modélisation numérique en mécanique des fluides
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Modélisation numérique en mécanique des fluides :
Applications à l'étude des écoulements en rotation
avec parois
L.M.S.N.M. FRE 2405 / C.N.R.SLa Jetée - Technopôle de Château-Gombert,
38 rue Frédéric Joliot Curie,13451 Marseille Cedex 20 France.
E. Serre
44ièmeième Rencontres Nationales des MécaniciensRencontres Nationales des Mécaniciens1919--23 Mai 2003, Le 23 Mai 2003, Le PradetPradet
Amélioration des performances des calculateurs depuis 1950 a conduit à lémergence de la MFN (CFD)
Complète lexpérience et la théorie à un coût efficace danslétude des écoulements réels.
Niveau de bruit faible et manipulation des équationsPermet de tester les avancées théoriques dans des
conditions impossibles (ou difficiles) à réaliser en expé-Permet de jouer avec certains termes dans les équationsex: supprimer la gravité
Contrôle des écoulements
Accès à lensemble du champs spatio-temporelPlus de détails et dinformation
Coût réduit par rapport à la soufflerie + temps réduit pour designer et développer
Equation de transport pour la Température
Equations de Navier- Stokes (conservation de la qte de mvt) Conservation de la masse
convection: terme dinertie
Accélération locale
Force externe
tractions: pressionet force visqueuse
Modèle mathématique:EQUATIONS OBERBECK-BOUSSINESQ
VpgTTVVtV 2
0 )(. ∇+∇−−−=∇+∂∂ υα
0=∇V
TTVtT 2. ∇=∇+
∂∂ χ
- Méthodes locales : différences finies, éléments finis, volumes finis
Les équations algébriques lient les valeurs des variables primitives avec des valeurs en des point adjacents.
(Le nbre détermine lordre de la méthode)
- Méthode globale: spectraleLes variables sont remplacées par des amplitudes associées à différentes fréquences
Trop complexes pour obtenir des solutions exactes !
Recherche de solutions approximées
Dv. de méthodes numériques
Equa. de la méca fluide+ cond. limites
DiscrétisationSpatio-temporelle
Système algébrique
Solution approximée
Solveur numérique
Solution exacte
Stabilité∆t, ∆x
consistence
Convergence∆t, ∆x 0
erreur Ψ-ΨNMKSystème linéaire
AX+BXT=S
=
Π=∇
Π+∆+−∇=∇−∇++−
++
+
+++
−
−−−+
11
1
111
BashforthAdams
11
schemeEuler backwardorder Second
11
on 0.
on Re1).().(2
243
nn
n
nnnnnnnnnn
WV
V
FVpVVVVt
VVV 4444 84444 76444 8444 76
δ
Schéma en temps:
second order semi-implicitbackward implicit Euler scheme + explicit Adams-Bashforth scheme for non-linear terms
Approximation spatiale :
- approximate Ψ=(u, v, w, p) par un développement en séries tronquées:
Tn and Tm Chebyshev polynomials: Tn(r) = cos(n cos-1 r), avec(r, z, θ) ∈ [-1; 1]2 × [0; 2π[.
- points de Gauss-Lobatto en (r, z) : xi = cos(iπ / N), i = 0,...,N
- Lerreur Ψ-ΨNMKdecroît exponentiellement si Ψ∈C∞
∑ ∑∑=
−
−==
Ψ=ΨM
m
ikmnnmk
K
Kk
N
nNMK ezTrTttzr
0
1 2/
2/0)()()( ),,,( θθ
)
Chaque variable est solution dune équation de la forme:( ) SA =Ψλ−Ψ
technique de diagonalisation complète adapté àla prise en compte de valeurs propres complexes
Solveur 3D
( ) SA =Ψλ−Ψ
Écoulements ouverts sur un milieu infini
- Origine et Application: la géophysique(Ekman 1905, Hide 1953)
- Outil théorique:- écoulements de similitude (von Karman 1921, Batchelor 1951)
solution exacte des équations de Navier-Stokes
Écoulements confinés : Applications industrielles multiples
- croissance cristalline (config. Czochralski)
- génie des procédés (mélangeur ...)
- turbomachines (système de refroidissement)
Présence de parois
- Outils expérimentaux et numériques
Les écoulements en rotation
Compresseur haute pression
Partie basse pression
Moteur SNECMA CFM56
Les écoulements industriels ...
Les turbomachines: systèmes de refroidissement
5% décart sur la prédiction des transferts de chaleurresponsable de 60% des arrêts non programmés
Transferts de masse et de chaleur Turbulence
En aérodynamique- Ailes delta ou triangulaire - Au-delà dun certain angle dattaque lécoulement axial au cur du vortex est décéléré et peut même êtrecomplètement stoppé (stagnation point) et ainsi le vortex est dit « to break down »- Le cur du vortex ne conserve pas sa forme originale et au contraire semble se détruire complètement.
Éclatement tourbillonnaire
Avec ce phénomène la portance est réduite et laile peut devenir fortement instable et incontrôlable
Situation identique dans les « swirling pipes » qui peut engendrerdes écoulements de retour et des oscillations
Bubble type (Krause 1999)
Spiral type (Krause 1999)
Analyser et comprendre les phénomènes élémentaires fondamentaux (instabilités, éclatement tourbillonnaire, turbulence) ainsi que les transferts de masse et de chaleur associés se produisant dans les écoulements en rotation avec parois.
Objectifs et moyens de la recherche
Optimiser les procédés ou les systèmes industriels les mettant en jeu : turbomachines, aérodynamique interne et externe,
Étude dans des configurations modèles au moyen de la Simulation Numérique Directe (DNS) « haute performance » : équation Navier-Stokes 3D instationnaire, vitesse-pression, méthode spectrale
- Configurations géométriques simples (ou semi-complexes)mais constitutives de nombreux procédés industriels
Méthodologie de la recherche
Configurations modèles mais pertinentes avec des applications industrielles
Il faut se donner des modèles:géométrique, mathématique, numérique
Modèles géométriquesRapport de forme L = H/R
paramètre de courbureRm= (R1+R0)/(R1-R0)
Paramètresgéomètriques
Cavités rotor-stator
cylindrique annulaire
L<<1L>>1
Cavité annulaire en rotation densemble
DNS comme outil de recherche
- on ne prétend pas calculer des écoulements industriels !
- études contrôlées dans des configurations académiques difficilement reproductibles en expérience (perturbations non contrôlées)
- à des nombres de Reynolds relativement bas mais suffisant:
écoulements transitionnels : connaissance précise de tout le champs spatio-temporel
- Être raisonnable: moment dordre 3 ou intermittence dépendantfortement des très petites échelles pas vraiment accessible avec précision
- Dynamique spatio-temporelle des structures cohérentes induites par linstabilité- Valeurs critiques des paramètres de contrôle en régime transitoire
Ne nécessite pas une séparation très importante entreéchelles énergétiques - échelles dissipatives (Le & Moin 1994)
- accès à la statistique au moins jusquà lordre 2
écoulements turbulents, - accès à la physique de la turbulence Théorie du contrôle
Amélioration des approches RANS Impact industriel immédiat
Serre & Pulicani 2001
- Code Performances
- 6 Gflops- maximum taille mémoire utilisée: 2Go- 5 sec / time step- 1.8 millions variables (280x96x64 121x120- 2.5 x 10-6 sec/time-step/variable CNRS IDRIS (Paris)
- Supercomputer (vector) NEC SX5
- 40 processeurs de taille mémoire 224Go
- performance en crête: 8 Gflops par processeur
75% du max !!
Performances
Écoulements actuellement étudiésÉcoulements actuellement étudiés
Écoulements interdisques rotor-stator régimes de transition régime turbulent
Écoulements dans un cylindre éclatement tourbillonnaire transition vers linstationnaire
Écoulements de Taylor-Couette cavités rotor-stator, contra-rotation transition + turbulence
Écoulements en rotation densemble chauffés par le bas convection de Rayleigh-Bénard + Coriolis étude de « textures » chaotiques
Écoulement interdisque de type rotor-stator
Écoulement turbomachines, disques dur d ordinateur- connaissance des transferts de masse et de chaleur
Écoulements de base
Annulaire L = 0,13 Rm = 5 et Reh = 200
Couches Bödewadt
Couche d Ekman
Cylindrique L = 0.5 et Reh = 1400
Couche dEkman
- moteur de lécoulement:rotation différentielle
- écoulement de type Batchelor
Nombre de Reynolds:Reh = Ω (2h)²/ν
Variation radiale de lépaisseur de la couche de Bödewadt
Rotor-stator
(1) Trajectoire d Ekman(2) Écoulementgéostrophique
R0
Instabilité spiralede la couche d Ekman
Vg
(1)
(2)
)0.25Ro,122Re(82 δ ≈≤≤
Reh = 1790 Cw = 530
Mode k=12 de la couche limited Ekman
0.36/VV7.26ε
9.86σ
gΦ =−=
=
Cavité annulaire en rotation d ensemble (L=3.37, Rm=5)
Champs instantanés dansun plan meridien (r,z)
R0 R1
u
v
w
Champs de vitesse projeté
Ecoulement Turbulent: Re=300000Maillage
301×97×64
Zone géostrophique : structures cohérentesde grandes échelles
Expérience UMIST à très grande rotation
Iso-surfaces de température
Couche de fluide en rotation chauffée par le bas: convection de Rayleigh-Bénard en rotation
Géophysique : couche atmosphérique
Comprendre comment la force de Coriolis agit sur les structureset les propriétés thermiques de la convection
Intérêt plus fondamental: formation de patterns (« texture »)aspects non-linéaires : pb délicat en mécanique des fluides et en physique des états condensés
RAYLEIGH-BENARD CONVECTION IN AN INFINITIVELY EXTENDED LAYER
Two control parameters:
υ/κPr
3
=
∆=
υκα TdgRa
Under ideal conditions Rac=1708
Steep gradient across a fluid layer
Ideal straight rolls at the onset
Loin du seuil critique les rouleaux se courbent et des défauts apparaissent
W. Pesch : Spiral defect chaosNumerical solution of Boussinesq equation
G. Ahlers : stars structurespicture from optical-shadowgraph techniqueComplex spatio-temporal dynamics involving,
rotating spirals and dislocations
Spirals get contact atRa=6800
S-shaped structure rotatingin the direction of the disks
Iso-lines of temperature at mid-height in a cylinder Γ=5, Ω=60 (conducting thermal sidewall condition). Dark regions are warm upflows and bright regions are cold downflows.
Küppers-Lortz state atRa=8000
Etudes des modes de parois
Ω=60, Ra=4800 Chaos spatio-temporel
Patterns Complexes (dislocations)
Ω=60 , Ra=10000 périodique aux parois
Modes de parois en contra-roation
Ω=60 , Ra=10000 Quasi-périodique aux paro
Interaction des modes de parois
Écoulement dans un cylindre et éclatement tourbillonnaire
Aérodynamique interne et externe
CL Ekman
CL Bödewadt
Stewartson- likelayer
Re=2500, L=4
Le disque du haut tourne instantanément à Re=2500
Une couche dEkman se forme agissant commeune pompe extrayant le fluide de manière centrifuge
Le fluide est advecté avec du swirl le longdu cylindre vers la couche de Bödewadt
Le fluide spirale vers laxe et de nouveau swirle en remontant le long de laxe formant un vortex
Ce vortex peut se casser pour certainescombinaisons de L et Re
Dans la pluspart des cas la formation dune zone de recirculation est inclue dans la définitionde léclatement tourbillonnaire (Leibovich 1978)
VB est assimilé à une ou plusieurs zones de recirculation
Ecoulement de base
Illustration: Régimes stationnaires: L= 2.
Points de stagnation
Reh = 1500Reh = 1492
Reh = 1854
Visualisations expérimentalesEscudier (1984)
Profils de vitesse axialeSuivi de particules dansun plan (r, z)
Iso-surface w=0
Pas de point de stagnation deux points de stagnation
Processus parfaitement continue en temps
un point de stagnation
Transition vers linstationnaire en régimes isothermes
Brisure de symétrie correspond à une bifurcation deNaimark-Sacker associée à un mode k=1 dinstabilité: VB 3D
Relative à la brisure de symmétrie SO(2) de lécoulement externeinstabilité centrifuge ou de jet tournant
A la première bifurcation, le VB reste axisymmétrique
Première bifurcation de létat de base:Hopf associée à une onde tournante k=4à Re=2900
Conclusion et perspectives
- La modélisation numérique apparaît comme un outil efficace et moderne pour étudier des pbs de mécanique desfluides complexes: non-intrusifs, précis, accès à tous le champs
-Accroissement continu des performances des ordinateurs- Augmentation de la taille des maillages
* Description déchelles spatiales plus petites (DNS en turbulence)
- Géométries et écoulements plus complexes(méthode multidomaines 3D, écoulements compressibles)
- Objectifs : Turbulence et contrôle