rédigé par valenzano j. - les maths à l'iphs

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2016-2017

rédigé par Valenzano J.

Périmètres et aires

Tri

an

gle

=b× h

2

Tri

an

gle

recta

ng

le

=a × c

2=

b× h

2

Recta

ng

le = L l

= 2L 2l

ou = 2(L l)

Carr

é

= c c = c2

= 4 c = 4c

Losan

ge

=D × d

2

= 4 c = 4cP

ara

llélo

--g

ram

me = b h

= 2a 2b

ou = 2(a b)

Tra

pèze

=(B + b) × h

2

Dis

qu

e = π r r = πr2

= 2 π r = 2πr

ou = π diamètre

Volumes , aires latérales L et patrons

Exemples de conversion : 1 dm3 = 1 L ; 1 L = 1 000 mL .

Solide en perspective Patrons Formules

Cu

be

ou = c c c = c3

Para

llélé

pip

èd

e r

ecta

ng

le

ou = L l h

Pri

sm

e d

roit

= Aire base h

L = Périmètre base h

Cylin

dre

de

révolu

tion

= πr2 h

L = 2πr h

Bou

le

Formules pour une boule délimitée

par une sphère de rayon r

Volume : =4

3π r

3

Aire : = 4πr2

FORMULAIRE12

r

l

L

c

a

c

b

hh

b

d

D

b

h

B

base

h

L

h

r

base

L

b

h

hc

l L

b

ha

c

c

h

l L

INDEX DES NOTATIONS ET VERBES POUR LE PREMIER DEGRÉ 13

Arithmétique - Algèbre

ℕ l’ensemble des nombres naturels {0; 1; 2; 3; … ; 86; 87; … } ℕ. l’ensemble des nombres naturels non nuls

ℤ l’ensemble des nombres entiers {… ;−10; −9;… 0; 1; 2; 3; … ; 9; 10; … }

ℤ. l’ensemble des nombres entiers non nuls ℚ l’ensemble des nombres rationnels ℝ l’ensemble des nombres réels

4 ∈ ℕ 4 appartient à l’ensemble des nombres naturels (4 est un nombre naturel) 4 ∈ ℤ 4 appartient à l’ensemble des nombres entiers (4 est un nombre entier) 4 ∈ ℚ 4 appartient à l’ensemble des nombres rationnel (4 est un nombre rationnel) 4 ∈ ℝ 4 appartient à l’ensemble des nombres réels (4 est un nombre réel) div4 l’ensemble des diviseurs naturels du nombre naturel 4 4ℕ l’ensemble des multiples naturels du nombres naturel 4 2ℕ l’ensemble des nombres naturels pairs

4 < : 4 est strictement plus petit que : (4 et : étant des nombres) 4 ≤ : 4 est plus petit ou égal à : 4 > : 4 est strictement plus grand que : 4 ≥ : 4 est plus grand ou égal à : 4 = : 4 est égal à : 4 ≠ : 4 est différent de : (4 n’est pas égal à :) ⋍ égale environ (approximation)

A la valeur absolue du nombre A pgcd(4; :) le plus grand commun diviseur des nombres 4 et : ppcm(4; :) le plus petit commun multiple des nombres 4 et :

4H le carré de 4 4I le cube de 4 4J la ne puissance de 4 (K ∈ ℕ), K est l’exposant, 4 est la base −4 l’opposé du nombre 4 4

: la fraction de numérateur 4 et de dénominateur : (: ≠ 0)

−4

: l’opposé de L

M

:

4ou

4

:PQ

l’inverse de LM

R pi = 3,1415926… S phi = 1,61803… (nombre d’or)

⋯ ⇒ ⋯ … implique (ou entraîne)… (ce symbole signifie encore « Si …, alors … »)

⋯⇔ ⋯ … est équivalent à … (ce symbole se dit souvent « si et seulement si ») absZ l’abscisse du point Z dans le répère choisi sur une droite


Index des notations et verbes


Géométrie

[, ], ^, … des points (les points sont toujours représentés par des majuscules) [ ≠ ] [ et ] sont des points distincts [(A; _) dans le plan cartésien, les coordonnées du point [ sont (A; _) , A étant l’abscisse et

_ l’ordonnée.

`,a, A, _, … des droites (les droites sont représentées par des minuscules)

[] la droite passant par les points [ et ] ` ⊥ `′ la droite ` est perpendiculaire à la droite `’ ` ∥ `′ la droite ` est parallèle à la droite `’ ` ∦ `′ la droite ` n’est pas parallèle à la droite `’ (les droites ` et `’ sont sécantes) `G`′ dans l’espace, les droites ` et `’ sont gauches (ou `g`′) [ ∈ a le point [ appartient à la droite a [ ∉ a le point [ n’appartient pas à la droite a

i, j, k, … des plans de l’espace (les plans sont représentés par des lettres grecques) []^ le plan passant par les points [, ] et ^ i ⊥ j le plan i est perpendiculaire au plan j i ∥ j le plan i est parallèle au plan j i ∦ j le plan i est n’est pas parallèle au plan j (les plans i et j sont sécants) ` ⊥ i la droite ` est perpendiculaire au plan i ` ∥ i la droite ` est parallèle au plan i ` ∦ i la droite ` n’est pas parallèle au plan i (la droite ` perce le plan i) [ ∈ i le point [ appartient au plan i

[ ∉ i le point [ n’appartient pas au plan i

` ⊂ i la droite ` est incluse dans le plan i ` ⊄ i la droite ` n’est pas incluse dans le plan i

[] le segment de droite dont les extrémités sont les points [ et ] [] la demi-droite d’origine [ et passant par le point ] [] la longueur du segment []

Â l’angle de sommet [

Â l’amplitude de l’angle de sommet [

[]^ l’angle de sommet ] et de côtés [][et []^

[]^ l’amplitude de l’angle []^

d [, ] = [] distance du point [ au point ] ou longueur du segment [] d([, :) distance du point [ à la droite : d([,Zp) distance du point [ à la droite Zp

d 4, : , 4 ∥ : distance des droites parallèles 4 et :




q([; r) cercle de centre [ et de rayon r

[] l’arc de cercle dont les extrémités sont les points [ et ]

[] vecteur d’origine [ et d’extrémité ]

stu translation de vecteur [] vw symétrie orthogonale d’axe ` vtu symétrie orthogonale d’axe [] vx symétrie centrale de centre y rz,{ rotation de centre ^ et d’amplitude i

Verbes utilisés en mathématique

Caractériser

un nombre ; c’est déterminer la particularité de ce nombre. des nombres ; c’est distinguer la propriété qui unit ces nombres. une figure ; c’est préciser les critères de classification et les propriétés de cette figure. des figures ; c’est préciser les éléments communs aux figures. une transformation ; c’est analyser et noter les éléments spécifiques de cette transformation.

Comparer des nombres ; c’est situer les nombres les uns par rapport aux autres. des figures ; c’est examiner les figures et établir des ressemblances ou des différences.

Construire c’est dessiner, à l’aide du matériel adéquat, une figure traduisant un énoncé ou respectant un programme préétabli.

Décomposer un nombre ; c’est écrire ce nombre sous la forme demandée.

Déterminer des nombres ; c’est proposer des nombres qui satisfont une condition, tu dois donner une valeur. les éléments d’une figure ; c’est localiser par construction l’élément demandé.

Effectuer un calcul ; c’est calculer la valeur numérique en respectant les priorités des opérations. une expression algébrique ; c’est écrire l’expression algébrique réduite à sa plus simple expression en respectant les priorités des opérations.

Formuler c’est écrire une expression algébrique qui traduit une suite de nombres, une situation.

Justifier c’est prouver la véracité d’une propriété en se basant sur des définitions, des propriétés. c’est argumenter une réponse en se basant sur des définitions, des propriétés.

Réduire

une expression algébrique ; c’est transformer une expression algébrique en une forme plus simple (sans parenthèses) en appliquant les propriétés adéquates. des fractions au même dénominateur ; c’est écrire des fractions équivalentes aux fractions initiales mais dont les dénominateurs sont égaux.

Représenter une figure ; c’est dessiner une figure. par un graphique ; c’est construire un graphique traduisant la situation.

Simplifier une fraction ; c’est écrire la fraction irréductible égale à la fraction initiale.




Il faut savoir qu’une propriété n’est rien d’autre qu’une caractéristique commune à une familled’objets. Par exemple, si des triangles ont trois côtés isométriques (caractéristique commune), cesont des triangles équilatéraux. Certaines de ces propriétés peuvent être codées par des signesconventionnelssurledessin.

Qu’est-cequin’estpasunepropriété?

- Unepropriéténepeutpasfaireréférenceàunedispositionouuneapparencevisuelle.

Doncdansunepropriété,ilnepeutpasyavoirlesmots:

- Unepropriéténepeutpasfaireréférenceàdesmesuresparticulièressaufsicesmesuressontlesmêmespourtouslesobjetsdelafamille.

- Unepropriéténepeutpasfaireréférenceauxinstrumentsutiliséspourconstruire.

- Unepropriéténepeutpascomporterderestrictionsabusives.


Comment justifier correctement?

NOTIONS&UTILES&AUX&JUSTIFICATIONS& 17

!!Géométrie !

Justifier)qu’un)point)est)le)milieu)d’un)segment)!

1"Si!un!quadrilatère!est!un!parallélogramme!alors!ses!

diagonales!se!coupent!en!leur!milieu.!

!

!!

!"#$!est!un!parallélogramme!

!

donc!!

!# !et! "$ !se!coupent!en!leur!milieu,!le!point!%.!

2"Si!!!et!!′!sont!symétriques!par!rapport!à!un!point!%!alors!%!est!le!milieu!du!segment! !!' .! !

!!et!!′!sont!symétriques!par!rapport!au!point!%!

!donc!

!%!est!le!milieu!de! !!' .!

3"Si!une!droite!est!la!médiatrice!d'un!segment!alors!elle!coupe!le!segment!perpendiculairement!en!son!milieu.!

!

!!

(!est!la!médiatrice!du!!segment! !" !

!donc!

!(!coupe!le!segment! !" !en!

son!milieu.!

4"Si!un!segment!est!un!diamètre!d'un!cercle!alors!le!centre!du!cercle!est!le!

milieu!de!ce!segment.!

!!

!" !est!un!diamètre!d’un!cercle!de!centre!%!

!donc!

!%!est!le!milieu!de! !" .!

!Justifier)qu’un)point)appartient)à)la)médiatrice)d’un)segment)

!

5"Si!un!point!est!équidistant!des!

extrémités!d'un!segment!alors!ce!point!appartient!à!la!médiatrice!de!ce!

segment.!!

)! = )" !!

donc!!

)!appartient!à!la!médiatrice!du!segment! !" .!

! !

www.mathematique.org Notions utiles aux justifications !

NOTIONS&UTILES&AUX&JUSTIFICATIONS&18

)))Justifier)que)deux)droites)sont)parallèles))

!

6"Si!un!quadrilatère!est!un!

parallélogramme!alors!ses!côtés!opposés!sont!parallèles.!

!

!"#$!est!!un!parallélogramme!

!donc!!

!!"+//+#$!et!!$+//+"#.!

7"Si!deux!droites!sont!parallèles!à!une!troisième!droite!alors!les!trois!droites!

sont!parallèles.!

!

!!

(-+//+(.++!et!(/+//+(.+!!

donc!!!

(-+//+(/.!

8"Si!deux!droites!sont!perpendiculaires!à!une!troisième!droite!alors!elles!sont!

parallèles!entre!elles.!

!

!!

(- +⊥ + (.!et!(/ +⊥ + (.!!

donc!!!

(-+//+(/.!

9"Si!deux!droites!sont!symétriques!par!rapport!à!un!point!alors!elles!sont!

parallèles.!

!

!

Les!droites!(!et!(′!sont!symétriques!par!rapport!au!

point!O!!

donc!!!

(+//+(’.!

10"Si!deux!angles!alternes?internes!(alternes(externes)!sont!de!même!amplitude!alors!les!deux!droites!

coupées!par!la!sécante!sont!parallèles.!

!

!!

Les!droites!(!et!(’!sont!coupées!

par!la!sécante!3.!4!et!5!sont!alternes?internes!

et!de!même!amplitude!!

donc!!

(+//+(’.!

11"Si!deux!angles!correspondants!sont!de!même!amplitude!alors!les!deux!droites!coupées!par!la!sécante!sont!parallèles.!

!

!!

Les!droites!(!et!('!sont!coupées!par!la!sécante!3.!4!et!5!sont!correspondants!et!de!même!amplitude!

!donc!

!(+//+(’.!

!

)))

www.mathematique.org Notions utiles aux justifications !


))Justifier)que)deux)droites)sont)perpendiculaires)

!

12"Si!deux!droites!sont!parallèles!et!si!une!troisième!droite!est!perpendiculaire!à!l'une!alors!elle!est!perpendiculaire!à!

l'autre.!!

(- +⊥ + (.!et!(-+//+(/!!

donc!!

(/ +⊥ + (..!

13"Si!un!triangle!est!rectangle!alors!les!

côtés!adjacents!à!l'angle!droit!(cathètes)!sont!perpendiculaires.!

!

!!

Le!triangle!!"#!est!rectangle!en!!!!

donc!!

!" ⊥ !#.!

14" Si!un!quadrilatère!est!un!losange!alors!ses!diagonales!sont!perpendiculaires.!

!

!!

!"#$!est!un!losange!!

donc!!

!# ⊥ "$.!

15"Si!une!droite!est!tangente!à!un!cercle!

en!un!point!alors!elle!est!perpendiculaire!au!rayon!de!ce!cercle!

qui!a!pour!extrémité!ce!point.!

!

(!est!tangente!en!)!au!cercle!de!centre!%!!

!donc!

!(!est!perpendiculaire!à![%)].!

!Justifier)qu’un)triangle)est)rectangle)

!

16" Si!un!triangle!possède!un!angle!droit!alors!il!est!rectangle.!

!

!

Â = +90°!!

donc!!

le!triangle!!"#!est!rectangle!en!!.!

17" Si!un!triangle!a!deux!angles!complémentaires!alors!il!est!rectangle.!

!

!!

Les!angles!"!et!#!sont!complémentaires!

!

donc!!!

!"#!est!un!triangle!!rectangle!en!!.!


Notions utiles aux justifications !


" ! ! !

18" Si!un!triangle!est!inscriptible!dans!un!demi?cercle!alors!il!est!rectangle.!

!

!!

!"#!est!un!triangle!inscrit!dans!un!demi?cercle!de!

diamètre!["#]!!

donc!!

!"#!est!un!triangle!rectangle!en!!.!

))Justifier)qu’un)triangle)est)isocèle)

!

19" Si!un!triangle!a!deux!côtés!de!la!même!longueur!alors!il!est!isocèle.!

!!

!" += !# !!

donc!!

!"#!est!isocèle!en!!.!

20" Si!un!triangle!a!deux!angles!de!la!même!mesure!alors!il!est!isocèle.!

!

!!

" = # !+

donc!!

!"#!est!isocèle!en!!.!

21" Si!un!triangle!admet!un!axe!de!symétrie!alors!il!est!isocèle.!

!

!!

(!est!un!axe!de!symétrie!du!triangle!!"#!

!donc!

!!"#!est!isocèle!en!!.!

!!

Justifier)qu’un)triangle)est)équilatéral)!

22" Si!un!triangle!a!ses!trois!côtés!de!la!même!longueur!alors!il!est!équilatéral.!

!

!!

!" += "# += #! !!

donc!!

!"#!est!un!triangle!équilatéral.!




" ! ! !

23" Si!un!triangle!a!ses!trois!angles!de!la!même!mesure!alors!il!est!équilatéral.!

!

!!

! = " = # = +60°!!

donc!!!

!"#!est!un!triangle!équilatéral.!

24" Si!un!triangle!admet!trois!axes!de!symétrie!alors!il!est!équilatéral.!

!

!!

(-, (/!et!(.!sont!3!axes!de!symétrie!du!triangle!!"#!

!donc!

!!"#!est!un!triangle!équilatéral.!

)Justifier)qu’un)quadrilatère)est)un)parallélogramme)

!

25"Si!un!quadrilatère!a!ses!côtés!opposés!parallèles!deux!à!deux!alors!c'est!un!parallélogramme.!

!

!!

!"!//!#$!et!!$!//!"#!!

donc!!

!"#$!est!un!parallélogramme.!

26"Si!un!quadrilatère!a!ses!diagonales!qui!se!coupent!en!leur!milieu!alors!

c'est!un!parallélogramme.!

!

!!

[!#]!et!["$]!se!coupent!en!leur!milieu!

!

donc!!


27"Si!un!quadrilatère!a!deux!côtés!opposés!parallèles!et!de!même!

longueur!alors!c'est!un!parallélogramme.!

!

!

!

!$!//!"#,! !$ = "# !!

donc!!





" !!

!

28"Si!un!quadrilatère!a!ses!côtés!opposés!de!même!longueur!

alors!c'est!un!parallélogramme.!

!

!!

!" = #$ ,! !$ = "# !!

donc!!


29"Si!un!quadrilatère!a!un!centre!de!

symétrie!alors!c'est!un!parallélogramme.!

!

!!

%!est!le!centre!de!symétrie!du!quadrilatère!!"#$!

!donc!

!!"#$!est!un!

parallélogramme.!

30"Si!un!quadrilatère!a!ses!angles!opposés!de!la!même!mesure!

alors!c'est!un!parallélogramme.!

!

!!

Dans!le!quadrilatère!!"#$,!! = # !et! " = $ !!

!donc!

!!"#$!est!un!

parallélogramme.!

)Justifier)qu’un)quadrilatère)est)un)losange)

!

31"Si!un!quadrilatère!a!ses!quatre!côtés!de!la!même!longueur!alors!c'est!un!

losange.!

!

!!

!"#$!est!tel!que!!" = "# = #$ = $! !

!donc!

!!"#$!est!un!losange.!

32"

Si!un!parallélogramme!a!ses!diagonales!perpendiculaires!alors!

c'est!un!losange.!

!

!!

!"#$!est!un!parallélogramme!!et!!!# ⊥ "$!

!donc!


Si!un!quadrilatère!a!ses!diagonales!qui!se!coupent!en!leur!milieu!et!perpendiculaires!alors!c'est!un!

losange.!

!

!!

!"#$!est!un!quadrilatère,!!# ⊥ "$!et! !# ⊥ "$ !

!donc!


" ! ! !

A.R. de Visé • A.R. de Visé Notions utiles aux justifications ! A.R. de Visé • A.R. de Visé Notions utiles aux justifications ! www.mathematique.org



" ! ! !

33"

Si!un!parallélogramme!a!deux!côtés!consécutifs!de!la!même!longueur!

alors!c'est!un!losange.!

!

!

!"#$!est!un!parallélogramme!!et! !" = "# !

!donc!


!

Si!un!quadrilatère!a!ses!côtés!opposés!parallèles!et!deux!côtés!consécutifs!de!la!même!longueur!

alors!c'est!un!losange.!

!

!"#$!est!un!quadrilatère,!!!"!//!#$!et! !" = "# !

!donc!


!

34"Si!un!quadrilatère!a!deux!axes!de!symétrie!qui!sont!ses!diagonales!

alors!c’est!un!losange.!

!

!!

!"#$!est!un!quadrilatère!!#!et!"$!sont!les!axes!de!

symétrie!!

donc!!

!"#$!est!un!losange.!

!Justifier)qu’un)quadrilatère)est)un)rectangle)

!

35"Si!un!quadrilatère!possède!trois!

angles!droits!alors!c'est!un!rectangle.!

!

!!

!"#$!possède!trois!angles!droits!

!donc!

!!"#$!est!un!rectangle.!

36"

Si!un!parallélogramme!a!ses!diagonales!de!la!même!longueur!alors!

c'est!un!rectangle.!

!

!!

!"#$!est!un!parallélogramme!!et!! !# = "$ !

!donc!!


Si!un!quadrilatère!a!ses!diagonales!de!la!même!longueur!et!qui!se!coupent!en!leur!milieu!alors!c'est!un!rectangle.!

!

!!

!"#$!est!un!quadrilatère,!!# = "$ !et! !# !et! "$ !se!coupent!en!leur!milieu!

!donc!!





" ! ! !

37"

Si!un!parallélogramme!possède!un!angle!droit!alors!c'est!un!rectangle.!

!

!"#$!est!un!parallélogramme!!et!!!" ⊥ "#!

!donc!


Si!un!quadrilatère!a!ses!côtés!opposés!parallèles!et!un!angle!droit!alors!c'est!

un!rectangle.!

!"#$!est!un!quadrilatère!!!"!//!#$!et!!!" ⊥ "#!

!donc!


38"Si!un!quadrilatère!a!ses!médianes!qui!sont!des!axes!de!symétrie!alors!c'est!

un!rectangle.!

!

!!

!"#$!est!un!quadrilatère!!et!les!médianes!(-!et!(/!sont!

des!axes!de!symétrie!!

donc!!

!"#$!est!un!rectangle.!

!Justifier)qu’un)quadrilatère)est)un)carré)

!

39"Si!un!quadrilatère!est!à!la!fois!un!

rectangle!et!un!losange!alors!c'est!un!carré.!

!

!!

!"#$!est!à!la!fois!un!losange!et!un!rectangle!

!donc!

!!"#$!est!un!carré.!

40"Si!un!quadrilatère!a!ses!côtés!de!même!longueur!et!un!angle!droit!

alors!c'est!un!carré.!

!

!!

!"#$!est!un!quadrilatère,!!!" = "# = #$ = $! !

et!!!" ⊥ "#!!

donc!!

!"#$!est!un!carré.!




" ! ! !

41"Si!un!quadrilatère!a!ses!angles!droits!et!deux!côtés!consécutifs!de!même!

longueur!alors!c'est!un!carré.!

!

!!

!"#$!est!un!quadrilatère,!! = " = # = $ = 90°!

et!! !" = "# !!

donc!!


42"Si!un!quadrilatère!a!ses!diagonales!de!

même!longueur!qui!se!coupent!perpendiculairement!en!leur!milieu!

alors!c'est!un!carré.!

!

!!

!"#$!est!un!quadrilatère,!!# = "$ ,! !# ⊥ "$ !!

et! !# , "$ !se!coupent!en!leur!milieu!

!donc!

!!"#$!est!un!carré.!

43"Si!un!quadrilatère!a!4!axes!de!

symétrie!(médianes!et!diagonales)!alors!c'est!un!carré.!

!

!!

!"#$!est!un!quadrilatère!et!!(-, (/, (.!et!(>!sont!les!axes!

de!symétrie!!

donc!!


!Déterminer)la)longueur)d’un)segment)

!

44"Si!deux!points!appartiennent!à!un!cercle!alors!ils!sont!équidistants!du!

centre!de!ce!cercle.!

!

!!

!!et!"!appartiennent!au!cercle!de!centre!%!

!donc!

!%! = %" .!




" ! ! !

45"Si!deux!segments!sont!images!l’un!de!l’autre!par!une!transformation!du!plan!alors!ils!ont!la!même!longueur.!

!

!!

Les!segments![!"]!et![!′"′]!sont!symétriques!par!rapport!à!

la!droite!(!!

donc!!!

!" = !′"′ .!

46"Si!deux!cercles!sont!images!l’un!de!l’autre!par!une!transformation!du!plan!alors!ils!ont!le!même!rayon.!

!

!!

Les!cercles!de!centre!%!et!%′!sont!symétriques!par!

rapport!à!(!!

donc!!

ils!ont!le!même!rayon.!

47"Si!un!point!appartient!à!la!médiatrice!d'un!segment!alors!il!est!équidistant!

des!extrémités!de!ce!segment.!

!

!!

)!appartient!à!la!médiatrice!de![!"]!

!donc!

!)! = )" .!

48"Si!un!point!appartient!à!la!bissectrice!d'un!angle!alors!il!est!situé!à!la!même!

distance!des!côtés!de!cet!angle.!

!

!!

)!appartient!à!la!bissectrice!de!l'angle!"!#!

!donc!

!)? = )@ .!


parallélogramme!alors!ses!côtés!opposés!ont!la!même!longueur.!

!

!!

!"#$!est!un!parallélogramme!!

donc!!

!" = #$ !et! !# = "$ .!

!!!!!!!!




)))Déterminer)l’amplitude)d’un)angle)

!

50"Si!deux!angles!sont!images!l’un!de!l’autre!par!une!transformation!du!

plan!alors!ils!ont!la!même!amplitude.!

!

!!

Les!angles!"!#!et!"′!′#′!sont!symétriques!

par!rapport!à!la!droite!(!!

donc!!

"!# = "'!'#' .!


parallélogramme!alors!ses!angles!opposés!ont!la!même!amplitude.!

!

!!


!donc!

!! = # !et! " = $ .!


parallélogramme!alors!deux!angles!consécutifs!sont!supplémentaires.!

!

!!


!donc!

!! + " = 180°.!

53"Si!un!triangle!est!rectangle!alors!ses!angles!aigus!sont!complémentaires.!

!

!!

!"#!est!un!triangle!rectangle!en!!!

!donc!

!" + # = 90°.!

54"Dans!un!triangle,!la!somme!des!amplitudes!des!angles!intérieurs!

est!égale!à!180°.!

!

Dans!le!triangle!!"#,!!!

! + " + # = 180°!

55"Si!un!triangle!est!isocèle!alors!ses!angles!à!la!base!ont!la!même!

amplitude.!

!

!!

!"#!est!un!triangle!!isocèle!en!!!

!donc!

!" = # .!




" ! ! !

56"Si!un!triangle!est!équilatéral!alors!ses!angles!ont!une!amplitude!de!

60°.!

!

!!

!"#!est!un!triangle!équilatéral!

!donc!!

!! = " = # = 60°.!

57"Si!deux!angles!sont!opposés!par!le!sommet!alors!ils!ont!la!même!

amplitude.!

!

!!

Les!angles!!5#!et!"5$!sont!opposés!par!le!sommet!

!donc!

!!5# = "5$ .!

58"

Si!deux!angles!alternes(internes*(alternes(externes)!sont!

déterminés!par!des!droites!parallèles!alors!ils!ont!la!même!

amplitude.!

!

!!

Les!droites!(!et!(′!sont!parallèles!et!coupées!par!la!

sécante!54!!

donc!!

5 = 4 .!

59"Si!deux!angles!correspondants!sont!

déterminés!par!des!droites!parallèles!alors!ils!ont!la!même!

amplitude.!

!

!!

Les!droites!(!et!(′!sont!parallèles!et!coupées!par!la!

sécante!54!!

donc!!

5 = 4 .!

60"Si!une!droite!est!la!bissectrice!d'un!angle!alors!elle!partage!l'angle!en!deux!angles!adjacents!de!même!

amplitude.!

!

!!

D!est!la!bissectrice!de!l'angle!"!#!!

donc!!

"!$ = $!# = "!#2 !

!



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rédigé par valenzano j. - les maths à l'iphs

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