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III

Table des matières

Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII

Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

I. Contrôle des systèmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chapitre 1. Performances des systèmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Validation des performances d’un système asservi 3 – 2. Précision des systèmes asservis 4– 3. Stabilité des systèmes asservis 9 – 4. Élaboration de modèles approchés 15 – Synthèse etméthodes 18 – Exercices 20 – Corrigés 36

Chapitre 2. Conception de la commande d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1. Synthèse des correcteurs 47 – 2. Architectures fonctionnelles élaborées 63 – 3. Mesure desgrandeurs et filtrage 65 – Synthèse et méthodes 68 – Exercices 70 – Corrigés 90

Chapitre 3. Éléments de modélisation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1. Modélisation des phénomènes non linéaires 105 – 2. Modélisation acausale et modélisation cau-sale 109 – 3. Commande des actionneurs électriques alternatifs 113 – 4. Variateurs de vitesse 126– Synthèse et méthodes 130

II. Commande numérique des systèmes embarqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Chapitre 4. Systèmes à évènements discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1. Structure des programmations logicielles 135 – 2. Définition d’un système à événementsdiscrets 136 – 3. Syntaxe du diagramme d’état en langage SysML 136 – 4. Syntaxe du diagrammed’activité en langage SysML 142 – 5. Description logique du comportement d’un système 143– 6. Démarche de développement 146 – 7. Bibliographie 149 – Synthèse et méthodes 150 –Exercices 152 – Corrigés 161

Chapitre 5. Architectures distribuées et protocoles de communication . . . . . . . . . . . . . . . 169

1. Introduction aux réseaux de communication 169 – 2. Caractéristiques des réseaux 171 –3. Description de bus standards 174 – 4. TCP/IP 181 – Synthèse et méthodes 191 – Exercices 193– Corrigés 200

IV

Table des matières

III. Théorie des mécanismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Chapitre 6. Modèles de liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

1. Introduction 207 – 2. Modélisation géométrique des liaisons 207 – 3. Modélisation dynamiquedes liaisons 208 – 4. Modèles normalisés de liaisons 210

Chapitre 7. Mobilité et hyperstaticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

1. Introduction 217 – 2. Hypothèse, définitions et buts de l’étude 217 – 3. Chaînes, boucles etstructures hybrides 222 – 4. Degré d’hyperstaticité d’un modèle 224 – 5. Cas des problèmesplans 227 – Synthèse et méthodes 228 – Exercices 230 – Corrigés 241

IV. Dynamique et énergétique des systèmes de solides indéformables . . . . . . . . 253

Chapitre 8. Introduction et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

1. Introduction et positionnement du cours 255 – 2. Définitions et hypothèses 257

Chapitre 9. Cinétique du solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

1. Introduction 259 – 2. Point physique d’un solide 259 – 3. Les torseurs cinétique et dynamiquegaliléens d’un solide 260 – 4. Cas d’un système à masse conservative 261 – 5. Moment cinétiquegaliléen en un point donné 264 – Synthèse et méthodes 279 – Exercices 281 – Corrigés 286

Chapitre 10. Dynamique des systèmes de solides indéformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

1. Introduction 289 – 2. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) 289 – Synthèse et mé-thodes 299 – Exercices 301 – Corrigés 309

Chapitre 11. Énergétique des systèmes de solides indéformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

1. Justification et limites des méthodes énergétiques 321 – 2. Énergie cinétique galiléenne 322 –3. Puissance transmise par une action mécanique extérieure 325 – 4. Puissance des inter-effortsentre deux solides 326 – 5. Le théorème de l’énergie cinétique 327 – 6. Quelques ordres degrandeur 328 – 7. Notion de rendement 331 – Synthèse et méthodes 334 – Exercices 336 –Corrigés 344

V. Matériaux et comportement des structures sous charges statiques . . . . . . . . . 349

Chapitre 12. Matériaux : classification et domaines d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

1. Introduction 351 – 2. Classification des matériaux 351 – 3. Les métaux et leurs alliages 355 –4. Les polymères 364 – 5. Les céramiques 365 – 6. Les composites 366 – 7. L’essai de traction 367– Synthèse et méthodes 371

Chapitre 13. Résistance des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

1. Introduction 375 – 2. Hypothèses et principes fondamentaux de la résistance des matériaux(RdM) 376 – 3. Modélisation des liaisons et des actions mécaniquesextérieures 379 – 4. Modélisation des actions mécaniques intérieures 381 – 5. Modélisation desdéplacements et des déformations 390 – 6. Démarche d’étude des sollicitations simples 394 –

V

Table des matières

7. La traction/compression 395 – 8. La torsion (poutres à section circulaire) 400 – 9. La flexionsimple 405 – 10. Concentration de contraintes 413 – 11. Critères de dimensionnement 415– 12. Structures surcontraintes dites hyperstatiques 415 – Synthèse et méthodes 419 – Exer-cices 422 – Corrigés 436

Chapitre 14. Introduction à la démarche de sélection des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . 455

1. Introduction 455 – 2. Démarche de sélection 462

Chapitre 15. Annexe : caractéristiques géométriques des sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

1. Caractéristiques géométriques des sections droites 475 – Synthèse et méthodes 481

VI. Modélisation par le langage SysML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4831. Introduction 485 – 2. Présentation de l’Ifremer 485 – 3. Définition du besoin 486 – 4. Objectifde l’étude proposée 487

VI

Préface

Depuis leur création à la fin du XIXe siècle (par Henri Vuibert, alors plus jeune agrégé de ma-thématiques de France) les Éditions Vuibert proposent des manuels scientifiques rédigés par lesmeilleurs auteurs, tous professeurs passionnés par leur discipline et leur enseignement.

Ce fut donc avec un très grand plaisir que je fus contacté pour diriger une nouvelle collec-tion d’ouvrages scientifiques destinés aux étudiants préparationnaires, en adéquation avec lesnouveaux programmes de la rentrée 2013.

Nous avons réuni pour cette tâche difficile des auteurs de grand talent, aussi bien pour leurqualification disciplinaire que pour leur désir de communiquer leur savoir à un public de plus enplus hétérogène.

Entre 1980 et 2010, le nombre d’étudiants de CPGE scientifique a plus que doublé, de nouvellessections ont vu le jour, des classes ont ouvert dans un grand nombre de villes ; pendant cettepériode, la formation initiale scientifique des élèves à la sortie de l’enseignement secondairea beaucoup évolué, en même temps que s’érodait le nombre d’heures alloué aux disciplinesscientifiques.

L’écart s’est donc creusé entre la terminale et les classes préparatoires aux grandes écoles. Ilrevient alors aux manuels, comme aux professeurs, de faire preuve de qualités pédagogiquesexceptionnelles, sans jamais sacrifier la rigueur indispensable qui est une des forces de l’enseigne-ment supérieur « à la française ». C’est dans ce but que les livres de la collection Vuibert Prépasont été pensés et rédigés. Ils sont destinés au plus grand nombre et visent à amener ce plus grandnombre au niveau de l’excellence.

Le rôle d’un manuel de classe préparatoire n’est pas évident. Les étudiants disposent déjà deleurs notes de cours, et parfois de polycopiés, provenant d’enseignants fort compétents. Maischacun sait qu’on observe mieux une statue et qu’on en apprécie mieux la beauté en la regardantsous différents angles ; il en est de même des disciplines scientifiques dans lesquelles une diversitéd’approches ne peut que faciliter la compréhension et l’assimilation de notions a priori abstraiteset difficiles. En ce sens, les ouvrages de la collection « Vuibert Prépas » constituent une aideconséquente pour les élèves de CPGE scientifiques.

À lire ces ouvrages, que ce soit dans les disciplines qui sont les miennes, Mathématiques etInformatique ou dans des disciplines qui me sont moins familières comme la Physique, la Chimieou les Sciences de l’Ingénieur, je ne peux être qu’admiratif devant le talent des auteurs de toutesorigines qui, dans des délais très courts, ont eu à cœur de faire passer leur amour pour la scienceet pour son enseignement.

Je suis certain que le public préparationnaire partagera mon enthousiasme pour cette collectionqui marque le retour des éditions Vuibert au service de ces filières.

Denis Monasse

VII

COURS

11Chapitre

Énergétique des systèmesde solides indéformables

1. Justification et limites des méthodes énergétiques

Les méthodes de calcul vectoriel en dynamique vues dans le chapitre 10 sont applicables danstous les cas rencontrés, quelle que soit la complexité du problème posé : c’est donc une méthodeuniverselle de résolution des problèmes de dynamique des systèmes de solides indéformables.Elles nécessitent cependant une grande maîtrise de la stratégie d’isolement et de calcul, ce quilimite grandement son application dans les cas les plus complexes.

L’idée est alors de trouver une méthode permettant de s’affranchir de cette démarche de choixd’isolement en imposant une règle unique quel que soit le problème : l’isolement de toutes lespièces en mouvement avec une unique structure d’équation pour tous les problèmes.

Les méthodes énergétiques, dont seuls les prémisses 1 sont développés dans ce cours, permettentce type de résolution et sont bien entendu tout aussi universelles que le sont les méthodesvectorielles vues précédemment.

Attention

Les méthodes énergétiques sont issues du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) :les équations obtenues ne sont donc pas indépendantes du PFD. Il n’y a donc pas d’équationsupplémentaire aux six équations scalaires issues du PFD, mais juste une nouvelle structure.

1Seul le « premier niveau » de ces méthodes énergétiques est développé dans ce cours : la formule obtenue ne seraintéressante que pour résoudre les problèmes à un seul degré de liberté (soit une seule inconnue cinématique).

321

Partie 4 – Dynamique et énergétique des systèmes de solides indéformables

2. Énergie cinétique galiléenne

2.1. Énergie cinétique galiléenne d’un solide indéformable

2.1.1. Expression généralisée

Définition 11.1. Énergie cinétique galiléenne d’un point matériel

L’énergie cinétique galiléenne d’un point matériel (S) centré en P et de masse m (P) enmouvement par rapport à une référence galiléenne 0 est définie par le scalaire

T (P/0) =1

2m (P)‖#»

V S/0(P)‖2

L’unité de l’énergie cinétique est le kg m2 s−2 ou J (Joules).

Remarque

La notation T pour l’énergie cinétique est la plus couramment employée en mécaniquedes systèmes de solides : elle est donc conservée ici. La notation EC est également classique.

Théorème 11.1. Énergie cinétique galiléenne d’un solide indéformable

L’énergie cinétique galiléenne d’un solide (S) se détermine par le scalaire :

T (S/0) =1

2

¦C S/0

©⊗¦V S/0

©=

1

2

¨M

#»V S/0(G )

#»σS/0(A)

«

A

⊗(

#»ΩS/0

#»V 1/0(A)

)

A

où¦C S/0

©est le torseur cinétique galiléen du solide (S) (voir partie 9) et

¦V S/0

©est le

torseur cinématique du mouvement du solide (S) par rapport à la référence galiléenne.

En développant l’opération de comoment, notée⊗ (voir cours de première année) :

T (S/0) =1

2

M

#»V S/0(G ) · #»

V 1/0(A)+ #»σS/0(A) · #»ΩS/0

Cette expression est indépendante du point de calcul A.

Démonstration

L’énergie cinétique galiléenne d’une particule de masse dm (P) en un point P physique du

solide (S) est dT (S/0) =1

2‖#»

V S/0(P)‖2dm (P) avec ‖#»V S/0(P)‖2 =

#»V S/0(P) · #»

V S/0(P).

2T (S/0) =

∫

P∈S

#»V S/0(P) · #»

V S/0(P)dm (P) avec#»V S/0(P) =

#»V S/0(A)+

#»ΩS/0 ∧ # »

AP

=#»V S/0(A) ·

∫

P∈S

#»V S/0(P)dm (P)

︸︷︷︸M

#»V S/0(G )

+

∫

P∈S

#»V S/0(P) ·

#»ΩS/0 ∧ # »

AP

dm (P)

︸︷︷︸A

322

Chapitre 11 – Énergétique des systèmes de solides indéformables

COURSavecA = #»

ΩS/0 ·∫

P∈S

# »AP ∧ #»

V S/0(P)dm (P)

︸︷︷︸#»σS/0(A)

par l’invariance par permutation circulaire du

produit mixte, soit T (S/0) =1

2#»V S/0(A) · #»

C S/0+1

2#»ΩS/0 · #»σS/0(A) =

1

2

¦C S/0

©⊗¦V S/0

©

2.1.2. Le théorème de KÖNIG (pour information)

Théorème 11.2. Théorème de König pour l’énergie cinétique

En notant∆G = (G ,#»ΩS/0), l’énergie cinétique galiléenne d’un solide (S) se calcule par

T (S/0) =1

2M‖#»

V S/0(G )‖2+1

2J∆G ‖#»

ΩS/0‖2

Cette expression montre que l’énergie cinétique galiléenne est la somme :

• de l’énergie cinétique du solide (S) en supposant toute la masse concentrée au centred’inertie G (équivalence à un point matériel) ;

• de l’énergie cinétique du solide (S), de moment d’inertie J∆G selon l’axe∆G = (G ,#»ΩS/0),

ayant uniquement un mouvement de rotation autour de l’axe∆G .

Démonstration

Dans le cas particulier où le calcul est fait au centre d’inertie G , le moment cinétiquegaliléen a un terme complémentaire nul : #»σS/0(G ) = [I (G ,S)] · #»

ΩS/0+#»0 .

Sachant que T (S/0) =1

2

¨M

#»V S/0(G )

#»σS/0(G )

«

G

⊗(

#»ΩS/0

#»V S/0(G )

)

G

et en notant#»ΩS/0 =ω#»u , il vient :

T (S/0) =1

2M‖#»

V S/0(G )‖2+1

2#»ΩS/0 ·

[I (G ,S)] · #»

ΩS/0

Grâce au théorème 9.6 page 278,#»ΩS/0 ·

[I (G ,S)] · #»

ΩS/0

= J∆Gω

2 où J∆G est le momentd’inertie du solide (S) par rapport à l’axe∆G = (G , #»u ).

Exemple

Déterminer l’énergie cinétique galiléenne d’un disque homogène de masse M , épaisseur eet rayon R roulant sans glisser sur le sol au niveau du point I (voir figure 11.1).

La matrice d’inertie du disque est fournie figure 11.1 en fonction des paramètres.

O0

#»x0

#»y0

G

#»x1

#»y1

θ

Ix (t )

[I (G , 1)] =M

12

3R2+ e 2 0 00 3R2+ e 2 00 0 6R2

b

Figure 11.1. Disque (1) roulant sans glisser sur un sol (0) en I .

323


Le roulement sans glissement en I implique la relation cinématique x =−R θ .

L’énergie cinétique galiléenne du solide (1) se note T (1/0) =1

2M VG

2+1

2J∆Gω

2 oùω= θ ,

VG = x et J∆G =M R2

2soit T (1/0) =

1

2

M x 2+M

R2

2θ 2

=

3

2M x 2 =

3

2M R2θ 2

Remarque

Bien que hors programme, cette définition est en pratique très utile car elle permet degrandement simplifier les calculs dans la majorité des cas rencontrés aux concours.

2.2. Énergie cinétique galiléenne d’un ensemble de solides indéformables

2.2.1. Expression généralisée

Théorème 11.3. Énergie cinétique d’un ensemble de solides indéformables

Par extension à un ensemble de solides (Σ) = (1)∪ (2)∪ · · · ∪ (n ) en mouvement par rapport

à une référence galiléenne : T (Σ/0) =n∑

k=1

T (k/0) avec T (k/0) =1

2

¦C k/0

©⊗¦V k/0

©

Remarque

Les énergies cinétiques galiléennes des différents solides étant calculées indépendamment,elles peuvent l’être en des points différents car l’expression obtenue ne dépend pas du pointde calcul.

Attention

Comme dans le cas du calcul d’un moment dynamique d’un ensemble de n solides, il nefaut surtout pas chercher à définir l’énergie cinétique galiléenne de l’ensemble en cherchantles torseurs cinétiques et cinématiques globaux, car c’est le plus souvent incohérent.

Il faut nécessairement calculer séparément chacune des énergies cinétiques galiléennesélémentaires aux points les plus simples puis les sommer.

2.2.2. Inertie ou masse équivalente

Pour un système de solides (Σ) = (1)∪ (2)∪· · ·∪ (n ), l’énergie cinétique galiléenne est calculée parT (Σ/0) =

∑ni=1 T (i/0). Pour faciliter les études dans le cas de problèmes à un seul degré de liberté,

il est alors souvent utile d’exprimer le résultat en fonction d’un seul paramètre cinématique detype longueur ou angle.

324


COURSDéfinition 11.2. Inertie équivalente / masse équivalente à un ensemble de solide

Pour un système de solides (Σ) = (1)∪ (2)∪ · · · ∪ (n) dans un problème à un seul degré de

liberté, T (Σ/0) =n∑

i=1

T (i/0) =1

2JÉq.θ

2 =1

2M Éq.x

2.

Le terme JÉq (en kg m2) est l’inertie équivalente de l’ensemble (Σ) rapportée au paramètrecinématique θ et, par extension, à l’axe associé à ce mouvement de rotation .

Le terme M Éq (en kg) est la masse équivalente de l’ensemble (Σ) rapportée au paramètrecinématique x et, par extension, à la direction associée à ce mouvement de translation.

Remarque

L’inertie équivalente est la grandeur qui apparaît dans une des quatre équations, ditemécanique, de la modélisation du comportement linéarisé d’une machine à courant continu(MCC). Pour déterminer les performances d’une motorisation, il faut en effet tenir comptedu moteur mais également de la charge qu’il entraîne.

3. Puissance transmise par une action mécanique extérieure

Définition 11.3. Puissance d’une force

La puissance d’une force#»R E→S s’exerçant sur un point matériel (S) centré en P en mouve-

ment par rapport à une référence galiléenne est définie par le scalaire

P (E→S/0) =#»R E→P · #»

V (P/0)

L’unité de la puissance est le kg m2 s−3 ou W (Watt).

Théorème 11.4. Puissance d’une action mécanique sur un solide

La puissance d’une action mécanique (E) s’exerçant sur un solide (S) en mouvement parrapport à une référence galiléenne (0) est définie par le scalaire

P (E→S/0) =¦T E→S

©⊗¦V S/0

©=

¨ #»R E→S

#»M E→S(A)

«

A

⊗(

#»ΩS/0

#»V S/0(A)

)

A

En développant l’opération de comoment, notée⊗ :

P (E→S/0) =#»R E→S · #»

V S/0(A)+#»M E→S(A) · #»

ΩS/0


Remarque

Noter la cohérence de la notation « (E→S/0)−→E→S⊗ S/0 »

325


Démonstration

Le point P étant un point physique du solide (S),#»V (P/0) =

#»V S/0(P), soit :

P (E→S/0) =

∫

P∈S

d#»R E→P · #»

V S/0(P) avec#»V S/0(P) =

#»V S/0(A)+

#»ΩS/0 ∧ # »

AP

=

∫

P∈S

d#»R E→P

︸︷︷︸#»R E→S

·#»V S/0(A)+

∫

P∈S

d#»R E→P ·

#»ΩS/0 ∧ # »

AP

︸︷︷︸#»B

avec#»B = #»

ΩS/0 ·∫

P∈S

# »AP ∧d

#»R E→P ) =

#»ΩS/0 · #»

M E→S(A) grâce à l’invariance par permutation

circulaire du produit mixte.

Au final,P (E→S/0) =#»R E→S · #»

V S/0(A)+#»ΩS/0 · #»

M E→S(A) =¦T E→S

©⊗¦V S/0

©

4. Puissance des inter-efforts entre deux solides

Définition 11.4. Puissance des inter-efforts entre deux solides

La puissance des inter-efforts entre deux solides (1) et (2) en mouvement relatif par rapportà une référence galiléenne (0) est définie par l’expression scalaire

P (1↔ 2) =P (1→ 2/0)+P (2→ 1/0) =P (2↔ 1)

Cette puissance des inter-efforts correspond à la puissance dissipée dans le contact ou la liaisonentre les deux solides 2.

Théorème 11.5. Expression algébrique de P (1↔ 2)

La puissance des inter-efforts s’exprime par :

P (1↔ 2) =¦T 1→ 2

©⊗¦V 2/1

©=

¨ #»R 1→2

#»M 1→2(A)

«

A

⊗(

#»Ω 2/1

#»V 2/1(A)

)

A

En développant l’opération de comoment, notée⊗ :

P (1↔ 2) =#»R 1→2 · #»

V 2/1(A)+#»M 1→2(A) · #»

Ω 2/1 =P (2↔ 1)


DémonstrationP (1↔ 2) = P (1→ 2/0)+P (2→ 1/0)

=¦T 1→ 2

©⊗¦V 2/0

©+¦T 2→ 1

©⊗¦V 1/0

©avec

¦T 2→ 1

©=−¦T 1→ 2

©

=¦T 1→ 2

©⊗¦V 2/0

©−¦V 1/0

©=¦T 1→ 2

©⊗¦V 2/1

©

2Cette grandeur est utilisée pour la définition d’une liaison parfaite au sens énergétique, donc sans perte.

326


COURSRemarque

L’expression de la puissance des inter-efforts entre deux solides est indépendante de toutrepère, qu’il soit galiléen ou non.

L’ordre de l’écriture n’a pas d’importance : en effet, la notation utilisée « (1↔ 2) = (2↔ 1) »pour « 1→ 2⊗ 2/1= 2→ 1⊗ 1/2 » est cohérente par sa symétrie.

5. Le théorème de l’énergie cinétique

5.1. Cas d’un solide en mouvement par rapport à une référence galiléenne

Théorème 11.6. Théorème de l’énergie cinétique pour un solide

Le théorème de l’énergie cinétique, parfois également appelé « théorème de l’énergie puis-sance », s’écrit, pour un solide (S) en mouvement par rapport à une référence galiléenne et ennotant S l’espace extérieur au solide isolé (S) :

d

dtT (S/0) =P (S→S/0)

Démonstration

Le PFD appliqué à un solide (S) en mouvement par rapport à une référence galiléenne (0)s’écrit

¦T S→S

©=¦DS/0

©, soit

¦T S→S

©⊗¦V S/0

©=¦DS/0

©⊗¦V S/0

©et donc

(#»R S→S

#»M S→0(A)

)

A

⊗(

#»ΩS/0

#»V S/0(P)

)

A︸︷︷︸P (S→S/0)

=

( ∫P∈S

#»a S/0(P)dm (P)∫P∈S

# »AP ∧ #»a S/0(P)dm (P)

)

A

⊗(

#»ΩS/0

#»V S/0(A)

)

A︸︷︷︸A

A =

∫

P∈S

#»a S/0(P)dm (P) · #»V S/0(A)+

∫

P∈S

# »AP ∧ #»a S/0(P)dm (P) · #»

ΩS/0

=

∫

P∈S

#»V S/0(A) · #»a S/0(P)dm (P)+

∫

P∈S

#»ΩS/0 ∧ # »

AP · #»a S/0(P)dm (P)

=

∫

P∈S

#»a S/0(P) · #»V S/0(P)dm (P) car

#»V S/0(P) =

#»V S/0(A)+

#»ΩS/0 ∧ # »

AP

Comme #»a S/0(P) =

d

dt#»V S/0(P)

0,

A =∫

P∈S

#»V S/0(P) ·

d

dt#»V S/0(P)

0dm (P) =

∫

P∈S

d

dt

1

2‖#»

V S/0(P)‖2

dm (P)

Le solide étant supposé à masse conservative et grâce à la loi 8.1 page 258 :

A = d

dt

∫

P∈S

1

2‖#»

V S/0(P)‖2

dm (P) =

d

dtT (S/0)

327


5.2. Cas d’un système de solides en mouvement par rapport à une référencegaliléenne

Théorème 11.7. Théorème de l’énergie cinétique pour un système de solides

Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit, pour un ensemble (Σ) = (1)∪ (2)∪ · · · ∪ (n) desolides en mouvement par rapport à une référence galiléenne et en notantΣ l’espace extérieurà l’ensemble isolé (Σ) :

d

dt

n∑i=1

T (i/0) =n∑

i=1

P (Σ→ i/0)+n∑

i=1

n∑

j=1,j 6=i

P (i ↔ j )

soit encore, sous une forme condensée pratique :

d

dtT (Σ/0)︸︷︷︸∑n

i=1 T (i/0)

= P (Σ→Σ/0)︸︷︷︸Puissance des

actions mécaniquesextérieures à (Σ)

+ Pint(Σ)︸︷︷︸Puissance des

actions mécaniquesintérieures à (Σ)

Démonstration

Le théorème de l’énergie cinétique pour les n solides s’écrit :

ddt

T (1/0) =P (1→ 1/0)...

ddt

T (n/0) =P (n→ n/0)

CommeP (i → i/0) =P (Σ→ i/0)+∑n

j=1,j 6=i P (j → i/0) où :

• La puissanceP (Σ→ i/0) représente l’action de l’extérieur de l’ensemble (Σ) (poids,liaisons avec le bâti, etc.) sur la pièce (i ).

• La puissance∑n

j=1,j 6=i P (j → j /0) représente l’action de toutes les autres pièces del’ensemble (Σ) sur la pièce (i ).

En sommant ces n équations scalaires, il vient :

d

dt

n∑i=1

T (i/0)

︸︷︷︸T (Σ/0)

=n∑

i=1

P (Σ→ i/0)

︸︷︷︸P (Σ→Σ/0)

+n∑

i=1

n∑

j=1,j 6=i

P (j → i/0)

︸︷︷︸∑ni=1

∑nj=1,j 6=i P (i↔j )

Car il apparaît des sommes de la forme P (i → j /0) +P (j → i/0) = P (i ↔ j ), soit despuissances des inter-efforts entre les pièces.

6. Quelques ordres de grandeur

Lors des applications numériques, et après avoir vérifié l’homogénéité, il est nécessaire d’avoirun regard critique quant à la valeur obtenue. Une des erreurs les plus classiques est en effetl’utilisation d’une mauvaise unité (par exemple le mm au lieu du m pour une longueur).

328


COURSLes figures 11.2 à 11.8 proposent quelques ordres de grandeur permettant vérifier la cohérence

de la valeur numérique obtenue. Afin d’associer sur un même graphe des valeurs très différentes,une échelle logarithmique a été choisie.

m s−110−3 10−2 10−1 1 101 102 103 104 105 106 107

Escargotde jardin

Nageuramateur

Nageur olympique

Athlétisme100 m

Décollage avion

Mur du son(331,5 m s−1 à 0C et 0 m)

Satellite dans levide

Figure 11.2. Ordres de grandeur d’une vitesse de déplacement (unité SI : m s−1).

tours min−110−3 10−2 10−1 1 101 102 103 104 105 106

Rotationterrestre

Moteursélectriques

Fraise dedentiste

Motoréducteurs(essuie-glace, etc.)

Figure 11.3. Ordres de grandeur d’une vitesse angulaire (unité SI : rad s−1 ; unité classique dansles documents techniques de l’ingénieur : tours min−1).

kg10−3 10−2 10−1 1 101 102 103 104 105 106 107

FeuilleA4

Oeuf de poule

Orange

1 l d’eau

Humainsadultes

Voitures

Camions AirbusA380

Figure 11.4. Ordres de grandeur d’une masse (unité SI : kg).

N10−3 10−2 10−1 1 101 102 103 104 105 106 107

Pression del’air par mm2

Appui sur unesonnette

Poids d’unbébé (3 kg)

Poussée d’un vérin pneumatiquede diamètre 4 cm sous 4 bar

Poussée d’un vérinhydraulique de diamètre 4

cm sous 400 bar

Figure 11.5. Ordres de grandeur d’une force (unité SI : N).

329


N m10−3 10−2 10−1 1 101 102 103 104 105 106 107

Relevé d’un hameçon de pèche à la ligne (sans poisson)

Ressortsspiraux enhorlogerie

Moteursdes voituresde tourisme

Moteurs descamions

poids lourds

Couple d’uneéolienne selontaille des pales

Figure 11.6. Ordres de gandeur d’un couple (unité SI : N m).

J10−3 10−2 10−1 1 101 102 103 104 105 106 107

Déplacementvertical d’unemasse de 1 kg

d’une hauteur de10,19 cm

FlashAPN

Balle de tennis lors d’unservice puissant (ace)

Montée parescalier

d’un étage

Combustionde 2 g

d’essence

Énergie cinétique d’unvéhicule roulant à 100km h−1 (selon masse)

Figure 11.7. Ordres de grandeur d’une énergie (unité SI : J).

W10−3 10−2 10−1 1 101 102 103 104 105 106 107

Laserlecteurde DVD

Téléphoneportable

Lasergraveurde DVD

Téléphonesans fil

Tubenéon

Lampes à incandescence

PC fixe

Bouilloireélectrique

Voitures

Camions

Motrice duTGV duplex

Figure 11.8. Ordres de grandeur d’une puissance (unité SI : W).

330


COURS7. Notion de rendement

L’étude dynamique des chaînes fonctionnelles, et particulièrement des structures comportantdes transmetteurs de puissance (engrenages, courroies, etc.), est en général conduite dans le butde dimensionner les actionneurs (moteurs, vérins, etc.).

Pour estimer de manière cohérente la puissance minimale que doit pouvoir délivrer l’actionneurdans les différentes configurations, il est nécessaire de tenir compte :

• des grandeurs cinétiques (masses et inerties), influentes lors des évolutions transitoires ;• des phénomènes dissipatifs (frottements, etc.), influents dans toutes les situations.

Il est alors classique de séparer l’étude en deux parties :

• Une première étude en régime permanent permet d’évaluer l’influence des phénomènesdissipatifs afin d’estimer la puissance « nominale » de l’actionneur.

• Une seconde étude en régime transitoire permet d’évaluer le complément de puissancedevant être prévu pour permettre au système de fonctionner dans toutes les situations.

Le rendement est une notion associée à l’estimation des pertes dues aux phénomènes dissipatifs,donc exprimée en régime permanent.

Définition 11.5. Rendement d’une chaîne fonctionnelle

Le rendement est une grandeur sans dimension permettant de quantifier la perte de puis-sance due aux phénomènes dissipatifs en sortie d’une chaîne fonctionnelle assurant uneconversion de puissance. Cette grandeur, définie en régime permanent, est exprimée enpourcentage de la puissance d’entrée.

Pour une chaîne fonctionnelle d’entrée e et sortie s , le rendement est défini par le rapport

de puissances η=Psortie

Pentrée∈ [0, 1] où :

• Pentrée > 0 est la puissance fournie en régime permanent par l’élément en amont(l’alimentation d’un moteur par exemple) sur l’entrée de la chaîne fonctionnelle ;

• Psortie > 0 est la puissance fournie en régime permanent sur l’élément en aval (la chargeentraînée par exemple) par la sortie de la chaîne fonctionnelle.

Loi 11.8. Puissance dissipée en régime permanent en fonction du rendement

La puissance perdue par les phénomènes dissipatifs est définie, en régime permanent, parPpertes = (1−η)Pentrée.

Un rendement unitaire (η= 1) correspond donc à une absence de pertes.

Démonstration

La figure 11.9 propose un synoptique des pertes dans le cas d’un moteur à courant continu.Ce synoptique pourrait bien sûr être étendu en amont (hacheur électrique) comme en aval(réducteur à engrenages, poulie courroie, charge entraînée etc.)

331


PuissanceélectriquePentrée =U I

Puissanceperdue pareffet joule

Puissanceperdue par laconversion

électro-mécanique

Puissanceperdue parfrottement

sec (guidage)

Puissanceperdue parfrottement

visqueux(guidage)

PuissancemécaniquePsortie =Cmωm

η=Cmωm

U I∈ [0; 1]

Ppertes

Figure 11.9. Synoptique des pertes dans un moteur à courant continu.

En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au rotor du moteur en régime permanent,il vientPentrée−Psortie+Ppertes = 0 car la variation d’énergie cinétique est nulle.

En notantPsortie =ηPentrée, il apparaît clairement que la puissance perdue par les diversescauses de dissipation s’exprime parPpertes =−(1−η)Pentrée < 0.

Loi 11.9. Rendement global d’une chaîne fonctionnelle

Le rendement global d’une chaîne fonctionnelle comportant n éléments de rendements ηi

est η=n∏

i=1

ηi ¶ 1. Le rendement global est inférieur ou égal au plus mauvais rendement.

Démonstration

La figure 11.10 propose un synoptique de la chaîne d’énergie de la cordeuse de raquetteSP55, système assez largement présent dans les laboratoires de sciences industrielles del’ingénieur. Le but est de transférer une puissance mécanique à la corde pincée dans le morsde tirage afin de la tendre à une tension donnée.

Moteur àcourantcontinu

Réducteurroue et vis

sans fin

Systèmepignon /chaîne

Mors detirage de la

corde

Pélec. Pmot. Préd. Pp./c. Pmors

ηmoteur ¶ 1 ηréducteur ¶ 1 ηpignon/chaîne ¶ 1 ηmors ¶ 1

Figure 11.10. Conversion de puissance dans la chaîne d’énergie de la cordeuse de ra-quette.

Le rendement global de la chaîne fonctionnelle est η=ηmoteurηréducteurηpignon/chaîneηmors :

η=Pmors

Pélec.=Pmors

Pp./c.︸︷︷︸ηmors

× Pp./c.

Préd.︸︷︷︸ηpignon/chaîne

× Préd.

Pmot.︸︷︷︸ηréducteur

× Protor

Pélec.︸︷︷︸ηmoteur

En se basant sur un rendement moyen de 85% pour chacun des éléments, le rendementglobal n’est plus que de η= 0, 854 ' 52% !

332


COURSCOMPLÉMENT CULTUREL

La démarche énergétique est généralisable à des problèmes à plusieurs degrés de liberté, notés q1,q2, . . ., qn : ce sont les équations de Lagrange vues en écoles d’ingénieurs où la dérivée de l’énergiecinétique galiléenne T (Σ/0) = f (q1,q2, . . . ,qn ) devient, pour chacun des n paramètres :

d

dtT (Σ/0) −→ d

dt

∂ T (Σ/0)∂ qi

− ∂ T (Σ/0)∂ qi

En considérant successivement les n paramètres du problème, cette écriture aux dérivées partiellespermet d’obtenir n équations à partir de la même structure initiale.

Ces équations énergétiques sont donc beaucoup plus faciles à programmer, de manière explicite ouimplicite, que les méthodes vectorielles ce qui permet de mettre en place des structures de contrôle /commande rapidement : c’est la raison pour laquelle elles sont très utilisées en robotique.

333

Synthèse et méthodesÉnergétique des systèmes de solides indéformables

Notations simplifiées Pour rédiger rapidement, le terme TEC, pour « Théorème de l’ÉnergieCinétique », sera utilisé.

Énergie cinétique galiléenne d’un solide L’énergie cinétique galiléenne d’un solide (S) se déter-

mine par le scalaire T (S/0) =1

2

¦C S/0

©⊗¦V S/0

©, soit :

T (S/0) =1

2

¨M

#»V S/0(G )

#»σS/0(A)

«

A

⊗(

#»ΩS/0

#»V S/0(A)

)

A

=1

2

M

#»V S/0(G ) · #»

V 1/0(A)+ #»σS/0(A) · #»ΩS/0

L’expression de T (S/0) est indépendante du point de calcul A, qu’il faut donc choisir de façon àlimiter au maximum les calculs.

Théorème de König (expression de l’énergie cinétique galiléenne au centre d’inertie G) L’éner-gie cinétique galiléenne d’un solide (S) s’exprime par :

T (S/0) =1

2M‖#»

V S/0(G )‖2+1

2J∆G ‖#»

ΩS/0‖2

Cette expression montre que l’énergie cinétique galiléenne est la somme :

• de l’énergie cinétique du solide (S) en supposant toute la masse concentrée au centred’inertie G (équivalence à un point matériel) ;

• de l’énergie cinétique du solide (S), de moment d’inertie J∆G selon l’axe ∆G = (G ,#»ΩS/0),

ayant uniquement un mouvement de rotation autour de l’axe∆G .

Bien que non au programme, le théorème de König permet de calculer rapidement l’énergiecinétique galiléenne dans la majorité des cas simples (systèmes en rotation ou translation parrapport au bâti) rencontrés dans les systèmes industriels.

Énergie cinétique galiléenne d’un ensemble de solides L’énergie cinétique galiléenne de l’en-

semble (Σ) = (1)∪ (2)∪ · · · ∪ (n ) est T (Σ/0) =n∑

i=1

T (i/0) avec T (i/0) =1

2

¦C i/0

©⊗¦V i/0

©.

Ces différentes énergies cinétiques galiléennes doivent être calculées indépendamment en despoints à choisir pour limiter les calculs. En effet, l’expression obtenue est indépendante du pointde calcul.

334

SYNTHÈSE


Inertie et masse équivalente rapportée à un paramètre cinématique ou à un axe / directionPour un ensemble (Σ) = (1)∪ (2)∪ · · · ∪ (n ) et un problème à un seul degré de liberté,

T (Σ/0) =n∑

i=1

T (i/0) =1

2JÉq.θ

2 =1

2M Éq.x

2

Le terme JÉq (en kg m2) est l’inertie équivalente de l’ensemble (Σ) rapportée au paramètrecinématique θ et, par extension, à l’axe associé à ce mouvement de rotation .

Le terme M Éq (en kg) est la masse équivalente de l’ensemble (Σ) rapportée au paramètre cinéma-tique x et, par extension, à la direction associée à ce mouvement de translation.

Puissance d’une action mécanique La puissance développée par une action mécanique (E)s’exerçant sur un solide (S) en mouvement par rapport à une référence galiléenne (0) est définiepar le scalaire

P (E→S/0) =¦T E→S

©⊗¦V S/0

©=

#»R E→S · #»

V S/0(A)+#»M E→S(A) · #»

ΩS/0

L’expression de P (E→ S/0) est indépendante du point de calcul A, qu’il faut donc choisir defaçon à limiter au maximum les calculs.

Puissance des inter-efforts entre deux solides en mouvement relatif La puissance des inter-efforts entre deux solides (1) et (2) en mouvement relatif est définie par le scalaire

P (1↔ 2) =¦T 1→ 2

©⊗¦V 2/1

©=

#»R 1→2 · #»

V 2/1(A)+#»M 1→2(A) · #»

Ω 2/1 =P (2↔ 1)

L’expression deP (1↔ 2) est indépendante du point de calcul A, qu’il faut donc choisir de façonà limiter au maximum les calculs.

Théorème de l’énergie cinétique pour un solide unique Pour un solide (S) en mouvement parrapport à une référence galiléenne et en notant S l’espace extérieur au solide isolé (S) :

d

dtT (S/0) =P (S→S/0)

Théorème de l’énergie cinétique pour un système de solides Pour un système de solides (Σ) =(1)∪ (2)∪ · · · ∪ (n) en mouvement par rapport à une référence galiléenne et en notant Σ l’espaceextérieur à l’ensemble isolé (Σ) :

d

dtT (Σ/0) =P (Σ→Σ/0)+Pint(Σ)

• T (Σ/0) =∑n

i=1 T (i/0) est l’énergie cinétique galiléenne de l’ensemble isolé (Σ).• P (Σ → Σ/0) = ∑n

i=1P (Σ → i/0) est la puissance des actions mécaniques extérieures àl’ensemble isolé (Σ).

• Pint(Σ) =∑n

i ,j=1,j 6=i P (i ↔ j ) est la puissance des actions mécaniques intérieures à l’en-semble isolé (Σ).

Stratégie d’étude Au niveau des CPGE, le théorème de l’énergie cinétique n’est applicable quepour les problèmes à un degré de liberté. Pour l’étude, l’isolement à choisir est celui qui englobetous les solides en mouvement (donc tous les solides sauf le bâti).

335

ExercicesÉnergétique des systèmes de solides indéformables

Vrai ou faux ?

Vrai Faux

a) Le TEC apporte des informations complémentaires au PFD. b) Le TEC est à réserver aux problèmes à un seul degré de liberté. c) L’énergie cinétique galiléenne d’un solide (S) se calcule au

centre d’inertie.

d) L’énergie cinétique galiléenne d’un ensemble de solides (Σ) secalcule à partir de celles de chacun de ses éléments.

e) L’énergie cinétique galiléenne d’un ensemble de solides (Σ)

peut se calculer par T (Σ/0) =1

2

¦C Σ/0©⊗¦V Σ/0

©.

f) La puissance d’une action mécanique sur un solide (S) secalcule parP (E→S/0) =

#»R E→S · #»

V S/0(A).

g) Le calcul de la puissance des inter-efforts dépend dumouvement de chacun des deux solides considérés parrapport à la référence galiléenne.

h) Le TEC pour un ensemble (Σ) se note de manière simplifiéed

dtT (Σ/0) =P (Σ→Σ/0)+Pint(Σ).

Exercices

Exercice 1 Prothèse active transtibiale : équation de comportement linéarisée 3 (45

min.)

La prothèse active transtibiale, objet de l’étude, a déjà été étudiée dans le premier exercice duchapitre consacré à la cinétique (voir page 281).

3Adapté du sujet Mines Ponts PSI 2013.

336


Objectif

L’objectif de l’étude proposée est de compléter l’étude dynamique afin d’établir les équationsde comportement de la prothèse autour de la position de repos lors des phases d’appui etd’oscillation. Ces équations seront nécessaires à la mise en place d’un modèle de l’asservisse-ment du système.

L’actionneur de la prothèse est un moteur à courant continu alimenté par une batterie rechar-geable de 16 V. L’énergie mécanique est transmise par un réducteur de type poulies-courroiesuivi d’un système vis-écrou qui adapte cette énergie mécanique pour la prothèse (ensemble deliaisons entre le pied artificiel constitué d’une semelle en fibres de carbone et le manchon ou tibiaartificiel) : voir figure 11.11(a). Des ressorts permettent d’ajuster également l’énergie mécaniquefournie au pied artificiel. L’effort exercé par les ressorts est directement relié au couple exercé parl’actionneur.

Manchon d’adaptation

Moteur CC

Réducteur poulies - courroies

Vis - écrou à billes

Ressorts

Semelle en fibres de carbone

(a) Structure de la prothèse.

#»y0

#»z 0 #»y3

β (t )

#»y0

#»z 0

#»y2

α(t )

Direction des ressorts

# »n 1

# »n 1

#»y1

δR =−17

Le schéma cinématiquereprésente le pied en

position de repos avecθ = 0

#»y0

#»z 0

#»y1

#»z 1

# »n 1

θ (t )

θ (t )

δ(t )

#»x

(b) Schéma cinématique de la prothèse.

Figure 11.11. Structure et schéma cinématique de la prothèse transtibiale.

Paramétrage de la prothèse (voir figure 11.11(b))

• Le repère R0(O; #»x , #»y0, #»z 0) est lié au tibia noté (0), fixe dans toutes les études. Ce repère estsupposé galiléen.

• Le repère R1(O; #»x , #»y1, #»z 1) est lié au pied artificiel noté (1) et supposé indéformable : l’angleθ (t ) = (#»y0, #»y1) = (#»z 0, #»z 1) paramètre la rotation du pied par rapport au tibia. Le vecteur unitaire# »n 1 définit la direction des ressorts avec δ= (#»y1, # »n 1) considéré comme constant tout au longdu cycle de marche.

337

EXER

CICES


• Le repère R2(O; #»x , #»y2, #»z 2) est lié au basculeur noté (2). L’angle α(t ) = (#»y0, #»y2) = (#»z 0, #»z 2) para-mètre la rotation du basculeur par rapport au tibia.

• Le repère R3(A; #»x , #»y3, #»z 3) est lié au vérin électrique (3). L’angle β (t ) = (#»y0, #»y3) = (#»z 0, #»z 3) para-mètre la rotation du vérin électrique par rapport au tibia. Le vérin électrique comporte unetige notée (31) et un corps noté (32). Le mouvement de translation est généré par un moteurélectrique suivi d’un système de transformation de mouvement vis-écrou. L’axe moteur (ourotor) en liaison par rapport au corps (32) est noté (M ).

On pose# »OA = a #»z 0,

# »BA =λ(t )#»y3,

# »BO =b #»y2 et

# »SO =b #»z 2 avec b = 0,039 m et a = 0,117 m.

Hypothèses et données

• Seule l’inertie JM du rotor du moteur suivant son axe de rotation (D, #»y3) est prise en compte.• Les quantités dynamiques des autres pièces ne sont pas prises en compte.• La chaîne cinématique est caractérisée par la relation dα

dt= α= RTωM , avecωM la vitesse

angulaire du rotor par rapport au tibia.• dβ

d t= β étant négligé, le stator (32) est considéré fixe par rapport au tibia.

• Les liaisons sont supposées parfaites, donc sans perte énergétique.• L’étude étant faite dans le cas général, on prendra α 6= θ .

Modélisation des actions mécaniques

• Les actions mécaniques de la pesanteur sont négligées devant les autres actions mécaniquesmises en jeu.

• Le moteur génère un couple sur son axe tel que#»C moteur→M =CM

#»y3.• L’amortissement de l’ensemble du système est modélisé par un coefficient de frottement

visqueux µM exprimé sur l’axe moteur générant un couple#»C amortisseur→M =−µMωM

#»y3 avecµM identifié expérimentalement (unité N ·m · s ).

• Les ressorts exercent une action mécanique entre le pied (1) et le basculeur (2). Elle estmodélisée par un glisseur

#»F ressort→2 =−#»

F ressort→1 =−FRS#»n 1 au point S.

• Un couple extérieur −C #»x est appliqué sur le pied artificiel (1). En commande en couple,cette action mécanique C constitue la grandeur à asservir suivant la loi théorique C t h (θ ).

1) En isolant le pied (1) et en négligeant son inertie, déterminer une relation entre le couple C ,l’effort FRS et des paramètres géométriques, en explicitant clairement la démarche (principeou théorème, équation écrite, projection, etc.).

La raideur équivalente des ressorts est kRS = 1 200×103 N m−1. Seules les variations de la pro-thèse autour de sa position de repos (Cf. paramétrage autour de la position de repos sur la figure11.11(b)) seront modélisées.

La variation de longueur des ressorts est notée∆χ . L’effort FRS exercé par ces ressorts autour dela position de repos est donné par la relation linéarisée suivante FRS = kRS∆χ .

2) À partir de la relation obtenue à la question précédente, montrer qu’il est possible d’obtenirune relation linéarisée (à l’ordre 0) autour de la position de repos sous la forme C ' d 0FRS

où d 0 sera exprimé en fonction de b , αR et δR , sachant que∆χ = d 0(∆α−θ ).Quel que soit le résultat obtenu, la valeur d 0 = 0,035 m sera utilisée dans la suite.

Afin de déterminer la relation de comportement dynamique, l’étude porte sur l’ensemble de laprothèse en mouvement par rapport au tibia dont le référentiel associé est supposé galiléen.

3) Déterminer l’expression littérale de la puissance des inter-efforts générée par le ressort entrele pied artificiel (1) et le basculeur (2).

4) Mettre en œuvre le théorème de l’énergie cinétique à l’ensemble de la prothèse en mou-vement par rapport au tibia. En utilisant la relation de la chaîne cinématique, en déduire

338


une relation faisant intervenir les paramètres de mouvement, leurs dérivées ainsi que lesparamètres caractéristiques du système et actions mécaniques définies dans l’énoncé.

À partir des relations déterminées aux questions 1) et 4), il est alors possible de trouver l’équationdifférentielle linéarisée suivante qui caractérise le comportement dynamique de la prothèse :

JMd2∆α(t )

dt 2+µM

d∆α(t )dt

=CM (t )RT −C (t )R2T avec RT =

1

145

Exercice 2 Relevage d’une station d’épuration 4 (40 min.)

Une station d’épuration traite les eaux usées collectées par le réseau d’égouts des agglomérations.Elle a pour fonction de les débarrasser de la pollution liée à l’activité humaine. Les eaux purifiéessont ensuite rejetées dans le milieu naturel (fleuve, rivière, etc.).

Figure 11.12. Schéma de principe d’une station d’épuration.

La station est organisée en quatre grandes parties (voir figure 11.12) :

1. Le relevage (objet de l’étude) a pour fonction d’amener les eaux usées à une altitude suffi-sante pour que leur déplacement vers les autres postes de la station se fasse par gravité.

2. Le prétraitement a pour fonction d’enlever les déchets non organiques ou trop gros.3. La filière eau a pour fonction d’extraire les déchets organiques afin de pouvoir rejeter l’eau

dans un effluent.4. La filière boue a pour fonction de traiter les boues extraites.

Exigence Critères NiveauxHauteur 7 m

Relever les eaux brutes afinque l’eau s’écoule par

gravitéDébit maximal 400 m3

Couple maximal que peuttransmettre le moteur

1 000 N m

4Adapté du sujet CCP MP 2012.

339

EXER

CICES


La solution technique permettant au poste de relevage de remonter les eaux usées est l’utilisationd’une vis d’Archimède entraînée par un moteur asynchrone. Lors de la rotation de la vis, l’eauusée située dans le bassin de réserve est emprisonnée entre deux filets et relevée jusqu’à un bassind’arrivée. Lorsque la vis fait un tour, le volume d’eau emprisonné (noté Vp a s ) se translate de lavaleur du pas. La transmission de puissance entre le moteur et la vis est composée d’un systèmepoulie-courroie, d’un réducteur et d’un accouplement élastique (figure 11.13).

Moteur asynchrone- puissance nominale : 45 kW- vitesse nominale de rotation : 978 tours min−1

- couple nominal : 400 N m- vitesse :

#»Ω(m/0) =ωm

#»x

Réducteur à train épicycloïdal- rendement : ηr = 1- vitesse :

#»Ω(r /0) =ωr

#»x- rapport de réduction : λ= ωr

ωp= 1

31,5

Système poulie-courroie- rendement : ηp = 1- couple maximal transmissible : 3000 N m- vitesse :

#»Ω(p/0) =ωp

#»x- rapport de réduction :

ωp

ωm= 1

Accouplement élastique- rendement : ηa = 1- pulsation de coupure du filtre : 1,4 rad s−1

Vis (v)- vitesse :

#»Ω(v /0) =ωv

#»x , Nv−m a x = 30 tours min−1

- pas p = 0, 38 m ; longueur L = 12, 24 m- angle d’hélice pris sur le diamètre intérieur : β- angle d’inclinaison avec l’horizontale α= (#»y , #»g ) = 35- volume d’eau élémentaire contenu dans un pas de vis : Vpas = 0, 23 m3

- rayon intérieur Ri nt ; rayon extérieur Re x t

#»x

#»y

O

Niveau sol

Niveau eau

Limite supérieure du guide

Limite inférieure du guide

(m)

(p)

(r)

Accélération de la pesanteur #»g

Figure 11.13. Organisation structurelle du poste de relevage.

Objectif

L’objectif de l’étude proposée est de vérifier que les performances nominales du moteurpermettent de transmettre l’énergie mécanique nécessaire à l’eau brute lors du relevage.

En régime permanent, l’accouplement élastique est supposé homocinétique, c’est-à-dire queles deux vitesses sont égales, soitωv =ωr .

1) Donner la relation ωv

ωmpuis la valeur de ωv en rad s−1 pour ωm nominal. Conclure sur la

capacité du moteur à permettre une vitesse de la vis Nv m a x = 30 tr min−1 correspondant àun débit d’environ 400 m3 h−1.

340


Les hypothèses suivantes sont adoptées :

• Le volume d’eau brute contenu dans les filets de la vis se translate à vitesse constante suivant

l’axe de la vis. Le torseur cinématique¦V eb/0

©=

¨ #»0

p2πωv

#»x

«

O

modélise le déplacement de

ce volume d’eau par rapport au bâti.• Le guidage de la vis avec le bâti est considéré sans frottement ni jeu et l’accélération de la

pesanteur qui s’applique à l’eau est g = 9,8 m s−2.• La masse d’eau brute qui translate est me b =ρe v Vp a s

L v

p, avec ρe b = 1 200 kg m−3 la masse

volumique de l’eau brute.

2) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique à l’ensemble vis + volume d’eau emprisonnédans la vis en régime permanent (vitesse ωv constante) et en déduire l’expression et lavaleur numérique du couple à transmettre à la vis Cv nécessaire pour déplacer l’eau.

3) En utilisant les données de la chaîne cinématique (rendements et rapports de réduction),donner l’expression et la valeur numérique du couple moteur nécessaire pour assurer ledébit maximal en régime permanent. Conclure quant à la capacité du moteur à atteindre cecouple.

Exercice 3 Arrêt d’urgence sur la tour de la terreur 5 (30 min.)

L’objet de cette étude est l’ascenseur de la « tour de la terreur » du parc d’attractions Walt DisneyStudios, qui, depuis janvier 2008 et plusieurs dizaines de fois par jour, fait frissonner de peur unevingtaine de passagers dans des conditions de sécurité optimale.

Surplombant le parc du haut de ses treize étages, cette attraction pousse les visiteurs à oublierla réalité et à entrer dans le Hollywood Tower Hotel pour y faire une chute de plusieurs dizainesde mètres (voir figure 11.14(a)). Le schéma de la figure 11.14(b) propose une modélisation del’organisation structurelle interne.

(a) Vue extérieure. (b) Structure interne.

Figure 11.14. Tour de la terreur.

5Adapté du sujet X-ENS PSI 2013.

341

EXER

CICES


Objectif

L’objectif de l’étude proposée est d’étudier la phase d’arrêt d’urgence pendant laquelle lacabine est immobilisée par des freins.

La cabine d’ascenseur (figure 11.14(b)) est suspendue à un câble porteur qui s’enroule surun tambour relié à un moteur électrique par un accouplement. Un contrepoids est égalementsuspendu à un câble porteur qui s’enroule sur un tambour coaxial au tambour de la cabine auquelil est lié cinématiquement. La cabine et le contrepoids sont reliés par un câble secondaire quis’enroule sans glisser sur deux poulies d’axe parallèle guidées en rotation dans la partie basse del’attraction.

Le repère R(O; #»x , #»y , #»z ), avec O appartenant à l’axe moteur, est supposé galiléen.

1) Quel est le rôle du câble secondaire ?

Le système de freinage prévu pour arrêter la cabine est composé de quatre freins à tambour(figure 11.14(b)), soit un total de huit surfaces de frottement dont la géométrie est caractérisée à lafigure 11.15(a). Dans la suite de l’étude, l’action du câble secondaire est négligée.

#»x

#»zM

#»u

O

θ

α

α

Surface de contact S delargeur e et rayon Rt

(a) Détail surface frottante

GG’

EE’FF’

MM’

HH’

(b) Modélisation cinématique

Électroaimant

Ressort

Tambour

Sabot

Semelle defriction

Bâti

(c) Vue d’ensemble

Figure 11.15. Le système de freinage.

• N : effort presseur du sabot sur le tambour ;• α et e : caractéristiques géométriques de la semelle de friction ;• f : facteur de frottement sec entre l’arbre et la semelle.

Données numériques : f = 0 5, N = 100 000 N, α= 40 , e = 0,35 m et Rt = 0,63 m.

2) Dans cette phase de freinage, exprimer le moment de freinage maximum M f que peutexercer le système de freinage sur l’arbre moteur.

Pour la phase de freinage, la caractérisation des composants est donnée ci-dessous :

• Masse de la cabine : M c ab = 8 460 kg (21 passagers).• Moment d’inertie équivalent des pièces en rotation autour de l’axe moteur : Je q = 1 960 kg m2 ;• Masse du contrepoids : M cont = 4 360 kg.• Vitesse maximale de la cabine (en phase de descente) : Vm a x =−63 km/h.• Effet du freinage des freins à tambour modélisé par un couple de M f = 270 000 N m.• Freinage au couple maximal des freins à tambour lorsque la cabine est à−30 m.

342


Compte tenu des efforts mis en jeu dans cette phase de freinage, le comportement élastique descâbles porteurs ne peut pas être négligé.

Le comportement des câbles est modélisé par la mise en parallèle d’un ressort et d’un amortis-seur (voir figure 11.16) :

• Le ressort est de raideur Kcâble et l’allongement est noté∆z câble, défini positivement, avec∆z câble = 0 à l’équilibre.

• L’amortisseur est de coefficient µcâble : il tient également compte de l’amortissement dans leguidage de la cabine par rapport au bâti.

Figure 11.16. Modèle sans câble secondaire.

Dans la phase de freinage étudiée, la modélisation de la figure 11.16 donne les résultats simulésde la figure 11.17.

Accélération de la cabine en m s−2

Vitesse de la cabine en m s−1

Position de la cabine en m

(a) Courbes d’évolution de la cabine.

Vitesse du contrepoids en m s−1

Position du contrepoids en m

Accélération du contrepoids en m s−2

(b) Courbes d’évolution ducontrepoids.

Figure 11.17. Simulation du comportement de la cabine et du contrepoids.

3) Donner la période de temps pendant laquelle le modèle proposé est représentatif de laréalité. Justifier la réponse.

4) Justifier l’accélération constante à −9,81 m/s2 de la courbe d’accélération du contrepoids etexpliquer, en le justifiant, l’influence du contrepoids dans cette phase de freinage. Expliquerquelles conséquences cela peut avoir sur les câbles.

5) Justifier la pente et le caractère oscillant de la courbe de vitesse de la cabine.6) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à la cabine, déterminer l’expression de

l’accélération finale de la cabine (au moment de son arrêt) et analyser le résultat obtenu.

343

EXER

CICES

CorrigésÉnergétique des systèmes de solides indéformables

Corrigés des Vrai/Faux

a) Faux. Le TEC est issu du PFD, il donne juste une nouvelle organisation des équations scalairesobtenues par le TRD et le TMD(A) et non une nouvelle équation.

b) Vrai. Le TEC tel qu’écrit dans le cours de CPGE n’apporte qu’une seule équation scalaire :son emploi est donc à réserver exclusivement aux problèmes à un seul degré de liberté. Sondéveloppement à une structure par dérivées partielles (équations de Lagrange) permet de rendreplus universelle l’utilisation de ce théorème.

c) Faux. Le calcul de l’énergie cinétique galiléenne d’un solide (S) se fait par la formule∀A , T (S/0) =1

2

¦C S/0

©⊗¦V S/0

©=

1

2

¨M

#»V S/0(G )

#»σS/0(A)

«

A

⊗(

#»ΩS/0

#»V S/0(A)

)

A

.

d) Vrai. L’énergie cinétique galiléenne d’un ensemble (Σ) = (1)∪ (2)∪ · · · ∪ (n) se calcule par lasomme des énergies cinétiques galiléennes T (i/0) des n éléments qui le composent.

e) Faux. En effet, le torseur cinématique¦V Σ/0

©n’a pas de sens pour un ensemble qui, par

essence, n’est pas indéformable. Le torseur cinétique galiléen¦C Σ/0

©sera par ailleurs très pénible

à expliciter.f) Faux. Cette expression n’est valable que pour un glisseur : dans le cas général, il faut tenir

compte du moment au point de calcul, soitP (E→S/0) =¦T E→S

©⊗¦V S/0

©soit, en développant,

P (E→S/0) =#»R E→S · #»

V S/0(A)+#»M E→S(A) · #»

ΩS/0

g) Vrai. La puissance est définie parP (1↔ 2) =P (1→ 2/0)+P (2→ 1/0) donc des mouvementsdes deux solides par rapport à la référence galiléenne (0). Cependant, le développement meten évidence que le résultat obtenu ne dépendra que du mouvement relatif des deux solides,donc indépendamment de la référence galiléenne. Cette puissance peut en effet se calculer par

l’expressionP (1↔ 2) =¦T 1→ 2

©⊗¦V 2/1

©=

¨ #»R 1→2

#»M 1→2(A)

«

A

⊗(

#»Ω 2/1

#»V 2/1(A)

)

A

.

h) Vrai. L’énergie cinétique galiléenne T (Σ/0) de l’ensemble se calcule en additionnant lesénergies cinétiques galiléennes des solides élémentaires,P (Σ→Σ/0) correspond à la puissancedes actions mécaniques extérieures à l’ensemble (Σ) sur l’ensemble (Σ) etPint(Σ) correspond à lapuissance des actions mécaniques qui s’exercent entre les éléments de l’ensemble isolé (Σ).

344

CORRIGÉS


Corrigés des exercices

Exercice 11) Le pied (1) est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :• Actions des ressorts sur (1), modélisée par un glisseur au point S :

#»F ressort→1 = FRS

# »n 1.• Couple extérieur sur le pied (1) : −C #»x .• Actions mécaniques transmise par la liaison pivot d’axe (O, #»x0) entre le tibia (0) et le pied (1)

telle que#»M 0→1(O) · #»x0 = 0 (liaison parfaite).

L’application du théorème du moment en O en projection sur la direction #»x0 au pied (1) permetde ne pas faire apparaître les actions mécaniques dans la liaison pivot L1/0 :

#»M 0→1(O) · #»x0︸︷︷︸

0

−C +#»M ressort→1(O) · #»x0︸︷︷︸

#»OS∧#»

F ressort→1

=#»

δ 1/0(O) · #»x0︸︷︷︸'0

RemarqueLe moment dynamique galiléen du pied (1) est nul car l’inertie est négligée (hypothèse

fournie dans le texte) : l’équation obtenue est donc équivalente à une étude statique.

Comme C =# »OS ∧ #»

F ressort→1 =−b #»z 2 ∧ FRS# »n 1

: C =b FRS cos [δ+θ (t )−α(t )].

2) C =b FRS cos [δ+θ (t )−α(t )] =b FRS [cos (θ (t ))cos (δ−α(t ))− sin (θ (t ))sin (δ−α(t ))]En linéarisant à l’ordre 0 : C =b FRS cos (δR −αR ), d’où C = FRS b cos [δR −αR ]︸︷︷︸

d 0

= d 0FRS .

3) L’ensemble de la prothèse est isolé. Les ressorts créent une puissance des actions mécaniquesextérieures à l’ensemble isolé en agissant à la fois sur (1) et sur (2).

P (ressort→ prothèse/R0) = P (ressort→ 1/R0)+P (ressort→ 2/R0)= =

¦F Ressort→ 1

©⊗¦V 1/0

©+¦F Ressort→ 2

©⊗¦V 2/0

©

=

FRS# »n 1

d 0FRS#»x0

0⊗¨θ #»x0

#»0

«

0

+ −FRS

# »n 1

d 0FRS#»x0

0⊗α#»x0

#»0

0

=

FRS# »n 1

d 0FRS#»x0

0⊗(θ − α #»x0

#»0

)

0

Au final,P (ressort→ 1/R0)+P (ressort→ 2/R0) = d 0FRS

θ − α.

4) Le théorème de l’énergie cinétique est appliqué à l’ensemble de la prothèse en mouvementpar rapport au tibia (0).

• Bilan des puissances des actions mécaniques extérieures :– Couple extérieur :P (C→ 1/R0) =−C θ .– Couple moteur :P (moteur→ 31/R0) =CMωM =CM α/RT .– Actions mécaniques de liaisons avec le tibia (0) :P (liaisons→ prothèse/R0)︸︷︷︸

Liaisons parfaites

= 0.

– Actions mécaniques des ressorts :P (ressort→ 1/R0)+P (ressort→ 2/R0) = d 0FRS

θ − α.

– Actions mécaniques de la pesanteur sur la prothèse :P (pesanteur→ prothèse/R0)︸︷︷︸négligée

= 0.

345


• Bilan des puissances intérieures :– Amortissement visqueux (av) de l’ensemble de la prothèse :Pav(prothèse) =−µMω

2M .

– Actions mécaniques des liaisons intérieures :PLiaisons(prothèse) = 0 car liaisons parfaites.L’énergie cinétique de l’ensemble de la prothèse se calcule par :

T (prothèse/0) = T (rotor moteur/0)︸︷︷︸Seule inertie prise en compte

=¦C M/0

©⊗¦V M/0

©=

1

2JMω

2M =

1

2JMα2

R2T

RemarqueLa variation angulaire du vérin électrique étant négligée (β = 0), l’axe moteur est alors

supposé en mouvement de rotation par rapport à un axe fixe. L’énergie cinétique est alorsdéterminée directement.

L’équation de mouvement s’écrit alors :

d

dt

1

2JM

α

RT

2=−µM

α

RT

2

+d 0FRS

θ − α+CM

α

RT−C θ

Soit, en utilisant la relation mise en évidence à la question 2) : C = d 0FRS .

JMα

R2T

α+µMα2

R2T

=−C α+CM α/RT et donc JMα

R2T

+µMα

R2T

=−C +CM /RT

Au final, JM α+µM α=−C R2T +CM RT .

Exercice 21) À partir du schéma d’organisation structurelle 11.13 page 340, le rapport cinématique peut

se décomposer enωv

ωm=ωv

ωr× ωr

ωp× ωp

ωm= (1)× 1

31,5×1, soit

ωv

ωm=

1

31,5.

La vitesse nominale du moteur estωm = 978 tours min−1 = 102,4 rad s−1, soit une vitesse de lavis égale àωv = 31 tours min−1 = 3,3 rad s−1.

2) Le théorème de l’énergie cinétique est appliqué à l’ensemble (Σ) composé de la vis et du

volume d’eau emprisonné dans la vis :dT (Σ/0)

dt=P (ext→Σ/0)+P int(Σ).

Le système étant en régime permanent (ωv = constante) :dT (Σ/0)

dt= 0.

• Bilan des puissances des actions mécaniques extérieures :– Action mécanique de la pesanteur : comme me b =ρe b L V

pVp a s et Vtranslation =

p2πωv ,

P (pesanteur→Σ/0) = −me b g sinαVtranslation

= −ρe bL V

pVp a s g sinα

p

2πωv

– Couple appliqué sur la vis :P (motrice→ vis/0) =Cvωv .– Actions mécaniques de la liaison (supposée parfaite) entre la vis et le bâti :P (0→ vis/0) = 0.• Bilan des puissances intérieures : en négligeant les frottements entre la vis et l’eau emprison-

née et en considérant des liaisons parfaites, la puissance des inter-effortsPint(Σ) = 0.

346

CORRIGÉS


Le TEC s’écrit alors 0=Cvωv −ρe bL V

pVp a s g sinα

p

2πωv .

Au final, Cv =ρe b L V Vp a s gsinα

2π. Application numérique : CV = 3 024 N m.

3) Les rendements des différents sous-ensembles sont égaux à 1. Ainsi, la puissance fournie par

le moteur est égale à la puissance délivrée par la vis, soit Cmωm =Cvωv d’où Cm =Cvωv

ωmet donc

Cm =Cv

31, 5. Au final, Cm =ρe b Vp a s g L V

sinα

2π× 1

31.5.

RemarqueComme ρe b Vp a s g est homogène à kg m−3 ×m s−2 ×m s−2, soit des kg m s−2 (équivalent

à des N) et L V sinα 12π

131,5

est homogène à des m, le résultat obtenu est donc bien en N m etdonc homogène.

L’application numérique conduit à Cm = 96 N m. Le couple nominal étant de 400 N m, le moteurest apte à réaliser la performance attendue.

Exercice 31) En l’absence de câble secondaire, pendant une phase de freinage de la cabine, par exemple, le

câble porteur qui maintient le contrepoids risquerait de se détendre, le contrepoids étant entraînéfortement vers le haut.

2) Dans l’hypothèse d’une répartition de pression p constante au niveau des surfaces de contact,l’action mécanique locale en un point M d’une surface de contact s’écrit, en utilisant le modèle deCoulomb (proportionnalité entre l’effort normal et l’effort tangent), dans une phase de glissementau niveau des surfaces en contact ou, par extension, à la limite du glissement :

d#»F (M ) = p dS #»n + f p dS

#»t avec, dans la modélisation adoptée, dS = e Rt dθ

L’effort normal s’écrit :

N =

∫ α

−α(p #»n + f p

#»t ) · #»x e Rt dθ =

∫ α

−α(p cosθ + f p sinθ )e Rt dθ = 2p Rt e sinα

Le moment de freinage maximal pour une seule surface de contact s’écrit :

M f =

∫ α

−α

# »OM ∧ (p #»n + f p

#»t )e Rt dθ

· #»y =

∫ α

−α−Rt

#»n ∧ (p #»n + f p#»t )e Rt dθ

· #»y

Soit M f =

∫ α

α

f p e R2t dθ = 2 f p eαR2

t pour une seule surface de contact.

Pour l’ensemble des 8 surfaces de contact, M f = 8×2 f p eαR2t avec p =

N

2Rt e sinα.

Au final, M f =8Rt N f α

sinα. Application numérique : M f = 273 558 N m.

3) Le modèle proposé est représentatif de la réalité jusqu’à l’instant où la cabine remonte. Dansla réalité, le câble secondaire reliant la cabine au contrepoids limitera cet effet.

347


4) Lorsque la cabine est en train de descendre, le contrepoids monte. Une fois la phase defreinage enclenchée, le contrepoids a tendance à poursuivre son mouvement vers le haut. Le câbleporteur du contrepoids n’est alors plus tendu. La seule action s’exerçant sur le contrepoids est lapesanteur. Ainsi, le contrepoids est soumis à une accélération de−9,81 m s−2.

5) La pente de la vitesse est globalement positive, car pour arrêter la cabine, une accélérationopposée (donc « vers le haut ») est fournie. Les oscillations correspondent au comportementélastique du câble porteur.

6) Dans la phase de freinage, le mouvement du contrepoids n’est plus solidaire du mouvementde la cabine, car le câble porteur du contrepoids est détendu et, dans ce modèle, le câble secondairen’est pas pris en compte.

L’ensemble isolé est donc Σ=

cabine, axe moteur, câble porteur

.Le théorème de l’énergie cinétique à cet ensemble en mouvement par rapport au sol s’écrit :

dT (Σ/0)dt

=P (ext→Σ/0)+Pint(Σ)

• Énergie cinétique galiléenne : T (Σ/0) =1

2Je qω

2+1

2M c ab V 2 =

1

2

Je q/R

2t +M c ab

V 2

• Puissances des actions mécaniques extérieures :

P (ext→Σ/0) =P (moteur→ axe/0)+P (pesanteur→ cabine/0) =M fω−M c ab g V

• Puissances des actions mécaniques intérieures :

Pint(Σ) =P ressortaxe↔cabine+P amortisseur

axe↔cabine =−Kcâble∆z câbled∆z câble

dt−µcâble

d∆z câble

dt

2

Or, à l’arrêt de la cabine,∆z câble = 0 d’oùPint(Σ) = 0, soit, au moment de l’arrêt :

Je q

R2t

+M c ab

V

dV

dt=

M f

RtV −M c ab g V d’où

Je q

R2t

+M c ab

dV

dt=

M f

Rt−M c ab g

Au final,dV

dt=

M f

Rt−M c ab g

Je q

R2t

+M c ab

. Application numérique :dV

dt= 25,8 m s−2.

Cette accélération est non nulle et positive, ce qui montre que l’arrêt est brutal et ajoute encoredes sensations aux utilisateurs.

348

VUIBERT

SOMMAIRE :Partie I : Contrôle des systèmes asservis1. Performances des systèmes asservis – 2. Conception de la commande d’un système – 3. Éléments de modélisation des systèmes

Partie II : Commande numérique des systèmes embarqués4. Systèmes à évènements discrets – 5. Architectures distribuées et protocoles de communication

Partie III : Théorie des mécanismes6. Modèles de liaisons – 7. Mobilité et hyperstaticité

Partie IV : Dynamique et énergétique des systèmes de solides indéformables8. Introduction et hypothèses – 9. Cinétique du solide indéformable – 10. Dynamique des systèmes de solides indéformables – 11. Énergétique des systèmes de solides indéformables

Partie V : Matériaux et comportement des structures sous charges statiques12. Matériaux : classifi cation et domaines d’utilisation – 13. Résistance des matériaux – 14. Introduction à la démarche de sélection des matériaux – 15. Annexe : caractéristiques géométriques des sections

Annexe : Modélisation par le langage SysML

Les auteurs :Alain Caignot est professeur en classe préparatoire scientifi que au Collège Stanislas à Paris Vincent Crespel est professeur en classe préparatoire scientifi que au lycée Saint-Louis à ParisMarc Dérumaux est professeur en classe préparatoire scientifi que au lycée Saint-Louis à ParisChristian Garreau est professeur en classe préparatoire scientifi que au lycée Déodat-de- Séverac à ToulouseBaudouin Martin est professeur en BTS IRIS au lycée Grandmont à ToursAlexis Redondo est professeur en classe préparatoire scientifi que au Lycée Déodat-de-Séverac à ToulouseSébastien Roux est professeur en classe préparatoire scientifi que au lycée Faidherbe à Lille

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