quadripoles - parametres chaine

EL202B - Les paramètres chaîne - 08/02/05

Les paramètres chaîne

Sommaire1 - Définition..................................................................................................................................... p 22 - Signification des paramètres........................................................................................................ p 33 - Détermination expérimentale....................................................................................................... p 4

3.1 - Sortie en circuit ouvert......................................................................................................... p 43.2 - Sortie en court circuit........................................................................................................... p 4

4 - Représentation des quadripôles....................................................................................................p 75 - Cas des quadripôles passifs réciproques...................................................................................... p 86 - Cas des quadripôles passifs, réciproques et symétriques........................................................... p 107 - Impédance d'entrée..................................................................................................................... p 118 - Impédance de sortie....................................................................................................................p 129 - Impédances itératives (caractéristiques).....................................................................................p 1310 - Impédances images...................................................................................................................p 1511 - Gains en tension....................................................................................................................... p 1612 - Gains en courant.......................................................................................................................p 1713 - Association de quadripôles.......................................................................................................p 18

Table des figuresFigure 1 - Conventions...................................................................................................................... p 2Figure 2 - Mesure des paramètres A et C.......................................................................................... p 4Figure 3 - Mesure des paramètres B et D.......................................................................................... p 4Figure 4 - Modèle équivalent du quadripôle......................................................................................p 7Figure 5 - Réciprocité: première étape.............................................................................................. p 8Figure 6 - Réciprocité: deuxième étape............................................................................................. p 9Figure 7 - Quadripôle alimenté (à son entrée) et chargé..................................................................p 11Figure 8 - Quadripôle alimenté (à sa sortie) et chargé.....................................................................p 12Figure 9 - Impédance itérative à l'entrée..........................................................................................p 13Figure 10 - Impédance itérative à la sortie...................................................................................... p 13Figure 11 - Cascade de quadripôles.................................................................................................p 14Figure 12 - Impédances images....................................................................................................... p 15Figure 13 - Gain en tension............................................................................................................. p 16Figure 14 - Gain en courant............................................................................................................. p 17Figure 15 - Association de quadripôles........................................................................................... p 18

D. Courivaud Groupe ESIEE Paris 1/17


1 - Définition Les conventions retenues sont les suivantes:

Les paramètres chaîne sont définis de la façon suivante:


Equation 1

Figure 1 - Conventions


2 - Signification des paramètres D'après l'équation 1, on peut en déduire:

C'est le gain en tension inverse lorsque la sortie du quadripôle est en circuit ouvert (I2=0).

C'est l'opposé de l'impédance de transfert inverse lorsque la sortie du quadripôle est en court circuit(V2=0).

C'est l'admittance de transfert inverse lorsque la sortie du quadripôle est en circuit ouvert (I2=0).

C'est l'opposé du gain en courant inverse lorsque la sortie du quadripôle est en court circuit (V2=0).


Equation 3

Equation 2

Equation 4

Equation 5


3 - Détermination expérimentale

3.1 - Sortie en circuit ouvert

3.2 - Sortie en court circuit


Equation7

Equation 6

Figure 2 - Mesure des paramètres A et C

Figure 3 - Mesure des paramètres B et D

Equation 8



Equation9


4 - Représentation des quadripôles De l'équation 1 qui définit les paramètres chaîne, on peut extraire:

L'inversion de la relation matricielle correspondante conduit à:

ce qui permet d'exprimer la tension V2 sous la forme:

Le schéma équivalent s'en déduit:


Equation 10

Equation 11

Equation 12

Figure 4 - Modèle équivalent du quadripôle


5 - Cas des quadripôles passifs réciproques Dans le cas général, les 4 paramètres chaîne sont indépendants. Les quadripôles passifs necomportant ni sources commandées, ni matériau « éxotique » (tels que les ferrites) satisfont authéorème de réciprocité qui impose une relation supplémentaire entre les 4 paramètresindépendants.

Considérons le schéma de la figure 5:

Les équations générales qui régissent le comportement électrique du quadripôle sont:

Dans le cas particuler qui nous intéresse:

d'où on tire:

Le théorème de réciprocité stipule qu'une source de tension identique, placée à l'entrée conduira àun courant I2 égal au courant I1 obtenu lorsque la source de tension est placée à la sortie.


Equation 15

Equation 13

Equation 14

Figure 5 - Réciprocité: première étape


Ici:

ce qui conduit à:

L'égalité des deux courants conduit à la relation de réciprocité exprimée à partir des paramètreschaîne:

Un quadripôle passif réciproque est donc caractérisé par 3 paramètres indépendants.


Equation 16

Equation 17

Equation 18

Figure 6 - Réciprocité: deuxième étape


6 - Cas des quadripôles passifs, réciproques et symétriques Le comportement électrique d'un quadripôle symétrique est invariant par permutation des accès. Lasymétrie électrique s'accompagne d'une symétrie topologique

Le quadripôle se décrit classiquement par:

Les relations sont conservées si on échange les grandeurs d'entrée et de sortie:

ou encore

Les équations 20 et 21 conduisent à:

Par identification avec la matrice unité, il vient:

Il s'en suit qu'un quadripôle symétrique est réciproque. L'inverse n'est pas toujours vrai.


Equation 21

Equation 22

Equation 19

Equation 20

Equation 23


7 - Impédance d'entrée On considère un quadripôle quelconque, alimenté à son entrée par un générateur d'impédanceinterne ZS et chargé à sa sortie par une impédance ZL:

Les équations qui régissent le comportement électrique de ce circuit sont celles du quadripôle:

et celle de la charge ZL qui impose le rapport tension courant à la sortie:

On en tire:


Equation 25

Equation 26

Equation 24

Figure 7 - Quadripôle alimenté (à son entrée) et chargé


8 - Impédance de sortie On considère maintenant ce même quadripôle , alimenté à sa sortie par un générateur d'impédanceinterne ZS et chargé à son entrée par une impédance ZL:

Les équations qui régissent le comportement électrique de ce circuit sont celles du quadripôle:

et celle de la charge ZL qui impose le rapport tension courant à l'entrée:

On en tire:


Equation 27

Equation 28

Equation 29

Figure 8 - Quadripôle alimenté (à sa sortie) et chargé


9 - Impédances itératives (caractéristiques) L'impédance itérative à l'entrée d'un quadripôle est l'impédance d'entrée obtenue lorsque lequadripôle est chargé par cette même impédance itérative.

L'équation qui régit le comportement du électrique du schéma de la figure 9 s'écrit:

En prenant soin de choisir la solution à partie réelle positive, qui garantit que le quadripôle estphysiquement réalisable, la résolution de cette équation conduit à:

On peut également définir la notion d'impédance itérative à la sortie du quadripôle.

Elle vaut:


Equation 30

Equation 31

Figure 9 - Impédance itérative à l'entrée

Figure 10 - Impédance itérative à la sortie


L'intérêt de l'utilisation des impédances itératives est de simplifier considérablement l'analyse d'unechaîne de quadripôles identiques.

Chaque quadripôle élémentaire se retrouve dans la même situation électrique. Ceci est exploité enparticulier pour l'analyse des lignes de transmission.


Equation 32

Figure 11 - Cascade de quadripôles


10 - Impédances images Les impédances images d'un quadripôle sont définies comme indiqué sur la figure 12.

On peut montrer qu'elles s'expriment, en fonction des paramètres chaine, de la façon suivante:

Les impédances images sont essentiellement utilisées dans la théorie du filtrage.


Equation 33

Figure 12 - Impédances images


11 - Gains en tension Le gain en tension du quadripôle est défini par le rapport de la tension de sortie V2 divisée par latension d'entrée V1:

On montre que le gain en tension s'écrit, en fonction des paramètres chaîne, comme suit:

On peut également définir un gain en tension transducique de la façon suivante:

Le gain en tension transducique présente l'intérêt d'être un gain « cascadable », ce qui simplifie lescalculs de gain des chaînes de quadripôles.


Equation34

Equation 36

Equation35

Figure 13 - Gain en tension


12 - Gains en courant Le gain en courant du quadripôle est défini par le rapport du courant de sortie I2 divisé par le courantd'entrée I1:

On montre que le gain en courant s'écrit, en fonction des paramètres chaîne, comme suit:

On peut également définir un gain en courant transducique de la façon suivante:

Le gain en courant transducique présente l'intérêt d'être un gain « cascadable », ce qui simplifie lescalculs de gain des chaînes de quadripôles.


Equation 37

Equation 38

Figure 14 - Gain en courant


13 - Association de quadripôles On considère l'association de deux quadripôles connectés en cascade.

Chacun des quadripôles est caractérisé par:

et

L'association en cascade conduit à:

La matrice chaîne de deux quadripôles en cascade est donc le produit des deux matrices chaîneélémentaires.


Equation 39

Equation 40

Equation 42

Equation 41

Figure 15 - Association de quadripôles

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