Redaction d’un exercice utilisant le theoreme de Thales :

Exercice : Brevet - Nancy – Septembre 1997

On donne la figure ci-contre. On ne demande pas de la reproduire.

CO = 3 cm , CA = 5 cm et CB = 8 cm Les droites (OF) et (AB) sont parallèles. Calculer CF en justifiant.

Dans les triangles CFO et CBA

� F appartient à (CB). � O appartient à (CA).

THEME : THALES ET SA RECIPROQUE

REDACTION TYPE ET FAUTES A NE PAS FAIRE

Pour une plus grande facilité, nommez les deux triangles en commençant par leur sommet commun. Ici, c’est le point C.

Les deux conditions d’alignement des points. Il est possible également d’écrire :

F est un point de (CB). O est un point de (CA).

F ∈∈∈∈ (CB). O ∈∈∈∈ (CA).

Les droites (FB) et (OA) sont sécantes en O.

� Les droites (OF) et (AB) sont parallèles ( hypothèse )

D’après le théorème de Thalès, nous avons :

BAFO

CAC0

CBCF ==

LA CONDITION ESSENTIELLE

Pas de théorème de Thalès si cette condition n’est pas vérifiée.

Seuls les deux premiers rapports constituent le « véritable » théorème de Thalès. Ecrivez cependant, à chaque fois, les trois rapports.

Dans ces rapports, seuls des ( longueurs de ) côtés des deux triangles apparaissent. Par exemple, FB ne peut pas apparaitre dans ces

rapports. ( ce n’est pas un côté de triangle )

Tous les points figurant, dans cette écriture, au numérateur, appartiennent au même triangle. De même pour les points du dénominateur.

Par exemple, l’écriture C0

CA

CB

CF = est impossible.

Les points C, F et A n’appartiennent au même triangle.

Nous avons choisi ( l’autre choix étant tout à fait possible ) de mettre au numérateur les côtés du triangle CFO et au dénominateur les côtés du triangle CBA.

Le premier rapport ne contient que des points alignés choisis sur la droite (CB)

D’où le rapport : CB

CF

Le deuxième rapport ne contient que des points alignés choisis sur la droite (CA)

D’où le rapport : CA

C0

Le dernier rapport ne contient que des points situés sur les deux parallèles.

D’où le rapport : BA

FO

Ce rapport se retrouve en éliminant le sommet commun ( ici C ) des deux premiers rapports :

A0

BF

C

C

C

C =

BAFO

53

8CF ==

Calcul de CF :

53

8CF =

4,85

24

58 3

CF ==×=

Rédaction sans explication :

Dans les triangles CFO et CBA

� F appartient à (CB). � O appartient à (CA). � Les droites (OF) et (AB) sont parallèles ( hypothèse )

D’après le théorème de Thalès, nous avons :

BAFO

CAC0

CBCF ==

BAFO

53

8CF ==

Calcul de CF :

53

8CF =

4,85

24

58 3

CF ==×=

Autre exercice :

Nous savons que les droites (RS) et

(MN) sont parallèles.

Calculer OM et RS.

Dans les triangles OSR et OMN � O appartient à (SN). � O appartient à (RM).

� Les droites (SE) et (MN) sont parallèles ( hypothèse )

D’après le théorème de Thalès, nous avons :

NMSR

OMOR

ONOS ==

L’écriture du théorème de Thalès est maintenant terminée. Nous remplaçons les longueurs connues par

leurs valeurs numériques.

Deux rapports seront utiles pour calculer CF. Le rapport

contenant CF, et un rapport connu.

C’est fini. Nous avons déterminé CF.

CF = 4,8 ( unité )

Numérateur : Côtés du triangle OSR ( le petit)

Dénominateur : Côtés du triangle OMN ( le grand )

3,8SR

OM2,5

42 ==

Calcul de OM :

OM2,5

42 =

2,5 4 OM 2 ×=×

5 2,5 22

2,5 2 2

22,5 4

OM =×=××=×=

Calcul de SR :

3,8SR

42 =

SR4

3,8 2 =×

1,9 2

3,8

2 2

3,8 2 SR ==

××=

Les fautes à ne pas faire dans cet exercice :

Dans les triangles OSR et OMN � O appartient à (SN). � O appartient à (RM). � Les droites (SE) et (MN) sont parallèles ( hypothèse )

D’après le théorème de Thalès, nous avons :

MNSR

ONNS

OMMR == Faux, MR et NS ne sont pas

des longueurs de côtés de triangle(s)

Redaction d’un exercice utilisant lA RECIPROQUE DU

theoreme de Thales :

Exercice :

Dans la figure ci-dessous, montrez que les droites (LM)

et (KN) sont parallèles.

Résolution de cette équation :

L’inconnue OM est au dénominateur. Nous ne

pouvons pas la résoudre immédiatement

Nous devons « faire un produit en croix » afin que

notre inconnue OM ne soit plus au dénominateur.

4,5

3

ON

OL =

3,9

2,6

OK

OM =

3

2

153

15 2

45

30

4,5

3

ON

OL =××===

3

2

133

13 2

39

26

3,9

2,6

OK

OM =××===

Donc OK

OM

ON

OL =

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les deux droites (LM) et (NK) sont parallèles.

Rédaction sans explication :

Les points L,O,N et M,O,K sont alignés dans le même ordre.

3

2

153

15 2

45

30

4,5

3

ON

OL =××===

3

2

133

13 2

39

26

3,9

2,6

OK

OM =××===

Donc OK

OM

ON

OL =

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès,

les deux droites (LM) et (NK) sont parallèles.

Tout d’abord, tracez les deux droites (LM) et (KN)

Ces deux droites déterminent deux triangles

OLM et OKN

Pour démontrer que ces deux droites sont parallèles, il existe un théorème appelé « Réciproque du

théorème de Thalès ».

Cette réciproque est le « contraire » du théorème de Thalès.

Si ces droites étaient parallèles, le théorème de Thalès permettrait d’écrire l’égalité suivante :

) OKN triangle (

) OLM triangle (

OK

OM

ON

OL =

Inversement, si nous pouvons montrer cette égalité, d’après la réciproque du théorème de Thalès, nous pourrons affirmer que les droites (LM) et (NK) sont parallèles.

Ces deux rapports sont-ils égaux ? Calculons-les séparément.

Ces deux rapports sont-ils égaux ?

La calculatrice donne, pour les deux rapports,

malheureusement 0,6666.. Nous ne pouvons pas affirmer qu’ils sont égaux ( la

25ième décimale, est peut-être différente)

Simplifions donc ces deux écritures

fractionnaires.

Ces deux rapports sont donc égaux. Ce n’est qu’à partir de ce moment que nous pouvons

utiliser la réciproque du théorème de Thalès !

( Remarque : si les rapports n’étaient pas égaux, la

réciproque de Thalès ne pourrait pas être utilisée )

Phrase à rajouter au dernier moment de

« moindre » importance. ( Voir le cours )

Les fautes à ne pas faire dans cet exercice :

Les points L,O,N et M,O,K sont alignés dans le même ordre.

3,93

OKOL =

4,52,6

ONOM = Les deux rapports choisis ne sont pas les

bons. Les points du premier rapport ne sont

pas alignés, ainsi que les points du deuxième rapport !

Dans les triangles OLM et OKN, d’après la réciproque du théorème de Thalès,

OKOM

ONOL = ?

3,92,6

4,53 = On ignore l’égalité de ces deux rapports et

la réciproque du théorème de Thalès ne sera

utilisée que s’ il y a égalité !

Les points L,O,N et M,O,K sont alignés dans le même ordre.

0,66 ==4,53

ONOL

0,66 ==3,92,6

OKOM

Donc OKOM

ONOL = Est-ce vrai ? Nous n’avons que des valeurs

approchées des deux rapports ! Sont-ils réellement égaux ?