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PT* G.Eiffel Programme des colles de mathématiques : 2016/2017
Semaine no 2 : du lundi 19 septembre au samedi 24 septembre
Révisions d’analyse de PTSI
Théorèmes généraux d’analyse réelle. Fonctions usuelles. Développements limités et applications.
Révisions sur le calcul intégral de PTSI
Théorème fondamental : lien avec les primitives. Propriétés. Techniques de calcul. Intégrale fonction de ses
bornes. Sommes de Riemann.
Intégrales généralisées
– Notion d’intégrale impropre : premiers exemples, définitions. Intégrale faussement impropre. Intégrales de
référence : intégrales de Riemann,
∫1
0ln(t )d t ,
∫+∞
0e−at d t . Propriétés.
– Cas des fonctions positives : relation entre la convergence ou la divergence des intégrales de f et de g dans
le cas où f ≤ g et dans le cas ou f ∼ g
– Calculs d’intégrales généralisées : intégration par parties, changement de variables (ϕ bijective, de classe C1
et strictement monotone)
– Fonctions intégrables : f continue sur I est intégrable sur I (de bornes a et b) si
∫b
a| f (t )|d t converge. Si
f : I →K est intégrable sur I , alors
∫
If converge. Propriétés. Théorèmes de comparaison par o() et O().
Points de cours, méthodes et exercices à comprendre et connaître par cœur :
1. Soient a < b deux réels, et f : [a,b] → [a,b]. Montrer que si f est continue sur [a,b] alors il existe x0 ∈ [a,b]
tel que f (x0) = x0.
2. Montrer que ∀x 6= 0, arctan(x)+arctan
(
1
x
)
= si g ne(x)× π
2
3. Pour n ∈N∗ on considère le polygone régulier à n sommets A0, A1, . . . , An−1 inscrit dans le cercle trigono-
métrique, avec A0(1,0).
Déterminer limn→+∞
1
n
n−1∑
k=1A0 Ak .
4. Si f : I →K est intégrable sur I , alors
∫
If converge.
5. Convergence et calcul de
∫+∞
0e−x cos(x)d x en passant par les nombres complexes.