Rappel...

• Systèmes dynamiques:– discrets;– continus.

(valeurs propres complexes)

Aujourd’hui

• Orthogonalité.– Produit scalaire, module;– Ensembles orthogonaux.

13. Orthogonalité

L’équation Ax = b n’a souvent pas de solution. On cherche alors une solution telle que la distance entre A et b soit la plus petite possible.

Distance: (.)2

xx

Géométriquement

x

x1 x2

d < d1

d2d1

d < d2

Orthogonalité

d

x

Produit scalaire, module et orthogonalité

Nous allons reprendre des concepts qui nous sont très familiers dans R2 et R3, soit la distance, la longueur et l’orthogonalité (« perpendicularité »), et les placer dans le contexte de Rn.

Vecteurs dans Rn

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs, u et v, est donné par:

n

jjjnn

n

nT vuvuvuvu

v

v

v

uuu1

22112

1

21

vuvu

Produit scalaire (suite)

• Processeurs DSP (TMS320).

• Le résultat est un scalaire.

• En anglais: dot product, inner product.

Propriétés du produit scalaire

Soit u, v et w des vecteurs dans Rn, et soit c un scalaire. Alors

a. u . v = v . u

b. (u + v) . w = u . w + v . w

c. (cu) . v = c(u . v) = u . (cv)

Propriétés du produit scalaire (suite)

Soit u, v et w des vecteurs dans Rn, et soit c un scalaire. Alors

d. u . u 0, et u . u = 0 si et seulement si u = 0

e.

p

iiipppp

p

iii cccccc

11111

1

wuwuwuwuuwu

Module d’un vecteur

Le module d’un vecteur v est le scalaire||v|| 0 défini par:

n

jjn vvvv

1

2222

21|||| vvv

et ||v||2 = v . v

Distance entre deux vecteurs

Pour des vecteurs u et v dans Rn, la distance entre u et v, qu’on écrit dist(u,v), est le module du vecteur u - v. Autrement dit:

dist(u,v) = ||u - v||

Vecteurs orthogonaux

v ||u - (-v)||

-v

u||u - v||

Orthogonalité

Deux vecteurs u et v dans Rn sont orthogonaux (l’un par rapport à l’autre)

si u . v = 0.

Théorème de Pythagore

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si

||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2

Complément orthogonal

1. Si un vecteur z est orthogonal à tous les vecteurs d’un sous-espace W, on dit que z est orthogonal à W.

2. L’ensemble de tous les vecteurs z orthogonaux à un sous-espace W est appelé le complément orthogonal de W et est dénoté par W.

Propriétés du complément orthogonal

1. Un vecteur x est dans W si et seulement si x est orthogonal à chacun des vecteurs d’un ensemble engendrant W.

2. W est un sous-espace de Rn.

Sous-espaces fondamentaux d’une matrice et complément orthogonal

Soit A une matrice n n. Alors le complément orthogonal de l’espace des lignes de A est le noyau de A, et le complément orthogonal de l’espace des colonnes de A est le noyau de AT.

(Row A) = Nul A (Col A) = Nul AT

Angles dans R2 et R3

u . v = ||u|| ||v||cos

Ensemble orthogonal

Un ensemble de vecteurs {u1, u2,..., up} dans Rn est appelé ensemble orthogonal si chaque paire de vecteurs distincts provenant de cet ensemble est orthogonale, c’est-à-dire si

ui . uj = 0 pour i j

Théorèmes sur les ensembles orthogonaux

Si S = {u1, u2,..., up} est un ensemble orthogonal de vecteurs non nuls dans Rn, alors S est linéairement indépendant et est donc une base pour le sous-espace engendré par S.

Base orthogonale

Une base orthogonale pour un sous-espace W de Rn est une base pour W qui est aussi un ensemble orthogonal.

Théorème sur la représentation unique

Soit {u1, u2,..., up} une base orthogonale d’un sous-espace W de Rn. Alors chaque vecteur y dans W possède une représentation unique selon une combinaison linéaire des vecteurs u1, u2,..., up.

Théorème sur la représentation unique (suite)

En fait, si

p

jjjpp ccc

111 uuuy

alors

pjcjj

jj ,,1,

uu

uy

Projection orthogonale

On désire décomposer un vecteur y Rn en une somme de deux vecteurs, l’un multiple de u Rn et l’autre orthogonal à u.

y = + z, où = u et z u.y y

Projection orthogonale (suite)

u

yyyz ˆ

uy ˆ

Déf: Projection orthogonale

La projection orthogonale du vecteur y sur le vecteur u est donnée par

La composante du vecteur y orthogonale au vecteur u est donnée par

uuu

uyy

ˆ

uuu

uyyy-yz

ˆ

Interprétation géométrique

u2

y

u1

1y

2y

Ensemble orthonormal

Un ensemble orthogonal de vecteur unitaire est appelé ensemble orthonormal.

Théorème sur les matrices ayant des colonnes orthonormales

Une matrice U m n possède des colonnes orthonormales si et seulement si UTU = I.

Propriétés des matrices ayant des colonnes orthonormales

Soit U une matrice m n ayant des colonnes orthonormales, et soit x et y deux vecteurs dans Rn. Alors

a. ||Ux|| = ||x||

b. (Ux) . (Uy) = x . y

c. (Ux) . (Uy) = 0 si et seulement si x . y = 0

Application aux matrices carrées

Une matrice orthogonale est une matrice carrée U telle que

U-1 = UT

colonnes orthonormales

lignes orthonormales

Prochain cours...

• Projections orthogonales.

• Procédure de Gram-Schmidt