poly hyper 08 09sudriaesme.free.fr/arthur 3ème année/hyperfréquences... · 2010. 2. 11. ·...

DEPARTEMENT T.S.T

HYPERFREQUENCES &

COMPOSANTS ASSOCIES

C. JOUSSEMET

Année Scolaire 2008 / 2009

3B

ESME – Sudria Hyperfréquences Département TST et composants associés

C. JOUSSEMET page 2 / 102 Juin 2008

SOMMAIRE

1 INTRODUCTION 6

1.1 MICRO-ONDES ET HYPERFREQUENCES 6 1.2 CLASSEMENT 7 1.3 LE POURQUOI DES HYPERFREQUENCES 7 1.3.1 DIRECTIVITE DES ANTENNES 7 1.3.2 LE BESOIN DE BANDE PASSANTE 8 1.4 L’ABSORPTION ATMOSPHERIQUE. 8 1.5 APPLICATIONS DES HYPERFREQUENCES 9 1.5.1 RADAR : 9 1.5.2 TELECOMMUNICATIONS : 9 1.5.3 LES CONTRE MESURES : 10 1.5.4 ET AUSSI : 10 1.6 SPECIFICITE DES CIRCUITS HYPERFREQUENCES 10

2 THEORIE DES LIGNES – (PROPAGATION MODE TEM) 11

2.1 INTRODUCTION 11 2.2 EQUATIONS DE PROPAGATION 12 2.3 CONSEQUENCES 13 2.4 LIGNES A FAIBLES PERTES 14 2.5 ONDES DE PUISSANCE 14 2.6 COEFFICIENT DE REFLEXION, TOS / ROS 15 2.6.1 COEFFICIENT DE REFLEXION 15 2.6.2 RELATION ENTRE COEFFICIENT DE REFLEXION ET IMPEDANCE (LIGNES SANS PERTE) 16 2.6.3 RAPPORT (OU TAUX) D'ONDE STATIONNAIRE : ROS (OU TOS) 16 2.7 VARIATION DE L'IMPEDANCE LE LONG DE LA LIGNE 18 2.8 ABAQUE DE SMITH 20 2.8.1 COURBES DEFINIES PAR R = CONSTANTE 20 2.8.2 COURBES DEFINIES PAR X = CONSTANTE 22 2.8.3 DIAGRAMME EN ADMITTANCE 23 2.8.4 UTILISATION DE L’ABAQUE DE SMITH 24 2.9 MESURES A LA LIGNE A FENTE 26 2.9.1 DEFINITION 26 2.9.2 MESURES POSSIBLES : 26 2.9.3 MESURE D’UNE IMPEDANCE A LA LIGNE A FENTE : 27 2.10 PRINCIPALES TECHNIQUES D’ADAPTATION 28 2.10.1 DEFINITION 28 2.10.2 ADAPTATION SIMPLE STUB 28 2.10.2.1 Remarques préliminaires : 28 2.10.2.2 Méthode : 29 2.10.2.3 Exemple : 29 2.10.2.4 Variantes : 30 2.10.3 ADAPTATION DOUBLE STUBS 30 2.10.3.1 Considérations préliminaires et analyse 30 2.10.3.2 Mode opératoire 31 2.10.3.3 Limitations liées au dispositif 32 2.10.4 UTILISATION DE TRANSFORMATEURS QUART D’ONDE 32

3 PRINCIPALES LIGNES T.E.M. 34

3.1 LA LIGNE COAXIALE 34 3.1.1 CALCUL DE L’ IMPEDANCE CARACTERISTIQUE 34



3.1.2 MODES SUPERIEURS 35 3.1.3 ATTENUATION 35 3.2 LIGNE TRIPLAQUE 36 3.2.1 MODES SUPERIEURS 36 3.2.2 IMPEDANCE CARACTERISTIQUE 36 3.3 LA LIGNE MICRORUBAN (M ICROSTRIP) 38 3.3.1 MODES ET VITESSES DE PROPAGATION 38 3.3.2 DETERMINATION DE LA LONGUEUR D’ONDE GUIDEE ET DE L’ IMPEDANCE CARACTERISTIQUE 39 3.4 AUTRES TYPE DE LIGNES 40

4 PARAMETRES [S] – MATRICE DE REPARTITION 41

4.1 DEFINITION 41 4.2 REPRESENTATION PHYSIQUE DES PARAMETRES [S] 42 4.2.1 ELEMENTS DIAGONAUX : 42 4.2.2 ELEMENTS NON DIAGONAUX : 42 4.3 PROPRIETES DE LA MATRICE [S] 43 4.3.1 RECIPROCITE 43 4.3.2 RESEAUX SANS PERTE 43 4.3.3 QUADRIPOLES SYMETRIQUES 43 4.3.4 DEPLACEMENT DES PLANS DE REFERENCE 44 4.4 RELATIONS ENTRE LA MATRICE [S] ET LES MATRICES [Z] OU [Y] 44 4.5 MATRICE DE CHAINE ET MATRICE [S] 45 4.5.1 RAPPEL SUR LA MATRICE DE CHAINE 45 4.5.2 RELATION ENTRE MATRICE [S] ET MATRICE DE CHAINE : 46 4.5.3 MATRICES DE CHAINE DE QUADRIPOLES PARTICULIERS 47 4.6 REPRESENTATION DES CHARGES ET GENERATEURS 48 4.6.1 CHARGES 48 4.6.2 GENERATEURS 48

5 APPLICATIONS DES PARAMETRES [S] AUX AMPLIFICATEURS A TRANSISTORS 50

5.1 GENERALITES 50 5.2 EXPRESSIONS DU GAIN 51 5.2.1 DEFINITION 51 5.2.2 COEFFICIENTS DE REFLEXION AUX ACCES DU TRANSISTOR 52 5.2.3 EXPRESSION GENERALE DU GAIN 52 5.2.4 GAIN UNILATERAL 52 5.2.5 GAIN UNILATERAL MAXIMAL 53 5.3 CERCLES A GAIN CONSTANT 53 5.4 NOTIONS DE STABILITE 54 5.4.1 CERCLE DE STABILITE 55 5.4.2 STABILITE INCONDITIONNELLE : FACTEUR K 56 5.5 FACTEUR DE BRUIT ET TEMPERATURE DE BRUIT 56 5.5.1 DEFINITIONS – RAPPELS 56 5.5.1.1 Facteur de bruit 56 5.5.1.2 Température additionnelle de bruit 57 5.5.1.3 Relation entre facteur de bruit et température additionnelle de bruit 57 5.5.2 FACTEUR DE BRUIT D’UN ATTENUATEUR 57 5.5.3 FACTEUR DE BRUIT D’UNE CHAINE DE QUADRIPOLES 58 5.5.4 AMPLIFICATEUR FAIBLE BRUIT 58 5.5.4.1 Facteur de bruit minimum d’un quadripôle 58 5.5.4.2 Cercles à facteur de bruit constant 59 5.6 AMPLIFICATEURS DE PUISSANCE 59 5.6.1 LE COMPOSANT 59 5.6.2 LA CONCEPTION 60 5.6.2.1 Conception par le calcul 61 5.6.2.2 Conception à l’aide de mesures 61



5.6.3 DYNAMIQUE SANS PARASITE 62

6 COUPLEURS DIRECTIFS 64

6.1 PROBLEME 64 6.2 CONSEQUENCES 65 6.3 DEFINITIONS : COUPLAGE ET DIRECTIVITE 65 6.4 LES COUPLEURS SUR GUIDE D’ONDE 66 6.4.1 LES GUIDES ACCOLES SUR LE PETIT COTE 66 6.4.2 GUIDES ACCOLES PAR LE GRAND COTE 67 6.4.3 COUPLEURS EN CROIX 67 6.4.4 UN CAS PARTICULIER : LE TE MAGIQUE 68 6.5 COUPLEURS A LIGNES COUPLEES 68 6.6 LES COUPLEURS 3 DB EN ANNEAUX 69 6.6.1 ANNEAU 4 λ/4 69 6.6.2 ANNEAU 6 λ/4 70 6.7 APPLICATIONS DES COUPLEURS DIRECTIFS 71 6.7.1 METROLOGIE ET TEST 71 6.7.2 DISTRIBUTION DE PUISSANCE 71 6.7.3 FONCTIONS AVEC UN COUPLEUR 3DB A SORTIES EN QUADRATURE 71 6.7.3.1 Résultats préliminaires 71 6.7.3.2 Applications 72 6.7.4 ETAGES EQUILIBRES 72

7 COMPOSANTS HYPERFREQUENCES ET FONCTIONS ASSOCIEES 73

7.1 INTRODUCTION 73 7.2 LES FONCTIONS DE CONTROLE 73 7.2.1 LA DIODE PIN 73 7.2.2 INTERRUPTEURS 75 7.2.3 COMMUTATEURS 75 7.2.4 LIMITEURS 76 7.2.5 LES FONCTIONS D’ATTENUATIONS 77 7.2.5.1 Cellules résistives 77 7.2.5.2 Coupleurs 3 dB et dipôles réflectifs : 78 7.2.5.3 Coupleurs 3 dB et diodes PIN en transmission 78 7.2.6 DEPHASEURS DIGITAUX 79 7.2.6.1 Cellules de déphasage à commutation de lignes 79 7.2.6.2 Cellules de déphasage à coupleurs 3 dB 80 7.2.6.3 Cellules de déphasage à perturbation 80 7.2.6.4 Déphaseurs complets 81 7.2.6.5 Déphaseurs vectoriels 82 7.2.7 DEPHASEURS ANALOGIQUES 82 7.3 LES FONCTIONS DE CONVERSION DE FREQUENCES 83 7.3.1 LA DIODE SCHOTTKY 83 7.3.2 LE DETECTEUR QUADRATIQUE 83 7.3.3 LES MELANGEURS 85 7.3.3.1 Fonction 85 7.3.3.2 Principe 85 7.3.3.3 Mélangeur simple 85 7.3.3.4 Mélangeur symétrique 86 7.3.3.5 Pertes de conversion et facteur de bruit 87 7.3.3.6 Le détecteur amplitude – phase (DAP) 87 7.3.3.7 Mélangeur à élimination de fréquence image (EFI) 87 7.3.4 LES TRANSPOSEURS 88 7.3.4.1 Transposeur bi bande : 89 7.3.4.2 Transposeur à Bande Latérale Unique (BLU) 89 7.4 LES OSCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS A DIODES 90



7.4.1 GENERALITES SUR LES OSCILLATEURS 90 7.4.1.1 L’Oscillateur de Van der Pol 90 7.4.1.2 Bruit d’un oscillateur – Notion de spectre 93 7.4.1.3 Pushing d’un oscillateur 97 7.4.1.4 Pulling d’un oscillateur 97 7.4.2 OSCILLATEURS A DIODE GUNN 97 7.4.2.1 La diode Gunn 97 7.4.2.2 Caractéristiques principales des Oscillateurs à diodes Gunn 98 7.4.3 OSCILLATEURS A DIODE AVALANCHE 98 7.4.3.1 La diode avalanche ou IMPATT 98 7.4.3.2 Caractéristiques des oscillateurs à diodes IMPATT 100 7.4.4 AMPLIFICATEURS A DIODES 100 7.4.4.1 Amplificateurs à résistance négative 100 7.4.4.2 Oscillateurs synchronisés par injection (ILO) 100 7.4.4.3 Chaîne d’ILOs : 102


C. JOUSSEMET page 6 / 102 Septembre 2001

1 INTRODUCTION

1.1 MICRO-ONDES ET HYPERFREQUENCES

Connu assez récemment du grand public le terme « Micro-ondes » évoque, pour le profane le four du même nom, ou pour les plus initiés, la réception individuelle par satellite qui fait partie de notre quotidien. Ce terme recouvre pourtant des applications professionnelles beaucoup plus vaste pour le futur ingénieur en télécommunications que vous êtes.

Le terme « Micro-ondes » , traduction de l’anglais Microwaves , évoque des longueurs d’onde de l’ordre du micron, alors que jusqu’à ce jour les fréquences utilisées en « Micro-ondes » ou plus précisément en « Hyperfréquences » ont des longueurs d’onde allant de la gamme décimétrique au 1/10ème de millimètre. Conventionnellement les hyperfréquences se situent dans la gamme des 1 à 300 GHz, soit des longueurs d’onde variant de 30 cm à 0.1 mm, bien qu’au Etats Unis on parle encore de Microwaves à partir de 300 MHz.

Dans le spectre électromagnétique, les fréquences inférieures à quelques dizaines de MHz sont partiellement ou totalement réfléchies par les couches ionisées de l’atmosphère (ionosphère). Les hyperfréquences se situent au delà de la fréquence de coupure due à l’ionosphère qu’elles traversent sans trop de perturbations et constitue une grande partie de la fenêtre radio jusqu’à l’infra rouge (IR) lointain.

Fréquences Longueurs d’onde Bandes (1) Bandes (2) 30 à 300 KHz 1 à 10 km Kilométriques « GO »

Ondes 0.3 à 3 MHz 100 à 1000 m Hectométriques « PO » Radioélectriques 3 à 30 MHz 10 à 100 m Décamétriques « OC »

30 à 300 MHz 1 à 10 m Métriques VHF 0.3 à 3 GHz 0.1 à 1 m Décimétriques UHF Hyperfréquences 3 à 30 GHz 1 à 10 cm Centimétriques SHF

30 à 300 GHz 1 à 10 mm Millimétriques EHF Sub millimétriques 0.3 à 3 THz 0.1 à 1 mm Sub millimétriques

Infra rouge 3 à 30 THz 10 à 100 µm IR lointain (IR) 30 à 400 THz 0.8 à 10 µm IR proche

Lumière visible 400 à 800 THz 0.4 à 0.8 µm Ultra violet 10 nm à 0.4 µm Rayons X 10 à 30 pm Rayons γ < 0.1 pm



1.2 CLASSEMENT

Pour la partie des hyperfréquences comprises entre 1 et 100 GHz, les utilisateurs (et en premier lieu les radaristes) ont classifié, pour des raisons réglementaires (allocation de fréquences) ou technologiques (dimensions de guides d’ondes) un certain nombre de sous bandes indiquées dans le tableau ci-après :

Désignation Bande de fréquences Gammes de longueurs d’onde Bande L 1 à 2 GHz 30 à 15 cm Bande S 2 à 4 GHz 15 à 7.5 cm Bande C 4 à 8 GHz 7.5 à 3.75 cm Bande X 8 à 12.4 GHz 3.75 à 2.4 cm Bande Ku 12.4 à 18 GHz 2.4 à 1.67 cm Bande K 18 à 26 GHz 1.67 à 1.15 cm Bande Ka 26 à 40 GHz 1.15 à 0.75 cm Bande Q 40 à 70 GHz 7.5 à 4.29 mm Bande W 70 à 110 GHz 4.29 à 2.73 mm

1.3 LE POURQUOI DES HYPERFREQUENCES

L’utilisation des hyperfréquences est intimement lié au développement du RADAR (RAdio Détection And Ranging) avant et surtout, pendant et après la dernière guerre mondiale (découverte du magnétron en 1920, du klystron en 1935 - Etudes et ouvrages de référence du MIT « Massachusetts Institut of Technology »). Puis vinrent les premières applications dans le domaine des télécommunications civiles et militaires avec le développement des faisceaux hertziens.

1.3.1 Directivité des antennes

L’intérêt des hyperfréquences pour ces applications est lié au fait que l’angle d’ouverture d’une antenne est directement proportionnelle à la longueur d’onde utilisée, et donc inversement proportionnelle à la fréquence.

A dimensions égales plus on monte en fréquence, plus l’antenne est directive, ce qui permet de focaliser l’énergie dans la direction désirée, propriété particulièrement utile en RADAR et faisceaux hertziens.

Gain = ≈ 2πS/λ2 ±20%

θ3dB = 1.25λ/Φ

20 à

30

dB

-5 à –10 λ/Φ -1.6 λ/Φ 0 +1.6 λ/Φ 5 à 10 λ/Φ



Nota : Il faut toutefois garder à l’esprit que si pour une antenne de dimensions données la directivité de l’antenne s’accroît avec la fréquence, l’absorption atmosphérique croît elle aussi mais pas toujours de façon monotone. Nous y reviendrons un peu plus loin.

1.3.2 Le besoin de bande passante

Avec le développement des besoins en communications (téléphones cellulaires, distribution TV multi-chaîne en réseau locaux ou par satellite, développement d’Internet), il est nécessaire de disposer de débits d’information toujours plus importants. Ceux-ci étant proportionnels à la bande passante du canal de communication attribué, les besoins en terme de bande passante ne cessent de croître, ce qui incite à la montée en fréquence pour diminuer la bande passante relative.

Microwave and Millimetrer-wave distribution Systems

System Acronym Frequency extremities (GHz)

Multipoint Microwave Distribution system

Local Multipoint Distribution servuces

Microwave Video distribution system

Multimedia wireless system

MMDS

LMDS

MVDS

MWS

2.1 – 2.7

27.5 – 40

10 – 43

10 – 43.5 Ce sont essentiellement ces deux besoins, antennes directives et nécessité de bandes passantes toujours plus importantes, qui ont fait, et font encore, des hyperfréquences une spécialité très recherchée.

1.4 L’ABSORPTION ATMOSPHERIQUE.

En l’absence de brouillard ou de précipitation l’absorption atmosphérique croît de façon monotone avec la fréquence pour les fréquences inférieures à 15 GHz. Au delà, les ondes radioélectriques interagissent avec les molécules présentes dans l’atmosphère en créant pour certaines fréquences des pics d’absorption liés aux résonances propres à la composition moléculaire des matériaux. On trouve ainsi la 1ère résonance de la vapeur d’eau vers 23 GHZ, puis celles de l’oxygène aux alentours de 60 GHz et de 120 GHz, etc. …Ces résonances forment ainsi des fenêtres de propagation comme par exemple les bandes autour de 94 GHZ et 140 GHz, ou sont au contraire utilisées pour des communications à courte distance où la discrétion est requise (exemple le 60 GHz). Cette absorption dépend aussi de l’altitude, la concentration des molécules gazeuses la constituant y étant liée.

Broadband PCS and third generation mobiles

Total bandwith 30 MHz Cellular phones

Total bandwith 25 MHz

Broadcast TV 6 MHz

SMR 0.25 MHz



La présence de brouillard, ou de précipitations modifie profondément cette absorption, et ceci d’autant plus que les longueurs d’onde utilisées sont courtes.

Brouillard Pluie

1.5 APPLICATIONS DES HYPERFREQUENCES

Derrière les deux grandes applications citées ci-dessus : le radar et les télécommunications se cachent déjà des ensembles d’applications très diverses :

1.5.1 Radar :

• Radars de couverture aérienne (surveillance et circulation), • Radars de trajectographie (champs de tir, stations aérospatiales), • Radars de navigation maritime, • Radars d’interception et de conduite de tir (avion de combat), • Radars d’aide à l’atterrissage, • Radars de cartographie (imagerie tout temps), • Cinémomètres, et contrôle routier, • Radars automobile (contrôle de croisière, anti-collision), • Ouverture automatique de portes, Surveillance de locaux, • Etc….

1.5.2 Télécommunications :

• Faisceaux hertziens, • Télécommunications par satellite (téléphonie mobile, internet, réseau de télévision, …) • Distribution locale, • Etc… Outre ces deux grands domaines il faut aussi citer :



1.5.3 Les contre mesures :

• Contre mesures passives (détection d’alerte), • Contre mesures actives (brouillage, leurrage), • Le renseignement électronique (COMINT, SIGINT)

1.5.4 Et aussi :

• La radioastronomie (rayonnement des étoiles), • La radiométrie (évaluation de caractéristiques physique – ex. : humidité, ressources agricoles,

etc…. • La radionavigation ( VOR : VHF omnidirectionnel range, ILS : Instrument Landing System, MLS :

Microwave Landing System), • La médecine (traitement de tumeurs par hyper thermie micro-onde), • Le chauffage industriel et domestique (four à micro-ondes)

1.6 SPECIFICITE DES CIRCUITS HYPERFREQUENCES

En se plaçant du point de vue du concepteur de circuits hyperfréquences, et en examinant dans les entreprises les segmentations des services et des spécialités, la définition des hyperfréquences uniquement en terme fréquentiels ne paraît pas très satisfaisante, ou tout au moins insuffisante, pour bien cerner ce qui fait la spécificité d’un « concepteur hyper » par rapport à un concepteur analogique en général. En effet, on trouve actuellement dans les laboratoires des concepteurs HF qui travaillent jusque vers les 2 à 3 GHz et qui ne font ni partie d’un laboratoire hyperfréquence, ni qui en utilisent les concepts. A contrario on trouve des concepteurs hyper qui définissent par exemple des circuits de distribution de signaux à 1 GHz en utilisant les principes de propagation des ondes , et les ondes guidées, soient typiquement les outils des « hypermans ».

En fait, ce qui fait la spécificité des circuits hyperfréquences, c’est que ce sont des circuits dont les dimensions géométriques sont notablement plus importantes que la longueur d’onde des signaux qu’ils traitent. Ceci à pour conséquence immédiate le fait que la ligne équipotentielle (le strap) n’existe plus, car l’on est obligé de tenir compte des phénomènes de propagation le long de ces lignes, dites lignes de transmission, et utilisées en hyper comme éléments de circuits au même titre que les résistances, capacités ou inductances..

Personnellement je préfère définir, ou plutôt illustrer, la spécificité des hyperfréquences de la façon suivante :

• Tous les circuits électroniques sont composés de trois, et seulement trois, types de composants passifs (les résistances, les inductances et les capacités) associés aux composants actifs.

• Pour les circuits hyperfréquences, outre les composants actifs (diodes transistors), et les éléments localisés passifs classiques (résistances, inductances, capacités), on a en plus le tronçon de ligne de transmission avec les deux paramètres qui le caractérisent (son impédance caractéristique et sa longueur électrique).

Circuits Electronique classique Circuits hyperfréquences Composants actifs + Composants actifs + R : R : θ=2πl/λ L : L : ET C : C : Zc C’est quand le tronçon de ligne de transmission devient un élément de circuit au même titre que les autres éléments passifs, qu’à mon sens on « fait des hyper ». D’où l’étude dans la suite de ce cours des lignes de transmission, des divers concepts qui s’y rattachent et de leurs technologies, avant d’aborder les composants (au sens semi conducteurs) utilisés en hyperfréquences, et surtout les fonctions associées.



2 THEORIE DES LIGNES – (PROPAGATION MODE TEM)

2.1 INTRODUCTION

L’étude du comportement d’une ligne aux hautes fréquences revient à l’étude de la propagation des tensions et courants (ou plus précisément des champs électriques et magnétiques) le long de cette ligne.

Une méthode rigoureuse est basée sur l’intégration des équations de Maxwell ; c’est à dire sur l’intégration d ‘équations aux dérivées partielles à 4 variables : le temps t et les 3 variables d’espace x, y, z.

La théorie des lignes, qui constitue un cas particulier de la méthode générale, considère les lignes comme des structures unidimensionnelles ; il ne reste donc que 2 variables : le temps t et la variable d’espace z compté le long de la ligne.

Cette méthode est valable lorsque :

Les dimensions transversales de la ligne sont petites par rapport à la longueur d’onde,

Les lignes propagent un mode transverse électromagnétique (TEM), c’est à dire lorsque les champs électrique E et magnétique H sont entièrement contenus dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation.

Une ligne ne peut propager (au sens strict) un mode TEM que si :

elle possède au moins 2 conducteurs disjoints,

ses conducteurs sont immergés dans un même milieu (ε, µ).

Exemples :

ligne bifilaire ligne coaxiale ligne triplaque

→ E

→ H

z

Sens de propagation

→ → E ⊥ H et Ez = Hz = 0

ε , µ

ε , µ

ε0 , µ0



2.2 EQUATIONS DE PROPAGATION

Considérons un générateur (Eg, Zg) relié à une charge (Zt)par l’intermédiaire d’une ligne de transmission :

Les phénomènes de propagation vont se traduire par des variations de tension et de courant le long de cette ligne. Pour traduire ces variations considérons un élément dz de cette ligne, suffisamment petit pour que les phénomènes de propagation soient négligeables. On peut alors appliquer à ce tronçon de ligne dz les lois classiques de l’électricité. Soient respectivement, Rl et Ll la résistance et l’inductance linéique de la ligne , Gl et Cl sa susceptance et sa capacité linéique (à noter que Ll et Cl sont reliées d'après les lois de l'électricité par la relation Ll*Cl = ε*µ), le tronçon dz est alors équivalent au quadripôle suivant :

Ce qui donne en régime harmonique (soit : v(z,t) = v(z)ejωt ) les équations différentielles suivantes :

IjLlRldz

dV)( ω+−= et VjClGl

dz

dI)( ω+−=

soit : VjClGljLlRldz

Vd))((

²

² ωω ++=

dont les solutions générales sont :

ze

rVze

iVzV γγ ++−=)(

][1

)( zer

Vzei

V

cZ

zI γγ +−−=

avec ωω

jClGl

jLlRlc

Z+

+= (impédance caractéristique de la ligne)

et ))(( ωωβαγ jClGljLlRlj ++=+= (constante de propagation)

Zg

Eg

Zt

z

z0 z0 + dz

dz

Rl*dz

Gl*dz

Ll*dz

Cl*dz V(z)

I(z) I(z+dz)

V(z+dz)



Cas particulier des lignes sans perte : Si l'on considère que les pertes sont négligeables (du moins au premier ordre), alors Rl = Gl = 0, et les équations précédentes deviennent :

)()(),( ztjer

Vztjei

VtzV βωβω ++−= (1)

])()([1

),( ztjer

Vztjei

V

cZ

tzI βωβω +−−= (1)

avec Cl

Llc

Z = (impédance caractéristique réelle de la ligne)

et lCLl *ωβ = (constante de propagation)

2.3 CONSEQUENCES

Les expressions ci-dessus montrent que sur la ligne la tension, comme le courant, est la somme de 2 "ondes" d'amplitude constante se propageant en sens inverse et à la même vitesse :

• une onde incidente )( ztjeiV βω −

se propagent vers la charge (z>0)

• une onde réfléchie )( ztjerV βω +

se propagent vers le générateur (z<0)

La vitesse de propagation correspondante est εµβ

ω 1

*

1 ===ClLl

v , soit 1² =vεµ . On retrouve

la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le milieu considéré.

Par ailleurs la constante de propagation β s'exprime aussi comme suit : λππωβ 22 ===

vTv

Pertes non nulles : alors γ = α + jβ, avec α non nul, et les ondes incidente et réfléchie s'atténuent le long de la ligne en e-αz, α constante d'affaiblissement. Impédance caractéristique : Nous venons de voir que l'impédance caractéristique est définie par

l'expression : Cl

LlcZ = (relation homogène à une impédance), ce qui s'écrit aussi :

ClcZ*ν1= , en se rappelant que Ll et Cl sont respectivement l'inductance et la capacité linéiques

de la ligne, définies par les lois de l'électricité, et qu'elles ne dépendent que de ses dimensions physiques. En examinant plus particulièrement la dernière expression, on voit que l'impédance caractéristique d'une ligne est inversement proportionnelle à sa capacité linéique (sa vitesse de propagation étant uniquement liée au milieu (ε, µ), or il est particulièrement facile, au moins qualitativement, d'observer le sens de variation de cette capacité, et donc celui de l'impédance caractéristique : Cl1 , ZC1 Cl2 , Zc2 Cl1 , ZC1 Cl2 , Zc2 Cl1< Cl2 : ZC1 > ZC2 Cl1> Cl2 : ZC1 < ZC2



2.4 LIGNES A FAIBLES PERTES

Nous avons vu (§ 2.2) que la constante de propagation s’écrit :

))(( ωωβαγ jClGljLlRlj ++=+= ,

expression qui se réduit à lCLl *ωβ = si on néglige les pertes.

Dans le cas de faibles pertes, à savoir 1et 1 <<<<ωω Cl

G

Ll

R , on peut écrire en se limitant au 1er

ordre :

+−≅

+

+=+=

ωωω

ωωωβαγ

Cl

G

Ll

RjClLlj

jCl

G

jLl

RClLljj

221*11*

2

1

2

1

.

Ce qui donne pour la constante d’affaiblissement α , en tenant compte de Cl

Llc

Z = , l’expression :

cc Y

Gl

Z

Rl

22+=α , expression dans laquelle le 1er terme

cZ

Rl

2représente les pertes ohmiques, et le

2ème cY

Gl

2les pertes diélectriques.

2.5 ONDES DE PUISSANCE

Les grandeurs physiques telles que les tensions et courants , sont des grandeurs qui ne sont pas (ou peu) utilisées dans le domaine des hyperfréquences. En effet une grandeur n'est réellement utile que si elle peut être mesurée facilement, or comment mesurer la tension et/ou le courant en en point d'une ligne sans la perturber (même si les anciens se rappellent la ligne à fente mais ce n'est guère généralisable, ni très exploitable). Pour cette raison, les concepteurs de circuits hyperfréquences ont remplacé les grandeurs tension et courant, par les "ondes de puissance" en effectuant un changement de variable : V(z,t) et I(z,t) sont ainsi remplacés par a(z,t) et b(z,t) en appliquant les relations suivantes :

c

c

R

IZVa

2

+= et

c

c

R

IZVb

2

*−= avec ccc jXRZ +=

Approximation des lignes sans perte : 0=cX , soit ccc RZZ == * impédance réelle. Il vient alors

:

c

c

R

IRVa

2

+= )( baRV c +=

soient :

c

c

R

IRVb

2

−= )(

1ba

RI

c

−=

En remplaçant V et I par leurs expressions en fonction de z et de t (1), et en laissant le facteur

commun ejωt, il vient : c

zji

R

eVza

β−

=)( et c

zjr

R

eVzb

β

=)( .



Par ailleurs, si on calcule la puissance active dissipée à droite du plan d'abscisse z, il vient : 22*

2

1

2

1)

2

1(réelle partie baVIP −==

Conclusion : En examinant les relations ci-dessus, il apparaît :

• que a et b sont homogènes à des puissance

• a est représentatif de l'onde incidente ( zje β− , vers la charge),

• b de l'onde réfléchie ( zje β+ , vers le générateur)

• 2

2

1a , grandeur indépendante de l'abscisse z, est la puissance transportée par l'onde incidente

• 2

2

1b , grandeur indépendante de l'abscisse z, est la puissance transportée par l'onde réfléchie

• la différence 22

2

1

2

1ba − est la puissance dissipée à droite du plan d'abscisse z, c'est à dire

dans la charge si la ligne est sans perte.

2.6 COEFFICIENT DE REFLEXION, TOS / ROS

2.6.1 Coefficient de réflexion

Par définition le coefficient de réflexion dans le plan z, est le rapport, dans ce plan, de l'onde (de

puissance) incidente sur l'onde (de puissance) réfléchie. Soit : )(

)()(

za

zbz =ρ , ce qui donne :

lzz

i

r eeeV

V

za

zbz γγγ ρρρ 2

02

02

)(

)()( −++ ====

avec ρ0 = coefficient de réflexion dans le plan de la charge (z=l=0), z compté positivement vers la charge, l positivement vers le générateur (cf. figure).

Cas des lignes sans perte : alors γ = jβ (α= 0), ce qui donne ljzj eez ββ ρρρ 20

20)( −+ ==

Le coefficient de réflexion sur une ligne sans perte est un nombre complexe dont le module est constant, et qui tourne en phase avec une fréquence spatiale d'une demi longueur d'onde (λ/2).

ρρ == constante)(z avec (sauf charge active) 01 ≥≥ ρ

Le module du coefficient de réflexion s'exprime aussi en dB, en anglais sous l'appellation "Return Loss", soit ρ(dB) = 20 log(b/a)

Zg

Eg

Zt

z

z

z = 0

l = 0 l

impédance caractéristique : Zc



2.6.2 Relation entre coefficient de réflexion et im pédance (lignes sans perte)

Soient ρ(z) , Z(z),V(z), I(z), a(z) et b(z) respectivement le coefficient de réflexion, l'impédance, la tension et le courant, les ondes de puissances incidente et réfléchie dans le plan d'abscisse z (ou l), ainsi que Zc l'impédance caractéristique réelle de la ligne. Compte tenu des relations déjà mentionnées, il vient :

)(1

)(1*

)(

)(1

)(

)(1

*)()(

)()(*

)(

)()(

z

zZc

za

zbza

zb

Zczbza

zbzaZc

zI

zVzZ

ρρ

−+=

−

+=

−+==

soit : YY

YY

ZZ

ZZ

Z

Zz

c

c

c

c

c +−

=+−

=−+== ρ

ρρ

et 1

1réduite) (impédance

(2) Remarque : On a vu que l'on passe des notions de tension – courant aux notions d'ondes de puissance par un changement de variables. On peut maintenant préciser ce changement : Tension – Courant Ondes de puissances V, I a, b Z = V/I ou Y = I/V ρ = b/a Parler d'impédance ou de coefficient de réflexion c'est la même notion (au changement de variables près).

2.6.3 Rapport (ou Taux) d'onde stationnaire : ROS ( ou TOS)

Regardons comment évoluent les modules de la tension V(z) et du courant I(z) le long d'une ligne : Il vient :

[ ] [ ]zz eeaZczbzaZczV γγ ρ 200 1**)()()( +− +=+=

de même [ ] [ ]zz eeaZc

zbzaZc

zI γγ ρ 200 1**

1)()(

1)( +− −=−=

Soit en négligeant les pertes :

zjzj eaZc

zIeaZczV ββ ρρ 200

200 1

11 ++ −

=+= *)( et )*()(

Le module de V(z) varie donc entre 2 valeurs extrêmes : )1(0min ρ−= VV et )1(0max ρ+= VV , et

la distance qui sépare 2 minima (ou 2 maxima) est égale à une demi longueur d'onde. Il en est de même pour le courant, et à un maximum de courant correspond un minimum de tension et réciproquement.

1

V(z)

I(z)



Le rapport Vmax/Vmin s'appelle : • le ROS : Rapport d'Ondes Stationnaire • ou TOS : Taux d'Ondes Stationnaire (dénomination plus ancienne, moins rigoureuse, mais

toujours largement utilisée par la force de l'habitude). • en anglais : VSWR pour Voltage Standing Wave Ratio

On a donc : ROS / TOS = ρρ

−+

1

1

Caractéristiques ( lignes sans perte) : Ce ROS (ou TOS) : - est (sauf circuits actifs)un nombre réel, positif, toujours supérieur à 1, - indépendant de l'abscisse z (comme le module du coefficient de réflexion), - caractéristique de l'adaptation de la charge à l'impédance caractéristique de la ligne. Ordres de grandeur à retenir : TOS = 1 ρ = 0,adaptation parfaite pas d'onde réfléchie, tout est dissipé dans la charge TOS = 1,2 ρ ≅ 0,1 soit ≅ –20dB 1% de la puissance incidente est réfléchie TOS = 2 ρ = 1/3 soit ≅ –10dB 10% de la puissance incidente est réfléchi

λ/2 λ/2

0

0 , 2

0 , 4

0 , 6

0 , 8

1

1 , 2

1 , 4

1 , 6

1 , 8

2

z ( a b c is s e d e la l i g n e )

Tens ion Courant



2.7 VARIATION DE L'IMPEDANCE LE LONG DE LA LIGNE

Calculons maintenant l'impédance Z(z) dans le plan d'abscisse z (ou l) de la ligne. Compte tenu des expressions [(2) - §2.6.2], il vient :

1

1*

)(1

)(1*)(

20

20

l

l

cce

eZ

l

lZlZ γ

γ

ρρ

ρρ

−

−

−+

=−+= . En remplaçant ρ0 par son expression en fonction de Zt et Zc

,

soit ct

ct

ZZ

ZZ

+−

=0ρ , et en développant, on obtient (en se rappelant que x

x

e

exth γ

γ

γ2

2

1

1−

−

+−=)( )

l'expression suivante :

)(

)(*)(

lthZZ

lthZZZlZ

tc

ctc γ

γ++

=

Soit, dans le cas des lignes sans perte :

)(

)(*)(

ltgjZZ

ltgjZZZlZ

tc

ctc β

β++

=

Le même calcul, fait non plus en impédance mais en admittance Y(l), donne exactement les mêmes expressions, soit pour les lignes sans perte :

)(

)(*)(

ltgjYY

ltgjYYYlY

tc

ctc β

β++

=

Cas particuliers particulièrement intéressants : ligne terminée par un court circuit (Zt = 0) Z(l) = j*Zc*tg(βl) Y(l) = -j*Yc*cotg(βl) ligne en circuit ouvert en sortie (Zt ∞) Z(l) = -j*Zc*cotg(βl) Y(l) = j*Yc*tg(βl) ligne quart d'onde (βl = 2πl/λ avec l = λ/4, soit βl = π/2, et tg(βl) ∞) Zr = Zc²/Zt et Yr =

Yc²/Yt C'est le transformateur quart d'onde :

avec Zr*Zt = Zc² et Yr*Yt = Yc²

Zg

Eg

Zt

z

z

z = 0

l = 0 l

impédance caractéristique : Zc

λ/4

Zt Zr



Remarque :

Revenons à l'expression : lj

lj

c e

e

l

l

Z

lZlz β

β

ρρ

ρρ

20

20

1

1

)(1

)(1)()( −

−

−+

=−+== , et posons θρρ je=0 , il vient

alors :

)2(

)2(

1

1)(

lj

lj

e

elz βθ

βθ

ρρ

−

−

−+

=

Il est aisé de voir que le numérateur est un nombre complexe dont le module est maximum pour θ - 2βl = 2kπ, soit l = l 0 – k*λ/2 avec l0 =(θ/4)λ.

Dans ces plans ce numérateur est réel et égal à (1+ρ), de même le dénominateur est lui aussi

réel, égal à (1-ρ) mais son module est alors minimum. Ces plans correspondent d'ailleurs aux plans ou la tension est maximale et le courant minimal. En conséquence, lorsqu'on se déplace sur la ligne, le module de l'impédance réduite z(l) : passe par des maxima et des minima, dans ces plans l'impédance est réelle,

et elle a respectivement pour valeur : TOS

z1

1

1min =

+−

=ρρ

et TOSz =−+

=ρρ

1

1max



2.8 ABAQUE DE SMITH

L'abaque de Smith est un outil qui permet de résoudre graphiquement l'équation

)(

)(*)(

ltgjZZ

ltgjZZZlZ

tc

ctc β

β++

= ,

et plus généralement de calculer l'impédance ramenée dans un plan d'une ligne de transmission, en fonction de sa charge et des différents autres éléments série ou parallèle rencontrés entre la charge et ce plan. Cet abaque consiste à tracer dans le plan complexe du coefficient de réflexion ρ, les courbes représentatives suivantes : partie réelle de z(l) (impédance réduite dans le plan d'abscisse l) , = constante, partie imaginaire de z(l) = constante, Soit avec z(l) = r(l) + jx(l), les courbes r(l) = constante et x(l) = constante. Pour cela nous utiliserons la transformation conforme, qui au point P du plan complexe des z (r ,x ) fait correspondre le point correspondant M du plan des coefficients de réflexion ρ (u ,v ).

Cette transformation conforme est définie par la relation : jxrjxr

jxr

z

z

++−=

++−+=

+−=

)1(

21

1

1

1

1ρ

2.8.1 Courbes définies par r = constante

Conclusion : La transformée de la droite r = constante est un cercle , son centre est situé sur l’axe des abscisses au point [(r/(r+1),0] et son rayon est égal à 1/(r+1). Ce cercle passe (quelque soit r) par le point (1,0), et est tangent en ce point à la droite verticale définie par la relation r = 1.

x = x1

r = r1

ρ

M

u1

v1 x

P

r r1

x1

Exemple ; Transformée de la droite z =r0 + jx [point P : r0 = 0.5] • (r0+1)+jx translation de vecteur (1,0) : P devient P1 • 2/(( r0+1)+jx) Inversion de centre O, de facteur 2,

suivie d’une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Le point P1 devient P2, et la droite (r0+1)+jx se transforme en un cercle centré sur l’axe des abscisses, tangent en O à l’axe des ordonnées, de centre [(1/( r0+1)),0] et de rayon 1/( r0+1).

• 1-2/(( r0+1)+jx) c’est l’association d’une symétrie par rapport à l’origine O (effet du signe - ) : P2 devient P3, et d’une translation de vecteur (1,0) : P3 devient Q transformé de P par la transformation conforme étudiée. De même le cercle passant par P2 subit les mêmes transformations (symétrie + translation) et l’on obtient le cercle de centre [(r0/( r0+1),0] et de rayon 1/( r0+1).

r = 0 . 5 P

r = 1 . 5

1

P 1

P 2

Q P 3

1 O

ur

v



Cas particuliers : r = 0 : le centre est situé à l’origine O (0,0) et son rayon est égal à 1, ce qui est logique puisque alors ρ=1. r=1 : le centre est situé en (1/2,0), et son rayon est égal à ½, r ∞ : le centre est situé en (1,0), et son rayon est nul, c’est le point (1,0). L’image du demi plan des z tel que r > 0 est entièrement située à l’intérieur du cercle défini par r = 0. Ceci recoupe le fait que pour les circuits passifs (r ≥ 0) on a ρ ≤ 1 Remarque : Pour r>1, le cercle à r = constante coupe l’axe Ou en M, avec par définition OM = ρ.

Soit ρρ

ρ−+

=+−==

1

1 doncet

1

1r

r

rOM , c’est à dire le taux d’ondes stationnaires d’une ligne

d’impédance caractéristique Zc, terminée par la résistance réduite r.= R/Zc

1

r = 0

1> r> 0

r = 1

r> 1

O M u

v



2.8.2 Courbes définies par x = constante

La méthode est la même que pour les courbes à r = constante : Conclusion : La transformée de la droite x = constante est un cercle , son centre Ω a pour abscisse Ωr = 1 quelque soit x, et pour ordonnée Ωx = 1/x ; son rayon est égal à 1/x. Ce cercle passe donc (quelque soit x) par le point (1,0), et est tangent en ce point à l’axe des abscisses. Cas particuliers : x = 0 : le centre est rejeté à l’infini et son rayon est lui même infini, le résultat des transformations successives est l’axe des abscisses lui même. A noter que la droite initiale (x = 0) est l’axe des abscisses, et qu’elle reste inchangée tout au long des transformations décrites ci-dessus. x=1 : le centre est situé en (1,1), et son rayon est égal à 1, x ∞ : (comme pour r ∞) le centre est situé en (1,0), et son rayon est nul, c’est le point (1,0) point correspondant aux impédances infinies. Pour x2 = - x1, le cercle correspondant est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses du cercle correspondant à x1.

Exemple ; Transformée de la droite z =r + jx0 [point P : x0=1.5] • (r+1)+jx0 translation de vecteur (1,0) : P

devient P1, la droite reste inchangée. • 2/((r+1)+jx0) Inversion de centre O, de

facteur 2, suivie d’une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Le point P1 devient P2, et la droite r+jx0 se transforme en un cercle centré sur l’axe des ordonnées, tangent en O à l’axe des abscisses, de centre [0,-1/x0] et de rayon 1/x0.

• 1-2/((r+1)+jx0) c’est l’association d’une symétrie par rapport à l’origine O (effet du signe - ) : P2 devient P3, et d’une translation de vecteur (1,0) : P3 devient Q transformé de P par la transformation conforme étudiée. De même le cercle passant par P2 subit les mêmes transformations (symétrie + translation) et l’on obtient le cercle de centre [1,1/x0] et de rayon 1/x0.

P P 1

P 2

Q P 3

1

1

1

1

r

x

O

Ω



2.8.3 Diagramme en admittance

L’expression du coefficient de réflexion ρ en fonction de l’admittance réduite y = 1/z = Y/Yc = Zc/Z est

donnée par y

y

+−=

1

1ρ , c’est à dire la même expression que pour l’impédance (1

1

+−=

z

zρ ) à un

changement de signe près. Il en résulte donc que le diagramme de Smith en admittance se déduit du diagramme de Smith en impédance par une symétrie par rapport à l’origine O.

Le symétrique du point Z (r+jx) par rapport à O est le point Y = g+jb = 1/(r+jx),

soient ²² xr

rg

+= et

²² xr

xb

+−=

Sur la figure ci-dessus on a pris z = 1+j1, son symétrique par rapport à O est donc y = 1/(1+j1) = 0,5-j0,5.

r= 0

x= 0

1> x> 0

x= 1

x> 1

x= -1

x< -10> x> -1

u

v

O

r= 0

u

v

O

z

y

r=0,5

x= -0,5



2.8.4 Utilisation de l’abaque de Smith

Considérons le point P représentatif de l'impédance réduite 000 jxrz += dans le plan Po.

Déplacement le long de la ligne (considérée sans perte) :

Sur la ligne on a ρ= constante, on se déplace donc sur le cercle de centre O et de rayon OP, dans le sens trigonométrique si le déplacement est vers la charge, et dans le sens inverse vers le générateur. P devient P1.

Adjonction d’un élément en série : (on fait la somme des impédances)

Adjonction d’un élément en parallèle : (on fait la somme des admittances) Changement d’impédance caractéristique de la ligne : On obtient ainsi le point M2 définit par z(M2) = r1*Zc1/Zc2 + jx1*Zc1/Zc2. On peut alors se déplacer de θ2 sur le cercle de rayon OM2 pour obtenir le point final P4.

Zt

Po

z0 = r0 + jx0

z0 = r0 + jx0

z1 = r1 + jx1

Le point P situé au croisement des cercles r = r0 et x = x0 se déplace au point P2 situé au croisement des cercles : r = r0 + r1 et x = x0 + x1

Au point P situé au croisement des cercles r = r0 et x = x0 on fait correspondre le point Q1, symétrique par rapport à O pour passer en admittances. Il se situe au croisement des cercles g = g0 et b = b0. On se déplace alors au point Q2 situé au croisement des cercles g = g0 + g1 et b = b0 + b1. On peut alors repasser en impédance en reprenant le symétrique par rapport à O. In fine P devient P3.

y0 = g0 + jb0 y1 = g1 + jb1

Po

z0 = r0 + jx0 Zc1 Zc2

θ1 θ2

Soit le point P situé au croisement des cercles r = r0 et x = x0 avec r0=R0/Zc1 et x0=X0/Zc1 (normalisation par rapport à Zc1). Le premier déplacement θ1 se fait sur le cercle de rayon OP. On obtient en Po l’impédance normalisée par rapport à Zc1, soit M1 (r1,x1). Il faut alors dénormaliser par rapport à Zc1 et renormaliser par rapport à Zc2.



Exemple : Dans tous les cas on part du point P (r = 0.5 ; x = 0.5). 1- Déplacement de λ/8 vers la charge, soit de 90° dans le sens trigono métrique :

on obtient le point P1 (r = 0.4 ; x = -0.2)

2- Adjonction en série de l’impédance z1 = -j*0.5 : on obtient le point P2 (r = 0.5 ; x = 0) 3- Adjonction en parallèle d’une impédance z = 1 + j , soit une admittance y1 = 1/2 – j/2 : on part du

point P, on prend son symétrique par rapport à O pour passer en admittance, on obtient le point Q1 (g = 1 ; b = -1), ce qui donne après sommation avec y1 le point Q2 (g = 1.5 ; b = -1.5). on revient alors (si besoin) en impédance (symétrie par rapport à O) et on obtient le point P3 (r = 1/3 ; x = 1/3).

4- Changement d’impédance caractéristique , hypothèse : Zc1 = 50 Ω, Zc2 = 25 Ω, θ1 = θ2 = 45° (soit l1=l2=λ/8). On part donc du point P, le premier déplacement de λ/8 vers le générateur amène en M1 (z = 2+j ; soit Z = 100 + j50 Ω). Le changement d’impédance caractéristique donne z2 = (100+j50)/25 = 4 + 2j, c’est à dire le point M2. Le deuxième déplacement donne alors le point final P4 (0.47 ; -1.12j), référencé par rapport à 25 Ω soit Z(P4) = (11,75 – 28j)Ω.

P

P1

P2

Q1

Q2

P3

M1M2

P4



2.9 MESURES A LA LIGNE A FENTE

2.9.1 Définition

Une ligne à fente est un instrument de mesure. Elle est constituée d’un tronçon de ligne de transmission (guide d’onde ou ligne coaxiale) dans laquelle on a pratiqué une fente permettant le déplacement d’une sonde qui, agissant comme une antenne, va capter une toute petite partie du champ électromagnétique existant dans le plan de cette sonde. A la double condition que la fente et la présence de la sonde ne perturbent pas (ou quasiment pas) la propagation dans la ligne, on obtient à partir de l’énergie captée, une mesure proportionnelle à la tension (ou au champ électrique) dans le plan de la sonde. Ceci est obtenu soit par lecture directe à l’analyseur de spectre de l’énergie captée, soit par détection. Conditions :

• Pour que la fente ne perturbe pas la propagation dans la ligne il faut qu’elle ne coupe aucune ligne de courant ; d’où son positionnement le long d’une génératrice d’un coaxial, et au centre du grand coté d’un guide d’onde rectangulaire.

• Pour que la sonde ne soit pas perturbatrice il est nécessaire qu’elle ne soit pas trop enfoncée dans la ligne.

• Pour que la mesure soit fidèle il est impératif que le couplage de la sonde soit constant pendant son déplacement (aucune modification de son enfoncement entre autre).

Une ligne de mesure est un appareil délicat et fragile, à manier avec précaution.

2.9.2 Mesures possibles :

Comme nous venons de le voir une ligne à fente permet d’obtenir une mesure proportionnelle à la tension (ou au champ électrique) dans le plan de la sonde. De cette mesure on peut donc très facilement déduire :

• La valeur du TOS et du module du coefficient de réflexion dans la ligne, par la mesure des valeurs des tensions maximales (Vmax) et minimales (Vmin) :

min

max

VVTOS= et ρ

ρ−+

=11

TOS

• La valeur de la fréquence du signal circulant dans la ligne, puisque la distance entre deux minimums consécutifs est égale à une demie longueur d’onde. Remarque : Bien qu’il en soit de même pour deux maximums, la mesure entre deux minimums est beaucoup plus précise qu’entre deux maximums, les minimums étant beaucoup plus marqués.

• La mesure de l’impédance complexe de la charge de la ligne. C’est l’objet du paragraphe suivant.

kV

kV

z

Zt Zc

o z

o

kE



2.9.3 Mesure d’une impédance à la ligne à fente :

Considérons une impédance inconnue Zt placée en bout d’une ligne de transmission d’impédance caractéristique Zc, dans laquelle a été insérée une ligne à fente de longueur D et de même impédance caractéristique.

Le problème consiste à trouver la valeur de l’impédance réduite complexe ZcZtjyxz ttt =+=

Pour cela on va faire deux séries de mesures :

1. En remplaçant la charge par un court – circuit, on déterminera la valeur de la fréquence (distance entre deux minimums) et la position exacte d’un minimum sur la ligne à fente (dcc)

2. En remettant la charge Zt en place, on déterminera la valeur du TOS sur la ligne, ainsi que la

nouvelle position du minimum (dZt), si possible le plus proche de dcc (question de précision de mesure).

A partir de là, par un raisonnement simple, on trouve la valeur de Zt , en effet :

• La distance entre deux minimums étant un multiple de la demie longueur d’onde, on sait que

2λkdcc= . Ainsi en présence de Zt, l’impédance dans le plan de dcc sera elle aussi égale à Zt,

puisque sur une ligne on retrouve la même impédance tous les 2λ .

• Par ailleurs, toujours en présence de Zt, l’impédance dans le plan de dZt (plan d’un minimum)

est réelle et égale à TOSZcZ =min (cf. § 2.7).

• Il suffit alors sur un abaque de Smith de tracer le cercle à TOS constant, de positionner le point représentatif de Zmin, et de tourner depuis ce point sur le cercle à TOS constant de

λztcc dd −

, vers le générateur ou vers la charge en fonction des positions respectives de dcc et

de dzt .

V

D

Zt Zc

o d

Ligne à fente

TOSZcZ =min

λztcc dd −

Zt

Zt Zc

Zt Zmin

dZt

dcc



2.10 PRINCIPALES TECHNIQUES D’ADAPTATION

2.10.1 Définition

D’une façon générale, adapter l’impédance Zt (ou l’admittance Yt) d’un dipôle à une ligne de transmission, consiste à insérer entre ce dipôle et la ligne, un quadripôle appelé circuit d’adaptation, et tel que la nouvelle impédance Ze, vue à l’entrée de ce circuit, soit égale à l’impédance caractéristique de la ligne. Autrement dit le coefficient de réflexion sur la ligne est nul ( b = 0), et toute l’énergie incidente est dissipée dans la charge (si le circuit d’adaptation est sans pertes). Il existe plusieurs principes utilisés pour concevoir ce circuit d’adaptation en fonction du but à atteindre, en particulier en terme de bande passante. Nous en développerons ci-après les principaux en se rappelant que chaque méthode ne permet d’obtenir une adaptation parfaite qu’à une seule fréquence (c’est l’équivalent d’un filtre), chacune d’elles ayant en fonction de la fréquence un comportement différent. C’est ici, entre autres, que le concepteur peut exercer son imagination et son talent.

2.10.2 Adaptation simple stub

C’est la plus classique. Elle consiste à placer en parallèle sur la ligne principale d’impédance caractéristique Zc, un tronçon de ligne en court-circuit ou en circuit ouvert (stub), en général de même d’impédance caractéristique Zc (bien que ce ne soit pas du tout obligatoire), conformément au schéma ci-dessous. L’adaptation est réalisée par le choix judicieux de la distance d du stub à la charge et par sa longueur l.

2.10.2.1 Remarques préliminaires :

• Le stub étant placé en parallèle sur la ligne il faut travailler en admittance. • le stub étant en court-circuit ou en circuit ouvert, il ramène en parallèle sur la ligne

principale une admittance purement imaginaire Y = jB

• L’admittance réduite (ou l’impédance réduite) dans le plan du stub (d + ε) étant égale à 1, elle doit être égale juste avant le stub (d - ε) à y =1-jB/Yc. Son point représentatif sur l’abaque de Smith doit donc être sur le cercle correspondant à une admittance à partie rélle

d

l

Zc Zc Zt

Ze = Zc

Zc Zt Circuit d’adaptation

Ze = Zc

a

b = 0

Zc Zt Ze = Zc jB

d



égale à l’unité. Or ce point est issu du point initial représentatif de Yt par rotation d’un angle de 4πd/λ vers le générateur (rappel : le tour de l’abaque de Smith est de λ/2), et donc aussi situé sur le cercle à TOS constant correspondant à la charge Zt. Les solutions possibles correspondent donc aux intersections de ces deux cercles.

2.10.2.2 Méthode : La méthode est donc simple (voir abaque ci-dessous) :

• on positionne sur l’abaque de Smith le point correspondant à l’impédance à adapter (Zt), • on prend son symétrique par rapport au centre de l’abaque pour avoir le point représentatif

de son admittance (Yt), • on tourne sur l’abaque sur le cercle à TOS constant jusqu’aux intersections avec le cercle

« g=1 », soient deux solutions. • Pour chacune d’elle, on relève la valeur de l’admittance réduite en ce point (admittance de

la forme y = 1 + jb • Pour assurer l’adaptation le stub doit donc ramener une admittance purement imaginaire

égale à (-jb).

2.10.2.3 Exemple : On remarque sur l’abaque ci-dessous :

• le point représentatif de Zt • son symétrique Yt • le cercle à TOS constant coupant le cercle g=1 en M1 (1ère solution) et M2 (2ème solution).

d

l

Zc Zc Zt

Ze = Zc

Zc = 50 ΩΩΩΩ Zt = (40+j80) ΩΩΩΩ zt = 0.8 + j1.6

Zt

Yt

M1

d/λ l/λ

l/λ

d/λ

M2



• de Yt à M1 on tourne de d = 0,260λλλλ et Y(M1) = 1+j1.8, le stub ramène donc –j1.8, d’où

sa longueur l = 0,081λλλλ • de même de Yt à M2 on tourne de d = 0,394λλλλ et Y(M2) = 1 – j1.8, le stub ramène donc

+j1.8, d’où sa longueur l = 0,419λλλλ (non représenté sur la figure).

2.10.2.4 Variantes : Dans le même esprit on peut remplacer le stub par une admittance localisée en parallèle ou une impédance localisée en série, ou encore remplacer le stub par 2 stubs en parallèle dans le même plan, chacun d’eux ramenant (-jb/2).

2.10.3 Adaptation double stubs

Cette technique consiste à placer en parallèle sur la ligne principale non pas un, mais deux stubs, séparés par une distance fixe (le plus souvent λ/8), selon le schéma suivant : L’adaptation est obtenue par le choix judicieux des longueurs l1 et l2 des deux stubs. Remarque : Dans le schéma ci-dessus le 1er stub est dans le plan de la charge Zt à adapter, mais ce n’est pas obligatoire. Si une distance existe la méthode développée reste valable, à une rotation initiale près, de la charge sur l’abaque de Smith.

2.10.3.1 Considérations préliminaires et analyse

• Les deux stubs étant placés en parallèle sur la ligne principale il faut travailler en admittance.

• Chacun des deux stubs ramène en parallèle sur la ligne une admittance purement imaginaire.

• En conséquence, sur l’abaque de Smith, lorsque la longueur l1 du 1er stub varie le point représentatif de l’admittance dans le plan P, somme des admittances de la charge et du 1er stub, décrit le cercle C1 à partie réelle constante correspondant à la partie réelle de l’admittance réduite de la charge.

• Comme la distance du plan P au plan π est (dans notre exemple) de λ/8, le lieu

représentatif de l’admittance dans le plan π (immédiatement avant la jonction avec le 2ème stub) est obtenu par la rotation du cercle C1 précédent de –90° (vers le générateur) autour du centre de l’abaque, soit le cercle C2 .

• Par ailleurs, l’admittance dans le plan π’ (immédiatement après la jonction avec le 2ème stub) devant être égale à Yc (1 en réduit), et le deuxième stub ne ramenant qu’une

admittance purement imaginaire, le point représentatif de l’admittance dans le plan π (immédiatement avant la jonction avec le 2ème stub) doit se trouver sur le cercle C0 correspondant à une partie réelle égale à 1. Les solutions correspondent donc à l’intersection des cercles C0 et C2.

• S’il n’y a pas d’intersection, c’est qu’il n’y a pas de solution.

λλλλ////8

l1

Zc Zc Zt

Ze = Zc

l2

P ππππ ππππ′′′′



2.10.3.2 Mode opératoire Nous le traiterons à partir d’un exemple pour en permettre l’illustration. Soit donc à adapter à une ligne d’impédance caractéristique Zc=50 Ω, l’impédance Zt = (40 + 80j) Ω, par deux stubs espacés de λ/8 comme sur le schéma ci-dessus : soit zt = Zt/Zc = 0.8 + j1.6

• Placer l’impédance Zt sur l’abaque, et son symétrique Yt, représentatif de son admittance : yt = 1/zt = gt +j*bt, ici yt = 0.25 – 0.5j

• Construire le cercle C1 correspondant au cercle à parte réelle constante et égale à gt (ici gt = 0.25)

• Construire le cercle C2 par rotation du cercle C1 de 90° dans le sens trigonométrique inverse (sens des aiguilles d’une montre : vers le générateur).

• Ce cercle C2 coupe le cercle C0 (cercle correspondant à une admittance de partie réelle

égale à 1) en deux points M1 et M2 représentatif de l’admittance dans le plan π (immédiatement avant la jonction avec le 2ème stub) ; il y a donc deux solutions.

1ère solution (correspondant à M1) :

• Dans notre exemple y(M1) = 1+1.65j, le 2ème stub doit ramener une admittance y = -1.65j, ce qui permet de définir sa longueur : l2 = 0.087 λλλλ

• Le point M1 du cercle C2 est l’image du point P1 du cercle C1 avant la rotation de –90°. Le point P1 correspond donc à la somme des admittances de la charge (Yt) et du 1er stub (jb).

Or y(P1) = 0.25+j0.35 et y(P1) = yt + jb = [(0.25-0.5j) + jb], soit jb = +0.85j. C’est l’admittance purement imaginaire que doit ramener par le 1er stub. On en déduit donc facilement sa longueur : l1 = 0.362 λλλλ.

Yt

M1 P1

P2

M2 C1

C2

C0



2ème solution (correspondant à M2) :

• On a y(M2) = 1-3.5j, le 2ème stub doit donc ramener une admittance y = +3.5j, d’où sa longueur : l2 = 0.456 λλλλ

• Le point M2 du cercle C2 est l’image du point P2 du cercle C1 avant la rotation de –90°, et comme ci-dessus le point P2 correspond à la somme de Yt et de l’admittance (jb) du 1er stub. Or y(P2) = 0.25+j1.65 = yt + jb = 0.25-0.5j + jb, soit jb = +2.15j.

On en déduit donc facilement sa longueur : l1 = 0.431 λλλλ.

2.10.3.3 Limitations liées au dispositif Toutes les impédances ne peuvent pas être adaptées avec un circuit double stubs donné. En effet comme on vient de le voir dans le mode opératoire, il n’y a de solutions que si le cercle C2 coupe le cercle C0 (r ou g = 1). Or ceci n’est pas toujours le cas comme l’illustre la figure ci-après donnant le cercle C2 limite, et son image C1. On s’aperçoit ainsi que toutes les admittances situées à l’intérieur du cercle C1 (partie réelle > 2) ne peuvent pas être adaptées avec une distance entre les deux stubs de λ/8. Si tel est le cas il suffit d’ajouter une longueur de ligne entre la charge à adapter et le premier stub pour sortir de la zone interdite. Il est aussi possible de modifier la distance entre les deux stubs (ce qui ne marche pas toujours), d’ajouter un 3ème stub, de modifier l’impédance caractéristique entre les 2 stubs, ou de faire appel à l’imagination du concepteur.

2.10.4 Utilisation de transformateurs quart d’onde

Comme nous l’avons vu plus haut, un transformateur quart d’onde (ou tronçon de ligne quart d’onde d’impédance caractéristique Z) est un dispositif qui, lorsqu’il est fermée par une impédance Zt donne

vue de l’entrée opposée une impédance Zr défini par : 2ZZtZr =∗ . En particulier Zc étant réel, si Zt est réel Zr le sera aussi. On peut ainsi, avec une impédance Zt = Xt +jYt à adapter, compenser sa partie imaginaire par un élément série ou un stub parallèle ; et ensuite, l’impédance obtenue étant réelle, utiliser un transformateur quart d’onde pour compléter l’adaptation.

C2

C1

λ/4

Z Zt Zr = Z²/Zt



On a ainsi les deux schéma suivants : Déplacement + transformateur Stub + transforma teur Nous laissons aux lecteurs le soin de trouver les paramètres permettant d’obtenir l’adaptation dans le cas déjà utilisé plus haut où Zt = (40 + j80) Ω, c’est à dire trouver les valeurs de Z et de d pour le 1er schéma (déplacement + transformateur), celles de Z et de l pour le 2ème (stub + transformateur).

Zt Zc Zc Z

λ/4 d

Zc Z

λ/4

Zt

l


C. JOUSSEMET page 34 / 102 Juillet 2002

3 PRINCIPALES LIGNES T.E.M.

Les lignes de transmission sont à la base de tous les circuits hyperfréquences, soit pour transmettre l’énergie d’un point à un autre, soit comme éléments constitutifs des circuits eux mêmes. C’est d’ailleurs l’utilisation du « tronçon de ligne de transmission », avec ces 2 paramètres ( l’impédance caractéristique et la longueur électrique), qui différencie les circuits hyperfréquences des autres circuits de l’électronique. Le présent chapitre est essentiellement descriptif. Il n’a pour seul but que de permettre au lecteur de se représenter de façon plus concrète les lignes de transmission elles mêmes, et par voie de conséquence les circuits associés. Une étude un peu plus approfondie de ces lignes est entreprise dans le cadre du cours « Microstrip » de l’ESME Sudria.

3.1 LA LIGNE COAXIALE

C’est le type de ligne le plus classique. Elle est constituée d’une âme métallique de diamètre d, entourée de diélectrique (en général du téflon), le tout enveloppé par une armature métallique de diamètre intérieur D. Cette ligne est susceptible de propager un mode TEM, car elle remplit les conditions nécessaires (cf. § 2.1). Par symétrie de révolution, le champ électrique E est constant en module sur un cercle de rayon r et perpendiculaire à celui-ci.

3.1.1 Calcul de l’impédance caractéristique

Elle se déduit directement de la capacité linéique de la ligne (cf. § 2.3) puisque vClCl

LlZc

1== ,

v étant la vitesse de propagation dans le diélectrique soit εµ1=v .

Le calcul de la capacité linéique est un calcul d’électricité classique :

Théorème de Gauss : flux du champ électrique = E*2πr = Q/ε , soit r

QE

1*

2πε=

Ceci permet de calculer ∫

==

==2/

2/

2soit . avec

2.

D

d

d

DLn

CVCQd

DLn

QdrEV

πεπε

Ce qui nous donne :

=

=d

D

d

DLnZ

r

rc log**138**

2

1

εµ

εµ

π

d D

rayon : r

E



3.1.2 Modes supérieurs

Comme tous les guides d’ondes une ligne coaxiale est susceptible de propager des modes TE ou TM, si l’on est au dessus de leurs fréquences de coupure respectives. Leur étude sort du cadre de ce cours. Toutefois il y a lieu de se rappeler que :

la fréquence la plus basse est celle du mode TE 11 avec ( )dDc +≅ *2

πλ , ce qui correspond à

la circonférence de la fibre moyenne ; il y a donc lieu, pour éviter la propagation des modes supérieurs, de se placer en dessous de la fréquence correspondante.

3.1.3 Atténuation

Comme nous l’avons vu au § 2.4, la constante d’affaiblissement α est donnée par cc Y

Gl

Z

Rl

22+=α ,

somme des pertes ohmiques cZ

Rl

2 et des pertes diélectriques

cY

Gl

2.

• Pertes ohmiques :

cZ

Rl

2=α avec Rl résistance linéique des conducteurs soit ds

sRl πδ

σ* avec

*

1 ==

70 104 généralen ,conducteurdu téperméabili :

1 :par donnéepeau de profondeur :

diamètreson det considéré, conducteurdu téconductivi :

−==

=

πµµµµσπ

δδ

σ

f

En tenant compte de l’expression de Zc, il vient

+=

d

DLn

d

D

D

f11

**σ

επα .

Ainsi les pertes ohmiques croissent avec la fréquence comme f

Par ailleurs, l’expression entre crochet a l’allure ci – dessous, elle présente un minimum pour D/d=3.6 ; ce qui correspond à une impédance caractéristique de 77 Ω dans l’air et de 50 Ω dans le téflon.

D/d

A/A

o

3.6



• Pertes diélectriques : Elles dépendent de la qualité de l’isolant utilisé et sont en général inférieures aux pertes ohmiques. Elles s’expriment par l’expression simple suivante (cf. RAGANT – « Microwave Transmission Circuits » collection du MIT) :

ue.diélectriqdu pertes de ente tan: tandB/m),(en tan868,8 neper/m)(en tan gδδλπδ

λπα ==

Cette expression ne veut pas dire que les pertes diélectriques sont indépendantes de la fréquence, car l’angle de pertes δ lui en dépend, il est même approximativement proportionnel à la fréquence.

3.2 LIGNE TRIPLAQUE

La ligne triplaque dérive de la ligne coaxiale comme l’indiquent les figures ci-dessous : Comme la ligne coaxiale la ligne triplaque peut propager une onde TEM. Physiquement elle est constituée d’un ruban métallique pris en sandwich entre deux plaques de diélectrique (faible perte) métallisées extérieurement. En théorie ces plaques devraient s'étendre à l’infini, mais si l’on étudie la répartition des champs au voisinage de la ligne, on constate que leur importance décroît très rapidement dans la dimension transverse, la largeur des plaques pouvant être réduite à 5 fois la largeur du ruban sans affecter le mode TEM. Les diélectriques utilisés sont en général des verres téflon : 5 à 5,2≈rε

3.2.1 Modes supérieurs

Des modes supérieurs TE et TM peuvent également se propager si la longueur d’onde est supérieure à leur longueur d’onde de coupure . Pour éviter tout autre mode que le mode TEM, la longueur d’onde utilisée doit être inférieure à la longueur du contour situé à mi distance des plaques, soit :

bwc πλ += 2 en considérant l’épaisseur du conducteur central t petite devant la hauteur du triplaque

b.

3.2.2 Impédance caractéristique

La ligne triplaque étant constituée d’un milieu homogène (ε, µ), sa vitesse de propagation εµ1=v ,

et donc sa longueur d’onde, sont indépendantes des dimensions de la ligne. Elles ne dépendent que des caractéristiques du diélectrique utilisé.

Son impédance caractéristique est vCl

Zc

1= , avec fp CCCl 42 += ,

t b

w

Cp

Cf



avec Cp : capacité du ruban central soit tb

wtb

wCp −

=−

= εε 2

22

et Cf : capacité due aux effets de bords qui peut être calculée par des transformations conformes (calcul d’électricité statique).

Une étude du « Stanford Research Institute » de février 1957 fournie une abaque donnant 0Zrε en

fonction des paramètres w/b et t/b ( cf. Microwave Engineers’ Handbook ).



3.3 LA LIGNE MICRORUBAN (Microstrip)

Elle est constituée par un ruban conducteur et un plan de masse séparés par un diélectrique. A titre d’image, c’est la ligne obtenue à partir d’une ligne triplaque lorsqu’on lui supprime la plaque de diélectrique supérieure.

Les diélectriques (ou substrats) utilisés sont très divers. On trouve des substrats organiques utilisés pour les circuits imprimés type téflon chargé ( 5 à 5,2≈rε ), ou des substrats minéraux utilisés en

microélectronique comme l’alumine Al2O3 ( 10 à 5,9≈rε ), ou mono cristallin (quartz, saphir, corindon, AsGa, …). C’est la ligne des circuits microélectroniques hybrides (MIC pour Microwave Integrated Circuits), et des circuits intégrés monolithiques (MMIC pour Monolithic Microwave Integrated Circuits).

3.3.1 Modes et vitesses de propagation

Sauf si la constante diélectrique du substrat est égale à 1, on ne se trouve pas dans un milieu homogène, et donc le mode de propagation n’est pas strictement un mode TEM.

Toutefois les lignes de champ sont en très grande majorité contenue dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation ; on fait donc l’approximation d’un mode TEM, on dit qu’il est quasi TEM.

Par contre les lignes de champs électromagnétiques sont contenues à la fois dans le diélectrique et dans l’air, et la répartition des lignes de champ entre l’air et le diélectrique dépend de la configuration géométrique de la ligne et de la largeur du ruban en particulier. Il en va donc de même pour la vitesse de phase v (et donc la longueur d’onde λ )

Dans une ligne microruban la longueur d’onde guidée (λλλλm) dépend de l’impédance

caractéristique de la ligne Pour exprimer ce fait, on a défini une constante diélectrique effective εeff , comprise entre celle du

substrat εr et celle de l’air : (εeff < εr ), et qui dépend, pour un εr donné, des dimensions géométriques

de la ligne (et dans une moindre mesure de la fréquence), avec effm ελλ 0= .

Ceci peut s’expliquer de la manière suivante : pour un εr et une hauteur de substrat h donnés, lorsque la largeur du ruban w augmente la partie du champ située dans l’air diminue au profit de celle

concentrée dans le diélectrique, la constante diélectrique effective εeff augmente en conséquence. w w h h Pour w/h>>1 le champ est quasiment concentré dans le diélectrique et l’on a : εeff = εr

Pour w/h<<1 le champ est partagé à peu près à parts égales et l’on a : ( )12

1 +≅ reff εε

Dans le cas général on a : ( ) reffr εεε ≤≤+12

1



3.3.2 Détermination de la longueur d’onde guidée et de l’impédance caractéristique

Les travaux de Wheeler, Schneider et Owens entre autres ont permis d’obtenir l’impédance caractéristique et la longueur d’onde guidée en fonction du rapport w/h et de l’εr du substrat. Deux abaques correspondantes sont données ci-après : • Impédance caractéristique

• Rapport λλλλ0/λλλλm soit effε



3.4 AUTRES TYPE DE LIGNES

Il existe bien d’autres types de lignes qui peuvent être, soient des variantes des lignes ci-dessus, soient d’autres structures. Citons par exemple : • les lignes triplaques suspendues • les lignes Microruban avec plan de masse supérieur • les lignes Microruban dans un blindage • les lignes coplanaires • les lignes coplanaires avec plan de masse sous le substrat • les lignes à fente • Etc …. Nous renvoyons les lecteurs aux cours « Microstrip » pour quelques unes de ces lignes, ou aux ouvrages spécialisés pour les différentes configurations possibles.


C. JOUSSEMET page 41 / 102 Octobre 2005

4 PARAMETRES [S] – MATRICE DE REPARTITION

4.1 DEFINITION

Dans le chapitre sur la théorie des lignes nous avons introduit la notion d’ondes de puissance sur une ligne de transmission (cf. § 2.5) par les expressions suivantes :

c

c

R

IRVa

2

+= )( baRV c +=

soient :

c

c

R

IRVb

2

−= )(

1ba

RI

c

−=

Expressions dans lesquelles Rc représente l’impédance caractéristique réelle de la ligne considérée, a et b respectivement les ondes de puissances incidente et réfléchie sur cette ligne, notions beaucoup plus « palpables » que celles de tensions et de courants. Considérons maintenant le cas des quadripôles et plus généralement des mutipôles. Lorsque l’étude de ce type de circuits se fait en exprimant les tensions et courants, on définit pour ces circuits des

matrices impédances et/ou admittances par les relations : IZV = et VYI = , voire pour les

quadripôles des matrices de chaînes, matrice h, etc … Dans l’étude des circuits hyperfréquences, comme nous l’avons vu pour les lignes de transmission, ces grandeurs ne sont guère mesurables, et comme précédemment, on va leur préférer les notions d’ondes de puissance. Par contre, pour les multipôles les notions d’ondes incidente et réfléchie n’a plus réellement de sens car cela dépend des positions respectives des charges et générateurs. On va donc leur substituer les ondes de puissance entrantes et sortantes.

I2

V1 V2

I1

Q

a1

Q

b1

a2

b2

a1

b1

a2

b2

a3 b3

a4 b4



Ces ondes de puissances entrantes et sortantes à l’accès i sont alors définies par des expressions tout à fait similaires à celles utilisées pour la ligne de transmission, à savoir :

i

iiii

R

IRVa

2

+= )( iiii baRV +=

soient :

i

iiii

R

IRVb

2

−= )(

1ii

i

i baR

I −=

expressions dans lesquelles Vi et Ii sont la tension et le courant à la porte i, ai et bi les ondes de puissances entrantes et sortantes à la porte i, et Ri l’impédance caractéristique réelle de la ligne connectée à la porte i.

Comme pour les lignes les quantités ²2

1et ²

2

1ii ba représentent respectivement les puissances

entrante et sortante à la porte i Il est à noter que dans la plupart des cas, l’impédance caractéristique des lignes de connexion est la même pour toutes les portes, est égale à celle des appareils de mesure utilisés (en général 50 Ω). C’est cette hypothèse que nous prendrons pour la suite de ce chapitre en posant Ri = R0 quelque soit i (R0 impédance de référence ou de normalisation). Les paramètres [S], ou matrice [S], ou matrice de répartition sont alors définis par :

aSb =

soit, en développant dans le cas d’un quadripôle :

2221212

2121111

aSaSb

aSaSb

+=+=

4.2 REPRESENTATION PHYSIQUE DES PARAMETRES [S]

4.2.1 Eléments diagonaux :

Par définition les paramètres Sii sont donnés par : 0== ji

iii a

a

bS pour quelque soit j ≠ i.

0=ja signifie qu’à la porte j il n’y a aucune onde entrante malgré l’onde sortante jb , autrement dit le

coefficient de réflexion qui charge la porte j est nul. Ceci revient à dire que la porte j est fermée sur R0. Les éléments diagonaux de la matrice [S] sont les c oefficients de réflexion du multipôle lorsque toutes ses portes sont fermées sur l’impéda nce de référence R0 .

4.2.2 Eléments non diagonaux :

Comme ci-dessus les paramètres Sij sont donnés par : 0== ij

iij a

a

bS pour quelque soit i ≠ j.

Comme ci-dessus 0=ia signifie que le coefficient de réflexion qui charge la porte i est nul, et donc que la porte i est fermée sur R0 . Les éléments non diagonaux de la matrice [S] sont l es coefficients de transmission (ou de couplage) entre deux portes distinctes du multipôle lorsque toutes ses portes sont fermées sur l’impédance de référence R0 .



4.3 PROPRIETES DE LA MATRICE [S]

4.3.1 Réciprocité

La réciprocité d’un réseau est lié au fait que si un générateur E placé à l’une des paires de bornes d’un réseau (prises comme bornes d’entrée) entraîne un courant de court-circuit I à une autre paire de bornes (prises comme bornes de sortie), alors le même générateur E placé en sortie entraîne le même courant de court-circuit I à l’entrée. Rappel de la théorie des réseaux : Tout réseau ne comportant que des éléments passifs et des couplages réciproques est réciproque. Ce caractère de réciprocité des réseaux se traduit sur les matrices Z et Y par les relations :

jiijjiij YYZZ == et : soit YYZZtt == et .

Il est clair, compte tenu de la définition de la réciprocité, que ceci se traduit aussi pour la matrice [S] par :

jiij SS = soit SSt =

4.3.2 Réseaux sans perte

Calculons la puissance dissipée dans un réseau : il vient Pd =1/2* partie réelle (Vt*I∗), soit compte tenu des relations :

)( et )( baR

IbaRV −=+=0

0

1, **2 bbaaP tt

d −= , or comme aSb = ceci revient à écrire :

0*** =− aSSaaattt

soit ISSt =*

et comme on a déjà (cf. ci-dessus) SSt = , il en résulte que pour tout réseau passif

sans perte la matrice S est unitaire : 1* −= SS

4.3.3 Quadripôles symétriques

La symétrie ne s’applique qu’aux quadripôles, elle ne peut être généralisée aux multipôles. Elle se traduit par le fait que le quadripôle a réellement un axe de symétrie. Attention à ne pas confondre symétrie et réciprocité, la figure ci-dessous illustre bien cette notion : Réseau réciproque réseau symétrique et réciproque L’expression de la symétrie se traduit de façon évidente par :

221122112211 YYZZSS === et aussi avons nous comme

C C



4.3.4 Déplacement des plans de référence

Considérons le multipôle ci-dessous, dans lequel nous nous intéressons aux 2 paires de portes i et j. Supposons connue la matrice [S], et en particulier le paramètre Sji dans les plans p et q. Que devient ce paramètre (soit S’ji) dans les plans p’ et q’ ? Lors de la définition des ondes de puissances (cf. §2.5) nous avons vu que sur une ligne on a :

( ) zjzj ebzbeaza ββ +− == 00 )(et , z étant compté positivement vers la charge. En se rappelant que

pour un multipôle a et b sont respectivement les ondes entrantes et sortantes, il s’en suit que l’on a :

et avec et ''qp

jpp

jqq

bq ebbeaa θθθθ +− == comptés positivement vers le multipôle.

Un changement de plans de référence se traduit donc sur la matrice [S] par une rotation en phase de ces termes suivant l’expression :

0, )('' >= +

qpj

pqqpqpeSS θθθθ

vers le multipôle.

4.4 RELATIONS ENTRE LA MATRICE [S] ET LES MATRICES [Z] OU [Y]

Par définition on a : 2

et 2 0

0

0

0

R

IRVb

R

IRVa ii

iii

i

−=

+= , ce qui s’écrit vectoriellement par les

expressions :

[ ]( )IRVR

a 0

0

*2

1 += et [ ]( )IRVR

b 0

0

*2

1 −= , [R0] étant la matrice avec R0 sur la

diagonale principale et 0 ailleurs.

En tenant compte du fait que l’on a : [ ] [ ] [ ]VYIZVaSb === Iet ; , et en posant :

[ ] [ ] [ ] [ ]YRyZR

z 00

et 1 == , respectivement matrices impédances réduites et admittances réduites

on obtient les relations suivantes :

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) 111 −+−= zzS

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) 111 −+−= yyS

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )11 1 +−= − SSz

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )SSy −+= − 11 1

ai

bi

aj

bj

p p’ q’ q

θp θq



4.5 MATRICE DE CHAINE ET MATRICE [S]

4.5.1 Rappel sur la matrice de chaîne La matrice de chaîne est définie par les relations suivantes :

221 'BIAVV +=

221 'DICVI +=

avec entrant)(courant sortant)(courant ' 22 II −= Remarques :

A et D sont homogènes à des nombres (sans dimensions), B est homogène à une impédance, C est homogène à une admittance

Propriétés :

Quadripôles réciproques : AD-BC = 1 Quadripôles symétriques : A = D Quadripôles sans perte : A et D sont réels, B et C sont imaginaires purs.

Quadripôles en cascade :

La matrice de chaîne d’un quadripôle constitué par la mise en cascade de plusieurs quadripôles élémentaires est le produit des matrices de chaînes de ces quadripôles :

....33

33

22

22

11

11 •••=DC

BA

DC

BA

DC

BA

DC

BA

Retournement d’un quadripôle réciproque :

Compte tenu de AD-BC = 1, on a : AC

BD

DC

BA

−−

=−1

soit 112 BIDVV −= et 112' AICVI +−=

ou 112 'BIDVV += et 112 'AICVI +=

Ce qui s’écrit : 1

1

2

2

'I

V

AC

BD

I

V•=

La matrice de chaîne du quadripôle, obtenu par inversion des entrées – sorties d’un quadripôle réciproque, s’obtient par simple permutation des termes A et D de la matrice de chaîne du quadripôle initial.

Normalisation :

Comme pour les matrices impédances et admittances on peut normaliser la matrice de chaîne en divisant les impédances et multipliant les admittances par R0. Dans cette normalisation A et D restent inchangés, B devient B/R0 et C devient C* R0.

DCRo

RoBA

DC

BA

nn

nn =−1

I2

V1 V2

I1

Q

I’2



4.5.2 Relation entre matrice [S] et matrice de chaî ne :

221 'BIAVV +=

221 'DICVI += • Calcul de S 11

S11 est le coefficient de réflexion à l’entrée lorsque la sortie est fermée par Ro, soit : V2 = Ro*I’2

Dans ce cas l’impédance d’entrée s’écrit : DCR

BAR

R

DC

R

BA

I

VZ

++

=+

+==

0

0

0

0

1

11 ,avec

01

0111 RZ

RZS

+−

=

Ce qui donne :

nnnn

nnnn

DCBA

DCBA

DCRR

BA

DCRR

BA

S+++−−+

=+++

−−+=

00

00

11

• Calcul de S 21

On a

=

1

221 a

bS quand a2 = 0, c’est à dire avec V2 = RoI’2

Or ( ) ( )0

2202

0

202

0

2 '2

1

2

1

R

VIRV

RIRV

Rb =+=−= ,

et ( )

+++=+= DCR

R

BA

R

VIRV

Ra 0

00

2101

0

122

1 ce qui nous donne :

nnnn DCBADCRR

BA

S+++

=+++

= 22

00

21

I2

V1 V2

I1

Q

I’2



4.5.3 Matrices de chaîne de quadripôles particulier s

• Impédance série : 1 Z [K] = 0 1 • Admittance parallèle : 1 0 [K] = Y 1 • Tronçon de ligne Zc, θθθθ : Pour la matrice de chaîne on a : 221 'BIAVV +=

221 'DICVI +=

et sur la ligne : ( ) zjzj eVeVzV ββ +−

−+ +=

( ) zjzjc eVeVzIZ ββ +

−−

+ −= avec θβ θ =z

En écrivant que pour z=0 on a : V(z)=V2 et I(z)=I’ 2 , on peut calculer les constantes d’intégration V+ et V- en fonction de V2 et I’ 2 . Alors en écrivant que pour z=-zθ on a V(z)=V1 et I(z)=I1 , et en reportant les valeurs de V+ et V- en fonction de V2 et I’ 2 trouvées ci-dessus on obtient la matrice de chaîne recherchée, soit : cos(θ) jZc*sin(θ)

[K] = jsin(θ)/Zc cos(θ)

Z

Y

V2 Zc

θ

V1

I1 I’2

z

0 -zθ



4.6 REPRESENTATION DES CHARGES ET GENERATEURS

Ce paragraphe complète la description des éléments constitutifs des réseaux utilisés en hyperfréquence à partir des ondes de puissance, en particulier pour les charges et générateurs.

4.6.1 Charges

Le cas des charges a déjà été examiné (cf. § 2.6.2) : à la relation V=Z*I on substitue la relation

b=ρ*a. On a : ab lρ=

Et la puissance dissipée dans la charge est donnée par :

[ ]²²2

1baPd −= soit : ( )²1²

2

1ld aP ρ−=

4.6.2 Générateurs

Lorsqu’on fait l’analyse des circuits avec les notions de tensions – courants, un générateur est caractérisé par 2 paramètres : sa force électromotrice E, et son impédance interne Zg. Comment représenter un générateur avec les notions d’ondes de puissance ? Par analogie avec toutes les définitions faites jusqu’ici, on remplacera l’impédance interne Zg par le

coefficient de réflexion correspondant, soit 0

0

RZ

RZ

g

g

g +−

=ρ , et la force électromotrice E par l’onde de

puissance bg qu’il délivre dans la charge Ro. Avec les ondes de puissance un générateur est carac térisé par 2 paramètres : son coefficient de réflexion ρρρρg et l’onde de puissance bg qu’il délivre dans la charge de référence Ro. • Puissance dans la charge Ro :

Par définition la puissance délivrée dans la charge Ro est : ²2

1gRo bP =

• Ondes de puissance dans une charge quelconque : Soit un générateur bg , ρg associée à une charge quelconque de coefficient de réflexion ρl , calculons les ondes de puissances incidente a et réfléchie b associées à cette charge. On supposera conformément au schéma ci-après que cette charge est constituée d’une ligne d’impédance caractéristique Zo (sa longueur est quelconque et même éventuellement nulle) terminée par une charge ρ , ρl étant le coefficient de réflexion présenté au générateur.

a

b

ρl



A la mise en route du générateur celui-ci délivre sur la ligne d’impédance caractéristique Ro une onde de puissance bg , ce qui entraîne une onde réfléchie correspondante vers le générateur ρlbg . Cette

onde se réfléchie à son tour sur le générateur pour redonner une onde incidente ρgρlbg qui s’ajoute en

amplitude et phase à la précédente ; d’où une nouvelle réflexion sur la charge (ρgρ²lbg ) et sur le

générateur (ρ²gρ²lbg ) ; et ainsi de suite.

On a donc pour l’onde incidente gl

g

glglglg

bba

ρρρρρρρρ

−=++++=

1.....)²²1( 33 ,

Et bien sur pour l’onde réfléchie : gl

gl

l

bab

ρρρ

ρ−

==1

,

A noter que l’expression de a s’écrit aussi : bba gg ρ+=

Conclusion : Les ondes incidente et réfléchie issues d’un générateur bg , ρg connecté à une charge ρl sont données par :

• Puissance maximale admissible d’un générateur : Compte tenu des expressions ci-dessus, la puissance dissipée par la charge est :

( ) ( )²1

²1²

2

1²1²

2

1

gl

lgld baP

ρρρ

ρ−

−=−=

On sait qu’un générateur délivre sa puissance maximale lorsqu’il est chargée par l’impédance

conjuguée de sa propre impédance interne *gl ZZ = , ceci revient aussi à écrire ρl = ρg

* (Ro réel).

Cette puissance maximale s’appelle la puissance maximale admissible du générateur, soit :

Puissance maximale admissible d’un générateur : ²1

1²

2

1

g

ga bPρ−

=

Zc=Zo bg , ρg ρ

ρl b

a

bg ρlbg

ρgρlbg ρgρ²lbg

ρ²gρ²lbg

ab

bbb

a

l

gggl

g

ρ

ρρρ

=

+=−

=

et

1



5 APPLICATIONS DES PARAMETRES [S] AUX AMPLIFICATEUR S A TRANSISTORS

5.1 GENERALITES

Un amplificateur peut être représenté en général par un quadripôle actif que nous supposerons dans un premier temps linéaire (fonctionnement en petits signaux). Lorsque l’accès d’entrée de ce quadripôle est attaqué par une source lui délivrant une certaine puissance, on disposera à l’ accès de sortie d’une puissance disponible supérieure à la puissance d’entrée. Comme dans les chapitres précédents on remarque là aussi l’importance de la notion de puissance. Pour un amplificateur hyperfréquence, on ne parle en effet jamais de gain en tension ou en courant, mais toujours de gain en puissance, et la méthode la plus adaptée pour décrire le fonctionnement d’un amplificateur microonde est l’utilisation des paramètres [S]. Pour un transistor donné, ses paramètres [S] peuvent être déterminés par des mesures (caractérisation du transistor en fonction du type de montage que l’on souhaite utilisé), ou issus des feuilles de caractéristiques fournies par le constructeur. Celles-ci donnent ces paramètres : • sous forme d’abaque (Smith pour S11 et S22 , diagramme polaire pour S21 et S12 ),

Transistor FHX13X (puce) - Diagrammes

• et/ou sous forme de tableau, comme l’extrait ci-dessous :

VDS = 2 V IDS = 10 mA Fréq. S11 S21 S12 S22 (GHz) MAG ANG MAG ANG MAG ANG MAG ANG

5 0,895 -44,9 4,392 141,5 0,057 69,8 0,548 -21,5 6 0,86 -53 4,215 134,8 0,066 66,8 0,53 -25 7 0,823 -60,7 4,034 128,4 0,074 64,2 0,512 -28,3 8 0,786 -68,1 3,852 122,4 0,08 62 0,493 -31,3 9 0,751 -75,3 3,675 116,8 0,086 60,2 0,475 -34 10 0,718 -82,1 3,506 111,5 0,092 58,9 0,458 -36,6 11 0,687 -88,7 3,345 106,5 0,096 57,8 0,442 -39 12 0,659 -95 3,194 101,8 0,101 57,1 0,426 -41,3 13 0,633 -101,2 3,054 97,3 0,105 56,6 0,412 -43,6 14 0,61 -107,2 2,923 93 0,108 56,4 0,399 -45,8 15 0,59 -113 2,801 88,9 0,112 56,4 0,386 -47,9

NOTE: The data included bonding wires

Paramètres [S] du transistor FHX13X (puce) : Tablea u



5.2 EXPRESSIONS DU GAIN

Par définition des paramètres [S] le gain que l’on peut obtenir de ce transistor, placé entre un générateur d’impédance interne Ro = 50 Ω et une charge Ro = 50 Ω, est : 215050 SG =− .

Avec le transistor donné ci-dessus, dans les conditions suivantes (F = 10 GHz, Vds = 2V, Ids = 10 mA) ce gain serait de 10.9 dB. En examinant les autres paramètres [S] tels que 11S et 22S , on observe une désadaptation à l’entrée comme à la sortie, qui pénalisent le gain possible. Concevoir un amplificateur de gain c’est donc placer à l’entrée et à la sortie du transistor deux quadripôles d’adaptation Qg et Ql qui permettent à l’énergie de la source, à l’entrée de «rentrer » dans le transistor, et à la sortie de se dissiper dans la charge, conformément au schéma ci-après. Ro = 50 Ω Qg T Ql Ro = 50 Ω [S] Γg Γl Soient respectivement Eg, , Γg le générateur équivalent de Thévenin vu à travers le quadripôle

d’entrée Qg , et Γl la charge équivalente vue à travers le quadripôle de sortie Ql . Le schéma ci-dessus se résume alors au schéma suivant , dans lequel les paramètres [S] du transistor sont les données, et les paramètres Γg et Γl les variables puisqu’elles dépendent des quadripôles Qg et Ql . Γg T Eg [S] Γl A ce schéma sont associés les relations suivantes :

22

2221212

2121111

ba

aSaSb

aSaSb

lΓ=+=+=

Calculons alors l’expression du gain en fonction des données [S] et des variables Γg et Γl .

5.2.1 Définition

Par définition le gain est défini comme le rapport de la puissance dissipée dans la charge Γl sur la puissance maximale admissible du générateur.

La puissance dissipée dans la charge est : ( )²1²2

12 lL bP Γ−=

La puissance maximale admissible du générateur est (cf. chapitre précédent) : ²1

²*

2

1

g

g

A

bP

Γ−=

L’expression du gain s’écrit donc : ( )( )²1²1*

2

2gl

gA

L

b

b

P

PG Γ−Γ−==

a1 a2

b2 b1



5.2.2 Coefficients de réflexion aux accès du transi stor

Par définition le coefficient de réflexion à l’entrée est : 1

1'11 a

bS = , et compte tenu des expressions ci-

dessus, il vient : 122

212 1

aS

Sa

l

l

Γ−Γ

= et donc l

l

S

SSS

a

bS

Γ−Γ

+==22

211211

1

1'11 1

.

De même à la sortie on a : g

g

S

SSSS

Γ−Γ

+=11

211222

'22 1

On notera que si 012 =S , ce qui signifie physiquement qu’il n’y a pas de réaction de la sortie sur

l’entrée, on a bien sûr : 11'11 SS = et 22

'22 SS =

5.2.3 Expression générale du gain

Le gain est donné par : ( )( )²1²1*

2

2gl

gA

L

b

b

P

PG Γ−Γ−== ,

et l’on a gg b

a

a

b

b

b 1

1

22 *= , avec lS

S

a

b

Γ−=

22

21

1

2

1 et

'11

11 S

ba

g

g

Γ−= .

En portant ces relations dans l’expression du gain et en remplaçant '11S par sa valeur, fonction des

paramètres [S] du transistor, et de lΓ , on obtient :

( ) ( )( )( ) 2

21122211

2

21

11

²1²1

SSSS

SG

lglg

lg

ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

5.2.4 Gain unilatéral

Le gain unilatéral est le gain obtenu avec l’approximation suivante : 012 =S Il faut noter que cette approximation est tout à fait licite, en effet on peut constater : • d’une part, que sur le tableau des paramètres [S] donné ci-dessus 12S est très faible, et cela

d’autant plus que la fréquence est basse, • d’autre part, que ce paramètre 12S traduit la contre réaction de la sortie sur l’entrée, et que celle-ci

est nulle pour un transistor à effet de champ idéal, dont le schéma équivalent est donné ci-après : G D Vds gmVds S S C’est la capacité Grille – Drain qui, lorsque son influence ne peut plus être négligée, crée une contre réaction sortie entrée, et dans ces conditions le paramètre 12S n’est plus nul.



En revenant à l’hypothèse 012 =S , on obtient le gain unilatéral suivant :

2

22

22

212

11

2

1

1**

1

1

l

l

g

g

uS

SS

GΓ−

Γ−

Γ−

Γ−= ,

expression qui fait clairement apparaître 3 facteurs :

2

11

2

1

1

g

g

e

SG

Γ−

Γ−= représentatif du gain lié à l’adaptation d’entrée,

2

215050 SG =− représentant le gain du transistor entre 2 charges de 50 Ω,

2

22

2

1

1

l

ls

SG

Γ−

Γ−= représentatif du gain lié à l’adaptation de sortie.

5.2.5 Gain unilatéral maximal

En considérant les deux expressions tout à fait semblables donnant Ge et Gs , et par similitude avec la puissance maximale admissible d’un générateur, on sait que ces expressions présentent chacune un

maximum lorsque *11Sg =Γ pour Ge ,et *

22Sl =Γ pour Gs. On obtient alors le gain unilatéral maximal

que peut fournir le transistor, et ce gain ne dépend bien sûr que de ses paramètres [S] :

2

22

2

212

11

max1

1**

1

1

SS

SGu −−

=

A titre d’exemple avec le transistor FHX13 dont les paramètres [S] ont été donnés, on a, à 10 GHz avec Vds = 2 V et Ids = 10 mA :

15.3max =eG dB ; 02.1max =sG dB ; 9.105050 =−G dB : soit 1.15max =uG dB.

5.3 CERCLES A GAIN CONSTANT

Considérons l’expression donnant le gain lié à l’adaptation d’entrée, soit : 2

11

2

1

1

g

g

e

SG

Γ−

Γ−= ,

expression maximale pour *11Sg =Γ , avec alors pour valeur

2

11

max1

1

SGe

−= .

Lorsque *11Sg ≠Γ on a maxee GG < . Recherchons sur l’abaque de Smith le lieu des points

représentant gΓ tels que le gain soit constant kGe = .

Ce lieu est défini par l’expression kS g

g =Γ−

Γ−2

11

2

1

1, qu’en développant on peut mettre sous la forme :



( )22

11

2

11

2

11

11*

2

11

*11

1

1

11 Sk

Skk

Sk

kS

Sk

kSgg

+

+−=

+−Γ

+−Γ

Ce lieu est donc un cercle : de centre : Ω avec *112

11

*1

SSk

kO

+=Ω

et de rayon ( )22

11

2

112

1

1

Sk

SkkR

+

+−=

En faisant varier la valeur de k, on obtient ainsi une famille de cercles, appelés « cercles à gain constant » comme sur l’exemple ci-dessous :

Remarques : • quelque soit k les centres des cercles à gain constant sont tous situés sur la droite OS*

11

• pour 2

111

1

Sk

−= , on trouve bien un cercle de rayon nul, centré en *

11S

• l’expression du gain liée à l’adaptation de sortie étant totalement identique au remplacement près de S11 par S22 , et de Γg par Γl les mêmes familles de cercles existent pour la sortie.

5.4 NOTIONS DE STABILITE

Quand on conçoit un amplificateur il faut toujours se préoccuper des conditions de stabilité. Pour un quadripôle les conditions de stabilité imposent que l’impédance d’entrée et l’impédance de sortie ne présentent pas de parties réelles négatives quand on fait varier l’impédance de charge ou de source. Ze Zl Zg Zs



Ceci revient à écrire pour une stabilité inconditionnelle : • partie réelle de Ze positive ou nulle quelque soit Zl, ET • partie réelle de Zs positive ou nulle quelque soit Zg, Ou encore dans le cadre de notre amplificateur, et en utilisant les paramètres [S] :

• 11'11 ≤ΓΓ∀≤ llS avec (1)

ET

• 11'22 ≤ΓΓ∀≤ ggS avec (2)

5.4.1 Cercle de stabilité

L’expression (1) ci-dessus s’écrit : 11 22

211211 ≤

Γ−Γ

+l

l

S

SSS

ou encore 11 22

11 ≤Γ−

∆Γ−

l

l

S

S , avec 21122211 SSSS −=∆

La limite de la stabilité, c’est à dire le lieu des points lΓ tels que 11 22

211211 =

Γ−Γ

+l

l

S

SSS , est tous calculs

faits, un cercle appelé cercle de stabilité est défini par :

• son centre ( )

22

22

**1122

∆−

∆−=

S

SSCL

• et son rayon 22

22

2112

∆−=

S

SSRL

Ce cercle délimite la zone stable et la zone potentiellement instable. Pour distinguer ces deux zones, on examine un

cas particulier : lΓ =0, soit 11'11 SS =

Si le transistor est stable sur 50 Ω (cas le plus fréquent) il faut, pour assurer la stabilité, que

lΓ soit extérieur au cercle de stabilité.

Remarques :

• Ce cercle a été construit pour lΓ , il en existe évidemment un aussi pour gΓ (permutation de 11S

avec 22S ),

• Le calcul ci-dessus est fait pour une fréquence, il doit donc être répété pour d’autres fréquences dans une étude de stabilité.



5.4.2 Stabilité Inconditionnelle : facteur K

En examinant la figure ci-dessus on voit que si le cercle de stabilité est entièrement placé à l’extérieur de l’abaque de Smith, l’amplificateur sera inconditionnellement stable.

Ceci s’écrit 1>− LL RC , ou ( ) 222211 LLLL RRRC ++=+>

En développant l’expression de 2

LC on trouve : 2

22

22

2

112 1LL R

S

SC +

∆−

−=

La condition de stabilité inconditionnelle s’écrit donc : 22

22

2112

22

22

2

11 2121

1

∆−+=+>

∆−

−

S

SSR

S

Sl

Soit aussi :

12

1

2112

22

22

2

11 >∆+−−

=SS

SSK

K est le facteur de stabilité, on dit tout simplement le facteur K. Remarque : • Le calcul ci-dessus a été fait en prenant le cercle de stabilité correspondant à l’impédance de

charge lΓ ; le calcul pour l’impédance du générateur gΓ correspond à la permutation de 11S

avec 22S , or cette permutation ne change pas le facteur K, ainsi K > 1 correspond à la condition

de stabilité inconditionnelle pour lΓ et gΓ .

• Notons aussi que si l’on fait l’hypothèse 012 =S la question de l’instabilité de l’amplificateur ne se pose pas, ce qui est évident puisque l’on supprime la contre réaction sortie entrée.

5.5 FACTEUR DE BRUIT ET TEMPERATURE DE BRUIT

5.5.1 Définitions – Rappels

5.5.1.1 Facteur de bruit On peut donner deux définitions équivalentes du facteur de bruit : Définition 1 : Le facteur de bruit d’un quadripôle est égal au résultat de la division du rapport Signal à Bruit en entrée par le rapport Signal à Bruit en sortie, lorsque la température de bruit à l’entrée est égale à To = 300°K

[ ][ ]NsSs

NeSeF = avec To = 300°K

Définition 2 : Le facteur de bruit d’un quadripôle est égal au rapport de bruit de sortie, sur le bruit qu’il y aurait si la contribution du quadripôle était nulle. Le bruit en sortie sans contribution du bruit propre du quadripôle est : NeGNs *= , et l’on a :

NeG

NsF

*= avec To = 300°K

On vérifiera aisément que ces deux définitions sont équivalentes.



5.5.1.2 Température additionnelle de bruit Au lieu du facteur de bruit on peut caractériser la contribution en bruit d’un quadripôle par sa température additionnelle de bruit. On se rappellera que la puissance de bruit N est liée à la température (dite température de bruit) par la relation : kTBN = , avec : N : puissance de bruit, en Watt (ou ses dérivés : mW, dBW, dBm, …) k : constante de Boltzmann : 1,38.10-23 J/°K T : température de la source considérée, en degrés Kelvin B : bande de fréquence considérée, en Hertz (ou ses multiples). Un chiffre à retenir : pour To = 300°K, N = -204 dB W / Hz = -114 dBm / MHz Ta Te G Ts Considérons le circuit ci-dessus, avec un bruit à l’entrée kTeBNe= , un bruit en sortie kTsBNs= , et un gain G . Si le circuit était idéal, on aurait tout simplement NeGNs *= , soit TeGTs *= La contribution propre du circuit entraîne TeTs> et l’on écrit :

)( TeTaGTs +=

Ta : température additionnelle de bruit du circuit représente l’ensemble des sources de bruit internes au quadripôle considérées comme une source unique placée à l’entrée.

5.5.1.3 Relation entre facteur de bruit et températ ure additionnelle de bruit

Elle découle directement des définition ci-dessus : To

Ta

To

ToTa

NoG

NsF +=+== 1

*, soit

To

TaF += 1 et ( )ToFTa 1−=

5.5.2 Facteur de bruit d’un atténuateur

Considérons l’atténuateur adapté de pertes L, représenté ci-dessous : Ta To Ts G = 1/L L’atténuateur est chargé à l’entrée par une charge adaptée à la température To = 300°K, la température de bruit à l’entrée est donc To. Sa température additionnelle de bruit propre étant Ta, sa température de bruit de sortie est : Ts = G(To+Ta) = (To+Ta)/L . Or l’atténuateur étant adapté, l’ensemble constitué de l’atténuateur et de sa charge adaptée d’entrée est aussi une charge adaptée, on a donc aussi Ts = To On en déduit donc que (Ta+To)/L = To soit Ta = (L-1)To et le facteur de bruit de l’atténuateur est F = 1+Ta/To, soit F = L



5.5.3 Facteur de bruit d’une chaîne de quadripôles

Ta1 G1 Ta2 G2 Ta3 G3 Ta4 G4 To Ts Ts1 Ts2 Ts3 F1 F2 F3 F4 En appliquant les relations ci-dessus il vient : Ts = G4(Ta4+Ts3) = G4(Ta4+G3(Ta3+Ts2)) = G4(Ta4+G3(Ta3+G2(Ta2+Ts1)))

Ts = G4(Ta4+G3(Ta3+G2(Ta2+G1(Ta1+To)))) =

++++321

4

21

3

1

214321

GGGTa

GGTa

GTa

TaToGGGG

Par identification avec un seul quadripôle de gain G = G1G2G3G4, de facteur de bruit F et de température additionnelle de bruit Ta , soit Ts = G(Ta+To), il vient : pour la température additionnelle de bruit :

.....GGG

TaGG

TaG

TaTaTa ++++=

321

4

21

3

1

21

et donc pour le facteur de bruit :

......GGG

FGG

FG

FF

ToTa

F +−+−+−+=+=321

14

21

13

1

1211

5.5.4 Amplificateur faible bruit

5.5.4.1 Facteur de bruit minimum d’un quadripôle Par généralisation du théorème de Thévenin, on peut représenter un quadripôle possédant des sources de bruit internes par un quadripôle idéal (sans bruit) possédant en série à l’entrée et à la sortie un générateur de tension de bruit, e1 I1 I2 e2 V1 = Z11I1 + Z12I2 + e1 V1 V2 V2 = Z21I1 + Z22I2 + e2 ou le décrire par sa matrice de chaîne en plaçant des générateurs équivalents de bruit, l’un en tension, l’autre en courant, à l’entrée du quadripôle : E I1 I’2 V1 = AV2 + BI’2 + E Ys V1 J V2 I1 = CV2 + DI’2 + J En décomposant la source de bruit en courant J en une partie corrélée Jc et une partie non corrélée Jnc avec la source de bruit en tension E, on démontre (la démonstration correspondante n’est pas reproduite ici) que le facteur de bruit d’un quadripôle présente un facteur de bruit minimum Fmin.

~ ~

~



Ce facteur de bruit minimum est obtenu lorsque l’admittance présentée à l’entrée Ys = Gs + jBs est égale à son admittance optimale Yopt = Gopt + jBopt, et si ce n’est pas le cas le facteur de bruit est donné par l’expression ci-dessous, expression dans laquelle le terme Rn représente une résistance de bruit propre au quadripôle :

( ) ( )[ ]22 BoptBsGoptGsGsRn

minFF −+−+=

Le facteur de bruit d’un quadripôle linéaire est complètement défini par quatre paramètres (Fmin, Rn, Gopt et Bopt) qui lui sont propres, et par l’admittance qui lui est présentée à son entrée (Gs + jBs). Pour un transistor les quatre paramètres de bruit sont quelquefois, mais pas toujours, donnés par le constructeur. Dans ce dernier cas, ou pour plus de précision, il faut les déterminer par des mesures .

5.5.4.2 Cercles à facteur de bruit constant Si on recherche les lieux des points pour lequel le facteur de bruit est constant, on voit facilement que ces lieux sont des cercles dans le plan des admittances (G, jB), ce sont donc aussi des cercles sur l’abaque de Smith (transformation conforme). Un exemple est donné ci-dessous : Comme pour les cercles à gain constant tous les centres sont alignés sur la droite OΓopt.. En général l’admittance optimale de bruit est

différente de *11S , on ne peut donc avoir un

facteur de bruit minimum et un gain maximum. De plus si l’amplificateur est optimisé pour un facteur de bruit minimum il n’est pas adapté à l’entrée, il présente donc du TOS. D’où l’intérêt pour les amplificateurs faible bruit des étages équilibrés, ou l’utilisation d’un circulateur d’entrée.

5.6 AMPLIFICATEURS DE PUISSANCE

Pour réaliser des amplificateurs de puissance il faut à la fois : • avoir le composant adéquat, • optimiser la conception des circuits d’entrée et de sortie avec comme objectif la puissance de

sortie, c’est à dire un maximum de gain pour une puissance de sortie donnée.

5.6.1 Le composant

Pour augmenter la puissance véhiculée par le transistor , il faut augmenter le courant qui circule dans le transistor, la tension à ses bornes et diminuer sa résistance thermique. Pour la tension, on est limité par les tensions de claquage dans le composant, et notamment les dimensions du canal, liées à la fréquence d’utilisation. Les solutions passent par des modifications dans la structure même du composant.



Pour le courant, celui – ci étant proportionnel à la largeur de grille ou développement de grille, la solution passe par l’augmentation de ce développement. Ceci se fait par l’utilisation de structures interdigitées, faute de quoi on aurait des pertes de gain très importantes liées à l’accroissement de la résistance de grille.

La transconductance gm étant elle même proportionnelle au développement de grille on pourrait s’attendre à un accroissement simultané du gain du transistor. En fait ce n’est pas le cas à cause de l’accroissement simultané des éléments parasites qui concourent à une chute du gain. Il est à noter que la structure interdigitée revient à la mise en parallèle de transistors élémentaires, ce qui entraîne une baisse rapide des impédances d’entrée et de sortie, et donc des difficultés d’adaptation correspondantes, associées à une réduction de la bande d’utilisation. Pour la dissipation thermique, on utilise des trous métallisés et des substrats amincis.

Exemple typique de structure de puissance

5.6.2 La conception

Concevoir un amplificateur de puissance ce n’est pas la même approche que concevoir un amplificateur ayant un maximum de gain en petit signal. En effet on est alors amené à excursionner les caractéristiques du transistor jusque dans les zones non linéaires où ses caractéristiques se déforment, et dans ce cas on ne peut plus parler de paramètres [S] puisqu’il varient avec le signal lorsqu’on aborde les zones non linéaires. Tout au plus peut-on parler de paramètres [S] moyens de toutes façons différents des paramètres [S] bas niveau.

G

D

S S S S

Via Holes Via Holes



5.6.2.1 Conception par le calcul Il faut pouvoir décrire le schéma non linéaire du transistor ; on peut ensuite optimiser les circuits d’adaptation d’entrée et de sortie pour obtenir les performances désirées. Toute la difficulté réside dans la caractérisation du transistor, et l’extraction d’un schéma non linéaire représentatif.

5.6.2.2 Conception à l’aide de mesures Il en existe deux techniques, la technique dite du « Load Pull » et la technique dite du « Peeling ». Technique du « Load Pull » Pour une puissance d’entrée donnée, le composant est adapté avec des adaptateurs démontables jusqu’à l’obtention du gain maximum, et donc de la puissance de sortie maximale. Les adaptateurs sont ensuite démontés et mesurés Ceci est répété à chaque fréquence utile, et pour plusieurs niveaux de puissance d’entrée. A partir des ces mesures on détermine les circuits d’entrée et de sortie nécessaires à l’aide des techniques habituelles de synthèse des circuits. Technique du « Peeling » C’est la même technique mais ramenée au niveau des circuits microstrip. Pour déterminer les circuits d’entrée et de sortie il y a trois phase : 1. Les paramètres [S] petit signal du transistor sont mesurés à une fréquence donnée. 2. Le transistor est adapté à cette fréquence pour obtenir le couple « puissance de sortie / gain

associé » désiré (adaptation à l’aide de pions). L’ensemble ainsi déterminé est mesuré en petit signal.

3. L’adaptation de sortie étant enlevée, les paramètres [S] sont à nouveau mesurés en petit signal. A partir de ces trois mesures on déduit les paramètres [S] des circuits d’adaptation d’entrée et de sortie : Les matrices [S] issues des mesures doivent être transformées en matrice de transfert qui seules peuvent se multiplier entre elles lorsque l’on met des quadripôles en cascade. Rappel :

Pour la matrice [S] on a : 2

1

2221

1211

2

1

a

a

SS

SS

b

b*= ,

et pour la matrice de transfert [T] : 2

2

2221

1211

1

1

b

a

TT

TT

a

b*= , soit [ ]

21

1

21

2221

11

21

SS

SS

S

ST−

∆−=

avec 21122211 SSSS −=∆ . Soit alors [ ]1M , [ ]2M et [ ]3M les matrices de transfert correspondantes aux trois mesures précédentes, et [ ]T , [ ]IN et [ ]OUT les matrices de transfert respectives du transistor en petit signal, du circuit d’adaptation d’entrée et du circuit d’adaptation de sortie. Les inconnues recherchées sont : [ ]IN et [ ]OUT Compte tenu de ces notations il vient : [ ] [ ]TM =1 , [ ] [ ] [ ] [ ]OUTTINM **=2 et [ ] [ ] [ ]TINM *=3



d’où l’on tire les matrices cherchées : [ ] [ ] [ ] 113 −= MMIN * et [ ] [ ] [ ]23 1 MMOUT *−=

Ces matrices sont alors éventuellement alors transformées en matrices [S] (au grès du concepteur). Il est à noter que ces méthodes de détermination de circuits peuvent aussi être utilisées en régime linéaire.

5.6.3 Dynamique sans parasite

Dans un amplificateur de puissance, comme dans tout régime non linéaire, il apparaît une distorsion d’intermodulation quand on applique à l’entrée deux signaux (ou plus) de fréquences voisines F1 et F2. On obtient en sortie des signaux de fréquence mF1 ± nF2. Pour m + n = N on a les produits d’intermodulation d’ordre N. Généralement on s’intéresse aux produits d’ordre 3 (2F2-F1 et 2F1-F2) qui sont les plus gênants car ils correspondent à des fréquences voisines de F1 et F2. Si l’on a à l’entrée des signaux F1 et F2 de même amplitude, la puissance des produits d’ordre 3 (2F2-F1 ou 2F1-F2) croît trois fois plus vite que celle de F1 ou F2 ( pentes respectives 3 et 1 sur un graphe Pout = f(Pin) tracé en échelles logarithmiques – (cf. figure ci – dessous). Le point PI d’intersection des droites de F1 et F2-F1 est désigné sous le nom de point d’interception du 3ème ordre (IP3). La dynamique sans parasite d’un amplificateur est alors définie comme la dynamique comprise entre le niveau de bruit en sortie (en dessous duquel on ne pourra pas distinguer de signal) et la puissance de sortie permise pour que le produit d’intermodulation du 3ème ordre ne dépasse pas ce niveau de bruit.

Pin (dBm)

Pout (dBm)

Niveau de bruiten sortie : kToBGF

a

2a

PI

Ps

Po

Pente 1

Pente 3

P(2F2-F1)

P(F1)



Le niveau de bruit en sotie est donné par : N = kToBGF avec : K : constante de Boltzman = 1,374. 10-23 J/°K To : température absolue = 290°K B : la bande passante (Hertz) G : le gain en puissance de l’amplificateur F : son facteur de bruit

KToB = -204 dBW/Hz ou –114dBm/MHz

Connaissant le niveau de puissance PI correspondant au point d’interception du 3ème ordre, et par construction géométrique on détermine la dynamique sans parasite :

D(dB) = ( ))()( dBmkToBGFdBmPI −3

2

D(dB) = ( ) ( ) ( )[ ]dBFdBGMHzBdBmdBmPI −−−+ log10114)(3

2


C. JOUSSEMET page 64 / 102 Juillet 2002 lletn 2004

6 COUPLEURS DIRECTIFS

Dans ce chapitre, après un exposé général sur la définition et les principales propriétés des coupleurs directifs, nous donnerons une description des principaux coupleurs rencontrés dans les circuits hyperfréquences et leurs principales applications. Nous n’exposerons pas les techniques de calculs des coupleurs et en particulier leur analyse par modes pair et impair. Toutefois le lecteur intéressé pourra se reporter sur le polycopié du cours « Microstrip » où cette analyse sera développée.

6.1 PROBLEME

Recherchons un octopôle passif, sans perte et adapté à ses 4 accès. (1) (3) (4) (2) Si cet octopôle existe sa matrice [S] doit avoir les propriétés suivantes : • circuit passif = circuit réciproque : [S] = [S]t (1) • circuit sans perte : [S]* = [S]-1 (2) • adapté à ses 4 accès : i Sii ∀= 0 (3)

Compte tenu des conditions (1) et (3), sa matrice [S] s’écrit : 0 S12 S13 S14 S = S12 0 S23 S24 S13 S23 0 S34 S14 S24 S34 0 Dans un premier temps exprimons , conformément à la condition (2), que les éléments de la diagonale principale de [S]-1 sont nuls. Il s’en suit quatre relations : S23*S24*S34 = 0 S12 = S34 = 0 (4) S13*S14*S34 = 0 dont les solutions sont : ou S13 = S24 = 0 (5) S12*S14*S24 = 0 ou S14 = S23 = 0 (6) S12*S13*S23 = 0 On remarquera aisément que ces trois solutions sont identiques à une permutation des numéros de portes près. Pour la suite nous choisirons la solution (4) , la matrice [S] de l’octopôle peut alors se mettre sous la forme suivante : 0 0 α β S = 0 0 β’ α’ α β’ 0 0 β α’ 0 0 En exploitant les autres relations de l’équation (2) : [S]* = [S]-1, et en se contentant des relations concernant les amplitudes, on obtient les relations suivantes :

α=α′ (7) β=β′ (8) α² + β² = 1 (9)



6.2 CONSEQUENCES

La relation (9) était prévisible ; elle indique tout simplement que l’octopôle est sans perte (pas d‘énergie dissipée). Les relations (7) et (8) montrent que pour tout circuit de ce type les couplages entre les portes (1) et (3) d’une part, (2) et (4) d’autre part sont égaux (en amplitude) . II en est de même pour les accès (1) –(4) et (2) – (3). Intercalons maintenant un tel circuit sur une ligne de transmission d’impédance caractéristique Ro, entre un générateur Eg, Rg et une charge Rc, comme indiqué sur la figure ci-dessous. On supposera les portes (2) et (4) de l’octopôle fermées sur une charge adaptée Ro (non représentée) : (4) (2) a b (1) (3) Rc Zc= Ro

Le ligne de transmission est le siège d’une onde incidente a et d’une onde réfléchie b . Compte tenu

de la matrice [S] de l’octopôle, on recueillera en (4) une onde de puissance βa c’est à dire

proportionnelle à l’onde incidente sur la ligne, et en (2) une onde de puissance βb c’est à dire proportionnelle à l’onde réfléchie. D’où le nom de coupleurs directifs donnés aux octopôles passifs, sans perte, car le résultat dépend de la « direction » de circulation des ondes sur la ligne principale.

Si le coupleur est parfait, il n’y aura en (2) aucune contribution issue de l’onde incidente a (S12 = 0),

et en (4) aucune contribution de l’onde réfléchie b (S34 = 0).

6.3 DEFINITIONS : COUPLAGE et DIRECTIVITE

Le couplage correspond au rapport en module de l’onde de puissance qui sort par la voie couplée sur celle de la voie incidente. Par exemple si la voie incidente est la voie (1), la voie couplée sera la voie

(4), et le couplage sera le rapport 14 ab .

Il correspond donc aux modules des quatre termes suivants de la matrice [S] :

S14 = S41 = S23 = S32,

et il s’exprime en décibels (dB) : ( )4120 SC log= = …..

Rg

Eg

1 3

24

(1)

(2)

(3)

(4)



La directivité du coupleur exprime sa qualité. Elle correspond au rapport en module de l’onde de puissance qui sort par la voie découplée sur celle qui sort par la voie couplée . Par exemple, toujours pour une voie incidente en (1), la voie couplée sera la (4) et la voie découplée la (2). La directivité du coupleur sera donc égale au rapport :

41

21

4

1

1

2

4

2

S

S

b

a

a

b

b

b== * . Et comme le couplage elle s’exprime en décibels (dB).

)(logloglog)( dBCSSSdBD +=−= 214121 202020

Dans le cas d’un coupleur idéal sa directivité est infinie.

6.4 LES COUPLEURS SUR GUIDE D’ONDE

Ce sont ceux qui ont la directivité la plus importante, d’où leur application en métrologie. Il en existe de nombreux modèles, et parmi les diverses réalisations on peut citer :

6.4.1 Les guides accolés sur le petit côté

Le couplage s’effectue par deux trous (ou fentes) distantes de λg /4. Principe : L’énergie entrant en (1) se propage principalement en (3), quant aux portions de cette énergie qui passe par les trous, compte tenu du λg/4, elles se retrouvent en phase sur la voie (4) et en opposition sur la voie (2). Le graphique ci-dessous donne une valeur approximative du couplage en fonction du rapport d/a

20

25

30

35

40

45

50

0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4d/a

coup

lage

(dB

)

a

(1)

(3)

(4)

(1)

(2) Trajets en opposition

(3)

(4) Trajets en

phase

λg/4 diamètre : d



Remarque : Pour augmenter la bande passante du coupleur on peut augmenter le nombre de trous, tous en modifiant progressivement leurs diamètres, un exemple en bande X (8 à 12.4 GHz) est donné ci-après (guide standard RG52/U – 10.16 x 22.86 mm) :

d d d d d d d d

A AB BC CD DE

Pour un couplage de 30 dB les côtes sont les suivantes : d = 9.73 mm

diamètre de A = 2.79 mm diamètre de B = 3.61 mm diamètre de C = 4.52 mm diamètre de D = 5.11 mm diamètre de E = 5.28 mm

6.4.2 Guides accolés par le grand côté

Le principe est le même que pour les guides accolés par le petit côté, mais les trous (ou fentes) ne doivent pas être pratiqués dans l’axe du guide car elles ne couperaient aucune ligne de courant, et n’assureraient alors aucun couplage. Là encore pour augmenter la bande passante on augmente le nombre de fentes et on module leurs dimensions

6.4.3 Coupleurs en croix

Ils sont constitués de deux guides rectangulaires placés l’un au dessus de l’autre, mais contrairement aux exemples ci-dessus leurs axes sont perpendiculaires. Le couplage est assuré par des croix ou des trous comme indiqués sur les figures ci-après.

λg/4 (1)

(3)

(4)

(2)



6.4.4 Un cas particulier : Le Té Magique

Il est constitué de trois guides d’onde assemblés suivant le schéma ci-après, et il présente les propriétés suivantes : • Entrée en (1) : sortie en (3) et (4) avec même amplitude et même phase, la voie (2) est la voie

découplée, • Entrée en (2) : sortie en (3) et (4) avec même amplitude mais en opposition de phase, la voie (1)

est la voie découplée, • Par voie de conséquence, si on entre deux signaux A et B respectivement en (1) et en (2), on

retrouvera en (3) la somme vectorielle de ces deux signaux : ( ) ( )BArr

+=2

13 , et en (4) leur

différence : ( ) ( )BArr

−=2

14 .

Ce coupleur fait partie de la famille des coupleurs 3 dB (division du signal incident en deux parts égales) dont nous verrons ci-après d’autres exemples, et dont les applications sont nombreuses en particulier au niveau des fonctions hyperfréquences.

Sa matrice [S] s’écrit : [ ]

002121

002121

212100

212100

−−= − θjeS

6.5 COUPLEURS A LIGNES COUPLEES

Conformément à la figure ci-dessus, ce coupleur est constitué de deux lignes triplaque (ou microruban), qui sur un quart de longueur d’onde sont très proches l’une de l’autre, de telle sorte que ce rapprochement modifie la répartition des champs électromagnétiques.

A

B

1/ 2*(A+B)

1/ 2*(A-B)

(1)

(2)

(3) (4)

s sw

A

A'

λ/4

(1)

(3)

(2)

(4)

A

A'



Cette modification locale des champs entraîne la modification correspondante des impédances caractéristiques des lignes dans la zone où elles sont proches, et de plus cette modification dépend du sens de propagation des signaux dans les lignes. La théorie de ce type de coupleur fait appel à l’analyse des circuits par modes pair et impair qui sera développée dans le cadre du cours « Microstrip ». Elle permet de démontrer que pour des dimensions bien choisies de la largeur des rubans « S » et de leur écartement « w » ce type de circuit est un coupleur directif dont la valeur du couplage est définie par le couple (S, w). Les couplages obtenus, sauf astuces de conception, sont en général faibles (de 10 à 30 dB).

6.6 LES COUPLEURS 3 dB EN ANNEAUX

Outre le Té Magique du paragraphe 6.4.4, il existe d’autres structures, en particulier en circuit triplaque ou microruban, permettant la réalisation de coupleur 3 dB . Ceci est le cas pour les coupleurs en anneaux développés ci-après.

6.6.1 Anneau 4 λλλλ/4

Conformément au schéma ci-dessus, il est formé de quatre branches, constituée chacune par un tronçon de ligne quart d’onde. Leurs impédances caractéristiques respectives sont Ro et Ro/√2 (soit 50 Ω et 35 Ω si l’impédance de référence est 50 Ω) Avec ces impédances caractéristiques, cet octopôle est adapté à tous ces accès, et la valeur du couplage est de 3 dB (division du signal entrant en deux parts d’égale puissance). Propriétés : • Entrée du signal en (1) : les sorties sont les voies (3) et (4) avec même amplitude mais une

quadrature de phase : ( ) ( ) 243 πϕϕ =− . La voie découplée est la voie (2). (On remarquera que

le chemin entre (1) et (3) est d’un quart de longueur d’onde soit un déphasage de -π/2, alors qu’il est d’une demi longueur d’onde entre (1) et (4) soit un déphasage de -π).

• Entrée du signal en (2) : comme pour une entrée en (1) les sorties sont les voies (3) et (4) avec même amplitude et quadrature de phase mais inverse : ( ) ( ) 243 πϕϕ −=− . La voie découplée est la voie (1).

• On trouvera facilement par symétrie les autres cas.

Sa matrice [S] s’écrit : [ ]

00221

00212

22100

21200

j

j

j

j

S

−−−−

−−−−

=

50 Ω

λ / 4

λ / 4

A A '

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

35 Ω

35 Ω



6.6.2 Anneau 6 λλλλ/4

Il est constitué d’un anneau formé par une ligne d’impédance caractéristique 2RoZc = (soit Zc = 70.7 Ω si Ro = 50 Ω) de 6λ/4 de circonférence, les quatre accès d’impédance caractéristique Ro étant répartis tous les λ/4 sur l’une des demi – circonférences de l’anneau (cf. schéma ci-dessus). Adapté à ces quatre accès ce circuit est l’équivalent du Té Magique précédemment décrit, en particulier ses propriétés sont les suivantes : Propriétés : • Coté amplitude : l’énergie entrant par l’un des accès se répartie à égale amplitude sur les deux

accès adjacents, l’accès opposé étant découplé. • Coté phase : l’énergie entrant par l’accès (1) donnent des sorties de mêmes amplitudes et mêmes

phases sur les deux accès (2) et (3). Cela est identique pour une énergie entrant par l’accès (2) et sortant aux accès (1) et (4) ; par contre l’énergie entrant par l’accès (3) donnent des sorties de mêmes amplitudes mais de phases opposées sur les deux accès (1) et (4), comme cela est vrai aussi pour une énergie entrant par l’accès (4) et sortant aux accès (2) et (3). Il suffit pour s’en rappeler de suivre les différences de chemins correspondants.

• Comme pour le Té Magique, compte tenu de ces relations de phase, si on entrent deux ondes distinctes a1 et a4 par les portes (1) et (4) on obtiendra sur la porte (2) leur somme vectorielle :

( )4122

aaj

b +−= , et sur la porte (3) leur différence vectorielle : ( )4132

aaj

b −−= . C’est

évidemment la même chose avec les sorties (1) et (4) si on utilise les entrées (2) et (3). Avec la numérotation des portes du schéma ci-dessus la matrice [S] de ce coupleur est la suivante :

[ ]

022

0

200

2

200

2

220

jj

jj

jj

jj

S

+−

+−

−−

−−

=

A

A'

(1) (2)

(3) (4)

λ/4

3λ/4



6.7 APPLICATIONS DES COUPLEURS DIRECTIFS

Les applications principales des coupleurs sont : • la métrologie, et de façon moins précise les tests, • la distribution de puissance • les fonctions

6.7.1 Métrologie et test

La métrologie est l’application la plus connue et aussi la plus importante puisqu’en permettant la séparation, et donc la mesure, des ondes incidentes et réfléchies sur une ligne elle est à la base de la mesure des paramètres [S] : • en amplitude seulement : les réflectomètres • en amplitude et phase : les analyseurs de réseau Les coupleurs utilisés ont en général des couplages faibles (20 à 30 dB), et bien sûr une très bonne directivité (> 40 dB). Ce sont essentiellement des coupleurs sur guide ou en structure coaxiales. Le test relève aussi de la mesure, c’est le même concept, mais la précision n’est souvent pas recherchée. Ceci permet l’utilisation de coupleurs moins précis, et donc l’utilisation de la technologie du circuit à tester (triplaque, microruban, …). Parmi ces tests on trouve essentiellement les contrôles de niveau en entrée ou sortie de sous ensembles, les test de TOS, etc…

6.7.2 Distribution de puissance

L’utilisation de coupleurs pour la distribution de signaux hyperfréquences à plusieurs (n) sous ensembles réside dans le fait qu’il ne peut être question de mettre les n sous ensembles en parallèle, sans avoir une impédance d’entrée de Ro/n, et donc de renvoyer l’énergie dans le générateur. La distribution la plus classique est la distribution en 2n, à base de coupleurs 3 dB. Mais on peut varier les couplages et avoir de l’imagination si nécessaire.

6.7.3 Fonctions avec un coupleur 3dB à sorties en q uadrature

6.7.3.1 Résultats préliminaires

Si nous plaçons aux bornes de sorties d’un coupleur, 3dB type anneau 4λ/4 (ou équivalent), deux coefficients de réflexion complexes, distincts 1ρ et 2ρ conformément au schéma ci-dessous, (1) 1ρ (2) 2ρ

on obtient un quadripôle avec )(2

11211 ρρ −=S ; ( )212112 2

ρρ +==j

SS ; )(2

12122 ρρ −=S



En particulier si ρρρ == 21 (même amplitude et même phase), alors :

02211 == SS et ρjSS == 1221 Le quadripôle est adapté, et son coefficient de transmission est égal (à un déphasage π/2 près) au coefficient de réflexion qui ferme les portes (3) et (4).

6.7.3.2 Applications Si le coefficient de réflexion est constitué : • d’une diode PIN commandée en courant, on obtient un atténuateur analogique, • d’une diode PIN commandé en polarisation directe puis inverse, on obtient un déphaseur digital

(deux états de phase), • d’une diode varactor, on obtient un déphaseur analogique. • d’une diode schottky, on rentre dans la famille des transposeurs, mélangeurs, DAP. Toutes ces fonctions seront développées dans le chapitre suivant.

6.7.4 Etages équilibrés

Si l’on place deux quadripôles identiques de paramètres S : S11 , S12 , S21 , S22 , entre deux coupleurs 3dB à sorties en quadrature comme indiqué ci-dessus, les accès (2) du 1er et (3) du 2ème étant fermés sur l’impédance de référence Ro, on obtient un quadripôle dont les paramètres [S] sont donnés par les relations simples suivantes : S11=S22 =0 ; S12=S12 ; S21=S21 . Ce quadripôle est adaptée à ces accès, et son coefficient de transmission est égal au coefficient de transmission du quadripôle placé entre les deux coupleurs. Applications : • Amplificateur faible bruit, pour masquer le TOS d’entrée de ce type d’amplificateur, • Amplificateurs de puissance : avec 2 amplificateurs placés entre les coupleurs on obtient un

amplificateur ayant le même gain que chacun des deux, mais le double de puissance, • Association de fonctions non adaptée : interrupteurs, limiteurs, etc…

(1) [S] (3) fermé sur Ro

[1] [2]

(4) [S] (2) fermé sur Ro


C. JOUSSEMET page 73 / 102 Décembre 2005

7 COMPOSANTS HYPERFREQUENCES ET FONCTIONS ASSOCIEES

7.1 INTRODUCTION

Ce chapitre concerne les principales fonctions de base que l’on rencontre dans les circuits hyperfréquences. On entend ici par fonctions l’association d’un (ou plusieurs composants) au sens semi conducteur, de même type, associées à un circuit passif. Il permet ainsi d’avoir une vue générale sur les composants utilisés en hyperfréquence, et sur leur utilisation principale. Il permet aussi, en fonction des fonctions étudiées, de clarifier quelques caractéristiques propres à ces fonctions. Toutefois, il ne s’agit en aucun cas d’un cours sur les semi conducteurs, et encore moins sur la physique du solide associée . Les descriptions des semi conducteurs eux mêmes sont volontairement simplistes, au risque de n’être pas tout à fait rigoureuses. Elles ne sont là que pour faire ressortir les spécificités de leur fonctionnement en hyperfréquence, et permettre ainsi au lecteur appréhender le pourquoi de leur utilisation dans telle ou telle fonction. Nous étudierons ainsi : • Les fonctions de contrôle en amplitude et phase • Les fonctions de conversion de fréquences (détecteurs, mélangeurs, transposeurs), • Les fonctions de génération de fréquences (oscillateurs), et d’amplification, sans toutefois revenir

sur les amplificateurs à transistors étudiés précédemment.

7.2 LES FONCTIONS DE CONTROLE

Elles concernent les contrôles en amplitude et / ou phase, c’est à dire les fonctions suivantes : • Interrupteurs • Commutateurs • Limiteurs • Atténuateurs digitaux et analogiques • Déphaseurs digitaux ou analogiques Les semi conducteurs associés à ces fonctions sont essentiellement les diodes PIN ou les diodes varicap (à capacité variable) . En MMIC les diodes PIN sont remplacées par des TEC ou FET « froids » (Vds = 0). Il sont alors équivalents à une résistance variable contrôlée par la tension Vg ; la résistance de canal varie de quelques ohms pour Vg ≥ 0 à quelques kΩ pour Vg = Vp..

7.2.1 La diode PIN

Elle est constituée d’une zone de silicium intrinsèque (non dopée) placée entre deux régions très dopées P+ et N+.

P+ N+ I

d

Contacts ohmiques

V

I

V Vb

Caractéristique statique



Polarisation directe : Il y a : • injection de porteurs de P+ dans la zone I, • injection de porteurs de N+ dans la zone I, Cette recombinaison entraîne un courant direct (fonctionnement classique d’une jonction PN). Si τ est la durée de vie des porteurs de charges et Id le courant direct, il y aura dans la zone intrinsèque I une charge électrique Q=Id*τ. Il faut noter que cette durée de vie τ est une fonction croissante de l’épaisseur d de la zone intrinsèque I (τ = temps de trajet + temps de recombinaison). En hyperfréquence cette durée de vie τ (de l’ordre de 5 à 3000 ns) est toujours grande devant la période des signaux correspondants. Une diode PIN ne redresse pas les signaux hyperfréq uence, la caractéristique Id(V) classique d’une diode ne s’applique que pour les signaux de polarisation. Polarisation inverse : On est en fait en présence de deux jonctions en série, la jonction P+I et IN+,, avec deux zones de charges d’espace. En polarisation inverse les épaisseurs w1 et w2 de ces deux zones, désertées de charges mobiles, augmentent avec la tension inverse de polarisation

La diode est équivalente à une capacité de valeur : 21 wwd

SC

++= ε

Si l’épaisseur de zone intrinsèque d est grande (on dit que l’on a une diode à base épaisse), les variations de w1 et w2 sont négligeables devant d, et la capacité de la diode est indépendante de la tension inverse. Au contraire, pour les diodes à base mince, les variations de w1 et w2 ne sont plus négligeables et la capacité de la diode varie avec la polarisation inverse. C’est l’effet varicap (ou varactor) qui peut être accentué par une zone I très légèrement dopée N. A noter que la valeur de la tension d’avalanche Vb est directement liée à l’épaisseur de la zone intrinsèque I. Les valeurs des tensions d’avalanche utilisées varient de quelques dizaines de volts (diodes de limitation, diode varicap) à plusieurs centaines de volts. EN RESUME : Une diode PIN ne doit pas être considérée comme une diode pour les hyperfréquences, mais comme un circuit passif fonction de la polarisation continue (ou basse fréquence) appliquée à la diode. Son schéma équivalent est celui d’une capacité (fix e ou légèrement variable) en parallèle avec la résistance de la zone I, fonction de sa polarisa tion. Elle varie de quelques ohms en direct à quelques mégohms en inverse. Il y a lieu d’y adjoin dre en série les résistances des contacts ohmiques et des zones P +et N+, et de ne pas oublier les éléments de connexion.

et recombinaison de ces porteurs.

r Rd

Cd

P+ N+ I

d

V

W1 W2



7.2.2 Interrupteurs

Egalement appelés en anglo-saxon SPST pour Single Pole Single Through Utilisation : • Découpeur d’émission, • Protection des circuits de réception commandés au moment de l’émission (« mauvais »

découplage du duplexeur, réflexion par TOS sur l’antenne). Conception : L’une des conceptions les plus courantes consiste à placer une ou deux diodes PIN en parallèle sur la ligne de transmission principale. Les fils de connexion de la (ou des ) diodes sont ajustés pour réaliser des inductances données (schéma ci – après) : En polarisation directe, la diode PIN, de résistance très faible réfléchie l’onde incidente, et découple ainsi la charge du générateur. En polarisation inverse, la diode PIN est équivalente à une capacité C. Elle forme alors avec ses deux inductances de connexion un filtre passe bas, adapté pour F = 0, et pour une autre fréquence dépendante des valeurs de L et C, si la valeur de C n’est pas trop importante. Exemple : Pour F = 10 GHz et C = 0,17 pF on obtient après calcul 2 valeurs de L permettant l’adaptation à courant nul. En augmentant le nombre de diodes on augmente le découplage, mais on augmente aussi les pertes. Variante : Au delà de 2 diodes il est plus efficace de séparer les diodes par des tronçons de lignes (~ λ/4) On a pu réaliser ainsi un interrupteur de 6 diodes ayant un découplage ≥ 80 dB avec des pertes de 2,5 dB en bande Ku . A ce niveau de découplage une attention toute particulière doit être porté aux rayonnements parasites possibles.

7.2.3 Commutateurs

Par association d’interrupteurs on peut réaliser des commutateur à 2, 3 ou n voies ( en anglo-saxon SPnT pour Single Pole n Through). Plus le nombre de voies augmentent, plus la réalisation est difficile et la bande d’utilisation étroite.

Zo ~

Zg = Zo

Zc = Zo

L L

C

L 2L

C

L

C

L = ~λ/4 L = ~λ/4 L = ~λ/4



Le schéma de principe pour un SP2T est donné ci – après : Lorsqu’une diode est en inverse sur l’une des voies, toutes les autres sont en direct. Les longueurs des tronçons de ligne reliant le plan PP’ de la jonction aux différents commutateurs doivent être telles que chacun d’eux ramène un circuit ouvert (Zeq ≅ ∞) en PP’. A la valeur de l’inductance de connexion près, ces longueurs sont donc des quarts de longueur d’onde. Ci – après une variante d’un SP2T à transistor , pour une réalisation en MMIC

7.2.4 Limiteurs

Ce sont des circuits qui limitent la puissance transmise à partir d’une certaine puissance d’entrée Po, la limitation de cette puissance n’apparaissant que sous le seul effet de la puissance d’entrée

L ≅ λ/4

L ≅ λ/4

P

P’

Pe

Ps

Po



Bien que, comme nous l’avons vu plus haut, les diodes PIN ne redressent pas les signaux HF, lorsqu’elles sont à base mince, c’est à dire à faible tension de claquage (de l’ordre de quelques dizaines de volts), sous l’influence d’un fort signal HF à leurs bornes, un certain nombre de porteurs arrivent à se recombiner dans la zone intrinsèque, et entraînent par la même occasion la présence d’un courant direct qui fait chuter la résistance de la diode (ceci d’autant plus que le niveau du signal est élevé). Ceci n’est bien évidemment possible que si la conception du circuit permet la fermeture de ce courant. On réalise ainsi des circuits pouvant saturer de quelques dizaines de milliwatt à quelques centaines de Watt, en fonction du circuit et de la diode utilisée. Utilisation : Protection des circuits de réception pendant la phase d’émission, ou en présence de signaux reçus trop importants.

7.2.5 Les fonctions d’atténuations

Ils en existent de différents types :

• A cellules résistives et T ou en π, réalisées avec des résistances discrètes ou des TEC (FET) froids

• A coupleurs 3 dB avec deux accès fermés sur des dipôles réflectifs à diodes PIN. • A coupleurs 3 dB et diodes PIN, utilisées en transmission, type étages équilibrés

7.2.5.1 Cellules résistives R1 R1 R2 R2 R1 R1

Cellule en T idem avec FET froids Cellule en π R1 et R2 (respectivement V1 et V2) sont choisis suivants l’atténuation recherchée, tout en conservant l’adaptation aux accès. Exemple : cellule en T : La matrice de chaîne du quadripôle s’écrit : 1 R1 1 0 1 R1 A B * * = 0 1 1/R2 1 0 1 C D

avec 2

11

R

RDA +== ,

+=2

121

R

RRB ,

2

1

RC =

Comme A = D, la condition d’adaptation s’écrit : B/Ro-CRo = 0, soit R1²+2R1R2-Ro² = 0,

Et l’atténuation est donnée par DCRoRoBA

S+++

= 221 , ce qui, compte tenu de la condition

d’adaptation donne : 21

221 RRRo

RS

++= .

SC

Self de choc pour fermeture du courant

~

Zg = Zo

Zo

T1 T1

T2 V2

V1



7.2.5.2 Coupleurs 3 dB et dipôles réflectifs : Rappel (cf. chapitre Coupleurs directifs § 6.7.3.1) : Si nous plaçons aux bornes de sorties d’un coupleur, 3dB type anneau 4λ/4 (ou équivalent), deux dipôles ayant le même coefficient de réflexion ρ ,on obtient un quadripôle tel que : 02211 == SS et ρjSS == 1221 . Le quadripôle est adapté, et son coefficient de transmission est égal (à un déphasage π/2 près) au coefficient de réflexion qui ferme les portes (3) et (4). (1) ρ (2) ρ On conçoit alors que si le dipôle est constitué d’une diode PIN, polarisée en direct entre 0 et quelques 1/10ème de volts (Id variant de 0 à quelques dizaines de milliampères) sa résistance variera de plusieurs KΩ à quelques ohms, en passant près de 50 Ω si l’inductance de connexion L compense la capacité Cd de la diode. On obtient ainsi un atténuateur analogique dont l’atténuation par de 0 dB à 0 volt (aux pertes résiduelles près), passe par un maximum puis revient à 0 dB avec le courant de polarisation. Ce type d’atténuateur est relativement simple, mais l’adaptation maximale obtenue ne dépasse rarement une quinzaine de dB. Il est utile dans le cadre d’un équilibrage de voies.

7.2.5.3 Coupleurs 3 dB et diodes PIN en transmissio n Rappel (cf. chapitre Coupleurs directifs § 6.4) Si l’on place deux quadripôles identiques entre deux coupleurs 3dB à sorties en quadrature, comme indiqué ci-dessous, les accès (2) du 1er et (3) du 2ème étant fermés sur l’impédance de référence Ro, on obtient un quadripôle adapté à ces accès, et dont le coefficient de transmission ( S21= S12 ) est égal au coefficient de transmission du quadripôle placé entre les deux coupleurs. (1) [S] (3) fermé sur Ro [1] [2] (2) fermé sur Ro [S] (4) Dans notre application les quadripôles [S] sont des interrupteurs (SPST) à une ou deux diodes tels que ceux étudiés précédemment : ou Polarisées à V ≤ 0 les interrupteurs sont adaptés (par hypothèse) et tout le signal entrant en (1) est transmis à l’accès (4). Polarisées en direct, les diodes présentent un court – circuit et les interrupteurs sont bloqués. Le signal entrant en (1) se réfléchit sur les interrupteurs et se recombine sur l’accès (2) où il est absorbée par la charge Ro. Entre ces deux états extrêmes (réflexion ou transmission totale) une fraction de la puissance incidente en (1) est transmise en (4), l’autre est absorbée par la charge Ro de l’accès (2) : le circuit se comporte comme un atténuateur adaptée .

Rd Cd

L



La dynamique d’un tel atténuateur est celle des interrupteurs utilisés (1 diode ~20 dB , 2 diodes 50~dB – si élimination des rayonnements parasites). Application radar : utilisation en GVT (Gain Variable dans le Temps) pour l’adaptation de la sensibilité de la détection à la distance où se situe la cible, en raison de la dynamique limitée des circuits de traitement (ex. : atténuation de 10, 20, ou 30 dB suivant l’amplitude du signal reçu).

7.2.6 Déphaseurs digitaux

Il existe de très nombreux types de déphaseurs à commande digitale ou analogique, leur développement, ces dernières années, étant fortement liée au développement des antennes à balayage électronique (passives ou actives) dont nous rappelons par un simple schéma ci – après le principe, en renvoyant le lecteur intéressé aux ouvrages (ou cours) d’antennes plus spécialisés. Parmi les différents types de déphaseurs, il faut citer : • Les déphaseurs à diodes • Les déphaseurs à ferrite L’étude du fonctionnement des déphaseurs à ferrite sort du cadre de ce cours, et il ne sera question par la suite que des déphaseurs à diodes (et de quelques variantes à FET). Tous (ou presque tous) les déphaseurs digitaux à diodes (ou semi – conducteurs en général) peuvent se classer dans l’une ou l’autre des catégories suivantes : • Déphaseurs à commutation de lignes, • Déphaseurs à coupleurs 3 dB, • Déphaseurs à perturbation, • Déphaseurs vectoriels

7.2.6.1 Cellules de déphasage à commutation de lign es Le principe est simple, il consiste à placer deux tronçons de ligne de longueurs différentes entre deux commutateurs. La différence de chemin assurant un déphasage linéaire en fréquence (retard constant). Les tronçons de lignes peuvent aussi être remplacés par des filtres, on a alors un déphasage à peu près constant en fréquence.

∆ϕ

∆ϕ

∆ϕ

∆ϕ

∆ϕ

∆ϕ DIS

TR

IBU

TIO

N D

E P

UIS

SA

NC

E

θ

θ

θ

d

( )θλπϕ sind2=∆

L

L + ∆L



Exemple : Réalisation d’un déphaseur 5 bits à commutation de ligne en MMIC, les commutateurs sont à base de FET froids.

7.2.6.2 Cellules de déphasage à coupleurs 3 dB Le schéma de principe est le même que pour l’atténuateur analogique ( §7.2.5.2 ci – dessus), à ceci près que les diodes PIN ne sont plus commandées dans leur zone directe par variation du courant, mais par commutation entre deux états : • polarisation inverse : la diode est équivalente à une capacité, • polarisation directe : la diode est équivalente à une résistance très faible. Inverse Direct Dans les deux états, en négligeant les pertes, la réflexion des dipôles est totale (dipôles purement réflectifs), par contre il y a variation de la phase de leur coefficient de réflexion, et donc de la phase en transmission du quadripôle. La valeur du déphasage est défini par les valeurs de L et de Cd. A.N. : A 10 GHz avec L = 0,8 nH et Cd = 0,16 pF on a ∆ϕ = 180°

7.2.6.3 Cellules de déphasage à perturbation On les appelle aussi déphaseurs à lignes chargées. Le principe en est le suivant : Considérons le quadripôle constitué par un tronçon de ligne de transmission d’impédance caractéristique Zc, de longueur électrique θ, avec à ses deux extrémités deux susceptances jB identiques : On démontre qu’il existe toujours un couple (Zc, θ) tel que ce quadripôle soit adapté pour deux valeurs distinctes jB1 et jB2 de la susceptance jB. ; par contre sa phase d’insertion varie entre ces deux états.

Rd Cd

L

~

Zg = Ro

Ro jB jB Zc

θ Cellule de déphasage



Cas particulier : Un cas particulier courant consiste à choisir une perturbation nulle dans l’un des états (jB1 = 0). Dans ce cas la valeur de l’impédance caractéristique du tronçon de ligne de la cellule est évidemment Zc = Ro, et les calculs montrent que si ∆ϕ est le déphasage de la cellule, on a

22 /ϕπθ ∆−= et )(2

22

ϕ∆= tg

RoB

Exemple de réalisation : Pour réaliser la susceptance variable B1, B2 on peut par exemple utiliser une diode PIN, placée en bout d’un stub quart d’onde en parallèle sur la ligne principale, et telle que sa capacité Cd résonne avec son inductance de connexion L à la fréquence désirée.

7.2.6.4 Déphaseurs complets Un déphaseur complet, c’est à dire à plusieurs bits (2 à 5 suivant les applications) combinent souvent plusieurs méthodes suivant le « poids » de chaque cellule. Les cellules à perturbations sont essentiellement utilisées pour les bits de poids faibles (≤ 45°). En deçà elles présentent l’avantage d’être très compactes, mais au delà la surtension de la cellule est trop importante, d’où une réalisation délicate et une bande passante faible. Pour les raisons inverses, les cellules à coupleurs ou à commutation de ligne sont plutôt utilisées pour les poids forts (voir exemple ci – après regroupant les 3 techniques).

Ro

λ/4 Zc

λ/4 Zc

θ

Cd Cd

Ro Ro



7.2.6.5 Déphaseurs vectoriels

Le principe de ce type de déphaseur consiste, comme son nom l’indique, à générer deux vecteurs 1V

et 2V en quadrature, et à faire leur sommation en jouant sur leurs pondérations respectives au moyen

d’amplificateurs à gains variables : 21 VVV βα += . Le schéma de principe de ce type de déphaseur est indiqué ci – après :

C’est en fait un déphaseur analogique qui peut être rendu digital par son circuit de commande. Ce dernier définit alors son nombre de bits. Il nécessite le plus souvent des corrections en température pour compenser les variations de gain des amplificateurs.

7.2.7 Déphaseurs analogiques

Si nous reprenons le schéma de principe d’une cellule de déphaseur à coupleur 3 dB (§ 7 2.6.2), et que nous remplaçons la diode PIN par une diode varicap, nous obtenons un déphaseur analogique en faisant varier sa tension de polarisation inverse, c’est à dire sa capacité. Ce type de déphaseur permet des variations continues de phase de l’ordre d’une centaine de degré associées à de légères variations de pertes (1 à 2 dB).

Il sont employés essentiellement pour la mise en phase des voies de réception des radars de poursuite.

Cd

L ρ

ρ



7.3 LES FONCTIONS DE CONVERSION DE FREQUENCES

Elles concernent les détecteurs, les mélangeurs et les transposeurs. Le semi conducteur commun à toutes ces fonctions est la diode schottky ( ou le TEC pour les MMIC).

7.3.1 La diode Schottky

C’est une jonction métal – semi conducteur réalisée avec un métal dont le niveau de Fermi de la bande de conduction est inférieur au niveau de Fermi de la bande de conduction du semi conducteur (occupé par les électrons libres). Avec comme semi conducteur le silicium, ceci est le cas pour des métaux tels que le nickel, le platine ou le palladium. Au contact métal – semi conducteur, du fait de la différence des niveaux de Fermi, des électrons majoritaires dans le semi conducteur diffuse dans le métal (phénomène identique à la jonction PN), d’où raréfaction des électrons dans le semi conducteur au voisinage de la jonction. C’est une zone de charge d’espace avec création d’une barrière de potentiel. L’équilibre s’établit lorsque le courant de diffusion (SC métal) est égal au courant dû à l’agitation thermique. La particularité de cette jonction c’est que tous les électrons sont concentrés au niveau de la jonction (conductivité du métal infinie), en conséquence il n’y a pas de stockage de charges, et pas de temps de recombinaison.

La diode schottky est la seule diode qui mérite son nom de diode, car c’est la seule qui redresse un signal hyperfréquence, et ceci jusqu’au x fréquences millimétriques.

Dit autrement, cela signifie que la caractéristique I(V) classique d’une diode ( )( 10 −= nkT

qV

eII )

s’applique quelle que soit la fréquence du signal (V), et donc en particulier aux signaux hyperfréquences. Pour des raisons de commodité de calcul, autour d’un point de polarisation V0 on remplacera cette

relation par son développement limité, soit ....++++= 33

2210 VaVaVaII ,

avec I0 = 0 si V0 = 0

7.3.2 Le détecteur quadratique

Son but est la détection de la présence d’une onde hyperfréquence dans un circuit, et la détermination de son niveau. Le schéma de principe d’un détecteur est le suivant :

SC dopé N

métal

Niveau d’énergie des électrons libres

Dans le Semi Conducteur

Dans le métal

Vd R C



Soit )cos( tAV ω= le signal HF aux bornes de la diodes ; le point de polarisation étant à zéro, en se

limitant au 2ème ordre, le courant correspondant s’écrit : )()²(cos²)cos( VtaAtAaI εωω ++= 21 ,

avec ))cos(()²(cos tt ωω 2121 += . Le courant généré au niveau de la diode s’écrit donc :

( ) ( ) ( )VtaA

tAaaA

I εωω +++= 222

22

12

2

coscos

Cette expression fait apparaître une composante continue (2

22aA

), associée à une composante à la

fréquence fondamentale, et à l’harmonique 2. Les composantes hyperfréquences sont filtrées (capacité de découplage C) et la composante continue s’écoule dans la résistance R. A ces bornes on peut mesurer une tension proportionnelle au carré de l’amplitude du signal HF incident, et donc à sa puissance. On dit que la détection est quadratique. Un schéma un peu plus complet d’un détecteur est donné ci – après : SC : self de choc permettant de fermer le courant continu, Vcc : alimentation continu permettant le choix du point de polarisation de la diode, C1 : capacité de découplage HF RL , C2 : filtre passe bas limitant la bande passante vidéo Dans la pratique un détecteur est quadratique pour les faibles niveaux de puissance HF ( < -20 dBm), au delà il devient linéaire (Vdétectée = k * VHF), et ensuite il sature. Ces diverses zones dépendent de la diode, de son point de polarisation et de la résistance de charge. Caractéristiques : Dans sa zone quadratique, un détecteur est caractérisé par divers paramètres dont les principaux sont : Sa sensibilité en tension : rapport de la tension détectée sur la puissance HF (en V /mW) – ordre de grandeur 5V/mW en bande X. Sa sensibilité en signal tangentiel (TSS) qui correspond au niveau de puissance HF permettant d’avoir en sortie un rapport signal / bruit de 8 dB. Ce niveau se détermine à l’oscilloscope :

SC ~

Zg = Zo

Q d’adaptation

Vcc

Ampli vidéo RL

C1 C2

Vd

t



7.3.3 Les mélangeurs

7.3.3.1 Fonction L’une des fonctions principales des mélangeurs (mixer en anglo-saxon) est le changement de fréquence. Le dispositif transpose un signal de fréquence FS en un signal à fréquence beaucoup plus basse FI en utilisant un oscillateur local de fréquence FOL proche de la fréquence signal. C’est l’élément incontournable de tous les récepteurs superhétérodynes.

7.3.3.2 Principe Le principe consiste à effectuer la somme des tensions aux fréquences FS et FOL , et à l’appliquer à un élément non linéaire (diode schottky, TEC). Les non linéarités génèrent alors des tensions aux fréquences m FOL ± n FS , et donc en particulier le signal désiré FI = FOL - FS qui sera sélectionné par filtrage.

7.3.3.3 Mélangeur simple L’oscillateur local OL est ajouté au signal par l’intermédiaire d’un coupleur directif, et le tout est appliqué à un détecteur quadratique. Le courant dans la diode est alors donné par (limitation au 3ème ordre) :

( ) ( ) ( )33

2210 OLSOLSOLS kVVakVVakVVaIId ++++++=

soit

( ) ( )3322233

2222110 332 OLOLSOLSSOLSOLSOLS VkVVkVkVVaVkVVkVakVaVaIId +++++++++=

dont les différentes composantes, dans l’ordre croissant des fréquences, sont données dans le tableau ci – après, établi dans l’hypothèse FOL > FS. Termes CC OL-S 2S-OL S OL 2OL-S 2S OL+S 2OL 3S 2S+OL 2OL+S 3OL

Io X Vs X Vol X Vs² X X Vol² X X

Vs.Vol X X Vs3 X X Vol3 X X

Vs². Vol X X X Vs. Vol² X X X

R C Sommation

FS ( VS )

FOL ( VOL )

V2 = VS

V1 = VOL

V = VS + kVOL



7.3.3.4 Mélangeur symétrique

Il est constitué d’un coupleur 3 dB type anneau 6λ/4 ou Té magique dont les voies somme et différence sont chargées par deux diodes Schottky montées tête bêche, et supposées identiques. Les puissances respectives de l’OL et du signal sont alors réparties de façon identique sur les deux diodes. Remarque : Si Id1 = f(Vd1) est la caractéristique courant – tension de la diode 1, avec les notations de la figure, celle de la diode 2 sera donnée par : Id2 = -f(-Vd2). En se limitant pour la diode à un développement limité du 2ème ordre : ( ) 2210 VaVaIVfI ++== , il

vient :

( )2212

211

01 2)(

2VV

aVV

aIId ++++= , et ( )221

221

102 2

)(2

VVa

VVa

IId −−−+−= , le courant résultant dans la

charge est donc : 211121 *22*2 VVVaIII dd +=+= .

Avantage : Ce montage symétrique permet d’éliminer un certain nombre de composantes indésirables (en particulier les termes en V²1 et V²2), et de conserver le terme utile kV1 *V 2 , qui contient la composante cherchée de fréquence ω1−ω2 . Entre autre le battement de l’OL avec un signal qui arriverait par la même voie (bruit d’OL) est supprimé. Remarque 1 : Si ( )1111 ϕω += tAV cos et ( )2222 ϕω += tAV cos , tout battement de pulsation

21 ωω nm + généré par la diode le sera avec une phase égale à 21 ϕϕ nm + . La diode se comporte pour ce battement comme un générateur de courant. Remarque 2 : Compte tenu des propriétés des coupleurs 3 dB, dans le montage ci – dessus, les réflexions de l’OL sur les diodes se retrouvent en sortie sur la voie OL (c’est donc identique à un « mauvais » TOS). Si on utilise un coupleur à sortie en quadrature, avec les diodes dans le même plan, ces réflexions se retrouvent sur la voie signal, d’où détérioration du découplage signal - OL. Remarque 3 : Un coupleur 3 dB à sortie en quadrature dont l’une des voies est allongée d’un quart de longueur d’onde a le même fonctionnement qu’un Té magique. Symbole : Le mélangeur symétrique est représenté dans les schémas synoptiques par le symbole suivant :

R

L I HF

OL

FI

Té magique

V1

V2

(V1-V2)/√2

(V1+V2)/√2

Id1+Id2

Vd2

Vd1

Id2

Id1



7.3.3.5 Pertes de conversion et facteur de bruit Les pertes de conversion sont définies par le rapport de la puissance recueillie sur la fréquence intermédiaire sur la puissance du signal incident. Elles sont la somme des pertes dues aux désadaptations, aux impédances parasites et à la jonction elle même. Elles dépendent du niveau d’OL qui détermine, en l’absence de polarisation continue extérieure, le point de fonctionnement de la diode. Ces pertes passent par un minimum en fonction du niveau d’OL. Ce minimum étant de l’ordre de 6 à 8 dB quelle que soit la fréquence (de la bande L jusqu’en millimétrique) pour un niveau d’OL de l’ordre de 5 à 10 dBm par diode. Quant au facteur de bruit, il est quasiment égal aux pertes de conversion (à 0,5 ou 1dB près).

7.3.3.6 Le détecteur amplitude – phase (DAP) C’est tout simplement un cas particulier d’utilisation du mélangeur symétrique dans lequel, au lieu d’envoyer deux signaux de fréquences différentes FOL et FS , on l’alimente côté OL et côté signal par deux signaux de mêmes fréquence : ( )111 ϕω += tAV cos et ( )222 ϕω += tAV cos . La différence des fréquences étant nulle, on récupère alors sur la voie FI un signal continu dont la tension est : )cos( 2121 ϕϕ −= AkAVd

Remarque : il suffit de rajouter un π⁄2 dans l’une des voies pour avoir : )sin( 2121 ϕϕ −= AkAVd Application : Récupération des composantes I et Q d’un signal.

7.3.3.7 Mélangeur à élimination de fréquence image (EFI) Le mélangeur symétrique est très utilisé dans tous les récepteurs à changements de fréquences. Comme nous l’avons vu précédemment, alimenté par un signal de fréquence Fs et un OL de fréquence FOL , il fournit un signal FI tel que FFI = FOL – FS , si FOL > FS , et FFI = FS - FOL , si FOL < FOL . Autrement dit, il fonctionne en Infradyne (FS < FOL ) comme en Supradyne (FS > FOL ). Un mélangeur à élimination de fréquence image fonctionne soit en infradyne, soit en supradyne, mais pas dans les deux cas. Réalisation : Il est réalisé par la combinaison de deux mélangeurs symétriques, alimentés côté signal via un coupleur 3 dB à sortie en quadrature (anneau 4λ/4 – entrée (1)) et côté OL via un coupleur 3 dB somme – différence (anneau 6λ/4 ou Té magique – entrée (3)). Les sorties FI (FI 1 & FI 2) étant elles mêmes sommées après déphasage de l’une d ‘elles de 90°.

π⁄2

+

(1)

(2)

(3)

(4)

FI 1

FI 2



Le principe en est le suivant : du fait des phases des alimentations respectives OL et signal des deux mélangeurs, leurs deux sorties FI sont en quadrature mais de signe inverse suivant que l’on prenne le battement OL - S, ou S – OL. Le fait d’ajouter un déphasage de 90° avant la sommation réalise la mise en phase des FI pour l’un des battement, et leur mise en opposition de phase pour l’autre. Remarque : le fait de permuter OL et S (OL en (1) et signal en (3)), de permuter l’entrée signal ((2) au lieu de (1)), l’entrée OL ((4) au lieu de (3)) ou encore de mettre le déphasage de 90° sur la FI 2 au lieu de la FI 1 permet pour chaque permutation de passer de OL – S à S – OL, ou vice versa.

Utilisation : L’emploi de mélangeur EFI est obligatoire dans tout récepteur comprenant un amplificateur faible bruit (LNA) en tête, quand la fréquence intermédiaire est inférieure à la demi bande passante de ce LNA. (Exemple : bande de réception 300 MHz autour de 10 GHz, FI = 60 MHz) Dans le cas contraire on augmente le facteur de bruit de la chaîne de 3 dB, à cause de l’addition en FI du bruit thermique généré par le LNA sur la fréquence signal et la fréquence image. Lorsque la bande du LNA est plus petite que 2 fois la fréquence FI, il faut malgré tout s’interroger sur ce que devient le bruit autour de la fréquence image, et choisir pour l’éliminer si besoin est entre un mélangeur EFI ou un filtre.

7.3.4 Les transposeurs

Dans les mélangeurs on entre deux signaux « HF » et on récupère un signal « FI » de fréquence égale à la différence des fréquences de deux signaux HF. Dans les transposeurs, on entre un signal « HF » et un signal « BF »,.et on récupère des signaux HF de fréquence égale à la somme et / ou la différence des fréquences des signaux d’entrée. Du point de vue schéma synoptique, il n’y a aucune différence entre un transposeur et un mélangeur, seule leur utilisation diffère.

LNA Signal

OL

Filtre FI Ampli FI

Bande passante du LNA

OL Signal F. Image

Bande FI Bande FI



7.3.4.1 Transposeur bi bande : Son schéma est celui du mélangeur symétrique. Les signaux d’entrée sont : • à la porte (1), le signal HF ( )tVV S ωcos= ,

• à la porte (3), le signal BF ( )tAV Ω= cos . On recueille alors en sortie : • à la porte (1), la réflexion sur les deux diodes du signal HF de pulsation ω, • à la porte (2), les deux bandes Ω+ω et Ω−ω , En fait comme les découplages du coupleur ne sont pas infinis, on retrouve aussi à la porte (1) les deux bandes latérales mais à un niveau beaucoup plus faible que le fondamental, et à la porte (2) des fuites de porteuse, d’où les schémas ci – dessus.

7.3.4.2 Transposeur à Bande Latérale Unique (BLU) Son schéma est identique à celui du mélangeur à Elimination de Fréquence Image (EFI). Avec le signal HF en (1), un +π⁄2 sur la FI1, le Té magique de sortie sépare la bande inférieure en (3) et la bande supérieure en (4). Ces deux sorties sont inversées en changeant le signe du π⁄2 ou en entrant en (2) au lieu de (1). On peut aussi rentrer le signal HF en (3) ou en (4) et récupérer les bandes latérales en (1) et en (2).

π⁄2

(1)

(2)

(3)

(4)

FI 1

FI 2

( )tA Ωcos

Té magique ( )tVS ωcos ( )tA Ωcos

( ) ( )( )ttkAV Ω−+Ω+ ωω coscos

ω

ω

Ω Ω

Ω Ω

( )tVS ωcos

( )tkAVS Ω−ωcos

( )tkAVS Ω+ωcos



7.4 LES OSCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS A DIODES

Ce paragraphe traite des amplificateurs et oscillateurs à résistances négatives réalisés avec des diodes de type « Gunn » ou « avalanche ». Avec ce type de composants la distinction entre les deux concepts d’oscillateurs et d’amplificateurs est quelquefois difficile.

7.4.1 Généralités sur les oscillateurs

7.4.1.1 L’Oscillateur de Van der Pol On va montrer comment l’existence d’une résistance négative dans un circuit permet la réalisation d’oscillations. Supposons un dipôle à semi conducteur dont la caractéristique I(V) présente, dans une certaine plage de tension une pente négative (équivalente à une résistance négative). Autour du point de polarisation (Io, Vo) choisi au point d’inflexion de cette plage, on peut exprimer la relation ( )ifv = par

son développement limité à l’ordre 3, soit 3biaiv +−= Plaçons ce dispositif dans un circuit résonnant série : L’équation différentielle de ce circuit s’écrit :

01 =+++ ∫ iRidtCdt

diLv c , soit : ( ) 0

13 =+++− ∫ idtCdt

diLbiiaRc

En dérivant une fois par rapport au temps, et en posant : 120 =ωLC ,

cRa

b

−= 3β et

0ωγ

L

Ra c−= ,

il vient : ( ) 01 20

202

2

=+−− idt

dii

dt

id ωβγω

C’est l’équation de Van der Pol.

I

V

Vo

Io

D

C L

Rc v

i



Condition de démarrage (petit signal) :

En petit signal (i faible) on a 12 <<iβ , l’équation devient 02002

2

=+− idt

di

dt

id ωγω et sa solution

(

+

−=

2412

02

0 πγωγω

tAeit

cos a une amplitude croissante si on a γ > 0, ce qui revient à

écrire : cRa > .

Pour i faible aiv −= et adi

dv −= , a représentant la résistance dynamique de l’élément actif autour

de son point de polarisation Ainsi pour que des oscillations apparaissent dans l e circuit il faut que la résistance dynamique petit signal de l’élément actif soit négative, et s upérieure en module à la résistance du circuit (Résistance de charge et résistances de pertes de t ous les éléments réactifs incluses). Etablissement de l’oscillation (grand signal) :

On revient à l’équation initiale : ( ) 01 20

202

2

=+−− idt

dii

dt

id ωβγω , avec 1<<γ

En cherchant pour cette équation une solution de la forme : ( ) ( )ttAi 0ωcos= , on obtient :

( )( )

( )( )t

tte

b

Ra

ti

c

0

001

3

4

ωγω

cos−+

−

=−

, 0t étant une constante telle que l’amplitude des oscillations pour

0=t soient très faibles.

Quand t ∞, on obtient : ( ) ( ) ( )tb

Rati c

03

4ωcos

−= , soit ( ) ( )tIti 00 ωcos=

La tension aux bornes du dispositif, définie par 3biaiv +−= , devient en négligeant l’harmonique 3 :

( )tIbIav 00204

3 ωcos

+−= car 4

333 xxx

coscoscos

+= , et sa résistance dynamique est

alors : ( )20

00 4

3bIa

tI

vR d

d +−==ωcos

Cette impédance est non linéaire, et négative tant que b

aI

3

420 < .

La puissance délivrée par l’élément actif est donnée par 24

3

2

1 202

020

IbIaIRP d +−== .

Elle passe par un maximum quand 00

=∂∂I

P , soit

b

aI

3

220 =



Conditions quand l’oscillation est établie : Comme nous venons de le voir, lorsque l’oscillation est établie nous avons dans le dispositif un

courant donné par : ( ) ( )tIti 00 ωcos= avec ( )

b

RaI c

3

40

−= , soit 2

04

3bIaRc −= ,

Ce qui correspond à 0=+ dc RR .

Par ailleurs la pulsation 0ω correspond à 120 =ωLC , soit 0=∑ X

Les conditions permettant l’établissement d’une osc illation stable d’amplitude Io et de pulsation ωωωω0 sont :

000

=∑ ω,IR et 0

00=∑ ω,I

X

-a

b

aI

3

420 =

b

aI

3

220 =

Pmax

0

P

Rd

Io²

Io²



7.4.1.2 Bruit d’un oscillateur – Notion de spectre La caractérisation en bruit d’un oscillateur, c’est la caractérisation de sa pureté spectrale, autrement dit de sa stabilité. Oscillation idéale et oscillation réelle : Une oscillation idéale est caractérisée par une amplitude A constante et une fréquence fo fixe :

)cos()( tfAtS 02π= en prenant l’origine des phases à 0.

Ceci se caractérise en spectre par une raie unique à la fréquence fo , et en représentation de Fresnel

par un vecteur de module constant A tournant à la vitesse angulaire fixe 00 2 fπω = .

Dans la réalité au vecteur idéal tjeAtA 0ω=)( est additionné un vecteur de bruit )(tN d’amplitude et

de phase aléatoire, et le signal réel est la somme de ces deux vecteurs )()()( tNtAtS += .

Pour caractériser l’oscillation réelle on considère les deux composantes du vecteur )(tN

respectivement en phase )(tdA et en quadrature )(tdB avec le vecteur idéal )(tA .

La composante en phase )(tdA fait varier le module de )(tA . Elle se traduit donc par des fluctuations d’amplitude du signal, c’est pourquoi elle est représentative de son bruit d’amplitude .

La composante en quadrature )(tdB fait varier la phase de )(tA Elle se traduit donc par des fluctuations de phase du signal, et elle est représentative de son bruit de phase, ou bruit de fréquence (la fréquence étant la dérivée de la phase par rapport au temps).

A(t)

ω0t

N(t)

dA

dB

A

ω0t f

fo

A



Bruit d’amplitude :

Le vecteur )(tdA caractérisant les fluctuations d’amplitude du signal est lui même la somme d’une infinité d’oscillations élémentaires de différentes fréquences (ou pulsations) :

....... ++++= idAdAdAdA 21 .

Chacun des vecteurs idA caractérise une fluctuation d’amplitude de pulsation Ωi. Il se décompose lui

même en deux vecteurs ( iii dAdAdA ''' += avec idA' = idA '' ) tournant en sens inverse l’un de

l’autre à la vitesse angulaire Ωi. Ceci se traduit sur le diagramme Amplitude - Fréquence par deux raies de même phase, symétriques par rapport à ωo et de pulsations respectives ωo-Ω1 et ωo+Ω1 (spectre caractéristique d’une modulation d’amplitude) :

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttmA

tAttmAtS Ω++Ω−+=Ω+= 0000 21 ωωωω coscoscoscoscos)(

Amp ω ωo-Ω1 ωo ωo+Ω1 Le bruit possédant toutes les composantes spectrales, on aura des raies pour tout Ωi, et donc un spectre continu tout autour de la porteuse. Pour caractériser le bruit d’amplitude, on choisi une distance fm de la porteuse, on mesure la puissance Pb dans un filtre de bande B (Hz) autour de fo+fm et l’on écrit :

BPo

Pb

C

N

HzdBc

110 *log

/

=

: Po : puissance fournie à la fréquence centrale

Ce qui s’exprime par exemple de la façon suivante : le bruit d’amplitude de l’oscillateur est de –140 dBc/Hz à 10 kHz de la porteuse.

dA1 dA’1

dA’’1

Ω1

fo

fm

B

P



Bruit de fréquence ( ou de phase) :

Comme pour le bruit d’amplitude le vecteur )(tdB caractérisant les fluctuations de phase du signal est lui même la somme d’une infinité d’oscillations élémentaires de différentes fréquences (ou

pulsations) : ....... ++++= idBdBdBdB 21 .

Chacun des vecteurs idB caractérise une fluctuation de phase de pulsation Ωi.,et se décompose lui

même en deux vecteurs ( iii dBdBdB ''' += avec idB' = idB '' ) tournant en sens inverse l’un de

l’autre à la vitesse angulaire Ωi, comme cela est représenté sur la figure ci – dessous : La représentation spectrale correspondante comprend deux raies en opposition de phase, symétriques par rapport à ωo et de pulsations respectives ωo-Ω1 et ωo+Ω1 (spectre caractéristique d’une modulation de phase ou de fréquence à faible indice). Amp. A A∆Φ/2 ω0-Ωi ω0 ω0+Ωi -A∆Φ/2 En effet en temporel le signal correspondant s’écrit : ( )ttAtS iΩ∆Φ+= sincos)( 0ω ,

soit pour ∆Φ très faible : ( ) ( ) ( )[ ]

Ω−−Ω+∆Φ+= tttAtS ii 000 coscos2

cos)( ωωω

Comme pour le bruit d’amplitude on aura des raies pour tout Ωi, et donc un spectre continu tout autour de la porteuse.

dB1

dB’1 dB’’1 Ω1

ωot

dΦi

fo fm

B

P



Caractérisation du bruit de phase ou de fréquence : 1. La première possibilité consiste, comme pour le bruit d’amplitude, à mesurer la puissance Pb

dans un filtre de bande B (Hz) autour de fo+fm et d’écrire :

L(fm) = BPo

Pb

C

N

HzdBc

110 *log

/

=

: Po = puissance fournie à la fréquence centrale

L(fm) s’exprime alors en dB c/Hz, et il est impératif, comme nous le verrons part la suite, de préciser

aussi la fréquence centrale de la source , exemple : bruit de fréquence d’un oscillateur à résonateur diélectrique à 10 GHz : –100 dBc/Hz à 100 kHz de la porteuse. 2. On peut aussi caractériser le bruit de phase par l’excursion de phase en notant (voir ci dessus)

que l’excursion crête de phase ∆Φ est donnée par : )log(4

102∆Φ=

dBcC

N

En fait on définit une excursion de phase efficace par : 2/∆Φ=∆Φ eff

soit )log(2

102

eff

dBcC

N ∆Φ=

et l’on exprimera alors le niveau de bruit en « radians efficaces ».

Dans l’exemple ci – dessus le bruit de l’oscillateur à résonateur diélectrique à 10 GHz sera de 14 µradians efficaces à 100 KHz de la porteuse. 3. Enfin on caractérise aussi ce bruit sous forme de modulation de fréquence. A la phase instantanée : ( ) ( )ttt mΩ∆Φ+=Φ sin0ω ,

correspond la fréquence instantanée : ( )dt

dtf

Φ=π2

1 , soit ( ) tfftf mm Ω∆Φ+= cos0 .

Cette expression permet de relier l’excursion maximale de fréquence ∆f à celle de la phase ∆Φ par :

mf

f∆=∆Φ (à noter que

mf

fn

∆=∆Φ= est l’indice de modulation).

On mesurera le niveau de bruit par l’excursion de fréquence efficace, soit 2

ff eff

∆=∆ , et il

s’exprimera alors en « Hertz efficaces ». La relation passant des dBc/Hz aux Hertz efficaces est la

suivante : )log(2

2

210

m

eff

dBc f

f

C

N ∆=

.

L’exemple ci – dessus caractérisé en hertz efficaces donne pour fo = 10 GHz un niveau de bruit de 1,4 Hz efficace à 100 KHz de la porteuse. Influence de la multiplication de fréquence : Soit par exemple un oscillateur à 10 GHz constitué d’un oscillateur à 1 GHZ suivi d’un multiplicateur par n = 10 : Le multiplicateur effectuant une multiplication de fréquence, effectue aussi cette multiplication sur les oscillations de fréquence liées entre autres au bruit, et donc sur le efff∆ .

Ainsi si l’oscillateur à 1 GHz a, par exemple, un bruit de fréquence de 1 Hz.eff à 100 Khz de la porteuse (soit –103 dBc/Hz), en sortie du multiplicateur on aura, toujours à 100 KHz de la porteuse, un bruit de fréquence de 10 Hz eff (soit : -83dBc/Hz)

1 GHz x 10 10 GHz



Un multiplicateur de fréquence de rang n (Fs = n*Fe ), indépendamment de son éventuelle contribution propre au bruit, ne modifie pas le bru it d’amplitude de sa source, mais augmente son bruit de fréquence en dBc/Hz de 20log(n).

7.4.1.3 Pushing d’un oscillateur Le « pushing » d’un oscillateur caractérise la variation de sa fréquence d’oscillation en fonction de la tension d’alimentation. Celle – ci fait varier l’impédance du semi – conducteur (diode ou transistor) utilisé comme élément actif, et donc aussi sa fréquence d’oscillation, comme cela a été démontré dans l’oscillateur de Van der Pol. Le puhsing s’exprime en Hertz par Volts, en micro – onde plutôt en MHz/V.

7.4.1.4 Pulling d’un oscillateur Le « pulling »d’un oscillateur, qu’il ne faut pas confondre avec le pushing, caractérise la variation de sa fréquence d’oscillation en fonction de l’impédance de charge présentée, ou plutôt en fonction du TOS de la charge. Il s’exprime en Hertz . Exemple Pulling de 10 MHz pour un TOS de 1,2.

7.4.2 Oscillateurs à diode Gunn

7.4.2.1 La diode Gunn La diode Gunn n’est pas une diode, c’est un simple barreau de semi – conducteur mais pas n’importe lequel. Dans certains semi – conducteurs, tels que l’arséniure de Gallium ou le phosphure d’Indium la bande de conduction présente deux sous niveaux A et B (cf. figure ci – dessous). Le sous – niveau B est séparé du sous – niveau A par 0,36 eV et les mobilités respectives des électrons dans ces deux niveaux est telles que : µA > µB. Au delà d’un certain champ électrique des électrons vont passer du niveau A au niveau B, avec pour conséquence une diminution de leur mobilité et donc de leur vitesse. Ainsi lorsque la tension croît la vitesse moyenne des électrons diminue, et par voie de conséquence le courant dans le barreau de semi – conducteur.

S.C.



Ceci se retrouve sur la caractéristique I = f (V) d’une diode Gunn où, dans une certaine zone, le courant décroît lorsque la tension croît : c’est une zone où l’impédance de la diode présente une partie réelle négative.

7.4.2.2 Caractéristiques principales des Oscillateu rs à diodes Gunn Les oscillateurs à diodes Gunn ont été essentiellement utilisés comme oscillateurs locaux dans les récepteurs, ou comme source initiale d’émetteur du fait de leur relativement bonne pureté spectrale. Avec la montée en fréquence des FET AsGa ils sont de plus en plus remplacés par des oscillateurs à transistors de conception et de mise au point moins délicates. Ils gardent malgré tout un avantage certain dans les gamme d’ondes millimétriques où les transistors ne sont pas encore capable de les concurrencer. En fonction de la fréquence l’ordre de grandeur des puissances disponibles est la suivante : • Diodes Gunn AsGa F = 10 GHz P = 0,5 W

F = 16 GHz p = 0.35 W F = 35 Hz P = 0.15 W F = 100 GHz P = 20 mW

• Diodes Gunn InP F = 100 GHz P = 50 mW Dans tous les cas le rendement de ce type d’oscillateur est très faible : de 1 à 2 %.

7.4.3 Oscillateurs à diode avalanche

7.4.3.1 La diode avalanche ou IMPATT « IMPATT » est l’abréviation anglo-saxonne des diodes avalanche pour IMPulse Avalanche Transit Time diodes, qui comme nous allons le voir est plus précise que l’expression française. Rappel sur le phénomène d’avalache : Dans une diode polarisée en inverse il existe un faible courant qui circule dans la jonction. Il s’agit d’un courant inverse dû aux porteurs minoritaires qui arrivent à franchir la barrière de potentiel. Quand la polarisation inverse devient très grande (tension d’avalanche) les électrons minoritaires sont suffisamment accélérés pour arracher des électrons liés aux atomes, qui eux – mêmes accélérés à leur tour arrachent d’autres électrons et ainsi de suite : c’est le phénomène d’avalanche, avec création de paires électrons – trous au niveau de la jonction, et croissance exponentielle du courant.

I

V



Fonctionnement simplifié d’une diode IMPATT : Le phénomène d’avalanche se produit au niveau de la jonction P+N polarisée en inverse. Les porteurs générés au niveau de la jonction circulent dans le semi – conducteur à leur vitesse limite jusqu’à ce qu’ils atteignent les électrodes de la diodes. Supposons qu’une telle diode soit polarisée au niveau de sa tension d’avalanche, et qu’à sa tension de polarisation se superpose une tension sinusoïdale (de bruit). Dès que la tension dépasse la tension d’avalanche Va il y a création de paire électrons – trous au niveau de la jonction P+N, et ce phénomène ne fait que s’accélérer tant que la tension ne redescend en dessous de Va. D’où création d’une pointe de charge avec un maximum peu avant le passage de la tension sous Va. Une fois les charges générées au niveau de la jonction, elles se déplacent dans cette jonction en créant un courant qui ne cesse que lorsque les charges ont atteint les électrodes. Si la longueur de la jonction est telle que le temps de transit des charges est proche d’une demi période du signal considéré, le phénomène se reproduit ainsi continuellement.

P+ N N+

V

t

Va

t

Q

I

t



En comparant les graphes de V(t) et de I(t) on constate que le maximum ce courant se produit quasiment au minimum de tension, d’où l’apparition d’une résistance négative.

7.4.3.2 Caractéristiques des oscillateurs à diodes IMPATT Voici quelques caractéristiques typiques des oscillateurs à diodes IMPATT ; • Diodes avalanche AsGa : F = 10 GHz P = 8 W CW

P = 40 W crête (0.5 µs , facteur de forme 1/5) Rendement 15 à 20 %

F = 16 GHz P = 3 W CW P = 15 W crête (0.5 µs , facteur de forme 1/5)

Rendement 12 à 15 % • Diodes avalanche Si : F = 100 GHz P = 0.5 W CW

P = 20 W crête (100 ns , facteur de forme 1/100) Rendement 3 à 5 %

Compte tenu des chiffres ci – dessus les diodes IMPATT sont essentiellement utilisées dans les émetteurs état solide. Du fait de leur mauvaise performances en bruit, elles sont essentiellement utilisées en amplificateurs ou en oscillateurs synchronisés.

7.4.4 Amplificateurs à diodes

On peut distinguer deux types d’amplificateurs à diodes : • Les amplificateurs à résistance négative • Les oscillateurs synchronisés par injection (en anglo-saxon ILO pour Injection Locking Oscillator) Dans les deux cas le schéma de principe est le même et la différence entre les deux concepts est assez difficile.

7.4.4.1 Amplificateurs à résistance négative La diode présentant, comme nous l’avons vu, pour une certaine polarisation une résistance négative,

le module du coefficient de réflexion de la diode RZ

RZ

+−=ρ est supérieur à 1, et on a donc Ps > Pe.

C’est donc bien un amplificateur si en l’absence de signal d’entrée Ps = 0.

7.4.4.2 Oscillateurs synchronisés par injection (IL O) Si la condition ci – dessus n’est pas remplie (en fait la diode est son circuit résonant constitue un oscillateur de fréquence Fo et de puissance de sortie Po), en injectant à l’entrée un signal Pe on constate à la sortie les résultats suivants :

Pe Ps

Diode implantée dans un circuit oscillant de fréquence de résonance Fo.



• Absence de signal d’entrée : Pe = 0 :

On retrouve à la sortie le signal de l’oscillateur libre de fréquence Fo et de puissance Po, avec comme spectre celui de l’oscillateur libre

• Présence de signal d’entrée de puissance Pe et de fréquence Fe mais avec, soit Fe assez éloigné

de Fo, soit une puissance injectée Pe insuffisante : Le signal d’entrée ne peut pas perturber l’oscillateur libre, et l’on retrouve le même signal en sortie que dans le cas précédent auquel il convient d’ajouter la réflexion du signal d’entrée sur l’oscillateur. • Présence de signal d’entrée de puissance Pe et de fréquence Fe mais avec Fe assez proche de

Fo, L’oscillateur se verrouille sur le signal injecté si la puissance d’entrée Pe est suffisante. On retrouve alors à la sortie un signal de fréquence Fe, de puissance Po > Pe, et surtout avec un spectre identique à celui du signal d’entrée. On a alors affaire en fait à un amplificateur. La bande de fréquence dans laquelle ce verrouillage peut se réaliser est donnée par la relation suivante :

0

0

2 P

P

Q

FF e

e

=∆

expression dans laquelle F0 représente la fréquence centrale de l’oscillateur à synchroniser et Qe le coefficient de surtension extérieur de cet oscillateur.

Fo

Po

Fo

Po

Fe

Po

fe



7.4.4.3 Chaîne d’ILOs : Pour avoir assez de gain ou de bande passante les ILOs sont le plus souvent utilisés en cascade, et constituent ainsi un amplificateur à plusieurs étages. Tous les ILOs de la chaîne sont réglés sur la même fréquence d’oscillation libre, par contre leur puissance de sortie est de plus en plus grande au fur et à mesure que l’on avance dans la chaîne, soit à partir de composants de plus en plus puissants, soit par utilisation de cavité multi-diodes. Exemple 1 : Emetteur bande Ku Exemple 2 : Emetteur bande W

Pe = 10 mW

Oscillateur 1 diode

Combineur 4 diodes

Combineur 12 diodes

Découpeur τ = 0,5 µs

≈ 1W cw ≈2,4 Wm - 12 Wc ≈9 Wm -45 Wc Ps = 25Wm – 125 Wc

Découpeur τ = 100 ns FF = 1/100

1 diode 100 mW cw

1 diode 1W crête

1 diode 10W crête

1 diode 20 W crête

2 diodes de 20 W crête

Pe = 25 mW Ps = 30 W crête

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