rdm : calcul des systÈmes plans par la mÉthode des forces

Chapitre 5

CALCUL DES SYSTÈMES PLANS PAR LA MÉTHODE DES FORCES

5.1 SYSTEME CONCORDANT - MANQUE DE CONCORDANCE

DÉFINITION : On dit qu’un système hyperstatique est concordant quant à ses appuis, ou encore que les appuis d’un système hyperstatique sont concor-

dants, lorsque les composantes de réaction sont toutes nulles en l’absence de

sollicitations extérieures (Figure 5.1a).

Dans le cas contraire - Figure 5.1b - les appuis sont dits non concordants (les composantes de réaction ne sont pas toutes nulles).

Le manque de concordance d’un appui est représenté par le déplacement li-néaire ou angulaire qu’il subit depuis sa position concordante jusqu’à sa position réelle.

5.2 THEOREME DE MENABREA

THÉORÈME : La dérivée partielle de l’énergie potentielle interne (W) d’un système par rapport à une inconnue hyperstatique externe ou par rapport à la

valeur commune de deux inconnues hyperstatiques internes Xi dégagées par une coupure, est égale au manque de concordance correspondant ci.

∂

∂

W

Xc

ii= (5.1)

Dans le cas d’un système concordant cette dérivée est toujours nulle, soit :

Figure 5.1

a) Système concordant

Manque de concordance

b) Système non concordant

8 4 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQ UES

∂

∂

W

X0

i

= (5.1)'

Le théorème découle de celui de Castigliano (1ère forme). Ce résultat est évi-dent dans le cas d'une inconnue hyperstatique externe (c'est-à-dire une réaction), puisque le déplacement est nul dans la direction de la réaction. Nous reviendrons plus loin sur la signification de ce résultat [(5.1)'] dans le cas d'une inconnue hyperstatique interne.

Le théorème de Menabrea signifie que les forces hyperstatiques prennent des valeurs qui rendent minimale l'énergie potentielle interne exprimée en fonction des sollicitations, dont les forces hyperstatiques, appliquées au système considé-ré.

Ainsi, pour chaque inconnue hyperstatique Xi le théorème de Menabrea four-nit une équation (de continuité). La résolution du système d’équations ainsi ob-tenu permet de trouver les inconnues hyperstatiques et de résoudre le problème qui devient isostatique.

Dans le cas d’un système linéaire L plan dont les éléments de réduction sont désignés par M, N et T (Mt=0), l’expression générale de W (voir chapitre 3) est de la forme :

W1

2

M

EIds

1

2

N

EAds

1

2

T

GAds

2 2

L

2

LL

= + +∫ ∫∫ κ

Si le système est constitué de plusieurs barres (poutres) Li l’intégrale est étendue à chacune d’elles :

W1

2

M

EIds

1

2

N

EAds

1

2

T

GAds

2

Li

2

Li

2

Lii i i

= + +∫∑ ∫∑ ∫∑ κ

Si la flexion est prépondérante par rapport aux autres sollicitations, l’expression de l’énergie se réduit au premier terme :

W1

2

M

EIds

2

Lii

= ∫∑

Même lorsque le symbole de la sommation n’est pas porté, pour simplifier l'écriture des expressions, on sait que l’intégration est étendue à la totalité du système, donc à toutes ses parties.

Pour des systèmes plans constitués de barres droites articulées (treillis) avec des charges appliquées aux nœuds (treillis chargés indirectement), l’énergie est donnée par :

W1

2

N

EAdx

1

2

dx

EA

2

Li Lii i

= =∫∑ ∫∑ N i2

Et si la rigidité extensionnelle EA est constante sur chaque barre, il vient :

Calcu l d es sys tèmes p lan s pa r la méthode des fo rces 85

W1

2i

= ∑N L

EA

i i

i

2

( )

5.3 PRINCIPE DE LA METHODE DES FORCES

Pour calculer un système hyperstatique d’ordre n (H = n), on le transforme en un système isostatique en supprimant les n liaisons surabondantes. Cela revient à pratiquer n coupures, une par inconnue hyperstatique. Pour que le système isos-tatique soit équivalent au système initial, il faut remplacer chaque liaison sup-primée par la force qui lui correspondant (Figure 5.2).

Les inconnues hyperstatiques X1 et X2 de l’exemple considéré sont obtenues en utilisant l’équation (5.1)’ ci-dessus. Le système d’équations s’écrit :

∂

∂

∂

∂

W

X0

W

X0

1

2

=

=

(a)

Le système isostatique obtenu par suppression des liaisons surabondantes (Figure 5.2b) est désigné par système de base, système fondamental ou encore système principal.

Une fois l’hyperstaticité levée, c’est-à-dire lorsqu’on a déterminé les incon-nues hyperstatiques, la construction des diagrammes M, N, T revient à tracer les diagrammes d’un système isostatique (en l’occurrence le système de base) sou-mis - simultanément - aux charges données (la sollicitation globale F) et aux forces calculées (X1, X2, ... Xn). L’application du principe de superposition (voir § 5.4.1) simplifie quelque peu ce travail.

5.4 EQUATIONS DE CONTINUITE

Pour un système concordant d’ordre n, on aura un système de n équations :

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

W

X0,

W

X0, ... ,

W

X0, ... ,

W

X0

1 2 j n

= = = =

(a)

P

l/2

l/2

P

X1

X2

(b)

Figure 5.2

h


On peut montrer que chacune de ces équations peut se mettre sous la forme ci-après, connue sous le nom de formule de Müller - Breslau (ou de Bertrand De Fonviolant),

∂

∂

W

X0, X 0 j 1, 2, .. . ,n

ji ji

u

i 1

n

jF= ⇔ + = =

=

∑ δ δ (5.2)

et le système des n équations de continuité peut se mettre sous la forme explicite suivante :

δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

11u

1 12u

2 1nu

n 1F

21u

1 22u

2 2nu

n 2F

n1u

1 n2u

2 nnu

n nF

X X ... X 0

X X ... X 0

.......................................................

X X ... X 0

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

(5.3)

ou sous la forme matricielle :

[ ]{ } { }δ δuFX = − (5.4)

Les équations du système (5.3) [ou (5.4)] sont appelées équations canoniques de la méthode des forces.

5.4.1 Démonstration de la formule de Müller - Breslau

Considérons un système plan. Soient MiF, NiF et TiF les éléments de réduction dans la section courante i du système de base sous l’action de la sollicitation globale F(F1, F2, ..., Fj, ...). Si on note par mij, nij, et tij les éléments de réduction dans la même section i sous l’action d’une sollicitation unitaire appliquée dans la section j (du système de base), alors la contribution de l’inconnue hyperstatique Xj aux éléments de réduction s’écrit :

Xj mij pour le moment fléchissant ; Xj nij pour l’effort normal et Xj tij pour l’effort tranchant.

Les éléments de réduction qui apparaissent en i sous l’action conjuguée de la sollicitation globale F et des inconnues hyperstatiques X1, X2, ..., Xn, s’obtiennent par superposition :

M X m

N X n

T X t

iF j ij

j 1

n

iF j ij

j 1

n

iF j ij

j 1

n

+

+

+

=

=

=

∑

∑

∑

L’expression de l’énergie potentielle s’écrit alors :


W=1

2

(M X m )

EIds +

1

2

(N X n )

EAds +

1

2

(T X t )

GAds

iF j ij2

j 1

n

iF j ij2

j 1

n

L

iF j ij2

j 1

n

LL

+ + +

= = =

∑ ∑∫

∑∫∫ κ

L’équation de continuité relative à la coupure k, c’est-à-dire∂

∂

W

X0

k

= , s’écrit:

(M X m )m

EIds +

(N X n )n

EAds +

(T X t )t

GAds=0

iF j ij ik

j 1

n

iF j ij ik

j 1

n

L

iF j ij ik

j 1

n

LL

+ + +

= = =

∑ ∑∫

∑∫∫ κ

M m

EIds +

N n

EAds +

T t

GAds+

X m m

EIds +

X n n

EAds +

+

X t t

GA

iF ik iF ik

L

iF ik

LL

j ij ik

j 1

n

j ij ik

j 1

n

LL

j ij ik

j 1

n

L

∫ ∫∫∑ ∑

∫∫

∑∫

= =

==

κ

κ ds 0

δ κkF j

ij ik ij ik ij ik

LLLj=1

n

+ Xm m

EIds+

n n

EAds+

t t

GAds = 0∫∫∫∑

soit :

X + = 0j kju

j=1

n

kFδ δ∑

5.4.2 Signification et calcul des coefficients

La signification et le calcul des coefficients δ δiju

iF et ont été exposés dans le

chapitre 3. Les coefficients δ iju sont les coefficients d’influence définis dans ce

même chapitre 3. Leur matrice δu est appelée matrice de souplesse.

Le coefficient général δiF représente le déplacement de la section i du sys-tème de base (dans la direction i, qui est aussi la direction de l’inconnue hypers-tatique Xi) sous l’effet des charges appliquées (données) (F).

5.5 EXEMPLES D’APPLICATION

Exemple 1 : inconnues hyperstatiques externes.

Soit à résoudre le portique de la figure 5.2. Pour les calculs, on considère h=l=a.

Les équations canoniques du système s’écrivent :


δ δ + δ

δ δ + δ

11u

1 12u

2 1F

21u

1 22u

2 2F

X + X = 0

X + X = 0

Les coefficients δ11u et δ 21

u sont obtenus en appliquant au système de base la

sollicitation unitaire X1=1 tandis que δ12u et δ 22

u s’obtiennent sous l’effet de la

seule sollicitation X2=1. Quant aux déplacements δ1F et δ2F, ils se calculent sous l’effet des charges extérieures (ici la force P) appliquées au système isostatique de base. Les diagrammes permettant le calcul de ces coefficients (cas où l'in-fluence de M est prépondérante) sont montrés à la figure 5.3.

On trouve, avec h=l=a :

δ δ δ δ δ δ11u

3

12u

21u

3

22u

3

1F

3

2F

3

=a

3EI =

a

2EI

4a

3EI= -

Pa

4EI= -

29Pa

48EI= =

La figure 5.4 montre la signification de ces coefficients.

Et à partir des équations du système on tire :

δ 22u

δ 12u

δ 21u

δ 11u

(a)

(b)

(c)

P

X2=1

X1=1

δ1F

δ2F

Figure 5.4 : Signification des coefficients δδδδ

Figure 5.3 : Diagrammes des moments M et m

X1=1

Pl/2

X2=1

mi2

MiF

mil

P

h

l

l

(a)

(b)

(c)


X9

56P1 = et X

22

56P2 =

Les diagrammes M, N, T peuvent être construits maintenant (Figure 5.5).

Exemple 2 : inconnues hyperstatiques internes (Figure 5.6).

Les équations canoniques du système s’écrivent :

δ δ δ + δ

δ δ δ + δ

δ δ δ + δ

11u

1 12u

2 13u

3 1F

21u

1 22u

2 23u

3 2F

31u

1 32u

2 33u

3 3F

X + X + X = 0

X + X + X = 0

X + X + X = 0

A partir des diagrammes de la figure 5.7, on calcule les coefficients du sys-tème obtenu.

6

11

3

9

34

34

22

9

(a)

(b)

(c)

Figure 5.5 : Diagrammes M, N, T

M(xPa/56)

N(xP/56)

T(xP/56)

Figure 5.6

q

EI

2EI

EI

l

l/2

l/2

X2

X1

X1

X2

X3

X3

(b)

(a)

h


δ δ δ ; δ ; δ δ ; δ δ

δ ; δ ; δ δ

11u

3

12u

21u

22u

2

13u

31u

2

23u

32u

33u

1F

4

2F

3

3F

3

=2h

3EI ; = 0

l (12h )

24EI =

h

EI = 0 ;

(4h l)

2EI =-

qh

8EI =

qh l

12EI ; =

qh

6EI

= =+

= − =

=+

l

En prenant h = l, il vient :

δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

11

3

12 21 23 32 22

3

13 31

2

33 1

4

2

4

3

3

2

30

13

24

5

2 8 12 6

u u u u u u u u

uF F F

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

qh

EI

qh

EI

qh

EI

= = = = = = = = −

= = − = =

; ; ;

; ;

;

;

La résolution du système d’équations donne :

22321 qh02.0qh

48

1X; qh15.0qh

13

2X; qh22.0qh

416

91X −=−=====

Le signe moins (–) devant X3, signifie que le sens réel de ce moment est contraire au sens choisi arbitrairement.

5.6 CONTROLE DES RESULTATS

Le contrôle des résultats peut se faire à trois niveaux : sur les coefficients δiju

et δiF ; sur les diagrammes M, N, T et sur les déplacements.

5.6.1 Vérification des coefficients

Considérons un système hyperstatique d’ordre n. Pour alléger les expres-sions, nous supposons que l’influence des efforts normal et tranchant est négli-

Figure 5.7 : Diagrammes des

moments M et m

h

h

(a)

(b)

(c)

mi1=m1

X1=1

X1

mi2=m2

mi3=m3

l/2

l/2

X3

X3=1

X2

X2=1

(d)

MiF

qh2/2

1


geable. Soit mit le moment (par unité de force) dans la section courante i du sys-tème de base sous l’effet de : X1=1, X2=1, ..., Xn=1 ; c’est-à-dire :

m m m + mit i1 i2 in= + +...

en vertu du principe de superposition.

a) Somme des coefficients de chaque ligne de la matrice δu

Considérons la kième ligne (équation relative à la coupure k).

δ kju

j 1

j nik ij

Lj 1

j n

ik i1

L

ik i2

L

ik in

L

iki1

L

i2 inik

it

L

ik it

L

m .m

EIds

m .m

EIds

m .m

EIds+ ... +

m .m

EIds

=m

EI(m m ...+m )ds =

m

EI(m )ds=

m m

EIds

=

=

=

=

∑ ∫∑ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

= = +

+ +.

Soit :

δ kju

j 1

j n

ik it

L

=m m

EIds

=

=

∑ ∫.

(5.5)

La longueur L désigne la longueur totale du système (toutes les barres s’il en comporte plusieurs).

b) Somme des coefficients de la matrice δu

k 1

k n

kju

j 1

j n

iki1

L

i2 inik it

Lk 1

k n

k 1

k n

iti1

L

i2 init2

L

m

EI(m m ...+m )ds =

m m

EIds

m

EI(m m ...+m )ds=

m

EIds

=

=

=

=

=

=

=

=

∑ ∑ ∫ ∫∑∑

∫ ∫

= + +

= + +

δ.

Soit :

k 1

k n

kju

j 1

j n

it2

L

m

EIds

=

=

=

=

∑ ∑ ∫=δ (5.6)

c) Somme des coefficients δiF

δkFk 1

k n

iF ik

Lk 1

k n

iF

L

i1 i2 iniF it

L

=M m

EIds

M

EI(m +m + ... +m )ds=

M m

EIds

=

=

=

=

∑ ∫∑ ∫ ∫=. .

(5.7)

Aussi, avant de passer à la résolution du système d’équations, il est prudent de procéder aux vérifications indiquées. En pratique, on trace le diagramme mit et on applique la relation (5.6). Si le résultat donné par cette dernière est identique à la somme de tous les termes de la matrice δu, on peut passer à l’étape suivante de l’étude. Dans le cas contraire, on procède au contrôle de chaque ligne de la ma-trice selon l’expression (5.5) et des coefficients δiF d’après la relation (5.7). On


sera amené à vérifier le calcul des différents coefficients ainsi que les diagram-mes MiF et mik si on a utilisé la méthode de Verescheaguine.

Exemple

Vérifions les coefficients de la matrice δu du cas traité dans l'exemple 2. Pour les besoins de l'application numérique on prend h=3 m. Le premier membre de l'équation (5.6) vaut :

δ kju

j

j n

k

k nh

EI

h

EI

h

EI EI= − + =

=

=

=

=

∑∑29

24

2 5

2

177

8

3 2

11

Le diagramme mit nécessaire au calcul du second membre de l'équation (5.6) est représenté à la figure 5.8. Le calcul de l'intégrale de Mohr donne :

m

EIds

EI EI

EI EI EI

it

L

2 1

2

39

8

1

3

1

24

1 125

24

1

24

57

4

63

12

1 468

24

531

24

177

8

= + + + + +

+ = =

∫ ( ) ( )

( ) ( ) =1

2EI

5.6.2 Vérification des diagrammes

La vérification de l’équilibre des nœuds et de parties entières de la structure étudiée, à partir des diagrammes des efforts, fournit un bon moyen de contrôler les résultats obtenus. Chaque nœud ou partie de la structure isolé par des coupu-res, doit être en équilibre sous l’action des forces qui lui sont directement appli-quées et des efforts internes (M, N, T) agissant aux lèvres des coupures et qu’on lit directement sur les diagram-mes à contrôler.

Exemple

6Pa/56

9P/56

9P/56

34P/56

6Pa/56

34P/56

Figure 5.9 : Vérification de

l'équilibre d'un nœud

Figure 5.8 : Diagramme mit,

sous l'action simultanée de

X1=1, X2=1 et X3=1

mit

0.5

1.0

2.5

0.5

l/2=1.5 m

1.5 m

h=3 m

3.5


On veut vérifier l'équilibre du nœud de la structure considérée dans l'exemple 1 précédent. La figure 5.9 représente le nœud avec les efforts agissant sur les sections coupées et dont les valeurs sont lues directement sur les diagrammes des efforts de la figure 5.5. On peut constater que les efforts agissant sur le nœud vérifient les trois équations d'équilibre de la statique.

5.6.3 Vérification des déplacements

On peut appliquer la vérification aux déplacements connus, principalement ceux qui sont nuls. Le calcul doit être effectué à partir des efforts trouvés (no-tamment le diagramme final du moment).

5.7 SIGNIFICATION DES EQUATIONS DE CONTINUITE

Comme le montrent les deux exemples traités, chaque équation de continuité exprime que le déplacement relatif des lèvres de la coupure libérant l’inconnue hyperstatique considérée est égal au manque de concordance correspondant. Dans le cas d’un système concordant, ce déplacement (relatif) est nul. Quand il s'agit d'une inconnue hyperstatique externe, le déplacement relatif est en fait le déplacement réel.

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