rdm_cisaillement

- Théorie des poutres : théorie élémentaire de l’effort tranchant - LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY Page n°1/38

Cours de - résistance des matériaux -

_______________________________________________

Théorie des poutres

Effort tranchant :Détermination des contraintes tangentes.


SOMMAIRE

1. CONTRAINTES PRODUITES PAR L'EFFORT TRANCHANT. yV ___________________________________ 3

1.1. EXPRESSION DE LA CONTRAINTE TANGENTIELLE....................................................................31.1.1. ISOLONS LE PRISME DE LONGUEUR DX DÉFINI PAR infD 31.1.2. LE THÉORÈME SUIVANT DE CAUCHY 41.1.3. DÉTERMINONS τn EN PROJETANT SUR L'AXE DES

rx TOUTES LES FORCES QUI S'EXERCENT SUR LE PRISMEISOLÉ.

1.2. CAS DES SECTIONS PRISMATIQUES (AUTRES QUE LES PROFILS À PAROIS MINCES.........81.3. FLEXION DÉVIÉE, RESTRICTION AUX CAS DE SECTIONS RECTANGULAIRES.......................91.4. PROFILS MINCES ..........................................................................................................................11

1.4.1. ÉTUDE DES PROFILS MINCES OUVERTS SOLLICITÉS À L’EFFORT TRANCHANT yV 111.4.2. EUDE D’UN PROFIL MINCE FERMÉ (UNICELLULAIRE) 12

1.5. DÉTERMINATION DE LA RÉPARTITION DES CONTRAINTES TANGENTES DANS UNESECTION DROITE EN FORME DE I, DIAGRAMME DE REPRÉSENTATION. .............................14

1.5.1. EXPRESSION DE LA CONTRAINTE TANGENTE GÉNÉRÉE PAR UN EFFORT TRANCHANT yV 141.6. CALCUL DE LA CONTRAINTES TANGENTE MAX. POUR LES PROFILS COMMERCIAUX. .....201.7. INFLUENCE SUR LA CONCEPTION DES ASSEMBLAGES DE PROFILÉS MÉTALLIQUES ......221.8. VERIFICATION SELON L’EC3 (EUROCODE 3 CONSTRUCTION MÉTALLIQUE) .......................23

1.8.1. EFFORT TRANCHANT (V) 231.8.2. MOMENT FLÉCHISSANT ET EFFORT TRANCHANT (M ET V ) 241.8.3. MOMENT FLÉCHISSANT, EFFORT TRANCHANT, EFFORT AXIAL (M , V ET N) 241.8.4. DÉFINITION DES CLASSES DE SECTION 251.8.5. CLASSIFICATION DES PAROIS COMPRIMÉES D'UNE SECTION 251.8.6. CLASSEMENT DES SECTIONS 25

1.9. VÉRIFICATION SELON LA RÉGLEMENTATION EUROCODE 5 ..................................................28

2. DEFORMATIONS ET DEPLACEMENTS PRODUITS PAR L'EFFORT TRANCHANT. ________________________ 30

2.1. ETUDE DE LA FLEXION SIMPLE EN CONSIDERANT L’INFLUENCE DE Vy ..............................30

2.2. DEPLACEMENT DE LA LIGNE MOYENNE ENGENDRE PAR Vy et Mz .....................................33

2.3. DEPLACEMENT DE LA LIGNE MOYENNE ENGENDRE PAR Vy . ...............................................34

3. CISAILLEMENT D’EFFORT TRANCHANT : Approche plus générale ______________________________ 35


1. CONTRAINTES PRODUITES PAR L'EFFORT TRANCHANT. yV

La RDM aborde la question par l’intermédiaire de modèles approchés fournissant des résultats directement utilisables parles ingénieurs. Ces modèles constituent la théorie élémentaire de l’effort tranchant.

1.1. EXPRESSION DE LA CONTRAINTE TANGENTIELLE

Hypothèse : La section droite n’est pas évolutive ( ) ( )Ω Ωx dx x+ =Soit une poutre soumise à la flexion simple ou composée ( N cte= sur des tronçons de poutre )

Considérons un prisme élémentaire de poutre de longueur dx situé entre les sections droites ( )Ω x et

( )Ω x dx+ .

Soit une courbe C orientée partageant la section droite ( )xΩ en 2 domaines. ( ) supinf DDx +=Ω

Appelons s l’abscisse curviligne. Au point ( )M s de cette courbe C est attaché un repère local orthonormal

noté ( )( )t,n,sMrr

. nr

le vecteur normal à la courbe, tr

la tangente à celle si. 2π

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∧

t,nrr

La courbe C définit un domaine noté infD tel que le vecteur normal nr

est dirigé vers l’extérieur de celui-ci.

La courbe C définit un domaine noté supD tel que le vecteur normal nr

est dirigé vers l’intérieur de celui-ci.

1.1.1. Isolons le prisme de longueur dx défini par infD(Fig. ci-dessous ): vue en élévation de la section droite, représentation du diagramme des contraintes normales et actions s’exerçant

sur le prisme.

R.D.M.

M

ds

C

y

z

facette de normale

A

B

AB

y

xtr

nr

−

nrnrτr

nr

( )xdxxr

+σ( )xx

rσ−

x dxx +dx

( )xG

facette de normale xr

z

infD


( )xxNr

−

( )xdxxNr

+

( )yxVyr

−

( )xG

( )zxM zr

−

( )ydxxVyr

+

( )zdxxM zr

+

( )dxxG +

y Le tronçon de poutre de section droite ( )xΩ et delongueur dx est soumis aux sollicitations définiessur le schéma ci-contre.

Avec ( ) ( ) ctedxxNxN =+= d’après l’hypothèseinitiale.

Isolons ce prisme de longueur dx délimité d’une part par les surfaces infD appartenant aux sections droites

( )dxx +Ω et ( )xΩ et d’autre part par la surface latérale Σ .

Nous avons un tronçon de poutre partiel du fait que nous nous intéressons à la partie infD .

L’effort normal ainsi que le moment de flexion introduisent des contraintes normales en tout point de infD , soit

( )xdxxr

+σ sur infD ∈ ( )dxx +Ω et ( )xxr

σ− sur infD ∈ ( )xΩ .Ces contraintes normales nous sont parfaitement connues. Comme les moments de flexion sont différents,

( ) ( )xMdxxM zz ≠+ , les contraintes normales le sont aussi, il en est de même des résultantes des forces

normales (parallèles à l’axe xr

) respectives. Comme ce tronçon doit être en équilibre, sur la surface latérale Σ dece tronçon, doivent exister des contraintes tangentes parallèles à x

r : notées xn

rτ susceptibles de donner une

résultante parallèle à xr

.On s’intéresse aux forces en projection sur l’axe x

r.

A

B

ds

nr

nr

xr

facette de normale nr

facette de normale xr

τrnnr

τxnr

τ( )sM

dx

Soit 2 points ∀ mais voisins A, B ∈ Cencadrant le point ( )M s , tel que la longueur

de l'arc AB: AB ds)

= .On peut définir une facette ∈ ( )Ω x dx+ denormale

rx et dont l'un des cotés est AB. Surcette facette s'exerce une contrainte

( ) τσσ rrrr+= x.x,M , si M correspond au

centre de gravité de l'élément de surface, cepoint peut aisément être considéré commeconfondu avec ( )M s .Soit une deuxième facette qui est ⊥ à laprécédente, de normale

rn . et d’aire dx.ds .Sur cette facette s'exerce une contrainte

( )n,Mrrσ .

Si M correspond au centre de gravité de cetélément de surface, de même il peut êtreconsidéré comme confondu avec ( )M s .

1.1.2. Le théorème suivant de CAUCHY

En théorie des contraintes, on démontre le théorème suivant dit de CAUCHY: ( ) ( )r r r r r rσ σM x n M n x, . , .=

La projection sur un vecteur unitaire rn d'une contrainte s'exerçant sur une facette au point M de

normale rx est égale à la projection sur un vecteur unitaire

rx d'une contrainte s'exerçant sur une facetteau même point M et de normale

rn .


Le produit scalaire ( ) nn.x,M τσ =rrr

représente la composante (coordonnée) de la contrainte tangentielle sur la normalern : ( ) ( ) nn.n.x.n.x,M τττσσ ==+=

rrrrrrrr, cette contrainte ∈ à la section droite. On la nomme parfois contrainte de

cisaillement transversal ( cette contrainte appartient à la section droite). ( ) ( ) nn.x,Mx.n,M τσσ ==rrrrrr

Cette contrainte nτ représente la projection, sur l'axe longitudinal rx de la poutre, de la contrainte s'exerçant

sur une facette de normale nr

et ⊥ à la section droite ( )xΩ .

Cette contrainte est souvent nommée cisaillement longitudinal.

En un point ∀ de la section droite, le cisaillement transversal et le cisaillement longitudinal sont égaux,le signe + traduit le sens des contraintes, elles convergent toutes deux vers l'arête commune (courbe C )ou simultanément elles s'en éloignent.

1.1.3. Déterminons τn en projetant sur l'axe des rx toutes les forces qui s'exercent sur leprisme isolé

Dans la section ( )Ω x d'abscisse x , nous avons des contraintes normales.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )r r r r r r r r rσ σ σ τ σM x x x M x x x x x x x x, . , . . .− = − = − + = −

Dans la section ( )Ω x dx+ d'abscisse dxx + , nous avons des contraintes normales.

( )( ) ( ) ( )( ) ( )r r r r r rσ σ τ σM x dx x x x dx x x x x dx+ = + + = +, . . .

L'équation traduisant le P.F.S. en projection sur l'axe des x.

( ) ( ) 0=+++− ∫∫∫∫∫ ds.dx.dA.dxxdA.x nCDD infinf

τσσ

Remplaçons par l'expression des contraintes normales que nous avons déterminée en flexion composée.

( ) ( ) ( ) ( )0=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−− ∫∫∫∫∫ ds.dx.dA.y.

IdxxM

AdxxNdA.y.

IxM

AxN

nCD Gz

z

D Gz

z

infinf

τ

( ) ( )N x N x dx N cte= + = = , d'après l'hypothèse.

( ) ( )0=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−− ∫∫∫∫∫ ds.dx.dA.y.

IdxxM

ANdA.y.

IxM

AN

nCD Gz

z

D Gz

z

infinf

τ

( ) ( )0=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∫∫∫∫∫ ds..dxdA.y.

IdxxM

dA.y.I

xMn

CD Gz

z

D Gz

z

infinf

τ , (dx est une cte. / s)

( ) ( )0=+

+−+ ∫∫∫∫∫ ds..dxdA.y.

IdxxM

dA.y.I

xMn

CDGz

z

DGz

z

infinf

τ

Les moments de flexion et moments quadratiques sont des ctes., on peut les extraire des intégrales.


( ) ( )[ ] dA.y.xMdxxM.I

ds.dxinfD

zzGz

nC

∫∫∫ −+−1τ

On reconnaît la définition du moment statique ( )infGzDDSdA.y

inf

=∫∫

( ) ( )[ ] ( )infGzzz

Gzn

C

DS.dx

xMdxxM.

Ids.

−+−∫

1τ

( ) ( )[ ] ( )limdxz z

y

M x dx M xdx

V x→

+ −= −0 ( voir les relations entre les éléments de réduction. )

( ) ( )0=+∫

Gz

infGzyn

C IDS.xV

ds.τ ou autre forme( ) ( )

Gz

infGzyn

C IDS.xV

ds. −=∫ τ

( ) supinf DDx +=Ω

( )[ ] [ ] [ ] [ ]supGzinfGzsupinfGzGz DSDSDDSxS +=+=Ω d’après les propriétés des moments statiques

( )[ ] 0=xSGz Ω le moment statique d’une surface par rapport à un axe qui passe par le centre de surface(gravité) de cette surface est nul.

Nous en déduisons que [ ] [ ]infGzsupGz DSDS −= Les moments statiques des domaines inf. et sup. sontopposés.

( ) ( )Gz

supGzyn

C IDS.xV

ds. =∫ τ

Interprétation de l'expression: ( ) ( )

Gz

supGzyn

C IDS.xV

ds. =∫ τ

Cn ds dx∫

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟τ . . représente l'effort de glissement longitudinal agissant sur la surface définie par la courbe C et

dx . En observant la vue en élévation du prisme isolé, on remarque que cet effort correspond à la différence desefforts agissant sur les extrémités (les sections droites). Cet effort n'existe que si les diagrammes des contraintesnormales sont différents.

( ) ( ) ( )si M x dx M x V xz z y+ ≠ ⇒ ∃ ≠ 0

si le moment de flexion est constant, l’effort tranchant est nul, il en est de même de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ ds.nC

τ

( ) ( ) ( ) 00 =⇒=⇒==+ ∫C

nyzz ds.xVctexMdxxMsi τ


Cn ds∫ τ . représente l'effort de glissement longitudinal unitaire (faire dx = 1, unitaire = par unité de longueur

) ( )C/sd.

Cn τφτ =∫ est aussi appelé flux de cisaillement traversant la courbe C

z

C

y

( )xG

z

infD

nτ

ds.dx.nC

τ∫

( ) dA.dxxinfD∫∫ +σ

( ) dA.xinfD∫∫ −σ

force due aux contraintes normales sur

force due aux contraintes normales sur ( )xΩ

( )dxx +Ω

force due aux contraintes de cisaillement longitudinal

ds

Le flux de cisaillement traversant lacourbe C : ( )C/sd.

Cn τφτ =∫

représente te transfert de la variationde la résultante des contraintesnormales appliquées sur le domaine

infD , par glissement, depuis la sectiondroite amont vers l’aval du tronçon delongueur unité.


1.2. Cas des sections prismatiques (autres que les profils à parois minces

Pour obtenir un ordre de grandeur de la contrainte tangentielle sur une courbe C . avec b la longueur de la courbe C .

τ τnmoy

Cnb

ds= ∫1

.

( ) ( )Gz

supGzymoyn I.b

DS.xV=τ

τnmoy est une valeur algébrique, si sa valeur est

positive, cela traduit que le sens de la composante estcelui de la normale n

r, dirigée vers le domaine supD .

Pour la condition de résistance, seul la valeur absolueest importante.

( )V xy effort tranchant dans la section Ω , il fautprendre la section pour laquelle l'effort tranchant estmax. en valeur absolue.

( )I IGz Gz= Ω moment quadratique de la sectiondroite complète.

( )supGz DS moment statique du domaine situé au

dessus de la courbe C , pour un observateur circulantsur la courbe C dans le sens des abscissescurvilignes, ce domaine est situé à sa droite. Attention,c'est une valeur algébrique.

b longueur de la courbe C .

Pour obtenir τ ymoy on prend comme courbe

C une droite horizontale ( // à Gy)

( ) ( )( ) Gz

supGzymoyy I.yb

DS.xV=τ

on ne peut pas considérer que sur la coupuremoyyy ττ ≈

Gz

y

τymoy

b(y)y

supD

Pour obtenir τ zmoy on prend comme courbe C

une droite verticale ( // à Gz)

( ) ( )( ) Gz

supGzymoyz I.zb

DS.xV=τ

Gz

τmoyz

b(z)

y

zsupD

Attention, on ne peut pas considérer quemoyzz ττ ≈


Remarque :

Si Gz est un axe de symétrie de la sectiondroite

( ) 00 =⇒= moyzsupGz DS τ G

z

y

supD

1.3. Flexion déviée, restriction aux cas de sections rectangulaires

h

b

G

y

z

zVyVV zyrrr

+=

α

Considérons une section rectangulaire soumise à un effort tranchantvertical : vVV

rr= : zVyVV zy

rrr+=

Gyz sont les axes centraux d’inertieαcos.VVy =

αsin.VVz −=

yVyr

zVzr

αsin.VVz −=

αcos.VVy =h

b

Gz

α

α

y Pour une section droite de forme quelconque en flexion déviée, soit unecoupure C , on montre que la projection de la contrainte tangente sur lanormale à la courbe C vérifie :

( ) ( ) 0=++∫ infGyGy

zinfGz

Gz

y

Cn DS

IV

DSIV

sd.τ

(la démonstration est donnée en fin de document)

z

y

x

G1C

1D

yGτ

yGτ

Soit la courbe 1C confondue avec l’axe z ; elle définie le domaine 1D :

( ) 01 =DSGy ; ( )8

2

1bhDSGz −= ;

12

3bhIGz = ; 023

1

=−∫ hV

sd. y

Cnτ

Sur 1C notons yGτ la contrainte tangente moyenne. Dans le plan moyen de symétrie de la poutre (plan Gzx), la contrainte est max. etelle est indépendante de zV .

023

1

=−∫ hV

sd y

CyGτ

AV

bhV yy

yG 23

23

==τ


x

y

G

z

1C

2C

yGτ

yGτ

zGτzGτ

De même on montre que pour la courbe 2C , confondue avec l’axe y,

( )8

2

2hbDSGy −= ; ( ) 02 =DSGz ;

12

3bhIGz = ; 023

2

=−∫ bV

sd. z

Cnτ

Sur 2C notons zGτ la contrainte tangente moyenne. Dans le plan moyen de symétrie de la poutre (plan Gyx), la contrainte est max. etelle est indépendante de yV .

AV

bhV zz

zG 23

23

==τ

Sur une facette dont G est le CDG : zy zGyGGrrr τττ += , les coordonnées sont simultanément max.

AcosV

AV

bhV yy

yG

ατ

23

23

23

=== ; AsinV

AV

bhV zz

zG

ατ

23

23

23

−===

[ ] vA

Vzsinycos

AV

zAsinV

yAcosV

Grrrrrr

23

23

23

23

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= αα

αατ ; vr est le vecteur unitaire vertical

Gz

y

τG

Expression de la contrainte tangente max. : vA

VvGG

rrr

23

== ττ

GG AV

ττ ==23r

yVyr

zVzr

h

b

Gz

α

y

αδ

δcosVVy =

δsinVVz =

uVVrr

=

Cas ou l’effort tranchant est de direction quelconque définie parle vecteur unitaire ur : uVV rr

=δcosVVy = ; δsinVVz =

zy zGyGGrrr τττ += ; z

AV

yA

V zyG

rrr⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

23

23τ

AcosV

AV

bhV yy

yG

δτ

23

23

23

=== ; AsinV

AV

bhV zz

zG

δτ

23

23

23

===

[ ] uA

Vzsinycos

AV

zAsinV

yAcosV

Grrrrrr

23

23

23

23

=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= δδ

δδτ

ur est le vecteur unitaire uGGrr ττ =

ur

Gz

y

G

uGGrr ττ =

AV

bhV

G 23

23

==τ

La contrainte tangente max. est de même direction que l’effort

tranchant : son expression AV

bhV

G 23

23

==τ


1.4. Profils minces

On rencontre, en génie civil, fréquemment des profils minces Étude des profils minces ouvertsÉtude des profils minces fermés (unicellulaires, multicellulaires)

1.4.1. Étude des profils minces ouverts sollicités à l’effort tranchant yV

Hypothèse : les sections transversales doivent être convenablement raidies pour qu’elles puissent êtreconsidérées comme indéformables ⇒ on peut alors appliquer les modèles classiques de fonctionnement des

poutres à sections pleines (Gyz étant les axes quadratiques principaux, cteN = , yIM

AN

Gz

z−=σ en flexion

composéeSoit ( )sP un point courant ∈ L définissant la ligne moyenne de la paroi dans la section droite ( )xΩ ,

L correspond à la ligne moyenne de la paroi, la paroi peut être constituée de plusieurs branches et dans ce cason peut être amené à définir une abscisse curviligne par paroi.Soit ( )se l’épaisseur du profil en ( )sP d’abscisse curviligne s (coupure ⊥ la ligne médiane)

L’épaisseur doit être faible devant les autres dimensions : environ 101< de la petite dimension de la sectiondroite.

L

y

z

( )sP

( )se

O 0=s

G

C

y

z G

C

distribution des contraintes dans le profil

On fait l’hypothèse que le cisaillement est uniforme sur l’épaisseur de la paroi, et parallèle aux bords libres.Soit ( ) ( ) ( )se.ss τφ = , le flux de cisaillement au point courant du profil, Détermination de la distribution des contraintes tangentes flexion composée

( ) ( ) 0=+ DSIV

s GzGz

yφ

Rappelons que le flux de cisaillement traversant la courbe C : ( )sφ représente te transfert de la variationde la résultante des contraintes normales appliquées sur le domaine infD , par glissement, depuis lasection droite amont vers l’aval du tronçon de longueur unité.


Cas d’un profil en T ou H ou I ou en U, on effectue des coupures dans l’âme, les ailes. On vérifie yy VdA. =∫∫

Ω

τ

L’axe Gy étant un axe de symétrie la distribution des contraintes dans le profil sera aussi symétrique par rapport àGY.Lorsque l’épaisseur de la paroi est constante, le calcul est relativement simple.Le centre de flexion (on dit aussi centre de cisaillement) noté CPar définition, c’est le point C tel que ( ) 0

rrrr=∧= ∫ ds.t.sPCM

LC φ intégration sur la ligne médiane L

C’est le point par lequel doit passer l’effort tranchant pour qu’il n’y ait pas de torsion (point de vue statique).Cas particuliers : pour les profils ayant un axe de symétrie ∆ , ∈C à l’axe de symétrie ∆ (sur le profil en Ureprésenté ci-dessus le centre de cisaillement est situé sur l’axe de symétrie Gy et sur la ligne moyenne de la paroiinférieure), s’il existe 2 axes de symétrie GC = (centre de gravité) par exemple pour les profil en I ou en H.Le centre de flexion C (on dit aussi centre de cisaillement) est une caractéristique géométrique de la sectiondroite, indépendante des actions extérieures appliquées.Remarques : Toutes les sollicitations se calculent en G , sauf le moment de torsion qui se calcule au centre de cisaillement.

Si la résultante des forces extérieures (en particulier r

V ) ne passe pas par C , alors il se superpose des contraintes de cisaillement de torsion.Le centre de torsion (point de vue cinématique), c’est le point de la section droite qui reste immobile au cours de la torsion, c’est le centreinstantané de rotation de la section droite. Pour les profils minces ouverts, ces 2 points (centre de torsion et de flexion) sont confondus.

En flexion composée déviée avec cteN = : ( ) ( ) ( ) 0=++ DSIV

DSIV

s GyGy

zGz

Gz

yφ

C C Détermination pratique :pour les profils ayant un axe de symétrie ∆ , ∈C à l’axede symétrie ∆ , s’il existe 2 axes de symétrie C=G (centrede gravité).

1.4.2. Eude d’un profil mince fermé (unicellulaire)Soit un tube fermé défini par L , ligne moyenne de la paroi dans la section droite ( )xΩ , cela correspond à laligne médiane de la paroiSoit ( )sP un point courant ∈ L

Soit ( )se l’épaisseur du profil en ( )sP d’abscisse curviligne s (coupure ⊥ la ligne médiane)

Soit ( )O 0 , l’origine des abscisses curvilignes

Soit ( ) ( ) ( )se.ss τφ = , le flux de cisaillement au point courant du profilDétermination de la distribution des contraintes tangentes

( ) ( ) ( ) ( ) 00 =++− DSIV

DSIV

s GyGy

zGz

Gz

yφφ Déterminons ( )φ 0

S’il existe un axe de symétrie 00 =≠ zy V,V,Gy , τ = 0 sur celui-ci, il est donc intéressant de choisir

l’origine ( )O 0 sur l’axe de symétrie Gy .


z

R

( ) cteese ==

( )O 0

( ) ( ) ( )se.ss τφ =

Resin.

πϕ

ϕ

Reπ Reπ

VyVy

Vy

Vy=maxτ =maxτ

( ) =ϕτ

Exemple


1.5. Détermination de la répartition des contraintes tangentes dans une section droiteen forme de I, diagramme de représentation

Le diagramme des contraintes tangentielles nous apprend ( et nous pouvons le vérifier par le calcul )que c'est l'âme qui résiste et transmet l'effort tranchant yV .

Au niveau d'une articulation cela implique, comme solution technologique, d'assembler uniquementl'âme.

1.5.1. Expression de la contrainte tangente générée par un effort tranchant yVC’est un profil ouvert à parois minces.

Nous utiliserons l’expression générale de la contrainte démontrée dans le chapitre antérieur, la courbe C seraune coupure sur l’épaisseur de la paroi d’épaisseur ( )se .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Gz

supGzy

Cn I

DS.Vse.sse.sC/ds ===∫ τττφτ

On peut aussi utiliser :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Gz

infGzy

Gz

infGzy

Cn I

DS.Vse.s

IDS.V

se.sse.sC/ds −==+==∫ ττττφτ 0

• Une section en I est symétrique par rapport aux 2 axes Gy et Gz : Prenons l’origine de l’abscisse curvilignele centre de gravité G de la section droite,

• épaisseur des semelles : t tfi fs= épaisseur de l’âme : tw ;

• aire de la semelle supérieure : A A t bfs fi fs= = . , aire de l’âme : A t dw w= . ,

aire totale : A A A Aw fs fi= + + .

• le moment quadratique de la section totale Ibt

Ad t t d

Gzfs

fsfs w= +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+2

12 2 12

3 2 3

Contrainte tangente τ y dans l’âme

Pratiquons une coupure parallèle à l’axe z d’ordonnée y dans l’âme ynyn ττ =⇒=rr

; ys = ;

wt)s(e = ; 2

0 fstdy

+<≤

( )21

222⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += yd.tydtd

t.bDS wfs

fssupGz

( )222

22

wfsfssupGz

tydtd

ADS⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=


( )τ y

y fsfs w

w Gzy

V Ad t d

yt

t I=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪.

2 2 2

22

Déterminons la contrainte maximum dans la section droite. On montre qu’elle est située au niveau de la

coupure passant par G, donc pour y = 0 . (étude de la fonction ( )yyτ : ( )

00 =⇒= ydy

yd yτ et c’est un max.)

( ) ( )τ τy y

y fsfs w

w Gz

V Ad t d t

t Imax

.= =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪02 2 2

2

Simplifications : l’épaisseur de la semelle est petite devant la hauteur d t dfs <<

Nous pouvons négliger les termes contenant t tfs fs2 3, et t fs

I Ad t d

Gz fsw≈

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +2

2 12

2 3

I Ad

Ad

Gz fs w≈⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +2

2 12

2 2

S I Ad d t

Ad

Ad

Gz fsw

fs w

12 2 2 2 2 8

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

( ) ( )τ τy y

y fs w

w fs w

V Ad

Ad

t Ad

Admax

.= ≈

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

02 8

22 12

2 2

en posant ( )β τ

β

β= ≈+

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

AA

V

A

w

fsy

y

w

max

. 14

16

Pour les poutres métalliques courantes on peut utiliser l’expression simplifiée ( )w

ymaxy A

V,111 ≈= τβ

De même, on montre que la contrainte dans l’âme, immédiatement sous la semelle

τ β1

16

≈+

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

V

A

y

ww

y

AV

,8501 1 ≈= τβ

Pour les profils commerciaux, il est possible d’utiliser les données géométriques du catalogue pour calculer lacontrainte tangente max.


Déterminons la contrainte de cisaillement dans les ailes °Il faut donc pratiquer une coupure perpendiculaire à la ligne moyenne de l’aile, sur celle-ci un sens de parcours aété choisi, la coupure sera telle que nr donne le sens de parcours.

( ) ( ) ( ) ( )Gz

supGzy

Cn I

DS.Vse.sC/ds ===∫ ττφτ ; soit ( ) ( ) ( ) ( )

Gz

infGzy

Cn I

DS.Vse.sC/ds −===∫ ττφτ

( )Gzf

supGzyn I.t

DS.V=τ . Avec τ τn n=

r r. et ft longueur de la coupure.

z

y

G

τn nr

z

tr Attention z est ici négatif.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

22fs

fssupGz

td.tzbDS

( )Gzfs

fsfsy

n I.t

td.tzb.V

z⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=22

τ

( )Gz

fsy

n I

td.zb.V

z ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=22

τ

Ibt

Ad t t d

Gzfs

fsfs w= +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+2

12 2 12

3 2 3

, valeur approchée I Ad

Ad

Gz fs w≈⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪2

2 12

2 2

Nous pouvons écrire ( )Gz

fsy

n I

td.zb.V

z ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=22

τ

Si ( ) 00 >⇒> zV ny τ , le moment statique étant positif pour toute coupure dans la semelle. ( )τ n z > 0 signifie

que la contrainte est de même sens que rn .

Par rapport au repère, la contrainte de cisaillement à pour cordonnée ( )zzτ

( ) zn z.z.n. τττττ −=−=−==rrrrrr

; ( ) 0<zzτ signifie que la contrainte tangente est de sens contraire à rz .


z

Gz

y

nr τn

z est positif

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

22fs

fssupGz

td.tzbDS

( )Gz

fsy

n I

td.zb.V

z ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=22

τ

Si ( ) 00 >⇒> zV ny τ , le moment statique étant positif pour

toute coupure dans la semelle. ( )τ n z > 0 signifie que la contrainteest de même sens que

rn .

Cette expression ne diffère de la précédente que par le signe dez, les contraintes sur 2 coupures symétriques par rapport à l’axe ysont égales

Par rapport au repère, la contrainte de cisaillement à pourcordonnée ( )zzτ

( ) zn z.z.n. τττττ ====rrrrrr

; ( ) 0>zzτ signifie que la contrainte

tangente est de même sens que rz .

z

y

G

z

nrt

r

nτ

( ) ( ) ( ) ( )Gz

infGzy

Cn I

DS.Vse.sdsC/ −=== ∫ τττφ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

22fs

fsinfGz

td.tzbDS

( ) 0<infGz DS

( )Gz

fsy

n I

td.zb.V

z ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=22

τ

( ) 00 >⇒> zV ny τ


z

y

G

z

nr

tr

nτ

( ) ( ) ( ) ( )Gz

infGzy

Cn I

DS.Vse.sdsC/ −=== ∫ τττφ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

22fs

fsinfGz

td.tzbDS

( ) 0<infGz DS , la variable 0<z

( )Gz

fsy

n I

td.zb.V

z ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=22

τ

( ) 00 >⇒> zV ny τcette expression ne diffère de la précédente que par le signe de z,les contraintes sur 2 coupures symétriques par rapport à l’axe ysont égales

yτz

τy

Vy>0

τy

cisaillement longitudinal

cisaillement transversal

z

xVy>0

cisaillement longitudinal

cisaillement transversal

zτzτ


y

tw

tfs

b

h

tfi

Aw

Afi

Afs

dτ

τ(y)

z

y

G

( )w

ymaxy A

V,11≈τ

w

y

AV

,8501 ≈τ

τ

τ

La représentation suppose que Vy > 0

z

yDistribution des contraintes tangentespour un effort tranchant positif. Dans le cas contraire, les contrainteschangent de sens. Observez que l’on peut y voir une analogieavec l’écoulement d’un fluide de vitessevariable.


1.6. Calcul de la contraintes tangente max. pour les profils commerciaux

En utilisant les caractéristiques sur les catalogues de profils commerciaux (exemple OTUApour l’acier).

Soit z.plW le module de flexion (ou de résistance) plastique.

yz.plpl,zyz.pl

pl,z

y

pl,zz.pl f.WMf

WM

fM

W =⇔=⇔=

Le diagramme des contraintes est représenté ci-dessous, lorsque toute la section droite estplastifiée et pour un moment de flexion positif.

La matière située au-dessus du centre de gravité G est comprimée, celle en dessous esttendue.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==== ∫∫∫∫

≥≥

Ω21222

00Gzyyz.pl

yy

yypl,z S.ffWdA.yfdA.f.yM

(l’intégrale ci dessus est limitée au 0≥y soit la demi section supérieure)

Nous reconnaissons dans cette intégrale l’expression du moment statique de la demi-

section : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∫∫

≥

Ω21

0Gz

y

SdA.y

Nous en déduisons le moment statique du demi-profilé : 221 z.pl

Gz

WS =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

Ce moment statique permet de déterminer la contrainte tangente max.

( ) ( ) ( ) ( )Gz

supGzy

Cn I

DS.Vse.sdsC/ === ∫ τττφ

Gz

Gzy

wmax I

S.Vt.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=Ω

τ 21

wGz

z.plymax t.I

W.V2

=τ

Attention aux notations utilisées sur le catalogue, les axes y et z que nous utilisons en RDMsont à échanger.

Le critère de résistance à l’effort tranchant à l’EC3 ne fait pas intervenir la contraintetangente mais l'effort tranchant ce qui explique que le moment statique n’est pas indiqué dansle catalogue des profilés.


G

y

z

yf

y

yf−

Diagramme des contraintes (état ou toute la section est plastifiée)

Pour un moment de flexion positif, la demi-section supérieure est comprimée sous yf− , lademi section inférieure est tendue sous yf .


1.7. Influence sur la conception des assemblages de profilés métalliques

Le diagramme des contraintes tangentes nous apprend que c’est l’âme qui résiste et transmet l’efforttranchant Vy . Cela implique comme solution technologique au niveau d’une articulation d’assembleruniquement l’âme.

Nous avons montré ci-dessous : un assemblage correspondant à l’articulation d’une poutre secondairesur une poutre principale, solution couramment utilisée dans les planchers et l’articulation d’une poutresur un poteau.

poutre secondaire

poutre principale

poutre


1.8. VERIFICATION SELON l’EC3 (Eurocode 3 construction métallique)

1.8.1. Effort tranchant (V)

On doit vérifier :00

5803

1

M

yv

M

yvRd.plSd

fA,

fAVV

γγ==≤

SdV effort tranchant de calcul à L’ELU Rd.plV effort tranchant résistant à L’ELU yf limite d’élasticité

♦ Au stade du dimensionnement :

compte tenu que l’élancement géométrique courant des poutres Lh

vérifie : 201

251

<<Lh

La hauteur h est fixée en fonction de la portée de la poutre L ,

L’épaisseur de l’âme wt (paroi // à l’effort tranchant) vérifie : y

MSdv f

.VA 03 γ≥

hA

t vw ≥

Valeurs des coefficients partiels de sécurité 0Mγ sur les résistances pour le calcul aux ELU Résistanceconcernée

Symbole utilisé Domaine d'application Valeurs EC3-DAN

Résistancedes sections

0Mγ• Résistance des sections :

− de classe 1, 2 ou3− bénéficiant de la marque NF Acier− dans les autres cas− de classe 4

11,11,1

où vA est l'aire de cisaillement, donné sur le catalogue OTUA associé à l’indice z : vzA pour SdzV et

vyA pour SdyV ;Attention les axes utilisés dans le cours RDM sont inversés sur la section droite des profils indiqués surle catalogue. Notre effort tranchant SdyV devra être associé à vzA .L'aire de cisaillement peut être déterminée, en fonction du type de profil, comme suit :avec A = aire de la section transversale ; b = largeur hors-tout ; h = hauteur hors-toutd = hauteur d'âme à prendre entre nus intérieurs des semelles• laminé en I ou H, fléchi dans le plan de l'âme : ( ) fwfv trtbtAA 22 ++−= wht,041≈ • laminé en U fléchi dans le plan de l'âme : ( ) fwfv trtbtAA ++−= 2 wht,041≈

• soudé en I , H ou U, fléchi dans le plan de l'âme : ( )∑= wv dtA

• soudé en I , H, ou caisson, fléchis dans un plan ⊥ à l'âme : ( )∑−= wv dtAA

• laminé en rectangulaires creux d'épaisseur uniforme :effort tranchant // à la hauteur ( )hb/AhAv += effort tranchant // à la largeur ( )hb/AbAv +=

• creux circulaires d'épaisseur uniforme : π/hAv 2= • plats et barres planes : AAv =On doit en outre vérifier la résistance au voilement par cisaillement (cf § 5.6) lorsque :

• ε69>wtd

pour une âme non raidie • τε ktd

w

30> pour une âme raidie

où yf/235=ε

et τk est le coefficient de voilement par cisaillement déterminé comme suit :− si l'âme est raidie au droit des appuis mais sans aucun raidisseur intermédiaire : kτ = 5 34,

EC3 : 5.4.6

EC3 : 5.6.3


− si l'âme est raidie au droit des appuis et avec des raidisseurs intermédiaires :

avec 1<d/a ka dτ = +45 34

2,

( / )avec 1≥d/a k

a dτ = +5 34

42,

( / )

1.8.2. Moment fléchissant et effort tranchant (M et V )Le moment théorique de résistance plastique d'une section est réduit par la présence du cisaillement. Pour de petitesvaleurs d'effort tranchant, cette réduction est si faible qu'elle est compensée par l'écrouissage du matériau et peut doncêtre négligée.Si V VSd pl Rd≤ 0 5, . , alors seul l'effet du moment fléchissant est pris en compte

Si V VSd pl Rd> 0 5, . , on doit vérifier : Rd.VSd MM ≤

avec Rd.VM : moment de résistance plastique réduit compte tenu de l'effort tranchant, déterminé en utilisant une limite

d'élasticité réduite : ( ) yfρ−1 pour l'aire de cisaillement, sans pouvoir dépasser Rd.cM obtenu comme suit :Pour les sections transversales à semelles égales fléchies dans le plan de l'âme :

0M

yvplRd.V

f)WW(Mγ

ρ−=

et Rd.cRd.V MM ≤ 0MyplRd.c /fWM γ= pour une section de classe 1 ou 2

0MyelRd.c /fWM γ= pour une section de classe 3

1MyeffRd.c /fWM γ= pour une section de classe 4

avec ρ = −( ).

2 1 2VV

Sd

pl Rd

w

vv t

AW

4

2

= module de résistance plastique de l'aire de

cisaillement vA Ce qui peut se représenter graphiquement comme ci-contre:

1.8.3. Moment fléchissant, effort tranchant, effort axial (M , V et N)

Si V VSd pl Rd≤ 0 5, . , alors on néglige l'influence de l'effort tranchant : on doit vérifier : Rd.VSd MM ≤

Si V VSd pl Rd> 0 5, . la résistance de calcul aux combinaisons de moment et d'effort axial doit être calculée en

utilisant une limite d'élasticité réduite : ( ) yfρ−1 pour l'aire de cisaillement vA .

avec ρ = −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2 1

2V

VSd

pl Rd. Ceci est applicable quelle que soit la classe des sections.

ρ = 1

0

Mpl

Mc

V/Vpl1,00,5

MSemelles

ρ = 0MV

EC3 : 5.4.7

EC3 : 5.4.9


1.8.4. Définition des classes de section

Classe 1 : Sections transversales massives pouvant atteindre leur résistance plastique sans risque de voilement local(exemple : moment plastique en flexion simple), et possédant une capacité de rotation de rotule plastiqueimportante.

Classe 2 : Sections transversales massives pouvant atteindre leur résistance plastique, sans risque de voilement local(exemple : moment plastique en flexion simple), mais possédant une capacité de rotation de rotule plastiquelimitée.

Classe 3 : Sections transversales pouvant atteindre leur résistance élastique (limite élastique dans la fibre extrêmecomprimée avec un diagramme linéaire de contraintes) mais dont le voilement local est susceptibled'empêcher le développement du moment de résistance plastique. Leur résistance ultime est donc basée surla résistance élastique.

Classe 4 : Sections transversales à parois élancées ne pouvant atteindre leur résistance élastique à cause des risquesde voilement local. La réduction de leur résistance ultime peut être déterminée à l'aide de la méthode deslargeurs efficaces.

La figure suivante récapitule les attributs de chaque classe dans le cas d'une poutre simplement fléchie.

1.8.5. Classification des parois comprimées d'une sectionUne section est classée en fonction de l'élancement largeur / épaisseur des parois qui la composent. Dans ce but, 4 classes sont définies pour les parois totalement ou partiellement comprimées. La classification des parois est basée sur les notions de résistance ultime et de capacité de déformations desparois. Le tableau ci-dessous rassemble les élancements limites à ne pas dépasser pour les classes 1, 2 et 3 desparois, dans le cadre des sections en I ou en caisson. Les parois dont l'élancement est supérieur à l'élancement limite de la classe 3 sont de classe 4.

1.8.6. Classement des sectionsLes parois composant une section transversale peuvent appartenir à des classes différentes. Aussi, la classed'une section est définie par la classe la plus haute (la plus défavorable) des parois qui la composent.Pour les profilés laminés courants, pour les 3 nuances d'acier S 235, S 275 et S 355, il existe des tableauxdonnent la classe des sections suivant le type de sollicitation appliquée : flexion, compression ou flexioncomposée. Dans ce dernier cas, l'effort axial limite est toujours d'un effort de compression.

EC3 : 5.3.1


Tableau 5.3.1 : Rapports largeur-épaisseur maximaux pour parois comprimées ou fléchiesRésistance plastique Résistance élastique

Type de paroi Diagramme descontraintes à

élancement maxi élancementmaxi

l'ELU classe 1 classe 2

Diagramme descontraintes à

l'ELU classe 3

Âmes (élancement = wtd

)

d d dtw tw tw

âme fléchie

ε72 ε83 ε124

Axe deflexion

hdt tw

d=h-3tâme comprimée

ε33 ε38 ε42

Semelles intérieures (élancement : wtb

)

btf btf

a

tf

b=

paroi comprimée

section fléchie

sectioncomprimée

ε33

ε42

ε38

ε42

paroi comprimée

ε42

ε42

Semelles en console (élancement : ftc

)

cc

tf

c

tf tf

paroi compriméelaminées

ε10soudées

ε9

laminéesε11

soudéesε10

paroi compriméelaminées

ε15soudées

ε14

Cornières

t

h

tb

sectioncomprimée

ht

≤ ε15

b ht

+2

≤ ε511,

Sections tubulaires (élancement : td

)

tt d

section fléchieet/ou

comprimée250ε 270ε

section fléchieet/ou

comprimée290ε

yf (N/mm2) 235 275 355


yf235=ε ε 1 0,92 0,81

2ε 1 0,85 0,66


1.9. Vérification selon la réglementation Eurocode 5

Critère de résistance d’une section au cisaillement : d,vd f≤τ

dτ contrainte tangente agissante dans la section ; contrainte de calcul à l’ELU ; pour une section rectangulaire

bhVu

d 23

=τ

d,vf résistance de calcul au cisaillement du boisM

k,vd,v

ff

γ=

k,vf Résistance caractéristique au cisaillement du bois

31,M =γ coefficient partiel de propriété du matériau pour le bois et matériaux à base de bois.

Résistances caractéristiques k,vf (ou MPA)

Bois massif C18 C22 C24 C27 C30 Bois Lamellé collé GL 22 GL24 GL26 GL28 GL30

Cisaillement

k,vf2 2,4 2,5 2,8 3 Cisaillement k,g,vf 1,9 2,1 2,5 2,5 2,6

♦ Pour les poutres dont la section diminue aux appuis, la contrainte de cisaillement doit être calculée en utilisant

la hauteur réelle réduite eh . Critère de résistance d,vve

d f.kbhV

≤=23τ ; on rencontre 2 cas :

Entaille sur l’extrados Entaille sur l’intrados

V

ehh

bV

ehh

b

)hh(i e−xθ

θtani =

1=vk Lorsque l’entaille se situe sur l’intrados, un effet deconcentration de contraintes doit être considéré dansl’angle rentrant

( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

51

1801

1111

αα

ααhx,h

hi.,k

;mink

,

n

v

hhe=α ; Bois massif : 5=nk ; Lamellé collé : 56,kn =


Lorsque la force ponctuelle est voisined’un appui, (pour le bois hL 2≥α )

L’effort tranchant dans la poutre peutêtre réduit, tout se passe comme si unepartie de la force F était transmisedirectement à l’appui.

Modélisation

Schéma mécanique

Actions de liaison déterminées parapplication du PFS

Diagramme de l’effort tranchant dans lapoutre

Ligne d’influence de l’effort tranchant ;

Cette courbe donne la valeur de l’efforttranchant théorique pour le tronçon depoutre situé à gauche du pointd’application de la force F : ( )−+CAyVpour une position quelconque de lacharge.

Ligne d’influence de l’efforttranchant réduit compte tenu destransmissions directes

AB

y

x

+

F

LαL

1

AB

y

x

+

LαL

F

F modélisation

schéma mécanique

( )F

Lα−1 F

Lα

h

yV

C

C

C

1−

Lα Lposition de la charge

1−

L

Ligne d'influence réduite de de l'effort tranchant

position de la charge

( )−+CAyV

( )−+CAyV

h2

h2<hL 2≥α

Ligne d'influence de de l'effort tranchant

( )F

Lα−

−1

FLα

pour une force unitaire: Intensité de la force = 1

pour une force unitaire: Intensité de la force = 1

( )Lα−

−1

( )Lα−

−1


2. DEFORMATIONS ET DEPLACEMENTS PRODUITS PAR L'EFFORT TRANCHANT

2.1. ETUDE DE LA FLEXION SIMPLE EN CONSIDERANT L’INFLUENCE DE Vy

Reprenons l’expérience décrite au chapitre consacré à la flexion simple

Ω Ω

ΩΩ

(x)

(x+dx)(x)

(x+dx)

A=A' B=B'

F

p

Ω Ω

Ω

Ω

(x)

(x+dx)

(x) et

(x+dx)

Intersection de centre de courbure.

Ω(x)

Ω (x+dx)

x

x+dx

M M

MM' '11

θ θz(x+dx)

(x)

y

z

U (x)

Si on néglige la déformation due à l'effort tranchant, lessections droites restent droitesdonc perpendiculaires à la ligne moyenne déformée.

yU(x) yU yU(x+dx)

(x+dx)

θz (x+dx)

θ (x)z

θ (x)zδ dx

En considérant le prisme initial et celui déformésuperposés.

Nous avons noté ( )U xy' la pente de la tangenteà la ligne moyenne déformée. Nous allons voirqu’elle est différente de ( )θ z x .


G(x)=G'(x)G'(x+dx)

θ (x)zδ

θ (x)zδ

dx

Ω(x) Ω(x+dx)

Ω(x)Ω (x+dx)

L'intersection donne le centre de courbure.

G(x+dx)

yU (x)δ yγydistorsion

Nous avons montré que τ y est nul sur les fibresextrêmes. Cela implique que la distorsion y est nulle. Lessections droites doivent être perpendiculaires au niveaudes fibres extrêmes. Comme la contrainte de cisaillementτ y varie sur la hauteur de la section droite, cela entraîneune distorsion d’où un gauchissement de la section droite

G'(x+dx)

θzδ

G(x+dx) δγy

yU (x) y

section droite réelle gauchiesection droitesimplifiée

Les sections droites ne sont pas perpendiculaires à la ligne moyenne déformée.

tanγδ

yyU

dx= comme l’angle est petit : tanγ γy y≈ γ

δm

yUdx

≈

γ y est la distorsion moyenne au niveau de la ligne moyenne

On peut démontrer en utilisant des méthodes énergétiques que δUdx

y peut se mettre sous la forme

δUdx

VGA

y y

y=

1 avec une expression de A y1 qui ne dépend que des caractéristiques géométriques de la section

droite. Cette expression n’est pas donnée car elle sort du cadre du programme.

• Vy effort tranchant

• G module d’élasticité transversal, pour l’acier 52,

EG ≈ , Mpa81000

• A y1 section réduite à l’effort tranchant, c’est homogène à une aire mais ce n’est pas la valeur de l’aire de la

section droite. Pour une section rectangulaire A bhy1

56

= .


Décomposition de la déformation, en utilisant le principe de superposition

θ (x)zδ

yU (x)δ y

γydistorsion

θ (x)zδ

yU (x)δ y

γydistorsion

effet du moment de flexion effet de l’effort tranchant

Si τ yyV

Acte= = était constant sur toute la

section droite, la théorie de l’élasticité nousdonnant une relation du même type que la loide Hooke τ γy yG= . , on pourrait en déduire

⇒ =γ yyV

GA=cte sur toutes les fibres.

La section droite resterait plane.

yU (x)δ y

γydistorsion


2.2. DEPLACEMENT DE LA LIGNE MOYENNE ENGENDRE PAR Vy ET LE MOMENT DE

FLEXION Mz

yU (x) y

yU (x)δ y

γy

θ (x)z

θ (x)z dx y

θ (x)z

θ (x)z

θ (x)z

yU (x+dx) y

Ω(x)

Ω(x)

Ω (x+dx)

Ω(x+dx)

θ (x)z dx y

Le déplacement ( )U x dxy + se compose d’une translation parallèle à l’axe des y notée ( )U xy du prisme

compris entre les 2 sections droites, d’un déplacement dû à la rotation d’ensemble de ce même prisme ( )θ z x dx.(ce déplacement est // l’axe des y, d’une translation due à l’effort tranchant δU y .

( ) ( ) ( )U x dx U x x dx Uy y z y+ = + +θ δ.

( ) ( ) ( )( )

U x dx U x x dxV xGA

dxy y zy

y+ − = +θ . .

1

( ) ( )( )

( )U x dx U xdx

xV xGA

y yz

y

y

+ −= +θ

1

en mathématique ( ) ( ) ( )U x dx U x

dxdU x

dxy y y+ −

= lorsque dx → 0 ( )

( )dU x

dxU xy

y→ '

( )( )

( )dU xdx

xV xGA

yz

y

y= +θ

1Cela traduit que la pente à la ligne moyenne déformée est égale à la

rotation de la section droite plus le terme représentant l’effort tranchant que nous avions négligé dans le chapitreprécédent consacré à la flexion simple ou composée.

En dérivant cette expression nous obtenons ( ) ( ) ( )d U x

dxd x

dxddx

V xGA

y z y

y

2

21

= +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

θ

( ) ( )d xdx

M xEI

z z

Gz

θ=

( ) ( ) ( )d U xdx

M xEI

ddx

V xGA

y z

Gz

y

y

2

21

= +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Le déplacement peut être atteint en intégrant 2 fois cette expression consécutivement.


2.3. DEPLACEMENT DE LA LIGNE MOYENNE ENGENDRE PAR Vy

Nous allons déterminer sur un exemple, l’expression de ce déplacement et le comparer à celui généré par Mz .

Nous allons considérer la poutre la plus simplechargée par une force uniformément répartie p.

Déplacement dû au moment de flexion au milieude la travée

UL pL

EIyM Gz

z2

5384

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

( )[ ] ( )U x Uy V y

x

y

= ∫δ ξ0

avec ( ) ( )δ ξ

ξξU

VGA

dyy

y=

1. expression du

déplacement unitaire ou déformation due à l’efforttranchant.

p

Mz

Vy

pL

8

2

pL2

pL2

Uy ( )Mz

Uy ( )Vy

x

y L

( )[ ] ( ) ( )U xVGA

dGA

V dy V

y

y

x

yy

x

y

= =∫ ∫ξ

ξ ξ ξ10 1 0

1. .

( )UL

GAV x dxy

V yy

L

y2

1

1 0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ∫ .

On peut calculer géométriquement cette intégrale, en remarquant que ( )V x dxy

L

.0

2

∫ correspond à l’aire pochée.

UL

GApL L pL

GAyV y y

y2

12 2

12 81

2

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −. . .

Pour comparer 2 expressions, nous pouvons former et étudier la différence ou le quotient. C’est ce dernierretenu.

UL

UL

pLGApLEI

EG

IA L

yV

yM

y

Gz

Gz

y

y

z

2

2

85

384

485

1

2

14

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=−

−= . . . Pour le béton ou l’acier 52,

GE

≈


3. CISAILLEMENT D’EFFORT TRANCHANT : Approche plus générale

( )−σ x x.r

( )σ x dx x+ .rτn x.

rrn

D

( )Ω x dx+

C

dx

Sur la section droite ( )dxx +Ω , représentée en traitdiscontinu sur la figuresoit C une courbe fermée délimitant un domaine D(hachuré sur la fig. ci-contre).

La section droite n’est pas évolutive ( ) ( )Ω Ωx dx x+ =On isole le tronçon de longueur dx et de section droite D .L’effort normal ainsi que le moment de flexion introduisentdes contraintes normales en tout point de D , soit

( )xdxx r+σ sur D ∈ ( )dxx +Ω et ( )xx r

σ− sur D ∈( )xΩ .

Ces contraintes normales nous sont parfaitement connues.Comme les moments de flexion sont différentsPar exemple en flexion simple ( ) ( )xMdxxM zz ≠+ Les contraintes normales sont aussi différentes, il en est demême de leurs résultantes respectives.

( )−σ x x.r

( )σ x dx x+ .rτn x. r

D C

dx

domaine défini par la courbe

En isolant le tronçon de longueur dx délimité par lasurface D appartenant aux sections droites et Σ lasurface latéraleComme ce tronçon doit être en équilibre, sur la surfacelatérale Σ d’aire A de ce tronçon, doivent exister descontraintes tangentes parallèles à xr : notées xn

rτ

On s’intéresse aux forces en projection sur l’axe xr .

( )( )

( )( )

− + + + =∈ ∈ +∫∫ ∫∫∫∫σ σ τx dA x dx dA dA

D xn

D x dx

. . .Ω ΣΩ

0

Cette équation traduit que la somme des 3 forces :résultante sur D ∈ ( )xΩ + résultante sur D ∈

( )dxx +Ω + résultante sur Σ = vecteur nul

τnnr

DC

M

rτ

facette ∈ D

Dans le plan de la section droite ( )dxx +Ω , soit un point M de lacourbe C

Sur une petite facette dans le plan de la section droite ( )dxx +Ωau voisinage du point M ,

( ) τσσ rvvr+= x.x,M , il existe une contrainte tangente τr de direction

inconnue mais appartenant au plan de la section droite.rn le vecteur unitaire (normale extérieure) au domaine D , cevecteur est orthogonal à la courbe C .Projetons cette contraintetangente sur nr

en M C n n∈ =r rτ τ.

( ) [ ] nn.n.x.n.x,M τττσσ ==+=rrrrvrvr


dx

rn

τn x.r

τnnr

rx

s

s ds+

CM

ds

ds

théorème de Cauchy( ) ( )r r r r r rσ σM n x M x n, . , .=

ce théorème traduit que les contraintestangentes sur les 2 facettesperpendiculaires et passant par M sontégales

xnr

τ cisaillement longitudinal

nnr

τ cisaillement transversal

( )( )

( )( )

0=∑+++− ∫∫ ∫∫∫∫+∈∈ dxxD

nxD

d.dA.dxxdA.xΩ ΣΩ

τσσ

devient ds.dxd =∑

( ) ( )Ω Ωx dx x+ =en groupant les 2 premières intégrales et en divisant par dx

( ) ( )( )

0=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

∫∫ ∫∫∈ xD

n ds.dA.dx

xdxx

Ω Σ

τσσ

( )( )

0=+∫∫ ∫∫∈ xD

n ds.dA.xx

Ω Σ

τ∂

∂σ

( )( )

0=+∫∫∫∈ C

nxD

ds.dA.xx τ

∂∂σ

Ω

rx

CM

D

rn

τn x. r

τnnrdx

xpxr

Si sur la surface latérale libre de la poutre agit unedensité surfacique de charge px

( )( )

0=++ ∫∫∫∫∂∩∈

ds.dxpds.dA.xx

Dx

Cn

xD Ω∂Ω

τ∂

∂σ

cas où px = 0 ( )

( )

∂σ∂

τx

xdA ds

D xn

C

. .+ =∈∫∫ ∫Ω

0

si C = un segment de droite // Gy( )

( )0=+∫∫∫

∈

sd.dA.xx

Cz

xD

τ∂

∂σ

Ω

si C = un segment de droite // Gz( )

( )

∂σ∂

τx

xdA ds

D xy

C

. .+ =∈∫∫ ∫Ω

0


rx

CM

D

rn

τn x.r

τnnrdx

Cas px = 0 ,

la section droite n’est pas évolutive ( ) ( )Ω Ωx dx x+ =d’aire cteA =En flexion déviée ( 0=N ) ou composée et déviée avec

cteN =

yIM

zIM

AN

Gz

z

Gy

y −+=σ

( )y

Gzz

Gy

z

Gz

y

Gy

VIyV

Iz

dxdM

Iy

dxdM

Iz

xx

+=−=∂

∂σ

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )DSIV

DSIV

dA.yIV

dA.zIV

dA.VIyV

IzdA.

xx

GzGz

yGy

Gy

z

xDGz

y

xDGy

z

xD yGz

zGy

xD+=+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

∂∂

∫∫∫∫∫∫∫∫ ∈∈∈∈ ΩΩΩΩ

σ

( )( )

0=+∫∫∫∈

sd.dA.xx

Cn

xD

τ∂

∂σ

Ω

( ) ( ) 0=++∫ DSIV

DSIV

sd. GyGy

zGz

Gz

y

Cnτ

Cas 0≠xp , Dans le cas ou N varie avec l’abscisse x :

dxdN

AxAN

1=

∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂

( ) ( ) dxdN

AAdA

dxdN

AdA.

dxdN

AD

xDxD== ∫∫∫∫ ∈∈ ΩΩ

11

DA aire de ( )xD Ω∈

( ) ( ) 0=++++ ∫∫ DSIV

DSIV

dxdN

AAds.dxpsd. Gy

Gy

zGz

Gz

yDx

Cn

Ω∂

τ

si ( )xD Ω= AAD = ( ) ( ) 0== ΩΩ GzGy SS 0=∫ sd.C

nτ car la courC correspond au contour de la

section droite, la matière n’est pas coupée.


Il reste l’équation d’équilibre du tronçon de longueur dx : 0=+∫ dxdNds.dxpx

Ω∂

Convention de signe relatif à τn , la contrainte est comptée positivement sur la normale extérieure au domaine D donton calcule les moments statiques.

( )C/sd.C

n τφτ =∫ est appelé flux de cisaillement traversant la courbe C

En flexion composée et cteN =

( ) 0=+∫ DSIV

sd. GzGz

y

Cnτ

rτrτr r

τ = 0

RemarqueAu voisinage du bord libre de la section droite, levecteur contrainte de cisaillement est // la tangente àce bord libre. Dans l’angle du bord anguleux, lacontrainte y est nulle.

rdm_cisaillement

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