rapport de mécanique des fluides numérique

Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion

Rapport de Mécanique des Fluides Numérique

Thomas EPALLE

Jerôme VACHER

Ecole Centrale Paris

15 Fevrier 2015

Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 1 / 41


Sommaire

1 Projet 1

Présentation du problème

Implémentation numérique

Schémas et Résultats

2 Projet 2


Mise en équations du cas 2D

Résultats pour cas 2D


Résultats pour le cas 3D



Plan

1 Projet 1




2 Projet 2









Système Étudié

On considère l'écoulement irrotationnel d'un �uide incompressible

idéal dans la géométrie suivante :

I masse volumique : ρI champ de vitesse : −→u = u−→ex + v−→ey




Évolution du système

La conservation de la masse donne:

∂ρ

∂t= ρ(

∂u

∂x+∂v

∂y)

Soit en régime stationnaire :

ρ(∂u

∂x+∂v

∂y) = 0

On pose Ψ(x , y) tq:

u =∂Ψ

∂y, v = −∂Ψ

∂x




Système d'équations

On obtient donc :∂2Ψ

x2+∂2Ψ

∂y2= 0

Les conditions s'expriment :

I Neumann

Ψ(x ,H) = Ψ(x , 0) = Ψ(0, y) = C1, x ∈ [0; L1], y ∈ [0;H]

Ψ(x , 0) = C2, x ∈ [L1 + L2; L1 + L2 + L3]

I Dirichlet

∂Ψ

∂x(L1 + L2 + L3, y) = 0, y ∈ [0;H]

∂Ψ

∂x(x , 0) = v0, x ∈ [L1; L1 + L2]




Gestion de la matrice

Discrétisation de l'espace en une matrice de taille NyNx .

Un élement de matrice correspond à la valeur Ψ(j∆X , i∆Y )

Initialisation de la matrice et prise en compte des conditions aux

limites




Prise en compte des conditions aux limites

I On �xe C1 = 0

I On intègre la condition de Dirichlet pour

x ∈ [L1; L1 + L2], y = 0:

C2 = −v0 ∗ L2I points intermédiaires, en orange :

Ψ[1, j ] = −[(j − 1) ∗∆X − L1] ∗ v0I Diriclet en sortie, (points verts) :

Ψ[:,Nx − 1] = Ψ[:,Nx ]

Ainsi, la relation suivante est respectée :

∂Ψ(L1 + L2 + L3, y)

∂x= 0 ⇐⇒ Ψ[i ,Nx ]−Ψ[i ,Nx − 1]

∆x= 0




Discrétisation du système

On choisit des schémas centrés d'ordre 1 pour évaluer des dérivées

partielles d'ordre 2.

Développement de Taylor :

∂2Ψ(x , y)

∂x2=

Ψ[i , j + 1] + Ψ[i , j − 1]− 2Ψ[i , j ]

∆x2+ O(∆x2)

∂2Ψ(x , y)

∂y2=

Ψ[i + 1, j ] + Ψ[i − 1, j ]− 2Ψ[i , j ]

∆y2+ O(∆y2)

Remarque : l'adoption de schémas centrés ne pose pas de pas deproblèmes en soi sur les bords puisque les conditions aux limitesdéterminent entièrement les valeurs de Psi en ces points particuliers.




Méthode 1, Schéma de Jacobi

On obtient :

Ψki ,j =

1

2(XY 2 + 1)[XY 2(Ψk−1

i+1,j + Ψk−1i−1,j) + Ψk−1

i ,j+1 + Ψk−1i ,j−1)]

avec XY = ∆x∆y

I Une fois initialisée, on met à jour la matrice en calculant

chaque élement par itérations successives, pour propager

l'information des limites du système à tout son ensemble.

I Arret des itérations si

εk = |Ψk −Ψk−1| < ε, ε ∈ <+

On choisit le résidu εk :

|Ψk −Ψk−1| =∑i ,j

(Ψki ,j −Ψk−1

i ,j )2




Résultats

Avec un schéma de Jacobi et les paramètres suivants :

H = 5, L1 = 1m, L2 = 1m, L3 = 3m, v0 = 2m/s

Nx = 100, Ny = 100, ε = 0, 0001




Les lignes de courants obtenues traduisent une solution dont la

physique semble pertinente :

I Pas de lignes de courants rentrant dans les parois

I Une forme satisfaisante en entrée et en sortie du système




Méthodes 2 et 3, Schémas de Gauss Seidel (GS) et de GSrelaxé

I Gauss Seidel :

Ψki,j =

12(XY 2 + 1)

[XY 2(Ψk−1

i+1,j + Ψki−1,j) + Ψk−1

i,j+1+ Ψk

i,j−1)]

avec XY = ∆x∆y

.Proche de celui de Jacobi à la di�érence près qu'il utilise les pointsde l'itération actuelle k qui sont déja disponibles.

I Gauss Seidel avec relaxation :

Ψki,j =

ω

2(XY 2 + 1)[XY 2(Ψk−1

i+1,j+Ψki−1,j)+Ψk−1

i,j+1+Ψk

i,j−1)]+(1−ω)Ψk−1

i,j

avec ω ∈ [1; 2]I Mêmes résultats avec les trois schémas, on s'intéresse donc à

leurs performances en terme de rapidité de convergence.I Optimisation de ω dans le cas de la relaxation avant étude

comparative.




Optimisation de la valeur du paramètre oméga du schémaGS relaxé

On étudie l'évolution du résidu εk au cours d'itérations succesives.

εoptimal ≈ 1.8, on a�ne alors l'étude.




Optimisation 2/3

εoptimal ≈ 1.96, on a�ne encore l'étude.




Optimisation 3/3

On obtient :

εoptimal = 1.97




Comparaison de la rapidité de convergence entre les troisschémas numériques

On compare :

I Jacobi

I Gauss Seidel non relaxé

I Gauss Seidel relaxé, omega = 1.8

I Gauss Seidel relaxé, oméga = 1.97 (valeur optimale)




Conclusions

On observe :

I Le schéma de Jacobi converge plus rapidement que celui de

Gauss Seidel non relaxé lors des premières itérations,

cependant cette situation s'inverse au bout d'un certains

nombre d'itérations (au dela de 1000) dans notre cas.

I Le schéma de Gauss Seidel relaxé est celui le plus performant,

cepedant cette rapidité de convergence est hautement

in�uencée par le choix du paramètre oméga qui intervient dans

sa formulation.

I Avec le paramètre oméga optimal, le schéma de Gauss Seidel

relaxé est de loin le plus permormant. En 100 itérations, il

atteint une valeur du résidu que le schéma de Jacobi n'atteint

qu'après plus d'un millier d'itérations.



Plan

1 Projet 1




2 Projet 2









Système considéré

On considère l'établissement d'un écoulement dans les

con�gurations suivantes pour t ≥ 0:




Cas de l'étude

I On adopte les hypothèses suivantes:• Fluide incompressible de masse volumique ρ, de viscosité

cinématique ν• Pas de forces volumiques• Écoulement parallèle : −→u = u(x , y , z , t)−→ex• −→u0 =

−→0 pour t < 0

I Système invariant par translation selon −→ex :• Grandeurs du système indépendantes de x• −→u = u(y , z , t)−→ex




Équation de Navier Stockes

Cas 2D, −→u = u(z , t)−→exL'évolution du champ de vitesse est donnée par :

∂tu = ν∂2zu

Avec comme conditions :u(z , t < 0) = 0

u(z = 0, t ≥ 0) = u0u(z = H, t ≥ 0) = 0




Discrétisation du problème

On discrétise en :

II temps: itérations de pas ∆t d'indice n

I espace: N points espacés de ∆Z , indice i

On utilise un schéma semi-implicte, avec :

I nombre de Fourier :

F =∆t ν

∆Z 2

I indice de semi-implicité : β




Système d'équations discrétisées

Pour n ≥ 1, soit t ≥ 0 :

I Condition à la limite inférieure :

Un+11 = u0

I Champ intérieur, 2 ≤ i ≤ N − 1 :

−Fβ Un+1

i−1+ (1 + 2Fβ) Un+1

i − Fβ Un+1

i+1=

(1− β)F Uni−1

+ (1− (1− β)2F ) Uni + (1− β)F Un

i+1

I Condition à la limite supérieure :

Un+1

N = 0




Méthode de résolution

Pour résoudre l'équation :

I On pose U0 = 0

I On résoud le système précédent pour obtenir Un+1 à partir de

Un

I On continue tant que ||Un+1 − Un||2 > ε (critère d'arrêt)




Évolution temporelle du pro�l de vitesse

Fig.1 -Évolution du pro�l de vitesse au cours du temps

Transfert de quantité de mouvement par di�usion de plus en plus de lent.Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 28 / 41



Analyse Linéaire de stabilité de Neumann

Dans le schéma utilisé, l'ampli�cation d'une perturbation

Uni = un expjik∆z est :

A = 1− 2F (1− cos(k∆z))

1 + 2Fβ(1− cos(k∆z))

Un schéma stable |A| < 1 impose :

I F quelconque si β ≥ 12: on retrouve le cas implicite si β → 1

I F ≤ 12(1−2β) si β < 1

2: cas explicite si β → 0




Cas de convergence pour β ≥ 12

Fig.2 - Évolution du pro�l de vitesse au cours du temps

On a bien convergence comme on s'y attendait si β ≥ 1

2, pour F = 0.24

pour la Fig. 1 ou pour F = 10 dans le cas de la Fig. 2.




Cas de convergence pour β < 12

On choisit β = 0.25, ainsi Flim = 1:

Fig.3 -Évolution du pro�l devitesse pour β = 0.25 et

F = 0.25

Fig.4 -Évolution du pro�l devitesse pour β = 0.25 et

F = 1.0

On remarque qu'il y a bien convergence dans les deux cas.




Résultats dans la zone instable

On prend β = 0.25 et F = 0.75:

Fig.5 - Cas de non convergence du schéma numérique

Oscillations sans sens physique caractéristiques d'un schéma instable




Équation de Navier Stockes

Cas 3D, −→u = u(y , z , t)−→ex

L'évolution du champ de vitesse est donnée par :

∂tu = ν (∂2y + ∂2z ) u

Avec comme conditions :u(y , z , t < 0) = 0

u(y , z = 0, t ≥ 0) = u0u(y , z = H, t ≥ 0) = 0

u(y = −b2, z > 0, t ≥ 0) = 0

u(y = +b2, z > 0, t ≥ 0) = 0




Discrétisation du problème

On discrétise en :

I temps: itérations de pas ∆t d'indice n

I espace selon y : N points, pas ∆Y , indice i

I espace selon z : N points, pas ∆Z , indice j

On utilise une méthode implicite à directions alternées :

I on �ge les gradients selon y pendant un demi pas de temps

pour caluler U∗i ,j

I on �ge les gradients selon x pendant un demi pas de temps

pour caluler Un+1i ,j

I nombre de Fourier, rapport YZ:

F =2∆t ν

∆Z 2, yz =

∆z

∆y




Système d'équations discrétisées

Pour chaque pas de temps :

I On doit d'abord calculer U∗ pour j ∈ 1,N :

U∗i,j = 0

−Fyz2(U∗i,j−1

+U∗i,j+1

)+(1+2Fyz2) U∗i,j = (1−2F )Un

i,j+F (Uni−1,j+Un

i+1,j)

U∗i,N = 0

I On peut en déduire Un+1 pour i ∈ 1,N :

Un+1

1,j = u0

−F (Un+1

i−1,j+Un+1

i+1,j)+(1+2F )Un+1

i = Fyz2(U∗i,j−1

+U∗i,j+1

)+(1−2Fyz2) U∗i,j

Un+1

N,j = 0




Critères de stabilié

On considère une perturbation de la forme Un = un exp j(ikz∆z + jky∆y)

Le schéma précédant est linéaire donc on choisi d'écrireU∗ = u∗ exp j(ikz∆z + jky∆y), ainsi:

Un+1

Un=

Un+1

U∗U∗

Un

Un+1

Un=

(1− 2F (1− cos(kz∆z)))(1− 2Fyz2(1− cos(ky∆y)))

(1 + 2F (1− cos(kz∆z)))(1 + 2Fyz2(1− cos(ky∆y)))

On montre que

|Un+1

Un| < 1, ∀F

Le schéma est stable.




Exemples de stabilité

On �xe yz2 = 1, et on fait varier F :

Fig.6 - Champ des vitessespour Ttot = 1000s pour

F = 0.01


F = 0.1




Exemples de stabilité


F = 1


F = 100

I Même champ => pas de problème d'instabilités.

I Fig.9 - Légère di�érence proche des coins inférieurs du au faiblenombre d'itérations (10 pour Ttot = 1000s)




In�uence de la géométrie

On �xe F = 0.1, Ttot = 100s, yz varie :

Fig.10 - In�uence du rapport de géométrie yz




Analyse des résultats

yz = ∆Z∆Y

et Ny = Nz �xé. Ainsi

yz =H

b

δt : longueur de di�usion pour Ttot

I yz < 1: H < b, le pro�l se rapproche d'un pro�l établi : δt ≈ H

I yz > 1: H > b, le pro�l fortement in�uencé par les conditionslatérales : δt < H => pro�l en triangle

Soit

I Pour les faibles valeurs de yz , la di�usion a pu dans le temps

imparti, homogénéiser une grande partie de l'écoulement.

I Plus yz diminue, plus il est rapide d'obtenir pro�l établi, car il

y a moins de �uide à mettre en mouvement.



Conclusion

I Le choix du nombre de Fourier permet de joueur sur la vitesse

de la simulation, car on joue sur le pas de temps ∆t.

Cependant on peut entrer dans un domaine d'instabilité du

schéma.

I On remarque une in�uence forte de la géométrie sur les

résultats de simulation.

I Le choix du schéma numérique conditionne tous les possibles

problèmes d'instabilités. Il faut donc choisir en connaissance

de la situation à traiter.

I Un analyse linéaire de stabilité se révèle déterminante dans le

cas de problèmes linéaires pour pouvoir à l'avance connaitre

les domaines d'instabilités et permettre donc de choisir un

schéma adapté à la situation.


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