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Rhéologie
Georges Cailletaud
Centre des MatériauxMINES ParisTech/CNRS
Plan
Plan
1 Essais mécaniquesStructuresEléments de volume
2 Modèles rhéologiquesLes briques de basePlasticitéViscoélasticitéElastoviscoplasticité
3 Bilan
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 2 / 52
Plan
1 Essais mécaniquesStructuresEléments de volume
2 Modèles rhéologiquesLes briques de basePlasticitéViscoélasticitéElastoviscoplasticité
3 Bilan
Essais mécaniques Structures
Tests d’un avion civil
www.mts.com
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 4 / 52
Essais mécaniques Structures
Vibration d’une aile
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Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 5 / 52
Essais mécaniques Structures
Structures biologiques
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Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 6 / 52
Essais mécaniques Structures
Structures biologiques
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Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 7 / 52
Essais mécaniques Structures
Alimentaire
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Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 8 / 52
Plan
1 Essais mécaniquesStructuresEléments de volume
2 Modèles rhéologiquesLes briques de basePlasticitéViscoélasticitéElastoviscoplasticité
3 Bilan
Essais mécaniques Eléments de volume
Machines d’essai
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Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 10 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Compression du gypse
Doc. Mines Paris-Géosciences Plus de détails sur site mms2.ensmp.fr
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 11 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Résultat de compression du gypse
Doc. Mines Paris-Géosciences
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 12 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Traction sur fibre
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Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 13 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Traction sur alliage métallique
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Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 14 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Essais mécaniques
Les essais de base
Matériaux dont le comportement est insensible à la vitesse de sollicitationEssai de traction, ou essai d’écrouissageEssai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue
Matériaux dont le comportement est sensible à la vitesse de sollicitationEssai à contrainte constante, ou essai de fluageEssai à déformation constante, ou de relaxation
Autres essais
Essais sous chargement multiaxialTraction–torsionPression interne ou externe
Essais en flexion
Essais de fissuration
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 15 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Résultat de traction sur un alliage d’aluminium
Domaine d’élasticité «vrai», limite d’élasticité conventionnelle, σ0.2, qui donne0.2% de déformation résiduelle à la décharge
Contrainte ultime, σu
0.2% residual strainElastic slope
Tension curve
ε(mm/mm)
σ(M
Pa)
0.040.030.020.010
600
500
400
300
200
100
0
E=78000 MPa, σ0.2=430 MPa, σu=520 MPa Doc. Mines Paris-CDM, Evry
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 16 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Résultat de traction sur un acier inoxydable
Matériau présentant un écrouissage important : possibilité de durcissement dansle domaine plastique, augmentation de la limite d’élasticité courante
0.2% residual strainElastic slope
Tension curve
ε(mm/mm)
σ(M
Pa)
0.080.070.060.050.040.030.020.010
600
500
400
300
200
100
0
E=210000 MPa, σ0.2=180 MPa, σu=660 MPa Doc. ONERA-DMSE, Châtillon
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 17 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Traction et compression sur un alliage d’aluminium
Essai à déformation imposée symétrique ± 0.3%A contrainte nulle, il reste une déformation positiveA déformation nulle, la contrainte est devenue négative
ε(mm/mm)
σ(M
Pa)
0.0050.0030.001-0.001-0.003-0.005
300
200
100
0
-100
-200
-300
Doc. Mines Paris-CDM, Evry
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 18 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Modèles schématisant les résultats précédents
σ
σ y
E
0 εa. Élastique–parfaitement plastique
ε0
E
TE
σ
σy
b. Élastique–plastique linéaire
Module élastoplastique, ET = dσ/dε.
ET = 0 : matériau élastique-parfaitement plastique
ET constant : matériau élasto-plastique linéaire
Et fonction de la déformation dans le cas général
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 19 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Fonctionnement d’un modèle de plasticité instantanée
0 0’
A
B
ε
σ
Régime élastiqueOA, O’B
Ecoulement plastiqueAB
Déformation résiduelleOO’
Décomposition de la déformation, ε = εe + εp ;
Domaine d’élasticité, à définir par une fonction de charge f
Ecrouissage, à définir par des variables d’écrouissage, AI .
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 20 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Résultat de traction sur un acier à haute température
Effet de la viscosité : Comportement sensible à la vitesse de déformation
ε = 1.6 10−5s−1ε = 8.0 10−5s−1ε = 2.4 10−4s−1
725◦C
ε
σ(M
Pa)
0.10.080.060.040.020
80
60
40
20
0
Doc. Ecole des Mines, Nancy
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 21 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Essai de fluage sur fil étain-plomb
Voir l’exercice
Mines Paris-CDM, Evry
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 22 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Résultat de fluage sur une fonte (1)
σ=25MPaσ=20MPaσ=16MPaσ=12MPa
t (s)
εp
10008006004002000
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
Doc. Mines Paris-CDM, Evry
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 23 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Représentation schématique d’une courbe de fluage
Fluage primaire , période de durcissement du matériau (écrouissage)
Fluage secondaire , ou stabilisé : εp est une fonction puissance de lacontrainte appliquée
Fluage tertiaire , ou perte de résistance conduisant à la rupture, décritepar des variables d’endommagement
pε
III
III
t
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 24 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Résultat de fluage sur une fonte (2)
T=800◦CT=700◦CT=600◦CT=500◦C
σ (MPa)
εp(s−1
)
100101
0.001
0.0001
1e-05
1e-06
1e-07
1e-08
Doc. Mines Paris-CDM, Evry
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 25 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Essai de relaxation
On impose une déformation constante en fonction du temps
Pendant l’essai :ε = 0 = ε
p + σ/E
dεp =−dσ/E
Pour une déformation positive, la déformation viscoplastique augmente pendantque la contrainte diminue
La valeur asymptotique de la contrainte est nulle (relaxation totale) ou non(relaxation partielle)
Relaxation partielle s’il existe une contrainte interne ou contrainte seuil dans lematériau,
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 26 / 52
Essais mécaniques Eléments de volume
Représentation schématique d’une courbe de relaxation
Le point représentatif est obtenu comme la somme de la contrainte seuil σs et dela contrainte visqueuse σv
La contrainte seuil représente un comportement plastique qui peut être atteintasymptotiquement lorsque la vitesse tend vers zéro
σv
pε
σs
t
σ σ
E
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 27 / 52
Plan
1 Essais mécaniquesStructuresEléments de volume
2 Modèles rhéologiquesLes briques de basePlasticitéViscoélasticitéElastoviscoplasticité
3 Bilan
Modèles rhéologiques Les briques de base
Les briques de base pour les modèles de matériau
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 29 / 52
Modèles rhéologiques Les briques de base
Différents types de rhéologies
Plasticité indépendante du temps
ε = εe + ε
p dεp = f (...)dσ
Elasto-viscoplasticitéε = ε
e + εp dε
p = f (...)dt
ViscoélasticitéF(σ, σ,ε, ε) = 0
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 30 / 52
Plan
1 Essais mécaniquesStructuresEléments de volume
2 Modèles rhéologiquesLes briques de basePlasticitéViscoélasticitéElastoviscoplasticité
3 Bilan
Modèles rhéologiques Plasticité
Plasticité indépendante du temps
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 32 / 52
Modèles rhéologiques Plasticité
Modèle élastique–parfaitement plastique
Le régime de fonctionnement est défini par lafonction de charge f (de l’espace des contraintes dans R)
f (σ) = |σ|−σy
Domaine d’élasticitési f < 0 ε = ε
e = σ/E
Décharge élastique
si f = 0 et f < 0 ε = εe = σ/E
Ecoulement plastiquesi f = 0 et f = 0 ε = ε
p
La condition f = 0 est la condition de cohérence
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 33 / 52
Modèles rhéologiques Plasticité
Modèle de Prager
Fonction de charge à deux variables, σ et X
f (σ,X) = |σ−X |−σy avec X = Hεp
Ecoulement plastique si on vérifie à la fois f = 0 et f = 0.
∂f∂σ
σ+∂f∂X
X = 0
signe(σ−X) σ− signe(σ−X) X = 0 soit : σ = X
Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de contrainte
εp = σ/H
Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de déformation
εp =
EE +H
ε
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 34 / 52
Modèles rhéologiques Plasticité
Ecriture des équations de l’élastoplasticité uniaxiale
Domaine d’élasticitési f (σ,Ai) < 0 ε = σ/E
Décharge élastique
si f (σ,Ai) = 0 et f (σ,Ai) < 0 ε = σ/E
Ecoulement plastique
si f (σ,Ai) = 0 et f (σ,Ai) = 0 ε = σ/E + εp
La condition de cohérence s’écrit :
f (σ,Ai) = 0
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 35 / 52
Modèles rhéologiques Plasticité
Illustration des deux types d’écrouissage
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 36 / 52
Modèles rhéologiques Plasticité
Modèle d’écrouissage isotropeFonction de charge à deux variables, σ et R
f (σ,R) = |σ|−R−σy
R dépend de p, déformation plastique cumulée : p = |εp|dR/dp = H soit R = Hp
Ecoulement plastique ssi f = 0 et f = 0
∂f∂σ
σ+∂f∂R
R = 0
sign(σ) σ− R = 0 soit sign(σ) σ−Hp
Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de contrainte
p = sign(σ) σ/H soit εp = σ/H
Modèles classiquesRamberg-Osgood : σ = σy +Kpm
Loi exponentielle : σ = σu +(σy −σu)exp(−bp)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 37 / 52
Plan
1 Essais mécaniquesStructuresEléments de volume
2 Modèles rhéologiquesLes briques de basePlasticitéViscoélasticitéElastoviscoplasticité
3 Bilan
Modèles rhéologiques Viscoélasticité
Viscoélasticité
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 39 / 52
Modèles rhéologiques Viscoélasticité
Réponses élémentaires en viscoélasticité
Eléments en série, modèle de Maxwell : ε = σ/E0 +σ/η
Fluage sous une contrainte σ0 : ε = σ0/E0 +σ0 t /η
Relaxation à la déformation ε0 : σ = E0ε0 exp[−t/τ]
Eléments en parallèles, modèle de Voigt : σ = Hε+ηε ou ε = (σ−H ε)/η
Fluage sous une contrainte σ0 : ε = (σ0 /H)(1−exp[−t/τ′])
Les constantes τ = η/E0 et τ′ = η/H sont homogènes à un temps,τ désignant le temps de relaxation du modèle de Maxwell
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 40 / 52
Modèles rhéologiques Viscoélasticité
Modèles composés
a. Kelvin–Voigt
(E0)
(H)
(η)
b. Zener
(η)(E2)
(E1)
Réponses en fluage et en relaxation
ε(t) = C(t)σ0 =
(1
E0+
1H
(1−exp[−t/τf ])
)σ0
σ(t) = E(t)ε0 =
(H
H +E0+
E0
H +E0exp[−t/τr ]
)E0ε0
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 41 / 52
Plan
1 Essais mécaniquesStructuresEléments de volume
2 Modèles rhéologiquesLes briques de basePlasticitéViscoélasticitéElastoviscoplasticité
3 Bilan
Modèles rhéologiques Elastoviscoplasticité
Elasto-viscoplasticité
Schéma du modèle Réponse en traction
X = Hεvp
σv = ηεvp |σp|6 σy
σ = X +σv +σp
Domaine d’élasticité, dont la frontière est |σp|= σy
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 43 / 52
Modèles rhéologiques Elastoviscoplasticité
Equations du modèle
Trois régimes de fonctionnement
(a) εvp =0 |σp|= |σ−Hε
vp| 6σy
(b) εvp >0 σp =σ−Hε
vp−ηεvp =σy
(c) εvp <0 σp =σ−Hε
vp−ηεvp = −σy
(a) intérieur ou frontière du domaine d’élasticité (|σp| < σy )(b),(c) écoulement (|σp|= σy et |σp| = 0 )
On peut résumer les trois équations (en posant < x >= max(x ,0)) par
ηεvp = 〈|σ−X |−σy 〉 signe(σ−X)
ou :
εvp =
< f >
ηsigne(σ−X) , avec f (σ,X) = |σ−X |−σy
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 44 / 52
Modèles rhéologiques Elastoviscoplasticité
Fluage avec un modèle de Bingham
t
σ σo y-
H
εvp
Déformation viscoplastiqueen fonction du temps
σ
σ
Xo
y
σ
vpεEvolution dans le plancontrainte–déformation
viscoplastique
εvp =
σo−σy
H
(1−exp
(− t
τf
))avec : τf = η/H
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 45 / 52
Modèles rhéologiques Elastoviscoplasticité
Relaxation avec un modèle de Bingham
σ
H-E
vpε
σ
y
Relaxation
H
ε
Transitoire : OA = BC
Relaxation : AB
Effacementincomplet : CDO
A
B
DC
vp
Effacement
σ = σyE
E +H
(1−exp
(− t
τr
))+
Eεo
E +H
(H +E exp
(− t
τr
))avec : τr =
η
E +H
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 46 / 52
Modèles rhéologiques Elastoviscoplasticité
Ingrédients des modèles classiques de viscoplasticité
Modèle de Bingham
εvp =
< f >
ηsigne(σ−X)
Plus généralementε
vp = φ(f )
φ(0) = 0 et φ monotone croissante
εvp est nulle si le point courant se trouve dans le domaine d’élasticité ou sur lebord de celui-ci
εvp est non nulle si le point courant se trouve à l’extérieur du domaine d’élasticité
On distingue des modèles avec/sans seuil et avec/sans écrouissage
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 47 / 52
Modèles rhéologiques Elastoviscoplasticité
Modèles viscoplastiques sans écrouissage
Modèles sans seuil : le domaine d’élasticité peut se réduire à l’origine (σ = 0)Modèle de Norton
εvp =
( |σ|K
)n
signe(σ)
Modèle de Sellars-Tegart
εvp = Ash
( |σ|K
)signe(σ)
Modèles à seuilModèle de Perzyna
εvp =
⟨ |σ|−σy
K
⟩n
signe(σ) , εvp = ε0
⟨ |σ|σy−1
⟩n
signe(σ)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 48 / 52
Modèles rhéologiques Elastoviscoplasticité
Modèles viscoplastiques avec écrouissage
Notion d’écrouissage additif : le durcissement provient des variables quiexpriment le seuil (X et R)
εvp =
⟨ |σ−X |−R−σy
K
⟩n
signe(σ−X)
X désigne la contrainte interne, internal stress (écrouissage cinématique)R +σy désigne la contrainte de friction, friction stress (écrouissage isotrope)σv est la contrainte visqueuse, drag stress
Notion d’écrouissage multiplicatif : on fait varier la contrainte visqueuse, parexemple :
εvp =
( |σ|K (εp)
)n
signe(σ) =
( |σ|K0|εp|m
)n
signe(σ)
(écrouissage par la déformation, ou strain hardening)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 49 / 52
Bilan
En plasticité et en viscoplasticité...
Domaine d’élasticité défini par une fonction de charge f < 0
Variables d’écrouissage isotrope et cinématique
En plasticité :
Ecoulement défini par la condition de cohérence si f = 0, f = 0
Ecoulement plastique instantané :
dεp = g(σ, . . .)dσ
En viscoplasticité :
Ecoulement défini par la fonction de viscosité si f > 0
Possibilité d’écrouissage sur la contrainte visqueuse
Ecoulement viscoplastique retardé
dεvp = g(σ, . . .)dt
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 50 / 52
Bilan
Identification des essais sur le fil de brasure
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 1000 2000 3000 4000 5000
cree
p st
rain
time (s)
1534 g1320 g1150 g997 g720 g
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5000 10000 15000 20000 25000
stre
ss (
MP
a)
time (s)
expsim
Essais de fluage Relaxation ε=20%
Courbes obtenues avec un modèle de Norton
εp =
(σ
800
)2.3
J’essaie tout(e) seul(e) sur le site mms2.ensmp.fr O
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 51 / 52
Bilan
Identification du fluage du sel gemme
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4st
rain
time (Ms)
expsim
Eprouvette Essai à 3 niveaux (3, 6, 9 MPa)
Courbes obtenues avec un modèle de Lemaitre (strain hardening)
εp =
(σ
K
)n(εp + v0)
m
J’essaie tout(e) seul(e) sur le site mms2.ensmp.fr O
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 52 / 52