage cylindrique de rayon R. La cage est en rotation autour de sonaxe et la vitesse de la �llette est égale à V . Que vaut son poids e�ectif ?

10. Un manège est constitué d'un bras horizontal de 5m tournant à vitesseconstante autour d'un axe vertical. A ce bras est �xé un câble retenantun siège sur lequel je suis assis. L'ensemble câble/siège est de massenégligeable et je peux être assimilé à un point matériel situé à 4 mde la �xation du câble sur le bras (voir dessin). L'angle β que fait lecâble avec la verticale vaut 66◦ et mon accélération centripète vaut22, 15 m/s2.

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Figure 24

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Séance 8 : Statique des �uides

1. On laisse tomber une buche de 40 kg dans une rivière à 0◦C. Si ladensité de la bûche est égale à 0.8, quelle fraction du volume de labûche émergera de l'eau ? 2

10soit 0, 01 m3

2. Un morceau de chêne pèse 90 N dans l'air. Un bloc de plomb pèse130 N quand il est immergé dans l'eau. Attachés l'un à l'autre, ilspèsent 100 N dans l'eau. Quelle est la masse volumique du bois ?750 kg/m3

3. Un vérin hydraulique, similaire à celui de la �gure ci-dessous, a despistons de section 1500 cm2 et 75 cm2. Il est employé pour souleverun fauteuil de dentiste d'un poids de 1500 N .

(a) Quelle force faut-il exercer sur le petit piston pour soulever le fau-teuil ? 75 N

(b) Quelle distance le petit piston doit-il parcourir pour que le fauteuilsoit levé de 0, 1 m ? 2 m

Figure 25

4. Un �l métallique en U est plongé dans de l'eau à 20◦C. Le �l mo-bile est long de 0, 1 m et sa masse m1 est de 1 g. (γeau(20◦C) =7, 28.10−2 N.m−1)

(a) Quelle est la valeur de la force de tension super�cielle ? F =1, 46.10−2 N

(b) Si le �l est en équilibre, que vaut la masse m2 suspendue à ce�l ?m2 = 0, 46 g

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Figure 26

5. Un insecte est en sustentation sur de l'eau à 20◦C. Chaque patte yproduit une dépression de 1 mm de rayon. L'angle de raccordementest de 30◦.

(a) Calculer la force de tension super�cielle agissant sur chacune des6 pattes. F = 3, 96.10−4 N

(b) Quel est le poids de l'insecte ? P = 2, 38.10−3 N

Figure 27

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6. Un capillaire dont le rayon intérieur vaut 0, 5 mm est plongé dans unliquide dont la masse volumique est égale à 500 kg.m−3 et la tensionsuper�cielle à 0, 02N.m−1. Le niveau du liquide à l'intérieur du capil-laire se trouve 1, 4 cm en-dessous du niveau extérieur (le dessin n'estpas à l'échelle pour pouvoir tracer ce qui est demandé dans la questiona).

(a) Calculez l'angle de contact du système et identi�ez-le sur le dessinaprès avoir tracé l'allure du ménisque. (justi�cation par calcul)θ = 151◦

(b) Calculez la di�érence de pression entre les points A et B, A étantsitué dans l'air à la hauteur du niveau extérieur du liquide, et Bétant situé dans le capillaire à 1 cm sous le ménisque. (justi�cationpar calcul) PA − PB = −120 Pa

(c) Calculez le rayon de courbure du ménisque. (justi�cation par cal-cul) R = 5, 7.10−4 m

Figure 28

7. Une bulle de savon a un rayon de 5 cm. La di�érence de pression entrel'intérieur et l'extérieur vaut 2 Pa. Calculer la tension super�cielle du�lm de savon.∆P = 4γ

R, γ = 2.5.10−2

4= 2, 5 . 10−2 Nm−1

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Séance 9 : Dynamique des �uides

1. On déplace une plaque en verre de 0, 25 m2 parallèlement à une plaqueen verre plus grande, avec une vitesse de 0, 1 ms−1. Quelle force faut-ilappliquer à la plaque en mouvement si l'espace entre les plaques estde 3 mm et est rempli : F = ηS dv

dz

(a) d'eau (η = 1, 005 10−3 Pa s) ; 8, 375 . 10−3 N

(b) d'huile (η = 0, 01 Pa s) ? 8, 33 . 10−2 N

2. Un bac cylindrique de rayon R = 20 cm, est rempli de 3 m d'eau. Untrou circulaire de rayon r = 1 cm est percé à 20 cm du sol. La pressionatmosphérique Patm vaut 105 Pa.

(a) On bouche le trou, quelle est la pression au niveau du trou ? P =1, 280105 Pa

(b) On libère le trou, si V est la vitesse d'écoulement par le trou, quepeut-on dire de la valeur W de la vitesse de descente du niveausupérieur dans le bac ? W = 1

400V

(c) On suppose la vitesse d'écoulement à l'intérieur du bac juste auniveau du trou comme nulle, que vaut la vitesse d'écoulement justeà l'extérieur du trou ? V = 7, 48 ms−1

(d) On dé�nit la résistance à l'écoulement R comme le rapport de lachute de pression ∆P au débit Q (R = ∆P/Q). Calculez-le pource trou. R = 1, 19 107 Pa s m−3

Figure 29

3. Pour un capillaire humain typique de rayon R = 2.10−6 m et delongueur l = 1 mm :

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(a) calculer sa résistance à l'écoulement, 3, 32 1017 Pa s m−3

(b) Estimer le nombre de capillaires dans le corps humain, étant donnéque le débit à travers l'aorte est de 9, 7.10−5 m3/s et que la dif-férence de pression entre le système artériel et le système veineuxest de 11, 6 kPa. Supposer que tous les capillaires sont en parallèleet que la perte de charge dans les capillaires correspond à 9% dela perte de charge totale. 3, 08 108

4. De l'eau sort de l'ori�ce d'un robinet de rayon R, à la vitesse vo.Dans un écoulement laminaire, l'aire de la section transversale du �letd'eau vertical diminue au fur et à mesure que l'eau tombe. Déterminerl'équation donnant le rayon r du �let d'eau en fonction de la distancede chute verticale y (voir �gure suivante). r = R[v2

0/(v20 + 2gy)]

14

Figure 30

5. La vitesse limite d'une gouttelette d'huile de forme sphérique, lors dechute dans de l'air à 20◦C, est de 2.10−7 m/s. Quel est le rayon de cettegouttelette, si sa masse volumique est de 930 kg/m3 ? R = 4, 19 10−8m

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Séance 10 : Mouvements périodiques

On néglige les frottements dans tous les exercices

1. Lorsqu'on accroche une masse de 400 g à l'extrémité d'un ressortvertical, le ressort s'allonge de 35 cm.

(a) Quelle est la constante de raideur du ressort ? 11, 42 N/m

(b) Quelle est la fréquence propre d'oscillation du système ? 0, 85 Hz

(c) De combien le ressort va encore s'allonger si on ajoute une massede 400 g ? 70 cm

2. Une masse de 200 g vibre horizontalement sans frottement au boutd'un ressort horizontal de constante de raideur 7 N/m. On déplacela masse de 5 cm par rapport à sa position d'équilibre, puis on lâche.Calculer :

(a) sa vitesse maximale, 0, 29 m/s

(b) sa vitesse lorsqu'elle se trouve à 3 cm de sa position d'équilibre.0, 237 m/s

(c) Quelle est son accélération dans ce cas ? 1, 05 m/s2

3. Le graphique ci-dessous (Figure 26) représente la vitesse en fonctiondu temps d'une particule en mouvement harmonique simple.

(a) Calculer la période et la fréquence du mouvement. 4 s, 1/4 Hz

(b) Tracer les graphiques de la position en fonction du temps et del'accélération en fonction du temps correspondants.

Figure 31

4. Une masse de 50 g vibre au bout d'un ressort. L'amplitude du mou-vement est de 12 cm et la période de 1, 7 s. Trouver :

(a) la constante de raideur du ressort, 0, 68 N/m

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(b) la vitesse maximale et l'accélération maximale de la masse, vmax =0, 44 m/s, amax = 1, 63 m/s2

(c) la vitesse et l'accélération lorsque le déplacement est de 6 cm.v = 0, 38 m/s, a = 0, 82 m/s2

5. Une masse de 100 g est animée d'un mouvement vibratoire autourd'un point �xe O. Quand la masse se trouve à 1 cm de O, la force derappel a une intensité de 36 . 10−3 N .

(a) Déterminer la période du mouvement ainsi produit. On prendracomme point origine le point O et comme instant initial celui oùle mobile est en O, animé d'une vitesse de 30 cm/s dans le senspositif de la trajectoire. 1, 047 s

(b) Ecrire les équations générales donnant la position du mobile, savitesse, son accélération et la force de rappel. y = 0, 05 sin(6t),v = 0, 3 cos(6t), a = −1, 8 sin(6t), f = −0, 18 sin(6t)

(c) Déterminer l'instant où le mobile passe pour la première fois parl'élongation −3 cm, en se mouvant dans le sens négatif de la tra-jectoire. 0, 63 s

(d) Calculer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle que possède lemobile à cet instant. 1, 6 10−3 J

6. Un pendule de longueur L et de masse m (on néglige la masse du�l) est attachée en un point �xe A (Figure 27). Ecarté de sa positiond'équilibre G0, le pendule oscille avec une amplitude βm. Gi est laposition initiale à partir de laquelle le pendule est abandonné sansvitesse initiale. (Données : g = 10 m/s2 ; L = 1 m ; βm = 18◦ ; β = 10◦)

(a) Calculer l'énergie potentielle en G. 0, 15m J

(b) Déterminer la vitesse au passage par la position d'équilibre. 0, 98m/s

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Figure 32

7. Une balle de masse m arrive à l'horizontale, à une vitesse v, dansun bloc de bois de masse M , relié à deux ressorts comme représentédans la �gure ci-dessous (Figure 28). La balle s'incruste dans le bloc.(M = 3 kg ; v = 300 m/s ; k1 = 500 N/m ; k2 = 400 N/m ; m = 20 g)

(a) Calculer le déplacement maximum du bloc. 0, 23 m

(b) Que vaut l'amplitude de l'accélération du système lorsque le dé-placement est maximum? 17 m/s2

Figure 33

8. Arthur et Marie jouent à lancer un projectile dans une petite boîteposée sur le sol à l'aide d'un canon à ressort �xé à l'extrémité d'unetable. Le centre de boite se trouve à une distance horizontale de 2, 2 mdu bord de la table (voir �gure 29)). Arthur comprime le ressort de1, 1 cm, mais la bille touche trop rapidement le sol, soit à 27 cm ducentre de la boîte.

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(a) De quelle distance Marie doit-elle comprimer le ressort pour at-teindre le centre de la boîte ? 1, 3 cm

(b) Ecrire les équations générales donnant la position du mobile, sa

vitesse, son accélération et la force de rappel. ∆x = ∆l√

2khmg

, où

∆x est la distance horizontale, ∆l est la compression du ressort eth sa hauteur.

(c) Si Marie comprimait-elle aussi le ressort de 1, 1 cm, de quel pour-centage devrait-elle modi�er la hauteur de la table pour atteindrele centre de la boîte ? (Ni le ressort ni le projectile ne subissent deforce de frottement dans le canon) 14 %

Figure 34

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Séance 11 : Les phénomènes ondulatoires

1. Une corde (dans la direction des z) a une masse linéique de 2, 50 g/m etune tension de 25, 0 N . L'extrémité libre est attachée à un diapasonqui vibre à 50, 0 Hz et produit sur la corde une onde transversaled'amplitude 5, 00 mm.

(a) Déterminer la vitesse, la pulsation, la période et la longueur d'ondede cet ébranlement. v = 100 m/s, ω = 314 rad/s, T = 0, 02 m etλ = 2 m

(b) Ecrire une expression du pro�l de l'onde, sachant que, pour t=0,l'extrémité de la corde (z = 0) a un déplacement y = +5, 00 mm.L'onde se propage dans la direction des z.y(z, t) = 0, 005 cos(314t− 157z)

2. Le pro�l d'une onde sinusoïdale transversale sur une longue corde estdécrit, en unités SI, par la fonction y = 0, 040 sin(2πx). Sachant quel'onde a une vitesse de 2, 0 m/s, déterminer l'accélération transversalemaximum en un point quelconque de la corde. amax = 6, 31 m/s2

3. A l'instant t = 0 s le pro�l d'une onde est donné dans le graphique degauche ci-dessous. A l'instant t = 1.5 s le pro�l d'une onde est donnédans le graphique de droite. Déterminez deux périodes possibles pourcette onde et les vitesses correspondantes. (L'unité sur l'axe x est lemètre). T = 3 s, 1 s, 3

5s, . . ., v = 1 m/s ou 3, 5, 7 . . ..

Figure 35

4. Une voiture roule à 20, 0 m/s et émet un son de sirène de fréquence600 Hz. Déterminer la fréquence perçue par un observateur immobile

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pendant que la voiture s'approche et pendant qu'elle s'éloigne. Prendrela vitesse du son égale à 340 m/s.638 et 567 Hz

5. Un diapason de fréquence 500 Hz s'éloigne d'un observateur immobileet s'approche d'un mur �xe à la vitesse de 2 m/s.

(a) Quelle est la fréquence du son reçu par l'observateur en provenancedirecte de la source ? 497, 08 Hz

(b) Quelle est la fréquence associée au son ré�échi par le mur ? 502, 96Hz

(c) Quelle est la fréquence du battement perçu par l'observateur ?5, 88 Hz

6. Une chauve-souris émet des cris brefs à la fréquence de 80000 Hz. Sila chauve-souris vole vers un obstacle à la vitesse de 20 m/s, quelleest la fréquence de l'onde ré�échie perçue par l'animal ? 90000 Hz

7. Une chauve-souris s'approche d'un obstacle immobile. Elle émet dessons à la fréquence de 50000 Hz et détecte une onde ré�échie à lafréquence de 51000 Hz. A quelle vitesse vole-t-elle ? 3, 37 m/s

8. Une petite mais bruyante imprimante produit une intensité acoustiquede 56 . 10−5W/m2 à un point situé à 5, 0 m. Quel est, approximati-vement, le niveau sonore en ce point et à 20, 0 m de l'imprimante ?75 dB

9. Quelle est la longueur d'onde de la quatrième fréquence de résonanced'un tuyau de longueur 1, 4 m fermé à une extrémité ? Quelle est lafréquence du son ? λ4 = 0, 8 m et f4 = 425 Hz

10. Un tube vertical de 2 m de long peut être rempli d'eau jusqu'à n'im-porte quel niveau. Le son qui entre par l'extrémité ouverte du tube estré�échi à la surface de l'eau, ce qui entraîne à cet endroit la formationd'un noeud.

(a) Si le tube est rempli d'eau jusqu'à un niveau de 1 m, quelle est lafréquence de résonance la plus basse ? 85 Hz

(b) Quelle est l'épaisseur d'eau si la fréquence de résonance la plusbasse est de 500 Hz ? 1, 83 m

11. L'oreille externe est assimilable à un tube de 2, 7 cm de longueur dontune extrémité est fermée et l'autre ouverte. Quelles sont, si la vitessedu son dans l'air est de 340 m/s, les deux fréquences les plus graves,f1 et f2, qui seront bien transmises par l'oreille ? f1 = 3148 Hz etf2 = 9444 Hz

12. Dans un tuyau d'orgue, le son est produit à partir des vibrations d'unjet d'air au niveau du biseau. Des ondes stationnaires s'installent dans

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la partie supérieure du tuyau. On modélise cette partie par un tubecylindrique de longueur L ouvert à ses 2 extrémités. Dans le plan de cesouvertures se développent des ventres de vibration pour les tranchesde la colonne d'air.(a) Indiquez soigneusement, sur les schémas ci-dessous (représentés

horizontalement pour plus de commodité), la position des n÷uds(traits pleins) et des ventres (traits pointillés) des vibrations pourle fondamental, l'harmonique 2 et l'harmonique 3.

(b) Donnez l'expression de la longueur d'onde λ1 du fondamental enfonction de L. λ1 = 2L

(c) Comparez avec la corde tendue entre 2 points �xes. λ1 = 2L

Dans l'air ambiant, la célérité v des ondes sonores est 340 m.s−1.(d) Déterminez la valeur de L pour obtenir des fréquences du fonda-

mental égales à 32, 7 Hz (note do0), 65, 4 Hz (note do1), 130, 8 Hz(note do2), 261, 6 Hz (do3) et 523, 2 Hz (do4). L0 = 5, 20 m,L1 = 2, 60 m, L2 = 1, 30 m, L3 = 0, 650 m, L4 = 0, 325 m

(e) Calculez les fréquences des harmoniques 2 et 3 pour le tuyau dudo2. 261, 6 et 392, 4 Hz

Les conditions atmosphériques étant modi�ées, la célérité du son passeà 332 m.s−1. On étudie l'e�et de cette variation sur les ondes station-naires dans le tuyau du do3.(f) Quelle est la valeur de la longueur d'onde pour le mode fondamen-

tal ? 1, 30 m

(g) La valeur de la fréquence de ce mode fondamental a-t-elle changé ?Oui, f = v

2L

(h) Si oui, calculez sa nouvelle valeur. 255 Hz

Figure 36

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Séance 12 : Température, chaleur et thermody-

namique

1. Quelle est l'énergie cinétique moyenne de translation des moléculescontenues dans 0, 50 m3 d'oxygène aux conditions normales (273◦ K,105 Pa) ? 75 kJ

2. A l'instant t = 0 s, j'aiM = 100 g d'eau à T1 = 20◦ C. Je laisse tomberune goutte d'eau de masse m = 1 g à la température de T2 = 50◦ C.Quelle est la température �nale ? Tf ≈ 20, 30◦ C

3. A l'instant t = 0 s, j'ai M = 100 g d'eau à T1 = 20◦ C. Je laissetomber des gouttes d'eau de masse m = 1 g et à la températurede T2 = 50◦ C. J'attends chaque fois que la température s'équilibre.Quelle est la température �nale après 10 gouttes ?Tf,10 ≈ 22, 73◦ C.

4. Un bloc de fer de masse Mfer = 4 kg est à la température de T1 =1400◦ C. Quelle est la masse d'eau Meau, à 10◦ C, nécessaire pour lerefroidir jusqu'à 50◦ C ? (chaleur spéci�que : Ceau = 4185 J kg−1 K−1,Cfer = 444 J kg−1 K−1) Meau ≈ 14, 32 kg

5. Un becher de masse négligeable contient 0, 250 kg d'eau à une tem-pérature de 75◦ C. Quelle masse de glace, à Tglace = −20◦ C, faut-ilverser dans le becher pour atteindre une température �nale de 40◦ C.(Ceau = 4187 J kg−1 K−1, Cglace = 2230 J kg−1 K−1, Lfusion =3, 34 105 J kg−1). Mglace = 0, 067 kg

6. On verse à ras bord, dans un récipient en verre de 200 cm3, du mercure.Initialement le récipient en verre et le mercure sont à une températurede 20◦ C. Si on chau�e le système pour atteindre une température de100◦ C, quelle quantité de mercure débordera du verre ? (αverre =0, 4 10−5 K−1, αHg = 6 10−5 K−1) ∆VHg −∆Vverre = 2, 688 cm3

7. Par une belle journée de printemps (ensoleillée, T = 25◦ C), vousrayonnez d'énergie. En supposant que votre température est à 37◦ C,en utilisant votre propre masse corporelle M (en kg) et votre propretailleH (en cm) : (ε(peau humaine) = 0, 98 , σ = 5, 67 10−8 W m−2 K−4)

(a) déterminez votre rayonnement (�ux thermique) Φ, sachant quela surface de votre corps suit une loi expérimentale donnée par :S = 0, 007184 M0,425 H0,725 ; Φ = εSσT 4, pour M = 75 kg etH = 1, 75 m, Φ = 977 W

(b) rayonnerez-vous toujours autant en hiver (pluvieux, T = 5◦ C) ?Bien sûr, votre rayonnement dépend de votre température.

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8. Une barre d'acier de 10 cm de long et une barre de cuivre de 20 cm delong, de mêmes sections (2 cm de côtés), sont mises bout-à-bout. L'ex-trémité libre de la barre d'acier est maintenue à une température de100◦ C, tandis que celle de la barre de cuivre est maintenue à une tem-pérature de 0◦ C (kacier = 50, 2 Wm−1K−1, kcuivre = 385 Wm−1K−1).En supposant que le système constitué des deux barres en contactn'échange pas de chaleur avec le milieu extérieur, calculez à l'étatstationnaire :

(a) la température à la surface de contact entre les deux barres, T =20, 7◦ C

(b) le �ux thermique au travers de cette surface. Φ = 15, 92 W

Figure 37

9. Un gaz partant d'une pression P1 = 4 105 Pa et de volume V1 =10 L e�ectue un cycle thermodynamique suivant le schéma ci-dessus.En sachant qu'il y a une mole de gaz, calculez les di�érentes valeursdemandées. (On rappelle que R = 8, 314 J mol−1 K−1, CV = 3R/2 etCP = CV +R)

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(a) La température aux trois points (1,2,3)T1 = 481 K, T2 = 481 K,T3 = 120 K

(b) Déterminer les quantités ∆U12, ∆Q12, ∆W12 en supposant que latransformation 1→ 2 est isotherme ∆U12 = 0, ∆Q12 = −∆W12 =5545 J

(c) Déterminer les quantités ∆U23, ∆Q23, ∆W23 ∆U23 = −4500 J ,∆Q23 = −7500 J , ∆W23 = +3000 J

(d) Déterminer les quantités ∆U31, ∆Q31, ∆W31 ∆U31 = ∆Q31 =4500 J , ∆W31 = 0

(e) Quel est le travail total W donné par ce système au monde exté-rieur, quelle est la quantité de chaleur totale Q reçue par le sys-tème, et quel est le rendement r dé�nit par r = W/Q W = 2545 J ,Q = 10045 J , r = 0, 25

Figure 38

10. Un gaz partant d'une pression P1 = 8 105 Pa et de volume V1 =10 L e�ectue un cycle thermodynamique suivant le schéma ci-dessus.En sachant qu'il y a une mole de gaz, calculez les di�érentes valeursdemandées. (On rappelle que R = 8, 314 J mol−1 K−1 et CP = CV +R)

(a) La température aux trois points (1,2,3)T1 = 962 K, T2 = 481 K,T3 = 120 K

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(b) La transformation 1→ 2 est adiabatique, déterminez γ γ = 32

(c) Déterminez la chaleur spéci�que molaire à volume constant CVpour ce gaz CV = 16, 628 Jmol?1 K?1

(d) Déterminer les quantités ∆U12, ∆Q12, ∆W12∆Q12 = 0, ∆U12 =∆W12 = −8000 J

(e) Déterminer les quantités ∆U23, ∆Q23, ∆W23∆U23 = −6000 J ,∆Q23 = −9000 J , ∆W23 = +3000 J

(f) Déterminer les quantités ∆U31, ∆Q31, ∆W31∆U31 = ∆Q31 = 14000 J ,∆W31 = 0

Figure 39

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Séance 13 : Optique géométrique

1. Un �lm d'huile, d'indice de réfraction nhuile, �otte à la surface d'unétang. Un rayon lumineux provenant du fond de l'étang atteint lacouche d'huile, la traverse pour atteindre ensuite l'air. Quelle est lavaleur maximale, θM , de l'angle d'incidence du rayon lumineux à lasurface eau-huile telle que le rayon puisse sortir de l'huile et passerdans l'air ? (expression littérale où ne peuvent se trouver que des don-nées telles que : nhuile, neau et nair) ?

2. On place entre deux miroirs plans parallèles distants de d, un objetponctuel distant de l d'un des miroirs.

(a) Combien d'images de l'objet renverront les miroirs ?

(b) Les images sont elles réelles ou virtuelles ?

(c) Quelles sont les positions de ces images ?

3. Soit un objet placé à une distance d d'un miroir plan. Quel est letrajet du rayon lumineux qui permettra à un oeil positionné en ∆xderrière et ∆y en dessous de cet objet, de voir l'image de cet objetdans le miroir.

4. Les deux faces d'une lentille biconvexe ont un rayon de courbure R =0, 3 m. L'indice absolu du verre dans lequel elles sont taillées, est égalà 1,52. Un objet de hauteur égale à 3 cm, est placé à 14 cm de lalentille. Déterminer la position et la grandeur de l'image. Préciser lanature de cette dernière.

5. Une lentille mince est taillée dans un verre d'indice absolu n = 32.

Elle possède deux faces concaves dont les rayons de courbure sontrespectivement R1 = 0, 2 m et R2 = 0, 3 m. Déterminer la position etpréciser la nature de l'image d'un objet situé, perpendiculairement àl'axe optique, à 10 cm de la lentille.

6. L'objectif et l'oculaire d'un microscope ont pour distances focales res-pectivement 1, 6 cm et 2, 5 cm. La distance objectif-oculaire est égaleà 22, 1 cm et l'image �nale donnée par l'oculaire est rejetée à l'in�ni.A quelle distance de l'objectif se trouve l'objet examiné ?

7. Une dame de 50 ans est myope et porte des verres d'une puissance de-5,5 dioptries pour regarder les objets lointains. Son ophtalmologuelui prescrit une correction de +2 dioptries dans la partie de ses verresà double foyer réservée à la vision rapprochée. Cette correction estmesurée par rapport à la puissance de la partie principales de sesverres.

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(a) Quelle est la distance focale de la partie réservée à la vision dis-tante ?

(b) Quelle est la distance focale de la partie réservée à la vision rap-prochée ?

8. Une personne a un punctum remotum à 0, 5 m.

(a) Si elle doit regarder des objets lointains, quels verres correcteursdoit-elle porter ?

(b) Si son pouvoir d'accommodation est de 4 dioptries, où se trouverason punctum optimum en l'absence de toute correction optique ?

(c) Où se trouvera son punctum optimum lorsqu'elle portera ses verres ?

9. Un adulte myope a son punctum optimum à 0, 1 m et présente unpouvoir d'accommodation de 2 dioptries. Déterminer son punctumremotum

(a) sans verres correcteurs et

(b) avec les verres qui éloignent son punctum optimum à 0, 25 m.

10. L'oeil forme toujours une image sur la rétine qui se trouve à 2 cm ducristallin (considéré comme une lentille convergente). Un oeil normalest capable de �xer une image depuis l'in�ni jusqu'à une distance de25 cm.

(a) Calculez la puissance du cristallin (en dioptrie noté δ qui est l'in-verse de la distance focale) lorsque cet oeil regarde un objet situéà 1 m.

(b) On pose sur cet oeil une lentille de +3δ, déterminez les distances(la position la plus proche et la plus lointaine) où cet oeil voitcorrectement.

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