chapitre 4 repr´esentation des syst`emes...

eivd Regulation numerique

Chapitre 4

Representation des systemesdiscrets

Chapitre 4, v.1.3 1 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002


Table des matieres

4 Representation des systemes discrets 14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Systemes dynamiques lineaires discrets . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2.1 Systemes dynamiques discrets : definition . . . . . . . . . . 54.2.2 Proprietes generales des systemes dynamiques discrets ([[1],

§3.2.1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2.3 Systemes dynamiques lineaires discrets . . . . . . . . . . . 74.2.4 Analyse temporelle des systemes lineaires discrets . . . . . 7

4.3 Representation des systemes dynamiques lineaires discrets . . . . 84.3.1 Representation par l’equation aux differences . . . . . . . . 84.3.2 Representation par la reponse impulsionnelle discrete g(k) 164.3.3 Representation par la fonction de transfert G(z) . . . . . . 23



A

w ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )

A N A L O G I Q U EN U M E R I Q U E

A L G O R I T H M E

S Y S T E M EA

R E G L E R

H O R L O G E

y ( k h )

k h

t

w ( k h )

k h t

h

t

y ( t )

v ( t )

n ( t )

c o n s i g n e

b r u i t s u r l a m e s u r e

g r a n d e u r r é g l é e

c o m m a n d ec o m m a n d e

p e r t u r b a t i o n

f _ 0 4 _ 0 9 . e p s

D

D

A S

u ( k h )

k h

Fig. 4.1 – Schema fonctionnel general d’un systeme de regulation numerique.

4.1 Introduction

Au chapitre 1, la presentation de la structure generale d’un systeme de regulationnumerique a fait apparaıtre un assemblage hybride, ou coexistent des signaux ana-logiques et discrets (definis au chap.3), ces derniers prenant la forme de suitesde nombres (figure 4.1). L’un des blocs fonctionnels, l’algorithme represente unsysteme ayant pour entrees et pour sorties des signaux discrets. Ce sont lesdifferents moyens de representation mathematique de tels systemes, appeles logi-quement systemes discrets, qui font l’objet de ce chapitre.

Apres avoir defini les systemes discrets et etudie certaines de leurs proprietes(linearite, causalite, etc, §4.2), on passera en revue trois variantes de representationmathematique de ces systemes :

– representation par l’equation aux differences (§ 4.3.1 page 8) ;– representation par la reponse impulsionnelle (§ 4.3.2 page 16) ;– representation par la fonction de transfert (§ 4.3.3 page 23).



u ( k )

S Y S T E M ED I S C R E T

y ( k )

kk

f _ 0 4 _ 0 5 . e p s

Fig. 4.2 – Un systeme est discret lorsque ses signaux d’entree et de sortie sontdiscrets.

4.2 Systemes dynamiques lineaires discrets

4.2.1 Systemes dynamiques discrets : definition

Un systeme est discret lorsque ses signaux d’entree et de sortie sont discrets.De tels signaux (chap.3) ne sont definis qu’a des instants bien determines, ce quisignifie que la variable libre, i.e. le temps, est discretisee (figure 4.2).

Une grande majorite des signaux discrets apparaissent sous la forme de suitesde nombres, et dans ces cas, le systeme discret auquel ils sont appliques, ou quiles produit, n’est autre qu’un algorithme de traitement numerique (regulateur,filtre, etc).

Un systeme discret est dynamique si sa sortie a l’instant present depend nonseulement de l’entree presente, mais aussi des entrees et sorties passees.

4.2.2 Proprietes generales des systemes dynamiques dis-crets ([[1], §3.2.1])

Linearite

Un systeme est lineaire s’il satisfait au principe de superposition, lequel exigeque les proprietes

– d’additivite : si les entrees u1 et u2 produisent respectivement les sortiesy1 et y2, l’entree composee (u1 + u2) produit la sortie (y1 + y2)

y1 = S (u1)y2 = S (u2)

}⇐⇒ S(u1 + u2) = y1 + y2

et– d’homogeneite : si l’entree u produit la sortie y, l’entree α · u produit la

sortie α · y

y = S (u) ⇐⇒ S (α · u) = α · y α ∈ C

soient satisfaites.



k0

y 1 ( k )

k0

y 2 ( k ) = y 1 ( k - d )

k0

k0

u 1 ( k ) = D ( k )

d h

u 2 ( k ) = D ( k - d )

= u 1 ( k - d )

f _ 0 4 _ 0 1 . e p s

Fig. 4.3 – Illustration de la propriete de stationnarite.

Systeme au repos

Un systeme est au repos a l’instant k = k0 si sa sortie y(k) pour k ≥ k0 estdeterminee uniquement par son entree u(k) pour k ≥ k0.

Causalite

Un systeme est causal si sa sortie y(k0) a l’instant k0 ne depend pas des valeursprises par l’entree apres k0.

Un systeme causal ne peut donc repondre que par suite de l’apparition del’excitation, et non avant ! Le filtre de reconstruction de Shannon vu au chap.2,les filtres ideaux, sont des exemples classiques de systemes non-causals.

Stationnarite (ou invariance)

Un systeme est stationnaire si, excite par un signal decale de d periodesd’echantillonnage, il produit une reponse egalement decalee d’exactement d periodes(figure 4.3).

Le meme signal d’excitation, retarde d’un certain nombre de periodes d’echantillonnageproduit donc exactement la meme reponse, bien sur retardee du meme nombre deperiodes d’echantillonnage. On concoit que pour des systemes dont les parametres



u ( k ) y ( k )

S y s t è m ed i s c r e t

L T If _ 0 4 _ 0 6 . e p s

Fig. 4.4 – Systeme discret lineaire et stationnaire, appele aussi Lineaire Tempo-rellement Invariant (LTI).

varient, par suite de l’usure (par exemple le frottement visqueux, i.e. Rf = Rf (t))ou de modifications deliberees (par exemple la masse entraınee, i.e. m = m(t)),la condition de stationnarite n’est pas remplie.

Non-stationnarite ne signifie en rien non-linearite ! Il s’agit de 2 pro-prietes bien distinctes. D’aillleurs, le traitement analytique systemes non-stationnaires ne pose pas de difficultes insurmontables, contrairement auxsystemes affectes d’une non-linearite.

4.2.3 Systemes dynamiques lineaires discrets

Sauf mention particuliere, il sera implicitement admis dans le cadre de cecours que tout systeme discret soit simultanement :

1 lineaire2 au repos3 causal4 stationnaire

En reference au cours de traitement de signal, de tels systemes sont lineairestemporellement invariants (LTI).

4.2.4 Analyse temporelle des systemes lineaires discrets

Deux signaux d’excitation s’averent particulierement utiles pour analyser lesproprietes des systemes dynamiques lineaires discrets (gain statique, type, modes,stabilite, etc) : il s’agit de l’impulsion unite discrete ∆(k) et du saut unite discretε(k) (figure 4.5 page suivante). Les reponses impulsionnelles et indicielles discretessont designees respectivement par g(k) et γ(k).



−1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Impulsion unité discrète

∆ (k

)

−1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Saut unité discrèt

k

epsi

lon(

k)

f_04_03_1.eps

Fig. 4.5 – Impulsion et saut unite discrets (f 04 03.m).

4.3 Representation des systemes dynamiques lineaires

discrets

Pour representer un systeme discret, trois possibilites seront prises en compte :

– l’equation aux differences ;– la reponse impulsionnelle discrete ;– la fonction de transfert.

Les deux premieres sont etudiees aux § 4.3.1 et 4.3.2 page 16. La derniere deces trois representations est en meme temps la plus puissante, car elle offre unefacilite d’analyse des proprietes (stabilite, type, modes, etc) d’un systeme discretqui est sans egal. Elle fait l’objet d’une tres breve presentation au § 4.3.3 page 23et d’un traitement detaille au chapitre 5, qui lui est entierement consacre.

4.3.1 Representation par l’equation aux differences

Forme generale

Le signal de sortie y(k) d’un systeme dynamique discret causal, ayant u(k)pour entree, est donne sous forme generale par une relation du type

y (k) = f (u (0) , . . . , u (k) , y (0) , . . . , y (k − 1))



ou l’on a pris en compte non seulement l’effet de l’entree presente u(k), maisaussi, puisque le systeme est dynamique, l’influence possible de toutes les valeurspassees de u(k) et de y(k).

Si le systeme discret considere beneficie de plus de la propriete de linearite,et que sa sortie y(k) ne depend que des n valeurs precedentes de u(k) et de y(k),on peut alors le representer mathematiquement par l’equation aux differencesd’ordre n

y(k) + a1 · y(k − 1) + . . . + an−1 · y(k−n + 1) + an · y(k−n)

= b0 · u(k−n + m) + b1 · u(k−n+m− 1) + ... + bm−1 · u(k−n + 1) + bm · u(k−n)

De toute evidence, cette equation aux differences est le correspondant discretde l’equation differentielle regissant un systeme dynamique lineaire analogique.

Si le systeme est stationnaire, les coefficients a1 . . . an−1, b0 . . . bm, sont constantset ne dependent pas du temps.

En posant :d = n−m

l’equation aux differences devient :

y(k) + a1 · y(k − 1) + . . . + an−1 · y(k − n + 1) + an · y(k − n)

= b0 ·u(k−n+m)+b1 ·u(k−n+m−1)+ . . .+bm−1 ·u(k−n+1)+bm ·u(k−n)(4.1)

Le nombre entier d porte le nom de degre relatif. On voit qu’il indique lenombre de periodes d’echantillonnage s’ecoulant avant que y(k) soit influence parle signal d’entree (voir exemples ci-apres). On concoit donc que dans la regle :

d ≥ 0

Resolution de l’equation aux differences

Solution generale Les equations aux differences admettent une solution generalede la forme :

y(k, u(k))

Sa connaissance n’a pas d’utilite directe dans le contexte de ce cours. La methodepermettant de l’obtenir est calquee sur celle bien connue de l’equation differentielleordinaire ; on examine tout d’abord a quelles conditions des solutions de la forme

yh(k) = zk

(z est un nombre reel ou complexe) satisfont l’equation homogene (i.e. sans secondmembre)

y(k) + a1 · y(k − 1) + . . . + an−1 · y(k − n + 1) + an · y(k − n) = 0



qui devient, apres substitution et simplification l’equation caracteristique :

zn + a1 · zn−1 + . . . + an−1 · z + an = 0

La solution fournit les valeurs z1 a zn telles que

yh(k) = C1 · zk1 + C2 · zk

2 + . . . + Cn · zkn

i.e. yh(k) est une combinaison lineaire d’elements de la forme zk.Il s’agit ensuite de trouver une solution particuliere,

yp(k)

sa combinaison lineaire avec yh(k), associee aux conditions initiales, fournissantfinalement la solution generale

y(k, u(k))

recherchee.Le calcul de cette solution est bien sur considerablement allege si comme pour

les equations differentielles, on fait usage du calcul operationnel, en appliquantici les proprietes de la transformee en z.

Il est toutefois tres rare qu’une solution de cette nature doive etre trouvee,raison pour laquelle cette methode de resolution ne sera pas traitee plus en detail.

Solution recursive La methode de resolution favorite offre une solution sousforme recursive, la valeur du signal y(k) a l’instant k etant exprimee non seule-ment en fonction de celles de l’entree u(k) aux instants present et passes, maisaussi en fonction des valeurs passees de y(k). Partant de l’equation aux differences(4.1), on a simplement :

y(k) = b0 · u(k− d) + b1 · u(k− d− 1) + . . . + bm−1 · u(k− n + 1) + bm · u(k− n)

− a1 · y(k − 1)− . . .− an−1 · y(k − n− 1)− an · y(k − n)

Bien que des variantes d’implantation existent, on voit que cette forme est exac-tement celle que l’on utiliserait pour programmer l’equation.

/∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗f l o a t e qua d i f f ( f l o a t input ){//on suppose que l e s c o e f f i c i e n t s de l ’ eq . aux d i f f . sont dans l e s tab l eaux ://a = [ a0 , a1 , a2 , . . . , an ] et b = [ b0 , b1 , b2 , . . . , bn ] avec a0=1s t a t i c f l o a t u [N+1]; // entrees succe s s i v e s [ u( k ) , . . . , u( k−N)]s t a t i c f l o a t y [N+1]; // s o r t i e s succe s s i v e s [ y ( k ) , . . . , y ( k−N)]int i ;

u [0 ] = input ; //u( k )y [0 ] = b [0 ]∗ u [ 0 ] ; // i n i t i a l i s a t i o n y( k−0)for ( i=N ; i >0 ; i−−) // Ins tant s precedents

{y [0 ] = y [0 ] + b [ i ]∗ u [ i ] − a [ i ]∗ y [ i ] ; // Calcul de y ( k )



y [ i ] = y [ i −1]; //Mise a jour des va leursu [ i ] = u [ i −1]; //aux ins tan t s passes}

return y [ 0 ] ; //Retourne y( k )}/∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

En notant au prealable que si l’origine de l’axe du temps est prise en k = 0,les signaux u(k) et y(k) sont nuls pour k < 0, les valeurs de y(k) aux instantsk = 0, 1, 2 sont obtenues recursivement :

y(0) = b0 · u(0− d) + b1 · u(0− d− 1) + . . . + bm−1 · u(0− n + 1) + bm · u(0− n)

− a1 · y(0− 1) + . . .− an−1 · y(0− n + 1)− an · y(0− n)

= b0 · u(−d) 6= 0 seulement pour d = 0

y(1) = b0 · u(1−d) + b1 · u(1−d− 1) + . . . + bm−1 · u(1−n + 1) + bm · u(1−n)

− a1 · y(1− 1) + . . .− an−1 · y(1−n + 1)− an · y(1−n)

= b0 · u(1−d) + b1 · u(−d) + . . . + bm−1 · u(−n) + bm · u(1−n)

− a1 · y(0) + . . .− an−1 · y(−n)− an · y(1−n)

y(2) = b0 · u(2−d) + b1 · u(1−d) + . . . + bm−1 · u(1−n) + bm · u(2−n)

− a1 · y(1) + . . .− an−1 · y(1−n)− an · y(2−n)

etc

Exemples

Accumulateur numerique Comme son nom l’indique, l’accumulateur numeriqueest un operateur qui produit la somme cumulee de toutes les entrees presente etpassees :

y (k) =k−1∑l=0

u (l)

La parente avec l’integrateur numerique, tel qu’il a ete vu au chapitre 1 pourl’etablissement de la loi de commande du regulateur PI numerique, est evidente.L’equation aux differences est obtenue facilement en ecrivant la valeur du contenude l’accumulateur a l’instant k et a l’instant (k − 1) puis en soustrayant :

y (k) =∑k

l=0 u (l)

y (k − 1) =∑k

l=0 u (l)y (k)− y (k − 1) = u (k)

soit encore :y (k) = y (k − 1) + u (k)

Il vaut ici la peine de calculer et de tracer la reponse impulsionnelle g(k) del’accumulateur numerique a l’impulsion unite discrete ∆(k), qui sans surprise,



−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆ (k

)


−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

Réponse impulsionnelle de l’accumulateur numérique

f_ch_04_01_1.eps

Fig. 4.6 – Reponse impulsionnelle de l’accumulateur numerique (ch 04 01.m).

n’est autre que le saut unite discret ε(k) (figure 4.6) :

y (−1) =y (−1− 1) +u (−1) = 0 + 0 = 0

y (0) =y (0− 1) +u (0) = 0 + 1 = 1

y (1) =y (0) +u (1) = 1 + 0 = 1

y (2) =y (1) +u (2) = 1 + 0 = 1

y (3) =y (2) +u (3) = 1 + 0 = 1

. . .

y(k) = ε (k) (saut unite discret)Pour la reponse indicielle, on a :

y (−1) =y (−1− 1) +u (−1) = 0 + 0 = 0

y (0) =y (0− 1) +u (0) = 0 + 1 = 1

y (1) =y (0) +u (1) = 1 + 1 = 2

y (2) =y (1) +u (2) = 2 + 1 = 3

y (3) =y (2) +u (3) = 3 + 1 = 4

. . .

y(k) = (k + 1) · ε (k) (rampe unite discrete)Il s’agit d’une rampe discrete de pente 1 (figure 4.7 page suivante).L’examen des reponses impulsionnelle et indicielle confirme ce qui peut etre

deduit directement de l’equation aux differences : le degre relatif d de ce systemeest 0, puisque la sortie y(k) reagit effectivement des l’apparition de l’entree, sansaucun delai.



−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ε (k

)

Saut unité discret

−2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

k

γ (k

)

Réponse indicielle de l’accumulateur numérique

f_ch_04_01_2.eps

Fig. 4.7 – Reponse indicielle de l’accumulateur numerique (ch 04 01.m).

e ( k ) u ( k )R E G U L A T E U R

P I D

N U M E R I Q U E f _ 0 4 _ 0 7 . e p s

Fig. 4.8 – Schema fonctionnel du regulateur PID numerique : l’entree discreteest le signal d’erreur e(k) et la sortie est la commande u(k).

Regulateur PID numerique L’algorithme du regulateur PID numerique estdonne par l’equation aux differences (voir exercices) :

u (k)− u (k − 1) = b0 · e (k) + b1 · e (k − 1) + b2 · e (k − 2)

ou, se replacant dans le contexte d’une boucle de regulation automatique, l’entreeest ici l’erreur discrete e(k) et la sortie la commande discrete u(k) (attentionaux confusions pouvant provenir de cette notation). Le degre relatif du systemediscret ”regulateur PID numerique” est de zero (d = 0), la sortie etant influenceeinstantanement par l’entree e(k) grace a l’action du terme proportionnel.

La premiere des deux reponses indicielles tracees sur la figure 4.9 page suivantefait apparaıtre individuellement les contributions proportionnelle, integrale etderivee du regulateur.

L’observation de la reponse indicielle du regulateur PID a l’instant k = 0confirme ce qui apparaissait deja lors de l’ecriture de l’equation aux differences :le degre relatif de ce systeme dynamique est d = 0.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

k

D

P

I

Contributions P, I et D à la réponse indicielle du régulateur PID numérique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

k

γ (k

)

Réponse indicielle du régulateur PID numérique

f_ch_04_02_1.eps

Fig. 4.9 – Reponse indicielle d’un regulateur PID numerique : en haut, contri-butions individuelles des actions P, I et D (ch 04 02.m).

Retard pur de d periodes d’echantillonnage Le systeme discret decrit parl’equation aux differences

y (k) = u (k − d)

n’est autre que l’operateur ”retard pur de d periodes d’echantillonnages”. L’ob-servation de la reponse impulsionnelle (figure 4.10) met ce retard clairement enevidence (ici pour d = 4).

−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆ (k

)


−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

Réponse impulsionnelle d’un retard pur de d=4 période d’échantillonnage

f_ch_04_05_1.eps

Fig. 4.10 – Reponse impulsionnelle d’un systeme inserant un retard pur de d = 4periodes d’echantillonnage (ch 04 05.m).



Filtre passe-bas du premier ordre On peut imaginer construire un filtrenumerique passe-bas de premier ordre en developpant un algorithme discret re-produisant aussi bien que possible le comportement d’un filtre analogique dememe type. Ce dernier ayant pour fonction de transfert

G (s) =Y (s)

U (s)=

1

1 + s · T

il est decrit par l’equation differentielle

dy

dt+

1

T· y (t) =

1

T· u (t)

La discretisation de cette derniere peut se faire par plusieurs methodes, se dis-tinguant par la maniere d’approximer la derivee. Choisissons d’approcher celle-cisimplement par l’expression

dy

dt≈ y (k)− y (k − 1)

h

La discretisation de l’equation differentielle donne alors :

y (k)− y (k − 1)

h+

1

T· y (k) =

1

T· u (k) (4.2)

et apres une legere mise en forme

y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k) avec

a1 = −Th

(1+Th )

b0 = 1

(1+Th )

qui n’est autre que l’equation aux differences regissant le filtre numerique re-cherche.

La comparaison des reponses indicielles du filtre analogique et de son approxi-mation numerique est instructive (figure 4.11 page suivante), notamment dans lecas ou la periode d’echantillonnage h est choisie un peu grande par rapport a laconstante de temps T du filtre.



0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t[s]

γ (t)

, γ (k

)

REPONSES INDICIELLES DES FILTRES ANALOGIQUE ET NUMERIQUE (h=1[s], T=1[s] et 6[s])

f_ch_03_04_1.eps

Fig. 4.11 – Reponses indicielles du filtre analogique et de sa version discrete, pour2 constantes de temps differentes. Pour la plus petite des constantes de temps,l’adequation entre le filtre analogique et sa version numerique est moins bonne,a cause de l’inexactitude de l’approximation (4.2) (ch 03 04.m).

Le degre relatif du filtre numerique est ici

d = 0

Remarquons au passage que si necessaire, la construction d’un filtre semblabled’un degre relatif different est elementaire ; les equations aux differences etantrespectivement, pour d = 1, 2 ou 3 :∣∣∣∣∣∣

y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k − 1)y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k − 2)y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k − 3)

Les reponses indicielles apparaissent sur le trace sur la figure 4.12 page suivante.

4.3.2 Representation par la reponse impulsionnelle discreteg(k)

Considerons la situation ou un systeme numerique, par exemple un processeur,est programme pour executer un algorithme (figure 4.13 page ci-contre).



0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t[s]

γ (k

)

REPONSES INDICIELLES DES FILTRES ANALOGIQUE ET NUMERIQUE (h=1[s], T=6[s]) pour d=0, 1, 2, 3

f_ch_03_04_2.eps

Fig. 4.12 – Reponses indicielles pour differentes valeur de d, qui determine lenombre de periodes d’echantillonnage s’ecoulant entre la variation du signal d’ex-citation et celle correspondante de la sortie (ch 03 04.m)

u ( k ) y ( k )

a l g o r i t h m ef _ 0 4 _ 0 3 . e p s

Fig. 4.13 –

L’algorithme transforme la suite de nombres u(k) en une autre suite de nombres,y(k), selon des regles bien determinees : c’est un systeme dynamique discret. Dansle cas ou l’algorithme et son implementation sont tels que le systeme discretrepond aux exigences suivantes,

1. le systeme est lineaire,

2. le systeme est au repos,

3. le systeme est causal,

4. le systeme est stationnaire,



le bloc algorithme represente alors un systeme dynamique lineaire discret. Laquestion qui se pose ici est de savoir comment calculer la reponse y(k) a uneentree quelconque u(k).

Un premier element de reponse peut etre trouve si l’on se refere au § 4.3.1 page 8,ou l’on montre que la connaissance de l’equation aux differences et de l’entreeu(k) est suffisante pour trouver y(k). On propose ici une tout autre maniere defaire, basee essentiellement sur la reponse impulsionnelle g(k) du systeme.

Le systeme discret soumis a l’entree u(k) etant en fait excite a chaque instantd’echantillonnage par une impulsion discrete ponderee par l’entree u(k), laquellepeut s’ecrire :

u(k) =k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)

Par exemple, soit le signal discret u(k) de duree finie qui a l’allure de la figure 4.14.

−1 0 1 2 3 4 5

−2

−1

0

1

2

3

Signal discret de durée finie

k

x(k)

f_04_03_2.eps

Fig. 4.14 – Signal utilise pour exciter le systeme dynamique lineaire discret(f 04 03.m)

On a effectivement :

u(k) = 1 ·∆ (k) + 3 ·∆ (k − 1)− 2 ·∆ (k − 2)

= u (0) ·∆ (k) + u (1) ·∆ (k − 1) + u (2) ·∆ (k − 2)

=k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)

soit :

u(k) =k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)



La reponse y(k) est alors, par linearite, constituee de la superposition de 0, 1, 2 . . . k,soit au total (k + 1) reponses impulsionnelles discretes decalees et ponderees. Ona tout d’abord dans le cas de l’exemple,

y(k) = 1 · g (k) + 3 · g (k − 1)− 2 · g (k − 2)

= u (0) · g (k) + u (1) · g (k − 1)− u (2) · g (k − 2)

=k∑

l=0

u(l) · g(k − l)

y(k) =

g(k) · u(0) reponse a l’instant k a l’impulsion de poidsu(0) survenue a l’instant 0

+ g(k − 1) · u(1) reponse a l’instant k a l’impulsion de poidsu(1) survenue a l’instant 1

+ g(k − 2) · u(2) reponse a l’instant k a l’impulsion de poidsu(2) survenue a l’instant 2

+ . . . . . .+ g(0) · u(k) reponse a l’instant k a l’impulsion de poids

u(k) survenue a l’instant k

= =∑k

l=0 g(k − l) · u(l) reponse complete a l’instant k au signal u(k)

En disposant de g(k), la reponse discrete y(k) a toute entree u(k) est donc donneepar ce qu’on appelle le produit de convolution :

y(k) = g (k) ∗ u (k) =k∑

l=0

g(l − k) · u(l)

On constate donc qu’un systeme discret peut etre decrit mathematiquement parsa reponse impulsionnelle discrete g(k) (figure 4.15 page suivante).



g ( k )

a l g o r i t h m e

y ( k )u ( k )

u ( k ) = D ( k )

1

0k

y ( k ) = g ( k )

f _ 0 4 _ 0 4 . e p s

Fig. 4.15 – Un systeme dynamique, lineaire, causal et stationnaire peut etrerepresente par sa reponse impulsionnelle g(k).



Afin d’illustrer graphiquement ces considerations, examinons par exemple unsysteme dynamique lineaire ayant la reponse impulsionnelle g(k) graphee sur lafigure ci-dessous.

∆(k) g(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

∆(k)

f_rep_imp_1.eps g ( k )

y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_rep_imp_2.eps

Ce systeme est excite a l’instant k = 0 par le signal u(k),

u(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(k)

f_rep_imp_3.eps

u(k) =k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)

decomposable en une suite d’impulsions ponderees et decalees ; on a :



l u(l) g(k − l) · u(l)

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(0)

⋅ ∆(

k−0)

l=0


y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(0)

⋅ g(

k−0)

l=0

f_rep_imp_6.eps

+ +

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(1)

⋅ ∆(

k−1)

l=1


y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(1)

⋅ g(

k−1)

l=1

f_rep_imp_8.eps

+ +

20 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(2)

⋅ ∆(

k−2)

l=2


y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(2)

⋅ g(

k−2)

l=2

f_rep_imp_10.eps

La reponse y(k) est obtenue par somme sur l des reponses g(k − l) · u(l) :

=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

y(k)

= g(

k) *

u(k

)

f_rep_imp_4.eps

y(k) =k∑

l=0

g(k − l) · u(l)



u ( k )

G ( z )

y ( k )

kk

U ( z ) Y ( z )f _ 0 4 _ 0 2 . e p s

Fig. 4.16 – Representation d’un systeme dynamique lineaire, au repos causal etstationnaire par sa fonction de transfert G(z).

La reponse impulsionnelle g(k) se profile donc comme un autre moyen, ”concur-rent” de l’equation aux differences, de decrire exhaustivement le systeme dyna-mique lineaire discret.

4.3.3 Representation par la fonction de transfert G(z)

Le signal de sortie y(k) emanant d’un systeme discret, lineaire, au repos,causal et stationnaire est donne par le produit de convolution

y(k) = g (k) ∗ u (k) =k∑

l=0

g(l − k) · u(l)

La transformee en z des deux membres de cette egalite est, en faisant usage desproprietes de la transformation en z :

Y (z) = G (z) · U (z)

L’expression G(z) est la fonction de transfert du systeme discret. On voit qu’ellen’est autre que la transformee en z de la reponse impulsionnelle g(k) :

G (z) = Z{g (k)}

On note par ailleurs que G(z) est equivalente au quotient des transformees en zde y(k) et u(k) :

G (z) =Y (z)

U (z)

L’etude approfondie des proprietes de la fonction de transfert sera poursuivie auchapitre 5.



Bibliographie

[1] Commande numerique de systemes dynamiques, R.Longchamp, 1995,Presses Polytechniques Romandes, bibliotheque eivd 40.120-11



Version du docu-ment

Date Notes

v1.1 janvier 2002

Tab. 4.1 – Versions publiees


chapitre 4 repr´esentation des syst`emes...

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