centrale 2002 si psi

SCIENCES INDUSTRIELLES

Concours Centrale-Suplec 2002 1/22

SCIENCES INDUSTRIELLES Filire PSI

De nombreuses questions tant indpendantes, les candidats pourront tirer pro-fit lire tout le texte avant de commencer la rdaction. Ils porteront une atten-tion toute particulire la construction des rponses et la prsentation de lacopie.

Embrayage automatique pilot de la Mercedes classe A

Le contexte

Le groupe moto propulseur dune voiture automobile est gnralement constitudun moteur thermique, dun embrayage, dune bote de vitesses et dun diffren-tiel qui entrane chacune des roues motrices par lintermdiaire dun joint detransmission :

Pour dcharger le conducteur du passage des vitesses, les constructeurs propo-sent, depuis de nombreuses annes, des botes de vitesses dites automatiques.Cependant, celles-ci ne rencontrent pas le succs attendu en Europe o, semble-t-il, les conducteurs prfrent conserver le choix des changements de rapportset la manipulation dun levier de vitesses. Aussi des constructeurs, tels Merce-des, installent des embrayages "pilots" offrant une assistance la commandede lembrayage. Un calculateur lectronique embarqu centralise les informa-tions des diffrents capteurs et pilote lembrayage ds que le conducteur mani-

Moteur Embrayage Bote devitesses Diffrentiel Roues


Filire PSI


feste son intention de changer de rapport de bote par une action sur le levier devitesses.La figure 1 donne lallure des courbes de couple et de puissance disponibles dunmoteur thermique et sa zone dutilisation (note A-B) en fonction de la vitesseangulaire du moteur . On constate en particulier que le moteur ne peut tre sol-licit en dessous dune vitesse angulaire minimale. Ceci impose dinstaller en s-rie dans la chane de transmission de puissance un dispositif qui isole le moteurpour permettre au conducteur de dmarrer, sarrter ou changer le rapport detransmission de la bote de vitesses.

Lobjet de cette tude est la validation partielle des performances atten-dues par le systme appel embrayage pilot retenu par Mercedes etinstall en option sur la Classe A Les principales phases du cycle de vie de lembrayage pilot sont : la phase dentranement, pendant laquelle la puissance est transmise aux

roues motrices ; la phase de dbrayage pendant laquelle la chane de transmission se rompt ; la phase dite dbraye pendant laquelle la chane de transmission est

rompue ; la phase dembrayage pendant laquelle la chane de transmission se rtablit.Q.1 - Tracer le diagramme partiel des interacteurs de la phase de dbrayage etcaractriser la fonction de service principale satisfaite par lembrayage.

zone utilisableA B m

Pkw( )

CN m( )

(tr/min)

Figure 1

embrayage

continuit de de la chane detransmissionconducteur

dmarrersarrter

changer le rapport de vitesse



Lorganisation structurelle des principaux constituants de lembrayage automa-tique utilis sur la Classe A est schmatise sur la figure 2 ci-dessous :

On distingue, outre le moteur (21) et son volant dinertie (22), la bote de vitesses(25) et le levier de vitesses, les lments qui font lobjet de cette tude : le disque dembrayage (23) ; le plateau de pression dembrayage rattrapage de jeu automatique (24) ; la centrale de commande (26) pilote par un calculateur ; le dispositif central de dbrayage hydraulique (27) ; la conduite hydraulique (28) ; le capteur de rotation sens de la commande de la bote de vitesses (31) et le

capteur de rotation sens de slection de la bote de vitesses (30) qui servent reconnatre le rapport slectionn ;

le capteur de rotation du levier de vitesses (29) qui sert dtecter lintentiondu conducteur de changer de rapport.

Q.2 - Complter les diagrammes partiels FAST du systme classe A bauchsci-dessous, en prcisant les solutions constructives :

levier de vitesses

Figure 2

FT 11 :Transmettre uncouple C

maximum

FS1 :Assurer le passagedu couple Maximum



tude des diffrentes phases de fonctionnement de lembrayage

tude de la phase dembrayage

Lobjet de cette partie est de dterminer lnergie dissipe et le temps de passagede la phase dbraye la phase embraye.

Le modle retenupour cette tude estdonn par le sch-ma de la figure 3.

est la vitesseangulaire de larbredentre de la botede vites

ses

et lemoment dinertie

quivalent, par rapport , des lments en rotation ramens larbredentre de la bote .

est la vitesse angulaire de larbre moteur et le moment dinertie quiva-lent, par rapport , des lments en rotation ramens larbre de sortiedu moteur.

FS2 :interrompre la

cinmatiquechane

FT 21 :Reprer lintentiondu conducteur

FT 22 :Analyser lafaisabilit

FT 23 :Ouvrir la chanecinmatique

FS3 :Assurer la remise encouple progressive

FT32 :Analyser lafaisabilit

FT31 :Permettre unpatinage contrlde lembrayage

Moteur Embrayage Bote de vitesses

bm Jb

1 2

Jmx

Figure 3

O b

Jb

O x,( )

m JmO x,( )



On retient, pour cette phase, les hypothses suivantes : Les frottements dans les paliers sont ngligs ; Ds le contact tabli entre les plateaux 1 et 2, le module du couple dembraya-

ge prend instantanment la valeur maximale , puis reste constant. La vitesse angulaire du moteur reste constante ; Le module du couple rsistant , de la bote de vitesses sur lensemble

2, est constant et infrieur ou gal la valeur ;

Q.3 -

a) Exprimer le temps ncessaire larbre dentre de la bote de vitessespour passer de la vitesse angulaire , linstant initial , la vitesseangulaire en fonction de , , , , . b) Calculer ce temps pour , , ,

et .

c) Exprimer la puissance dveloppe par les inter-efforts entre 1 et 2 en fonctionde , et . En dduire lexpression littrale de lnergie, , dissipepar frottement dans lembrayage pendant le temps en fonction de , , et .d) Calculer cette nergie et prciser sa nature. En dduire la fonction technique assurer. e) Critiquer la pertinence de ce modle permettre lanalyse dun embrayage devhicule automobile.

tude de la phase de transmission du couple

Le dispositif de dbrayage peut tre schmatiquement reprsent par legraphe :

Lobjet de cette partie est de quantifier leffort N que doivent gnrer les ressortslors de la transmission du couple maximal Cm=150 N.m

Le schma de la figure 4 prcise le modle retenu pour un embrayage mono dis-que qui doit permettre la transmission de la puissance du moteur li au plateaumoteur larbre dentre de la bote de vitesses. Le plateau moteur, en liaisonpivot daxe avec le chssis de la voiture, est en liaison glissire avec le pla-teau presseur. Des ressorts hlicodaux comprims gnrent une pression decontact entre le disque et les plateaux moteur et presseur. Cette pression, comp-te tenu du choix des matriaux pour le disque et les plateaux, doit tre suffisantepour assurer lentranement. La liaison en O entre le disque, de diamtre ext-rieur D et de diamtre intrieur d, et larbre dentre de la bote de vitesses doitpermettre la transmission de la puissance.

C1 2 CTm

Cb 2CT

teb0 t 0=

m b0 m CT Cb Jbb0 0= m 2000 tr min

1= CT 150 N m=

Cb 50 N m= Jb 0 7 kg m2

,=

CT b t( ) m W12te CT Cb Jb

m

Plateaumoteur

Dispositif dedbrayage

Ressorts decompression

Plateaupresseur

Disquedembrayage

B x,( )



Soit un repre li au chssis de la voiture.Soit un repre li au plateau moteur dduit du repre par unerotation damplitude , daxe .Soit un repre li larbre dentre de la bote de vitesses dduitdu repre par une rotation damplitude , daxe .Le facteur de frottement entre les plateaux presseur ou moteur et le disquedembrayage est not .Au cours du fonctionnement et plus particuli-rement lors des phases dembrayage, les surfa-ces en contact susent. Or pour conserver unegomtrie de contact plane, cette usure doit trergulire. De nombreux essais ont montr quepour rgulariser cette usure, il faut que le pro-duit du module de la vitesse de glissement etde la pression en chaque point des surfacesen contact soit constant. On note = OM la distance du centre O au pointcourant M. Q.4 - Exprimer les composantes du torseur modlisantglobalement les actions exerces par le plateau presseur sur une surface defriction du disque dembrayage et en dduire le couple transmissible labote de vitesses par lembrayage en fonction , , , et .

plateau presseur

plateau moteur

disque ressorts

botede vitesses

y

xO

AB moteur

chssis

Bute

Figure 4

R O x y, , z( , )

R1 O x1 y1, , z1( , ) Rm O x,( )

R2 O x2 y2, , z2( , )R b O x,( )

f 1

y

dSM

OD d

zFigure 5

V gp M

R1 M1;{ } 0 x y z, , ,( )

CT p d D f 1



Calculer ces grandeurs pour , , et au maximum.

La liaison entre le disque et larbre dentre de la bote doit permettre le contactplan entre le disque et le plateau moteur. Elle doit galement permettre le rat-trapage de lusure.Q.5 - Aprs avoir prcis le degr de mobilit ncessaire cette liaison,proposer le schma dune solution constructive isostatique (aucun calculdhyperstatisme nest exig pour cette question).

tude de la phase de dbrayagePour dbrayer, cest--dire rompre le contact entre les plateaux et le disque, ilfaut exercer sur le plateau presseur une action dirige suivant qui comprime les ressorts. Cette action, nulle lorsque les plateaux sont en con-tact avec le disque, est transmise par la bute. Le module de leffort, not , que doivent fournir les ressorts hlicodauxpour assurer la transmission du couple moteur est de . Il est gnr parun crasement des ressorts de 15 mm partir de leur longueur "libre".Le comportement des resssorts est suppos quivalent celui dun ressort uni-que de raideur K.Q.6 - a) Calculer la valeur de K.b) Tracer le graphe de laction gnre par les ressorts hlicodaux sur les pla-teaux en fonction de lcrasement.c) Dterminer, le module de laction de la bute sur le plateau presseur lorsquela position dbraye correspond une course de la bute de 4 mm.

Depuis quelques annes, les ressorts hlicodauxsont remplacs par un seul ressort de typediaphragme dont une reprsentation est donnefigure 6. Il sagit dun disque lastique conique dontlintrieur est dcoup suivant des rayons pour for-mer des doigts. Les ouvertures qui terminent les fen-tes de sparation entre les doigts vers la priphriesont destines limiter les contraintes dans ceszones particulirement sollicites. Elles permettentgalement de faire passer les lments de fixation dudiaphragme sur le couvercle. Cette solution permetla diminution du nombre de pices et la rductionsignificative de lencombrement latral.

d 140 mm= D 200 mm= f 1 0 35,=

p 14 N mm 1=

F bute pp( ) x

FOR3000 N

doigt

ouverture

Figure 6



Limplantation du diaphragme est dessine sur la figure 7 dans les deux posi-tions : embraye et dbraye. Lensemble est reprsent schmatiquement surla vue clate de la figure 8.

Position embraye Position dbraye

plateaumoteur

plateaupresseur

disque

couvercle

diaphragme

bute

Figure 7

plateau moteur

disque

plateau presseur

diaphragme

couvercle

bute



Le diaphragme se comporte comme unerondelle lastique dont la forme conique ltat libre est donne par la situation 1 dela figure 9. Puis sous laction dcrase-ment, modlise par , il se dforme jus-qu la position 3, forme conique inverse,en passant par la position plane 2. La hau-teur initiale h et lcrasement sont mesu-rs partir de ltat libre.

Q.7 - Prciser, en retraant sur la feuillede copie le graphe de la figure 9, les pointsreprsentatifs des trois situationssuccessives 1, 2 et 3 lors de lenfoncementdu diaphragme. Prciser galement laplage dutilisation du diaphragme au seinde lembrayage en mentionnant les phasesembraye et dbraye.

La figure 10 est une demi-coupe partielle simplifie delembrayage et la figure 11 unmodle de limplantation delun des 18 doigts. On suppose que le comporte-ment dun doigt est reprsen-tatif du comportement globaldu diaphragme.On modlise par laction exerce par le plateausur le diaphragme, par

, laction exercepar le couvercle sur lediaphragme et par laction exerce par la butesur les extrmits des doigtsdu diaphragme.

h

F0

Figure 9

0Fr

h 1

23

0 0,5 1 1,5 20

F0

ba

uBCA

v

couvercle

diaphragme

disque

plateau

Figure 11

Figure 10F A F Av=

FC F Cv=

FB F Bv=



La figure 12 donne la variation desactions mcaniques exerces sur lediaphragme en fonction de la coursede la bute dembrayage.Q.8 - a) En comparant le grapheobtenu la question 6 celui de donn sur la figure 12, conclure quant lintrt dutiliser un diaphragme. b) partir des graphes de la figure 12et en reprenant le trac de la figure11, reprsenter sur trois schmas cor-respondant aux trois abscisses (0 ;1,2 ; et 4 mm) de la bute les vecteursreprsentatifs des actions , et

.c) En analysant lvolution de enfonction de la course de la bute, jus-tifier la ralisation de la liaison cou-vercle- diaphragme donne figure 10et schmatise figure 11.

tude de la centrale de commande Le dplacement de la bute estralis par un vrin hydraulique.Le cas A reprsente la situationen position dbraye et le cas Bla situation en positionembraye. Lhuile sous pression,injecte dans la chambre parlorifice dentre (E), pousse lepiston (P) qui entrane la bute(B) ce qui gnre lenfoncementdu diaphragme.

Lorsque la pression chute, le ressort (R) repousse le piston et la bute recule. Lhuile est achemine depuis la centrale de commande (26) (voir figure 2) parune conduite adapte repre (28). Au sein de la centrale, dtaille sur la figure 13, lhuile est mise sous pressiondans la chambre gre par la position du piston (4), entran par la tige de pous-se (3), elle mme actionne par le servo moteur (M).

-1 0 1 2 3 4 5

3 000

2 000

1 000

-1 000

FA

-FC

FB

F0

N

mm

Figure 12

FB

F A FCFB

FC

P

BR



Le servomoteur est mis sous tension lorsque le calculateur en donne lordre. Lavis sans fin (1), solidaire de larbre du moteur (M), transmet le mouvement laroue (2). Cette dernire actionne la tige de pousse (3) par lintermdiaire delarbre excentrique. Cette manoeuvre est assiste par laction du ressort (5). Lecapteur inductif (7) dtecte la position de la tige de pousse.

Un modle de la centrale de commande est reprsent figure 14.

On donne : ; ; ; ; ; ; et on note la normale au plan tangent commun en

I au filet de la vis et la dent de la roue.

Q.9 - Dterminer la vitesse de glissement en entre la vis et laroue . En dduire le rapport des vitesses angulaires en fonction desrayons primitifs r et R et de l'angle d'hlice de la roue.

xr

yr

I

O2

O11

2

AB

34 5

0

1

nr

1xr

yr

I

2

1xr

xr

zr

1

2

I

F

vue suivant F

01

2

6

73 5

M

4Figure 13

Figure 14 Figure 15

O1I r= O2I R= O2 A R 2= AB 4 5R,= 1 0( ) 1x=

2 0( ) 2z= 0 0 n

V I 1 2,( ) I 12 2 1



On note le facteur de frottement entre la roue et la vis et la composantenormale (selon ) de l'action de la roue sur la vis.Q.10 - a) Dans le cas o , reprsenter graphiquement dans le plan

la vitesse de glissement . Exprimer l'action exercepar la roue 2 sur la vis 1 en fonction de , , et dans la base b) Exprimer le moment, , en de laction en projection sur .c) Exprimer le moment, , en de laction en projection sur .e) Montrer que lexpression du rendement, lorsque la roue 2 est motrice, peutse mettre sous la forme :

.

On convient ici de qualifier de rversible un systme roue et vis sans fin qui peutfonctionner indiffremment avec la roue ou la vis motrice. Dans le cas contraireil sera dit irrversible.f) partir de lexpression de prcdente, dterminer la condition portant sur

pour que le mouvement puisse se produire.g) En retenant et , dterminer l'angle d'hlice maximumpour que le systme soit irrversible. Dans la suite du problme, on retient .Compte-tenu des dimensions respectives de et , on fait l'hypothse quela bielle 3 reste horizontale.

On note le dplacement du pis-ton 4 tel que, pour , .

On note la composante sui-vant de l'effort exerc par lefluide sur le piston 4 et , la com-posante suivant de laction duressort 5, de raideur , sur labielle. Les graphes de la figure 16 don-

nent lallure de lvolution de ces composantes.Q.11 - Caractriser la fonction technique assure par le ressort (5) lors dechacune des quatre phases : dbrayage, dbraye, embrayage et embraye.

Q.12 - Conclure quant la pertinence de limplantation au sein du dispositif, duressort (5) dune part et du systme irrversible dautre part.

f 2 N21n

1 0>I ; z x,( ) V I 1 2,( ) I 2 1( )

N21 f 2 x y z,,( )

Cr O1 I 2 1( ) x

Cm O2 I 2 1( ) z

Cr1Cm2---------------

f 2 cossincos f 2 sin+coscos( )tan

-----------------------------------------------------------------= =

f 2

f 2 0 15,= 20=

8=

AB O2 A

20 15 10 5xpmm

0

F p

Figure 16

300

FR

Nxp

0= xp 0=

F p xp( )x

FRx

k



Loi de pilotage Lors dun changement de rapport des vitesses, la mise en position de la butedembrayage par rapport aux points dappui du diaphragme est ralise aumoyen dun asservissement. La chane de motorisation associe cet asservis-sement peut tre reprsente dun point de vue fonctionnel par le schma :

Lors dune opration de dbrayage, le dplacement de la bute dembrayage estde 5 mm et le cahier des charges auquel doit satisfaire lasservissement est lesuivant: temps dtablissement infrieur ; positionnement de la bute sans dpassement par rapport la position de

consigne et avec une vitesse daccostage nulle en vue de limiter les bruitsacoustiques et les efforts mcaniques ;

cart statique nul vis--vis dune position de consigne constante.En vue de faciliter ltude, on adopte les hypothses simplificatrices suivantes : la vitesse de glissement est nglige dans le rducteur roue et vis sans fin ; les efforts de frottement visqueux et en particulier ceux dus lamplificateur

hydraulique sont ngligs lors de la phase de synthse des rgulateurs ; la relation entre les vitesses de rotation du moteur et de dplacement de la

bute est une loi proportionnelle avec un facteur de rduction constant ;

le rendement de la chane de transmission est suppos idal, soit ; les moments dinertie axiaux de la vis et de la roue sont ngligs et toutes les

masses en translation sont ramenes sur laxe de la bute. Compte-tenu desdiffrents facteurs de transmission, on adopte et . et reprsentent respectivement la masse de la bute seule et la massequivalente (masse de la bute et la contribution des inerties en rotation)ramene sur laxe de la bute ;

leffort dembrayage est parfaitement compens ; la valeur maximale du couple que peut fournir le moteur est note .La chane de motorisation du dplacement de la bute peut alors tre reprsen-te fonctionnellement par le schma suivant :

Moteurlectrique

Rducteur roue et vissans fin

Transmissionbielle-manivelle

Amplificateur

hydrauliqueBute

18 ms

Nr 408 rad m=

1=

Mb 1 kg= Me 2 kg= MbMe

Cmax



On se propose deffectuer la synthse des lois de commande de la boucle dasser-vissement de la position de la bute dembrayage une position de consigne eten particulier le calcul des rgulateurs associs.

Gnration de la trajectoire idale de la bute

Le but de cette tude est de dterminer, partir des caractristiques du moteur,la loi de dplacement idale de la bute qui permet dobtenir le temps de rponsele plus faible possible.

En retenant les hypothses simplificatrices prcdentes, on considre que lemoteur ne doit fournir que les efforts ncessaires au dplacement des masses enmouvement de translation. On admet alors que le temps de rponse sera mini-mal en imposant la bute une commande en effort dcompose en troisphases :

o dsigne la valeur maximale de laction que la chane de motorisationexerce sur la bute, est linstant de commutation entre les phases dacclra-tion-dclration notes 1 et 2 dans les relations prcdentes et est le tempsdaccostage sur la position finale dsire.

Q.13 -

Compte tenu des diffrentes masses et du couple maximal que le moteurpeut dlivrer, exprimer leffort maximal qui peut tre impos la butedembrayage et en dduire lacclration maximale disponible sur la bute.Calculer cette grandeur en adoptant :

; ; .

Q.14 -

Dterminer en fonction de , linstant de commutation permettantdarriver sur la position finale dsire avec une vitesse daccostage nulle.Vrifier que le temps ncessaire pour parcourir la distance permettant depasser en position dbraye, soit pour , satisfait le cahier des chargesnonc.

Moteur courant continu

Transmissionbielle/manivelle+rducteur(facteur de rduction Nr )

Bute et autres massesen translation

masse quivalente Me

m t( ) vb t( )

. F Fmax=

. F F max=

. 0

0 t tc

tc t t0

t t0>

Phase 1

Phase 2

Phase 3

Fmaxtc

t0

Fmaxmax

Cmax 0 5 N m,= Me 2 kg= Nr 408 rad m=

t0 tcxf

t0xf 5 mm=



Q.15 - En supposant que les trois phases de la loi de commande en force dcriteprcdemment sont parfaitement ralises, donner les relations temporellesdcrivant lvolution de la loi de dplacement idale de la bute et tracerlallure temporelle de cette volution. Cette loi de dplacement constituera parla suite la fonction de base permettant de construire la consigne delasservissement de la position de la bute dembrayage.

tude de lasservissement de position de la bute du disque dembrayageCet asservissement est organis autour dune architecture deux bouclesimbriques : dune part, sur la vitesse de dplacement de la bute dembrayage

, o dsigne un rgulateur de type propor-tionnel-intgral, , et dsignent respectivement lestransformes de Laplace de la consigne de vitesse issue du correcteur de laboucle de position, de la mesure de vitesse de la bute et de la tension fournie lamplificateur de puissance alimentant le moteur ;

dautre part, sur la position de la bute dembrayage o dsigne le rgulateur de la boucle,

et dsignent respectivement les transformes de Laplace delimage en volts de la consigne de position et de la mesure de position de labute dembrayage.

Cahier des charges impos

Dans le cas dun systme boucl convenablement amorti, on pourra utiliser, sansaucune justification, la relation : o dsigne la pulsation de coupure en boucle ouverte et le temps dtablissement en boucle ferme vis--vis dun chelon de consigne :

, temps du 1er maximum si le dpassement est suprieur 5%,

, temps de rponse 5% si le dpassement est infrieur 5%.

Boucle de position Boucle de vitesse

Temps dtablissement en boucle ferme vis--vis dun chelon de consigne : Marge de phase

Temps dtablissement en boucle fer-me vis--vis dun chelon de consigne : Marge de phase

xb t( )

Va p( ) R2 p( ) Vc p( ) Vm p( )( )= R2Vc p( ) Vm p( ) Va p( )

Vc p( ) R1 p( ) Xc p( ) Xm p( )( )= R1 p( )

Xc p( ) Xm p( )

te1 15 ms

1 60

te2 3 ms

2 60

cte 3= c0 dB te

te tm= D

te tr= D



Le schma bloc de lasservissement de position de la bute dembrayage estreprsent sur la figure 17. On adopte le mm comme unit de position linaire. On remarque : que par souci de simplicit des calculs, la chane de transmission du mouve-

ment du moteur vers la bute a t reprsente comme un seul bloc de fac-teur de rduction global constant not ;

que la tension dalimentation du moteur est fournie au moyen dun amplifi-cateur de puissance de gain ;

quen vue de raliser le pilotage de lembrayage, on dispose de capteurs deposition et de vitesse de la bute dembrayage de gains respectifs et ;

que dsigne la transforme de Laplace dun ventuel couple rsistantmodlis comme une grandeur externe intervenant dans le comportement dumoteur.

On adopte sans justification les fonctions de transfert suivantes :

o , , , et dsignent respectivement le gain en vitesse, les constan-tes de temps mcanique et lectrique, la rsistance dinduit et la constante decouple du moteur. On retient pour la suite les valeurs numriques suivantes :

; ; ; ;

, et Nr = 408 rad.m-1

Nr

G0

Gx GvCr p( )

R1 p( ) R2 p( ) G0

H2 p( )

H1 p( )1

Nr-------

Xc p( )+Vc p( )+ Va p( )

U p( )+

p( ) Vb p( ) X p( )

Cr p( )

G

Gx

1000p

------------

Xm p( )

__

Figure 17

H1 p( )Kv

1 m p+( ) 1 e p+( )-------------------------------------------------

21

1 102 p+( ) 1 5 10 4 p+( )

-------------------------------------------------------------------= =

H2 p( )RKc------- 1

LR---- p+

RKc------- 1 e p+( ) 40 1 5 10

4 p+( )= = =

K m e R Kc

K 21 rad s1 V 1= m 10 ms= e 0 5 ms,= G0 10=

Gx 2 V mm1

= G 10 V m1 s =



Rglage de la boucle de vitesseOn sintresse dans un premier temps la boucle de vitesse o le rgulateur estdu type proportionnel-intgral (P.I.) de fonction de transfert :

o dsigne le terme daction proportionnelle et le terme daction intgrale.Lorsque le rgulateur est correctement rgl, on admettra quen premireapproximation le temps dannulation de leffet dune perturbation en chelon estdirectement proportionnel au temps daction intgrale .Q.16 - Prciser la valeur de la pulsation de coupure en boucle ouverte quipermet de satisfaire le temps de rponse en boucle ferme. Exprimer et calculerla valeur donner au terme daction intgrale permettant deminimiser le temps dannulation de leffet dune ventuelle perturbation decouple et compatible avec le cahier des charges de la boucle de vitesse. Pour cettevaleur de , calculer le gain associ. Les diagrammes de Bode, module et phase, de la fonction de transfert de la bou-cle de vitesse ferme et corrige retenus pour la suite deltude sont donns sur la figure 18.

R2 p( )

R2 p( ) K2 11

Ti p----------+

=

K2 Ti

Ti0 dB

Ti Timin=

Timin K2

Fv p( ) Vb p( ) Vc p( )=



.

Mod

ule

(dB)

102

103

104

-55

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

Pulsation

Figure 18

(rad/s)

102

103

104

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

(rad/s)Pulsation

(degrs)

Ph

ase



Q.17 - En justifiant votre dmarche, proposer un modle paramtrique pour lafonction de transfert avec un ordre de grandeur des valeursnumriques des diffrents paramtres du modle.

On utilisera, dans la suite de ltude, la forme paramtrique de dfinieprcdemment. La connaissance des valeurs numriques des paramtres associsnest pas indispensable laboutissement des calculs.

Rglage de la boucle de position

Q.18 - En prenant un correcteur proportionnel , dterminer lavaleur numrique du gain permettant dassurer la marge de phase souhaite.Q.19 - La boucle de position tant corrige avec le rgulateur proportionnelcalcul la question 18, dterminer la pulsation de coupure en boucleouverte et vrifier que le temps dtablissement souhait dans le cahier descharges est assur.

Amlioration de la loi de commande

Q.20 - En supposant que la loi de dplacement de la bute dembrayagedtermine la question 15 est parfaitement assure, prciser la relationexistant entre cette loi et la consigne que lon doit imposer lasservissement.Q.21 - La boucle de position tant corrige avec le gain dterminprcdemment, calculer littralement lcart en rgime permanent

lorsque la consigne dentre est une parabole o dsignelchelon de Heaviside. Effectuer lapplication numrique. Q.22 - On complte alors la loi de commande de la boucle externe suivantlexpression :

o est un gain rel.

En utilisant cette nouvelle loi de commande, dterminer lcart en rgime per-manent lorsque la consigne dentre est une parabole

o dsigne lchelon de Heaviside et dterminer lavaleur numrique de et la relation que doit vrifier (expression littraleuniquement) permettant dassurer un cart statique infrieur une valeurarbitraire .

F p( ) Vb p( ) Vc p( )=

F p( )

R1 p( ) K1=

0 dB

xb t( )

xc t( )

K1

xc t( ) xm t( )( )t lim

xc t( ) cmaxt2 t( )= t( )

vc t( ) K1 xc t( ) xm t( )( ) dxc t( )

dt----------------+=

s xc t( ) xm t( )( )t lim=

xc t( ) cmaxt2 t( )= t( )

K1s

max



Analyser et commenter brivement cette nouvelle structure de commande com-parativement aux objectifs souhaits. (Afin dviter des calculs fastidieux, il estconseill dutiliser judicieusement le principe de superposition).

tude du comportement vis--vis des perturbations de couple rsistantLa compensation de leffort dembrayage ntant pas parfaite, on sintressemaintenant ltude du comportement de lasservissement vis--vis des pertur-bations de couple rsistant rsiduel. Dans cette phase de ltude, on supposeraque ces perturbations peuvent tre modlises par un signal externe in-dpendant de la position de la bute dembrayage.Q.23 - Montrer que la boucle dasservissement de la position peut se ramener une boucle unique dcrite par la relation :

o est la fonction de transfert du procd, dsigne la fonction detransfert dun rgulateur unique et une fonction de transfert applique surla consigne . (Il est vivement conseill de traiter cette question en utilisantles transformations du schma bloc reprsent sur la figure 17).tablir le schma bloc associ la relation prcdente et donner les expressionslittrales des fonctions , et .Pour la suite, on prendra :

et

.

Q.24 - Exprimer la fonction de transfert vis--vis des perturbations :

en fonction des diffrentes transmittances de la boucle tablie la question 23.En expliquant votre dmarche, montrer que le module de la rponse fr-quentielle de cette fonction de transfert peut tre approch par la relationsuivante :

.

Q.25 - En vous limitant au diagramme asymptotique dans le plan de Bode,tracer le module associ la fonction . On utiliseraobligatoirement le document rponse fourni en annexe, joindre la copie, etcomportant le trac asymptotique de .

Cr p( )

X p( ) R p( ) M p( ) Xc p( ) X p( )( ) H2 p( )Cr p( )[ ]H p(=

H p( ) R p( )M p( )

Xc

H p( ) R p( ) M p( )

H p( ) 50

p 1 10 2 p+( ) 1 5 10 4 p+( )-----------------------------------------------------------------------= H2 p( ) 40 1 5 10

4 p+( )=

R p( )8000 1 p

400---------+

1 p100---------+

p------------------------------------------------------------=

p( )

p( ) X p( )Cr p( )---------------=

j( )

j( ) min H2 j( )H j( ) ; H2 j( )R j( )

--------------------=

H2 j( ) R j( ) H2 p( ) R p( )

H2 j( ) H j( )



En utilisant la relation approche de la Q.24, en dduire le trac asymptotiquede et le reprsenter galement sur le document rponse.Q.26 - En analysant les brisures du trac asymptotique de et ensupposant que le systme boucl est stable, dduire les ples et les zros de . partir de cette carte des ples et zros, proposer, en expliquant votredmarche, une expression approche de . Q.27 - partir de la relation approche de , obtenue la Q.26.a) Dterminer la rponse un chelon de perturbation o dsigne lchelon de Heaviside et lamplitude.b) Tracer lallure de lvolution temporelle de la position de la bute.c) En rfrence des fonctions ou des caractristiques connues, donner unordre de grandeur du temps de rponse vis--vis dune perturbation en chelondu couple rsistant.

FIN

j( )

j( ) p( )

p( )

p( )

Cr t( ) Cr0 t( )= t( )Cr0



Annexe

Pu

lsat

ion

sR

ad/s

Embrayage automatique pilot de la Mercedes classe ALe contexteQ.1- Tracer le diagramme partiel des interacteurs de la phase de dbrayage et caractriser la f...Q.2- Complter les diagrammes partiels FAST du systme classe A bauchs ci-dessous, en prci...

tude de la phase dembrayageQ.3- a) Exprimer le temps ncessaire larbre dentre de la bote de vitesses pour passer de ...

tude de la phase de transmission du coupleQ.4- Exprimer les composantes du torseur modlisant globalement les actions exerces par le pla...Q.5- Aprs avoir prcis le degr de mobilit ncessaire cette liaison, proposer le schma ...

tude de la phase de dbrayageQ.6- a) Calculer la valeur de K.Q.7- Prciser, en retraant sur la feuille de copie le graphe de la figure 9, les points reprs...Q.8- a) En comparant le graphe obtenu la question 6 celui de donn sur la figure 12, conclu...

tude de la centrale de commandeQ.9- Dterminer la vitesse de glissement en entre la vis et la roue. En dduire le rapport des...Q.10- a) Dans le cas o , reprsenter graphiquement dans le plan la vitesse de glissement . Exp...Q.11- Caractriser la fonction technique assure par le ressort (5) lors de chacune des quatre ...Q.12- Conclure quant la pertinence de limplantation au sein du dispositif, du ressort (5) d...

Loi de pilotageGnration de la trajectoire idale de la buteQ.13- Compte tenu des diffrentes masses et du couple maximal que le moteur peut dlivrer, expr...Q.14- Dterminer en fonction de , linstant de commutation permettant darriver sur la position...Q.15- En supposant que les trois phases de la loi de commande en force dcrite prcdemment son...

tude de lasservissement de position de la bute du disque dembrayageCahier des charges imposRglage de la boucle de vitesseQ.16- Prciser la valeur de la pulsation de coupure en boucle ouverte qui permet de satisfair...Q.17- En justifiant votre dmarche, proposer un modle paramtrique pour la fonction de transfe...On utilisera, dans la suite de ltude, la forme paramtrique de dfinie prcdemment. La connais...

Rglage de la boucle de positionQ.18- En prenant un correcteur proportionnel , dterminer la valeur numrique du gain permettan...Q.19- La boucle de position tant corrige avec le rgulateur proportionnel calcul la questi...

Amlioration de la loi de commandeQ.20- En supposant que la loi de dplacement de la bute dembrayage dtermine la question 1...Q.21- La boucle de position tant corrige avec le gain dtermin prcdemment, calculer littr...Q.22- On complte alors la loi de commande de la boucle externe suivant lexpression :

tude du comportement vis--vis des perturbations de couple rsistantQ.23- Montrer que la boucle dasservissement de la position peut se ramener une boucle unique...Q.24- Exprimer la fonction de transfert vis--vis des perturbations:Q.25- En vous limitant au diagramme asymptotique dans le plan de Bode, tracer le module associ...Q.26- En analysant les brisures du trac asymptotique de et en supposant que le systme boucl ...Q.27- partir de la relation approche de , obtenue la Q.26.

centrale 2002 si psi

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