Ranjit Govindan

Principe de base

Dans cette image de la Joconde, on a transformé l’image par une application linéaire.

On voit que le vecteur rouge n’a pas bougé. Le vecteur bleu a changéde direction.

On appelle le vecteur rouge un vecteur propre de l’application linéaire.Puisque la taille de ce vecteur n’a paschangé, on dira que sa valeur propreest de 1. Si le vecteur rouge avait étédeux fois plus grand, sa valeur propreserait 2.

L’équation de valeurpropre vue comme une homothétie.

Historique C’est l’étude des formes quadratiques et des équations différentielles

qui donnent naissance aux valeurs propres et vecteurs propres. Les calculs de déterminants apparaît au 16e siècle. Leibniz résout des SEL au 17e siècle. Cela mène à la méthode

d’éliminations des pivots de Gauss au 19e siècle. Au 19e siècle, Hamilton utilise le polynôme caractéristique pour obtenir

les valeurs propres. Cayley débute l’étude des espaces vectoriels et Grassmann les

formalise. Cauchy nomme la racine du polynôme caractéristique, qui est la valeur

propre. Il découvre que les matrices symétriques on des valeur propres réelles.

Cayley et Sylvester collaborent ensemble et utilisent pour la première fois le terme matrice en 1850.

Hilbert développe l’analyse fonctionnelle en grâce aux concepts de valeurs, vecteurs et espaces propres.

La terminologie française vient de Jordan. La terminologie anglaise provient de Hilbert, qui utilise le terme allemand eigen.

Premiers algorithmes itératifs apparaissent en 1929 par Von Mises. L’algorithme QR fut développé par Francis et Kublanovskaya en 1961.

Applications Modélisation en physique grâce à la théorie

spectrale. Supercordes et l’équation de Schrödinger. Applications en analyse fonctionnelle. Équations différentielles et EDP. Approximations

itératives de solutions. Grâce aux ordinateurs, des algorithmes itératifs

complexes peuvent être appliqués. Des problèmes qui n’avaient pas de solutions

analytiques peuvent maintenant être résolus itérativement.

Orbites moléculaires: en mécanique quantique, les orbites des atomes et des molécules sont définis par les vecteurs propres de l’opérateur de Fock.

Géologie et glaciologie.

DéfinitionsDéfinition 1 : Groupe Soit 𝒢 un ensemble muni d′une loi de composition interne⋆. ሺ𝒢,⋆ሻ est un groupe ⟺ሺ𝒢,⋆ሻ vérifie:

Identité : ∃𝑒∈𝒢,∀𝑥∈𝒢: 𝑥⋆𝑒= 𝑒⋆𝑥= 𝑥 Inverse : ∀𝑥∈𝒢,∃𝑦∈𝒢: 𝑥⋆𝑦= 𝑦⋆𝑥= 𝑒 Fermeture : (𝑥,𝑦) ∈𝒢2 →𝑥⋆𝑦∈𝒢 Associativité : ∀𝑥,𝑦,𝑧∈𝒢:𝑥⋆ሺ𝑦⋆𝑧ሻ= (𝑥⋆𝑦) ⋆𝑧

𝒢 est un ensemble fini ⟹ሺ𝒢,⋆,𝑒ሻ est un 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩𝐞 𝐟𝐢𝐧𝐢 Définition 2 : Morphisme d’un groupe Soit ሺ𝐺,∗ሻ 𝑒𝑡 ሺ𝐺′,⋆ሻ,deux groupes Soit 𝑓: ሺ𝐺,∗ሻ → ሺ𝐺′,⋆ሻ 𝑓 est un 𝐦𝐨𝐫𝐩𝐡𝐢𝐬𝐦𝐞 𝐝𝐞 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩𝐞 ⟺ ∀ሺ𝑔,ℎሻ ∈𝐺2,𝑓ሺ𝑔∗ℎሻ= 𝑓(𝑔) ⋆𝑓(ℎ)

Définition 3 : Morphisme d’espaces vectoriels Soit deux ensembles munis d’une même structure algébrique. Un morphisme est une application qui respecte cette structure. Soit ሺ𝐸,+,∘ሻ∈𝕂 et ሺ𝐹,∔,∘ሻ∈𝕂,deux espaces vectoriels

𝑓 est un 𝐦𝐨𝐫𝐩𝐡𝐢𝐬𝐦𝐞 𝐝𝐞 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩𝐞 pour ሺ𝐸,+ሻ et (𝐹,∔) ∀𝑥∈𝐸,∀𝜆∈𝕂,𝑓ሺ𝜆∘ 𝑥ሻ= 𝜆∘ 𝑓ሺ𝑥ሻ ⟺∀ሺ𝑥,𝑦ሻ∈𝐸× 𝐸,∀𝜆∈𝕂,𝑓ሺ𝜆 ∘ 𝑥+ 𝑦ሻ= 𝜆∘ 𝑓(𝑥) ∔ 𝑓(𝑦)

Définition 4 : Endomorphisme Soit ሺ𝐸,+,∘ሻ∈𝕂,un espace vectoriel et 𝑓:𝐸→𝐸 un morphisme Alors 𝑓 est un 𝐞𝐧𝐝𝐨𝐦𝐨𝐫𝐩𝐡𝐢𝐬𝐦𝐞.

Définition 5 : Application linéaire Une application entre deux espaces vectoriels est dite linéaire si et seulement si elle respecte l’addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire définie dans ces espaces vectoriels.

Soit ሺ𝐸,+,⋅ሻ∈𝕂 𝑒𝑡 ሺ𝐹,+,⋅ሻ∈𝕂,deux espaces vectoriels,𝑓:𝐸→𝐹 une application.

𝑓 est une application linéaire ⟺

∀𝑥∈𝐸,∀𝜆∈𝕂,𝑓ሺ𝜆⋅ 𝑥ሻ= 𝜆⋅ 𝑓ሺ𝑥ሻ ∀ሺ𝑥,𝑦ሻ∈𝐸× 𝐸,𝑓ሺ𝑥+ 𝑦ሻ= 𝑓ሺ𝑥ሻ+ 𝑓(𝑦)

Définition 6 : Trace d’une matrice Soit 𝐴 une matrice 𝑛× 𝑛.𝐴∈ℂ𝑛×𝑛. La trace de 𝐴 notée 𝑡𝑟ሺ𝐴ሻest donnée par la somme des éléments diagonaux de 𝐴.

Définition 7 : Polynôme caractéristique Soit 𝐴 une matrice 𝑛× 𝑛.𝐴∈ℂ𝑛×𝑛.Le polynôme 𝑝𝐴(𝜆) obtenu par

𝑝𝐴(𝜆) = detሺ𝐴− 𝜆𝐼ሻ où 𝐼= 𝐼𝑛×𝑛 est la matrice identité 𝑛× 𝑛 𝑝𝐴(𝜆) est appelé le polynôme caractéristique de la matrice 𝐴. detሺ𝐴− 𝜆𝐼ሻ≡ 𝑝𝐴ሺ𝜆ሻ= 0 Les racines de 𝑝𝐴ሺ𝜆ሻ=0 sont les valeurs propres de la matrice 𝐴. 𝑝𝐴(𝜆) = 𝜆𝑛 − 𝑡𝑟ሺ𝐴ሻ𝜆𝑛−1 + ⋯+ (−1)𝑛 × detሺ𝐴ሻ La relation précédente donne un lien entre le polynôme caractéristique,la trace de la matrice 𝐴 et de son déterminant.

Valeur, vecteur, et espace propre

Soit 𝐸 un espace vectoriel sur 𝕂 et 𝑢:𝐸→𝐸 un endomorphisme de 𝐸. Alors:

𝑥 ሬሬሬԦ ∈𝐸,𝑥Ԧ ≠ 0ሬԦ,𝑥Ԧ est dit un 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐞𝐮𝐫 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐫𝐞 de 𝑢 ⟺∃ 𝜆 ∈𝕂,𝜆≠ 0 ∶ 𝑢ሺ𝑥Ԧሻ=𝜆𝑥Ԧ Lorsque 𝑢 est une matrice 𝐴𝑛×𝑛 ∈ℂ𝑛×𝑛,on aura 𝐴𝑥Ԧ= 𝜆𝑥Ԧ

𝜆 ∈𝕂 est dit 𝐯𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐫𝐞 de 𝑢 et 𝑥Ԧ est dit un vecteur propre associé à 𝜆

L′ensemble des vecteurs propres de 𝑢 et le vecteur nul 0ሬԦ 𝑓orment un sous−espace vectoriel de 𝐸 appelé 𝐞𝐬𝐩𝐚𝐜𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐫𝐞 de 𝑢 associé à la valeur propre 𝜆

L′ensemble des valeurs propres de 𝑢 s′appelle le 𝐬𝐩𝐞𝐜𝐭𝐫𝐞 de u et se note: 𝑠𝑝ሺ𝑢ሻ= ሼ𝜆1,𝜆2,𝜆3,…,𝜆𝑛−1,𝜆𝑛ሽ= 𝜎(𝑢)

Le 𝐫𝐚𝐲𝐨𝐧 𝐬𝐩𝐞𝐜𝐭𝐫𝐚𝐥 de 𝑢 se note 𝜌(𝑢) est donné par :

𝜌ሺ𝑢ሻ= max𝑖=1…𝑛ai𝜆𝑖ai= maxai𝑠𝑝(𝑢)ai= ai𝜆𝑚𝑎𝑥ai

Théorie

Soit 𝐴 une matrice 𝑛× 𝑛.𝐴∈ℂ𝑛×𝑛. 1. Trouvons les valeurs propres 𝜆𝑖 à partir du polynôme caractérisque 𝑝𝐴ሺ𝜆ሻ detሺ𝐴− 𝜆𝐼ሻ≡ 𝑝𝐴ሺ𝜆ሻ= 0 qui conduit au spectre de la matrice 𝐴 𝑠𝑝ሺ𝐴ሻ= ሼ𝜆1,𝜆2,𝜆3,…,𝜆𝑛−1,𝜆𝑛ሽ= 𝜎(𝐴)

2. Trouvons les vecteurs propres 𝑥1ሬሬሬԦ,𝑥2ሬሬሬሬԦ,…,𝑥𝑛ሬሬሬሬԦ associés respectivement à 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛

ሺ𝐴− 𝜆𝑖𝐼𝑛ሻ𝑥Ԧ= 0ሬԦ ⇓

𝑎11 − 𝜆1 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆𝑛൩𝑥1⋮𝑥𝑛൩= 0⋮0൩ ⇓

൝(𝑎11 − 𝜆1)𝑥1 + 𝑎12𝑥1 + ⋯+ 𝑎1𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0⋮𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥1 + ⋯+ 𝑎1𝑛−1𝑥𝑛−1 + (𝑎1𝑛 − 𝜆𝑛)𝑥𝑛 = 0

En remplaçant chaque 𝜆𝑖 par la première valeur propre ሺ𝜆1ሻtrouvée grâce au polynôme caractéristique,nous obtenons un SEL qu′il faut résoudre pour obtenir la forme générale du vecteur propre associé à 𝜆1.Il faudra résoudre 𝑛 SEL pour déterminer 𝑛 vecteurs propres.

Soit 𝑥1ሬሬሬሬԦ= 𝑥11𝜆1⋮𝑥𝑛1𝜆𝑛 ,𝑥2ሬሬሬሬԦ= 𝑥12𝜆2⋮𝑥𝑛2𝜆𝑛 …,𝑥𝑛ሬሬሬሬԦ= 𝑥1𝑛𝜆𝑛⋮𝑥𝑛𝑛𝜆𝑛 les vecteurs propres associés respectivement à 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛∎.

Exemple Soit la matrice carrée 𝐴= ቂ

7 −45 −2ቃ. 𝐴 est inversible ⇒0 ∉𝑠𝑝(𝐴) Déterminez ses valeurs propres et les vecteurs propres associés. Dans notre cas,les valeurs propres et vecteurs prorpes seront réelles.

1. Trouvons les valeurs propres 𝜆𝑖 à partir du polynôme caractérisque 𝑝𝐴ሺ𝜆ሻ detሺ𝐴− 𝜆𝐼ሻ≡ 𝑝𝐴ሺ𝜆ሻ= 0 ⇓ 𝑝𝐴ሺ𝜆ሻ= detሺ𝐴− 𝜆𝐼ሻ= ቚ

7− 𝜆 −45 −2− 𝜆ቚ= 𝜆2 − 5𝜆+ 6 = ሺ𝜆− 2ሻሺ𝜆− 3ሻ= 0

qui conduit au spectre de la matrice 𝐴 𝑠𝑝ሺ𝐴ሻ= ሼ2,3ሽ

2. Trouvons les vecteurs propres 𝑥1ሬሬሬԦ et 𝑥2ሬሬሬሬԦ associés respectivement à 𝜆1 = 2 et 𝜆2 = 3

𝜆1 = 2 ሺ𝐴− 2𝐼ሻ𝑥1ሬሬሬԦ= 0ሬԦ ⇓

ቂ5 −45 −4ቃ→1 −45 0 0൩→𝑥1 = 45𝑥2, 𝑥2 ∈ℝ

⇓

ሺ𝐴− 2𝐼ሻ𝑥1ሬሬሬԦ = ൝ 𝑥1ሬሬሬԦ ai∀𝛼∈ℝ,𝑥1ሬሬሬԦ = 𝛼451൩ ൡ 𝜆2 = 3

ሺ𝐴− 3𝐼ሻ𝑥2ሬሬሬሬԦ= 0ሬԦ ⇓

ቂ4 −45 −5ቃ→ቂ

1 −10 0ቃ→𝑥1 = 𝑥2, 𝑥2 ∈ℝ ⇓

ሺ𝐴− 3𝐼ሻ𝑥2ሬሬሬሬԦ = ቄ 𝑥2ሬሬሬሬԦ ai∀𝛽 ∈ℝ,𝑥2ሬሬሬሬԦ = 𝛽ቂ11ቃ ቅ

Les vecteurs propres associés à 𝜆1 = 2 sont tous les multiples du vecteur ቈ451.

Les vecteurs propres associés à 𝜆2 = 3 sont tous les multiples du vecteur ቂ11ቃ. ∎