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IREM Section Martinique – Groupe Lycée

QCM Terminale S - Version du 13 septembre 2005 1

QCM pour la classe de Terminale S

QCM 1 : Calculatrice non autorisée

Pour chaque question, seules 1 ou 2 propositions sont vraies.

Recopier la ou les 2 propositions vraies.

Soit f la fonction définie sur IR par ( ) ( ) 1e1xxxf x2 −++= − .

On admettra que 2,7 < e < 2,8 et 7,3 < e² < 7,4.

I / a) ( ) +∞=+∞→

xflimx

b) ( ) 1xflimx

−=+∞→

c) ( ) 0xflimx

=+∞→

d) ( ) −∞=+∞→

xflimx

II / 1°) a) ( ) ( ) xe1x2x'f −+=

b) ( ) ( ) xe1x2x'f −+−=

c) ( ) ( ) x2 exxx'f −−=

d) ( ) ( ) x2 e2x3xx'f −++=

2°) a) f est décroissante sur IRb) f est croissante sur]-∞ ; -0,5] et décroissante sur [-0,5 ; +∞[c) f est croissante sur]-∞ ; -2] et sur [-1 ; +∞[ et décroissante sur [-2 ; -1]d) f est décroissante sur]-∞ ; 0] et sur [1 ; +∞[ et croissante sur [0 ; 1]

III / a) L’équation f(x) = 0 n’admet aucune solutionb) L’équation f(x) = 0 admet 1 solutionc) L’équation f(x) = 0 admet 2 solutionsd) L’équation f(x) = 0 admet plus de 3 solutions

IV / a) f est négative sur l’intervalle [2 ; +∞[b) f est positive sur l’intervalle [0 ; 2]c) f est négative sur l’intervalle [0 ; +∞[ d) f est positive sur l’intervalle ]-∞ ; 1]

Barème : 1 point par question, réponse fausse -½ point, pas de réponse 0 point Les questions II / 1°) et II / 2°) sont dépendantes et toute réponse cohérente vaut ½ point à savoir :

Deux réponses vraies 1 point Une réponse vraie et une réponse fausse 0 point Réponse fausse au a) et réponse au b) fausse mais cohérente avec le a) ½ pt Deux réponses fausses non cohérentes -½ point


QCM Terminale S - Version d

QCM 2 : Calculatrice autorisée (peut-être fait en 1ère S)

L’écran d’une calculatrice affiche, dans le plan muni d’un repère orthonormé, la représentationgraphique C d’une fonction f définie et dérivable sur IR / {-2} et ses asymptotes D, ∆ et ∆’.

O

Pour chaque question, seules 1 ou 2 proposition


I / a) Une des asymptotes de C a pour équab) Une des asymptotes de C a pour équac) Une des asymptotes de C a pour équad) Une des asymptotes de C a pour équa

II / a) La droite D a pour équation y = x - 4

b) La droite D a pour équation x21y +=

c) La droite D a pour équation 5,0y −=

ir

ir irC

ir ir∆

D

ir ir∆’

ir irC

ir irC

D

ir ir∆’

ir irC

ir ir

ir

u 13 septembre 2005 2

s sont vraies.

tion y = -2tion x = 4tion y = 0tion x = -2

4

4x +

r



d) La droite D a pour équation 4x2y +=

III / a) ( ) +∞=−→

xfx 2lim

b) ( ) 4lim =+∞→

xfx

c) ( ) −∞=−∞→

xfxlim

d) ( ) 0lim =−∞→

xfx

IV / a) L’équation f(x) = 0 n’admet aucune solutionb) L’équation f(x) = 0 admet 1 solutionc) L’équation f(x) = 0 admet au moins 2 solutionsd) L’équation f ' (x) = 0 admet au moins 1 solution

V / a) f est croissante sur [-3 ; 4]b) f ’ est positive sur [-3 ; 4] – {-2}c) f est négative sur ]-2 ; 1]d) f admet un maximum sur ]-2 ; 5]

Barème : 1 point par question, réponse fausse -½ point, pas de réponse 0 point


QCM Terminale S - Version du

QCM 3 : Calculatrice autorisée

L’écran d’une calculatrice affiche, dans le plan muni d’un repère orthonormé, la représentationgraphique C d’une fonction f définie et dérivable sur IR / {-2} et ses asymptotes D, ∆ et ∆’.

D a pour équation 421

+= xy . Les aires sont exprimées en unités d’aire.

O

Pour chaque question, seules 1 ou 2 propositions


I / a) 494

214

3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫

−

−

dtt

b) ( ) 34

3

<∫−

−

dttf

c) ( ) ( )∫∫−

−

−

−

+≤4

3

4

3

821 dttdttf

r

ir

ir irC

ir ir∆

D

ir ir∆’

ir irC

ir irC

D

ir ir∆’

ir irC

ir i

ir

13 septembre 2005 4

sont vraies.

r



d) ( ) ( ) ( )344

3

−<<− ∫−

−

fdttff

II / Soit F la fonction définie sur ]-2 ; +∞[ par ( ) ( )∫=x

dttfxF0

1°) a) F(1) ≥ 0 b) F(-1) < 0 c) F(5) ≥ 0 d) F(0) = 0

2°) a) F est décroissante sur ]-2 ; 1]b) F est croissante sur [1 ; +∞[c) F est croissante sur ]-2 ; 4]d) F est décroissante sur [4 ; +∞[

3°) a) L’aire de la partie du plan comprise entre C, l’axe des abscisses et les droites d’équationx = 1 et x = 4 est égale à F(4) – F(1)

b) L’aire de la partie du plan comprise entre C, ∆’et les droites d’équation x = 3 et x = 6 estégale à F(6) – F(3)

c) L’aire de la partie du plan comprise entre C, l’axe des abscisses et les droites d’équationx = 0 et x = 1 est égale à - F(1)

d) F(4) – F(-1) est l’aire de la partie du plan comprise entre C, l’axe des abscisses et lesdroites d’équation x = -1 et x = 4





f est une fonction dérivable sur ]-∞ ; -1[ etsur ]-1 ; +∞[ et C est sa courbe représentativedans le plan rapporté à un repère orthonormé.

Le tableau ci-contre est son tableau devariation.



I / a) f ’(x) ≥ 0 sur l’intervalle [1 ; +∞[b) f ’(x) ≥ 0 sur l’intervalle ]-∞ ; -1[c) f ’(x) ≥ 0 sur l’intervalle [1 ; 3]d) f ’(x) change de signe sur l’intervalle [1 ; +∞[

II / a) La droite d’équation y = -1 est asymptote à C

b) La droite d’équation 21y = est asymptote à C

c) La droite d’équation y = x est tangente à C au point d’abscisse 1d) La droite d’équation y = 0 est tangente à C au point d’abscisse 3

III / a) f(x) ≤ 1 pour tout x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]-1 ; +∞[

b) f(x) ∈ ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞−

21; pour x ∈ ]-1 ; +∞[

c) Pour tout a ∈ ]-∞ ; -1[ et pour tout b ∈ ]-1 ; 1[, on a f(a) < f(b)d) Il existe a ∈ ]-1 ; 1[, tel que, pour tout x ∈ [a ; +∞[, f(x) ≥ 0

IV / On admet que f(-3) = 0.a) L’aire, en unité d’aire de la partie du plan limitée par C, l’axe des abscisses et les droites

d’équation x = -4 et x = -2 est ( )∫−

−

2

4

dxxf

b) L’aire, en unité d’aire de la partie du plan limitée par C, l’axe des abscisses et les droites


−

4

3

dxxf

c) ( ) 2dxxf03

1

≤≤ ∫

d) ( ) 1dxxf2

3

−=∫−

−


x −∞ +∞311

0

f(x)

-1

0,5

−∞ −∞

+∞



QCM 4 bis : Calculatrice autorisée

f est une fonction dérivable sur ]-∞ ; -1[ etsur ]-1 ; +∞[ et C est sa courbe représentativedans le plan rapporté à un repère orthonormé.

Le tableau ci-contre est son tableau devariation.



I / a) f ’(x) ≥ 0 sur l’intervalle [1 ; +∞[b) f ’(x) ≥ 0 sur l’intervalle ]-∞ ; -1[c) f ’(x) ≥ 0 sur l’intervalle [1 ; 3]d) f ’(x) change de signe sur l’intervalle [1 ; +∞[

II / a) La droite d’équation y = -1 est asymptote à C

b) La droite d’équation 21y = est asymptote à C

c) La droite d’équation y = x est tangente à C au point d’abscisse 1d) La droite d’équation y = 0 est tangente à C au point d’abscisse 3

III bis / a) L’équation f(x) = 0 a 3 solutions pour x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]-1 ; +∞[b) Pour tout réel m, l’équation f(x) = m a au moins une solution dans ]-∞ ; -1[ ∪ ]-1 ; +∞[

c) L’équation ( )21xf = admet une solution sur [3 ; +∞[

d) Pour tout x ∈ [1 ; +∞[, ( ) 1xf21

≤<

IV / On admet que f(-3) = 0.a) L’aire, en unité d’aire de la partie du plan limitée par C, l’axe des abscisses et les droites


−

2

4

dxxf

b) L’aire, en unité d’aire de la partie du plan limitée par C, l’axe des abscisses et les droites


−

4

3

dxxf

c) ( ) 2dxxf03

1

≤≤ ∫

d) ( ) 1dxxf2

3

−=∫−

−


x −∞ +∞311

0

f(x)

-1

0,5

−∞ −∞

+∞




Soit (un) une suite.

Le but de l’exercice est d’étudier des conditions d’existence et des propriétés de la suite de terme

général ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

nn u

v 11ln .



I / a) Pour que la suite (vn) soit définie, il suffit que pour tout entier naturel n, un > 0b) Si la suite (un) est décroissante et u0 = -1, alors la suite (vn) est définiec) Si la suite (un) est décroissante et 2ulim nn

=+∞→

, alors la suite (vn) est définie

d) Si pour tout entier naturel n, 1n

1u n += , alors la suite (vn) est définie

II / On suppose que la suite (vn) est définie.

1°) a) Si la suite (un) est décroissante, alors la suite (vn) est décroissanteb) Quelle que soit la suite (un), la suite (vn) est croissantec) Si pour tout entier naturel n, un > 1, alors la suite (vn) est croissanted) Si la suite (vn) est décroissante, alors la suite (un) est décroissante

2°) a) Si la suite (un) converge vers 1, alors la suite (vn) convergeb) Si la suite (un) converge, alors la suite (vn) convergec) Si −∞=

+∞→ nnulim , alors la suite (vn) converge

d) Si la suite (un) diverge, alors la suite (vn) diverge

III / On suppose que la suite (vn) est géométrique de raison 2 et de premier terme v0 = ln2, on a pourtout entier naturel n non nul :

a) nn 411u−

= b) n2n e211u×−

= c) 1nn 211u +−

= d) n2n211u−

=





Soit (un) une suite.

On considère, dans tout l’exercice, la suite (vn) telle que, pour tout entier naturel n, nun ev −= .



Dans les questions I / et II / un = n pour tout entier naturel n.

I / a) La suite (vn) est géométrique de raison e.b) A partir d’un certain rang, 5

n 10v0 −<< .

c) La suite (vn) est décroissante.d) La suite (vn) n’est pas bornée.

II / a) Pour tout entier naturel n : ( )

11 1

10 −−

=+++−−

eee

vvvn

nK .

b) Pour tout entier naturel n : 110

11

−

−

−

−=+++

eevvv

n

nK .

c) Pour tout entier naturel n : ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=+++

−

21110

n

nenvvv K .

d) Pour tout entier naturel n : ( )

21nn

n10 evvv+

−=××× K .

III / a) Si pour tout entier n > 1, ( )nln3ln2lnu n +++= K , alors pour tout entier n > 1, !nvn =

b) Si, pour tout entier n ≥ 1, ( )ncosu n = , alors, pour tout entier n ≥1, 1v1 n <<− .

c) Si, pour tout entier n ≥ 1, ( )nlnnu n = , alors, pour tout entier n ≥1, nn n1v = .

d) Si, pour tout entier n ≥ 1, 1u3u 1nn −= − , alors, pour tout entier n ≥1, ( )31nn vev −×= .

IV / a) Si (un) est minorée, alors (vn) est majorée.b) Si (un) diverge, alors (vn) diverge.c) Si (un) diverge, alors (vn) converge.d) Si (un) est arithmétique, alors (vn) est géométrique.





Soit un nombre complexe ziziZ

+−

= , où z est un nombre complexe différent de -i.



I / Dans cette partie z = x, où x est un nombre réel

1°) a) 2

2

11

xxZ

+

−= b)

xxZ

+−

=11 c) 1=Z d) 2=Z

2°) a) ( ) 1Re −=Z b) ( )11Re

2

2

+

−=

xxZ c) ( )

12Im2 +

=x

xZ d) ( ) 1Im =Z

II / Dans cette partie z est un nombre complexe différent de -i.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d’origine O, on considère les points A, B etM d’affixes respectives i, -i et z.

1°) a) ( ) ( )MABMZ ;arg =

b) ( ) ( )MAMBZ ;arg =

c) ( ) ( )MBMAZ ;arg =

d) ( ) ( )( )zi

ziZ+−

=argargarg

2°) L’ensemble des points M tels que 1Z = est :

a) le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point B

b) L’axe des abscisses

c) réduit au point O

d) La médiatrice de [AB]





Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d’origine O, on considère les points A et B

d’affixes respectives 1 et 2. Soit un réel θ ∈ ⎢⎣⎡

⎢⎣⎡

2;0 π et M le point d’affixe θi2e1z += .



I / a) M appartient au cercle de centre A et de rayon 1

b) M appartient à la droite d’équation x = 1

c) OM = 2

d) L’abscisse de M est toujours positive

II / a) Re(z) = 1

b) Re(z) = 2cos2θ

c) Im(z) = sin2θ

d) Im(z) = 2sinθ

III / a) θcos2z =

b) Arg(z) = θ

c) Arg(z) = 2θ

d) θi2e1z −=

IV / a) L’image du point M par la rotation de centre O et d’angle -2θ est le point M’ d’affixe z .

b) M est l’image du point M1 d’affixe θi2e par la translation de vecteur AO

c) M est l’image du point M2 d’affixe θie par l’homothétie de centre A et de rapport 2

d) M est l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle 2θ





Le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d’origine O.

On considère la suite (αn) de nombres réels définie par : 20πα = et pour tout entier naturel n,

65

n1nπαα +=+ . Pour tout entier naturel n, Mn est le point du cercle de centre O et de rayon 1 tel que

l’angle ( )nOM;ur ait pour mesure αn. On note zn l’affixe du point Mn.



I / a) Mn+1 est l’image du point Mn par la translation de vecteur d’affixe 65i

eπ

b) Mn+1 est l’image du point Mn par la rotation de centre O et d’angle 6

5π

c) Mn+p est l’image du point Mn par la translation de vecteur d’affixe 6p5 π

d) Mn+p est l’image du point Mn par la rotation de centre O et d’angle 6p5 π .

II / a) 65i

2i

n neezππ

+=

b)

n

65i

n iez⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=π

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= 6n5

2i

n ezππ

d)

n

65i

n eiz ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

π

III / a) Mn et Mn+10 sont diamétralement opposés

b) Mn et Mn+12 sont confondus

c) MnMn+6 = 2

d) MnMn+4 = 1

IV / a) Le triangle MnOMn+4 est rectangle

b) Le triangle MnMn+2Mn+6 est rectangle

c) Le triangle MnMn+3Mn+6 est équilatéral

d) Le triangle MnMn+4Mn+8 est équilatéral




Soit A et B deux événements de probabilité non nulle, on sait que : p(A) = 0,4 ; ( ) 7,0/ =ABp et( ) 6,0/ =ABp .



I / a) ( ) 24,0/ =ABp b) ( ) 3,0/ =ABp c) ( ) 36,0/ =ABp d) ( ) 4,0/ =ABp

II / a) ( ) 12,0=∩BAp b) ( ) 24,0=∩BAp c) ( ) 3,0=∩BAp d) ( ) 7,0=∩BAp

III / a) ( ) 24,0=Bp b) ( ) 36,0=Bp c) ( ) 48,0=Bp d) ( ) 9,0=Bp

IV / a) ( )121/ =BAp b) ( )

41/ =BAp c) ( )

103/ =BAp d) ( )

43/ =BAp



Un élève essaie d’ouvrir une porte. Il possède un trousseau de 5 clés mais une seule clé est la bonne.On suppose les clés indiscernables et les essais aléatoires.



I / Etant très étourdi, il essaie les clés en remettant à chaque fois la clé essayée dans le trousseau.Quelle est la probabilité p d’ouvrir la porte au 4ème coup seulement ?

a) 45

1=p b)

4513

=p c) 4

3

54

=p d) 54

=p

II / Il essaie maintenant une autre méthode qui consiste à mettre de côté la clé essayée et à continuerles essais avec les clés restantes. On désigne par X le nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte.

1°) a) ( )2345

14×××

==Xp b) ( )45

2344 ××==Xp c) ( )

514 ==Xp d) ( )

4

3

544 ==Xp

2°) a) ( )54

=XE b) ( ) 2=XE c) ( ) 5,2=XE d) ( ) 3=XE

3°) a) ( ) 1=XV b) ( ) 2=XV c) ( ) 5,2=XV d) ( ) 3=XV




Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches indiscernables au toucher. On prélève de l’urne,une à une, n boules en remettant la boule tirée dans l’urne.

Soit A l’événement « on obtient les 2 couleurs » et B l’événement « on obtient au plus une bouleblanche».



I / a) ( )n

Ap211−= b) ( )

nnAp

10= c) ( )

41

=Ap d) ( )12

11−

−=n

Ap

II / a) ( )n

Bp211−= b) ( )

nnBp

2= c) ( )

151

21

−×=

nBp d) ( )

nnBp2

1+=

III / a) ( )n

BAp21

=∩

b) ( )n

nBAp2

=∩

c) ( ) ( )( )12

1

2121

−

− −+=∩

n

nnBAp

d) Pour tout n, ( ) ( ) ( )BpApBAp =∩

IV / a) A et B sont indépendants pour n = 2

b) A et B sont indépendants pour n = 3

c) A et B sont indépendants pour n solution de l’équation 12 1 +=− nn

d) A et B ne sont jamais indépendants





Chaque semaine, Ti-Jo, élève en Terminale scientifique, a une interrogation écrite dans laquelle figureune question de cours. Pourtant il n’étudie pas régulièrement.

S’il a appris son cours, la probabilité qu’il réponde correctement à la question de cours est de 43 et s’il

n’a pas appris son cours, la probabilité qu’il réponde correctement est de 203 .

S’il n’a pas répondu correctement à la question de cours, vexé, il apprend son cours pourl’interrogation écrite suivante. Par contre s’il a répondu correctement à la question de cours, il se prendpour un surdoué et n’apprend plus son cours.

La 1ère semaine, on suppose qu’il a autant de chance d’apprendre son cours que de ne pasl’apprendre.

Pour n entier non nul, on note An l’événement « Ti-Jo apprend son cours pour l’interrogation écrite dela semaine n » et Bn l’événement « Ti-Jo répond correctement à la question de cours de l’interrogationécrite de la semaine n »



I / a) ( )209

1 =Bp b) ( )109

1 =Bp c) ( )2017

1 =Bp d) ( )43

1 =Bp

II / a) ( )2011

2 =Ap b) ( ) ( )12 BpAp = c) ( ) ( )12 BpAp = d) ( )41

2 =Ap

III / a) ( )2512

2 =Bp b) ( )109

2 =Bp c) ( ) ( )12 BpBp = d) ( )2524

2 =Bp

IV / Si on voit Ti-Jo apprendre son cours la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pasétudié son cours la première semaine ?

a) ( )21 AAp ∩ b) ( )12 B/Ap c) ( )21 AAp ∩ d) ( )21 / AAp





Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’intégrale ( )∫=e

nn dxxI

1

ln .



I / a) La suite (In) est croissante

b) La suite (In) est décroissante

c) La suite (In) est décroissante, puis croissante à partir d’un certain rang

d) I1 = 1.

II / a) 1−= −nn eI

b) nn eI =

c) ( ) nn IneI 11 +−=+

d) nn IeI =+1

III / a) Pour tout entier naturel non nul n, 0≥nI

b) Pour tout entier naturel non nul n, 1≥nI

c) Pour tout entier naturel non nul n, 1+

≤n

eI n

d) Pour tout entier naturel non nul n, nn eI −≤

IV / a) Les propositions vraies, précédentes, permettent de conclure à la convergence de (In)

b) Les propositions vraies, précédentes, ne permettent pas de conclure à la convergence de (In)

c) +∞=+∞→

nn

Ilim

d) 1lim −=+∞→

nn

I





Dans le plan P, on considère le triangle ABC isocèle en A, de hauteur [AH].



I / On considère le vecteur MCMBMAVM −−= 2r

, où M est un point du plan.

a) MVr

est indépendant de M.

b) AHVM 2−=r

c) MCMBMAVM −−= 2r

d) MCMBMAVM ++= 2r

II / Soit G le barycentre du système de points pondérés (A, 2), (B, 1) et (C, 1).

a) CBCACG += 2

b) G est le milieu du segment [AH].

c) pour tout point M du plan, MGMCMBMA 42 =++

d) Les droites (BG) et (AC) se coupent au point I, barycentre du système (A, 2) et (C, 1)

III / On considère l’ensemble E des points M du plan tels que MCMBMAMCMBMA −−=++ 22

a) E est le cercle de diamètre [AH]

b) E est une droite passant par G

c) E est un cercle de centre G

d) E est la droite [AH]

IV / Soit Gn le barycentre du système (A, 2), (B, n) et (C, n), où n est un entier naturel non nul.

a) Gn ∈ [AH]

b) AHn

AGn 11+

=

c) AHAGnn

=+∞→

lim

d) Il n’existe pas de valeur de n pour laquelle Gn est le centre de gravité du triangle ABC.


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