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QCM : Géométrie 3D (Corrigés) 2013

Corrigé de la question 1 :

La figure ci-après représente un cube en bois ABCDHEFGdont les faces

opposées sont décorées avec le même motif : hachures, points ou uni.

Parmi les patrons suivants quels sont ceux qui correspondent au cube ABCDHEFG ?

Patron 1 Patron 2 Patron 3 Patron 4

Réponse :

a) 1 et 3

Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI



La figure ci-après représente un cube tronqué.

On appelle S le nombre de sommet du cube tronqué, F le nombre de faces du

cube tronqué et A le nombre d’arête du cube tronqué.

Affirmation : S− A+F=2

Réponses : a) Vrai

S=10; A=15 ; F=7

S− A+F=10−15+7=2




Un atome d’oxygène peut-être assimilé à une sphère de rayon 152 pico-mètres

(1 pm=1×10−12m ). La molécule de dioxygène est formée de deux atomes

d’oxygène. Dans la molécule, la distance qui sépare les centres des deux

atomes est de 146 pm. On appelle surface de contact entre les deux atomes

de la molécule de dioxygène le disque matérialisé par la ligne en pointillés sur

la figure ci-après.

Le rayon de la sphère de contact arrondi au pico-mètre est égal à :



Réponse : c, 133 pm

Le rayon de la sphère de contact est égal à la distance BC.

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OCB rectangle en C,

il vient :

BC=√152²−( 1462 )2

=√152²−73²=√17775≈133 pm




On a représenté ci-contre un tube creux en aluminium en perspective.

Son diamètre intérieur est 8 cm, son diamètre extérieur est 12 cm.

L’aluminium a une masse volumique de 2,7 g/cm3. On veut transporter un

certain nombre de ces tubes dans un camion dont la charge utile ne peut

dépasser 14 tonnes. En supposant que le volume du camion est suffisant,

combien peut-on transporter de tubes au maximum ?

Réponse : b, 1100

Calculons le volume d’aluminium contenu dans un tube

V=π ×6²×75−π ×4²×75=1500π ≈4712 ,4 cm3

Calculons le poids d’un tube en aluminium

P=1500π ×2,7≈12723g

Calculons le nombre maximum de tubes que peut transporter le camion,

appelons N ce nombre.

Notons que 14 tonnes = 14 000 kg = 14 000 000 grammes

1400000012723

≈1100,36

Donc N=1100

Le camion peut donc transporter 1100 tubes maximum.




Soit ABCD un carré. Soit ABCDSune pyramide régulière (à base carrée).

Chacune des faces de cette pyramide a une aire de 900 cm2. Soit H le pied de la

hauteur de la pyramide ABCDS issue de S .

Une des quatre affirmations ci-après est vraie laquelle ?

Réponse : b

Le volume de la pyramide ABCDS est strictement inférieur à 18 litres.

Calulons la longueur du côté du carré ABCD. On sait que chaque face de la

pyramide a une aire de 900 cm², donc AB ²=900 .

Ce qui nous donne AB=30cm .

On appelleI le milieu de [ AB ], calculons IS, hauteur du triangle |¿|.

L’aire du triangle AB étant égale à 900 cm² , on a :

IS × AB2

=900⟺ IS ×302

=900⟺15× IS=900⟺ IS=60 cm



Calculons la longueur SH , hauteur de la pyramide. La pyramide étant

régulière on a :

HI= AB2

=302

=15cm

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle HIS rectangle en H , il

vient : SH=√60²−15²=√3375≈58 cm

Calculons le volume de la pyramide en litres.

V=13

× AB ²× SH =13

×900×√3375≈17428 cm3=17,428litres

¿17,428<18 donc le volume de la pyramide est strictement inférieur à 18

litres.



Question 6 :

Un verre en forme de cône est rempli à raz bord. On boit la moitié du contenu.

Quelle hauteur de liquide reste-il dans le verre ?

Réponse: d, 24 mm

Calculons le volume initial V de liquide dans le verre plein.

V=13

× π ×4²×3=16 π cm3

Appelonsh la hauteur de liquide dans le verre quand le verre est à moitié plein

et r le rayon du disque que forme la surface du liquide.

En appliquant le théorème de Thalès aux triangles hachurés.

h3= r4

d ' où r=43

h



Calculons le volume V ’ de liquide quand le verre est à moitié plein en

fonction deh.

V '=13

× π × r ²×h=13

× π ×( 43 h)2

×h=1627

× π × h3

¿V '=12

V donc 1627

× π × h3=8 π donc h3=27×816

=21616

=13,5

h= 3√13,5≈2,4 cm. Soith ≈24mm.




Les villes de Barcelone et Aberdeen sont sur le même méridien, autrement dit

ces deux villes ont la même longitude. La latitude de la ville d’Aberdeen est de

57° nord et celle de la ville de Barcelone est de 41 ° nord. Pour les besoins de

l’exercice on supposera que la terre est une sphère parfaite de rayon 6370 km.

Quelle est la distance à vol d’oiseau arrondie au km entre les deux villes ?



Réponse : b , 1779 km

Si on sectionne la sphère terrestre selon le plan qui contient le centre de la

terre et les villes de Barcelone et Aberdeen, on obtient la figure ci-après.

La latitude d’Aberdeen étant de 57° et celle de Barcelone étant de 41°, l’angle

B̂AC mesure 57°- 41° soit 16°.

La longueur d’un arc sur le mériden est proportionnelle à la mesure de l’angle

au centre qu’il crée.

Or on connait le périmètre du méridien , il mesure 2π ×6370≈ 40023 km

On peut donc dresser le tableau de proportionnalité ci-après.

Longueur de l'arc en km 40023 x

Mesure de l'angle en ° 360° 16°

D' où x=16×40023360

≈1779 km

La distance arrondie au km entre Barcelone et Aberdeen est égale à 1779 km




Affirmation : une pyramide qui a un nombre pair de sommets a aussi un

nombre pair d’arêtes.

Réponse : Vrai


La figure ci-après représente le patron d’un cône.

Quel est périmètre de la base du cône ?

Réponse : b, 28 cm

Appelonsl la longueur de l’arc (AB). Le tableau de proportionnalité ci-dessous

nous permet de déterminerl .

Longueur de l'arc en cm 2π ×20 l

Mesure de l'angle en ° 360° 80°

l=80×2 π ×20360

≈27,9 cm

Le périmètre de la base du cône est égal à la longueur de l’arc (AB).

Donc le périmètre de la base du cône arrondi au cm est égal à 28 cm



Corrigé de l’exercice 10 :

On considère deux nombres réels positifs xet y tels quex< y .

On considère également les solides S1 , S2 , S3 tels que :

S1 est un cylindre droit à base circulaire de périmètre x cm et de hauteur

y cm.

S2 est un cylindre droit à base circulaire de périmètre y cmet de hauteur

x cm.

S3 est un prisme droit à base carrée de périmètre x cmet de hauteur y cm. On

appelle V 3 , V 1 , V 2 les volumes respectifs des solides S1 , S2 , S3 .

Classer les 3 solides par ordre de volumes croissants.

Réponse : b ; V 3<¿V 1<¿V2 ¿¿

Soit r1le rayon de la base deS1, on a :

r1=x2π

Soit r2le rayon de la base deS2, on a :

r2=y2π

Donc V 1=x ² y4 π

;V 2=y ² x4 π

et V 3=x ² y16

Donc V 3<¿ V 1<¿V2 ¿¿


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