Chapitre 14

Équations différentielles.

I. Équation différentielle linéaire d’ordre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21/ EDL1 résolues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22/ Comment trouver une solution particulière ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33/ Conditions initiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44/ Structure des solutions de l’équation homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55/ Recollement de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II. Système différentiel linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61/ Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62/ Exponentielle d’une matrice (HP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73/ L’importance d’une solution particulière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84/ Théorème de Cauchy-Lipschitz (ou Cauchy linéaire). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85/ SDL dans le cas où A est diagonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96/ SDLcc dans le cas où A est diagonalisable sur R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97/ SDLHcc dans le cas où A est diagonalisable sur C, pas sur R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108/ SDLHcc dans le cas où A n’est pas diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

III. Équations différentielles linéaires d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121/ Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122/ Influence des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123/ Structure de l’ensemble des solutions de l’équation homogène. . . . . . . . . . . . . . . . 134/ Résolution de l’équation homogène d’une EDLcc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135/ Solution particulière : Cas d’un second membre du type P (t)emt . . . . . . . . . . . . . 156/ Solution particulière : principe de superposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167/ Cas d’un second membre avec des sin/cos ou ch/sh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

IV. Changement de variables dans une ED. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171/ Deux types de changements de variables possibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172/ Exemples de changement de la variable y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173/ Un exemple de changement de la variable en t.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

1

Chapitre 14

Équations différentielles.

Sauf mention contraire

● I désignera un intervalle de R non vide et non réduit à un point,

● K sera égal à R ou C,

● les abréviations SDL, SDLcc, EDL, EDL1, EDL2 et EDLcc2 désigneront respectivement systèmedifférentiel linéaire, linéaire à coefficients constants, équation différentielle linéaire, linéaire d’ordre 1,linéaire d’ordre 2, linéaire d’ordre 2 à coefficients constants,

● avec un H supplémentaire (SDLH, SDLHcc, . . . ), il s’agit d’un système ou d’une équation homogène.

I. Équation différentielle linéaire d’ordre 1.

I.1/ EDL1 résolues.

Définitions.

1. Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 (EDL1) est une équation du type :

a(t)y′ + b(t)y + c(t) = 0

avec a, b, c dans C0(I,R).

2. L’EDL1 homogène associée (EDLH1) est : a(t)y′ + b(t)y = 0.

3. Une application φ C1 est solution sur l’intervalle J si et seulement si a(t)φ′(t)+b(t)φ(t)+c(t) = 0pour tout t de J .

4. Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 résolue est une équation du type :

y′ = u(t)y + v(t)

avec u, v dans C0(I,R).

Remarque. Sur chaque intervalle J où a ne s’annule pas, l’équation peut s’écrire :

y′ = −b(t)

a(t)y −

c(t)

a(t)(t) (E)

Ainsi, l’équation différentielle est résolue.

2

Méthode.2 Comment résoudre une EDL1 résolue y′ = u(t)y + v(t) ?

1. On cherche une solution particulière (SP ) yP.

2. On cherche toutes les solutions de l’équation homogène. Les solutions sont yH(x) =KeU(x) avec

K dans K et U une primitive de u sur I.

3. Les solutions sont les yP+ y

H

Exercice.3 Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. y′ − xy = 1 − x2

2. (1 + x2)y′ − y = 1

I.2/ Comment trouver une solution particulière ?

Méthodes.5

Idée 1. On s’inspire du terme contant (en y) : on cherche une SP sous la même forme. Par exemplesi le terme constant est le produit d’un polynôme par une exponentielle, on cherche une SPproduit d’un polynôme de même degré par la même exponentielle.

Idée 2. Si les solutions de (EH) sont les yH(t) = λeu(t). On cherche une SP sous la forme λ(x)eu(x) où

λ est une fonction ∆1 qui reste à déterminer. Cette méthode est appelé méthode de variationdes constantes.

Idée 3. On cherche une solution développable en série entière.

Remarques.

1. La méthode 1 n’a de limite que votre imagination. Elle est en général plus rapide que la seconde.

2. En théorie la méthode de variation des constantes donne toujours un résultat. En pratique, il fautpasser par la recherche d’une primitive, et ce n’est pas toujours simple.

3. La méthode de variation des constantes a un résultat théorique puisqu’elle permet d’affirmer quel’équation différentielle admet toujours au moins une solution.

Exercice.6 Résoudre les équations différentielles suivantes. Vous chercherez une SP en utilisant les 2méthodes.

1. y − y′ = 2t2 + 1

2. y − y′ = tet

3

Théorème - Superposition des solutions.8 Si

{y1 est une SP a(t)y′ + b(t)y = c1(t)y2 est une SP a(t)y′ + b(t)y = c2(t)

alors y1 + y2 est une SP de a(t)y′ + b(t)y = c1(t) + c2(t)

Exercice.9 Résoudre : y − y′ = 2t2 + 1 + tet

I.3/ Conditions initiales.

Théorème - Cauchy linéaire.11 Pour tout t0 de I et y0 de R, il existe une unique solution ausystème :

{y′ = u(t)y + v(t)y(t0) = y0

Géométriquement si K = R.

IFormes des solutions

IInterdit

Pour chaque point de I ×R, il ne passe qu’une seule "courbe intégrale".

Remarque. Si l’équation différentielle n’est pas résolue, le théorème précédent est faux comme lemontre l’équation :

xy′ = y

qui a une infinité de solutions vérifiant y(0) = 0 ( y(t) = kt avec k dans R).

Exercice.12 Résoudre y′ +√

∣t∣et2y = 0 avec y(0) = 0.

4

I.4/ Structure des solutions de l’équation homogène.

Théorème.14

1. L’ensemble des solutions de l’équation homogène d’une EDL1 est un espace vectoriel. Par contre,l’ensemble des solutions de l’équation complète n’est pas un espace vectoriel.

2. Si l’équation différentielle est résolue, la dimension est 1.

I.5/ Recollement de solutions.

Méthode.16 Comment résoudre une EDL1 non résolue ? c’est-à-dire une équation différentielle dutype :

a(t)y′ + b(t)y + c(t) = 0

Étape 1. On résout a(x) = 0

Étape 2. Sur chaque intervalle où a(x) ≠ 0, l’équation différentielle devient résolue, on cherche lessolutions.

Étape 3. Pour chaque réel t0 annulant a, on essaie de recoller une solution y− appartenant à l’intervalleI− juste avant t0 et une solution y+ appartenant à l’intervalle I+ juste après. Il peut y avoirrecollement des solutions y− et y+ en une solution y sur I = I− ∪{t0}∪ I+ si et seulement si :

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

limt→t+0

y+(t) = limt→t−0

y−(t)

limt→t+0

y′+(t) = lim

t→t−0

y′−(t)

La solution sur I est donc égale à :

y(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y−(t) si t ∈ I−

limt→t0

y−(t) si t = t0

y+(t) si t ∈ I+

5

Exercice.17 Déterminer les solutions sur R des équations différentielles suivantes, puis déterminer ladimension de l’espace vectoriel des solutions sur R de l’équation homogène :

1. xy′ − 2y = 2

2. −y′ cosx + y sinx = sin 2x

II. Système différentiel linéaire.

II.1/ Définition.

Définitions.

1. Considérons pour i et j dans {1, . . . , n} et des applications (aij), (bi) et (xj) de I dans R ;supposons de plus les xj dérivables de dérivées x′j . Un système différentielle linéaire (SDL)d’inconnues (xj) est un système du type :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x′1

= a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn + b1x′

2= a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn + b2⋮

x′n

= an1x1 + an2x2 + . . . + annxn + bn

En posant

X(t) =⎛⎜⎝

x1(t)⋮

xn(t)

⎞⎟⎠

X ′(t) =

⎛⎜⎝

x′1(t)⋮

x′n(t)

⎞⎟⎠

A(t) =⎛⎜⎝

a11(t) . . . a1n(t)⋮ ⋮

an1(t) . . . ann(t)

⎞⎟⎠

B(t) =⎛⎜⎝

b1(t)⋮

bn(t)

⎞⎟⎠

le système précédent devient :

X ′= AX +B

2. Si B = 0, le système est dit homogène. À tout SDL X ′ = AX +B on associe le SDL homogène(SDLH) X ′ = AX.

3. Si les fonctions A et B sont constantes, alors le SDL est dit à coefficients constants (SDLcc).

4. On dit que φ est une solution X ′ = A(t)X +B(t) sur I si et seulement si φ′(t) = A(t)φ(t) +B(t)pour tout t de I.

6

Remarques.

1. Un SDL n’est donc rien d’autre qu’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 de Rn.2. Toute EDL

y(n)(t) = a0(t)y + a1y′(t) + . . . + an−1(t)y

(n−1)(t) + f(t)

peut être mis sous la forme d’un SDL X ′ = AX +B en posant :

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

yy′

⋮

y(n−1)

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 00 ⋱ 0 ⋱ 0⋮ ⋱ ⋱ 1a0 a1 a2 . . . an−1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

00⋮

0f

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

On remarque que la matrice A est une matrice compagnon.

Exercice.18 Mettre l’équation différentielle suivante sous forme de système différentiel linéaire :

y(3) + t2y′ + ety +√t = 0

II.2/ Exponentielle d’une matrice (HP).

Remarque. L’exponentielle complexe n’est pas au programme. Cependant les formules des solutionsdes SDL sont plus simples en l’utilisant. On va donc l’introduire ici, mais lorsqu’on vous demanderaune formule, il faudra la donner sans l’exponentielle complexe.

Théorème - définition (HP).19 Pour tout A deMn(K), la série :

∑n≥0

An

n!

est convergente (pour toutes les normes, on est en DF). Sa limite est noté eA.

Conséquences.20

1. Dans le cas où D est diagonale, on a :

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

λ1 0 . . . 00 λ2 ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ 00 . . . 0 λn

⎞⎟⎟⎟⎠

eA =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

eλ1 0 . . . 0

0 eλ2 ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ 0

0 . . . 0 eλn

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

2. Dans le cas où A = PDP−1 est diagonalisable, on a : eA = PeDP −1

7

II.3/ L’importance d’une solution particulière.

Théorème.22

1. Si X0 est une solution du SDL X ′ = AX +B alors les autres solutions s’écrivent X =XH+X0 où

XH

sont les solutions de l’équation homogène X ′ = AX

2. Si :

{X1 solution de X ′ = A(t)X +B1(t)X2 solution de X ′ = A(t)X +B2(t)

alors X1+X2 est une solution de X ′ = A(t)X+B1(t)+B2(t). Ce théorème s’applique en particulieraux EDL de tout ordre.

Exemple. Déterminer une solution particulière de : t2

6 y(3) + y = 1 + t + t2 + t3.

II.4/ Théorème de Cauchy-Lipschitz (ou Cauchy linéaire).

Théorème - Cauchy linéaire.24 Soient A une application continue de I dans Mn(K) et B uneapplication continue de I dansMn1(K). Pour tout (t0,X0) de I ×Mn1(K), il existe une unique solutiondu système suivant appelé problème de Cauchy :

{X ′ = A(t)X +B(t)

X(t0) = X0

Conséquences.25

1. L’ensemble des solutions du système homogène X ′ = AX est isomorphe àMn1(R), c’est doncun sev de C1(I,R) de dimension n. Attention, l’ensemble des solutions du système completX ′ = AX +B n’est pas un espace vectoriel.

2. Pour une EDL, le théorème de Cauchy affirme que pour tous t0 ∈ I et (x0, . . . , xn−1) ∈Mn1(K) lesystème suivant à une unique solution :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y(n) = a0y + a1y′ + . . . + an−1y

(n−1) + f

( y(t0), . . . , y(n−1)(t0)) = (x0, . . . , xn−1)

avec a0, . . . , an et f des applications continues de I dans R.

8

Exercice.26 Déterminer les solutions sur R de

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y′′ + ty′ + t4y = t4

y(0) = 1

y′(0) = 0

II.5/ SDL dans le cas où A est diagonale.

Méthode.27 Les solutions du système homogène X ′ =D(t)X avec D diagonale sont :

X(t) = e∆(t).K

où K varie dans Mn1(K) et ∆(t) est une primitive de D(t). Soit encore si K = t (k1, . . . , kn) etD = diag(u1, . . . , un) :

X =⎛⎜⎝

k1eU1(t)

⋮

kneUn(t)

⎞⎟⎠

avec U1, . . . , Un des primitives de u1, . . . , un.

Remarques.

1. Attention la constante K est une matrice et elle est située à droite de l’exponentielle.

2. La forme des solutions ressemble aux solutions des EDL1 (cad y(t) =KeU(t) sont les solutions dey′ = u(t)y).

Exercice.28 Résoudre le système différentiel :

X ′= (

t 00 2

)X + (tt)

II.6/ SDLcc dans le cas où A est diagonalisable sur R.

Méthode.30 On suppose ici que le système différentiel linéaire X ′ = AX est à coefficients constants(cad A est constante) avec A = PDP−1 diagonalisable.

1. On cherche une SP évidente. Si elle existe, on se contente de résoudre le système homogène associé.

2. On pose Y = P −1X. Le SDLcc X ′ = PDP−1X +B devient Y ′ =DY + P −1B .

3. Enfin, on procède comme le paragraphe précédent.

9

Remarques.

1. Les solutions sont les X(t) = P.eD.t.K où K varie dansMn1(K).

2. Soit encore si K = t(k1, . . . , kn) et si λ1, . . . , λn sont les vp de A de Vp V1, . . . , Vn :

X = k1eλ1.tV1 + . . . + Kne

λn.tVn

3. Pour calculer les solutions du SDLHcc, il n’est pas nécessaire de calculer P −1. On doit calculerP −1 uniquement si on a un second membre et pas de SP évidente.

Exercice - avec une SP évidente.31 Résoudre le système :

{x′ = x + 8y − 8y′ = 2x + y − 1

Exercice - avec une SP non évidente.32 Résoudre le système :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x′ = 4x − y − 2z + et

y′ = 2x + y − 2zz′ = x − y + z

II.7/ SDLHcc dans le cas où A est diagonalisable sur C, pas sur R.

Remarque. Soit A une matrice à coefficients réels. Si x est un vecteur propre associé à une valeurpropre λ alors x est un vecteur propre associés à λ (Il suffit de conjuguer l’expression Ax = λ.x).

Méthode.34 Si l’on souhaite avoir les solutions dans R mais que les valeurs propres sont dans C :

1. On diagonalise A dans C en prenant des vecteurs propres conjugués pour les valeurs propresconjuguées. On trouve comme dans le paragraphe précédent :

X(t) = K1eλ1.tU1 + . . . + Kne

λn.tUn

2. On cherche parmi les solutions précédentes les solutions à valeurs dans R en résolvant X(t) =X(t).Comme la famille (eλ.t)λ∈C est libre, on peut identifier. Ainsi dans les expressions :

A.eλ.tU + B.eλ.tU

on a B = A

3. On remplace ensuite l’expression précédente par :

2.Re (A.eλ.tU)

Il suffit ensuite de poser A = A1 + iA2 et déterminer cette partie réelle.

10

Exercice.35 Résoudre le système :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x′ = x + yy′ = −x + 2y + zz′ = x + z

II.8/ SDLHcc dans le cas où A n’est pas diagonalisable.

Méthode.37

1. On trigonalise A sur C : A = PTP−1

2. On fait le changement de variable Y = P −1X. On se ramène au SDL : Y ′ = TY

3. On résout en partant de la dernière équation, et en remontant équation par équation.

4. On revient à la variable X.

5. S’il y a des valeurs propres complexes et qu’on veut des solutions réelles, on effectue la mêmeméthode que dans le paragraphe précédent, en remplaçant les exponentielles complexes par dessin et cos.

Exercice.38 Résoudre le système :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x′ = 2y + 2zy′ = −x + 2y + 2zz′ = −x + y + 3z

11

III. Équations différentielles linéaires d’ordre 2.

III.1/ Présentation

Définitions.

1. Une équation différentielle linéaire d’ordre 2 (EDL2) est une équation différentielle linéaire dutype :

a(t)y′′ + b(t)y′ + c(t)t = d(t)

avec a, b, c et d des applications continues de I dans K.

2. L’équation est dite à coefficients constants (EDLcc2 ) ssi les fonctions a, b et c sont constantes et anon nulle. Attention d n’est pas forcément constante

3. L’équation est dite résolue si elle peut se mettre sous la forme :

y′′ = u(t)y′ + v(t)y +w(t)

avec u, v et w des applications continues de I dans K.

Remarques.

1. Très forte analogie avec les équations récurrentes d’ordre 2 (aun+2 + bun+1 + cun = dn) (En fait onpasse de la dérivée classique à la dérivée discrète)

2. On remarquera qu’une EDLcc2 est résolue.

3. Toute EDL2 résolue (comme toute équation linéaire résolue d’ordre supérieur) peut être considéréecomme un système différentiel. En posant :

X(t) = (y(t)y′(t)

) A(t) = (0 1

u(t) v(t)) B(t) = (

0w(t)

)

on a :y′′ = u(t)y′ + v(t)y +w(t) ⇐⇒ X ′

= AX +B

III.2/ Influence des conditions initiales

Théorème (Cauchy linéaire).40 Soit δ, δ′ ∈ K et t0 ∈ I. Il existe une et une seule solution du système :

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y′′ = u(t)y′ + v(t)y +w(t)

y(t0) = δ

y′(t0) = δ′

12

Géométriquement si K = R.

IPossible

IPossible

IImpossible

III.3/ Structure de l’ensemble des solutions de l’équation homogène.

Théorème.42 Soit SHl’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 homogène :

a(t)y′′ + b(t)y′ + c(t)y = 0 (E).

1. SH

est un K espace vectoriel.

2. Si l’équation (E) est résolue, SH

est de dimension 2.

3. Si l’équation n’est pas homogène, l’ensemble des solutions n’est pas un espace vectoriel.

Exercice.43

1. Résoudre ty′′ = −y′ et déterminer la dimension de l’ensemble des solutions sur R.2. Pourquoi la dimension n’est pas 2 comme l’affirme le théorème de Cauchy-linéaire ?

III.4/ Résolution de l’équation homogène d’une EDLcc2 .

Type de problèmes. De manière générale, les EDL2 sont difficiles à résoudre. On va se contenter desEDLcc2 . On distingue deux types de problèmes

1. PbR : on cherche les fonctions φ ∶ R→ R solutions de (E) sur R.2. PbC : on cherche les fonctions φ ∶ R→ C solutions de (E) sur R.

Remarque. Sans indication contraire, on cherche les solutions à valeurs dans R lorsque les coefficientsde l’équation différentielle sont réels, sinon on cherche les solutions à valeurs dans C.

13

Théorème - PbC.45 Soit ∆ le discriminent de l’équation caractéristique ar2 + br + c = 0.

● ∆ ≠ 0 Soient r1 et r2 les racines complexes, les solutions sont sous la forme :

∀x ∈ R, yH(t) = λer1t + µer2t avec λ,µ ∈ C

● ∆ = 0 Soit r la racine double, les solutions sont sous la forme :

∀x ∈ R, yH(t) = (λt + µ)ert avec λ,µ ∈ C

Théorème - PbR.47 Soit ∆ le discriminent de l’équation caractéristique ar2 + br + c = 0.

● ∆ > 0 Soient r1 et r2 les racines réelles, les solutions sont sous la forme :

∀x ∈ R, yH(t) = λer1t + µer2t avec λ,µ ∈ R

● ∆ = 0 Soit r la racine réelle double, les solutions sont sous la forme :

∀x ∈ R, yH(t) = (λt + µ)ert avec λ,µ ∈ R

● ∆ < 0 Soient r = u + iv et r = u − iv les racines complexes, les solutions sont sous la forme :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∀t ∈ R, yH(t) = λert + λert avec λ ∈ C

ou∀t ∈ R, y

H(t) = eut (α cos(vt) + β cos(vt)) avec α,β ∈ R

Exercice.48

1. Déterminer les solutions sur C des équations différentielles suivantes :

a) y′′ − 4y′ + 3y = 0

b) y′′ − 4y′ + 4y = 0

c) y′′ − 4y′ + 5y = 0

2. Retrouver parmi les solutions, celles qui sont à valeurs dans R.

14

III.5/ Solution particulière : Cas d’un second membre du type P (t)emt

Méthode.50 Comment trouver une SP de ay′′ + by′ + cy = P (t)emt ? On cherche les solutions sous laforme :

1. yP(t) = Q(t)emt si m n’est pas racine de l’équation caractéristique

2. yP(t) = tQ(t)emt si m est racine simple de l’équation caractéristique

3. yP(t) = t2Q(t)emt si m est racine double de l’équation caractéristique

Exercice.51 Compléter le tableaux suivant :

Équation différentielle Valeur de m Valeur de ∆ Sol. de l’EC Forme de la SP

y′′ + 3y′ + 2y = (t + 1)et

y′′ + 3y′ + 2y = (t2 + 1)e−t

y′′ + 3y′ + 2y = e−2t

y′′ − 2y′ + y = tet

y′′ + y = t2eit

Exercice.52 Discuter en fonction de m des solutions de : y” + 4y′ + 3y = emt

Exercice.53 Discuter en fonction de ω des solutions de : y” − ωy = tet

15

III.6/ Solution particulière : principe de superposition.

Théorème.55

Si y1 est solution de ay” + by′ + cy = d1

. . .Si yn est solution de ay” + by′ + cy = dn

Alors y1 + . . . + yn est solution de ay” + by′ + cy = d1 + . . . + dn

Exercice.56 Résoudre y” − y = te2t + t2e3t

III.7/ Cas d’un second membre avec des sin/cos ou ch/sh.

Méthode.57 Soit ay′′ + by′ + cy = f(t) une EDL2 avec f une application contenant des sin/cos/sh/ch.

1. Si f(t) = P (t)emt cos(αt) avec P dans R[X] et m, α dans R.

● On cherche y∗Pune SP de ay′′ + by′ + cy = P (t)emteiαt.

● Une SP de ay′′ + by′ + cy = f(t) est Re(yP)

2. Si f(t) = P (t)emt sin(αt) avec P dans R[X] et m, α dans R. Idem en prenant Im(yP)

3. Si le second membre contient des sh/ch, on les remplace par des exponentielles et on utilise leprincipe de superposition des solutions

Remarque. Pourquoi une telle différence entre les fonctions circulaires et hyperboliques ? Nous avonsvu que les parties paire et impaire jouaient pour l’exponentielle réelle un rôle similaire aux partiesréelle et imaginaire pour l’exponentielle complexe. Cependant en ce qui concerne la dérivée, leurspropriétés sont différentes. En effet :

1. Im(f ′) = Im(f)′ et Re(f ′) = Re(f)′.

2. P (f ′) = I(f)′ et I(f ′) = P (f)′.

Exercice.58 Résoudre : y” − y = 3te2t cos(t)

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Exercice.59 Pour toute application f de R dans R, on pose :

P (f)(t) =f(t) + f(−t)

2I(f)(t) =

f(t) − f(−t)

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Partie I. Quelques propriétés sur la parties paire et impaires de fonctions.

1. Montrer que P et I sont des projecteurs associés (associés signifie P + I = Id).

2. Soient p une application paire, i une application impaire et f une application. Montrer que :

P (p.f) = pP (f) I(p.f) = pI(f) P (i.f) = iI(f) I(i.f) = iP (f)

3. Soit f une application dérivable. Montrer que P (f ′) = I(f)′ et I(f ′) = P (f)′.

Partie II. Résolution d’un équation différentielle. Considérons les équations différentielles :

y” − y = tch(t) (E1) y” − y = tet (E2)

1. Soit yP2 une solution particulière de (E2). Montrer que I(yP2) est solution particulière de (E1).

2. En quoi le fait que (E1) n’ait pas de terme en y′ est-il important ?

3. Résoudre (E1)

IV. Changement de variables dans une ED.

IV.1/ Deux types de changements de variables possibles.

Remarque. Dans une ED, il y a 2 variables : y et t.

1. Faire un changement de variable en y ne pose aucun problème

2. Faire un changement de variable en t impose de changer aussi la variable y puisqu’elle dépend det. En général, si on pose T = φ(t), il faut également poser z(T ) = y(t), donc y(t) = z(φ(t)).

IV.2/ Exemples de changement de la variable y.

Exercice.60 Résoudre y2 + 4yy′ = 0

Exercice.61 Résoudre (1 + et)y′′ + ety′ = 0

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Exercice - Equations de Bernouilli et Ricatti.62 Soit I un intervalle de R non réduit à un pointet non vide. Une équation différentielle de Bernouilli est une équation différentielle du type

y′ = a(t)y + b(t)yα (B)

avec α dans R ∖ {0,1}, a et b dans C(I,R). Une équation de Ricatti est une équation différentielle du

y′ = u(t)y + v(t)y2 + c(x) (R)

avec u, v et w dans C(I,R).On admettra que ces équations vérifient les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz et donc

que pour tout couple (t0, y0) de I ×R, il existe un unique y vérifiant (B) (ou (R)) et y(t0) = y0

Partie I. Résolution des équations de Bernouilli.

1. Montrer que les solutions non nulles de (B) ne s’annulent pas.

2. Montrer que le changement de variable Y = 1yα−1

dans (B) aboutit à une EDL1.

3. En déduire toutes les solutions de (B)

Partie II. Résolution des équations de Ricatti.

1. Supposons que yP

soit une solution particulière de (R). Effectuer le changement de variablez(t) = y(t) − y

P(t)

2. En déduire une méthode de résolution des équations de Ricatti.

Partie III. Applications.

1. Résoudre x2y′ + y + y2 = 0

2. Résoudre (1 + x3)y′ = y2 + x2y + 2x sur ] − 1;+∞[. On pourra vérifier que l’application x2 est unesolution particulière.

IV.3/ Un exemple de changement de la variable en t.

Exercice.63 Une équation d’Euler est une équation différentielle du type :

at2y′′ + bty′ + cy = f(t)

avec a, b et c dans C et f dans C(R,R)

1. Montrer qu’effectuer le changement de variable x = ln ∣t∣ sur R∗

+et sur R∗

−permet de transformer

une équation d’Euler en EDLcc2 .

2. Résoudre x2y” + 3xy′ + 5y = 0

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