Schémas aux différencesfinies pour l’équation de

transport

Solution exacte (faible) :

schéma explicite centré

Ordre 1 en temps et 2 en espace

Etude de stabilité dans : méthode de von Neumann

Coefficient d’amplification :

Condition de stabilité de von Neumann :

CNS ici car G est scalaire

✳1er cas : constant

!

" Schéma instable

✳2eme cas : constant

!

" stable, mais coûteux en temps de calcul

!

" Schéma déconseillé

Transport d’un créneau calculé avecle schéma explicite centré (instable)

schéma explicite décentré

est constant, ∆t >0, ∆x>0, c≠0

Ordre 1 en temps et 1 en espace

Caractéristiques :

Si α<0 (c.a.d. c<0, schéma décentré aval) ou α>1 :

Si 0<α≤1 :

!

" Schéma instable

!

" Schéma décentré amont stable si c Δt / Δx ≤ 1 (cond. CFL)

Transport d’un créneau calculé avecle schéma explicite décentré amont

(CFL= 0.99)

Transport d’un créneau calculé avecle schéma explicite décentré amont

(CFL= 0.2)

Schéma explicite décentré :diffusion numérique, équation

équivalenteProblème général :

identifier des propriétés du schéma numérique que nepossède pas l’EDP initiale (effets parasites dûs auschéma)

Outil : équation équivalente

On approche les solutions du schéma numérique par cellesd’une EDP « équivalente ».

L’erreur de troncature du schéma vis à vis de cette EDP est d’ordre supérieur à l’erreur de troncature pour l’EDP initiale

Equation équivalente pour le schéma explicite décentré(on suppose constant )

On cherche sous la forme :

!

un(x)

!

un(x) = v(x,n"t)

!

= 0

L’« équation équivalente » du schéma décentré :

s’obtient en négligeant le reste :

Remarque :

⇒consistance à l’ordre 2 avec l’équation équivalente

Propriétés de l’équation équivalente :

Si c<0 ou α>1 : diffusion négative ⇒instabilité du schéma

Si 0<α≤1 : équation de convection-diffusion

⇒ explique la « diffusion numérique » observée dans les simulations. Le schéma est « diffusif ».

Coefficient de diffusion ou « viscosité » numérique :

schéma explicite centré : équation équivalente

on suppose constant

On cherche sous la forme :

!

un(x)

!

un(x) = v(x,n"t)

!

= 0

Equation équivalente :

diffusion négative ⇒instabilité du schéma

Idée : compenser le terme de diffusion négative enajoutant dans le schéma un terme de diffusion positive

⇒Schéma de Lax-Wendroff

Le schéma de Lax-Wendroff est d’ordre 2en temps et en espace

Si u vérifie :

Stabilité du schéma de Lax-Wendroff

Coefficient d’amplification :

Etude de stabilité dans : méthode de von Neumann

Si |α|>1 :

Si |α|≤1 :

!

" Schéma instable

!

" Schéma de Lax-Wendroff stable danssi |c| Δt / Δx ≤ 1

Après quelques simplifications :

Equation équivalente du schéma de Lax-Wendroff:

on suppose constant

On cherche sous la forme :

!

un(x)

!

un(x) = v(x,n"t)

!

=O("x3)

Equation équivalente : PAS DE VISCOSITE NUMERIQUE

Equation équivalente du schéma de Lax-Wendroff :

Il s’agit d’une équation « dispersive » :

la vitesse des ondes planes dépend de leur nombre d’onde

!

v(x, t) = Acos(kx "#t +$)

⇒ relation de dispersion :

!

"

k= c(1+

#x2

6($ 2

%1)k2)

Caractère dispersif du schéma ⇒déconseillé dans le cas de solutions discontinues

Transport d’un créneau calculé avec le schémade Lax-Wendroff et le schéma décentré amont

Transport d’une gaussienne calculé avec leschéma de Lax-Wendroff et le schéma décentré

amont