Séance 2 : L’ELASTICITELes objectifs de la séance sont de comprendre :

1. comprendre le principe de l’élasticité (comment l’utiliser pour maximiser la recette totale)

2. apprendre à utiliser les outils du cours de mathématiques pour calculer ces élasticités.

3. La répartition de la charge d’une taxe

Chapitre à lire: 3

Rappel:

L’élasticité prix de la demande est définie par:

𝜂 𝑑 = −𝑑𝑞𝑑

𝑑𝑝

𝑝

𝑞𝑑= −

𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑞𝑑

𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑝= − ൚

𝑑𝑞𝑑

𝑞𝑑

𝑑𝑝𝑝

Remarques:

• Le signe moins permet d’obtenir un nombre positif (la formule pour l’élasticité de l’offre est identique sans le

signe moins qui n’est plus nécessaire)

• On peut calculer différente sorte d’élasticité (croisée, de l’offre etc…)

• Une demande parfaitement élastique (élasticité infinie) est horizontale, si l’on changement un tout petit peu

les prix, les quantités changent infiniment

• Une demande parfaitement inélastique (élasticité nulle) est verticale, si l’on changement un tout petit peu les

prix, les quantités ne changent pas du tout

A quoi sert l’élasticité ?

Souvent, à mesurer l’impact d’un changement des prix sur les quantités. On peut calculer l’élasticité de la demande où de l’offre par exemple et utiliser cette information pour comprendre, l’effet d’un changementdes prix sur la recette totale d’une firme.

Rappel:

L’élasticité prix de la demande est définie par:

𝜂 𝑑 = −𝑑𝑞𝑑

𝑑𝑝

𝑝

𝑞𝑑= −

𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑞𝑑

𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑝= − ൚

𝑑𝑞𝑑

𝑞𝑑

𝑑𝑝𝑝

𝑞𝑑 est la fonction de demande,𝑑𝑞𝑑

𝑑𝑝est la dérivée de la fonction de la demande par rapport aux prix où encore la

pente de la tangeante au point ou est évalué la demande,𝑑𝑞𝑑

𝑞𝑑est le taux de croissance des quantités demandées

et𝑑𝑝

𝑝est le taux de croissance des prix.

Il est important de connaitre chaque formule car elles ne sont pas interchangeables. En fonction des données de

l’énoncé, une seule des formulations pourra être utilisée en général.

On remarquera qu’en général, l’élasticité dépend du point où l’on calculi la demande. Un cas ou cela ne s’applique

pas est celui des fonctions de demande isoélastiques.

LE CONCEPT D’ÉLASTICITÉ

1. Un fabricant de meubles vend chaque année, en moyenne, 1.200 canapés. Sachant que l’élasticité prix de la demande pour ce type de salon vaut 1,25:

a) combien de canapés ce fabricant peut-il espérer vendre s’il hausse ses prix de 3% ?b) déterminez la variation de prix qu’il devra opérer si ce fabricant veut porter ses ventes annuelles à

1.320 canapés,

Avant de commencer à résoudre un exercice, il vaut souvent mieux retranscrire l’énoncé sous forme mathématique ou graphique

« l’élasticité prix de la demande vaut 1,25 » => 𝜂 𝑑= − ൙𝑑𝑞𝑑

𝑞𝑑

𝑑𝑝

𝑝

=1,25

De plus, de l’énoncé a), on définit: 𝑑𝑝

𝑝=3%. Sachant que l’on se trouve au point où 𝑞𝑑=1200, on peut en déduire 𝑑𝑞𝑑:

𝑑𝑞𝑑 = −𝜂 𝑑𝑑𝑝

𝑝𝑞𝑑 = −1,25 ∗ 0,03 ∗ 1200 = −45

Cela signifie que le nombre de canapé vendu diminuera de 45 si les prix augmentent de 3% (1155 canapés vendus).

b) Ce fabricant veut vendre 1320 canapés ( en vendre 120 de plus 𝑑𝑞𝑑 = 120). A partir de la formule de base, on peut écrire:

𝑑𝑝

𝑝= −

1

𝜂 𝑑

𝑑𝑞𝑑

𝑞𝑑= −

1

1,25

120

1200= −0,08

Les prix doivent diminuer de 8% par rapport à leur valeur initiale.

Questions supplémentaires

Quelles sont les élasticités des fonctions de demande suivantes ?

1. 𝑃 = 𝑎 − 𝑏𝑄, où a et b sont des constantes positives;

2. 𝑃 = 𝑎𝑄− Τ1 𝜀, où a et 𝜀 sont des constantes positives;

3. 𝑄 = 𝑏𝑃−𝜃 où b et 𝜃 sont des constantes positives;

4. De la demande agrégée et des demandes individuelles, sachant qu’il y a deux consommateurs et que les fonctions de demande individuelles sont: 𝑞 = 1 − Τ𝑃 2

𝑃 = 𝑎 − 𝑏𝑄 => 𝑄 =𝑎−𝑃

𝑏et 𝜂 𝑑 = −

𝑑𝑄

𝑑𝑃

𝑃

𝑄=

1

𝑏

𝑃

𝑄

C’est une droite linéaire, la valeur de l’élasticité dépendra du point sur la droite considéré.

𝑷 = 𝒂𝑸− ൗ𝟏 𝜺, où a et 𝜺 sont des constantes positives;

𝑃 = 𝑎𝑄− Τ1 𝜀=> 𝑄 =1

𝑎

−𝜀𝑃−𝜀

𝜂 𝑑 = −1

𝑎

−𝜀

∗ −𝜀 ∗ 𝑃−𝜀−1𝑃

𝑄= −

1

𝑎

−𝜀

∗ −𝜀 ∗ 𝑃−𝜀−1𝑃

1𝑎

−𝜀

𝑃−𝜀= 𝜀

C’est une courbe à élasticité constante, sa valeur ne change pas peu importante le point sur la courbe considéré.

𝑷 = 𝒂 − 𝒃𝑸, où a et b sont des constantes positives;

𝑸 = 𝒃𝑷−𝜽, où b et 𝜽 sont des constantes positives;

De la demande agrégée et des demandes individuelles, sachant qu’il y a deux consommateurs et que les fonctions de demande individuelles sont: 𝒒 = 𝟏 − Τ𝑷 𝟐

La dérivée de la demande individuelle par rapport aux prix est 𝑑𝑞

𝑑𝑃= − Τ1 2

Et celle de la demande agrégée est: Q= 𝑞 + 𝑞 = 2 1 − Τ𝑃 2 = 2 − 𝑃 est 𝑑𝑄

𝑑𝑃= −1

Les élasticités seront donc respectivement: 𝜂 𝑑 = −𝑑𝑞

𝑑𝑃

𝑃

𝑞= Τ1 2

𝑃

𝑞et 𝜂 𝑑 = −

𝑑𝑄

𝑑𝑃

𝑃

𝑄=

𝑃

𝑄

Cette fonction est la même que celle considérée précédemment lorsque 𝜃= 𝜀 et 𝑏 = 𝑎− Τ1 𝜀. De manière

générale, on les écrira toujours sous la forme Q=… avant de calculer la dérivé par rapport aux prix.

2. Si l'offre du bien X est parfaitement inélastique et que le prix d'un bien substitut à X diminue, alors, pour le bienX on a que (toutes autres choses étant égales par ailleurs):a) la quantité d'équilibre augmente et le prix diminue ;b) la quantité d'équilibre reste constante et le prix diminue ;c) la quantité d'équilibre diminue et le prix reste constant ;d) la quantité d'équilibre augmente et le prix reste constant ;e) aucune des propositions ci-dessus n’est exacte.

Offre parfaitement inélastique si le prix change, le producteur ne modifie pas la quantité qu’il offre

la droite d’offre est verticale

les quantités échangées (achetées et vendues) ne dépendent pas du prix

Le prix d'un bien substitut à X diminue la demande de ce bien augmente et les consommateurs achètent plus de ce

bien au détriment du bien X Déplacement de la droite de demande de X vers la gauche

a) Faux, la quantité ne change pas

b) Vrai

c) Faux

d) Faux

e) Faux

DEFINITIONS:

RECETTE TOTALE = PRIX*QUANTITÉS

RECETTE TOTALE = P*Q

RECETTE MARGINALE = RECETTE ADDITIONNELLE PROCURÉE PAR LA VENTE D’UNE UNITE SUPPLÉMENTAIRE

RECETTE MARGINALE = 𝒅𝑹𝑻

𝒅𝑸

Une fonction de demande est dite élastique si un changement de prix (en %) implique un changement plus que

proportionnel dans les quantités (en %)

Une fonction de demande a une élasticité unitaire si un changement de prix (en %) implique un changement

parfaitement proportionnel dans les quantités (en %)

Une fonction de demande est dite inélastique si un changement de prix (en %) implique un changement moins que

proportionnel dans les quantités (en %)

élastiquepositive

augmenter plusaugmenter

inélastiquenégative

augmenter moinsdiminuer

unitairenulle

Question supplémentaire:Pour le graphique présenté ici, indiquez ce que doit faire une entreprise (augmenter où diminuer les prix) selon si elle se trouve dans la zone 1,2 ou 3 ?

Attention, ce graphique correspond au cas d’une demande linéaire

La relation entre élasticité et recette totale

On peut monter qu’il existe une relation entre recette marginale et élasticité de la demande. Si on ne connait pas la

fonction de demande mais que l’on connait son élasticité, une telle relation peut être utile pour déterminer si l’on

maximise sa recette totale.

RM=P 1 −1

𝜂

Où 𝜂 est l’élasticité de la demande (et positive), 𝜂 = −𝑑𝑄

𝑑𝑃

𝑃

𝑄. Comment retrouver cette formule ?

RT=P.Q => RM=𝑑𝑅𝑇

𝑑𝑄= 𝑃 +

𝑑𝑃

𝑑𝑄𝑄

=> RM=𝑃 1 +𝑑𝑃

𝑑𝑄

𝑄

𝑃= 𝑃 1 +

1

−𝜂= 𝑃 1 −

1

𝜂

De la, on peut en déduire les résultats suivants:

• RM>0 si 𝜂>1

• RM=0 si 𝜂=1

• RM<0 si 𝜂<1

Faites l’exercice supplémentaire ou un vendeur fait face à une élasticité de 3/2 pour un prix de vente de 90 pour vous convaincre

de l’utilité de cette formule

3. Calculez l’élasticité de la demande au point A sur le graphique ci-dessous.

P

Q

D

90

27

100 70

A

𝑅𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙: 𝜂 𝑑 = −𝑑𝑄

𝑑𝑃

𝑃

𝑄

𝑑𝑄

𝑑𝑃est la pente de la tangente à la courbe de demande et P et Q sont connues.

𝑑𝑄

𝑑𝑃=0 − 100

90 − 0=

70 − 0

27 − 90≈ −1,111111111

Attention, il vaut souvent mieux conserver les valeurs exactes !

D’où 𝜂 𝑑= −𝑑𝑄

𝑑𝑃

𝑃

𝑄= −(

70−0

27−90)27

70= −(

7∗10−0

3∗9−10∗9)

3∗9

7∗10=

3

7

On aurait pu également utiliser la formule décrite au slide précédent. Il est important toutefois de

comprendre les différentes manières de calculer les élasticités pour faire face à des énoncés différents.

RECETTE TOTALE ET RECETTE MARGINALE

4. En partant du point présenté dans l’exercice 3, si le prix du bien augmente, alors (localement) : a) la recette totale augmente ;b) la recette totale diminue ;c) la recette totale reste constante ;d) on ne peut rien dire ;e) aucune des propositions ci-dessus n’est exacte.

On a montré précédemment que l’élasticité de la demande est inférieure à 1( 𝜂 𝑑=3

7). De là, et à partir du slide

précédant, on peut en déduire que la recette totale augmente lorsque le prix du bien augmente.

La recette marginale (RM) est négative, et en augmentant P, Q diminue mais moins vite que P n’augmente, de

sorte que la recette totale P*Q augmente.

a) est donc la seule proposition exacte

5. Un ancien étudiant vous confie que la droite de demande s’exprime par l’équation P = 10 - 2Q. Il ne se souvient plus

du prix ni des quantités vendues mais, il se rappelle que pour ce couple (P;Q), l’élasticité prix de la demande valait 2/3.

a) Sur base des informations ci-dessus, retrouvez les valeurs de P et de Q;

b) Cet ancien étudiant maximisait-il sa recette totale pour ce couple (P;Q)? Si non, quels devraient être le prix et les

quantités demandées pour que la recette totale soit effectivement maximale ?

a) 𝑃 = 10 − 2𝑄 peut s’écrire 𝑄 = 5 −𝑃

2, d’où

𝑑𝑄

𝑑𝑃= −

1

2

A partir de la définition, 𝜂 𝑑 = −𝑑𝑄

𝑑𝑃

𝑃

𝑄, et 𝜂 𝑑 =

2

3on a: −

𝑑𝑄

𝑑𝑃

𝑃

𝑄=

2

3=>

𝑃

𝑄=

4

3

Les valeurs de P et Q recherchées satisfont l’égalité précédente, mais également l’équation de la droite de demande,

et elles peuvent être obtenues à partir de la résolution du système suivant: ቐ𝑃 =

4

3𝑄

𝑃 = 10 − 2𝑄=> P=4 et Q=3

b) La recette totale n’est pas maximisée 𝜂 𝑑 ≠ 1 . Pour trouver la solution, il faut résoudre 𝑑𝑅𝑇

𝑑𝑄= 𝑅𝑀 = 0

𝑅𝑇 = 𝑃𝑄 = 10 − 2𝑄 𝑄 = 10𝑄 − 2𝑄2 => 𝑑𝑅𝑇

𝑑𝑄= 10 − 4Q et

𝑑𝑅𝑇

𝑑𝑄= 0 10 − 4Q = 0 Q=2,5

En utilisant l’equation de la droite de demande, on a 𝑃 = 10 − 2 ∗ 2,5 = 5

Remarque: Lorsque l’on calcule l’élasticité, il faut se rappeler que lorsque la demande n’est pas parfaitement

inélastique, P est une fonction de Q !

6. Considérons les deux droites suivantes: P = 20 - 5Q

P = 5Q

Déterminez la ou les affirmations exactes:a) A l’équilibre, l’élasticité de l’offre est unitaire ;b) A l’équilibre, la recette marginale est nulle ;c) Pour tout prix supérieur au prix d’équilibre, la recette marginale est strictement positive ;d) Pour tout prix inférieur au prix d’équilibre, la recette marginale est strictement positive ;e) Aucune des propositions ci-dessus n’est exacte.

1 - Calcul de l’équilibre:

20 − 5𝑄 = 5𝑄 => 𝑄∗ = 2 et 𝑃∗ = 10

2 – Elasticité de l’offre:

𝜂 𝑜 =𝑑𝑄

𝑑𝑃

𝑃

𝑄, en utilisant l′équation d′offre cette fois − ci, on a:

𝑑𝑄

𝑑𝑃=1

5

𝜂 𝑜 =1

5

10

2= 1 => L’élasticité de l’offer est bien unitaire, a) est exacte.

3- Recette marginale:

𝑅𝑀 =𝑑𝑅𝑇

𝑑𝑄= 20 − 10𝑄 => La recette marginale à l’équilibre est: 𝑅𝑀∗ = 20 − 10 ∗ 2 = 0

=> RM=0 donc la recette marginale est maximisée et l’élasticité de la demande est unitaire

A partir des résultats ci-dessus et du graphique précédant, on peut en conclure que a), b) et c) sont exactes.

Remarque:On aurait également pu utiliser le résultatintroduit à la page 63 du syllabus théorique pourrésoudre l’exercice précédant

Facteurs determinants l’élasticité d’une demande:

• Les biens de première nécessité sont peu élastiques• Les drogues sont peu élastiques• Plus la catégorie de bien considérée est large et aggrégée, moins la demande est élastique. Ex: L’élastiticité

des voiture Toyota est supérieur à l’élasticité des voitures automobiles. En effet, si le bien est facilementsubstitutable, la demande pour ce bien est fort élastique

• Plus faible est la part du revenue consacré à un bien, moins la demande pour ce bien est élastque (et inversement). La demande pour les lacets de chaussures est certainement moins élastique que la demanded’automobile.

• Plus la concurrence est importante sur un marché, plus la demande individuelle pour chaque firme sera élastique. Lorsque le degré de competition tend vers la competition parfait, la demande est parfaitementélastique (horizontale).

Demande élastique Demande inélastique

Plats prépréparés 2,27 Gaz, électricité, eau 0,92

Metaux 1,52 Pétrole 0,91

Fournitures, bois 1,25 Boisson 0,78

Véhicules motorisés 1,14 Tabac 0,61

Transport 10,3 Viande 0,2

Répartition de la charge d’une taxe

Soit une taxe T, on a 𝑃𝐴 = 𝑃𝑉 + 𝑇 si la charge est payee par l’acheteur et 𝑃𝐴 + 𝑇 = 𝑃𝑉 si la charge est payée par le

vendeur. La totalité des recette fiscales est égale à Q*T. Il est important de différencier qui paye la taxe car si c’est le

consommateur, alors la demande diminue, et si c’est le producteur alors l’offre diminue. La charge économique ne mesure

pas ce qui est payé mais les pertes de bien-être.

Taxes et subsides

7. Considérons le marché du bien X. La demande et l’offre y ont pour équations :

P = 10 – Q

P = 2Q + 1

L’Etat décide d’instaurer une taxe unitaire de 3 euros payable par l’acheteur.

a) Déterminez le prix et les quantités échangées à l’équilibre avant l’instauration de la taxe ; 𝑃𝐸 = 7 et 𝑄𝐸 = 3

b) déterminez, après l’instauration de la taxe:- la nouvelle courbe de demande qui s’exprimera sous la forme : D PV = a – b Q

- PA (le prix d’équilibre, taxe comprise, payé par l’acheteur),- PV (le prix net, taxe déduite, perçu par le vendeur), et- les quantités échangées à l’équilibre ;- la recette générée par la taxe.

La relation importante à trouver pour résoudre cet exercice est: 𝑃𝐴 = 𝑃𝑉 + 3. 𝑃𝐴 est le prix payé par le

consommateur (demande) et 𝑃𝑉, celui reçu par le producteur (offre)

𝑃𝐴 = 10 − 𝑄 => 𝑃𝑉 + 3 = 10 − 𝑄 => 𝑃𝑉 = 7 − 𝑄

ቊ𝑃𝑉 = 7 − 𝑄𝑃𝑉 = 2𝑄 + 1

=> 7 − 𝑄 = 2𝑄 + 1=> 𝑄 = 2 et 𝑃𝑉 = 5 et 𝑃𝐴 = 8

La recette générée par la taxe est le revenue obtenue par le gouvernement grace a cette taxe, on l’obtient

en calculant 𝑇 ∗ 𝑄 = 3 ∗ 2 = 6

c) déterminez la charge économique générée par l’instauration de la taxe:• pour l’acheteur,• pour le vendeur.

Les quantités étant parfaitement fixes, l’acheteur ne supporte aucune charge. Exemple : si on avait eu Q=3 comme

droite d’offre, alors avant taxe PA=PV=7. Après taxe P’v=7-3=4 et P’A=7=PA.

Charge économique = Q’*ΔP, soit

a. Pour l’acheteur=(8-7)*2 =2

b. Pour le vendeur=(7-5)*2=4

d) quelle serait la charge économique pour l’acheteur si l’offre était parfaitement inélastique ?

De manière générale, on distinguera:

• les cas où la taxe est payée par l’acheteur où par le vendeur (si c’est la demande où l’offre qui se

déplace )

• le prix de vente et le prix d’achat qui ne sont plus identiques comme dans le cas général, afin de

déterminer l’équilibre

• comment se répartit la charge économique de la taxe entre les individus (dans l’exercice précédent,

seul le consommateur paye la taxe, mais celle-ci a un coût pour le vendeur également qui va réduire

son volume de vente).

• Règle générale : c’est toujours le côté le plus inélastique qui supporte la majeure partie de la charge.

• Le triangle de Haberberg mesure la perte de bien être pour l’ensemble de la société.

Exercices supplémentaires:

• Soit un marché où l’élasticité de la demande est de 3/2 et où le prix de vente est de 90 euros. Quel est la valeur

de la recette marginale ?

• Soit un marché où la fonction de demande est définie par 𝑄 = 𝑎𝑃−𝜀, 𝜀 > 0. La recette marginale d’un producteur

travaillant sur ce marché sera-t-elle positive, négative où nulle à l’équilibre ?

• Soit un producteur dont la recette marginale est de 1 et ayant fixé son prix à P=2. Quelle est l’élasticité de la

demande correspondante ?