recherche op rationnelle - chapitre 2 :...

Probleme de transportMethode du simplexe : un apercu par l’exemple

Methode du simplexe sous forme de tableau

Recherche Operationnelle

Chapitre 2 : Programmation lineaire(Partie 2 : Un probleme d’optimisation lineaire en dimension

superieure)

Julian Tugaut

Vendredi Novembre

Julian Tugaut Recherche Operationnelle

Sommaire

1 Probleme de transport

2 Methode du simplexe : un apercu par l’exemple

3 Methode du simplexe sous forme de tableau

Plan






Probleme de transport - 1

Notre fabricant d’automobiles possede trois chaınes de montageM1, M2 et M3 tandis que son stock d’acier provient de deuxacieries A1 et A2. Les couts de transport d’une unite d’acier d’uneacierie vers une usine de montage sont donnes par le tableausuivant :

M1 M2 M3

A1 9 16 28

A2 14 29 19





Les besoins de production des chaınes de montage different :

M1 142

M2 266

M3 192

De meme les capacites de production des acieries sont differentes :

A1 206

A2 394





Il s’agit pour le fabricant de determiner le plan de transport desunites d’acier produites vers les chaınes de montage afin deminimiser le cout total de transport. Pour i ∈ [[1; 2]] et j ∈ [[1; 3]],on note xi ,j le nombre d’unites d’acier acheminees depuis l’acierieAi vers la chaıne de montage Mj . Le probleme de transportoptimal peut alors s’ecrire :

min. T = 9x1,1 + 16x1,2 + 28x1,3 + 14x2,1 + 29x2,2 + 19x2,3

sous x1,1 + x1,2 + x1,3 ≤ 206x2,1 + x2,2 + x2,3 ≤ 394x1,1 + x2,1 ≥ 142x1,2 + x2,2 ≥ 266x1,3 + x2,3 ≥ 192x1,1, x1,2, x1,3, x2,1, x2,2, x2,3 ≥ 0





Nous verrons par la suite qu’il est possible de traiter un telprobleme de maniere systematique, par le biais d’une reduction aune forme standard suivie d’un algorithme qui porte le nom demethode du simplexe. Toutefois, dans ce cas precis, cela nousmenerait a des manipulations trop fastidieuses pour etre realiseessans l’aide d’un ordinateur. A sa place, nous allons proceder a uncertain nombre de remarques ad hoc qui vont nous permettre depoursuivre les calculs a la main.





La remarque principale ici est que dans la mesure ou la somme descapacites de productions des acieries (206 + 394 = 600) est egale ala somme des besoins de production des trois chaınes de montage(142 + 266 + 192 = 600), chacune des cinq premieres inegalitesdans le probleme d’optimisation ci-dessus doit necessairement etreune egalite. Si on omet momentanement de s’occuper descontraintes xi ,j ≥ 0, les contraintes restantes se reduisent a unsysteme de cinq equations a six inconnues, que nous pouvonstenter de resoudre par la methode du pivot de Gauss.





On reecrit le sous-systeme des contraintes d’egalite sous la forme(on choisit l’ordre des equations afin de faciliter le pivot de Gauss) :

x1,1 + x2,1 = 142x1,2 + x2,2 = 266

x1,3 + x2,3 = 192x1,1 + x1,2 + x1,3 = 206

x2,1 + x2,2 + x2,3 = 394





Sous forme matricielle :

1 0 0 1 0 0 1420 1 0 0 1 0 2660 0 1 0 0 1 1921 1 1 0 0 0 2060 0 0 1 1 1 394





Ce qui donne

1 0 0 1 0 0 142

0 1 0 0 1 0 2660 0 1 0 0 1 1920 1 1 −1 0 0 640 0 0 1 1 1 394





puis

1 0 0 1 0 0 142

0 1 0 0 1 0 266

0 0 1 0 0 1 1920 0 1 −1 −1 0 −2020 0 0 1 1 1 394





puis

1 0 0 1 0 0 142

0 1 0 0 1 0 266

0 0 1 0 0 1 1920 0 0 −1 −1 −1 −3940 0 0 1 1 1 394





Les deux dernieres lignes sont similaires. On peut donc en enleverune :

1 0 0 0 −1 −1 −252

0 1 0 0 1 0 266

0 0 1 0 0 1 192

0 0 0 1 1 1 394





Les variables x2,2 et x2,3 sont libres. On en deduit :

x2,1 = 394 − x2,2 − x2,3

x1,3 = 192 − x2,3

x1,2 = 266 − x2,2

x1,1 = −252 + x2,2 + x2,3 .

On exprime ensuite le cout T uniquement en termes des variableslibres x2,2 et x2,3 :

T =9(−252 + x2,2 + x2,3) + 16(266 − x2,2) + 28(192 − x2,3)

+ 14(394 − x2,2 − x2,3) + 29x2,2 + 19x2,3

=8x2,2 − 14x2,3 + 12 880 .





Afin de minimiser T , il est donc opportun de choisir x2,3 le plusgrand possible et x2,2 le plus petit possible. C’est a ce niveau qu’ilnous est necessaire de faire reapparaıtre les contraintes de positivitesans lesquelles T pourrait etre rendu aussi negatif que souhaite.

En examinant les equations plus haut, on se convainc assezrapidement que le meilleur choix est obtenu en prenant x2,3 = 192(afin de satisfaire mais de saturer la contrainte x1,3 ≥ 0) et ensuitex2,2 = 60 (afin de satisfaire mais de saturer la contrainte x1,1 ≥ 0).On propose alors la solution suivante :

x1,1 = 0 , x1,2 = 206 , x1,3 = 0 , x2,1 = 142 , x2,2 = 60 , x2,3 = 192 ,





comme candidat a etre le transport optimal. Pour verifier notreintuition, on choisit d’exprimer le cout total T uniquement entermes des variables x1,1 et x1,3 ce qui donne l’expression :

T =8x2,2 − 14x2,3 + 12 880

=8(60 + x1,1 + x1,3) − 14(192 − x1,3) + 12 880

=8x1,1 + 22x1,3 + 10 672 .

Comme x1,1 ≥ 0 et x1,3 ≥ 0 par contrainte, on a necessairementT ≥ 10 672 quel que soit le choix des autres variables satisfaisantl’ensemble des contraintes. Par ailleurs, le choix proposeprecedemment fournit T = 10 672 et satisfait a l’ensemble descontraintes. Il s’agit donc effectivement de la solution optimale.





Pour terminer cet exemple par une synthese, observons que noussommes parvenus a reecrire le probleme d’optimisation initial sousla forme d’un systeme lineaire augmente de contraintes depositivites de toutes les variables. Nous avons ensuite determine lerang de la matrice sous-jacente et exprime de diverses manierespossibles (deux en fait) la fonction a optimiser en termes devariables libres pour ce systeme lineaire. Nous nous sommes arreteslorsque les coefficients des variables libres dans l’expression de lafonction a optimiser furent tous positifs ou nuls, et avons concluque les egaler a zero fournissait une solution assurement optimale.


Plan






Simplexe - 1

Considerons le probleme d’optimisation lineaire :

maximiser Z := 5x1 + 4x2 + 3x3sous les contraintes 2x1 + 3x2 + x3 ≤ 5

4x1 + x2 + 2x3 ≤ 113x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 8x1 , x2 , x3 ≥ 0

(1)


Simplexe - 2

Afin de se ramener a un systeme d’equations plutot qued’inequations, on introduit les variables d’ecart e1, e2 et e3 et l’onecrit le probleme ci-dessus sous la forme

e1 = 5 − 2x1 − 3x2 − x3e2 = 11 − 4x1 − x2 − 2x3e3 = 8 − 3x1 − 4x2 − 2x3Z = + 5x1 + 4x2 + 3x3

(2)

avec pour but de maximiser Z sous les contraintes additionnelesxi , ei ≥ 0 (pour tout i ∈ [[1; 3]]). Il est aise de verifier que si(x1, x2, x3, e1, e2, e3) est une solution optimale de ce dernierprobleme, alors (x1, x2, x3) constitue une solution optimale duprobleme (1). Inversement, si (x1, x2, x3) est une solution optimalede (1), alors(x1, x2, x3, 5−2x1−3x2−x3, 11−4x1−x2−2x3, 8−3x1−4x2−2x3)constitue une solution optimale de (2).



Simplexe - 3

Le systeme (2) possede la solution (non optimale) (0, 0, 0, 5, 11, 8).

Definition

L’usage est d’appeler « solution realisable » tout choix de variablessatisfaisant a l’ensemble des contraintes.

On observe que dans l’expression Z = 5x1 + 4x2 + 3x3, uneaugmentation de x1 entraıne une augmentation de Z . L’ideepremiere est alors d’augmenter x1 autant que possible (sansmodifier ni x2 ni x3) tant qu’aucune des variables d’ecart e1, e2 oue3 ne devient negative. Le choix maximal est donc

x1 = min{

52; 11

4; 83

}

= 52, lorsque e1 devient nulle et qui fait passer

a la solution realisable(

52, 0, 0, 0, 3,

12

)

.




Simplexe - 4

On reecrit le systeme (2) en exprimant cette fois (x1, e2, e3) (ainsique Z ) en termes de (x2, x3, e1), au moyen de l’equation

x1 =5

2−

3

2x2 −

1

2x3 −

1

2e1 .




Simplexe - 5

Ceci donne, apres substitutions :

x1 = 52

−32x2 −

12x3 −

12e1

e2 = 1 + 5x2 + 2e1e3 = 1

2+ 1

2x2 −

12x3 + 3

2e1

Z = 252

−72x2 + 1

2x3 −

52e1

(3)




Simplexe - 6

Cette fois, on observe que dans l’expressionZ = 25

2−

72x2 +

12x3 −

52e1, une augmentation de x3 (c’est ici le

seul choix possible) entraıne une augmentation de Z . A nouveau,on augmente donc x3 autant que possible (sans modifier ni x2 nie1) tant qu’aucune des variables de base x1, e2 ou e3 ne devient

negative. Le choix maximal est donc x3 = min

{

5212

;1212

}

= 1, lorsque

e3 devient nulle, et qui fait passer a la solution realisable(2, 0, 1, 0, 1, 0).




Simplexe - 7

On reecrit le systeme (3) en exprimant cette fois (x1, x3, e2) (ainsique Z ) en termes de x2, e1, e3, au moyen de l’equation

x3 = 1 + x2 + 3e1 − 2e3 .

Ceci donne, apres substitutions :

x1 = 2 − 2x2 − 2e1 + e3x3 = 1 + x2 + 3e1 − 2e3e2 = 1 + 5x2 + 2e1Z = 13 − 3x2 − e1 − e3 .

(4)




Simplexe - 8

Puisque les coefficients de x2, e1 et e3 intervenant dans l’expressionde Z ci-dessus sont tous negatifs ou nuls, on deduit que la solutionrealisable

x1 = 2

x2 = 0

x3 = 1

e1 = 0

e2 = 1

e3 = 0

est une solution optimale pour laquelle Z = 13.




Simplexe - 9

Plutot que de formaliser l’algorithme du simplexe et d’en decouvrirles bases theoriques, voyons une deuxieme methode pour l’aborderet qui consiste a placer les calculs en tableau (toutes les variablesse retrouvent du meme cote du signe de l’egalite) plutot que sousforme de dictionnaire comme ci-dessus. L’avantage de cettedeuxieme facon de presenter les choses (mais qui est bien surequivalente a la premiere) est qu’elle se rapproche plus de lamethode bien connue du pivot de Gauss.


Plan






Simplexe - 10

Il convient de garder a l’esprit que l’algorithme qui sera presentedans ce cours n’est pas stricto sensu l’algorithme du simplexe. Eneffet, il faudrait que l’on applique des criteres pour eviter lacyclicite et pour que la vitesse soit optimale.




Simplexe - 11

Considerons donc maintenant le probleme d’optimisation lineaire

maximiser Z := x1 + 5x2 + x3sous les contraintes x1 + 3x2 + x3 ≤ 3

−x1 + + 3x3 ≤ 22x1 + 4x2 − x3 ≤ 4x1 + 3x2 − x3 ≤ 2x1 , x2 , x3 ≥ 0

(5)




Simplexe - 12

On introduit les variables d’ecart e1, e2, e3 et e4 (on a quatrevariables d’ecart car on a quatre contraintes) et on reecrit leprobleme sous la forme

Z := x1 + 5x2 + x3x1 + 3x2 + x3 + e1 = 3

−x1 + + 3x3 + e2 = 22x1 + 4x2 − x3 + e3 = 4x1 + 3x2 − x3 + e4 = 2x1 , x2 , x3 , e1 , e2 , e3 , e4 ≥ 0

(6)




Simplexe - 13

On adopte alors la notation sous forme de tableau :

1 3 1 1 0 0 0 3−1 0 3 0 1 0 0 22 4 −1 0 0 1 0 41 3 −1 0 0 0 1 2

1 5 1 0 0 0 0 0


Simplexe - 14

La derniere ligne du tableau correspond a une expression possiblede Z comme fonction affine des variables x1, x2, x3, e1, e2, e3, e4,l’oppose du terme constant se trouvant en bas a droite du tableau.On part de la solution realisable (0, 0, 0, 3, 2, 4, 2) et puisque leterme en x1 dans la derniere ligne du tableau est strictementpositif, on va augmenter x1 (sans modifier x2 ni x3) jusqu’a ce quel’une des variables e1, e2, e3, e4 devienne nulle. Ceci se produit pourx1 = 2 pour lequel a la fois e3 et e4 deviennent nulles. On choisitdonc de faire rentrer x1 en base et de faire sortir (par exemple) e3.Cela donne :

1 3 1 1 0 0 0 3−1 0 3 0 1 0 0 21 2 −

12

0 0 12

0 21 3 −1 0 0 0 1 2

1 5 1 0 0 0 0 0



Simplexe - 15

puis

0 1 32

1 0 −12

0 10 2 5

20 1 1

20 4

1 2 −12

0 0 12

0 20 1 −

12

0 0 −12

1 0

0 3 32

0 0 −12

0 −2

et fournit une solution realisable pour laquelle x1 = 2, e1 = 1,e2 = 4, e4 = 0 (et les variables hors base sont toujours nulles :x2 = x3 = e3 = 0).




Simplexe - 16

Puisque le coefficient de x2 dans la nouvelle expression de Z estpositif, on fait ensuite rentrer x2 en base, et on doit faire sortir e4.Cela donne :

0 0 2 1 0 0 −1 10 0 7

20 1 3

2−2 4

1 0 12

0 0 32

−2 20 1 −

12

0 0 −12

1 0

0 0 3 0 0 1 −3 −2

et fournit la solution realisable (2, 0, 0, 1, 4, 0, 0).




Simplexe - 17

On fait ensuite rentrer x3 en base (son coefficient dans l’expressionde Z vaut maintenant 3) et on fait sortir e1 (qui s’annule lorsquex3 =

12). Cela donne

0 0 1 12

0 0 −12

12

0 0 72

0 1 32

−2 41 0 1

20 0 3

2−2 2

0 1 −12

0 0 −12

1 0

0 0 3 0 0 1 −3 −2




Simplexe - 18

puis

0 0 1 12

0 0 −12

12

0 0 0 −74

1 32

−14

94

1 0 0 0 0 32

−74

74

0 1 0 14

0 −12

34

14

0 0 0 −32

0 1 −32

−72

et fournit la solution realisable(

74,

14,

12, 0, 0, 0, 0

)

.




Simplexe - 19

On fait ensuite rentrer e3 et sortir x1 (qui s’annule en premierlorsque e3 =

76). Cela donne

0 0 1 12

0 0 −12

12

0 0 0 −74

1 32

−14

94

23

0 0 0 0 1 −76

76

0 1 0 14

0 −12

34

14

0 0 0 −32

0 1 −32

−72




Simplexe - 20

puis

0 0 1 12

0 0 −12

12

−1 0 0 −74

1 0 32

12

23

0 0 0 0 1 −76

76

13

1 0 14

0 0 16

56

−23

0 0 −32

0 0 −13

−143

et fournit finalement la solution optimale(

0,

56,

12, 0,

12,

76, 0

)

pour

laquelle Z = 143.


recherche op rationnelle - chapitre 2 :...

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