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Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives

Etude d’écoulement d’eau en conduite forcéeà section variable

Christian Bourdarias et Stéphane Gerbi

LAMA - Université de Savoie

JERA 2006, 17 Novembre 2006

Sommaire

1 Motivations

2 Dérivation du modèle en chargeEquations d’Euler compressiblesUne dérivation possible

3 Schéma Volumes Finis décentréApproximation Volumes Finis décentréSchéma Volume Fini explicite décentré

4 Simulation numérique : coup de bélierValidation du modèleConduite déformableConduite à section variable

5 Conclusion et perspectives

Sommaire

1 Motivations

Motivations

Dimensionnement des installations hydrauliques où peuventco-exister deux types d’écoulement : à surface libre, en charge

conduites d’amenée, en aval des barrages

conduites reliant deux lacs ou deux rivières ou ...

égouts, évacuation des eaux de pluie (orages ...)

Tous les phénomènes associés peuvent être très violents

Motivations

Dimensionnement des installations hydrauliques où peuventco-exister deux types d’écoulement : à surface libre, en charge

conduites d’amenée, en aval des barrages

conduites reliant deux lacs ou deux rivières ou ...

égouts, évacuation des eaux de pluie (orages ...)

Tous les phénomènes associés peuvent être très violents

Quelques conduites

une conduite forcée un égout de Paris

l’Orange-Fish Tunnel

Qu’est ce qu’un écoulement mixte ?

Zones à surface libre : la section de conduite n’est pas pleine.Liquide incompressible...

Zones en charge : la section de conduite est pleine. Liquidefaiblement compressible...

∆h =∆Pρ0 g

Quel modèle ?

Ecoulements à surface libreéquations de Saint-Venant ...

Ecoulements en charge

Dans la littérature : les équations d’Allievi

∂P∂t

g A∂Q∂x

∂Q∂t

+ g A∂P∂x

= −α Q |Q|

Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas uneformulation conservativeModéliser les écoulements en charge par un systèmeconservatif "proche" des équations de Saint-Venant

Quel modèle ?

∂P∂t

g A∂Q∂x

∂Q∂t

+ g A∂P∂x

= −α Q |Q|

Quel modèle ?

∂P∂t

g A∂Q∂x

∂Q∂t

+ g A∂P∂x

= −α Q |Q|

Quel modèle ?

∂P∂t

g A∂Q∂x

∂Q∂t

+ g A∂P∂x

= −α Q |Q|

Sommaire

1 Motivations

Equations d’Euler compressibles

L’eau est compressible

∂tρ + div(ρ ~U) = 0

∂t(ρ u) + div(ρ u ~U) = Fx − ∂xP

avec ~U = u~i + v~j + w~k = u~i + ~V .

Impermeabilité : ~U · ~N = 0 on ∂Ω

Loi d’état

Loi de pression de Boussinesq :

P = c2 (ρ− ρ0) c =

β ρ0

Forces extérieures :Gravité : −ρ g ∂xzForce de frottement de Strickler : −Sf

~i = −K (A) u |u |~iVariation de section vs variation de pression :

A = A(x , t) = S(x , P(x , t))∂S∂P

e E cos φ

∂tρ + ∂x(ρ u) + div(y,z)(ρ ~V ) = 0

∂t(ρ u) + ∂x(ρ u2) + div(y,z)(ρ u ~V ) = −ρg(∂xz + Sf )− c2 ∂xρ

Loi d’état

P = c2 (ρ− ρ0) c =

β ρ0

A = A(x , t) = S(x , P(x , t))∂S∂P

e E cos φ

∂tρ + ∂x(ρ u) + div(y,z)(ρ ~V ) = 0

Loi d’état

P = c2 (ρ− ρ0) c =

β ρ0

A = A(x , t) = S(x , P(x , t))∂S∂P

e E cos φ

∂tρ + ∂x(ρ u) + div(y,z)(ρ ~V ) = 0

Loi d’état

P = c2 (ρ− ρ0) c =

β ρ0

A = A(x , t) = S(x , P(x , t))∂S∂P

e E cos φ

∂tρ + ∂x(ρ u) + div(y,z)(ρ ~V ) = 0

Une dérivation possible

La démarche : prendre des valeurs moyennes

Valeurs moyennes de u et ρ sur Ω(x , t)

ρu ' ρ u et ρu2 ' ρ u2.

Q = Au.

1er stade : les équations

Conservation de la masse

∂t(ρA) + ∂x(ρ Q) =

∫∂Ω(x,t)

ρ(∂t ~m + u ∂x ~m − ~V

)· ~n

Conservation de la quantité de mouvement

∂t(ρ Q)+ ∂x

A+ c2 ρ A

)= −g ρ A(∂xz + Sf )+

+c2 ρ ∂xA+

∫∂Ω(x,t)

ρ u(∂t ~m + u ∂x ~m − ~V

)· ~n

Le modèle

Variables conservatives : M = ρA , D = ρQVitesse du son au point x : a(x) dépend de la géométrie.Traitement astucieux du terme c2 ρ ∂xA utilisant la relation entre lavariation de la section et de la pression et expression du terme debord grâce à la condition d’imperméabilté

∂t(M) + ∂x(D) = −14

∂tAA

(∂xδ0)2 M.

∂t(D) + ∂x

M+ a2 M

)= −g M ∂xz − g K (A)

+ M ∂xa2

+a2 MA

∂xS0 −14

∂tAA

(∂xδ0)2 D

Le modèle

Variables conservatives : M = ρA , D = ρQVitesse du son au point x : a(x) dépend de la géométrie.Traitement astucieux du terme c2 ρ ∂xA utilisant la relation entre lavariation de la section et de la pression et expression du terme debord grâce à la condition d’imperméabilté

∂t(M) + ∂x(D) = −14

∂tAA

(∂xδ0)2 M.

∂t(D) + ∂x

M+ a2 M

)= −g M ∂xz − g K (A)

+ M ∂xa2

+a2 MA

∂xS0 −14

∂tAA

(∂xδ0)2 D

La dilatation de la conduite et les propriétés du système

Dilatation de la conduite

∂tA = k ∂tM k paramètre dépendant de la géométrie

Les propriétes du système

Le système précédent est hyperbolique.

Dans le cas d’une conduite uniforme infiniment rigide :

Entropie : E(M, D, z) =D2

2M+ gMz + c2M ln M

∂tE + ∂x [u(E + c2 ln M)] ≤ −g M K (A) u2 |u| .

Ψ =u2

2+ c2 ln M + g z charge totale.

Etats stationnaires :

D = D0 , u = u(x) etdΨ

dx= −g K (A) u |u| ,

La dilatation de la conduite et les propriétés du système

Dilatation de la conduite

∂tA = k ∂tM k paramètre dépendant de la géométrie

Les propriétes du système

Le système précédent est hyperbolique.

Dans le cas d’une conduite uniforme infiniment rigide :

Entropie : E(M, D, z) =D2

2M+ gMz + c2M ln M

∂tE + ∂x [u(E + c2 ln M)] ≤ −g M K (A) u2 |u| .

Ψ =u2

2+ c2 ln M + g z charge totale.

Etats stationnaires :

D = D0 , u = u(x) etdΨ

dx= −g K (A) u |u| ,

Sommaire

1 Motivations

Système sous forme conservative

Sans dilatation de la conduite

Système sous forme conservative

∂tU + ∂xF (x , U) = G(x , U)

Variable conservative et flux

)F (x , U) =

M+ a2M

Terme source

G(x , U) =

−g M ∂xz − g K (A)D|D|

M+ M ∂xa2 + a2 M

S0∂xS0

Principe de la discrétisation Volumes Finis d’après Gallouet et al.

Uni ' valeur moyenne de U sur mi au temps tn = n∆t .

Par intégration sur mi × (tn, tn+1) :

Schéma Volumes Finis classique

Un+1i = Un

i −∆thi

i+1/2(0−, Ui , Ui+1)

)− F

i−1/2(0+, Ui−1, Ui)

))+∆t G(xi , Un

Un+1i = Un

i −∆thi

i+1/2(0−, Ui , Ui+1)

)− F

i−1/2(0+, Ui−1, Ui)

))+∆t G(xi , Un

U∗i+1/2(ξ = x/t , Ui , Ui+1) : solution exacte ou approchée du problème

de Riemann avec Ui et Ui+1 respectivement comme états gauche etdroit

Un+1i = Un

i −∆thi

i+1/2(0−, Ui , Ui+1)

)− F

i−1/2(0+, Ui−1, Ui)

))+∆t G(xi , Un

Le schéma ne conserve pas les états d’équilibre et est très instable

Approximation Volumes Finis décentré

Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.

Z = z − a2

gln S0 et Ψ(x) =

On rajoute les deux équations : ∂tZ = 0 et ∂tΨ = 0

Nouvelle inconnue : W = (Z ,Ψ, M, D)t

Formulation non conservative

∂tW + ∂xΦ(x , W ) + g M ∂xZ + M (ln S0 − 1) c2 ∂xΨ = TS(W )

Φ(x , W ) =

M+ a2 M

TS(W ) =

−g K (A)D |D|

Z = z − a2

gln S0 et Ψ(x) =

Φ(x , W ) =

M+ a2 M

TS(W ) =

−g K (A)D |D|

Z = z − a2

gln S0 et Ψ(x) =

Φ(x , W ) =

M+ a2 M

TS(W ) =

−g K (A)D |D|

W = (Z ,Ψ, M, D)t

∂tW + B(x , W )∂xW = TS(W )

B(x , W ) =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 1

g M c2M ln S0(x) a(x)2 − u2 2 u

TS(W ) =

−g K (A)D |D|

Z et Ψ constant sur la maille mi

Schéma Volumes Finis décentré

W n+1i = W n

i −∆thi

(W ∗

i+1/2(0−, W n

i , W ni+1)

Φ(W ∗

i−1/2(0+, W n

i−1, W ni )

+∆t TSni

W n+1i = W n

i −∆thi

(W ∗

i+1/2(0−, W n

i , W ni+1)

Φ(W ∗

i−1/2(0+, W n

i−1, W ni )

+∆t TSni

W n+1i = W n

i −∆thi

(W ∗

i+1/2(0−, W n

i , W ni+1)

Φ(W ∗

i−1/2(0+, W n

i−1, W ni )

+∆t TSni

Problème de Riemann

W ∗i+1/2(ξ = x/t , W n

i , W ni+1) solution du problème de Riemann linéaire

∂tW + J ∂xW = 0

W = (Z ,Ψ, M, D) =

i = (Zi ,Ψi , Mni , Dn

i )t si x < 0W n

i+1 = (Zi+1,Ψi+1, Mni+1, Dn

i+1)t si x > 0

W n+1i = W n

i −∆thi

(W ∗

i+1/2(0−, W n

i , W ni+1)

Φ(W ∗

i−1/2(0+, W n

i−1, W ni )

+∆t TSni

Les termes de pentes Z et de vitesse du son Ψ n’apparaissent pasdirectement dans le schéma mais dans la solution du problème deRiemann

Problème de Riemann linéaire aux interfaces

∂tW + J ∂xW = 0

W = (Z ,Ψ, M, D) =

i )t si x < 0W n

i+1 = (Zi+1,Ψi+1, Mni+1, Dn

i+1)t si x > 0

J = J(W ni , W n

i+1) = B(

xi+1/2,W n

i + W ni+1

)de valeurs propres :

λ1 = λ2 = 0 , λ3 = uni+1/2 − ai+1/2 et λ4 = un

i+1/2 + ai+1/2 avec

uni+1/2 =

Di + Di+1

Mi + Mi+1, a2

i+1/2 =a2

i + a2i+1

2, et a2

i = c2Ψ(xi)

Problème de Riemann linéaire aux interfaces

∂tW + J ∂xW = 0

W = (Z ,Ψ, M, D) =

i )t si x < 0W n

i+1 = (Zi+1,Ψi+1, Mni+1, Dn

i+1)t si x > 0

Décentrement des pentes et des termes de vitesse du son

Mn,−i+1/2 = Mn

i +g Mn

2 ai+1/2 (ai+1/2 − uni+1/2)

(Zi+1 − Zi)+

i+1/2 ln(S0)i+1/2

2 ai+1/2 (ai+1/2 − uni+1/2)

(a2i+1 − a2

i+1/2 + ai+1/2

2 ai+1/2(Mn

i+1 −Mni )−

− 12 ai+1/2

(Dni+1 − Dn

Schéma Volume Fini explicite décentré

Schéma final

Schéma Volumes Finis explicite décentré

Un+1i − Un

F n,−i+1/2 − F n,+

i−1/2

hi= TSn

i 1 ≤ i ≤ N, n ≥ 0.

F n,±i+1/2 = F (U∗

i+1/2(0±, Un

i , Uni+1))

U∗i+1/2(0

±, Uni , Un

i+1) = (Mn,±i+1/2, Dn

i+1/2)t , TSn

(0,−g K (Ai)

Dni |Dn

Conditions aux limites ? Traitement proche de Kumbaro, Dubois.

Le schéma est soumis à une condition de CFL :

∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x

=⇒ Ecrire un schéma Volumes Finis décentré linéairement implicite,

=⇒ Ecrire un schéma d’ordre 2 en espace : méthode MUSCL deVan-Leer avec limiteur de pentes.

Schéma final

Un+1i − Un

F n,−i+1/2 − F n,+

i−1/2

hi= TSn

i 1 ≤ i ≤ N, n ≥ 0.

F n,±i+1/2 = F (U∗

i+1/2(0±, Un

i , Uni+1))

U∗i+1/2(0

±, Uni , Un

i+1) = (Mn,±i+1/2, Dn

i+1/2)t , TSn

(0,−g K (Ai)

Dni |Dn

∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x

Schéma final

Un+1i − Un

F n,−i+1/2 − F n,+

i−1/2

hi= TSn

i 1 ≤ i ≤ N, n ≥ 0.

F n,±i+1/2 = F (U∗

i+1/2(0±, Un

i , Uni+1))

U∗i+1/2(0

±, Uni , Un

i+1) = (Mn,±i+1/2, Dn

i+1/2)t , TSn

(0,−g K (Ai)

Dni |Dn

∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x

Sommaire

1 Motivations

Validation du modèle

Cas tests : coup de bélier se produisant à l’aval

Caractéristiques de la conduite

Longueur de la conduite circulaire en béton : 2000 m.Section : 2 m2. Epaisseur : 20 cm. Module de Young E = 23 109 Pa.Angle : 5. Altitude du haut de la conduite z0 = 250 m.

Conditions aux limites

Charge totale constante à l’amont : Ψ =u2

2+ c2 ln M0 + g z0 = 300.

Débit initial à l’aval : Q = 10 m3/s.On coupe le débit linéairement en 5 secondes.

Débit et hauteur piezométrique au milieu de la conduite.

piezo = z + δ + p with p =c2 (ρ− ρ0)

ρ0 g.

On compare avec la solution des équations d’Allievi produite par lecode belier fourni par EDF-CIH.

Ordre 1 vs ordre 2. Hauteur piezo et débit. Nx = 1000

Influence de la CFL

Nx = 1000

Influence de la CFL

Nx = 150

Influence de la CFL

Nx = 1000

Influence de la CFL

Nx = 150

Influence de la CFL

Calcul de la plus forte hauteur piezométrique.Le calcul de belier donne Pmax = 688.442.

CFL 1 2 5 10

Nx = 1000 688 685 680 6730.04% 0.4% 1.2% 2.2%

Nx = 150 677 669 655 6381.7% 2.8% 4.9% 7.3%

Conduite déformable

Variation de la section. CFL = 1 , Nx = 1000

Conduite à section variable

Comparaison conduite équivalente CFL = 1 , Nx = 1000

Sommaire

1 Motivations

Cas d’un écoulement mixte : le cas test de Wiggert

Dispositif expérimental

Données

1 Canal rectangulaire horizontal

2 Etat initial : eau au repos

3 Le niveau amont croît : montée en charge par l’amont

Cas d’un écoulement mixte : le cas test de Wiggert

Dispositif expérimental

Données

1 Canal rectangulaire horizontal

2 Etat initial : eau au repos

3 Le niveau amont croît : montée en charge par l’amont

Conclusions et perspectives

Modèle en adéquation avec les résultats attendus

Schéma implicite décentré d’ordre 2 robuste

Dilatation de la conduite prise en compte

Perspectives

Ecoulement mixte dans des conduites à sections variables etdéformables.

Ecoulement mixte dans des réseaux de conduites

Schéma cinétique

Entraînement d’air, mélange eau-air dans les écoulementsmixtes

Conclusions et perspectives

Modèle en adéquation avec les résultats attendus

Schéma implicite décentré d’ordre 2 robuste

Dilatation de la conduite prise en compte

Perspectives

Ecoulement mixte dans des conduites à sections variables etdéformables.

Ecoulement mixte dans des réseaux de conduites

Schéma cinétique

Entraînement d’air, mélange eau-air dans les écoulementsmixtes

etude d'écoulement d'eau en conduite forcée à section …gerbi/comm/jera2006.pdf ·...

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