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Master 2 Physique, Concepts et Applications Stage 2012�2013École Normale Supérieure de Lyon Christoph CharlesUniversité Claude Bernard Lyon I M2 Physique

Renormalisation de modèles de mousses de spin

Résumé : Nous nous sommes intéressés à certaines approches non perturbatives de la gravitationquantique, les modèles de mousse de spin. Dans la recherche d'un modèle, bien que nous ayonsquelques candidats viables, leur comportement à l'échelle macroscopique est mal connu. L'étudeaux grandes échelles (coarse-graining) de ces modèles est donc un point important que nous avonstenté d'explorer au cours de ce stage. Nous avons principalement étudié quelques modèles simpli�ésen dimension inférieure et e�ectué quelques excursions avec des modèles plus réalistes en quatredimensions.

Mots clefs : Gravitation quantique, Renormalisation, Coarse-Graining, Spinfoams

Stage encadré par :Etera Livine

[email protected] / tél. (+33) 4 72 72 85 70Laboratoire de Physique ENS de Lyon46 allée d'Italie 69007 Lyon, FRANCEhttp://www.ens-lyon.fr/PHYSIQUE

31 juillet 2013

mailto:[email protected]

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Remerciements

Je remercie en premier lieu toute l'équipe administrative, notamment M. Calvet et Mme Boucher, pourleur travail formidable.J'aimerais également remercier la formation pour son soutien et ses conseils.En�n, je tiens à adresser un merci vraiment particulier à M. Livine, mon maître de stage. Il a su medonner un encadrement équilibré dans lequel je ne me sentais ni perdu, ni enfermé. Et c'est par lui quej'ai, en�n, véritablement découvert la recherche dans ce beau sujet qu'est la gravitation quantique.

Table des matières

1 Introduction 1

2 Travaux antérieurs - Exemple des théories 2D 1

2.1 Théorie BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Modèles de mousse de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Résolution des théories de mousse de spins 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Théorie 3D - Modèle de mousse de spins 4

3.1 Objet de l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Asymptotique du vertex 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Transformation 2-3 de Pachner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Transformation 1-4 de Pachner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Théorie 3D - Formalisme de connexion 9

4.1 Premier pas 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Flot de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Travaux complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Théorie 4D - Flot de renormalisation 12

5.1 Modèle de Barrett-Crane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Transformation de Pachner 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3 Flot de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Théorie 4D - Exploration 19

6.1 Modèle jouet 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Ansatz de point �xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Conclusion et perspectives 20

A Complément sur l'espace de Fourier - Fonctionnelle de bord 21

B Dérivées de l'action de Regge 21

B.1 Dérivées premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21B.2 Dérivées secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

C Modèle jouet 2D 23

C.1 Flot de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23C.2 Approximations rapides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24C.3 Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Références 26

Renormalisation de modèles de mousses de spin Christoph Charles

1 Introduction

Depuis la �n des années 80, une nouvelle branche de la gravitation quantique a vu le jour. Cetteapproche rompt avec d'autres possibilités envisagées auparavant en soutenant qu'une quanti�cation dela relativité générale est possible mais que les e�ets non pertubatifs sont importants. Le premier résultatde cette approche a été la gravitation quantique à boucle. Cette théorie est issue d'une quanti�cationcanonique de la relativité générale et surtout de l'identi�cation d'un espace de Hilbert pour les étatscinématiques de la théorie.

Le programme de quanti�cation canonique à la Dirac, aussi e�cace soit-il, ne respecte pas la covari-ance et encore moins la covariance générale. S'ensuivent des choix de jauge inévitables mais di�ciles àécrire précisément. Une nouvelle branche du programme de quanti�cation a donc été développée a�nde respecter l'invariance sous di�éomorphisme jusque dans la quanti�cation. Cette approche est la basede tous les modèles de mousse de spin 1.

Les modèles de mousse de spin travaillent en fait sur des triangulations de l'espace-temps. Chaquetriangle 2 est associé à une amplitude qui est l'analogue du coe�cient d'interaction dans les diagrammesde Feynman. Le problème est alors d'étudier un espace-temps constitué de nombreux triangles, c'est-à-dire d'étudier la théorie aux grandes échelles. En suivant les méthodes développées en matière con-densée, on peut s'intéresser à la renormalisation du modèle et ainsi espérer faire des prédictions.

En première partie, je présenterai plus en détails l'approche mousse de spin de la gravitation quan-tique et présenterai la théorie résolue BF de laquelle nous sommes partis. En particulier, j'expliciterailes résultats standards sur les théories 2D. Ensuite, je présenterai le travail que nous avons e�ectuéen dimension réduite (3D) en utilisant ces théories comme plate-formes de test. En�n j'aborderaisuccinctement quelques résultats obtenus en quatre dimensions.

2 Travaux antérieurs - Exemple des théories 2D

2.1 Théorie BF

Avant de nous pencher sur la gravitation, nous allons nous intéresser à des théories plus simples, lesthéories BF. Comme les théories de Yang-Mills, les théories BF sont des théories de connexion. Leurvariable principale est une connexion, notée dans la suite A, à valeur dans une algèbre de Lie g. Onpeut alors dé�nir la courbure que l'on notera F [A]. La théorie BF est la théorie la plus simple possible :on impose la platitude. Cela est fait via des multiplicateurs de Lagrange habituellement notés B. Ona donc une action :

SBF =

∫MB ∧ F [A] (1)

oùM est une variété (souvent supposée di�érentielle), B est une (n− 2)-forme à valeur dans g et ona implicitement utilisé la forme de Killing pour e�ectuer le produit extérieur.

Les théories BF ont une dynamique très simple, à tel point qu'elles sont topologiques. En ce quinous concerne, cela est parfait puisqu'en 2D et 3D, deux variétés di�érentielles sont homéomorphessi et seulement si elles sont di�éomorphes (voir [Pfe07]). En 2D, cela constituera donc de très bonnesthéories pour explorer la gravitation, invariante sous di�éomorphisme.

On cherche à écrire une théorie quantique de la gravitation ou pour notre exemple simpli�é, unethéorie BF quantique. Essayons de ne pas briser la covariance de la théorie et tentons l'approche parintégrale de chemin. On aimerait ainsi écrire :

A =

∫exp

(i

∫MB ∧ F [A]

)DBDA (2)

où A est l'amplitude de transition pour peu que l'on impose les valeurs de A et de B aux bords deM.

1. Pour plus de détails sur l'historique de la théorie et ces liens avec le programme de quanti�caton canonique,consulter [Rov10]

2. ou tétraèdre ou plus généralement n-simplex

1


En restant très imprécis sur le sens de tout cela, on peut poursuivre un peu le calcul :

A =

∫ ∏x∈M

δ (F [A](x))DA (3)

où le produit 3 de δ vaudrait 0 si F [A] est non nul au moins une fois. On a bien, même au niveauquantique, la platitude de la théorie.

Bien sûr, tout cela est peu (ou pas) rigoureux et on se demande comment traiter correctementun tel problème. Une première idée pourrait être de discrétiser le problème. On va donc choisir unetriangulation de M que l'on note ∆. On peut considérer le dual de cette triangulation et se limiteraux éléments de dimension inférieure à 2. Ce dual est appelé 2-complexe 4 dual et noté ∆∗. Lors de ladiscrétisation, la connexion A va être remplacé par des éléments ge du groupe de Lie G portés par lesarêtes de ∆∗. La courbure sera alors l'holonomie 5 ωf autour des faces de ∆∗. B sera toujours à valeurdans l'algèbre de Lie g et sera porté par les faces de ∆∗. On peut alors écrire l'action discrète :

SBF discrète =∑f∈∆∗

< Bf |ωf > (4)

où < | > désigne l'extension naturelle de la forme de Killing. On peut alors écrire l'intégrale de chemin :

A =

∫exp (iSBF discrète)

∏f∈∆∗

dBf∏e∈∆∗

dge (5)

Il vient désormais une question naturelle : le choix de la triangulation a-t-il son importance ? Est-ce,par exemple, une méthode de régularisation ? Auquel cas il faudra faire tendre le pas de la grille verszéro. Mais on peut aussi espérer que le résultat ne dépende pas de la triangulation. Pour cela, onpeut véri�er que le résultat est invariant sous transformation de Pachner. En e�et, pour passer d'unetriangulation à une autre, il su�t d'un nombre �ni de transformation de Pachner. Pour la théorie BF,il y a bien indépendance vis-à-vis de la triangulation. Cela peut se véri�er explicitement et donc, on aune bonne théorie quantique.

2.2 Modèles de mousse de spins

Comme pour toutes les théories de champs, il existe un point de vue dual à celui envisagé précédem-ment, qui s'obtient en passant dans l'espace de Fourrier. Reprenons notre intégrale de chemin discrète,en intégrant le champ B :

A =

∫ ∏f∈∆∗

δ(ωf )∏e∈∆∗

dge (6)

où δ représente le delta de Dirac pour les fonctions de G dans C. Encore une fois, il ne s'agit que del'équivalent discret 6 de formules vues précédemment.

On peut e�ectuer la transformation de Fourrier des δ. La transformation de Fourrier consiste àprojeter notre fonction sur une base orthogonale pour le produit scalaire canonique. Une telle base,dans le cas des fonctions de carré intégrable de G dans C, nous est donnée par le théorème de Peter-Weyl pour peu que G soit compact. Il s'agit des éléments de matrices donnés par les représentationsirréductibles du groupe. Ainsi, si Vl est un espace vectoriel et Dl : G→ GL(Vl) est une représentationirréductible de G, alors g → Dl(g)ab est un élément de la base.

3. La notion de produit continu est évidemment très mal dé�nie.4. 2-complexe s'oppose à 2-simplex qui serait un objet bidimensionnel le plus simple possible. On a bien un objet

bidimensionnel mais complexe.5. L'holonomie est normalement l'intégrale d'une connexion sur un chemin fermé. Ici, on prend un sens plus large qui

est la composition des éléments de groupe autour d'un chemin fermé.6. Mais donc cette fois, bien dé�ni.

2


On peut alors décomposer la distribution de Dirac :

δ(g) =∑j

dj∑a

Dj(g)aa (7)

où la somme se fait sur toutes les représentations irréductibles (notée j) de G et dj est la dimensionde ces représentations. On note souvent χj(g) =

∑aDj(g)aa le caractère de la représentation j. On a

ainsi :δ(g) =

∑j

djχj(g) (8)

Cela nous permet de réécrire la théorie :

A =

∫ ∏f∈∆∗

∑j

djχj(ωf )∏e∈∆∗

dge

=∑{jf}

∏f∈∆∗

djf

∫ ∏f∈∆∗

χj(ωf )∏e∈∆∗

dge

La somme est désormais faite sur toutes les colorations possibles des faces de notre 2-complexe. Ladépendance via les caractères, plutôt que les matrices de Wigner, est caractéristique d'une invariancede jauge.

Pour �nir la transformation, il faut intégrer sur les éléments de groupe. Cette étape dépend de la di-mension et se complexi�e rapidement avec cette dernière. Le point intéressant est que cette contributionpeut toujours être décomposée en contributions associées aux arêtes et aux points du 2-complexe 7.

Une telle théorie qui travaille sur un 2-complexe, qui somme sur des colorations associées aux arêtes,qui pondère aux faces (ici par dj) et aux arêtes et qui associe une amplitude aux points du 2-complexeest un modèle de mousse de spins.

2.3 Résolution des théories de mousse de spins 2D

Dans le cas 2D, on peut résoudre ces théories de manière assez générale. Nous allons d'abordrésoudre la théorie BF puis, en vue du travail en 3D, nous modi�erons la mesure de la somme sur lescolorations.

Commençons par évaluer le vertex de la théorie BF. Reprenons pour cela le calcul précédent :

A =∑{jf}

∏f∈∆∗

djf

∫ ∏f∈∆∗

χjf (ωf )∏e∈∆∗

dge

On peut écrire : ωf =∏e∈f ge, l'invariance de jauge nous garantissant que le choix du point de départ

dans le produit n'a pas d'importance. Avec un bon choix de groupe (SU(2) par exemple) le sens deparcours n'a pas d'importance non plus. On écrit donc :

χj(∏e∈f

ge) = Tr∏e∈f

Dj(ge)

En 2D, chaque arête n'est partagée que par deux faces et donc chaque élément de groupe n'apparaîtque deux fois. Il faut donc évaluer l'intégrale suivante :∫

Dj(g)abDj′(g−1)cddg

J'ai placé l'élément inverse pour la deuxième occurence à cause de problèmes d'orientation du 2-complexe.

7. On peut même absorber la contribution des arêtes dans celles des points (voir [Rov07]) mais cela n'est pas trèsimportant pour nous.

3


Le théorème de Peter-Weyl nous permet de �nir ce calcul rapidement :∫Dj(g)abDj′(g

−1)cddg =δjj′δadδbc

dj

On sépare cette contribution en trois parties :∫Dj(g)abDj′(g

−1)cddg = δjj′ ×1

dj× δadδbc (9)

La première partie correspond à l'égalité des représentations. Cette contrainte peut être facilementinsérée dans le vertex. La seconde partie est le poids associé à notre arête. En�n la dernière partie peutêtre séparée en deux contributions de vertex. Dans le vertex, en 2D, on aura la trace d'un produit detrois matrices identités (qui correspondent à trois arêtes entrantes) et donc on obtiendra la contributiondj .

Donc, au �nal, on a :� un facteur dj par face, dû à la décomposition de δ,� un facteur d−1

j par arête, sorti de l'intégration des éléments de groupe,� un facteur dj par vertex, provenant de la recombinaison des arêtes,� une unique représentation sur l'ensemble des faces pour éviter une amplitude nulle.

Donc on peut écrire :

A = dF−E+Vj (10)

On reconnaît, en exposant, la caractéristique d'Euler de la surface.Pour une théorie à mesure modi�ée (en remplaçant le facteur dj de chaque face par un certain fj),

on a alors :

A = fFj d−E+Vj =

(fjdj

)FdF−E+Vj (11)

On voit ici plusieurs comportements intéressants :� Comme on l'avait évoqué précédemment, le résultat ne dépend pas du choix de la triangulationpour la théorie BF.

� Par contre, une seule mesure est possible pour obtenir une telle théorie. C'est une questionimportante en 4D puique l'on ne sait toujours pas quelle mesure permet d'obtenir la théorieinvariante (même si l'on a quelques pistes avec par exemple [DS11]).

3 Théorie 3D - Modèle de mousse de spins

3.1 Objet de l'étude

Les théories BF peuvent sembler excessivement simples. Pourtant, la gravitation d'Einstein en 3Dse réduit à une théorie BF sur le groupe SU(2). On va donc poursuivre l'étude de ces théories avecune dimension supplémentaire, toujours dans le but de se rapprocher d'une théorie de la gravitationquadridimensionnelle et quantique. Pour la théorie quadridimensionnelle, plusieurs modèles ont étéproposés. Mais aucun, a priori, n'est un invariant sous transformation de Pachner. On peut alorschercher d'autres modèles. On peut aussi partir d'un modèle et explorer le �ot de renormalisation, lespoints �xes de ce �ot étant de bons modèles.

La théorie BF de SU(2) tridimensionnelle est entièrement résolue et est bien invariante sous trans-formation de Pachner. Pour pouvoir utiliser cette théorie comme objet d'essai, il va falloir la modi�erlégèrement a�n qu'elle ne soit plus un point �xe du �ot de renormalisation. Comme dans le cas de lathéorie 2D, on peut faire cela simplement en modi�ant le poids des faces dans la somme des moussesde spins. On prendra une ansatz de la forme dnj avec n entier. En terme de théorie de connexion, celarevient à remplacer les δ de Dirac par une fonction f s'écrivant :

f(g) =∑j

dnj χj(g) (12)

4


Avec cette modi�cation, la théorie n'est plus topologique. On va ainsi pouvoir s'exercer, dans un cadresimpli�é, à étudier le �ot de renormalisation puis à en déterminer les points �xes.

Pour étudier le �ot de renormalisation, il su�t d'étudier le �ot correspondant à la succession dedeux déplacements. En e�et, en 3D, il n'existe que deux transformations de Pachner (et leurs inverses) :une transformation qui change un tétraèdre en quatre tétraèdres partageant un nouveau sommet (voir�g.1) et une transformation qui change deux tétraèdres en trois partageant une arrête reliant les deuxsommets extrêmes (voir �g.2).

Figure 1: Transformation de Pachner 1-4 � un tétraèdre est remplacé par quatre partageant un sommet

Figure 2: Transformation de Pachner 2-3 � les deux tétraèdres partageant une face sont remplacéspar trois partageant l'arrête centrale

3.2 Asymptotique du vertex 3D

Pour la deuxième transformation (dite �move 2-3�), il faudrait par exemple calculer :

I =∑l

(−1)S+ldnj

{l j1 j2j4 k2 k1

}{l j2 j3j5 k3 k2

}{l j3 j1j6 k1 k3

}(13)

où le symbole entre crochets est appelé symbole 6j de Wigner et est en fait l'amplitude d'un vertex dela mousse de spins.

Ce symbole est dé�ni par des recollages d'intertwiners. En ce qui nous concerne cependant, on neva pas s'intéresser à cette expression qui devient très compliquée à manipuler (ce qui est dommagepour une théorie simpli�ée). On va plutôt étudier le régime dit asymptotique. Il s'agit du régime danslequel les paramètres j sont très grands devant l'unité 8. Dans ce régime, on peut approximer les j pardes variables continues et le symbole {6j} a une expression analytique simple.

En e�et, de manière exacte, on peut écrire 9 :

{6j}2 =

∫SU(2)4

∏1≤I<J≤4

χjIJ (gIg−1J )

4∏I=1

dgI (14)

où l'intégration se fait avec la mesure de Haar normalisée à 1. On peut alors étudier le régime desgrands j via cette formule. La formule est invariante sous la transformation suivante :

gI → h1gIh2

8. En pratique, de l'ordre de 5 ou 6.9. La démonstration complète de la formule asymptotique est sont détaillée dans [FL03].

5


quels que soient h1 et h2 dans SU(2). Cela se comprend instinctivement : les gI sont des points dansSU(2) donc des points sur la 3-sphère. Choisir quatre gI revient à choisir quatre points et donc untétraèdre (courbe). Et la formule que nous avons ne dépend ni de l'orientation du tétraèdre, ni d'unerotation ou d'une translation globale. On a donc une forme de liberté de jauge dans notre calculintégral. On peut �xer cette jauge en �xant un point (par exemple g1 = 1), puis en �xant une direction(via g2) et en�n les rotations autour de cette direction.

Cela revient à réexprimer l'intégrale uniquement en fonction des distances entre les gI (les côtés dutétraèdre). Sur la 3-sphère, ces distances sont en fait les angles de rotations des éléments gIg

−1J . Cela

se voit encore par le fait que les χ ne dépendent que de l'angle de la rotation qu'ils ont en paramètre(et pas de la direction). On a de manière générale :

χj(g) =sin djθ

sin θ(15)

où θ est le demi-angle de rotation de g. On peut donc réécrire l'intégrale après calcul de la mesure :

{6j}2 =

∫D

∏1≤I<J≤4 sin(djIJ θIJ)dθIJ√

det(cos θIJ)(16)

où le domaine d'intégration prend en compte le fait qu'il faut respecter les inégalités triangulairessphériques.

Dans cette intégrale, on a deux contributions principales aux grands j. La première, la plus naturelle,provient de la phase stationnaire. Elle donne une contribution :

Istat = −sin(2SR)

12πV(17)

où V est le volume du tétraèdre avec les côtés de longueur j et SR =∑

I<J(jIJ + 1/2)ΘIJ estl'action de Regge de la relativité générale 10. On a également une seconde contribution, qui provient del'annulation du déterminant, ou dit autrement, des con�gurations dégénérées du tétraèdre d'intégration.Cette contribution donne :

Idegen =1

24πV(18)

On a donc globalemenent :

{6j}2 ' 1− sin(2SR)

24πVque l'on réécrit :

{6j} 'cos(SR + π

4

)√

12πV(19)

On remarque encore une fois plusieurs points :� on retrouve l'action de la relativité générale, ce qui est plus que rassurant ;� la partie dégénérée est très importante ; en fait, elle sera même dominante en 4D (pour le modèlede Barrett-Crane), c'est un problème qu'il va falloir résoudre ;

� au �nal, on a deux contributions, de phases opposées, qui pourraient être interprétées commedeux sens de parcours du temps. Lors du recollage de vertex, on ne s'attend pas à voir apparaîtrede sens global. C'est un résultat majeur que les contributions à sens variable se compensentparfaitement pour ne laisser que deux contributions globales.

3.3 Transformation 2-3 de Pachner

On peut désormais revenir à l'étude du �ot de renormalisation pour la théorie avec poids modi�és.On part de l'expression :

I =∑l

(−1)S+ldnj

{l j1 j2j4 k2 k1

}{l j2 j3j5 k3 k2

}{l j3 j1j6 k1 k3

}10. ΘIJ sont les angles dièdraux du tétraèdre précédemment cité.

6


dont on aimerait trouver un équivalent asymptotique.On va utiliser les règles suivantes :

{6j} → 1√12πV

cos(SR +

π

4

)dj → 2j∑→

∫(−1)N → 2 cos(πN)

La seule règle un peu mystérieuse est la dernière, pour laquelle on peut questionner la présence dufacteur 2. Il est choisi a�n de donner le bon résultat dans le cas de la théorie BF avec poids usuel 11.On est �nalement amené à calculer la version continue de l'amplitude de trois tétraèdres recollés :

I '∫

2(2l)n cosπ(S + l)

(12π)3/2√V1V2V3

3∏i=1

cos(SRi +

π

4

)(20)

On ne s'intéresse qu'au régime asymptotique, ainsi on va pouvoir appliquer la méthode de la phasestationnaire. Pour éviter que les régimes dégénérés ne dominent, on va devoir imposer n ≥ 1. On vachercher :

∂

∂l(±SR1 ± SR2 ± SR3 ± π) = 0 (21)

Seules deux de ces conditions peuvent êtres réalisées pour ji et km donnés. Pour se �xer les idéesdisons :

∂

∂l(SR1 + SR2 + SR3 − π) = 0

∂

∂l(−SR1 − SR2 − SR3 + π) = 0

Cela équivaut à ce que la somme des angles dièdraux partageant l'arête centrale fasse 2π. Dit autrementles tétraèdres recollés sont plongeables en espace plat. On a pour chacune de ces conditions, deuxcontributions (il y a deux points qui annulent ces dérivées). Géométriquement, cela correspond auxdeux orientations relatives possibles pour les deux tétraèdres qui résultent du déplacement de Pachner.En�n, la dérivée seconde de l'angle de dé�cit donne :

∂2

∂l2(SR1 + SR2 + SR3 − π) =

l2V4V5

6V1V2V3(22)

On obtient alors :

I ' 1/4

12π√V4V5

((2l1)n−1

[exp

(SR4 + SR5 +

π

2

)+ exp−

(SR4 + SR5 +

π

2

)]+ (2l2)n−1

[exp

(SR4 − SR5

)+ exp−

(SR4 − SR5

)])(23)

où l1 et l2 représente les deux solutions pour la longueur de l'arrête l qui correspondent à un espaceplat.

Encore une fois, quelques remarques s'imposent :� dans le n = 1, on retrouve le résultat bien connu de l'invariance de la théorie BF ;� dès que l'on s'écarte du bon poids pour les faces, la formule devient vite compliquée sans simpli-�cation évidente (sauf pour des cas limites comme l1 � l2 par exemple) ;

� la transformation 2-3, bien que simple car non divergente n'est pas vraiment le pas intéressantpour le coarse-graining. Il vaudrait mieux étudier la transformation 1-4.

11. Ce facteur n'est pas si surprenant. En e�et, l'intégrale et la somme ne se comportent pas exactement de la mêmemanière. Si par exemple on décide de comparer la moyenne de ((−1)N )2 et celle de cos2(πN) on aurait un facteur 2 entreles deux.

7


3.4 Transformation 1-4 de Pachner

On voudrait donc reprendre le calcul pour la transformation 1-4. C'est un calcul, a priori, un peuplus compliqué. En e�et, même dans la théorie topologique, le calcul de quatre tétraèdres est divergent.Cette divergence est la marque d'une symétrie résiduelle. Ainsi, dans le calcul de la phase stationnaire,on s'attend à obtenir des surfaces complètes de phase stationnaire. Il faudra intégrer sur cette surface,ce qui sera divergent.

Plus formellement, on désire calculer :

I =

∫2∏

(2ki)n cosπ(S +

∑ki)

(12π)2√V1V2V3V4

4∏i=1

cos(SRi +

π

4

)∏dki (24)

où cette fois, on a quatre ki sur lesquels on intègre.On cherche à calculer cette intégrale directement, sans passer par le move 2-3. Pour cela, on utilise

la linéarité de l'intégrale et on se concentre sur une exponentielle à la fois :

J =

∫ ∏(2ki)

n

16× (12π)2√V1V2V3V4

exp[±iπ

(S +

∑ki

)+ i∑±(SRi +

π

4

)]∏dki (25)

On cherche un point stationnaire pour les quatre directions. Le problème étant très symétrique, onpeut se contenter d'étudier la dérivée dans une direction, mettons k1. On remarque alors que SR1 nedépend pas de k1 et donc que l'on se retrouve face au même calcul de dérivée que pour le move 2-3.L'annulation de la dérivée correspond aux géométries plates. Ainsi l'annulation de l'une des dérivéesest équivalente à l'annulation des autres et donc il nous reste trois intégrales (a priori) sur les pointscols.

Penchons-nous donc sur l'expression de la hessienne. On a 12 13 :

H =

k21V1V56V2V3V4

k1k2V56V3V4

k1k3V56V2V4

k1k4V56V2V3

k1k2V56V3V4

k22V2V56V1V3V4

k2k3V56V1V4

k2k4V56V1V3

k1k3V56V2V4

k2k3V56V1V4

k23V3V56V1V2V4

k3k4V56V1V2

k1k4V56V2V3

k2k4V56V1V3

k3k4V56V1V2

k24V4V56V1V2V3

(26)

que l'on réécrit pour un peu plus de clarté :

H =V5

6V1V2V3V4

(k1V1)2 (k1V1)(k2V2) (k1V1)(k3V3) (k1V1)(k4V4)

(k1V1)(k2V2) (k2V2)2 (k2V2)(k3V3) (k2V2)(k4V4)(k1V1)(k3V3) (k2V2)(k3V3) (k3V3)2 (k3V3)(k4V4)(k1V1)(k4V4) (k2V2)(k4V4) (k3V3)(k4V4) (k4V4)2

(27)

Rien ne nous empêche alors de diagonaliser la hessienne et de �nir le calcul. Mais nous allons nous yprendre avec un petit peu d'astuce. La donnée des di�érents k permet de dé�nir, lorsque les inégalitéstriangulaires sont véri�ées, un point dans un espace quadridimensionnel. Pour des k quelconques, lacon�guration correspond à quatre tétraèdres plongés dans une dimension supplémentaire en concen-trant la courbure sur les triangles. Le point �xe correspond alors à une géometrie plate, ou encoreà quatre tétraèdres cospaciaux. Cette écriture implique de travailler uniquement avec des courburespositives mais des hypothèses de prolongement permettront de conclure. Ainsi, on peut changer de vari-ables et au lieu d'utiliser les distances ki, nous allons utiliser des coordonnées quadridimensionnellespour le point rajouté. On a : ∏

lijdlij =d4x

24V(28)

12. On a choisi un point �xe pour lequel le point supplémentaire est à l'intérieur du tétraèdre. Un autre point �xedonnerait des signes di�érents.13. Dans le suite, ki désigne une solution de l'équation de point �xe.

8


où V est le volume du 4-simplex. Malheureusement, ce changement est dégénéré en x0 = 0. Pour rendrele tout plus rigoureux, posons y = lnx0. Dans ce cas, on a :∏

lijdlij =d3xdy

6V5(29)

Ce choix de variable est astucieux puisque l'argument de l'exponentielle ne dépend que de y. Il su�talors de calculer la dérivée seconde de l'action par rapport à y au point �xe qui donne :

∂2S

∂y2=

V 35

6V1V2V3V4(30)

et donc :

J =

∫ ∏(2ki)

n−1

(12π)3/2√V5

exp(iSR5 + i

π

4

) 3∏i=1

dxi (31)

ce qui donne �nalement :

I =1√

12πV5cos(iSR5 + i

π

4

)∫ ∏(2ki)

n−1

6π

3∏i=1

dxi (32)

avec :ki = ‖−→x −−→α i‖ (33)

où les −→α i désignent les sommets du 3-simplex.Remarquons que cette fois, le vertex se factorise naturellement. Cependant le facteur a une dépen-

dance non triviale (sauf pour n = 1) qu'il est di�cile d'étudier sans régularisation à cause de ladivergence. Pour vraiment �nir ce travail, il faudrait régulariser l'intégrale (par exemple en limitantl'intégration à l'intérieur du tétraèdre) et évaluer le �ot de renormalisation en faisant une ansatz pourla forme du vertex renormalisé. En e�et, nous n'avons qu'un seul pas de Coarse-Graining pour l'instant.

4 Théorie 3D - Formalisme de connexion

4.1 Premier pas 1-4

Mais comme pour la théorie BF, il existe un point de vue dual qui peut éventuellement être plussimple. On reprend comme variables les éléments de groupe de SU(2) et on remplace les δ de la théorieBF par une fonction f de la forme :

f(g) =∑j

fjχj(g)

On pourrait choisir des fj de la forme dnj mais on va vite retomber sur les di�cultés calculatoiresprécédentes. On va donc plutôt faire une ansatz gaussienne. La limite de variance nulle redonnera lathéorie BF. On prend donc :

f(g) = A exp

(− θ2

2σ2

)(34)

où θ est le demi-angle de rotation de g.Le calcul étant assez compliqué, on va donc le simpli�er à l'extrême pour sentir le comportement.

On peut déjà commencer par négliger le caractère non-abélien du groupe, ce qui est raisonnable si lavariance est su�samment faible. On fait donc une théorie BF sur R3. Et il s'avère alors que toute lathéorie peut être étudiée en se penchant uniquement sur une théorie BF sur R. On a donc l'ansatz :

f(x) = A exp

(− x2

2σ2

)(35)

avec A choisi pour normaliser f à 1.

9


Alors l'amplitude pour les quatre tétraèdres s'écrit :

A =

∫A10 exp

(− 1

2σ2

[X2ab +X2

ac + ...+X2cd +X2

oa + ...+X2od

])dxab...dxcddxa...dxd (36)

où :

Xab = x1 − xd − xcd + xc

Xac = x2 − xb − xbd + xd

Xad = x3 − xc − xcb + xb

Xbc = x4 − xa + xad + xd

Xbd = x5 − xa + xac + xb

Xcd = x6 − xa + xab + xc

Xoa = xcd + xbd + xbc

Xob = −xcd − xac + xad

Xoc = −xbd − xad + xab

Xod = −xbc − xab + xac

où les x indicés par une lettre sont les éléments portés par les faces extérieures, les x indicés par deuxlettres sont les éléments portés par les faces intérieures et les x indicés par un chi�re sont les variablesexternes (voir �g.3).

a

b

c

d

o

Figure 3: Transformation 1-4 de Pachner.Les X majuscules sont les holonomies autour des arêtes associées. Les x à deux indices correspondentaux éléments portés par les faces intérieures. Par exemple, xab est porté par (oab). Les x à un indicecorrespondent aux faces externes. Par exemple xa est porté par (bcd). En�n, les x chi�rés sont leséléments extérieures avec la correspondance 1→ ab, 2→ ac, 3→ ad, 4→ bc, 5→ bd, 6→ cd.

Le but est alors d'intégrer sur les six xab, ..., xcd et d'espérer trouver une expression factorisableen f . Ce n'est évidemment pas possible, un rapide coup d'÷il montrant que l'on voit apparaître descorrélations aux plus proches voisins dans l'expression �nale.

On pourrait négliger les corrélations et étudier ainsi le �ot, mais une telle classe de théories n'estpas très intéressante. En e�et, il ne peut y avoir de points �xes autres que les points �xes triviaux.On va donc considérer une classe de théories plus large qui sera capable de prendre en compte descorrélations aux plus proches voisins.

10


4.2 Flot de renormalisation

On peut alors écrire l'amplitude pour quatre tétraèdres (en faisant attention aux orientations) :

A =

∫A10B48 exp

(− 1

2σ2

[X2ab + ...+X2

cd +X2oa + ...+X2

od

]− 1

2κ2[2XoaXab − 2XobXab + 2XoaXac − 2XocXac

+2XoaXad − 2XodXad − 2XobXbc + 2XocXbc

+2XobXbd − 2XodXbd − 2XocXcd + 2XodXcd

+XabXac +XabXbc −XacXbc +XabXad −XabXbd +XbdXad

+XadXac +XacXcd −XcdXad −XbcXcd −XcdXbd −XbdXbc

2XoaXob + 2XoaXod + 2XoaXoc + 2XobXoc + 2XobXod + 2XocXod]

)dxab...dxcddxa...dxd

On a simplement rajouté un terme de corrélation aux plus proches voisins pour chaque vertex (d'oùles préfacteurs 2 lorsqu'une paire d'arête est partagée par deux vertex).

On peut alors séparer le calcul sur les variables x (indicées par deux lettres) sous forme matricielle :

xabxacxadxbcxbdxcd

T

α β β −β β 0β α β β 0 −ββ β α 0 −β β−β β 0 α −β −ββ 0 −β −β α −β0 −β β −β −β α

xabxacxadxbcxbdxcd

(37)

avec :

α =3

2σ2− 6

2κ2

β = − 2

2σ2+

5

2κ2

L'anti-diagonale de zéros est caractéristique de l'absence de couplage aux seconds voisins.Le but est désormais d'intégrer cette contribution pour évaluer les couplages entre les xi (i un

chi�re) directement. L'intégrale en elle-même n'est pas vraiment intéressante (elle donne un préfacteurconstant). Par contre, la diagonalisation de la matrice précédente nous donne de l'information. Unefois diagonalisée en e�et, il faudra réappliquer cette transformation sur les couplages entre les x et lesY 14. On trouve après maints calculs :

YabYacYadYbcYbdYcd

T

α′ β′ β′ β′ −β′ 0β′ α′ β′ −β′ 0 β′

β′ β′ α′ 0 β′ −β′β′ −β′ 0 α′ −β′ −β′−β′ 0 β′ −β′ α′ −β′

0 β′ −β′ −β′ −β′ α′

YabYacYadYbcYbdYcd

(38)

avec :

α′ =

12(−2σ2)3

− 64(−2σ2)2(−2κ2)

+ 120(−2κ2)2(−2σ2)

− 80(−2κ2)3

32(−2σ2)2

− 124(−2σ2)(−2κ2)

+ 119(2κ2)2

β′ =

−2(−2σ2)3

+ 1(−2σ2)2(−2κ2)

+ 18(−2κ2)2(−2σ2)

− 23(−2κ2)3

32(−2σ2)2

− 124(−2σ2)(−2κ2)

+ 119(2κ2)2

14. Il s'agit des X épurés de la contribution due aux triangles intérieurs. Ce sont les termes qui apparaissent dansl'écriture d'un unique tétraèdre.

11


On retrouve une anti-diagonale de zéros. Ce qui signi�e que les corrélations ne se propagent pas auxseconds plus proches voisins, et donc que la classe de théories choisie est stable. Et on peut écrire leséquations de renormalisation :

− 1

2σ′2= − 1

2σ2+ α′ ; − 1

2κ′2= − 1

2κ2+ 2β′ (39)

Ces équations n'ont cependant que deux points �xes :

σ =∞ ; κ =∞ (40)

etσ = 0 ; κ = 0 (41)

Le premier correspond à la théorie triviale d'amplitude constante. Le second est la théorie BF déjàétudiée. Ainsi, même s'il ne s'agit qu'une étude préliminaire sur une théorie simpli�ée à outrance, onne s'attend pas à trouver de théories très intéressantes ou exotiques en 3D.

4.3 Travaux complémentaires

Nous sommes loin d'avoir �ni l'étude des théories tridimensionnelles. Il faudrait par exemple s'at-tarder sur le problème du caractère non-abélien de la relativité générale en 3D. Or c'était cette propriétéqui rendait beaucoup de calculs faciles 15. Pour aller plus loin, on pourrait soit prendre le caractèrenon-abélien comme perturbatif ou au contraire travailler avec les équations complètes 16. On pourraitégalement travailler dans le formalisme de mousse de spin malgré les problèmes de régularisation.

En�n, il serait intéressant de prolonger les travaux e�ectués sur la théorie BF de SU(2) déjàrésolue, notamment le calcul du propagateur du graviton 17 et voir comment il est modi�é par le �otde renormalisation.

Par la suite, dans la théorie 4D, bien que nous travaillerons avec le formalisme de mousse de spin,l'approche sera relativement hybride et nous retrouverons les comportements de corrélations aux plusproches voisins et leurs propagations.

5 Théorie 4D - Flot de renormalisation

5.1 Modèle de Barrett-Crane

Nous arrivons en�n à la théorie qui motive toutes les excursions précédentes : la relativité générale.Pour des raisons de simplicité, nous n'avons étudié que la théorie à signature euclidienne. Mais il estdéjà possible d'étudier nombre de comportements avec celle-ci.

Pour la quanti�cation de la théorie, plutôt que de partir de l'action d'Einstein-Hilbert, nous allonsutiliser la formulation de Plebanski :

SPlebanski =

∫M

(εijklB

ij ∧ F kl(ω) + φijklBij ∧Bkl

)(42)

où les φijkl sont des multiplicateurs de Lagrange antisymétriques sous les échanges i ↔ j, k ↔ l et(ij)↔ (kl). Cette formulation a l'avantage de s'écrire comme une théorie BF de Spin(4) avec contrainte.La contrainte est appelée contrainte de simplicité puisqu'elle impose que B soit un bivecteur simple(produit extérieur de deux vecteurs).

L'action que nous venons de choisir n'est pas la seule possible. En particulier, il existe de nombreusesformulations incluant un nouveau paramètre, le paramètre d'Immirzi traditionnellement noté γ. Ce

15. En particulier, une théorie non abélienne de SU(2) ne peut distinguer entre g et g−1, ce qui empêche les simpli�-cations qui éliminent les corrélations au deuxième voisin.16. Sans savoir laquelle de ces deux possibilités est la plus simple ou la plus réalisable.17. Comme dans [LSW07] pour la théorie de Regge.

12


paramètre n'a pas d'in�uence sur la théorie classique mais modi�e la théorie quantique. Pour notreétude, nous nous contentons des modèles sans paramètre d'Immirzi. Bien qu'important, le coarse-graining de la théorie en dépend probablement très peu.

On va donc chercher à écrire la gravitation quantique comme une théorie de spinfoam. La contraintede simplicité est appliquée à ce niveau et implique que les représentations (j, k) portées par les facesdu 2-simplex soient de la forme (j, j). Le vertex lui-même est contraint et a la forme suivante :

{10j} =

∫SU(2)5

∏I<J

χjIJ(gIg−1J

)∏I

dgI (43)

Ce modèle est le modèle de Barrett-Crane (dont la dérivation est détaillée dans [BC98]).D'autres modèles existent et permettent de corriger certains problèmes du modèle de Barrett-

Crane. Le modèle EPRL, par exemple, inclut le paramètre d'Immirzi et possède un comportementasymptotique plus sympathique. En ce qui nous concerne cependant, on se contentera de l'étude dumodèle de Barrett-Crane, en gardant en tête qu'il faudra peut-être voir plus loin.

5.2 Transformation de Pachner 1-5

Contrairement aux théories 2D et 3D, pour lesquelles la théorie discrète était invariante sous trans-formation de Pachner, le modèle de Barrett-Crane en 4D ne l'est pas. On peut donc, comme suggéréau début du rapport, étudier le �ot de renormalisation. La théorie vers laquelle on tendra à grandeéchelle sera bien une théorie invariante sous changement de triangulation.

Comme en 3D, il existe plusieurs transformations de Pachner (associées à leurs transformationsinverses) notées habituellement 1-5, 2-4, 3-3. Pour le coarse-graining, on peut se contenter de l'étudedu déplacement 1-5 qui est souvent plus simple par sa structure. Si jamais on trouve un candidat pourl'invariance, il faudra tout de même le véri�er pour les transformations 2-4 et 3-3.

Considérons donc cinq 4-simplex que nous représenterons par des points. Les informations de con-nexion de ces cinq 4-simplex dessinent un nouveau 4-simplex. À chaque ensemble de trois 4-simplexcorrespond une représentation de SU(2) intérieure (portée par un triangle interne), à chaque paire de4-simplex correspond une représentation de SU(2) extérieure (portée par un triangle externe). Pourchaque 4-simplex, il y a quatre élements de groupe qui partent vers les quatre autres 4-simplex. Il y aégalement un élément de groupe extérieur.

1

2

3 4

5

Figure 4: Notations pour les cinq 4-simplex de la transformation 1-5.Chaque sommet de la �gure correspond à un 4-simplex. Les arêtes représentent donc les hyperfaces (destétraèdres) par lesquels ces 4-simplex sont recollés. Les triangles de la �gure sont duaux des trianglesde 4-simplex.Cette �gure est donc la représentation en 2-complexe de cinq 4-simplex recollés.

Les déplacements de Pachner correspondant au choix d'une partition en deux ensembles des hyper-faces d'un 5-simplex, les éléments extérieurs correspondent aux éléments se connectant à la dernière

13


face du 5-simplex.Ainsi, on adoptera les notations suivantes (voir �g.4) :� les triangles internes porteront des représentations jIJK où l'on prendra soin de garder I < J < K,� les triangles externes porteront jIJ avec une règle similaire I < J ,� le 4-simplex numéro I portera un élément de groupe gI ainsi que quatre autres gIJ avec I 6= J .Avec toutes ces notations, on peut écrire l'amplitude associée aux cinq 4-simplex du déplacement

5-1 :

A{j12,...,j45} =∑

j123,...,j345∈N2

( ∏I<J<K

dnjIJK

)

×∫SU(2)25

∏I<J<K

χjIJK (gIJg−1IK)χjIJK (gJIg

−1JK)χjIJK (gKIg

−1KJ)

∏I<J

χjIJ (gIg−1IJ )χjIJ (gJg

−1JI )

×∏I 6=J

dgIJ∏I

dgI (44)

où nous avons e�ectué une ansatz en dnj pour la mesure dans la somme des spinfoams.Pour l'instant, l'amplitude est loin d'être même lisible. On va chercher à la réécrire sous la forme :

A{j12,...,j45} =

∫SU(2)20

ρ(hL,RIJ )Ψ{j12,...,j45}(hL,RIJ )

∏I<J

dhL,RIJ (45)

avec ρ à préciser et :

Ψ{j12,...,j45}(hL,R12 , ..., hL,R45 ) =

∫SU(2)5

∏I<J

χjIJ (hLIJgI(hRIJ)−1g−1

J )∏I

dgI (46)

En e�et, le symbole {10j} correspond à l'évaluation de Ψ à l'identité. Donc, d'une part, l'ansatzcontient la première étape du �ot de renormalisation, mais d'autre part elle s'interprète simplementen termes de courbure.

Si l'on regarde l'expression d'origine et ce que l'on aimerait obtenir, on remarque que pour lestriangles extérieurs (qui portent les jIJ), on a le double de χ désiré. Il serait bien de pouvoir lesrassembler. On peut le faire via le lemme suivant :

On a :

d1−kj

k∏i=1

χj(gi) =

∫SU(2)k

χj

(k∏i=1

higih−1i

)k∏i=1

dhi (47)

Lemme 1.

Démonstration. Écrivons :∫SU(2)k

χj

(k∏i=1

higih−1i

)k∏i=1

dhi =

∫SU(2)k

Tr

(k∏i=1

Dj(higih−1i )

)k∏i=1

dhi

= Tr

(k∏i=1

[∫SU(2)

Dj(hgih−1)dh

])

14


Or : ∫SU(2)

Dj(hgih−1)abdh =

∑c,d

∫SU(2)

Dj(h)acDj(gi)cdDj(h−1)dbdh

=∑c,d

Dj(gi)cd

∫SU(2)

Dj(h)bdDj(h)acdh

=∑c,d

Dj(gi)cdδabδcddj

=χj(gi)

djδab

Et donc : ∫SU(2)k

χj

(k∏i=1

higih−1i

)k∏i=1

dhi =

(k∏i=1

χj(gi)

dj

)× dj

En utilisant ce lemme, on va pouvoir se rapprocher de l'écriture désirée, au prix d'un préfacteur :

Il existe ρ(hL,R12 , ..., hL,R45 ) tel que :

A{j12,...,j45} =

(∏I<J

djIJ

)∫SU(2)20

ρ(hL,R12 , ..., hL,R45 )Ψ{j12,...,j45}(hL,R12 , ..., hL,R45 )

∏I<J

dhLIJdhRIJ

(48)et une possibilité pour ρ est :

ρ(hL,R12 , ..., hL,R45 ) =

∫SU(2)10

∏I<J<K

∑jIJK∈N

2

dnjIJKχjIJK (k−1

IJ hLIJ(hLIK)−1kIK)

× χjIJK (hRIJk−1IJ (hLJK)−1kJK)χjIJK (hRIKk

−1IKkJK(hRJK)−1)

×∏I<J

dkIJ (49)

Proposition 1.

Démonstration. On part de la formule suivante pour A{j12,...,j45} :

A{j12,...,j45} =∑

j123,...,j345∈N2

( ∏I<J<K

dnjIJK

)

×∫SU(2)25

∏I<J<K

χjIJK (gIJg−1IK)χjIJK (gJIg

−1JK)χjIJK (gKIg

−1KJ)

×∏I<J


−1JI )

×∏I 6=J

dgIJ∏I

dgI

Pour chacun des dix produits de χj (extérieurs), on utilise χjIJ (gJg−1JI ) =

15


χjIJ (g−1J gJI) puis on peut appliquer le lemme 1 pour k = 2. On obtient :

A{j12,...,j45} =

∫SU(2)45

∏I<J

[djIJχjIJ (kIJgIg

−1IJ k

−1IJ kJIg

−1J gJIk

−1JI )]

×∏

I<J<K

∑jIJK∈N

2

dnjIJKχjIJK (gIJg

−1IK)χjIJK (gJIg

−1JK)

× χjIJK (gKIg−1KJ)

∏I

dgI∏I 6=J

dgIJ∏I 6=J

dkIJ

Sur les vingt kIJ introduits, dix sont de la jauge pure. On e�ectue donc le change-ment de variable suivant :

kIJ → kJIkIJ pour I < J

On e�ectue ensuite le changement de variable :

gIJ → k−1IJ gIJ pour I < J ; gJI → gJIk

−1IJ pour I > J

On trouve :

A{j12,...,j45} =

(∏I<J

djIJ

)∫SU(2)35

∏I<J

[χjIJ (gJIgIg

−1IJ g

−1J )]

×∏

I<J<K

∑jIJK∈N

2

dnjIJKχjIJK (k−1

IJ gIJg−1IKkIK)

× χjIJK (gJIk−1IJ g

−1JKkJK)χjIJK (gKIk

−1IKkJKg

−1KJ)

×

∏I

dgI∏I 6=J

dgIJ∏I<J

dkIJ

Que l'on peut réécrire :

A{j12,...,j45} =

(∏I<J

djIJ

)

×∫SU(2)20


∏I<J

dhLIJdhRIJ

avec :

ρ(hL,R12 , ..., hL,R45 ) =

∫SU(2)10

∏I<J<K

∑jIJK∈N

2

dnjIJKχjIJK (k−1




×∏I<J

dkIJ

16


On va encore jouer d'une astuce mathématique pour arriver à la forme désirée :

On a ∀h1, h2, g1, g2 ∈ SU(2) et ∀j ∈ N2 :

djχj(h1g1h−12 g−1

2 ) =

∫SU(2)2

∑k∈N

2

d3kχk(h1k

−11 )χk(h2k

−22 )χj(k1g1k

−12 g−1

2 )

dk1dk2 (50)

Lemme 2.

Démonstration. Calculons :

∫SU(2)2

∑k∈N

2

d3kχk(h1k

−11 )χk(h2k

−22 )χj(k1g1k

−12 g−1

2 )

dk1dk2

=

∫SU(2)

∑k∈N

2

d3kχk(h2k

−22 )δjk

χj(h1g1k−12 g−1

2 )

dk

dk2

=∑k∈N

2

d3kδjk

χj(h1g1h−12 g−1

2 )

d2k

=∑k∈N

2

dkδjkχj(h1g1h−12 g−1

2 )

= djχj(h1g1h−12 g−1

2 )

On peut �nalement écrire :

Il existe ρ(hL,R12 , ..., hL,R45 ) tel que :

A{j12,...,j45} =

∫SU(2)20


∏I<J

dhLIJdhRIJ (51)

et une possibilité pour ρ est :

ρ(lL,R12 , ..., lL,R45 ) =

∫SU(2)30

∏I<J

∑jIJ∈N

2

d3jIJχjIJ (lLIJ(hLIJ)−1)χjIJ (lRIJ(hRIJ)−1)

×∏

I<J<K

∑jIJK∈N

2

dnjIJKχjIJK (k−1




×∏I<J

dkIJdhL,RIJ (52)

Proposition 2.

Démonstration. Conséquence immédiate du lemme 2

17


Récapitulons ce que nous venons de faire : nous avons réécrit le vertex résultat de la transformation5-1 en l'interprétant avec une densité de courbure. D'un point de vue technico-mathématique, nousn'avons que déplacé la di�culté de l'amplitude vers une fonction de Spin(4). Remarquons par exempleà quel point ρ a une structure similaire à l'amplitude initiale : deux χ par triangle extérieur et troispar triangle intérieur. Notre travail a surtout transformé des produits et des sommes en intégrales. Onpourrait poursuivre, mais cela n'apporte pas grand chose, en tout cas pour l'instant.

Rappelons-nous également que nous n'avons toujours pas le �ot de renormalisation mais uniquementle premier pas de coarse-graining et donc, on s'attend à des équations encore plus complexes par lasuite.

5.3 Flot de renormalisation

Pour obtenir ce �ot, il su�t de reprendre les calculs précédents mais en remplaçant le symbole{10j} par le vertex obtenu après un premier pas de coarse-graining et espérer la stabilité de l'ansatz.Surprenamment, on obtient :

On considère le nouveau vertex :

V{j12,...,j45} =

∫SU(2)20


∏I<J

dhLIJdhRIJ (53)

où ρ est donné. On considère A{j12,...,j45} l'amplitude associée à cinq 4-simplex. Alors, il

existe ρ′(hL,R12 , ..., hL,R45 ) tel que :

A{j12,...,j45} =

∫SU(2)20

ρ′(hL,R12 , ..., hL,R45 )Ψ{j12,...,j45}(hL,R12 , ..., hL,R45 )

∏I<J

dhLIJdhRIJ (54)

et une possibilité pour ρ′ est :

ρ′(lL,R12 , ..., lL,R45 ) =

∫SU(2)80

∏I<J

∑jIJ∈N

2

d3jIJχjIJ (lLIJ(hLIJ)−1)χjIJ (lRIJ(hRIJ)−1)

×∏

I<J<K

∑jIJK∈N

2

dnjIJK

× χjIJK (gLIJKkIJgRJIh

RIJ(gRIJ)−1(gRIJK)−1gRIK(hRIK)−1(gRKI)

−1k−1IK)

× χjIJK (gLJIKgLJIh

LIJ(gLIJ)−1kIJ(gRJIK)−1gRJK(hRJK)−1(gRKJ)−1k−1

JK)

× χjIJK (gLKIJgLKIh

LIK(gLIK)−1kIK(gRKIJ)−1k−1

JKgRJK(hLJK)−1(gLKJ)−1)

×∏I

ρ(gL,RIJJ 6=I

, gL,RIJKJ 6=I,K 6=I,J<K

)∏I 6=J

dgL,RIJ

∏I<J

dkIJdhL,RIJ

∏I 6=J,I 6=K,J<K

dgL,RIJK

(55)

Proposition 3.

Démonstration. Calculs non détaillés mais similaires aux précédents.

Cette équation peut être vue comme la dé�nition d'une suite de fonctions de Spin(4). Mais plutôt qued'essayer de résoudre cette équation, on peut se concentrer uniquement sur l'étude de ses points �xes,puisqu'ils nous donneront les limites possibles pour ρ.

Il ne faut pas oublier un détail cependant : l'écriture de ρ n'est pas, a priori, unique. Ainsi, onpeut très bien avoir un point �xe du �ot sans pour autant avoir un point �xe de cette équation. Il sepourrait que cette équation n'ait aucun point �xe et que pourtant il existe des points �xes du �ot. Parcontre un point �xe de l'équation est nécessairement un point �xe du �ot.

18


On peut considérer dès lors trois approches :� améliorer l'équation et mieux sélectionner l'espace des ρ de façon à avoir une correspondance unà un entre les points �xes du �ot et ceux de l'équation ;

� faire des ansätze de points �xes pour l'équation, sachant que déjà trouver un point �xe seraitbien ;

� oublier un peu cette équation et se pencher sur des modèles jouets en espérant pouvoir explorerainsi son comportement.

Par la suite, nous allons explorer un peu chacune de ces possibilités.

6 Théorie 4D - Exploration

6.1 Modèle jouet 2D

Plutôt que de directement étudier directement l'équation de renormalisation, on va donc se penchersur des modèles plus simples, mais a priori proches. Une di�culté dans l'équation vient de la dimensionde l'espace-temps : en 4D, ce sont cinq densités ρ que l'on doit intégrer.

On peut essayer de diminuer la dimension de la théorie et faire un modèle de Barrett-Crane endimension inférieure avec un vertex de la forme :∫

SU(2)n+1

∏1≤I<J≤n+1

χjIJ (gIg−1J )

n+1∏I=1

dgI

où I et J parcourent les sommets d'un n-simplex si la dimension de l'espace-temps est n. Si l'on détailleun tel vertex, on trouve qu'il s'agit d'une sorte de théorie BF au carré.

Même en 3D, il reste quatre ρ à intégrer et on aimerait aller vraiment au plus simple. Pour unethéorie de mousses de spins, on ne peut faire moins de deux dimensions. Mais en 2D, la théorie peutêtre résolue exactement. Cela peut être un problème puisqu'alors cela annonce une forme de simplicitéde la théorie qui pourrait être telle qu'elle ne nous apporte aucun indice. On peut alors adopter deuxapproches :

� pro�ter au contraire du caractère solvable de la théorie a�n d'étudier le �ot précisemment enespérant ainsi obtenir des ansätze en dimension supérieure ;

� complexi�er le modèle a�n de le rendre su�samment compliqué pour être intéressant, le risqueétant d'être contraint à l'étudier numériquement.

Pour la deuxième approche, nous avons dé�ni le vertex suivant :∫SU(2)3

∏1≤I<J≤3

χjIJ (gIg−1J )χkIJ (gIg

−1J )

3∏I=1

dgI

Ce vertex ne correspond pas à une théorie de connexion. En conséquence, la résolution habituelle dela théorie ne fonctionne pas et la théorie devient intéressante. Il est possible d'explorer un peu cettethéorie et c'est un des derniers travaux que nous avons entrepris. Quelques calculs et explorations sontdétaillés en annexe.

6.2 Ansatz de point �xe

Une deuxième approche est de chercher des ansätze de points �xes pour la théorie. On peut lefaire en étudiant des théories en dimension inférieure bien sûr. Mais pour l'instant, nous n'avons quecommencé une telle exploration.

Une ansatz possible est l'ansatz isotrope :

ρ(hL,R12 , ...hL,R45 ) =∑j∈N

2

fj∏I<J

χj(hLIJ)χj(h

RIJ) (56)

19


Une première remarque : cette ansatz ne peut être stable sous �ot de renormalisation car elle n'apas assez de symétries 18. Cependant sa partie symétrique peut l'être. Ensuite, cette ansatz est proba-blement incapable de pleinement saisir la dynamique de la gravitation mais elle est un premier pasd'exploration des équations.

Il est également possible d'essayer de partir sur des ansätze gaussiennes ou similaires. On est alorsconfronté à un problème proche du problème abordé en 3D en formalisme d'éléments de groupe. Maiscette fois, on devra prendre en compte le caractère non-abélien du groupe. Peut-être qu'un retour en3D permettrait d'éclaircir le paysage.

7 Conclusion et perspectives

Ainsi jusqu'ici notre but a été d'étudier le comportement à grande échelle du modèle de Barrett-Crane, dans le but de trouver un point �xe du �ot de renormalisation. Pour cela, nous avons d'abordtravaillé quelques techniques en 3D avant de les appliquer sur le modèle. Cela nous a permis de trouverune équation pour le �ot de renormalisation. Il reste à étudier plus en détails l'équation, soit par desmodèles jouets, soit par quelques ansätze plus ou moins astucieuses.

Quand bien même on réussirait un tel tour de force, il resterait énormément de travail :� nous avons uniquement étudié la théorie euclidienne. Il serait important de généraliser ces résul-tats au cas lorentzien ;

� le modèle de Barrett-Crane sou�re, a priori, d'un certain nombre de pathologies. Généraliser cesrésultats à des modèles comme le modèle EPRL est également une perspective importante ;

� même une fois le modèle obtenu, il faudrait l'étudier en détails, notamment étudier le propagateurdu graviton. La théorie 3D pourrait encore une fois se révéler une plateforme de test intéressante ;

� l'interprétation de la théorie en termes de mesures physiques est assez di�cile et est reliée à ladétermination des états semi-classiques.

Dans une perspective à plus court terme, il faudrait terminer l'étude du modèle jouet 2D et voir ce qu'ilnous apprend. On pourrait également se repencher sur la théorie 3D en terme d'éléments de groupeet étudier le cas non-abélien en détails puisque les calculs ressemblent à ceux que nous rencontrons en4D.

En conclusion, ce stage a été l'occasion d'aborder un des sujets de recherche qui me passionne leplus. Mais en quelques mois, il a été à peine possible d'étudier réellement un tel domaine et nous avonssurtout posé les bases pour une exploration future.

18. Après un pas de coarse-graining, ρ devient invariant sous Spin(4) local.

20


Annexes

A Complément sur l'espace de Fourier - Fonctionnelle de bord

Plus haut dans le rapport, nous avons calculé l'amplitude du vertex de la théorie BF 2D et évoquécelle du vertex 3D. Mais le calcul était fait sans rigueur a�n de voir uniquement la structure de lathéorie. Je prends ici le temps de développer avec plus de sérieux la transformation de Fourier et doncla dé�nition du vertex.

La formulation la plus directe de la théorie est en termes d'éléments de groupe : on part d'un2-complexe qui porte des éléments de groupe aux arêtes. A priori, on cherche l'amplitude associée àune surface. L'intersection de cette surface avec le 2-complexe dé�nit naturellement un graphe. Ainsi,plutôt que de chercher l'amplitude associée à une surface, on va chercher l'amplitude associée à ungraphe. L'intersection entre la surface et les faces du 2-complexe correspond aux arêtes du graphe etles éléments de groupe portés par ces arêtes sont les variables de la théorie.

On cherche des théories invariantes sous composition locale par le groupe. Dans le cas discret,cela signi�e que l'on peut composer au niveau des vertex. Pour le bord, les vertex sont donnés parl'intersection entre la surface dont on cherche à écrire l'amplitude et les arêtes du 2-complexe et sontdonc les vertex du graphe de bord.

En résumé, notre surface porte un graphe. Ce graphe porte des éléments de groupes sur les arêteset on désire une amplitude invariante sous composition aux n÷uds du graphe.

On peut alors chercher une base de cet espace qui soit orthogonale. Une telle base est donnée par :

AjIJ ,iI =∏I<J

DjIJ (gIJ)aIJbIJ∏I

iiI (57)

où les iiI sont des intertwiners portés par les sommets. Les j labellent les représentations du groupede jauge et les i labellent les intertwiners possibles. Les D sont issus du théorème de Peter-Weyl et lesintertwiners proviennent de l'invariance sous jauge locale.

L'amplitude de vertex est alors dé�nie comme l'amplitude associée à un unique simplexe.

B Dérivées de l'action de Regge

Lors de l'étude de la théorie 3D, nous avons utilisé abusivement des résultats de dérivations del'action de Regge. Nous détaillons ici un peu plus leurs dérivations.

B.1 Dérivées premières

On part de l'action de Regge pour un tétraèdre 19 :

S =∑I<J

lIJθIJ (58)

où lIJ est la longueur de l'arête opposée aux sommets I et J et θIJ est l'angle dièdral (externe) associé.Nous allons utiliser deux formules classiques sur les tétraèdres :∑

I 6=JaI cos θIJ = 0 (59)

aIaJ sin θIJ =3

2lIJV (60)

où aI désigne l'aire de la face opposée au sommet I et V le volume du tétraèdre. La première formuleprovient de ce que la somme des vecteurs normaux aux faces, et dont la norme représente l'aire de cessurfaces est nulle. La seconde provient du produit vectoriel de deux de ces vecteurs.

19. Cette démonstration se trouve un petit peu moins détaillée dans [SG75]

21


On a : ∑I 6=J

(daI cos θIJ − aI sin θIJdθIJ) = 0

⇒∑J

aJ

∑I 6=J

(daI cos θIJ − aI sin θIJdθIJ)

= 0

⇒∑I 6=J

aJ cos θIJdaI −∑I 6=J

aIaJ sin θIJdθIJ = 0

⇒ −3

2V × 2×

∑I<J

lIJdθIJ = 0

Maintenant en di�érentiant l'action de Regge :

dS =∑I<J

lIJdθIJ +∑I<J

θIJdlIJ

=∑I<J

θIJdlIJ

Et donc :∂S

∂lIJ= θIJ (61)

B.2 Dérivées secondes

Pour les dérivées secondes, vu ce qui précède, il va falloir calculer les dérivées premières des anglesdièdraux. Le calcul est loin d'être évident et un peu fastidieux. Il est détaillé dans l'annexe de [DFS07].L'idée est de dé�nir la base a�ne. Il s'agit des vecteurs qui partent de l'isobarycentre du tétraèdre etqui pointent sur chaque sommet. Cela nous donne quatre vecteurs notés ei, ce n'est donc pas une basecar non libre.

Ainsi lorsque l'on décompose un vecteur x =∑xiei, on impose pour avoir l'unicité des coordonnées :∑xi = 0 (62)

Dès lors, cela dé�nit un jeu de coordonnée pour l'espace appelé jeu de coordonnées a�nes. On peutnotamment écrire la matrice du produit scalaire (donc la métrique) et tout calculer en fonction decette quantité. De là, presque tous les calculs peuvent être entrepris.

Il reste un détail de calcul qui est un peu astucieux (et proposé dans [DS11]) : changer de variablemais de manière subtile. À certains points du calcul, il est plus facile de dériver une longueur à angle�xé que l'angle à longueurs �xées. On aimerait écrire quelque chose de la forme :

∂θ

∂l2

∣∣∣∣l1

' ∂θ

∂l1

∂l1∂l2

∣∣∣∣θ

(63)

Écrit comme cela, c'est tout simplement faux. Mais on peut formaliser le problème et le réécriremathématiquement.

On a une fonction f de deux variables (ici f est l'angle et les variables sont des longueurs). Ons'intéresse à la dérivée de f , prise en un point particulier (dans notre cas, l'angle doit valoir 2π pourcoller aux géométries plates). Et donc on veut calculer :

∂f

∂x(x0, y0)

avecf(x0, y0) = constante (64)

22


Pour x donné, on peut alors dé�nir (au moins localement) y0(x) qui véri�e :

f(x, y0(x)) = constante (65)

donc :df(x, y0(x))

dx= 0 (66)

qui s'écrit :∂f

∂x+ y′(x)

∂f

∂y= 0 (67)

qui nous donne la formule recherchée.

C Modèle jouet 2D

Nous évoquions dans le rapport un modèle jouet que nous avons commencé à étudier en �n destage. Nous détaillons ici quelques points a�n, d'une part, de motiver l'étude d'un tel modèle, d'autrepart d'e�ectivement proposer une telle étude.

C.1 Flot de renormalisation

Le but du modèle jouet reste d'étudier le �ot de renormalisation du modèle de Barrett-Crane. Onveut donc trouver, au minimum, une équation analogue à celle développée pour le modèle de Barrett-Crane. Reprenons le vertex :∫

SU(2)3

∏1≤I<J≤3


−1J )

3∏I=1

dgI

On va vouloir assembler trois triangles pour calculer l'amplitude totale :

A{j12,k12,...,j23,k23} =∑j,k∈N

2

dnj dnk

×∫SU(2)9

χj(gIJg−1IK)χj(gJIg

−1JK)χj(gKIg

−1KJ)

∏I<J


−1JI )

× χk(gIJg−1IK)χk(gJIg

−1JK)χk(gKIg

−1KJ)

∏I<J

χkIJ (gIg−1IJ )χkIJ (gJg

−1JI )

×∏I 6=J

dgIJ∏I

dgI (68)

et, cette fois en passant les détails de calcul, on peut réécrire cela :

A{j12,k12,...,j23,k23} =

(∏I<J

djIJdkIJ

)∫SU(2)6

ρ(hL,R12 , ..., hL,R23 )ψ{j12,k12,...,j23,k23}(hL,R12 , ..., hL,R23 )

∏I<J

dhL,RIJ

(69)avec :

ψ{j12,k12,...,j23,k23}(hL,R12 , ..., hL,R23 ) =

∫SU(2)3

∏1≤I<J≤3

χjIJ (hLIJgI(hRIJ)−1g−1

J )χkIJ (hLIJgI(hRIJ)−1g−1

J )3∏I=1

dgI

(70)

23


et :

ρ(hL,R12 , ..., hL,R23 ) =

∫SU(2)3

∑j∈N

2

dnj χj(k−1IJ h

LIJ(hLIK)−1kIK)χk(k

−1IJ h

LIJ(hLIK)−1kIK)

× χj(hRIJk−1IJ (hLJK)−1kJK)χk(h

RIJk−1IJ (hLJK)−1kJK)

× χj(hRIKk

−1IKkJK(hRJK)−1)χk(h

RIKk


×∏I<J

dkIJ (71)

Encore une fois, on peut reprendre le calcul pour un deuxième pas de coarse-graining et on obtient uneéquation de �ot de renormalisation sous transformation 1-3 de forme très proche de celle du �ot 4D,ce qui con�rme l'intérêt du modèle 2D.

On remarquera cependant que nous n'avons pas absorbé le préfacteur de dimension de la représen-tation. Ce facteur peut être absorbé. Mais la formule n'a pas la même simplicité que le modèle 4D etpeut-être que cela est un peu contre-productif.

C.2 Approximations rapides

On peut essayer d'explorer la renormalisation de manière analytique mais sans passer par le for-malisme intégrale. Notons d'abord que le vertex peut se réécrire :∫

SU(2)3

∏1≤I<J≤3


−1J )

3∏I=1

dgI

=

∫SU(2)3

∏1≤I<J≤3

jIJ+kIJ∑lIJ=|jIJ−kIJ |

χlIJ (gIg−1J )

3∏I=1

dgI

=∑l1,l2,l3

δl1l2δl1l3dl1

(72)

Ainsi, si certaines conditions de compatibilité sont véri�ées, on peut écrire le vertex sous la forme :

V =

j+k∑l=|j−k|

1

2l + 1(73)

où j et k dépendent des jIJ et kIJ . L'intérêt de cette formulation, c'est que l'on peut utiliser l'approxi-mation :

N∑n=1

1

n' lnN (74)

et donc :

V ' ln2(j + k) + 1

2|j − k|+ 1(75)

On s'intéresse donc au calcul de la transformation 1-3 mais dans ce régime asymptotique. Supposonspour une première exploration que le bord du grand triangle porte une unique paire de J et K notéeen majuscules. On va également faire un certain nombre d'autres hypothèses :

� n (de la mesure) négatif pour faire dominer les premiers termes ;� J et K grands a�n de pouvoir déterminer le vertex.

Le vertex de chaque sous-triangle sera :

V ' ln2(j + k) + 1

2|J −K|+ 1(76)

24


et donc :

A '∑j,k

dnj dnk

(ln

2(j + k) + 1

2|J −K|+ 1

)3

(77)

Il faut désormais comparer ce vertex au vertex initial. Cela peut, par exemple, se faire numériquement.

C.3 Étude numérique

Nous avons commencé à e�ectuer des simulations numériques avec deux objectifs :� con�rmer la validité des approximations ;� explorer plus en détail le �ot de renormalisation malgré les di�cultés calculatoires dans le casexact.

Le deuxième point peut notamment nous permettre de déterminer les termes dominants dans la sommeen vue de faire des calculs analytiques plus tard.

Ces résultats sont malheureusement encore en cours de traitement et ne seront pas présentés dansce rapport.

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Références

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[FL03] Laurent Freidel and David Louapre. Asymptotics of 6j and 10j symbols. Class.Quant.Grav.,20 :1267�1294, 2003.

[LSW07] Etera R. Livine, Simone Speziale, and Joshua L. Willis. Towards the graviton fromspinfoams : higher order corrections in the 3d toy model. Phys.Rev.D, 75 :024038,2007,Phys.Rev.D75 :024038,2007.

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[SG75] Klaus Schulten and Roy G. Gordon. Semiclassical approximations to 3j- and 6j-coe�cientsfor quantum-mechanical coupling of angular momenta. Journal of Mathematical Physics,16(10) :1971�1988, 1975.

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