Primitives, équations différentielles

Problème de Florimond de Beaune

« Trouver une courbe telle qu'en tout

point, la sous-tangente C soit

constante »

Problème de l’isochrone :

« Trouver une ligne de descente, dans laquelle le corps

pesant descende uniformément, et approche également

de l’horizon en temps égaux »

QUESTIONS FLASH

QUESTION 1

Déterminer une fonction � dérivable sur 0; +∞ telle que

�� � =

−

� , pour tout réel � > 0

QUESTION 2

Déterminer une fonction � dérivable sur ℝ telle que

�� � = � + 5 , pour tout réel � > 0

QUESTION 3

On considère la fonction � définie sur ℝ par

�(�) = �����

Cette fonction est la dérivée sur ℝ de la fonction F définie par :a. � � = �����

b. � � = −2�����

c. � � = −

������

d. � � = 3�����

CORRECTION

QUESTION 1

Déterminer une fonction � dérivable sur 0; +∞ telle que

�� � =

−

� , pour tout réel � > 0

QUESTION 2

Déterminer une fonction � dérivable sur ℝ telle que

�� � = � + 5 , pour tout réel � > 0

QUESTION 3

On considère la fonction � définie sur ℝ par

�(�) = �����

Cette fonction est la dérivée sur ℝ de la fonction � définie par :

a. � � = �����

b. � � = −2�����

c. � � = −

������

d. � � = 3�����

Équation différentielle

Définition

Une équation différentielle est une égalité liant une fonction dérivable � à sa fonction dérivée

�′ (voire à ses fonctions dérivées ���, ���� …) et éventuellement d’autres fonctions.

Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions dérivables vérifiant

l’égalité.

Résoudre sur 0; +∞ l�équation �′ =

−

�

Résoudre sur ℝ l�équation �′ = �

Résoudre sur ℝ l�équation ��� = −9�

Équation différentielle -� = .

Définition

Soit � une fonction continue, définie sur un intervalle /Une fonction � est une primitive de � sur I , lorsque pour tout réel � ∈ /, �� � = �(�)

Remarque

Une primitive de � sur / est solution de l’équation différentielle �� = �

• Soit � la fonction définie sur 0; +∞ �(�) =

−

� .

La fonction � définie sur 0; +∞ par � � = ln � +

+ 2020

est une primitive de � sur 0; +∞

• La fonction 3 définie sur ℝ par 3 � = 2�� + 3� − � est une primitive

de la fonction 4 définie par 4 � = 4� + 3 − �.

Équation différentielle -� = .

Propriété

Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Les fonctions � �6 3 définies sur ℝ par � � = �� + 2� �6 3 � = �� + 2� − 3sont des primitives de la fonction � définie par � � = 2� + 2.

Primitives des fonctions de référenceFonction . Intervalle Primitive

� � = 7 ℝ

� � = �8 , 9 ≥ 1 entier ℝ

� � =1

�

0; +∞

� � =

< , 9 > 1 entier −∞; 0 ou 0; +∞

� � =1

�

0; +∞

� � = � ℝ

� � = cos � ℝ

� � = sin � ℝ

Primitives des fonctions de référencePropriété

Soit > définie et dérivable sur / et telle que, pour tout réel � ∈ /, > � ∈ ?Soit @ définie et dérivable sur ?

Alors � = @ ∘ > est définie et dérivable sur I et, pour tout réel � ∈ /, �� � = @� > � × >′(�)

Soit la fonction � définie sur 0; +∞ par � � = ln(3�).

Primitives de fonctions ayant des formes remarquablesFonction de la forme Primitive Conditions

� + 4 � + 3

7� 7�

>′�C �C

>� × >8 , 9 > 1 entier >8�

9 + 1

>′

>

ln(>) Pour > � > 0

>′

>

2 > Pour > � > 0

>�cos (>) sin (>)

>�sin (>) −cos (>)

Recherche d’une primitive de formes remarquables

● � � = 4�E� F>G ℝ

● 4 � =1

� + 1 F>G −1 ; +∞

Équation différentielle -� = H-

Propriété

Les solutions de l’équation différentielle �� = I� , où a est un nombre réel sont les

fonctions définies sur ℝ par � � = J�K , avec J réel.

Équation différentielle -� = H-Propriété

Les solutions de l’équation différentielle �� = I� , où a est un nombre réel sont les

fonctions définies sur ℝ par � � = J�K , avec J réel.

�� =1

2�

� � = J��

Équation différentielle -� = H-

�� =1

2�

� � = J��

Propriété

Les solutions de l’équation différentielle �� = I� , où a est un nombre réel sont les

fonctions définies sur ℝ par � � = J�K , avec J réel.

Pour un couple �L; �L de réels donnés, il existe une unique fonction solution vérifiant

� �L = �L

Équation différentielle -� = H- + MPropriété

Soit l’équation différentielle (N) : �� = I� + O , où I et O sont des nombre réels.

Soit 4 une solution particulière de (N) � est solution de (N) si et seulement si � − 4 est solution de l’équation différentielle �� = I�

Résoudre l’équation différentielle N ∶ �� = 3� − 1

Quelle solution � de l’équation (N) vérifie � 0 = 1 ?

Equation différentielle -� = H- + .

Soit l’équation différentielle N ∶ �� + 3� = ��

a. Vérifier que la fonction définie sur ℝ par Q � = 0,2��est solution de N .

b. Montrer que � est solution de N équivaut � − Q solution de �� + 3� = 0.

c. En déduire les solutions de (N).

Propriété

Soit l’équation différentielle (N) : �� = I� + � , où I est un nombre réel et � une fonction définie

et continue sur ℝ

Soit 4 une solution particulière de (N) � est solution de (N) si et seulement si � − 4 est solution de l’équation différentielle �� = I�

EXERCICES

EXERCICE 1

1) Les fonctions � et 3 définies sur ℝ par � � = 3� + 1 � et 3(�) = (4� + 3)� sont-elles des primitives de la fonction � définie sur ℝ par � � = 3� + 4 � ?

2) Déterminer une primitive de la fonction ℎ définie sur ℝ par ℎ � =�

��.

CORRECTION 1

EXERCICE 2

• �(�) = cos (3�) est-elle solution de �′′ = −9� ?

• 4(�) = sin (3�) + 4 est-elle solution de �′′ = −9� ?

• ℎ(�) = sin (3� + 4) est-elle solution de �′′ = −9� ?

CORRECTION 2

EXERCICE 3

Résoudre l’équation différentielle �’ = −2�

Résoudre l’équation différentielle �’ = −2� − 5

CORRECTION 3