recherche operation lareq (1)

Recherche oprationnelle Rsum des heuristiques

Et Recueil dapplications pour tudiants en gestion

Jean Paul TSASA V. Kimbambu

copyright jptsasa-mars 2010

Graphe de Vaclav Chvtal lHamiltonien, lEulerien, Thorme des 4 couleurs, 4-rgulier, conjecture de Grnbaum

pm(X) :=det(XIn-M) : (x - 4)(x - 1)4x2(x + 1)(x + 3)2(x2 + x - 4)

Universit Protestante au Congo Dpartement dAdministration des Affaires

LABORATOIRE DANALYSE RECHERCHE EN ECONOMIE QUANTITATIVE

Assistant Jean Paul TSASA V. Recherche oprationnelle Licence Administration des affaires 1 Chercheur co accompli au Larq /www.lareq.com /BP 16.626 Kinshasa I Mail : [email protected]

Avertissements

Ce recueil est en cours de rdaction, mais le besoin croissant chez les tudiants dun support dapplications cadrant avec la logique du cours tel quenseign en Administration des affaires, nous a tout de mme pousss ne mettre en circulation que la face visible de liceberg. Ldition complte sera prte quau dbut de lanne acadmique 2010-2011.

Le principal souci qui nous anime tout au long de la rdaction de ce manuel est celui de comble un vide :

labsence quasi-totale, depuis prs de cinq annes acadmiques successives, dun recueil dapplications

pouvant relayer le cours magistral (suivant lapproche adopte par le Professeur) aux travaux pratiques.

A ces jours, il est universellement admis que les mathmatiques jouent un rle fondamental dans le

dveloppement de notre vie et dans le progrs ralis par lhumanit, notamment en physique, sciences

sociales, gestion ou informatique.

Cependant, pour nombre dtudiants, les mathmatiques ne rendent pas toujours la vie plus facile. Cela

sexplique par le fait quils sattardent voir le ct complexit de calcul, au lieu dadmirer ce qui

constitue sa beaut : le raisonnement mathmatique.

Ce manuel na pas lobjectif de ne mettre en vidence que la complexit de calculs mathmatiques mais

surtout la prminence du raisonnement mathmatique (raisonnement logique et rigoureux) sur la

comprhension des mthodes appliques en recherche oprationnelle. Un langage simple et simplifi a

t adopt, cet effet, afin de permettre ltudiant dapprhender les mthodes et techniques de

rsolution utilises dans cette discipline. Par ailleurs, la recette dapplications qui seront propose, par la

suite, laidera certainement se prparer aux diffrentes preuves, notamment, lexamen final. Doter

ltudiant de la capacit de rsoudre, lui mme, les diffrentes applications constitue donc la cl du

succs et de la russite.

Jean-Paul Tsasa V., lauteur. Kinshasa, 8 mars 2010


INTRODUCTION

La recherche oprationnelle nest quun des outils danalyse utiliss en science conomique. A cet effet,

elle permet dassigner de manire efficace les ressources ou activits dans la gestion et lorganisation

des systmes complexes. A ce titre, la Recherche oprationnelle ne peut quintresser les conomistes

tant donn que lconomie se dfinit comme une discipline des sciences sociales ayant pour objet

dtude lallocation optimale des ressources rares et limites des fins multiples et concurrentes de

production et de consommation. Le schma suivant illustre avec beaucoup dloquence le discours

prcdent.

I. PROGRAMMATION LINEAIRE ET METHODES DE RESOLUTION

/ PROGRAMMATION LINEAIRE

La programmation linaire est un ensemble des techniques rationnelles danalyse et de rsolution de

programmes linaires. Un programme linaire , terminologie due G.B. Dantzig, est un problme

doptimisation consistant maximiser ou minimiser une fonction-objectif (fonction conomique) de n

variables de dcision soumises un ensemble de contraintes exprimes sous forme dquations ou

dinquations linaires. La solution ce problme correspondra donc une affectation de valeurs non

ngatives aux variables du problme.

Le programme linaire se prsente comme suit :

Avec Z : la fonction-objectif ou fonction conomique optimiser

C : le vecteur de coefficients de la fonction-objectif, de dimension n

X : le vecteur des variables des dcisions (inconnues), de dimension n

A : la matrice de coefficients techniques, de dimension mxn

B : le vecteur de ressources (termes constants) de dimension m

Un programme est qualifi de linaire lorsque la fonction-objectif et les contraintes sont des combinaisons linaires des

variables du premier degr.

SCIENCE ECONOMIQUE

Cest P.A Samuelson qui popularisa lclatement de lconomie en micro & macro

Outils et mthodes danalyse : - Mathmatiques

- Statistiques descriptive, mathmatique, applique,

- Modlisation (thorique, mathmatique, conomique)

- Economtrie (Microconomtrie, Macroconomtrie, )

- Comptabilit nationale

- Recherche oprationnelle (programmation, simulation, gestion, )

MICROECONOMIE MACROECONOMIE

Macroconomie microfonde (nouvelle approche dveloppe et popularise par la NEC)


NOTE : lintroduction des variables dampleur dans les contraintes fonctionnelles permet de convertir les

ingalits en galits et donc de passer de la forme canonique, la forme standard dun programme

linaire.

Un programme linaire peut se mettre sous de multiples formes, toutes quivalentes :

- Le sens de lingalit peut changer ;

- Le terme constant peut passer de gauche droite ;

- Les ingalits peuvent tre remplaces par des galits en introduisant des variables dcart

et/ou variables artificielles ;

- Le programme peut galement tre transpos.

Proprit dun programme linaire

En plus de la linarit, lautre proprit des lments du problme est la convexit. La proprit de

convexit est lie la dfinition du domaine dun programme linaire.

Par ailleurs, il faudra distinguer une solution faisable, une solution de base, une solution faisable de base,

une solution faisable de base optimale et une solution faisable de base non dgnre.

Il dcoule de la proprit de convexit le thorme suivant :

Dans un ensemble convexe, un optimum (maximum ou minimum) local correspond un optimum global.

Il est donc clair que ce thorme est trs important puisque le programme linaire se propose de

maximiser ou de minimiser lobjectif fix dans la fonction conomique cest--dire de dterminer soit le

sommet maximum ou minimum, soit les sommets maximum ou minimum et toute combinaison linaire

convexe de ces sommets. Ltudiant doit ds lors shabituer aux diffrents concepts suivants portant sur

les ensembles. Les notions suivantes se rapportent essentiellement la topologie gnrale ; le langage a

t simplifi afin de permettrait au dbutant de bien dguster la recette scientifique.

NON VIDE VIDE

SOLUTION (PROGRAMME) DUN PROGRAMME LINEAIRE

Faisable ou

ralisable

Borne : lorsque le problme admet au

moins une solution optimale

Non borne : lorsque le problme nadmet pas de solution optimale finie.

Lorsque toutes les contraintes sont

satisfaites.

Il nexiste pas de solution faisable ou ralisable


Notions retenir ncessairement !

Combinaison linaire convexe

des points ou des vecteurs

:

Cest tout point ou vecteur X d fini par la relation :

Ensemble convexe : Un ensemble S est convexe si, pour toute paire de points a, b de S,

S contient aussi le segment le segment ab.

Polydre (polygone) convexe

: Un polydre convexe est un ensemble convexe qui possde un

nombre fini de points extrmes.

Sommet dun ensemble

convexe

: Un point frontire dun ensemble convexe est un sommet si et

seulement si, il nexiste aucun point X1 et X2 (X1X2) appartenant

lensemble tels que appartienne

lensemble.

Minimum local : a est un minimum local de f sil existe un voisinage V de a tel

que :

Minimum global

: a est un minimum global de f dans D si et seulement si :

Maximum local : a est un maximum local de f sil existe un voisinage V de a tel

que :

Maximum global

: a est un maximum global de f dans D si et seulement si :

Ensemble born

: Un ensemble A est born sil existe une constante positive majorant

la norme de tous les lments de A.

Ensemble ferm

: Est un sous ensemble dun espace topologique qui contient tous

ses points limites (frontires).

Ensemble compact : Daprs le thorme de Borele Lebesgue, cest un sous-ensemble

de Rn si et seulement sil est ferm et born.


/ METHODES DE RESOLUTION DUN PROGRAMME LINEAIRE

Il y a lieu de distinguer plusieurs techniques, mthodes ou algorithme de rsolution dun programme

linaire. Deux mthodes seront privilgies et explicites, savoir, la mthode graphique et lalgorithme

du simplexe, avant de prsenter lanalyse de la sensibilit et la programmation paramtrique. Enfin, une

srie dapplications sera reprise la fin du rsum.

Le choix de mthode et le pralable avant lapplication de ces mthodes doivent seffectuer

intelligemment puisquils diffrent dune mthode une autre. Le schma ci-dessous est si loquent cet

effet.

Rsolution dun programme linaire par la mthode graphique :

La rsolution graphique dun programme linaire correspond une prsentation gomtrique qui

approche la solution du problme pos.

Dans la rsolution de programmes linaires, lapplication de la mthode graphique est gnralement

souhaite lorsque le problme ne comprend que 2 variables principales.

1re tape : Drivation des droites limites et des sommets de lensemble solution

- Rsoudre le systme dinquations (contraintes fonctionnelles).

2me tape : Dlimitation les domaines dacceptabilit

- Hachurer lensemble-solution (la zone qui vrifie linquation correspondante).

3me tape : Recherche des combinaisons optimales

- Substituer chaque combinaison (sommet) dans la fonction conomique, la combinaison qui

optimise (maximise/minimise selon le cas) la fonction-objectif correspond la solution

optimale.

CRITERE DE CHOIX DE LA METHODE DE RESOLUTION

Programme linaire avec 2 variables

A partir de la forme canonique

Rsoudre le problme avec la mthode

graphique

Programme linaire avec plus 2 variables

Passer de la forme canonique

la forme standard

Appliquer lalgorithme du simplexe


Algorithme du simplexe ou mthode de tableaux

Un simplexe est un polydre, dans l'espace n dimensions ayant exactement (n + 1) points extrmes.

Lalgorithme du simplexe exige, au dpart, une transformation du programme de la forme canonique la

forme standard ; cela se fait en introduisant les variables dcart Yj dans les contraintes fonctionnelles.

FORME CANONIQUE FORME STANDARD

Max Z = C1X1 + C2X2 + + CnXn Max Z = C1X1 + C2X2 + + CnXn + 0Y1 + 0Y2 + + 0Ys

S/C a11X1 + a12X2 + + a1nXn

b1 a11X1 + a12X2 + + a1nXn + Y1 = b1

a21X1 + a22X2 + + a2nXn b2 a21X1 + a22X2 + + a2nXn + Y2 = b2

.

.

.

.

.

.

am1X1 + am2X2 + + amnXn

bm am1X1 + am2X2 + + amnXn + Ys = bm

Et Xj 0 Et Xj 0, Yj 0

NOTE : le problme peut galement scrire comme suit :

Algorithme primal du simplexe

1re tape : Passage de la forme canonique une forme standard.

2me tape : Construction dun tableau qui permet dappliquer le test doptimalit, de raliser les

itrations et de quantifier lobjectif optimiser (initialement Z=0).

X1 X2 Xn Y1 Y2 Ys 1 qi=bi/ais

a11 a12 a1n 1 0 0 b1 b1/a1s a21 a22 a23 0 1 0 b2 b2/a2s

.

.

.

. . .

am1 am2 amn 0 0 1 bm bm/ams

-C1 -C2 -Cn 0 0 0 Z

Note : ais ligne pivot

3me tape : Test doptimalit

- La solution courante est optimale si tous les cots Ci sont non ngatifs ;

- Dans le cas contraire (si au moins un cot est ngatif), passer ltape 4.

4me tape : Dtermination de la colonne-pivot et de la ligne-pivot :

- Colonne-pivot : correspond la colonne contenant le plus petit cot ngatif ;

- Ligne-pivot : correspond la ligne qui contient le plus petit qi non ngatif.

5me tape : Transformation du tableau (itration) en vue de lobtention dun nouveau tableau.

George Bernard DANTZIG (1914-2005) : mathmaticien amricain, inventeur de l'algorithme du simplexe et

considr comme lun des principaux contributeurs au dveloppement de la programmation linaire.

Linvention de la programmation linaire, indissociable de celle de lalgorithme du simplexe en 1947,

constitue lun des tours de force mathmatiques du vingtime sicle. En plus de ses travaux sur l'algorithme

du simplexe et la programmation linaire, G.B. Dantzig a aussi travaill sur la thorie de la dcomposition,

la sensitivity analysis, les mthodes de rsolution matricielles avec pivot, l'optimisation grande chelle,

la programmation non-linaire et le programming under uncertainty.


Le nouveau tableau sobtient comme suit :

- Colonne-pivot : remplacer llment pivot par 1 et les autres lments de la colonne-pivot par

0.

- Ligne-pivot : diviser tous les lments de la ligne-pivot par llment pivot ars.

Pour toutes les autres lignes et colonnes, appliquer ce calcul :

Ancien tableau Nouveau tableau

u : lment quelconque sur la ligne-pivot // w : lment quelconque sur la colonne-pivot

ars : lment-pivot

: cette formule permet donc dobtenir les diffrentes valeurs de aij,

bi, Cj et Z dans le nouveau tableau, soit aij*, bi

*, Cj* et Z*.

6me tape : Reprendre ltape 2.

Le problme dual

A tout problme de maximisation (ou minimisation), on peut associer un problme de minimisation (ou

maximisation) correspondant. En notant par PRIMAL le problme initial ; le problme correspondant

s'appellera donc DUAL.

Illustration par un exemple la notion de Primal et Dual.

PRIMAL DUAL

Maximiser = 36X1 + 24X2

S/C : 5X1 + 8X2 32

4X1 + 6X2 40

7X1 + 9X2 55

Avec X1, X2 0

Minimiser C = 32Y1 + 40Y2 + 55Y3

S/C: 5Y1 + 4Y2 + 7Y3 36

8Y1 + 6Y2 + 9Y3 24

Avec Y1, Y2, Y3 0

: profit et C : cot de production.

Il ressort de cette illustration quelques principes trs simples :

* Chaque contrainte primale correspond une variable duale relle, ainsi, le nombre de variables du dual doit

toujours tre gal au nombre de contraintes du primal ; * Chaque variable primale relle correspond une

contrainte duale; * Le sens de l'optimisation est invers : si le primal est un problme de maximisation, le

dual est alors un problme de minimisation et vice versa ; * La matrice des coefficients des variables dans

e w e

u ars u

e w e

e*= ? 0 e*= ?

u/ ars 1 u/ ars

e*= ? 0 e*= ?


les contraintes du dual est la matrice transpose des coefficients de variables du primal ; *Les coefficients

conomiques des variables duales sont les valeurs figurant au second membre des contraintes primales ; *

Les seconds membres des contraintes du dual sont les coefficients des variables primales ; * Les signes des

ingalits des contraintes du dual sont les signes renverss des constantes du primal, mais la contrainte de

non ngativit sur les variables de dcision subsiste.

NOTE : Le problme dual est oppos au primal, par consquent, il possible de driver la solution de l'un

partir de celle de l'autre. Comparativement aux notions dinverse matriciel ou de transposition, le primal est

le dual du dual. Par ailleurs, comme le nombre d'itrations ncessaires pour la solution du simplexe dpend

aussi du nombre d'quations du tableau du simplexe, ainsi, le problme dual ne fournit des oprations plus

simples que le primal lorsque le dual a moins de lignes que le primal.

APPLICATIONS I

APPLICATION 1/

Une entreprise d'assemblage d'automobiles rassemble des voitures et des camions dans une usine divise en deux

ateliers. L'atelier I, o s'effectue le travail d'assemblage et de montage, et l'atelier II o s'accomplissent toutes les

oprations de finissage. L'atelier I emploie 10 journes de travail par camion et 4 journes par voiture. L'atelier II emploie 6

journes de travail indiffremment un camion ou une voiture. En raison de limitations de personnel et de machines, l'atelier

I peut disposer de 252 journes de travail par an et l'atelier II 189 journes. Si l'entreprise fait un profit de 450 F par

camion et de 300 F par voiture, combien doit-il produire de chaque type de vhicules pour maximiser son profit ?

APPLICATION 2/

La socit minire du KATANGA (la SOMIKA) possde deux puits diffrents de cobalt. Les puits sont en deux lieux distincts

et n'ont pas la mme capacit de production. Le cobalt est d'abord concass, puis rang sans l'une des trois qualit suivant

sa teneur : minerais riche, moyen et pauvre. Les trois qualits sont demandes sur le march.

APPLICATION 3/

La SOMIKA s'est engage fournir une fonderie 150 tonnes de minerai riche, 100 de moyen et 300 tonnes de minerai

pauvre par semaine. L'exploitation du premier puits cote la socit 1.750 F par jour et celle du deuxime 1.200 F par

jour. En un jour d'exploitation le premier puits produit 30 tonnes en de minerai riche, 10 tonnes de minerai moyen et 20

tonnes de minerai pauvre et le deuxime puits, 10 tonnes de minerai riche, 10 tonnes de minerai moyen et 60 tonnes de

minerai pauvre. Combien de jours par semaines faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le

plus conomiquement possibles ?

APPLICATION 4/

Soit transporter les marchandises produites dans les usines P1, P2... Pi...Pm vers les centres de consommation D1, D2 ...,

Dj... Dn. Les quantits produites dans une usine i sont qpi, les quantits demandes dans un centre de consommation j sont

qdj et les cots de transport cij d'une quantit de marchandises du centre de production Pi vers le centre de consommation

Dj se trouvent dans le tableau ci-dessous :

D1 D2 D3 D4 qpi

P1 15 10 3 8 65

P2 6 6 10 8 78

P3 1 10 10 8 29

qdj 40 45 30 20

Formuler le programme de ce problme.

APPLICATION 5/

AFRIPAINT veut lancer sur le march deux autres sortes de peintures : Pastel Mauve (PM) et Pastel Pourpre (PP). Ces

peintures sont des mlanges de trois couleurs : le rouge, le bleu et le blanc. Dans une premire priode, on produira 1.000

kg de PM et 500kg de PP. Le PM doit contenir entre 15% et 25% de rouge et entre 10% et 15% de bleu. La quantit de

blanc, pour le PM, doit tre au moins deux fois la quantit de rouge + le bleu. Le PP doit contenir entre 5 et 10% de rouge

et entre 15 et 20% de bleu. Pour le PP, la quantit de la couleur blanche doit tre au moins trois fois la quantit de rouge

et le bleu. Le rouge cote 50 Fr/kg. Le prix du bleu est de 60 Fr/Kg et le blanc cote 70 Fr le kilo. Le rouge doit tre

import; la licence de la Banque Centrale du Congo pour ce produit est limite un maximum de 1.200. AFRIPAINT veut

minimiser le cot. Formuler le programme linaire de ce problme.


APPLICATION 6/

Hydro-Congo veut lancer deux nouvelles marques d'huile sur le march. Ces nouvelles huiles sont en fait des mlanges des

huiles importes. Les conditions techniques font que la marque I doit contenir au moins 10% de Shell, au moins 5% de

Fina, au moins 20% de Mobil et au moins 30% de British Petroleum (B.P.). Pour la marque II, le mlange contient au moins

15% de Shell, au moins 50% de Fina, au moins 5% de Mobil et au moins 10% de B.P. L'huile Shell cote 1,70 F le litre,

l'huile Fina, 1,80 F/litre, l'huile Mobil, 1,70 F/litre et l'huile B.P. 2 F le litre. Les livraisons minimales pour chaque entreprise

ptrolire sont de 300 litres pour Shell, 500 litres pour Fina, 200 litres pour Mobil et 500 litres pour B.P. Toutefois, pour la

marque I, la quantit achete par Mobil et B.P. est au plus gale quatre fois celle de Shell plus Fina. Comme Socit

d'Etat, Hydro-Congo accepte de vendre perte, tout en s'efforant de minimiser le cot. Hydro-Congo doit produire 1.000

litres pour la marque I et 600 litres pour la marque II.

Travail demand :

a. Formuler le programme linaire de ce problme;

b. Combien y a-t-il de variables ? De contraintes ?

APPLICATION 7/

Donner la Forme standard des programmes suivants:

a) Maximiser Z = 4x1 + 3x2 - x3 + 2x4 +6x5

S/C : 3x1 + x3 - x5 = 3 ; 2x1 + x2 - 3x4 = -12 ; x2 + x3 + x5 = 4

Avec xj 0 (j = 1, 2, 3, 4, 5)

b) Minimiser Z = 4x1 + 2x2

Soumises aux contraintes : 4x1 + x2 20, 2x1 + x2 14 ; x1 + 6x2 18 et x1, x2 0

c) Maximiser P = x + y

Sous les contraintes : 2y - x + 1 0, y - 2x + 5 0 ; x 0 et y 0

d) Maximiser Z = -x + 0,5y

Soumises aux contraintes : -2y + x - 1 0, y - x - 1 0 ; x 0 et y 0

APPLICATION 8/

La compagnie AGRIFOR veut utiliser aux mieux les ressources en bois de ses proprits forestires. Dans cette rgion, il y

a une science et une fabrique de contre-plaqus. Le bois coup peut ainsi tre transform en bois de charpente ou en

contre-plaqu ? Pour produire 100m3 de bois de charpente, il faut 100 m de planches de Nkamba et 3.000 m de planche

d'eucalyptus (ces planches ayant une largeur et une paisseur fixes). Pour produire 1.000 m de planche de contre-

plaqus, il faut 2.000 m de planches de Nkamba et 4.000 m de planches d'eucalyptus. La compagnie peut couper par

priode 32.000 m de planches de Nkamba et 72.000 m de planches d'eucalyptus. Les contraintes de vente exige qu'au

moins 400 m3 de bois de charpente et 12.000 m de planches de contre-plaqu soient produits pendant la priode. Le profit

est de 400 $ pour 100 m3 de bois de charpente et de 600 $ pour 1.000 m de planches de contre-plaqu. La demande est

suffisante pour absorber toute la production possible de l'AGRIFOR.

Travail demand :

a) Formuler le problme mathmatiquement ;

b) Rsoudre le problme graphiquement ;

APPLICATION 9/

Un manufacturier produit des tables et des bureaux. Chaque table requiert 2,5 heures pour l'assemblage, 3 heures pour le

buffing et 1 heure pour le grating. La production de chaque bureau exige 1 heure d'assemblage, 3 heures de buffing et 2

heures de grating. La firme peut utiliser tout au plus 20 heures pour l'assemblage, 30 heures pour le buffing et 16 heures

pour le grating par semaine. Son profit marginal est de 30 $ par table et de 40 $ par bureau. Utiliser la mthode graphique

pour trouver la production qui maximise le profit hebdomadaire de la firme.

APPLICATION 10/

Une socit produit deux types d'aciers. Le type 1 exige deux heures de fusion, 4 heures de laminage et 10 heures de

tranche (coupure). Le type II exige 5 heures de fusion, une heure de laminage et 5 heures de tranche. 40 heures sont

utilisables pour la fusion, 20 heures pour le laminage et 60 pour la tranche. Le profit marginal est de 2400 $ pour le type I

et de 800 $ pour le type II. Dterminer la combinaison d'output qui maximise le profit de la firme.

APPLICATION 11/

Un horticulteur souhaite mlanger des fertilisants pourvoyant un minimum de 15 units de potasse, 20 units de nitrates et

24 units de phosphate. La premire marque pourvoie 3 units de potasse, une unit de nitrate et 3 units de phosphate.

Elle cote 120 F. La marque II pourvoie 1 unit de potasse, 5 units de nitrate et 2 units de phosphate. Elle cote 60 F.

Dterminer la combinaison de fertilisants que l'horticulteur peut acqurir au moindre cot.


APPLICATION 12/

Utiliser l'algorithme de simplexe pour rsoudre le programme linaire suivant :

Max P = 3y1 + 4y2

S/C : 2,5y1 + 3y2 20, 3y1 + 3y2 30 y1 + 2y2 16

avec y1, y2 0

APPLICATION 13/

Rsoudre par l'algorithme du simplexe le PL : Max P = 30x1 + 24x2 + 60x3

S/C : 6x1 + 3x2 + 5x3 30, 2x1 + 2x2 + 10x3 50 et x1, x2, x3 0

APPLICATION 14/

Soit le problme primal : Minimiser C = 36x1 + 30x2 + 40x3

S/C : 2x1 + 5x2 + 3x3 40, 6x1 + 3x2 + 2x3 60 et x1, x2, x3 0

a) Formuler le dual;

b) Rsoudre le dual graphiquement, utiliser cette solution pour trouver les valeurs optimales de la fonction

objective du primal et de la variable de dcision du primal.

APPLICATION 15/

Etant donn le problme primal suivant : Max P = 5x1 + 3x2

S.C. 6x1 + 2x2 36, 5x1 + 5x2 40, 2x1 + 4x2 28, avec x1, x2 0

a) Formuler le dual ;

b) b. Rsoudre le dual par l'algorithme de simplexe.

APPLICATION 16/

Formuler le dual du programme linaire suivant :

Max Z = 1,8x1 + 2,4x2 + 6x3 + x4

Avec les contraintes :

2,4x1 + 3,2x2 + 4x3 + 7,2x4 21

3,0x1 + 17 x2 + 80x3 + 2,0x4 48 avec x1, x2, x3, x4 0


II. PROGRAMMES DU TRANSPORT ET DAFFECTATION

/ PROBLEME LINEAIRE DU TRANSPORT : les mthodes abrges

Caractristiques

- Un problme de transport est un programme de minimisation du cot de transport.

- Cest un problme qui sinscrit dans la ligne de programmes linaires

Le problme de transport a pour but dacheminer au moindre des marchandises depuis m origines vers n

destinations.

Autrement, le problme peut sillustrer comme suit :

Places

Zi = Offre de produit Xij

Places

Wi = demande de produit Xij

Origine (dpts, usines)

: quantit des produits transports de lorigine la

destination .

: cot de transport dune unit du produit de

places aux places .

Destination (points de vente, clients)

Note : les places se lisent suivant la logique ligne, alors que les places se lisent suivant la logique

colonne.

La formulation et la rsolution dun programme de transport a pour cible :

- La minimisation du cot de transport

- Lobtention dune demande excdentaire nulle cest--dire satisfaire la demande dans toutes les

places et liminer les fournitures dans toutes les places

En consquence, il y a de souligner quavant toute rsolution dun programme de transport, il faut

toujours sassurer de lgalit entre loffre de lensemble de toutes les places et la demande globale

des places soit :

En cas dingalit, inclure dans le problme une place fictive (place additionnelle) avec des valeurs

arbitraires de cots :

Ajouter une colonne fictive. Cette colonne correspond donc un

coulement de surplus

Ajouter une ligne fictive afin de saturer la production.

A partir des cas pratiques, nous allons passer en revue les diffrentes techniques de rsolution dun

problme de transport. En sintressant en un premier temps aux mthodes qui permettent dobtenir un

plan de transport faisable, et ensuite, au test doptimalit.


* COMMENT ECRIRE UN PROBLEME DE TRANSPORT

Sachant que , le problme du transport peut donc scrire comme suit :

PRINCIPAUX ELEMENTS DUN MODELE DE TRANSPORT

IDENTIFICATION DE LA MATRICE DE COTS DE TRANSPORT

Au dpart (initialement), la matrice courante est

compose des lments Xij (pour tout i et j) tel

que Xij=0. Soit :

Explicitement, la matrice de cots unitaires :

C =[Cij] se prsente comme suit :

* Vecteur-colonne doffres : Z = (Zi) = (Z1, Z2, , Zm)

Avec I = {1, 2, , m}

* Vecteur-ligne de demandes : W = (Wj) = (W1, W2, , Wn)

Avec J= {1, 2, , n}

Note : Lindice i fait toujours rfrence la ligne et lindice j , la colonne. Avant de rsoudre un problme de transport, vrifier toujours :

In fine, les matrices C et X peuvent tre reprsentes dans un tableau (grille) unique. En

consquence, les donnes relatives au problme de transport peuvent tre disposes comme suit :

Places Bj : demandeurs du bien Xij

B1 B1 Bn

Pla

ces A

i :

Off

reu

rs

du

bie

n X

ij

A1 C11 C12 C1n

Z1

I = {1, 2, , m}

X11 X12 X1n

A2 C21 C22 C2n

Z2 X21 X22 X2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Am Cm1 Cm2 Cmn Zm

Xm1 Xm2 Xmn

W1 W2 Wn

J= {1, 2, , n}

Un problme du transport peut tre prsent

Sous forme dun modle mathmatique : Optimisation (minimisation du cot) sous contraintes

Sous forme tabulaire :

Matrice, grille ou tableau et vecteur (offre et demande)

Sous forme dun graphe biparti


LES METHODES DE RESOLUTION DUN PROBLEME DU TRANSPORT

Comme il est toujours intressant pour un guitariste de disposer dune guitare avec plusieurs cordes, il

en de mme pour lconomiste mais pour les mthodes ou technique de recherche. A cet effet, la

Recherche oprationnelle disponibilise plusieurs mthodes pour rsoudre les problmes du transport.

Certaines mthodes ignorent les lments de la fonction-objectif (mthode du coin nord-ouest ou rgle

du coin suprieur gauche), une deuxime catgorie des mthodes considre les coefficients de la

fonction-objectif et enfin, une troisime catgorie permet de tester loptimalit dun plan de transport

(mthode de stepping-stone).

Gnralement, la rsolution dun problme du transport commence par la dtermination dun plan de

transport faisable qui nest ncessairement pas optimal. Pour ce faire, il faut un test pour sassurer de

loptimalit ou non dun plan de transport. Le schma suivant permet de visualiser les diffrentes mthodes de

rsolution dun programme de transport, de la dtermination du plan de transport faisable au test doptimalit.

Source : notre propre conception

1re tape : DETERMINATION DUN PLAN DE TRANSPORT FAISABLE (ADMISSIBLE)

Mthodes ignorant les lments de la fonction-

objectif

Mthodes considrant les lments de la

fonction-objectif

Mthode du coin nord-ouest Mthode du minimum de la ligne

Mthode du minimum de la colonne

Mthode du minimum de tableau

Mthode de double prfrence

Mthode dapproximation de Vogel

Amlioration du plan de transport par lalgorithme du stepping stone jusqu lobtention dun plan optimal

Si le plan nest pas optimal

2re tape : TEST DOPTIMALITE OU TECHNIQUES DE VALORISATION

Obtention dun plan de transport faisable

Le plan de transport est-il optimal ?


EXPLICITATIONS DES ALGORITHMES SUR LES DIFFERENTES METHODES DE RESOLUTION DUN

PROBLEME DE TRANSPORT

Les diffrentes tapes dune itration pour la mthode de :

COIN NORD-OUEST MINIMUM DE LA

LIGNE

MINIMUM DE LA

COLONNE

MINIMUM DE LA MATRICE

Initialement X = [Xij]

o xij = 0

Avec I = {i} et J = {j}

Initialement X = [Xij] o

xij = 0

Avec I = {i} et T

Initialement X = [Xij] o

xij = 0

Avec J = {j} et T

Initialement X = [Xij] o xij

= 0

Avec I = {i}, J = {j} et T

T : correspond aux diffrents lments de la matrice de cot quil ne

faudrait pas considrer.

1re tape :

Dterminer r et s

1re tape :

Dterminer r

1re tape :

Dterminer s

1re tape :

Dterminer s

r = le plus petit indice-ligne I et s = le plus petit indice-colonne J [on sait que I = {1, 2, .., m} et J = {1,

2, , n}]

2me tape :

Prciser et et

dterminer tel que:

2me tape :

Dterminer (dans ce

cas, cest la plus petite

valeur sur la ligne

r ) ;

Et prciser s

correspondant.

2me tape :

Dterminer (dans ce

cas, cest la plus petite

valeur sur la colonne

s ) ;

Et prciser r

correspondant.

2me tape :

Dterminer (dans ce cas,

cest la plus petite valeur sur

la colonne s ) ;

Et prciser r

correspondant.

Note :

3me tape :

Poser et calculer

les nouvelles valeurs de

pour les

nouveaux vecteurs

Z=(Zi) et W=(Wj) :

3me tape :

* Prciser et et

dterminer tel que:

* Poser et calculer


:

3me tape :

* Prciser et et

dterminer tel que:

* Poser et calculer


:

3me tape :

* Prciser et et

dterminer tel que:

* Poser et calculer les

nouvelles valeurs de

:

, correspondant la ligne r et la colonne s

4me tape :

La matrice courante X

constitue un un plan de

transport faisable si et

seulement

4me tape :




seulement

4me tape :




seulement

4me tape :




seulement

Dans le cas contraire, reprendre les diffrentes tapes de litration.

Note : La mthode du coin nord-ouest est galement qualifie de rgle du coin suprieur gauche. Du

point de vue mathmatique, cette mthode consiste donc faire entrer dans la base les variables

par ordre lexicographique croissant sans faire sortir de la base les variables que lon fait entrer.


Mthode de double prfrence :

Initialement et X = [Xij] avec Xij = 0

1re tape :

Dterminer :

* lensemble Q : Q = {Cis} o Cis est le cot minimum sur chaque ligne

* lensemble S : S = {Crj} o Crj est le cot minimum sur chaque colonne

2me tape :

Noter :

M(2) : lensemble des Cij appartenant, la fois, aux ensembles Q et S.

M(1) : lensemble des Cij appartenant soit seulement Q, soit seulement S.

M(0) : lensemble de Cij nappartenant ni Q, ni S.

Et poser k = 1 et l = 2 (indice tournant)

3me tape :

4me tape :

*Dterminer et preciser Zr et Ws

*Si

5me tape :

Calculer :

6me tape :

.

Dans le cas contraire, reprendre ltape 4.


Mthode dapproximation de Vogel :

Synonyme : heuristique de Balas-Hammer/ mthode de la diffrence maximale/ mthode la pnalit unitaire/ mthode des regrets maximaux successifs

La mthode dapproximation de Vogel fournit gnral une solution trs proche de loptimum, en ce que le nombre de changement de plan ncessaire pour lobtention dune solution optimale est peu lev.

Initialement et X = [Xij] avec Xij = 0

1re tape :

*Dterminer sur chaque ligne le cot minimum, not , et chaque fois, avant de passer la ligne qui

suit, exclure la colonne s , puis dterminer le cot minimum

*Ensuite, calculer pour chaque ligne i.

2me tape :

*Dterminer sur chaque colonne le cot minimum, not , et chaque fois, avant de passer la

colonne qui suit, exclure la ligne s , puis dterminer le cot minimum

*Ensuite, calculer pour chaque ligne j.

3me tape :

Dfinir lensemble et prendre, parmi les lments de cet ensemble, celui qui a la plus grande

valeur, on le note .

4me tape :

5me tape :

Calculer :

6me tape :

.

Dans le cas contraire, reprendre Les diffrentes tapes de litration.

Peter Ladislaw HAMMER

(1936-2006)

Mathmaticien amricain dorigine roumaine. Il est un chercheur prolifique

et influent en mathmatiques discrtes

appliques et en recherche

oprationnelle. Il est considr comme

le fondateur et le principal contributeur

de la thorie des fonctions boolennes.

Egon Balas : Economiste et

mathmaticien roumain dorigine hongroise. Ses recherches portent sur la

programmation mathmatique,

notamment loptimisation en nombres entiers et combinatoires. Il est

lorigine de la programmation disjonctive, de mthodes polydrales,

lift-and-project, shiffing heuristic.


Mthode frquence :

Cette mthode ne se propose pas de dterminer ( partir de la matrice C) le plan de transport faisable

mais plutt une matrice, note , partir de laquelle il faudra appliquer une de mthodes dveloppes

prcdemment pour dgager le plan de transport faisable.

1re tape :

Dterminer et :

2me tape :

Calculer

Et construire la matrice

3me tape :

4me tape :

Dterminer dans la matrice , le plus petit cot, not

Construire la matrice constante K, telle que :

Et calculer et passer ltape 5

5me tape :

Appliquer une des mthodes dveloppes prcdemment pour dterminer le plan de transport faisable.

La dmarche suivre suivre pour rsoudre le problme du transport se rsume comme suit :

2b

Transformer la matrice C par la mthode de

frquence en matrice

Appliquer une des 6 mthodes dveloppes

prcdemment

PROBLEME DE TRANSPORT ; exprim :

* sous forme tabulaire (matricielle)

* sous forme dune optimisation sous

contrainte (programme linaire)

1b

1a

Obtention dun plan de transport

faisable (1re solution de base)

2a

La solution courante est-elle optimale ?

Si oui, ce que la 1re solution de base est

optimale.

Si non, appliquer lalgorithme primal-dual

jusqu lobtention du plan optimal.

Source : notre propre conception


APPLICATIONS II

APPLICATION 1/

Soit trois firmes avec le stock de (21, 11, 13) units et trois places avec la demande de (15, 13, 12) units. La matrice

des cots unitaires C est :

7 6 8

12 5 4

9 8 5

Dgagez, par la mthode du coin nord-ouest les quantits transporter par origine et destination et calculez le cot y

affrant.

APPLICATION 2/

Etablir par la rgle du coin suprieur gauche le plan de transport faisable et dgager cot de transport cet effet,

sachant que la grille des cot unitaires est :

Client

1

Client

2

Client

3

Production

Dpt 1 10 20 9 7

Dpt 2 10 8 30 4

Dpt 3 20 7 10 4

Demande 5 4 6

APPLICATION 3/

La Socit TORNQVIST possde trois units de production o elle fabrique, entre autres, les ampoules ; elle commercialise

ses produits travers quatre entrepts situs dans les principales zones de consommation. Le programme ci-aprs indique

pour chaque unit Ai la capacit de production des ampoules, et pour chaque place Bj la demande des ampoules manant

de la zone de consommation correspondante ainsi que les cots de transport unitaires entre chaque usine et chaque

march. La formulation de ce problme est :

Minimiser C = 64 X11 + 50X12 + 77 X13 + 14 X14 + 37 X21 + 20 X22 + 48 X23 + 24 X24 + 25 X31 + 14 X32 + 15 X33

+ 48 X34

t.q. X11 + X12 + X13 + X14 = 1000

x21 + x22 + x23 + x24 = 200

x31 + x32 + x33 + x34 = 400

x11 + x21 + x31 = 700

x13 + x22 + x32 = 100

x13 + x23 + x33 = 300

x14 + x24 + x34 = 500

Et Xij 0

Dterminez par la mthode du minimum de la ligne le plan de transport faisable de base.

APPLICATION 4/

La compagnie sucrire de Kwilu-Ngongo qui produit du sucre quelle stocke dans des dpts Kinshasa. Elle dispose de

gros clients qui lui passent de faon rgulire des commandes et chacun desquels elle vend du sucre des prix

intressants. La sucrire utilise le service de transport de Transbenz. Dteminez la premire solution de base de ce

plan de ce transport lorsque la mthode du minimum de la matrice est prfre :

Quantits commandes par les clients : 500 100 800 700 5 000

Quantit disponible en dpts : 800 1 200 1 000

Les cots respectifs : 6 3 3 2 2

7 5 1 5 7

5 3 4 5 5


APPLICATION 5/

Lentreprise SEP-Congo qui approvisionne en produit ptrolier la RDC, dispose de 4 voies dapprovisionnements :

Banana, Matadi, Mombassa et Lusaka. Les quantits disponibles par ces diffrentes voies sont : 150 000 par Banana,

345 000 par Matadi, 150 000 par Mombassa et 150 000 par Lusaka.

A partir de ces voies, la socit doit fournir du carburant aux villes suivantes dont les besoins stablissent comme

suit : 350 000 pour Kinshasa, 120 000 pour Kisangani, 80 000 pour Goma, 45 000 pour Kalemie et 200 000 pour

Lubumbashi. La rpartition des cots supports pour le transport du carburant de lieux dapprovisionnement vers les

principales villes demandeurs est rsume par le tableau suivant :

Banana Kinshasa : 60 Matadi Kinshasa : 50

Kisangani : 150 Kisangani : 100

Goma : 200 Goma : 150

Kalemie : 300 Kalemie : 250

Lubumbashi : 180 Lubumbashi : 120

Mombasa Kinshasa : 250 Lusaka Kinshasa : 260

Kisangani : 90 Kisangani : 300

Goma : 80 Goma : 210

Kalemie : 150 Kalemie : 100

Lubumbashi : 200 Lubumbashi : 60

Travail demand :

i/ Rpartissez les quantits transporter par origine et destination par la mthode du coin nord-ouest.

Ii/ Dterminez la matrice et appliquer la mthode de double prfrence partir de cette nouvelle matrice.

APPLICATION 6/

Une socit ptrolire dispose de 5 raffineries A, B, C, D et E dont les capacits de traitement respectives (en milliers

des tonnes) sont 50 ; 75 ; 30 ; 25 et 60, les produits ptroliers proviennent de 4 pays trangers W, X, Y et Z dont les

contingentement dexpdition sont respectivement (en milliers de tonnes ) 60 ; 40 ; 75 et 25. Etablir par la mthode

du minimum de la colonne une solution de base faisable, sachant que les cots de transport la tonne sont donns par

le tableau.

A B C D E

W 110 120 100 105 115

X 165 155 150 180 175

Y 200 210 203 206 209

Z 130 125 127 132 133

APPLICATION 7/

Dterminez par la mthode de double prfrence, le plan de transport (faisable) du programme suivant :

Minimiser C = 4X11 + 3X12 + 5X13 + 6X21 + 7X22

+ 10X23

t.q. X11 + X12 +

X13

= 24

X21 + X22 +

X23

= 46

X11 + X21 = 40

X12 + X22 = 20

X13 + X23 = 10

Et Xij 0


APPLICATION 8/

La socit FAMA a des usines Matete, Lemba et Ngaba dont les capacits sont respectivement : 1000, 200 et 400

units dun produit fini quelconque. Elle doit satisfaire la demande de ses quatre principaux clients situs

respectivement Limete, Kintambo, Djili et Maluku soient 700 ; 100 ; 300 et 500 units. La direction des tudes de

recherche de cette entreprise pense que lusine de Matete peut satisfaire pour 500 la demande de Limete, et 500 celle

de Maluku. Lusine de Lemba a son tour nalimente que la demande de Limete. Enfin, lusine de Ngaba consacrera 25%

de sa production pour la demande de Kintambo et le reste celle de Ndjili. En se basant sur la mthode du coin Nord-

Ouest, on vous demande dapprcier ces affectations par rapport lobjectif de minimisation de cots de transports, si

les cots de transport par unit du lieu de production (usine) au lieu de consommation sont donns par la matrice ci-

dessous :

Matrice des cots en USD

Bj

Ai Limete Kintambo Djili Maluku

Matete 7 8 10 6

Lemba 5 10 8 3

Ngaba 10 8 9 12

APPLICATION 9/

Les donnes (en unit monaire) correspondant un programme de transport se prsentent comme suit :

Matrice des cots

unitaires

Sachant que la somme des lments du vecteur-colonne est gale 16 et celle du

vecteur-ligne, gale 10.

Il vous est demand de proposer un plan de transport faisable. Utiliser la mthode

dapproximation de Vogel, cet effet.

4 5

6 4

3 2

Avec Z1 = 5, Z2 = 6 et W2 = 4

APPLICATION 10/

Les donnes suivantes sont prsentes un tudiant de la licence 1 en Administration des affaires pour la proposition

dun plan de transport faisable en applicant tout dabord la mthode de frquence avant de recourrir la mthode de

double prfrence.

linverse de la matrice des cots

unitaires

0.08 - 0.15

- 0.1 0.2

Par ailleurs, les vecteurs doffre et de demande du bien Xij se prsentent comme suit :

APPLICATION 11/

Une socit dimport-export dispose dans les ports de Matadi, Pointe noire et Luanda des stocks de minerais,

respectivement de 600 tonnes, 400 tonnes et 1 400 tonnes, pour lesquels elle a reu des commandes dimportations

de Pretoria (400 tonnes), Pays dAfrique douest (700 tonnes) et de lUnion europenne (1300 tonnes). Dicers bateaux

se rendent des ports (considrs comme places dorigines) vers les diffrentes destinations (considres comme points

de vente). Le cot de transport de ces minerais, sur chaque liaison, est donn par la grille suivante (cots par tonnes

transporte).

Pretoria P.A.O U.E

Matadi 15 15 17

Pointe-

Noire

20 14 15

Luanda 13 18 18

Appliquer la mthode de frquence et dterminer une solution de cot minimal de ce problme de transport par la

mthode de Balas-Hammer.


APPLICATION 12/

Les statistiques dclares lorganisation Internationale du Caf rvelent quune quantit importante de caf vert se

trouve stocke dans 3 dpts (en milliers de tonnes) au Brsil (2 356), Viet-nam (831), Colombie (684). On souhaite

approvisionner moindre cot 3 grandes firmes qui fabrique de produits drivs du caf.

Affectations du stock de C.V.

Nestl S.A. 45

%

Kraft Foods 30

%

de la quantit disponible

MaxingVest AG 25

%

Source : Organisation Internationale du caf

En supposant que les seuls cots prendre en compte pour loptimisation soient les cots de transports. Ceux-ci sont

proportionnels la quantit transfre et la distance parcourue.

Nestl S.A. Kraft Foods MaxingVest

AG

Brsil 160 130 150

Viet-Nam 180 200 200

Colombie 140 100 160

APPLICATION 13/

La transpose dun problme de transport exprim sous forme tabulaire se prsente comme suit :

5 3 5

Apprciez les affectations de ce plan de transport en appliquant la

mthode dapproximation de Vogel.

Le plan obtenu est-il optimal ? Si oui, pourquoi. Si non, dterminez le

plan de transport optimal.

4 1

4 7 7

5 2

3 2 9

4 5

13 8


RESOLUTION DE LAPPLICATION 1

Avant de passer la rsolution dun programme de transport, il faut toujours sassurer de lgalit entre

la somme des composantes Zi du vecteur doffre Z et la somme des composantes Wj du vecteur de

demande, soit :

En exprimant sous forme matricielle, les donnes de lapplication 1, il se dgage ce qui suit :

Demande 1

Demande

1

Demande

3

Firme

1

7 6 8 21

X11 = ? X12 = ? X13 = ?

Firme

2

12 5 4 11

X21 = ? X22 = ? X23 = ?

Firme

3

9 8 5 13

X31 = ? X32 = ? X33 = ?

15 13 12

Comme , ajoutons une colone fictive. Les valeurs Cij de cette colonne fictive sont prises de

manire arbitraire et doivent tre suprieures toutes les autres Cij.

Demande 1

Demande

1

Demande

3

Fictive

Firme

1

7 6 8 20 21

X11 = ? X12 = ? X13 = ? F1 = ?

Firme

2

12 5 4 20 11

X21 = ? X22 = ? X23 = ? F2 = ?

Firme

3

9 8 5 20 13

X31 = ? X32 = ? X33 = ? F3 = ?

15 13 12 5

Etant donn que , prsent, la mthode du coin nord-oeust peut tre applique. Cette

mthode permet dobtenir les affectations suivantes :

Au cas o , on ajouterait une ligne fictive.


Ce rsultat peut galement se prsenter comme suit :

Demande 1 Demande 1 Demande 3 Fictive

Firme

1

7 6 8 20 21

15 6

Firme

2

12 5 4 20 11

7 4

Firme

3

9 8 5 20 13

8 5

15 13 12 5

INTERPRETATIONS DE RESULTATS

Rappelons que le problme du transport est un programme de minimisation. Ainsi, pour minimiser le

cot de transport, daprs les prdictions de la mthode du coin nord-ouest :

La firme 1 qui dispose dun stock de 21 units du bien Xij, doit affecter :

- 15 units de ce bien au premier march au cot de 105 Francs ;

- 6 units du bien Xij au deuxime march au cot de 36 Francs.

La firme 2 qui dispose dun stock de 11 units du bien Xij, doit affecter :

- 7 units du bien Xij au deuxime march au cot de 35 Francs ;

- 4 units du bien Xij au troisime march au cot de 16 Francs.

La firme 3 qui dispose dun stock de 13 units du bien Xij, doit disponibiliser 8 units du bien Xij pour

satisfaire la demande exprime dans le troisime march et cela au cot de 40 Francs.

Le cot total est obtenu en sommant les cots de transport relatifs aux diffrentes affectations (les

places fictives exclues) ; soit :

Cot total = 15(7) + 6(6) + 7(5) + 4(4) + 8(5) = 232


/ TECHNIQUE DE FLOOD ET PROBLEME DAFFECTATION : Mthode hongroise

[Algorithme de Kuhn]

APPLICATIONS III.

APPLICATION 1/

Affecter 5 ouvriers aux 5 postes de manire que tous les ouvriers aient chacun un poste et un seul, ceci de telle sorte que la

valeur totale des affectations soit minimale, la matrice des cots associe tant donne par le tableau ci-aprs.

1 2 3 4 5

1 17,5 15 9 5,5 12

2 16 16,5 10,5 5 10,5

3 12 15,5 14,5 11 5,5

4 4,5 8 14 17,5 13

5 13 9,5 8,5 12 17,5

APPLICATION 2/

Soient 5 ouvriers A, B, C, D, E et 5 postes de travail 1, 2, 3, 4 et 5. Affecter les cinq ouvriers aux cinq postes de telle

sorte que chaque ouvrier ait un poste et un seul et que le cot des affectations soit minimal.

Vous disposez pour cela de la matrice des affectations ci-aprs o Cij reprsente le cot que lentreprise supporte en

affectant louvrier i au poste j.

APPLICATION 3/

La compagnie sucrire de Kwilu Ngongo doit recourir aux services de quatre mcaniciens (M1, M2, M3 et M4) pour la

rpartition de ses quatre machines (m1, m2, m3, m4 et m4) tombes en panne, il y a deux mois.

Lentretien avec ces 4 mcaniciens a permis cette entreprise dlaborer la matrice suivante indiquant le temps que

chaque mcanicien mettra pour rparer chaque type de machines ainsi que le cot horaire de rparation de chaque

machine.

m1 m2 m3 m4

M1 40 1h00 30 1h10

M2 30 50 1h20 45

M3 1h5 41h00 45 1h00

M4 1h5 40 1h00 30

Cot horaire en $

T.D. Faites le plan daffectation qui minimise les cots de cette entreprise sachant quun mcanicien doit tre

affect une machine et une seule.

APPLICATION 4/

Le secrtariat acadmique de lUniversit Kongo doit affecter 5 conomistes candidats assistants aux cours suivants :

Technique de commerce (C1), Droit fiscal (C2), Mathmatique (C3), Ecopol (C4) et Recherche oprationnelle (C5).

Lacadmique souhaite les affecter en optimisant leurs aptitudes enseigner ces cours. Il dispose pour cela des

informations sur les diffrentes ctes quils ont obtenues dans ces 5 cours pendant leur parcours universitaire comme

critre daffectation.

C1 C2 C3 C4 C5

E1 15 9 7 8 2

E2 3 17 4 10 9

E3 6 6 8 7 16

E4 11 2 16 16 11

E5 18 15 3 12 9

Trouver la meilleure affectation sachant que chacun deux doit tre affect un cours et un seul.


APPLICATION 5/

Une entreprise de construction vient douvrir 4 nouveaux chantiers, situs en A, B, C et D. Ces chantiers ncessitent

lemploi de grues actuellement situes sur des chantiers qui viennent dtre termins et situs en V, W, X, Y et Z. Le

tableau suivant donne le nombre dheures que prendrait le transport de chacune des grues de lendroit o elle est

situe vers chacun des chantiers nouveaux.

V W X Y Z

A 8 28 17 11 20

B 13 28 4 26 12

C 38 19 18 15 6

D 19 28 24 10 15

[Heures de transport]

Lentreprise dsire dmarrer le plus vite possible ses nouveaux chantiers. A quel chantier doitelle affecter ses grues

disponibles ?

APPLICATION 6/

Trois candidats (A, B, et C) ont t prslectionns pour un programme de bourse organis dans deux pays : le pays

W o le programme est en anglais et le pays X o le programme est en franais. La slection ne portera que sur

deux dentre les trois candidats en fonction de leur aptitude matriser les deux langues.

Un test de langue a t organis ce propos, les rsultats obtenus sont repris dans le tableau ci-dessous o

la cotation est sur 20 points.

A B C

W 14 11 13

X 13 8 11

On vous demande daffecter les deux candidats qui seront slectionns de manire ce que chacun suit un programme

et un seul.

APPLICATION 7/

Au cours des annes coules, un directeur gnral a fait circuler ses quatre chefs de vente : DADOU, JUSTIN, BENOIT

et ALAIN dans les diffrents dpartements de lentreprise. A la suite de ses expriences, il a not que dans des

conditions quivalentes leurs chiffres daffaires taient respectivement proportionnels 20, 19, 17 et 16. Les chiffres

daffaires quon estime tre en mesure de raliser lanne venir si lon disposait la tte de chacun des dpartements

A, B, C et D un homme de la comptence de Dadou serait : 10, 8, 6 et 5 millions de francs. Le Directeur gnral

pense que la meilleure formule consiste affecter les diffrents dpartements aux quatre chefs de vente, par ordre

dimportance dcroissant en chiffre daffaires, en correspondance avec la notation ci-dessous :

1) Le prouver, en correspondance avec la notation ci-dessous ;

2) En admettant que le dveloppement des chiffres daffaires doive tre le suivant :

Dpartement A B C D

Anne 1 ( venir) 10,00 8,00 6,00 5,00

Anne 2 11,00 9,90 7,70 9,90

Anne 3 12,10 12,10 8,47 13,31

Anne 4 13,31 14,64 9,72 17,30

Et en adoptant un taux dactualisation de 10% trouver les meilleures rotations imposer aux chefs de vente pour

obtenir le chiffre daffaires maximal.

Indications :

1) Etablir une matrice defficience des diffrents chefs de vente supposs affects chacun des dpartements ;

multiplier tous ses lments par 1 ; appliquer lalgorithme de KUHN.

2) Une reprsentation graphique sera utile pour la deuxime question.


APPLICATION 8/

Le Chef de Dpartement dEconomie Pure de la FSE (UNIKIN) doit affecter 5 conomistes aux cours suivants : Math I, Stat

I, MQE, TPP et Economtrie. Le Chef de Dpartement souhaite affecter ces conomistes en optimisant leurs aptitudes

enseigner les cours souhaits. Ces aptitudes sont mesures par les cotes obtenues dans ces diffrentes branches

lUniversit. Elles sont donnes dans le tableau suivant.

Math Stat MQE TPP Eco

E1 15 09 07 08 02

E2 03 17 04 10 09

E3 06 06 08 07 16

E4 11 02 16 16 11

E5 18 15 03 12 09

Indication : Etant un problme de maximisation, il est ncessaire, avant dappliquer la mthode hongroise, de

transformer pralablement les donnes du tableau 6.10, soit en les multipliant par -1, soit en les retranchant de la

donne la plus leve, ici 18. On obtient alors le tableau 6.11.


IV. THEORIE DES GRAPHES

Introduction

La notion de graphe, bien que relativement rcente, est devenue, ce jour, indispensable dans de

nombreux domaines et disciplines, notamment en sciences sociales, en informatique, en optimisation, en

chimie et mme en biologie.

Ltude, donc, de la thorie des graphes et de leurs applications apparait comme loccasion de traiter des

questions trs diverses lies, par exemple, la dtermination du nombre de chemins dans un graphe, au

calcul du chemin le plus court et du chemin le plus long avec lalgorithme de Ford ou lanalyse du

problme de flots dans les rseaux avec lalgorithme de Ford et Fulkerson.

Ce manuel propose des applications trs significatives et adaptes, permettant ltudiant en

Administration dapprhender cette thorie.

Par ailleurs, elles (ces applications) demandent peu de pr-requis (que ltudiant pourra facilement

acqurir en recourant au syllabus du cours) puisque les graphes constituent un sujet dtude nouveau et

surtout trs diffrent des sujets mathmatiques classiquement enseigns, mais exigeant la mme

rigueur intellectuelle.

En un langage simple, un graphe est un outil qui permet de reprsenter la structure, les connexions dun

ensemble complexe en exprimant les relations entre ses lments sous forme dun rseau. Ainsi, les

graphes constituent donc une mthode qui permet de modliser une grande varit de problmes en se

ramenant ltude de sommets et darcs.

In fine, notez que les derniers travaux en thorie des graphes sont souvent effectus par des

informaticiens, du fait de limportance quy revt laspect algorithmique.

Leonhard Paul EULER (15 avril 1707-18 septembre 1783), Mathmaticien et physicien

suisse. Il est notamment lorigine de la thorie des graphes et du calcul infinitsimal.

On attribue gnralement Leonhard EULER lorigine de la thorie des graphes puisquil fut le

premier proposer un traitement mathmatique de la question, suivi par Alexandre-Thophile

VANDERMONDE. Larticle crit par Euler en 1935 et paru en 1941, cet effet, se proposait

danalyser le problme de sept ponts de Knigsberg. Le problme consistait trouver une

promenade partir d'un point donn qui fasse revenir ce point en passant une fois et une seule

par chacun des sept ponts de la ville de Knigsberg (voir ci-dessous). Euler montra que cette

promenade ntait pas possible.

Le problme consistait trouver une promenade partir d'un point donn qui fasse revenir ce point

en passant une fois et une seule par chacun des sept ponts de la ville de Knigsberg.


Terminologie Graphe : cest un ensemble de points ventuellement relis par des arcs.

Ordre dun graphe : lordre dun graphe est le nombre de sommets de ce graphe.

Graphe valu : graphe o des rels sont associs aux artes. Dans cet expos, on ne considrera que des

valuations positives.

Arc : est une ligne orient qui relie deux nuds ou sommets.

Arte : est une ligne non oriente quivalant deux arcs orients en le sens inverse et reliant deux

nuds.

Fonction dincidence :

Boucle : est un arc (ni, nj) particulier o i = j.

Chemin : suite de sommets relis par des arcs dans un graphe orient.

Chane : suite finie de sommets relis par les arcs, sans tenir compte de leur sens.

Circuit : chemin fini qui revient son point de dpart, cest--dire un chemin tel que le nud initial du premier

arc concide avec le nud terminal du dernier.

Cycle : correspond un circuit dans le graphe non orient.

Chemin simple : chemin qui nutilise pas deux fois le mme arc.

Chemin lmentaire : chemin qui nutilise pas deux fois le mme sommet

Chemin eulrien : chemin simple, passant par tous les arcs dun graphe.

Chemin hamiltonien : chemin lmentaire, passant par tous les sommets dun graphe.

Circuit eulrien : circuit simple, passant par tous les arcs dun graphe.

Circuit hamiltonien : circuit lmentaire, passant par tous les sommets dun graphe.

Digraphe : un graphe orient est galement appel digraphe.

Graphe simple : graphe qui ne contient ni boucle, ni arcs parallles.

Graphe eulrien : graphe qui possde un cycle eulrien.

Graphe hamiltonien : graphe qui possde un cycle hamiltonien.

Matrice adjacente : est une matrice binaire ou boolenne. Un lment de la matrice dadjacence est 1 si larc

existe et 0 sinon.

Distance entre deux sommets : longueur de la plus courte chane joignant ces deux sommets.

Diamtre dun graphe : maximum des distances entre les sommets dun graphe.


POUR LAPPREHENSION DES AUTRES CONCEPTS, CONFER NOTE ET ILLUSTRATIONS EFFECTUEES PENDANT

LES SEANCES DE TP.

APPLICATIONS IV.

APPLICATION 1/

Tracer le graphe de la matrice dadjacence (matrice boolenne) suivante :

APPLICATION 2/

En observant, pendant un mois, les dplacements dun tudiant de Licence 1 Administration des Affaires de son lieu de

rsidence (Lemba) lUniversit Protestante au Congo, on parvient laborer le graphe suivant correspondant aux

diffrentes lignes quil a utilis pendant cette priode :

1/ Proposez une matrice adjacence du graphe ci-dessus o les lettres Q, W, V, X, Y et Z correspondent respectivement

aux nuds Lemba, Limete, Victoire, Bandal, C. Ville et UPC.

2/ Rpondez par vrai ou faux aux propositions ci-aprs :

a/ Le chemin Lemba-Bandal-UPC-B.March-Limete-Victoire est hamiltonien.

b/ L e chemin Lemba-Bandal-UPC-Lemba-Limete est simple.

c/ Le circuit Lemba-Limite-Victoire-UPC-Victoire-Lemba est simple.

d/ Le chemin C.Ville-Lemba-Limete-Victoire-Lemba-Bandal-UPC est lmentaire.

3/ Y a-t-il un chemin eulrien ?

BANDAL

LEMBA R.P.

VICTOIRE

LIMETE

U.P.C

C. Ville


APPLICATION 3/

Soit le graphe suivant sous forme matricielle :

A B C D Travail demand :

a. Drivez le graphe correspondant sous-forme sagittale.

b. Dterminer le nombre de chemin de longueur 3 reliant A et

C ; B et D ; C et A ; D et C et D et D.

c. Y a-t-il un sommet pendant dans ce graphe ?

A 0 1 1 0

B 1 0 0 1

C 0 1 0 0

D 1 0 1 1

APPLICATION 4/

Soit la circulation routire dans la cit de BENTACOURT reliant 3 quartiers est reprsent comme suit :

U V W Travail demand :

a. Dfinir les dictionnaires de prcdents associs ce graphe.

b. Y a-t-il une boucle dans ce graphe ?

U 0 1 1

V 1 0 1

W 1 1 0

APPLICATION 5/

Soit le graphe ci-dessus correspondant plus ou moins au problme de sept ponts de Knigsberg.

Travail demand :

a. Dites si ce graphe est orient ou non.

b. Si les distances entre J et P ; P et T ; V et T ; T et J ; J et V quivalent respectivement 2, 1, 3, 4

et 2 heures de marche normale pied ; dterminez le nombre de chemin de longueur 3 reliant J et

T. Evaluez le temps effectuer pour parcourir ce chemin.

T

P

V

J


V. PROGRAMMES NON LINEAIRES

Les mthodes de rsolution appliques en programmation linaires ne sont pas utilisables en

programmation non linaire. Des techniques spcifiques ont t dveloppes pour rsoudre les

programmes de types non linaires. Parmi celles-ci, lon compte la technique de Kuhn-Tucker.

/ Technique de KUHN et TUCKER

Pour rsoudre un problme de programmation classique, on recourt aux conditions du premier ordre

(conditions ncessaires) et celles du second ordre (conditions suffisantes). Les conditions du premier

ordre pour un extremum local consistent annuler, en vertu du thorme de Michel Rolle, les drives

partielles premires par rapport aux variables-choix de la fonction-objectif et au Multiplicateur de

Lagrange.

Paralllement, dans un programme non linaire, il existe galement des conditions du 1er ordre. Ces

conditions sont gnralement qualifies de Conditions de KUHN et TUCKER du nom de deux scientifiques

consacrs aux problmes de maximisation sous des contraintes en inquations.

Contrairement aux conditions du premier ordre, dans la programmation classique, qui sont toujours

ncessaires, celles de Kuhn et Tucker ne le sont que sous certaines conditions. Ainsi, les conditions de Kuhn

et Tucker peuvent tre ncessaires, suffisantes ou mme ncessaires et suffisantes.

Comme les conditions de Kuhn et Tucker se fondent sur le lagrangien, ainsi, nous rappelons le concept du

lagrangien avant dillustrer par un cas pratique les conditions de Kuhn-Tucker.

/ La fonction de LAGRANGE

*Le lagrangien en cas du programme dune contrainte et de n variables-choix :

Soit w = w(X1, , Xn)

S/C : h(X1, , Xn) = c

Avex Xj 0

Le lagrangien associ ce programme, not L, est donc :

L = w(X1, , Xn) [c h(X1, , Xn)]

Pour dterminer les extremums, Il suffit de driver la fonction L par rapport aux diffrentes variables-choix

Xi et par rapport et de rsoudre, cet effet, le systme dquation obtenu. Les conditions du second

ordre permettront de caractriser le type des extremums.

Cette condition est connue sous le nom de condition de qualification. Elle impose une certaine restriction sur les fonctions des

contraintes dun programme non linaire. De manire gnrale, les contraintes satisfont une condition de qualification en un point X* (ou les contraintes sont qualifies en X*) si et seulement si les conditions de Kuhn-Tucker savrent ncessaires pour que X* soit un extremum.


*Le lagrangien en cas du programme de m contraintes et de n variables-choix :

Que devient la fonction de Joseph Lagrange en cas dun programme ayant plusieurs contraintes et n

variables-choix ? Pour rpondre cette interrogation, considrons le programme gnrique suivant :

Soit w = w(X1, , Xn)

S/C : h1(X1, , Xn) = c1, h2(X1, , Xn) = c2, , hm(X1, , Xn) = cm

Avex Xj 0

Dans ce cas, le lagrangien associ ce nouveau type de programme, not Z, scrit comme suit :

Z = w(X1, , Xn) 1[c1 h1(X1, , Xn)] 2[c2 h2(X1, , Xn)] m[cm hm(X1, , Xn)]

Sans ambigit, lexpression ci-dessus peut galement scrire :

/ Conditions de Kuhn-Tucker

Partant de la fonction Z de Lagrange, les conditions de Kuhn-Tucker** (en considrant en un premier

temps, un problme de maximisation) peuvent donc tre drives comme suit :

Pout tout i = 1, 2, , m et j = 1, 2, , n :

En ramnageant les expressions ci-dessus, on obtient :

Avec Xj 0

Avec i 0

Notons que :

1. De ce qui prcde, on peut obtenir les valeurs suivantes :

** Les CKT correspondent ainsi aux conditions marginales.


Si et seulement si :

Donc, il est trs clair et logique de noter pout tout j :

2. Par ailleurs :

Si et seulement si :

De mme, il est logique de noter pout tout i :

Ainsi, on obtient, ci-aprs, les conditions sur la variable quadratique dcart ou de niveau, appeles

galement, relation dexclusion ou relation de complmentarit, en anglais complementary slackness

conditions :

et


Que devient les conditions de Kuhn et Tucker lorsquil sagit dun problme de

minimisation ?

Connaissant que maximiser quivaut minimiser , tout en inversant les ingalits des contraintes

aprs avoir multipli chaque terme des contraintes par -1, les conditions de Kuhn-Tucker peuvent donc

dobtenir comme suit par analogie :

Pout tout i = 1, 2, , m et j = 1, 2, , n :

Et par consquent :

Avec Xj 0

Avec i 0


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