relations mÉtriques dans le triangle quelconque
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RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE. I. Aire d’un triangle quelconque. L’aire A du triangle ABC est :. Or. donc. Dans l’expression de A, on remplace h par. On peut démontrer aussi que:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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RELATIONS MTRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
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I. Aire dun triangle quelconque Laire A du triangle ABC est: OrDans lexpression de A, on remplace h pardonc
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On peut dmontrer aussi que:Laire dun triangle quelconque est gale au demi-produit de deux cts par le sinus de leur angle.
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Calculer laire du triangle ABCDonnes du problme:a = 8; c = 6; Application:
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II. Relation entre les cts et le sinus de langle oppos. Multiplions gauche et droite par 2Divisons gauche et droite par cCe qui est quivalent
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On pourrait dmontrer de la mme manire:DoncDans un triangle, les cts sont proportionnels aux sinus des angles opposs.
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Application:Calculer les mesures des angles B et C du triangle ABC Donnes du problme:a = 35; c = 20;
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On rappelle que dans un triangle, la somme des mesures des angles est gale 180, soit radians.
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III. Relation entre les cts et le cosinus de langle oppos: Dans lexpression de BC, remplaons BH par lexpression trouve ci-dessus.Dveloppons cette expression: attention lidentit remarquable:Dans le triangle rectangle BHC, on peut crire ( Pythagore)Or,et
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On rappelle que:doncOr, dans le triangle AHC:Remplaons donc AH+HC par AC.
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OrdoncRemplaons dans BC, AH par cette expression:Ou bien, en changeant lordre des termesCe qui scrit aussi:
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On dmontrerait de la mme manire:Dans un triangle, le carr dun ct est gal la somme des carrs des deux autres cts diminue de leur double produit par le cosinus de leur angle.
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Application:
On donne OA = 5; AB = 3. Calculer OB. On utilisera, dans le triangle OAB, la formule:On rappelle que langle plat, cest dire de 180 vaut radians.Dans le triangle OMA, on a :Rduisons au mme dnominateur:doncIl faut donc dterminer la mesure de langle A dans le triangle OAB.
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Rduisons au mme dnominateur:doncCe qui donne:Dans le triangle AOM, on a:
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Dans le triangle OAM, on a:Donc, dans le triangle OAB, on a:
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Reprenons notre formule:Il nous reste remplacer chaque terme par sa valeur: