Rotationnel du rotationnel

Dans le cadre de l'analyse vectorielle, on peut être amenéà calculer le rotationnel d'un rotationnel.

1 Formule classique en espace plan

La formule classique pour un vecteur A quelconque est :

∇ ∧ (∇ ∧A) = ∇(∇ ·A)−∆A,

la seconde partie de l'expression faisant intervenirl'opérateur laplacien vectoriel.

1.1 Démonstration

La démonstration de cette formule se fait par évaluationdirecte de l'opérateur rotationnel appliqué deux fois. Ain-si, en coordonnées cartésiennes, les composantes du ro-tationnel d'un vecteur A quelconque s’écrivent :

∇ ∧A =

∂yAz − ∂zA

y

∂zAx − ∂xA

z

∂xAy − ∂yA

x

En appliquant le rotationnel une seconde fois, il vient

∇∧(∇∧A) =

∂y(∂xAy − ∂yA

x)− ∂z(∂zAx − ∂xA

z)∂z(∂yA

z − ∂zAy)− ∂x(∂xA

y − ∂yAx)

∂x(∂zAx − ∂xA

z)− ∂y(∂yAz − ∂zA

y)

En regroupant les termes, on obtient

∇∧(∇∧A) =

−∂yyAx − ∂zzA

x + ∂xyAy + ∂xzA

z

−∂xxAy − ∂zzA

y + ∂yzAz + ∂yxA

x

−∂xxAz − ∂yyA

z + ∂zxAx + ∂zyA

y

Dans chacune des composantes i, les termes négatifs cor-respondent à deux des composantes du laplacien de Ai,auxquelles il manque la dérivée seconde de Ai par rap-port à la ie composante. Ainsi, on a

∇∧(∇∧A) =

−∆Ax + ∂xxAx + ∂xyA

y + ∂xzAz

−∆Ay + ∂yyAy + ∂yzA

z + ∂yxAx

−∆Az + ∂zzAz + ∂zxA

x + ∂zyAy

Outre le terme en laplacien, tous les autres termes dela composante i font intervenir une dérivée seconde quichaque fois contient au moins une dérivée par rapport àla ie composante. Par ailleurs, le terme dont on prend ladérivée par rapport à cette ie coordonnée est toujours lemême, et correspond à la divergence de A. On obtientdonc comme annoncé

∇ ∧ (∇ ∧A) = ∇(∇ ·A)−∆A.

1.2 Une autre démonstration

On peut directement exprimer les composantes d'un ro-tationnel, de façon formelle, à l'aide du symbole de Levi-Civita ε :

(∇ ∧A)i = εijk∂jAk

en utilisant la convention d'Einstein, c'est-à-dire la som-mation implicite sur tous les indices se répétant deux foisd'un côté de l'équation (en l'occurrence ici les indices j etk à droite). Le double rotationnel est ainsi

(∇ ∧ (∇ ∧A))i = ϵijk∂j(ϵklm∂lAm)

On utilise ensuite une relation connue sur le produitde deux symboles de Levi-Civita faisant intervenir lesymbole de Kronecker δ, soit

εijkεimn = δjmδkn − δjnδkm

Avec les propriétés d'antisymétrie de ces symboles, onobtient ici

εijkεklm = δilδjm − δimδjl

ce qui donne

(∇ ∧ (∇ ∧A))i = (δilδjm − δimδjl)∂jlAm

expression que l'on peut simplifier en

(∇ ∧ (∇ ∧A))i = ∂miAm − ∂jjA

i

1

2 5 NOTE

Le premier terme correspond comme attendu du gradientde la divergence deA et le second au laplacien scalaire deses composantes, d'où à nouveau la formule

∇ ∧ (∇ ∧A) = ∇(∇ ·A)−∆A.

2 Formule en espace courbe

La formule classique peut être adaptée à un espace dotéd'une métrique quelconque. Dans ce cas, la forme connaîtdes modifications issues du fait que les dérivées partielles∂ doivent être remplacées par des dérivées covariantesque l'on notera ici D, et que celles-ci ne commutent pas.Dans ce cas, en reprenant la seconde démonstration ci-dessus, on obtient, pour des vecteurs[1] :

(∇ ∧ (∇ ∧A))i = DmiAm −DjDjA

i.

Le second terme du membre de droite correspond au la-placien vectoriel, mais le premier ne correspond pas augradient de la divergence, car l'ordre des dérivées cova-riantes est inversé. En utilisant la formule de commuta-tion des dérivées covariantes en fonction du tenseur deRiemann Rijkl, on obtient

(DiDj −DjDi)Ak = Rk

lijAl

ce qui donne en contractant les indices i et k,

(DkDj −DjDk)Ak = Rk

lkjAl = RljA

l

où Rlj représente le tenseur de Ricci. En utilisant cetteformule, on obtient

(∇ ∧ (∇ ∧A))i = DimAm −DjDjAi +RikA

k.

3 Applications en physique

Le rotationnel du rotationnel intervient quand on étudieles solutions dans le vide des équations de Maxwell. Ceséquations s’écrivent, dans le vide,

∇ ·E = 0

∇ ·B = 0

∇ ∧E = −∂B

∂t

∇ ∧B =1

c2∂E

∂t

avec les notations usuelles E pour le champ électrique,B pour le champ magnétique et c pour la vitesse de lalumière. Pour résoudre une telle équation, on peut parexemple prendre le rotationnel de la quatrième et la déri-vée temporelle de la troisième. Il vient alors

∇ ∧ ∂E

∂t= −∂2B

∂t2

∇ ∧ (∇ ∧B) =1

c2∇ ∧ ∂E

∂t

La combinaison des deux donne alors immédiatement

∇ ∧ (∇ ∧B) = − 1

c2∂2B

∂t2

En utilisant la formule du rotationnel du rotationnel, ontrouve

∇(∇ ·B)−∆B = − 1

c2∂2B

∂t2

Comme par ailleurs la divergence du champ magnétiqueB est identiquement nulle, il reste

(1

c2∂2

∂t2−∆

)B = 0

Les solutions non triviales à ces équations sont les ondesélectromagnétiques se propageant (ici dans le vide) à lavitesse c.

4 Liens• Identités vectorielles

5 Note[1] Dans ce cas de figure, il faut préciser si l'opérateur agit sur

des vecteurs covariants ou contravariants, c'est-à-dire surdes vecteurs ordinaires ou des formes linéaires

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6.1 Texte• Rotationnel du rotationnel Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnel_du_rotationnel?oldid=116047625 Contributeurs : Phe-bot,Bibi Saint-Pol, Zetud, Alain r, Jerome66, Flo, Chaps the idol, PetaRZ, Ambigraphe, Kelam, ZetudBot, Anne Bauval, ThibautLienart,Vincemaths, Arbautjc, Boulou 33 et Anonyme : 6

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