présentation de quelques calculs liés aux edp...

Modele deterministeEtats stationnaires localises

Simulation d’un modele aleatoire

Presentation de quelques calculs lies aux EDPdispersives

Laurent Di Menza

Laboratoire de Mathematiques - Universite de Reims

Reunion ANR Microwave

LORIA/INRIA - Nancy - 8 decembre 2009

Laurent Di Menza Presentation de quelques calculs lies aux EDP dispersives



1. Themes de recherche

Simulation numerique en optique non lineaire

Conditions aux limites transparentes et absorbantes pourl’equation de SchrodingerEquations de type NLS avec puissance pure : calcul de solitons,comportements symptotiquesInfluence de termes perturbatifs sur la dynamique des solutionsModeles de champs couples en milieux quadratiquesModeles d’amplificateurs parametriques optiques : approxima-tions de champ moyen

Etude numerique d’autres modeles

CosmologieModeles de fluage en chimiePlasmas relativistes avec champ magnetique




2. Modele deterministe

Equation de Schrodinger (NLS) : modele universel idealise inter-venant en optique non lineaire, physique des plasmas, theorie desfluides, etc.

i∂ψ

∂t+ ∆ψ + |ψ|2σψ = 0

avec ψ = ψ(t, x) ∈ C, x ∈ Rd et σ > 0.

Probleme de Cauchy dans H1(Rd) :

Si σ < 2/(d − 2), alors le probleme est localement bien pose :pour ψ0 ∈ H1(Rd), ∃T > 0 et ∃ !ψ ∈ C(0, T ;H1(Rd)).

Si σ < 2/d, alors le probleme est globalement bien pose alorspour ψ0 ∈ H1(Rd), ∃ !ψ ∈ C(R+;H1(Rd)).

(Ginibre-Velo, Cazenave, Strauss, etc.)




Differents comportements attendus

Dispersion : la solution s’etale dans l’espaceau cours du temps (meme comportement quedans le cas lineaire) : petites donnees initialesψ0 ou des petites valeurs de σ.

Etats stationnaires localises : la non-linearitecompense exactement le phenomene de dis-persion : solutions se propageant dans le mi-lieu sans changer de forme.

Focalisation : la non-linearite localise le champen un point, pour des donnees initiales ψ0 bienchoisies et pour des grandes valeurs de σ (σ ≥2/d) : explosion en temps fini.




Manifestation de l’explosion

L’explosion se manifeste comme une transition des grandes echellesvers les petites echelles, a masse constante.

ψ0 ψ0

Cette explosion n’est pas associee a des explosions de solutionsd’equations differentielles :

i∂tψ + |ψ|2σψ = 0 =⇒ ψ(t) = ψ0 ei|ψ0|2σt, t ≥ 0.

i∂tψ + ∆ψ = 0 =⇒ ‖ψ(t)‖H1 = ‖ψ0‖H1 , t ≥ 0.




Manifestation de l’explosion

L’explosion se manifeste comme une transition des grandes echellesvers les petites echelles, a masse constante.

ψ(t, .) ψ(t, .)

Cette explosion n’est pas associee a des explosions de solutionsd’equations differentielles :

i∂tψ + |ψ|2σψ = 0 =⇒ ψ(t) = ψ0 ei|ψ0|2σt, t ≥ 0.

i∂tψ + ∆ψ = 0 =⇒ ‖ψ(t)‖H1 = ‖ψ0‖H1 , t ≥ 0.




Objectifs vises

Solutions dispersives :

Mise en œuvre de conditions aux limites respectant la disper-sion libre dans un domaine borne de l’espace pour le problemelineaire.

Etats stationnaires :

Mise en œuvre d’une methode pour calculer des etats station-naires radiaux localises en espace, pouvant s’annuler k fois.

Etude de l’asymptotique a grand nombre de nœuds k.

Solutions explosives :

Simulation d’un modele d’optique non lineaire aleatoire.

Comprendre l’influence du terme de bruit sur la dynamique dessolutions explosives.




3. Etats stationnaires localises

On pose ψ(t, x) = eiωtu(x), ou u profil spatial suppose radial satis-fait l’equation differentielle d’ordre 2 (non integrable !)

u′′(r) +d− 1

ru′(r) − ωu(r) + |u(r)|2σu(r) = 0, r > 0

u(0) = β, u′(0) = 0.

Tout le probleme consiste alors a determiner la valeur β de tellesorte que la solution correspondante s’annule k fois et tende vers 0a l’infini : methode de tir.

Permet d’obtenir par un algorithme de dichotomie pour d ≥ 2une suite d’etats uk (appeles etats excites). Numeriquement, celanecessite seulement un solveur de systemes differentiels.




Structure des solutions de l’equation differentielle

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r

0 annulation

Le nombre de zeros de la solution augmente avec β





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r

1 annulation

0 annulation






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r

1 annulation

0 annulation

2 annulations






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r

1 annulation

0 annulation

2 annulations

3 annulations





Exemple dans le cas k = 0, d = 2, σ = 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1

0

1

2

3

4

r

β = 4 : Trop grand !





0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1

0

1

2

3

4

r

β = 2 : Trop petit !





0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1

0

1

2

3

4

r

β = 2.21 : Trop grand !





0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1

0

1

2

3

4

r

β = 2.20617 : Trop petit !





0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1

0

1

2

3

4

r

β = 2.20620273691129 : Correct sur [0, 20].




Illustration en dimension 2

Determination du profil de uk en fonction de r pour le cas cubiquebidimensionnel α = 1, σ = 1, ω = 1 (solutions exponentiellementdecroissantes vers zero).

0 5 10 15−2

−1

0

1

2

3

4

5

r

0 node1 node2 nodes

Profil de uk, k = 0, 1, 2.

0 5 10 15−15

−10

−5

0

5

r

0 node1 node2 nodes

Profil de log|uk|, k = 0, 1, 2.




Asymptotiques : conjectures numeriques

Pour σ < 2/(d − 2) := σ∗, d ≥ 2,

‖uk‖L∞ ∼ k1+σ∗/2σ∗

−σ = kd−1

2+σ(2−d) , k → ∞.

Pour σ > 0, d = 2, ω = 1 et α = 1,

‖Uk,m‖L∞ ∼ k1+mσ

2 , k → ∞.

Pour −1/2 < σ < 0, d ≥ 2, ω = −1 et α = −1,

‖uk‖L∞ ∼ kd−12 , k → ∞.

Pour d ≥ 2, ω = 1 et α = 1, a k fixe

‖uk‖L∞ ∼ (σ∗ − σ)−( 12+k), σ → σ∗.




Illustration pour l’asymptotique de ‖uk‖L∞ a k ≫ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

σ

Theoretical, d = 3Numerical, d = 3Theoretical, d = 4Numerical, d = 4Theoretical, d = 5Numerical, d = 5

Comparaison entre taux asymptotique numerique et le taux theorique

pressenti γ(d, σ) = 1+σ∗/2

σ∗−σ , σ ∈ [0, σ∗[, d = 3, 4, 5.




Hierarchie des calculs

Pour un calcul d’etat localise, il faut resoudre une succession desystemes differentiels non lineaires, en ajustant a chaque fois lavaleur a l’origine de la solution.

Pour avoir la valeur de γ(d, σ) a d et σ donnes, il faut calculerune succession d’etats stationnaires pour des k de plus en plusgrands.

Pour intuiter une expression de loi puissance en fonction de det de σ, il faut faire les calculs d’exposants en faisant varierindependamment les parametres d et σ.

=⇒ Gros calculs (plusieurs millions de resolutions independantesde systemes differentiels non lineaires), mais tres favorables a laparallelisation (et pas d’echange entre processeurs, car les calculssont independants !).




4. Un modele aleatoire

Equation (NLS) deterministe = modele idealise dans lequel destermes ont etes negliges. On considere ici le nouveau modele (EDPstochastique) :

i∂u

∂t+ ∆u+ |u|2σu = ε g(u) (ε≪ 1 amplitude).

Le terme g aleatoire correspond soit a des termes negliges dans lemodele de depart (developpement de l’indice en fonction de l’inten-site, tenseur de susceptibilite du milieu non lineaire) ou des inho-mogeneites du milieu (densite non reguliere).

Choix de modele : g(u) ∼ χ u : bruit multiplicatif reel faisantintervenir le potentiel χ de type bruit blanc en espace et en temps(de longueur de correlation en temps et en espace nulle).




Definition du terme de bruit :

(Ω,F ,P) espace probabilise, constitue de l’espace Ω des aleas, d’unefiltration F et d’une probabilite P.

Soit (W (t))t≥0 un processus de Wiener cylindrique a valeurs reellessur L2(D) : pour (ek)k∈N base orthonormee de L2(D), alors lafamille βk(t) := (W (t), ek)L2(D) permet de definir une famille demouvements browniens independants.

On a alors W (t, x, ω) =

∞∑

k=0

βk(t, ω)ek(x), x ∈ D, ω ∈ Ω.

On pose

χ :=dW

dt(t, x, ω) =

∞∑

k=0

dβkdt

(t, ω)ek(x), x ∈ D, ω ∈ Ω.

Terme de bruit tres irregulier a la fois en espace et en temps : ca-racterise par une longueur de correlation nulle ! !




Objectif de l’etude :

Comprendre l’influence du terme de bruit sur la dynamique dessolutions stationnaires et explosives bien connues dans le casdeterministe (donc en l’absence de bruit).

Difficultes numeriques :

Discretisation du terme de bruit tres irregulier.

ψ = ψ(t, x) (deterministe) 7−→ u = u(t, x, ω) (stochastique)

A partir de la donnee initiale u0, calcul d’une infinite de trajec-toires pour une infinite de valeurs de ω.

Moyenne sur toutes les trajectoires : esperance de la solution

Eu(t, x) =

∫

Ωu(t, x, ω) dP.




Schema numerique (en dimension 1 d’espace)

Calcul de la solution unj = u(tn, xj) en les points discrets tn = n δtet xj = jh d’un maillage espace-temps, par la discretisation

iun+1

j − unj

δt+ (Lun+1/2)j + f

n+1/2

j un+1/2

j =1√hδt

χn+1/2

j un+1/2

j

avec L operateur de discretisation de ∂2x,

fn+1/2j =

1

σ + 1

|un+1j |2(σ+1) − |unj |2(σ+1)

|un+1j |2 − |unj |2

.

et χnj nombres aleatoires suivant une loi normale centree reduite.

(schema semi-implicite de Crank-Nicolson preservant la masse etl’energie des solutions : necessite a chaque etape de resoudre unsysteme non lineaire sur toute la grille d’espace !)




Un exemple de calcul : propagation d’un etat stationnaire

−10−5

05

10

0

2

4

6

8

100

0.5

1

1.5

x

|u(t,x)| = f(x,t)

t −10−5

05

10

0

2

4

6

8

100

0.5

1

1.5

x

|u(t,x)| = f(x,t)

t

ε = 0.01 ε = 0.05

−10−5

05

10

0

2

4

6

8

100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

|u(t,x)| = f(x,t)

t −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

t

Contour of |u(t,x)|

ε = 0.2 isovaleurs espace-temps




Influence du bruit sur l’explosion

−10−5

05

10

00.01

0.020.03

0.040.05

0.06

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

|u(t,x)| = f(x,t)

t −10−5

05

10

00.01

0.020.03

0.040.05

0.06

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

|u(t,x)| = f(x,t)

t

ε = 0 Trajectoire 1

−10−5

05

10

00.01

0.020.03

0.040.05

0.06

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

|u(t,x)| = f(x,t)

t

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08t

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Infin

ite n

orm

of u

(t)Deterministic solutionStochastic solution #1Stochastic solution #2

Trajectoire 2 Trace des amplitudes




Comment prendre en compte les petites echelles ?

Tests sur une grille uniforme : l’effet irregulier du bruit ne se ma-nifeste pas lorsque la solution “a envie d’exploser” ⇒ mise enœuvre d’une procedure de raffinement adaptatif (respect des petitesechelles du bruit).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

1.0

2.0

3.0

4.0||u

(t)|

|

Coarse meshLocal refinementThinner grid (dt/2,dx/2)

Effet du raffinement




Observations numeriques

Suppression de l’explosion dans tous les cas, independammentde la trajectoire calculee (conforme a des constatationsexperimentales).

Diffusion du soliton : la quantite Eu decroıt au cours du temps,pour toutes les valeurs de σ.

-10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0x

0.0

0.5

1.0

1.5

|u(2

,x)|

epsilon = 0epsilon = 0.05epsilon = 0.1epsilon = 0.2

σ = 2

.

-10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0x

0.0

0.5

1.0

1.5

|u(0

.3,x

)|

epsilon = 0epsilon = 0.1epsilon = 0.2epsilon = 0.3

σ = 3

.




Hierarchie des calculs

Pour une simulation du bruit : il faut resoudre des systemesnon lineaires sur une grille en espace avec un algorithme deraffinement de maillage (lie au schema numerique).

Pour une donnee initiale, il faut plusieurs milliers de trajectoirespour avoir une idee raisonnable du comportement de la solution(lie au caractere aleatoire).

Generalement, calculs pour plusieurs types de non-linearites,donc pour beaucoup de valeurs de σ (lie au modele).

=⇒ Gros calculs (plusieurs millions de calculs “elementaires” partrajectoire), mais la encore tres propices a la parallelisation (calculsindependants moyennant un bon generateur de nombres aleatoires).


présentation de quelques calculs liés aux edp...

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