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« Étude des distributions des efforts

horizontaux dans les structures

mixtes : ossature bois, structures

BA »

Tuteur INSA : HECKMANN Éric,

INGEROP, Strasbourg

Tuteur Entreprise : BROUSSE Aurélien,

ICM Structure, Angers

PROJET DE FIN D’ETUDES : :

Juin 2010

Auteur : Renaud DELABY

Spécialité Génie Civil

Etude des distributions des efforts horizontaux dans les structures mixtes ICM Structure

Renaud DELABY

REMERCIEMENTS

Je tiens tout d’abord à remercier Messieurs Gaétan GENES et Laurent ROSSEZ de m’avoir

accueilli au sein de leur entreprise et de m’avoir donné l’opportunité de travailler au sein d’un groupe

dynamique et innovant.

Un grand merci à Aurélien BROUSSE, chargé d’affaires chez ICM Structure, qui m’a encadré

pendant ces 20 semaines. Ses conseils et son investissement m’ont été précieux.

Je tiens à remercier également l’ensemble de l’équipe d’ICM Structure pour leur accueil et leurs

conseils. Ils ont su me faire partager leur passion du bois.

Mes remerciements se tournent aussi vers l’ensemble des personnes de Cert Structure pour l’aide

qu’ils ont pu m’apporter notamment sur la partie béton armé.

Enfin, je remercie Eric HECKMANN, tuteur INSA et ingénieur chez Ingérop Strasbourg, de m’avoir

suivi pendant ce projet de fin d’études.


Renaud DELABY

SOMMAIRE

REMERCIEMENTS ........................................................................................................................................ 2

INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 7

CONTEXTE GENERAL DE L’ETUDE – PROBLEMATIQUE ................................................................. 8

1. Présentation de l’entreprise ................................................................................................................... 8 1.1. Présentation générale ........................................................................................................................ 8 1.2. Projets de référence .......................................................................................................................... 8

1.2.1. Exemple d’un ouvrage mixte : Collège Calypso à Montreuil-Bellay (49) – ............................... 8 1.2.2. Exemple de structure à ossature bois: Maison de ville à Boulogne Billancourt ........................ 9

2. La mission .............................................................................................................................................. 10 2.1. Besoins de l’entreprise .................................................................................................................... 10 2.2. Les structures concernées par l’étude ............................................................................................. 10 2.3. Problématique .................................................................................................................................. 12 2.4. Démarche ........................................................................................................................................ 12

GENERALITES SUR LE CONTREVENTEMENT ET LA COMPOSITION DES STRUCTURES ... 13

1. Le contreventement des bâtiments - Généralités ............................................................................. 13 1.1. Origine des efforts ........................................................................................................................... 13 1.2. Mode de propagation des efforts dans la structure ......................................................................... 14 1.3. Le contreventement vertical............................................................................................................. 14 1.4. Le contreventement horizontal ........................................................................................................ 15 1.5. Principes de bases de contreventement de structure ..................................................................... 15

2. Les éléments de contreventement – Composition ............................................................................ 16 2.1. Les éléments verticaux .................................................................................................................... 16

2.1.1. Les murs à ossature en bois (MOB) ........................................................................................ 16 2.1.2. Les voiles en béton armé ......................................................................................................... 18 2.1.3. Les murs en bois massif contrecollé ....................................................................................... 18 2.1.4. Les murs en maçonnerie ......................................................................................................... 19

2.2. Les planchers .................................................................................................................................. 19 2.2.1. Le plancher bois traditionnel .................................................................................................... 19 2.2.2. Le plancher en bois massif contrecollé ................................................................................... 20 2.2.3. Le plancher collaborant Bois/béton ......................................................................................... 21

ÉTAT DE L’ART DES METHODES DE REPARTITION ..................................................................... 22

1. Structures en béton armé ..................................................................................................................... 22 1.1. Les hypothèses de calcul ................................................................................................................ 22 1.2. Approche générale .......................................................................................................................... 23

1.2.1. Notion de rigidité ...................................................................................................................... 24 1.2.2. Forme générale des efforts dans les voiles ............................................................................. 24

1.3. Structures constituées de deux voiles parallèles............................................................................. 25


Renaud DELABY

1.4. Structure constituée de n voiles parallèles ...................................................................................... 25 1.5. Cas d’un contreventement isostatique ............................................................................................ 26 1.6. Structure à murs de contreventement asymétriques : méthode du centre de torsion..................... 27

1.6.1. Principes généraux .................................................................................................................. 27 1.6.2. Notations .................................................................................................................................. 28

1.7. Structure à murs de contreventement asymétrique : méthode de la raideur .................................. 30 1.7.1. Principes généraux .................................................................................................................. 30 1.7.2. Organigramme ......................................................................................................................... 31

1.8. Remarques et conclusion sur les méthodes en béton armé ........................................................... 32

2. Structures en bois ................................................................................................................................. 32 2.1. Approche générale .......................................................................................................................... 33 2.2. Modèle poutre .................................................................................................................................. 33 2.3. Approche selon les STEP ................................................................................................................ 34

2.3.1. Domaine d’application ............................................................................................................. 34 2.3.2. Principe de résolution .............................................................................................................. 34 2.3.3. Exploitation de la méthode ...................................................................................................... 35

2.4. Approche selon l’AQCEN (Guide d’application de l’EC5) ............................................................... 35 2.4.1. Principe de la méthode ............................................................................................................ 36 2.4.2. Détermination du centre de raideur ......................................................................................... 36 2.4.3. Détermination des efforts dans les voiles ................................................................................ 36

3. Structure en maçonnerie ...................................................................................................................... 37

LA METHODE DEVELOPPEE POUR LES OUVRAGES MIXTES ...................................................... 38

1. Préambule sur les planchers rigides ................................................................................................... 38 1.1. Nature du plancher et répartition des efforts ................................................................................... 38 1.2. Approche règlementaire .................................................................................................................. 39 1.3. Approche dans la littérature ............................................................................................................. 39 1.4. Éléments influençant la rigidité des planchers ................................................................................ 40 1.5. Conclusion pour l’application de la méthode ................................................................................... 42

2. Problématique de la mixité - La nécessité de la question de la rigidité .......................................... 42 2.1. Une différence d’approche............................................................................................................... 42 2.2. Les difficultés de la cohérence ........................................................................................................ 43

3. Choix de la méthode et retour sur les hypothèses ............................................................................ 44 3.1. Choix de la méthode ........................................................................................................................ 44 3.2. Les hypothèses ................................................................................................................................ 46

3.2.1. Hypothèse concernant les planchers rigides ........................................................................... 46 3.2.2. Hypothèses concernant les voiles ........................................................................................... 46 3.2.3. Autres hypothèses ................................................................................................................... 47

3.3. La méthode pas à pas ..................................................................................................................... 48 3.3.1. Principes mécaniques sur lesquels est basée la méthode ...................................................... 48 3.3.2. Principe de résolution .............................................................................................................. 49 3.3.3. Application pratique ................................................................................................................. 51 3.3.4. Position du centre de torsion ................................................................................................... 51


Renaud DELABY

EVALUATION DES RIGIDITES DES ELEMENTS DE CONTREVENTEMENT .............................. 53

1. Retour sur le choix des rigidités .......................................................................................................... 53

2. Raideur des voiles simples en béton armé ......................................................................................... 54 2.1. Problématique de l’élancement des voiles ...................................................................................... 55 2.2. La modélisation du voile .................................................................................................................. 57 2.3. Calcul des rigidités ........................................................................................................................... 59

2.3.1. Rigidités de translation ............................................................................................................ 59 2.3.2. Rigidité de torsion .................................................................................................................... 60

2.4. Les voiles composés en BA............................................................................................................. 61 2.4.1. Largeur participante ................................................................................................................. 61 2.4.2. Rigidité de translation .............................................................................................................. 61 2.4.3. Rigidité de torsion .................................................................................................................... 62

3. Les murs à ossature bois ..................................................................................................................... 63 3.1. Fonctionnement général des murs à ossature bois ........................................................................ 63 3.2. Problématique et choix des déplacements pour l’évaluation des rigidités ...................................... 64 3.3. Principes généraux de la méthode .................................................................................................. 65 3.4. Calcul de la raideur d’un panneau de mur ....................................................................................... 66

3.4.1. Considérations générales et vocabulaire ................................................................................ 66 3.4.2. Calcul de la raideur .................................................................................................................. 66

3.5. Raideur totale du mur ...................................................................................................................... 68 3.5.1. Remarque préalable sur le calepinage .................................................................................... 68 3.5.2. Raideur totale........................................................................................................................... 69

4. Raideur des maçonneries ..................................................................................................................... 69

5. Raideur des murs en bois massif contrecollé .................................................................................... 69

L’OUTIL DE CALCUL ................................................................................................................................. 70

1. Limites de l’outil .................................................................................................................................... 70

2. Le programme de calcul développé .................................................................................................... 70 2.1. Logiciel de conception ..................................................................................................................... 70 2.2. Organigramme de calcul .................................................................................................................. 70 2.3. Cinématique de calcul ..................................................................................................................... 71

3. Evolution................................................................................................................................................. 71

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES ....................................................................................................... 72

1. Application à un exemple simplifiée .................................................................................................... 72 1.1. La structure étudiée ......................................................................................................................... 72 1.2. Raideur et centre de torsion ............................................................................................................ 73 1.3. Répartition des efforts ...................................................................................................................... 74

1.3.1. Cas d’un effort selon X ............................................................................................................ 74 1.3.2. Cas d’un effort selon Y ............................................................................................................ 75

1.4. Remarques et conclusion ................................................................................................................ 75


Renaud DELABY

2. Proposition d’indicateur pour le domaine d’application ................................................................... 75

3. Proposition d’étude semi-rigide des planchers ................................................................................. 76

CONCLUSION GENERALE ........................................................................................................................ 77

BIBLIOGRAPHIE........................................................................................................................................ 78

LISTE DES FIGURES .................................................................................................................................. 79


Renaud DELABY

INTRODUCTION

La mixité des matériaux dans les constructions est au cœur des problématiques de développement durable et

d’amélioration des performances énergétiques des bâtiments. C’est dans ce contexte qu’architectes et ingénieurs

proposent de plus en plus des systèmes structurels mixtes où bois et béton se côtoient afin de tirer le meilleur parti

de chaque matériau selon ses qualités esthétiques, structurelles ou encore thermiques.

L’utilisation conjointe dans les systèmes porteurs de ces deux matériaux au comportement mécanique très

différent entraîne de nouvelles problématiques parmi lesquelles celle du comportement de ces structures vis-à-vis

des efforts horizontaux. L’entreprise ICM structure, acronyme d’Ingénierie Construction Mixte, en travaillant sur de

nombreux projets mixtes est confrontée quotidiennement à cette problématique.

L’étude des structures vis-à-vis des efforts horizontaux se traduit par l’étude des distributions d’efforts entre les

différents éléments de contreventement assurant la stabilité de l’ouvrage. La manière dont est réalisée cette

distribution dans les structures mixtes ne fait à l’heure actuelle l’objet d’aucune méthode de calcul. Face à cette

absence de méthode, l’entreprise ICM Structure m’a confié la mission d’étudier cette distribution afin de proposer une

méthode de calcul et de développer un outil pour son application.

Le développement de la méthode s’est basé sur l’étude des méthodes existantes pour les structures en bois et en

béton et sur l’étude du comportement mécanique de chacun des éléments de contreventement.

Le rapport s’organise en sept parties. La première partie est consacrée à la présentation de l’entreprise et aux

type de projets qui lui sont confiés. La démarche adoptée pour la détermination de la méthode et les limites de

l’étude y sont présentées. La deuxième partie se propose de résumer les principes fondamentaux du

contreventement des structures et de décrire les différentes solutions constructives rencontrées pour les éléments de

stabilité. Cette partie permet de mieux cerner les structures concernées par l’étude afin de mieux en appréhender le

fonctionnement global. La troisième partie décrit les différentes méthodes de répartitions existantes pour les

structures en bois et en béton. Les parties 4 et 5 qui suivent sont consacrées à la méthode de répartition développée

pour les structures mixtes. La première décrit la méthode dans sa globalité et en particulier discute les hypothèses

d’application. La deuxième est entièrement consacrée aux principes de calcul des raideurs de chacun des éléments

verticaux de contreventement. La sixième partie donne un aperçu du programme de calcul développé. Enfin, la

septième et dernière partie se propose de revenir sur la méthode développée en présentant un exemple d’application

simplifié ainsi qu’en proposant des perspectives quant à son utilisation et à son évolution.


Renaud DELABY

CONTEXTE GENERAL DE L’ETUDE – PROBLEMATIQUE

1. Présentation de l’entreprise

1.1. Présentation générale

Icm Structure (Ingénierie Construction Mixte) est née en 2008 de la volonté de ses deux associés Gaétan GENES et

Laurent ROSSEZ. Icm Structure, en qualité de filiale, se présente comme la composante bois du groupement de

bureaux d’études Cer3i dirigé par Laurent ROSSEZ. Depuis sa création, l’entreprise travaille en collaboration étroite

avec les ingénieurs du bureau d’études techniques Cert (BET Ingénierie Structure de 30 personnes membre du réseau

Cer3i) ainsi que le bureau d’études techniques Bois ECSB dirigé par Gaétan GENES.

Basé à Angers, Icm Structure a pour vocation de développer son expertise en ossature bois sur des projets

contemporains à forte valeur ajoutée. L’agence travail en collaboration étroite avec les architectes et développe des

solutions bois en proposant notamment des solutions innovantes comme les planchers connectés bois-béton SBB® ou

les façades mixtes bois-béton FMB®.

Par l’intermédiaire de son président-directeur général Laurent ROSSEZ, Icm Structure fait partie du groupe AIA

Architectes Ingénieurs Associés, collectif d’architectes et d’ingénieurs fondé en 1971 et comptant aujourd’hui plus de 350

collaborateurs.

Le chiffre d’affaires de l’entreprise s’élève à 400 000€ pour l’année 2009. Les collaborateurs sont au nombre de 8

composés de deux cadres dirigeants, deux ingénieurs structures, une secrétaire, un calculateur projeteur et deux

dessinateurs projeteurs.

1.2. Projets de référence

Icm Structure réalise des études pour tout type de projet nécessitant des compétences importantes en structure bois. Sa

proximité avec le bureau d’études Cert Structure lui permet de traiter des projets mixtes dans leur ensemble. Les

ouvrages étudiés sont aussi bien des bâtiments publics comme le collège Calypso à Montreuil-Bellay (49) ou l’hôpital

pour enfant ESEAN à Nantes (49) que des ouvrages résidentiels ou tertiaires comme les bureaux bio-habitat à Chaize

Le Vicomte (85) ou une maison de ville à Boulogne (92). Une part de son activité concerne également la conception de

salles de sport, de passerelles ou encore la réalisation d’études sur des bâtiments historiques.

1.2.1. Exemple d’un ouvrage mixte : Collège Calypso à Montreuil-Bellay (49) –

Projet de 9,75M€, le collège Calypso présente une structure mixte en utilisant de manière conjointe le bois et le béton.

Les circulations verticales et horizontales sont réalisées en béton et toute l’enveloppe du bâtiment est réalisée par des

murs en ossature bois. Les planchers sont des planchers connectés bois/béton utilisant le procédé breveté SBB®.


Renaud DELABY

FIGURE 1 : COLLEGE CALYPSO A MONTREUIL-BELLAY (STRUCTURE MIXTE BOIS-BETON) – VUE DE L’ENTREE

FIGURE 2 : COLLEGE CALYPSO A MONTREUIL-BELLAY - PERSPECTIVE DE LA STRUCTURE

1.2.2. Exemple de structure à ossature bois: Maison de ville à Boulogne Billancourt

FIGURE 3 : MAISON DE VILLE A BOULOGNE BILLANCOURT (OSSATURE BOIS)

Architecte : TETRARC

Architecte :Wilmotte & Associés


Renaud DELABY

2. La mission

La mission qui m’a été confiée concerne l’étude de la répartition des efforts horizontaux dans les structures mixtes et le

développement d’un outil de calcul opérationnel.

2.1. Besoins de l’entreprise

Actuellement seuls des outils permettant le calcul de répartition des efforts horizontaux entre les différents éléments

d’une structure en béton armé existent au sein de l’entreprise. Lors de l’étude de structures en bois, des approches

simplifiées permettent cependant d’estimer les efforts. Ces méthodes s’avèrent très correctes pour des structures

uniquement en bois. Dans le cas de structure en bois avec des éléments rigides en béton ou en maçonnerie, les

modèles simplifiés ne semblent plus être adaptés en raison des phénomènes liés à la torsion qui peuvent apparaître.

L’objectif de l’étude est donc d’étudier la répartition des efforts entre les différents éléments dans ce type de structure et

de développer un outil informatique permettant de réaliser ce calcul.

L’outil de calcul a pour vocation d’être utilisé en phase de conception et d’exécution. Pour cette raison la méthode

développée devra être à la fois simple et précise. Simple pour que la détermination des efforts puisse se faire

rapidement sans passer par une modélisation informatique aux éléments finis et donner ainsi la possibilité de pouvoir

« tester » des solutions rapidement. Et précise pour que les efforts déterminés soient réalistes et que le

dimensionnement qui en découle soit en accord avec la règlementation et la sécurité des structures.

2.2. Les structures concernées par l’étude

La présente étude concerne uniquement l’étude de bâtiments majoritairement en bois comprenant des éléments

singuliers en béton ou maçonnerie. Volontairement, le type d’élément en béton ou en maçonnerie a été restreint à des

voiles pleins sans ouverture comme schématisé sur la Figure 4, les éléments en béton ou en maçonnerie présents dans

des bâtiments majoritairement en bois étant généralement des cages d’escalier ou d’ascenseur ou encore des murs de

refend pleins.

FIGURE 4 : TYPE D’ELEMENTS EN BETON ARME CONSIDERES DANS L’ETUDE

Ci-dessous sont présentés quelques projets types sur lesquels l’outil de calcul doit pouvoir s’appliquer. Ces projets sont

aussi bien des bâtiments modestes entièrement en ossature bois [Maisons du bois de la Gué] que des ouvrages plus

importants et notamment plus étalés où la mixité est au cœur du projet avec des planchers connectés bois/béton et des

éléments rigides en béton armé parmi la structure en bois [CECP].


Renaud DELABY

FIGURE 5 : MAISON DU BOIS DE LA GUE – VUE D’ARCHITECTE

FIGURE 6 : CECP – PERSPECTIVE SUD SUR ACCES DE SERVICE

FIGURE 7 : CECP – VUE EN PLAN ET DEFINITION DE LA STRUCTURE PORTEUSE Réunion technique - AIA ingénierie

Vendredi 9 avril 2010

OUVRAGES CONCERNÉS: Exemples

Murs Ossature

Bois PorteursNoyau BA

Portiques

métalliques

Architecte : Cabinet ASA

Architecte : Philippe VAULET


Renaud DELABY

FIGURE 8 : EXEMPLE DE PLANCHER CONNECTE BOIS/BETON SBB® DANS UNE STRUCTURE MIXTE

2.3. Problématique

La répartition des efforts horizontaux dans les structures mixtes soulève un certain nombre de difficultés. Premièrement,

aucune méthode n’existe pour des ouvrages multi-matériaux. Deuxièmement, les différentes méthodes existantes pour

les divers matériaux, bien que présentant des points communs, font appel à un nombre important d’hypothèses pas

nécessairement convergentes. Ceci s’explique en partie par le type de structures pour lesquelles ont été élaborées ces

méthodes. Les études en béton armé étant principalement tournées vers des bâtiments de grandes hauteurs et

relativement élancés tandis que les bâtiments en bois sont généralement de taille plus modeste et beaucoup plus légers.

L’objectif est donc de déterminer une méthode cohérente pour l’ensemble des matériaux.

2.4. Démarche

L’étude se base pour l’essentiel sur les méthodes de répartition proposées par la littérature et les règlements pour des

structures mono-matériau en vue d’une adaptation aux structures mixtes.

La difficulté de modéliser le comportement des murs à ossature en bois par un modèle élément fini rend difficile

l’approche qui aurait consisté à établir une méthode à priori puis à la valider par un modèle.

La démarche adoptée est donc la suivante :

- Étude des différentes méthodes par matériaux ;

- Recherche des points communs et des divergences ;

- Adaptation à une structure multi-matériaux ;

- Étude de chaque hypothèse prise séparément et estimation des incertitudes engendrées par chacune d’elle ;

- Détermination des limites de l’étude au regard des différentes hypothèses.

L’enjeu principal de l’étude réside dans la connaissance des différents paramètres impliqués dans la répartition des

efforts afin d’évaluer la nature des approximations ou le cas échéant d’avoir au minimum la connaissance de ces

approximations.


Renaud DELABY

GENERALITES SUR LE CONTREVENTEMENT ET LA

COMPOSITION DES STRUCTURES

L’étude de la répartition des efforts horizontaux trouve son origine dans l’étude du contreventement des bâtiments.

L’élaboration d’une méthode de calcul nécessite de connaître au préalable d’une part les principes fondamentaux du

contreventement et le rôle de chaque élément, et d’autre part la composition et le fonctionnement mécanique de chacun

de ces éléments.

La suite s’attache donc, après avoir rappelé les principes généraux du contreventement, à présenter les principales

variantes de réalisation des éléments de contreventement. Les possibilités étant très nombreuses, nous nous sommes

limités aux solutions les plus couramment rencontrées dans les projets traités par l’entreprise. Cette partie est aussi

l’occasion d’introduire le vocabulaire concernant la structure et les matériaux en particulier pour les éléments en bois.

1. Le contreventement des bâtiments - Généralités

Le contreventement est défini comme l’ensemble des dispositions permettant d’assurer la stabilité d’un ouvrage vis-à-vis

des sollicitations horizontales. C’est donc un élément essentiel dans la conception d’un ouvrage. La compréhension du

phénomène dans sa globalité est un préalable nécessaire à la détermination d’une méthode de calcul et de vérification

simplifiée, à la fois pour connaitre et bien comprendre les méthodes existantes, mais surtout pour permettre d’évaluer la

nature des approximations qui sont faites.

1.1. Origine des efforts

Les sollicitations horizontales auxquelles sont soumises les structures proviennent pour l’essentiel soit des efforts de

vent, soit de sollicitations sismiques. Les efforts de vent sont fonctions en plus de la situation géographique et de

l’exposition de l’ouvrage, principalement de la volumétrie du bâtiment. Les sollicitations sismiques quant à elles sont en

plus de la zone sismique dans laquelle il se trouve, fonction de la géométrie du bâtiment, de sa régularité en plan et en

élévation, mais également de sa masse.

Les deux calculs des efforts de vent et de séisme sont donc assez différents. Les efforts sismiques faisant intervenir

notamment des notions de période et de dissipation d’énergie, un ouvrage bien conçu pour résister aux efforts de vent

ne le sera donc pas nécessairement pour la résistance au séisme. Un point commun existe cependant dans la manière

de considérer les efforts. Dans des approches simplifiées (modèle brochette en sismique), les deux calculs de

sollicitations se font en appliquant la résultante des efforts au niveau des planchers. La charge de vent est appliquée au

milieu de la façade alors que la charge sismique est appliquée au centre de gravité de l’étage.

Fort de ce constat, les efforts extérieurs pris en compte dans la méthode sont définis comme des charges ponctuelles

appliquées en un point du plancher éventuellement inclinées dans le plan. Le principe de résolution étant alors le même

pour le vent et pour le sismique.


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1.2. Mode de propagation des efforts dans la structure

Dans une structure de bâtiment, les efforts horizontaux appliqués au plancher sont transmis aux fondations par

l’intermédiaire des éléments de contreventement. Ces éléments de contreventement peuvent être décomposés en deux

familles, les éléments horizontaux comprenant les planchers et la toiture, et les éléments verticaux réalisés par des murs

de refend, des portiques rigides ou encore des structures triangulées.

La transmission des efforts jusqu’au sol est assurée par cisaillement entre les voiles et les planchers puis par

cisaillement et traction/compression entre les éléments verticaux et les fondations (cf. Figure 9). Ce cheminement des

efforts dans la structure est rendu possible par une rigidité suffisante dans leur plan de chacun des éléments.

Le comportement de la structure dépend donc fortement du comportement de chaque élément de contreventement pris

individuellement qu’ils soient verticaux ou horizontaux. Le comportement de ces différents éléments est complexe, car il

dépend à la fois de leur géométrie (élancement, section), de leur composition (matériau homogène, section composite,

etc.), de leur positionnement et de leur rigidité relatifs dans le plan, de l’importance des charges verticales appliquées sur

ces éléments, etc. C’est à cette complexité que tente de répondre la suite de l’étude.

FIGURE 9 : PRINCIPE DE PROPAGATION DES EFFORTS HORIZONTAUX DANS LES ELEMENTS DE CONTREVENTEMENT –

EXEMPLE DE LA BOITE (1)

1.3. Le contreventement vertical

Il existe deux grands principes pour réaliser le contreventement vertical : par noyau ou par refend. Le contreventement

par noyau est réalisé en positionnant au centre de la structure un élément rigide destiné à reprendre l’intégralité des

charges horizontales. Ce sont généralement les circulations verticales telles que les cages d’ascenseur ou d’escalier qui

remplissent cette fonction. Dans un contreventement par refends, la rigidité est assurée soit par des panneaux rigides


Renaud DELABY

(murs en ossature bois rigidifiés par panneaux, murs en bois massif contrecollé, voile en béton armé, maçonnerie

chaînée et armée, etc.) soit par la création de palées de stabilité triangulées ou encore par des portiques rigides.

Le contreventement vertical doit être conçu de manière à stabiliser la structure sur toute la hauteur de l’ouvrage tout en

apportant un minimum d’efforts aux fondations. Dans le cas d’un contreventement par refend on privilégiera des

éléments aussi larges que possible et bien répartis dans les différentes directions afin de minimiser la réaction au niveau

des fondations par augmentation du bras de levier.

1.4. Le contreventement horizontal

Le contreventement horizontal est réalisé généralement par des dispositions constructives au niveau des planchers et de

la toiture. Il est assuré soit par la création d’un diaphragme, soit par la réalisation de poutres au vent généralement

obtenues par triangulation. Les diaphragmes ont pour fonctions de :

- Transmettre les efforts horizontaux aux éléments de contreventement verticaux par cisaillement ;

- Raidir le bâtiment dans son ensemble et ainsi prévenir le déversement des éléments porteurs verticaux.

La répartition des efforts entre les éléments verticaux dépend directement de la nature du plancher. On peut définir deux

types de planchers correspondant à deux comportements vis-à-vis des efforts horizontaux : les planchers souples et les

planchers rigides. Comme il sera détaillé dans la suite, cette notion de rigidité ou de souplesse d’un plancher est une

caractéristique relativement complexe à appréhender qui nécessite de considérer la structure dans sa globalité. Cette

rigidité est en effet fonction à la fois de la nature du plancher et de la nature des éléments verticaux auxquels il est lié.

Cette notion de rigidité des planchers se pose alors comme un préalable à toute étude de contreventement.

1.5. Principes de bases de contreventement de structure

Le contreventement d’un bâtiment doit être pensé dès sa conception, car ce sont la géométrie globale et le

positionnement en plan des éléments les plus rigides qui déterminent en grande partie la bonne répartition des efforts

dans la structure. Les géométries simples et compactes sont donc à privilégier. À l’opposé les formes en U ou en L sont

à éviter car elles posent des problèmes de concentration de contraintes au niveau des angles et font apparaître de la

torsion d’ensemble comme l’illustre la Figure 10. La disposition en plan des éléments de contreventement est également

très importante. Comme on peut le voir sur la Figure 11, un mauvais positionnement et/ou une mauvaise répartition des

éléments rigides entraîne nécessairement une torsion du plancher qui, on le verra à travers l’étude des méthodes de

répartition, génère des efforts supplémentaires dans les éléments de contreventement.

La notion de torsion est donc très importante pour l’étude des structures vis-à-vis des efforts horizontaux et on verra que

celle-ci peut être évitée en faisant coïncider le centre de torsion avec le point d’application de la charge. Par exemple

dans le cas d’une structure soumise aux efforts de vent, l’adoption d’un système de contreventement symétrique est une

bonne réponse à ce problème de torsion.


Renaud DELABY

FIGURE 10 : INFLUENCE DE LA GEOMETRIE EN PLAN – CAS SANS JOINT DE DILATATION (2)

FIGURE 11 : IMPACT DU POSITIONNEMENT DES ELEMENTS RIGIDES SUR LA TORSION DANS LE BATIMENT(3)

La suite se propose de regarder comment chaque élément peut être réalisé dans le contexte des structures présentées

dans la partie 1.

2. Les éléments de contreventement – Composition

Ce bref descriptif de la manière dont peuvent être réalisés les différents éléments de contreventement permet d’une part

de mieux cerner le type de structures concernées par l’étude afin de mieux en appréhender le comportement global et

d’autre part il se présente comme un préambule à la Partie 4 qui reviendra sur l’évaluation des raideurs pour chaque

type d’éléments.

La présentation s’organise par fonction et par matériaux. Nous traiterons dans un premier temps des éléments verticaux

puis ensuite des éléments horizontaux.

2.1. Les éléments verticaux

Tout élément rigide dans son plan et fixé au sol peut servir au contreventement vertical. Les solutions présentées ci-

dessous sont les plus fréquemment rencontrées dans les structures concernées par l’étude. Cette liste n’est bien sûr par

exhaustive. L’ordre de présentation correspond plus ou moins à la fréquence d’utilisation dans les structures étudiées.

2.1.1. Les murs à ossature en bois (MOB)

Les bâtiments construits en ossature bois sont composés d’une structure primaire en bois rigidifiée soit par triangulation

(écharpe), soit par des panneaux rigides. Le mode de calcul et de vérification n’est évidemment pas le même. En raison

de la faible utilisation des murs en écharpes, nous traiterons exclusivement des murs contreventés par panneaux.


Renaud DELABY

Composition :

Les murs à ossature bois sont composés d’une ossature porteuse réalisée par assemblage de montants et de lisses

généralement en bois massif. Dans certains cas, et en particulier dans le cas de mur de grande hauteur, des entretoises

sont fixées entre les montants afin d’éviter le flambement. Les panneaux de bois sont ensuite fixés sur cette ossature.

Généralement un panneau est fixé sur trois montants par des pointes ou des agrafes. L’ensemble des trois montants,

des lisses associées et du panneau constitue ce que l’on appellera un panneau de mur. Le mur dans son ensemble est

alors composé d’un ensemble de panneaux de mur. Les panneaux de murs sont liés ensemble par des tirefonds, vis,

pointes ou boulons. La continuité des lisses inférieures et supérieures permet d’assurer, dans certains cas, un

fonctionnement global de plusieurs panneaux de mur. L’ancrage au sol est assuré d’une part par des chevilles au niveau

des fondations pour reprendre les efforts de cisaillement et d’autre part par la mise en place de sabots ou d’équerres sur

les montants d’extrémités permettant de reprendre les efforts de soulèvement (cf. Figure 12).

FIGURE 12 : EXEMPLES D’ANCRAGES DE PAROIS RIGIDES (4)

Type de panneau :

Plusieurs types de panneaux sont aujourd’hui utilisés dans les murs à ossature bois : les panneaux OSB, en Lamibois,

en Lamellé collé ou encore les panneaux de particules [cf. Figure 13].

Les panneaux OSB (Oriented Strand Board) sont probablement les panneaux les plus courants, ils sont constitués de

particules rectangulaires disposées aléatoirement. Les panneaux en Lamibois (type Kerto) et en contreplaqué sont des

panneaux structurels de bois déroulé composé par couche. Enfin dans une moindre mesure on retrouve les panneaux

en bois lamellé-collé ou encore les panneaux de particules (réalisé à partir des déchets de coupes).

Particularités des MOB :

OSB Contreplaqué Lamibois

FIGURE 13 : DIFFERENTS TYPES DE PANNEAU DE CONTREVENTEMENT


Renaud DELABY

Les murs à ossature bois sont des structures assemblées où le mode d’assemblage des panneaux (calepinage, fixation

sur les montants, etc.) est laissé au libre choix du concepteur dans les limites des règles fixées par les DTU. Ainsi,

plusieurs variantes sont possibles pour la composition des murs, le choix du type de panneaux ou encore la manière de

l’assembler sur les montants. Plusieurs possibilités se présentent également pour la conception globale du bâtiment et le

lien entre les différents éléments. Prenons l’exemple du positionnement du plancher et des voiles dans une structure à

plusieurs étages. Dans certains cas les voiles peuvent être positionnés les uns sur les autres sur toute la hauteur du

bâtiment avec la présence ou non d’une ceinture entre chaque niveau, ou alors la construction peut se faire par étage et

les planchers viennent alors se positionner entre les voiles.

2.1.2. Les voiles en béton armé

Les éléments en béton armé rencontrés dans des structures en bois sont généralement des voiles simples ou des voiles

composés en U, L ou T réalisant les circulations verticales. Les murs représentent donc un ensemble homogène et

continu sur toute la hauteur du bâtiment. Contrairement aux murs à ossature bois ils ne présentent pas de discontinuité

au niveau des planchers. L’ancrage aux fondations est assuré directement par la mise en place d’aciers en attentes.

Les éléments en béton sont très intéressants pour le contreventement, car ils permettent de reprendre des efforts très

importants. Cependant mal positionnés ils peuvent également être à l’origine de torsion très importante.

Du point de vue du comportement mécanique le béton est susceptible des se fissurer sous l’effet des charges. Afin de

prendre en compte cette fissuration, l’Eurocode 8 (sismique) préconise de prendre 50% du module d’Young du béton

non fissuré pour l’étude.

2.1.3. Les murs en bois massif contrecollé

Composition :

Les panneaux en bois massif contrecollé sont élaborés à partir de lames de bois (épicéa généralement) collées entre

elles à plis croisés. En fonction du nombre de plis, les épaisseurs varient entre 5 et 30cm [cf. Figure 14]

FIGURE 14 : PANNEAU EN BOIS MASSIF CONTRECOLLE (Source Binderholz)

Particularités:

Ce type de panneau est utilisé directement en structure. Il est possible de préfabriquer des pans de murs entiers en

usine et limiter ainsi les assemblages. Les dimensions sont limitées par le transport et la manutention. Leur rigidité leur

permet d’être utilisés pour le contreventement des structures. Comme pour la construction par murs à ossature bois, il


Renaud DELABY

existe un nombre important de solutions pour l’assemblage des différents éléments. Les assemblages des éléments

entre eux et aux fondations a une part très importante dans le dimensionnement et le calcul de raideur.

2.1.4. Les murs en maçonnerie

Les murs en maçonnerie peuvent être de différent type : agglomérés, brique, béton cellulaire, etc.

Leur aptitude à être utilisés pour le contreventement réside dans les dispositifs de chaînage mis en place. Réalisés par

empilement d’éléments successif, ces murs travaillent essentiellement au cisaillement.

Ils pourront être caractérisés par leur module d’élasticité sécant à court terme , ou module d’Young, et le module de

cisaillement G pris généralement égal à .

2.2. Les planchers

Le choix du type de plancher dépend d’un grand nombre de facteurs : structurel, esthétique, acoustique, feu, thermique,

etc. Ainsi, on distingue dans les constructions en bois principalement trois grands types de plancher : le plancher

traditionnel composé de solives et de panneaux rigides, le plancher en bois massif contrecollé, et enfin le plancher mixte

bois béton.

Pour chaque type de plancher sont présentés la composition générale, les dispositions constructives et enfin les points

importants pour le contreventement.

2.2.1. Le plancher bois traditionnel

Composition :

Il se compose d’un réseau de poutres et solives reposant sur les éléments porteurs de la structure. Les solives sont

constituées au choix de poutres en bois massif (généralement en résineux), de poutre en I (ex. : âme en OSB et

membrure en bois massif, LC ou Kerto, agglomérés,etc.). Des poutres en bois lamellé-collé, lamibois LVL (laminated

Veneer Lumber) ou encore en bois reconstitué LSL (laminated strand board) sont utilisés pour réaliser le pourtour du

plancher afin d’assurer un chaînage périphérique permettant de rigidifier l’ensemble. Lorsque le plancher doit jouer le

rôle de diaphragme, cette propriété est apportée soit par apposition de panneaux de bois en surface, soit par réalisation

de poutres au vent entre les solives. Les panneaux de bois peuvent être au choix de type OSB (Oriented Strand Board),

contreplaqué, lamellé-collé ou encore de type Kerto. Les poutres au vent sont réalisées par triangulation, les diagonales

et les montants du treillis ainsi formé sont généralement en bois massif ou métallique.

Liaison avec les éléments verticaux :

Pour une structure entièrement en bois, la liaison se fait par l’intermédiaire d’assemblages assez divers parmi lesquels

on retrouve les sabots, la pose d’une muraillère en tête de voile, ou encore la mise en place de platine fixée dans la

ceinture ou le mur [cf. Figure 15].

Lorsqu’il s’agit d’élément en béton ou en maçonnerie, l’élément entre le mur et le plancher (lisse, platine) est fixé par des

tirefonds scellés au béton.


Renaud DELABY

Intérêt pour le contreventement :


Ce type de plancher dans la mesure où il est bien contreventé (panneaux bois ou poutre au vent) permet de jouer le rôle

de diaphragme et de répartir les efforts horizontaux entre les éléments. Ce principe fonctionne très bien dans le cas de

structure entièrement en bois. On verra dans la suite que lorsqu’il y a présence d’éléments très rigides en béton par

exemple, ce rôle de diaphragme doit être étudié avec attention.

2.2.2. Le plancher en bois massif contrecollé

Composition :

Les planchers de bois massif contrecollé sont réalisés de la même manière que les murs en bois massif contrecollé. Ces

panneaux sont structurels et ne nécessitent pas de solivage. Comme pour les murs, ils sont au maximum préfabriqués

en usine (ouvertures comprises).

Liaison avec les éléments verticaux :

La liaison avec les murs peut se faire directement par des pointes en positionnant le plancher sur le mur. Sur des

éléments d’ossature bois, le plancher peut être fixé soit par des cornières, soit par l’intermédiaire d’une muraillère. La

fixation aux éléments en béton ou en maçonnerie est réalisée soit par une cornière fixée au béton, soit en positionnant le

plancher sur l’élément en maçonnerie.

FIGURE 16 : TROIS PRINCIPES D’ASSEMBLAGE MUR-PLANCHER (Source Binderholz)

Assemblage bois-

béton par platine

Assemblage bois-bois

par platine

Assemblage bois-bois

par sabot

FIGURE 15 : EXEMPLE DE FIXATION DES SOLIVES SUR LES ELEMENTS VERTICAUX


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Ce type de plancher, sous réserve que la liaison entre les différents panneaux soit correctement réalisée, présente une

rigidité assez importante dans son plan en raison de son monolithisme. En présence d’éléments rigides en béton, nous

pouvons supposer qu’il assurera plus efficacement le rôle de diaphragme qu’un plancher traditionnel compte tenu de

l’épaisseur du panneau rigide, cette hypothèse reste cependant à vérifier pour chaque projet. Le positionnement du

plancher sur les murs de contreventement peut aussi être un moyen de renforcer ce rôle de diaphragme.

2.2.3. Le plancher collaborant Bois/béton

Le système de plancher Bois-Béton SBB® est un procédé développé par Cert Structure qui consiste à tirer parti des

avantages à la fois du bois et du béton. Il est composé d’un réseau de solives en bois auquel est connectée une dalle de

béton jouant le rôle de dalle de compression par l’intermédiaire de connecteurs métalliques.

FIGURE 17 : COUPE DE PRINCIPE DU SYSTEME DE PLANCHER (Collège Calypso)

Liaisons avec les éléments verticaux :

Dans le cas d’éléments verticaux en bois, la liaison est assurée de la même manière que pour les planchers

traditionnels. Dans le cas d’élément en béton, la liaison est réalisée par la pose de boitier d’attente d’armatures dans les

voiles qui viendront alors se connecter directement dans la dalle béton.


L’intérêt de ce type de plancher dans le contreventement est qu’il offre, de par la présence de la dalle en béton, un

diaphragme rigide permettant de bien répartir les efforts entre les différents éléments de contreventement. La liaison à

d’autres éléments en béton se fait directement par les aciers disposés en attente.


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ÉTAT DE L’ART DES METHODES DE REPARTITION

Dans cette partie sont présentées les méthodes existantes de calcul de répartition des efforts horizontaux. Les méthodes

sont présentées en fonction du type de structures auxquelles elles s’appliquent : structure en béton, en bois et en

maçonnerie. On constate que toutes ces méthodes sont développées pour des structures mono-matériau. Dans la

littérature, les structures en béton bénéficient d’une richesse de méthodes que l’on ne retrouve pas dans les autres

matériaux, probablement car le béton reste aujourd’hui un des matériaux les plus utilisés dans la construction. Précisons

cependant que ces dernières années, avec l’apparition de l’Eurocode 5, plusieurs méthodes de calcul on fait leur

apparition pour le calcul des structures à ossatures bois.

Comme dans bien des cas, la connaissance des structures et l’expérience de l’ingénieur tient une part importante dans

la conception des structures, une partie est consacrée à l’approche que peuvent avoir actuellement les ingénieurs en

structure bois pour le calcul de la résistance des structures vis-à-vis des efforts horizontaux.

1. Structures en béton armé

Parmi le nombre important de méthodes seules celles applicables manuellement sont présentées ici. D’autres méthodes,

comme celles utilisant les matrices-transfert, sont probablement plus précises (5) mais leur utilisation dans le cadre du

développement d’un outil de calcul ne serait pas évidente.

La majeure partie des méthodes est issue de l’ouvrage d’Henry THONIER (6) et du Traité de génie civil, vol.8 de

l’EPFL(7). Pour l’essentiel ces méthodes trouvent leur origine dans l’étude menée par MM. ALBIGES et GOULET sur le

contreventement des bâtiments publiée en mai 1960 dans les Annales de l’ITBTP. L’intérêt de présenter ici les

méthodes est de montrer les différences d’approches et de précision et donc l’importance des hypothèses dans chacune

d’elles. Les différentes méthodes ne sont bien sûr pas détaillées avec précision, seules la démarche de calcul et les

hypothèses sont présentées ici. On portera une attention particulière aux données que nécessite chacune des méthodes

et aux hypothèses. Le détail des calculs pour les deux principales méthodes est fourni en annexe.

1.1. Les hypothèses de calcul

Les méthodes simplifiées de répartition des efforts horizontaux présentées ci-dessous font appelle aux hypothèses

suivantes. Ces hypothèses sont applicables à l’ensemble des méthodes à l’exception de la méthode de la raideur qui

modifie l’hypothèse liée à la dimension des voiles.

- Les voiles sont de sections constantes sur toute la hauteur du bâtiment, ou leurs inerties varient toutes dans les

mêmes proportions et aux mêmes niveaux ;

- Les planchers sont infiniment rigides dans leur plan ;

- Les voiles ont mêmes conditions d’encastrement en pied et même module d’élasticité ;

- Les éléments présentent un comportement homogène, élastique et linéaire ;

- La rigidité des cloisons et autres éléments non porteurs est négligée ;

- La rigidité des planchers et des murs hors de leur plan est négligée ;

- Les déformations axiales (dues à N) des éléments verticaux sont négligées ;

- Les effets du second ordre sont négligeables ;


Renaud DELABY

- Les murs sont suffisamment élancés ) ; de sorte que les déformations d’effort tranchant sont

négligées ;

- La rigidité de torsion uniforme des murs et noyaux est négligeable.

Les hypothèses sont posées ici comme des conditions nécessaires à l’application des méthodes. Nous reviendrons sur

chacune d’elles lors de la proposition de méthode pour les structures mixtes.

1.2. Approche générale

On distingue deux types de contreventement, le contreventement dit isostatique et celui dit hyperstatique (cf. Figure 18).

Dans le cas de contreventement isostatique (=contreventement par trois voiles non concourants et non parallèles), la

répartition se fait uniquement selon la position des voiles. Dans le cas d’un contreventement hyperstatique, la répartition

se fait au prorata des rigidités de chaque voile. Un contreventement hypostatique ne permet pas de stabiliser de manière

correcte le bâtiment, il n’est donc pas étudié.

FIGURE 18 : LES DIFFERENTS TYPES DE CONTREVENTEMENT (8)

La notion de torsion est très importante pour l’étude de la répartition des efforts horizontaux entre les voiles. C’est en

effet la position du centre de torsion par rapport à la charge et par rapport à chacun des éléments verticaux de

contreventement qui détermine d’une part l’existence d’un moment de torsion et d’autre part les efforts engendrés dans

les voiles.

Dans la suite les termes suivants sont utilisés pour décrire la structure :

- Ensemble de voiles : c’est l’ensemble des voiles d’un étage liés physiquement entre eux par un plancher rigide.

- Voile composé : voile composé de plusieurs éléments rectangulaires physiquement liés entre eux par des

armatures (exemple : cage d’ascenseur en U créant un bloc monolithique). Cette notion est importante, car le

comportement des voiles indépendants est très différent de celui des voiles liés.

- Centre de torsion (définition d’Henry Thonier (6)):

« Le centre de torsion d’un ensemble de voiles est un point du plancher tel que :

o Toute force passant par ce point provoque une translation du plancher et donc de l’ensemble des

éléments de contreventement parallèlement à la force et sans rotation ;


Renaud DELABY

o Tout moment autour de ce point provoque une rotation du plancher dans le même sens que le moment

et sans translation. »

1.2.1. Notion de rigidité

La notion de rigidité d’un élément de structure est directement liée au déplacement par la relation où est

l’effort appliqué, le déplacement provoqué par l’application de la force et la rigidité de l’élément, comme l’illustre la

Figure 19 pour l’exemple d’une poutre console. L’étude de la répartition des efforts étant de manière quasi systématique

liée à la notion de raideur, elle est également liée à la notion de déplacement.

FIGURE 19 : RELATION LIANT L’EFFORT APPLIQUE, LA RAIDEUR ET LE DEPLACEMENT

On verra que dans bien des cas la raideur d’un voile en béton est assimilée à son inertie. Cette approximation s’explique

par le fait que pour une poutre élancée, dû fait de la prédominance de la flexion par rapport au cisaillement, le

déplacement est directement proportionnel à l’inertie. Il y a alors proportionnalité entre la raideur et l’inertie. Par

conséquent, réaliser une répartition au prorata des rigidités équivaut à réaliser une répartition au prorata des inerties. La

suite de l’étude montrera les limites de ces considérations pour des structures moins élancées.

1.2.2. Forme générale des efforts dans les voiles

Dans le cas de contreventement hyperstatique, les efforts dans les éléments de contreventement se décomposent de la

manière suivante :

Le premier terme dépend uniquement de la position et de la rigidité du voile. Le deuxième terme dépend de la

configuration d’ensemble de l’étage.

On verra que la variété des méthodes trouve son origine dans les différences d’application de ces deux éléments que

sont les caractéristiques du centre de torsion et la relation qui lie l’effort appliqué, la raideur et le déplacement.

Intéressons-nous maintenant aux diverses méthodes de répartition.

F


Renaud DELABY

1.3. Structures constituées de deux voiles parallèles

Dans le cas d’un contreventement composé de deux voiles simples parallèles, le modèle correspondant est une poutre

sur deux appuis. Les efforts dans les voiles correspondent aux réactions d’appuis. Les efforts sont donc répartis en

fonction de leur position par rapport à la charge comme le montre la Figure 20.

FIGURE 20 : CONTREVENTEMENT PAR DEUX VOILES PARALLELES ET MODELE CORRESPONDANT(6)

Dans le cas de la Figure 21, le calcul est identique en positionnant le centre du voile 1 au niveau du centre de torsion du

voile en U (point C).

FIGURE 21 : CONTREVENTEMENT PAR DEUX VOILES PARALLELES DONT UN EST UN U SYMETRIQUE(6)

Remarque :

Cette méthode très simple permet de réaliser une première approximation des efforts. Elle est cependant très restrictive

en ne considérant que les voiles dans une direction.

1.4. Structure constituée de n voiles parallèles

Cette méthode permet d’introduire une notion fondamentale pour l’étude du comportement des structures vis-à-vis des

efforts horizontaux qui est la notion de torsion. Lorsque le centre d’application de la charge est excentré par rapport au

centre de torsion de l’ensemble des voiles, on voit apparaitre un moment de torsion qui engendre une rotation du

plancher. Cette rotation fait apparaître des efforts supplémentaires dans les voiles. On retrouve alors la composition de

W


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l’effort dans les voiles comme définit en 1.2.2 à savoir la somme d’un effort dû à la translation du plancher et un dû à la

rotation. La composante due à la rotation se détermine en fonction de la position du voile au centre de torsion.

Dans le cas de voiles parallèles (Figure 22), on montrerait que la position du centre de torsion est confondue avec le

centre de gravité des inerties des voiles. La répartition des efforts est la suivante en accord avec les notations de la

Figure 22 :

Composante due à la translation :

Elle est réalisée au prorata des inerties dans la direction de la charge.

Composante due à la rotation :

La manière dont est déterminée cette expression est basée sur les mêmes principes que pour la méthode du

centre de torsion dont la démarche de calcul est fournie en annexe 1.

FIGURE 22 : CONTREVENTEMENT PAR N VOILES PARALLELES (6)

La prise en compte des voiles composés est réalisée de la même manière que pour la méthode précédente à savoir que

le voile composé est assimilé à son inertie équivalente appliquée à son centre de torsion.

1.5. Cas d’un contreventement isostatique

La répartition des efforts dans les voiles de contreventement isostatiques (trois voiles non parallèles et non concourants)

a la particularité de ne pas dépendre de la rigidité des éléments verticaux.

En accord avec les notations de la Figure 23, la répartition des efforts est la suivante :

Effort total dans le voile :


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FIGURE 23 : CONTREVENTEMENT ISOSTATIQUE ET EFFORTS DANS LES VOILES (7)

Remarque :

Le cas du contreventement isostatique est très rarement rencontré dans les structures réelles.

1.6. Structure à murs de contreventement asymétriques : méthode du centre de

torsion

Contrairement aux méthodes précédentes, la méthode du centre de torsion, comme celle de la rigidité que l’on verra par

la suite, est d’application très générale. La position et l’inclinaison des voiles et de la charge peuvent être quelconques.

Les calculs sont donc plus fastidieux. Afin d’en faciliter la compréhension, après avoir explicité les principes généraux de

la méthode, la démarche des calculs est présentée sous forme d’un organigramme. L’intégralité de la méthode est

détaillée en annexe 1

1.6.1. Principes généraux

La méthode consiste à :

- Déterminer les axes principaux d’inerties de l’ensemble des voiles afin de réaliser une répartition de la

sollicitation dans les voiles au prorata des inerties dans la direction de ces axes. Ces axes déterminent surtout

la ligne d’action des efforts statiques équivalents lors d’une étude sismique.

- Déterminer la position du centre de torsion et réaliser une répartition des efforts en fonction de l’inertie et de la

position de chacun des voiles.

Les principes mécaniques utilisés sont les suivants :

- Utilisation de la propriété du centre de torsion suivante : si un effort est appliqué selon l’axe Ox sans moment, le

plancher subit une translation sans rotation. La méthode exploite la réciproque à savoir que : si l’on impose une

translation au plancher, la résultante des réactions dans les voiles est une force sans moment.

- La répartition des efforts se faisant au prorata des rigidités, la résultante est fonction des rigidités des voiles ;

- La répartition des efforts dans les voiles engendrés par une translation est fonction uniquement de la rigidité

des voiles ;

- Les efforts dans les voiles engendrés par une rotation d’axe sont fonction de la position du centre de torsion ;

- La rigidité peut être remplacée par l’inertie des voiles (comportement en flexion).

Effort dans la direction Y :

Effort dans la direction X :


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1.6.2. Notations

Les notations utilisées dans l’organigramme sont en accord avec les figures ci-dessous. La Figure 24 donne la définition

des différents repères utilisés : le repère général lié au centre de torsion (déterminé par les axes principaux d’inerties de

l’ensemble des voiles), le repère lié aux axes principaux du voile et enfin le repère lié au voile et orienté selon le repère

principal.

FIGURE 24 : REPERAGE D’UN VOILE, DES AXES PRINCIPAUX D’INERTIE, DU CHARGEMENT (6)

La Figure 25 illustre l’expression de la résultante des efforts dans les voiles dus respectivement à une translation d’axe

Ox, et d’axe Oy. Les deux autres figures définissent l’orientation et le positionnement de chacun des voiles.

FIGURE 25 : DEFINITION DES RESULTANTES P ET Q (6) FIGURE 26 : DEFINITION DES REPERES LIES AU VOILE (6)

FIGURE 27 : DEFINITION D’UN VOILE I PAR RAPPORT AU CENTRE DE TORSION C (6)


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ORGANIGRAMME 1 : METHODE DU CENTRE DE TORSION

Moment au Cdt

D’où :

Répartition au prorata des inerties selon les

directions principales

Elle est proportionnelle à l’inertie et à la position des

voiles.

D’où :

Par écriture de l’équilibre des moments en O des

résultantes et de l’ensemble des voiles

Caractéristiques des voiles dans le repère

lié aux axes principaux des voiles

Caractéristiques des voiles dans le repère

orienté selon le repère principal

Efforts induits par une translation d’axe Efforts induits par une rotation d’axe

Détermination des axes

principaux d’inertie de

l’ensemble des voiles

aux axes principaux d’inerties

// à CX

// à CY

Position du Centre de Torsion (CdT)

Par application de la propriété suivante :

Si on impose un déplacement au plancher, la résultante

des réactions des voiles au centre de torsion est une

force sans moment. Qui est la réciproque de :

l’application d’une force au centre de torsion engendre

une translation sans rotation.

Détermination de P et Q : résultantes

des réactions des voiles au CdT soumis

successivement à une translation selon Ox

et Oy.

Détermination de la position de P et Q

Détermination de :

Effort et dans le repère

lié à chaque

voile

Effort total dans les voiles :

somme

Formules de rotation d’axes

Décomposition de

l’effort suivant et

é Apportés par

dans le

repère

// à CX

// à CY

D’où et dans le repère

lié au voile :

Efforts repris par les

voiles

Calcul de la réaction dans les voiles

Déduction de la position du CdT


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Remarques :

Dans son ouvrage (6) H.THONIER considère cette méthode comme la plus précise. De plus le logiciel de calcul de

structures vis-à-vis des efforts horizontaux épicentre utilise cette méthode dans son calcul de répartition. Ajoutons qu’en

plus d’être précise cette méthode présente l’avantage d’être aisément programmable dans un tableur Excel.

Les principaux défauts de cette méthode sont probablement ses hypothèses. Le fait de ne considérer que le

comportement en flexion des voiles ne permet pas une adaptation facile pour des structures moins élancées où le

cisaillement ne peut plus être négligé.

1.7. Structure à murs de contreventement asymétrique : méthode de la raideur

Cette méthode s’applique à des structures dont la configuration en plan des voiles est quelconque et pour un

chargement ponctuel horizontal également quelconque. Elle repose sur l’écriture de la relation à différents

niveaux de la structure : au centre de torsion du plancher en définissant une rigidité pour l’ensemble des voiles, et au

niveau du centre de torsion de chaque voile pris individuellement.

On peut envisager cette méthode de plusieurs manières, soit en négligeant l’inertie des voiles selon leur axe faible, c’est

le parti que prend H.THONIER, soit en considérant les inerties dans les deux directions principales des voiles ou encore

en considérant trois rigidités, deux selon les axes principaux d’inertie des voiles et une de torsion. La démarche reste la

même quelque soit les rigidités considérées. Cependant, lorsque la méthode fait intervenir une raideur de cisaillement,

l’hypothèse concernant l’élancement des voiles n’est plus considérée.

La méthode est présentée sous forme d’un organigramme explicitant la démarche. Les relations sont explicitées dans

l’annexe 2.

1.7.1. Principes généraux

La méthode consiste à :

- Exprimer les déplacements du centre de torsion de l’étage en fonction de la résultante des sollicitations au

centre de torsion,

- Exprimer les déplacements de chacun des voiles en fonction des déplacements du centre de torsion,

- Etablir la relation entre rigidité, déplacement et effort pour chacun des voiles et pour toutes les directions

considérées ;

- Déterminer la matrice de rigidité de l’ensemble des voiles en fonction de la rigidité de chacun des voiles.

Puis une fois la matrice de rigidité déterminée :

- Calculer les déplacements du centre de torsion de l’étage en fonction de la résultante des sollicitations au

centre de torsion,

- Calculer les déplacements de chacun des voiles en fonction des déplacements du centre de torsion,

- Déterminer les efforts dans les voiles en fonction des déplacements qu’ils subissent dans l’ensemble des

directions considérées.

Cette méthode repose sur les principes suivants :

- La relation entre rigidité, effort appliqué et déplacement ;

- L’équilibre des efforts appliqués à la structure et la réaction dans les voiles ;

- La relation géométrique entre le déplacement du centre de torsion et le déplacement des voiles pour un angle

très faible ;


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- Les propriétés du centre de torsion.

1.7.2. Organigramme

Par souci de clarté l’organigramme suivant met simplement en évidence les relations qu’il est possible d’obtenir entre les

différentes données de la structure. Ces relations sont notées de la façon suivante : , ce qui signifie qu’il existe

une relation liant la variable et la variable , lorsque la variable est adossée d’un indice, cela signifie que la variable

peut s’exprimer en fonction des variables des voiles .

Les annotations en italiques sous les encadrés permettent de justifier la relation.

Construction de la matrice de rigidité de l’ensemble des voiles

Par équilibre des efforts dans la structure

Expression des déplacements du centre de

torsion en fonction des sollicitations

Lien entre les composantes du vecteur

déplacement du centre de torsion et les

déplacements de chaque voile

Avec : la sollicitation entraînant un

déplacement , et sollicitant le voile selon sa

rigidité . Dans le cas où trois rigidités sont

considérées on a trois relations de ce type.

Expression des déplacements de chaque

voile en fonction des sollicitations

En raison du caractère infiniment rigide des

planchers, le déplacement d’un voile selon ses

directions principales peut s’exprimer en fonction

du déplacement au centre de torsion.

Lien entre les composantes du vecteur

sollicitation au centre de torsion et les efforts

dans les voiles

Construction de la matrice de rigidité de l’ensemble des voiles

Calcul des efforts dans les voiles (cinématique de calcul) :


Renaud DELABY

Remarques :

Le principal intérêt de cette méthode réside dans la possibilité de prendre en compte plusieurs rigidités. L’approche

matricielle avec les raideurs rend la méthode plus lisible et donc plus facile d’appréhension.

Pour ce qui est des principes mécaniques sur lesquels se base la méthode, ce sont toujours les propriétés du centre de

torsion ainsi que des considérations graphiques pour la relation entre les déplacements. La relation

précédemment citée est rendue possible en considérant une rotation très petite comme on peut le voir en annexe.

Dans son ouvrage (6) H.THONIER considère la méthode de la rigidité moins précise que la méthode du centre de

torsion. Cependant, il exploite la méthode de la rigidité en ne considérant que l’inertie principale du voile. On remarque

que lorsque l’on considère les inerties dans les deux directions (utilisées à la place des raideurs), on retrouve strictement

les résultats obtenus avec la méthode du centre de torsion. On peut donc en conclure que les deux méthodes sont

identiques du point de vue du calcul de répartition.

1.8. Remarques et conclusion sur les méthodes en béton armé

Les premières méthodes exposées, compte tenu de l’importance des simplifications qu’elles font ne paraissent pas

pertinentes pour une méthode de détermination des efforts relativement précise. Le cas du contreventement isostatique,

bien que quasiment jamais rencontré, est intéressant afin de voir que la répartition n’est pas toujours fonction de la

rigidité.

Les méthodes du centre de torsion et de la rigidité sont semble-t-il les plus précises et les plus générales. La précision

de la méthode du centre de torsion semble être acquise, cependant, comme on l’a déjà dit, la méthode de la raideur

permet d’obtenir des résultats similaires. On peut donc en conclure que les deux méthodes sont équivalentes dans la

limite des hypothèses précédemment citées.

2. Structures en bois

Les structures en bois ont fait l’objet d’un nombre plus restreint d’études. Ceci peut d’expliquer en partie par la démarche

empirique adoptée par les anciens règlements (CB71, guide du LC) ne permettant pas un raisonnement rigoureux pour

des structures faisant intervenir de nombreux paramètres (type de panneau, différence d’essence des montants,

assemblages). L’arrivée de l’Eurocode 5 et l’apparition des méthodes semi-probabilistes pour l’étude des structures en

bois ont permis de développer des démarches plus rigoureuses pour l’étude des différents éléments des structures en

bois et ainsi améliorer de manière significative les connaissances sur le matériau pour son utilisation en structure. C’est

dans cette démarche que sont apparues deux méthodes de répartition des efforts. Lorsque ces méthodes ne sont pas

appliquées, c’est généralement l’expérience de l’ingénieur-concepteur qui lui permet de dimensionner la structure vis-à-

vis de ces efforts.

Après avoir rappelé l’approche générale du contreventement dans les structures bois, une première partie est consacrée

aux pratiques généralement utilisées en bureau d’études pour l’estimation des efforts. Les deux parties qui suivent

présentent les méthodes qui sont apparues avec l’Eurocode 5. La première, qui existe également en béton armé, se

présente comme la généralisation de la méthode applicable au contreventement à voiles parallèles à des structures

contreventées dans les deux directions. La seconde propose une nouvelle manière d’utiliser les deux propriétés

fondamentales de la répartition des efforts horizontaux à savoir les propriétés du centre de torsion et la relation liant

effort, raideur et déplacement.


Renaud DELABY

2.1. Approche générale

Comme pour le béton armé, lorsque les planchers sont bien contreventés dans leur plan, la répartition des efforts se fait

selon la rigidité de chacun des murs. Pour les murs à ossature bois, la rigidité est très fortement liée à la résistance. Les

murs les plus raides reçoivent le plus d’effort et correspondent aux murs les plus résistants. Cette particularité permet de

s’abstenir de la répartition exacte des efforts dans les voiles à partir du moment où l’ensemble des voiles est capable de

reprendre l’effort total. Le principal reproche qui peut être fait à cette méthode est qu’elle ne permet pas d’appréhender le

phénomène de torsion. Les méthodes présentées ci-dessous se placent toujours dans l’hypothèse des planchers rigides.

2.2. Modèle poutre

Une approche simplifiée est de modéliser le plancher par une poutre infiniment rigide sur appuis élastiques. La rigidité

des appuis est prise égale à la rigidité des murs comme le monter la Figure 28.

FIGURE 28 : MODELE POUTRE SUR APPUIS-ELASTIQUES

La rigidité des murs peut être obtenue de deux façons suivant que l’approche se fait à l’Eurocode 5 ou selon les anciens

règlements (CB71, guide du LC). Intéressons-nous ici à la manière dont l’état de l’art définit la rigidité d’un mur à

ossature bois selon les anciennes normes, cette méthode de détermination met bien en évidence le lien entre résistance

et raideur pour les murs à ossature bois. Nous verrons dans la suite la manière dont l’Eurocode 5 aborde la question de

la rigidité.

Calcul de la raideur d’un mur à ossature bois selon la NF P21102 - EN 584, Annales BTP nº 450 :

La charge horizontale admissible en tête de panneau d’un élément de structure de mur est déterminée :

- Soit par un critère de résistance (coefficient de sécurité 2,75) ;

- Soit par un critère de déplacement :

W

W


Renaud DELABY

La raideur étant liée au déplacement par la relation et la norme stipulant que l’effort résistant correspond

à un déplacement de en tête de panneau, la raideur est définie par le rapport

.avec et

l’effort admissible en tête calculé à partir du type d’assemblage et de la couture du panneau sur les montants

(espacement des organes d’assemblages). On voit bien à travers cette expression de la rigidité le lien direct entre

les notions de rigidité et de résistance pour les murs à ossatures. L’Eurocode 5 propose désormais deux calculs

différents pour la raideur d’une part et la résistance de l’autre.

Une autre approche consiste à modéliser une poutre sur appuis rigides, cela revient à considérer tous les murs avec la

même rigidité.

Remarque :

La limite de cette approche est qu’elle ne permet pas de prendre en compte les éventuels efforts dus à la torsion du

bâtiment qui, dans certains cas, peuvent s’avérer très importants. Elle reste cependant un moyen rapide d’estimer la

répartition des efforts entre les différents voiles.

2.3. Approche selon les STEP

S. Winter propose dans l’ouvrage STEP 2 (9) une méthode de répartition proche de celle proposée par MM Albigès et

Goulet pour le béton armé (contreventement par voiles parallèles utilisés dans les deux directions). Les ouvrages

appelés couramment STEP 1 et STEP 2 ont été réalisés dans le cadre du programme Européen Comett et visent à

présenter les résultats de différents laboratoires de recherche européens afin de « traduire les règles théoriques de

l’Eurocode 5 en solutions concrètes » (Source : Préface STEP 2).

2.3.1. Domaine d’application

Dans le cadre d’un contreventement hyperstatique, les planchers doivent assurer un rôle de diaphragme et la rigidité par

élément de longueur doit être identique pour tous les voiles.

2.3.2. Principe de résolution

FIGURE 29 : SYSTEME DE CONTREVENTEMENT HORIZONTAL HYPERSTATIQUE (9)

Centre de

torsion


Renaud DELABY

Avec la notation de la Figure 29, le centre de torsion est assimilé au centre de gravité des raideurs. Ses coordonnées

sont données par les expressions suivantes :

Les efforts dans les voiles sont la somme de deux termes, l’un correspond à une répartition au prorata de la raideur,

l’autre est apporté par l’excentrement de la charge par rapport au centre de torsion comme le montrent les expressions

qui suivent. On remarque que le terme dû à la rotation entraine un effort dans les deux directions du voile. Il est

cependant difficile de considérer qu’un mur à ossature bois présente une résistance dans le sens transversal.

2.3.3. Exploitation de la méthode

La méthode proposée par S.WINTER ne donne pas d’indication quant à la nature des termes et . Tout laisse à

penser qu’ils correspondent à la longueur du mur, ce qui justifierait la condition de similitude de rigidité au mètre linéaire

pour l’ensemble des murs.

On peut également envisager que ces termes soient remplacés par la raideur du mur, calculée selon la philosophie

Eurocode ou selon les anciens règlements. C’est d’ailleurs de cette manière que procède Vincent TASTET, enseignant

au lycée Haroun Tazieff de Saint-Paul Lès-Dax et notamment coauteur de l’ouvrage Calcul des Structures en bois,

Guide d’application des Eurocodes (Eyrolles).

Remarques :

La méthode propose une démarche assez simple de détermination des efforts dans les voiles. Les hypothèses de

similitude de rigidité au mètre linéaire, mais surtout les limites géométriques (voiles parallèles aux efforts et orthogonaux)

ne permettent pas son utilisation dans des situations quelconques.

2.4. Approche selon l’AQCEN (Guide d’application de l’EC5)

Cette méthode se distingue des autres d'une part car elle est plus générale et d’autre part par l’approche calculatoire

qu’elle a de la raideur. La raideur n’est en effet plus déterminée à partir de la résistance des murs, mais directement à

partir de la raideur des assemblages du panneau sur l’ossature. La répartition se fait ensuite toujours en fonction de la

raideur de chaque mur et de sa position par rapport au centre de torsion.

L’application à des structures de géométrie très diverses et la rigueur dans la résolution rapproche cette méthode des

méthodes du centre de torsion et de la rigidité présentées précédemment pour le béton armé, mais appliquée au le bois.

La répartition des efforts au prorata des rigidités entraîne nécessairement de considérer les planchers comme des

diaphragmes rigides. Les murs en ossature bois sont supposés encastrés (glissement et soulèvement empêché).


Renaud DELABY Page 37

3. Structure en maçonnerie

L’ouvrage Dimensionner les ouvrages en maçonnerie relatif à l’application de l’Eurocode 6 propose une méthode de

répartition des efforts comparable à celle présentée en béton armé et en bois pour un contreventement par voiles

parallèles. L’application diffère de celle du béton armé et du bois par le critère de répartition en passant par un calcul de

raideur basé sur les déformations de cisaillement et de flexion (relatif au module E et G).

Expression du travail des forces

intérieures : en fonction des et des

Avec :

: effort dans le voile

: déplacement du centre de torsion voile


extérieures : en fonction et

Avec :

: vecteur des sollicitations au centre

de torsion

: vecteur des déplacements du

centre de torsion


intérieures en fonction des et des

composantes de

Avec et le bras de levier de

la force au centre de torsion :


extérieures en fonction de et

Avec :

: rigidité globale du niveau étudié

En appliquant au plancher

Minimisation du travail par dérivation

partielle successivement selon

Système de trois équations à résoudre Résolution du système de trois

équations à trois inconnues Correspondant aux trois minimisations

Expressions de :

,

, e

Déplacement

dans chaque

voile :

Effort dans

chaque

voile :



Cette méthode a été élaborée dans le cadre de la rédaction des Guides AQCEN (10) en grande partie par Jean-François

BOCQUET, enseignant chercheur à l’ENSTIB (Ecole Nationale Supérieur des Technologies et Industries du Bois)

d’Epinal.

2.4.1. Principe de la méthode

Comme pour les autres méthodes, ce sont les propriétés du centre de torsion et la relation liant raideur, déplacement et

effort qui permettent d’aboutir à la distribution des efforts.

La méthode se décompose en trois étapes, le calcul de la raideur de chaque mur, la détermination du centre de torsion

de l’ensemble des murs, la détermination des efforts dans les voiles.

La première étape concernant le calcul de la raideur des murs sera détaillée dans la partie 5 relative aux calculs des

raideurs des différents éléments verticaux de contreventement. Les deux autres étapes sont détaillées ci-dessous.

2.4.2. Détermination du centre de raideur

Le centre de raideur est considéré comme le barycentre des inerties des murs. Sa détermination se fait en paramétrant

l’ensemble de la structure par rapport à la position recherchée du centre de torsion. Une fois la structure paramétrée, on

écrit que la somme des moments des rigidités au centre de torsion est nulle. A partir de la relation ainsi créée et des

relations de distances entre les différents voiles, on parvient à créer un système d’équations permettant de déterminer la

distance de chacun des voiles au centre de torsion et ainsi donc la position du centre de torsion. Cette méthode étant

très calculatoire elle n’est pas détaillée ici [cf. Annexe 3].

2.4.3. Détermination des efforts dans les voiles

La raideur dans les voiles est déterminée à partir des déplacements des voiles et de la relation qui existe entre le

déplacement du centre de torsion et le déplacement des voiles. La méthode repose sur les considérations suivantes :

- Le travail de la résultante des forces au niveau du centre de torsion est assimilé au travail des forces

extérieures ;

- Le travail des forces dans chacun des voiles au niveau de leur centre de gravité est assimilé au travail des

forces intérieures .

La méthode présente une rigueur calculatoire permettant de considérer des structures à la géométrie en plan

quelconque. Cependant elle ne considère la rigidité que selon une direction ce qui la rend difficilement applicable pour

des voiles composés en béton armé. Ceci est dû au fait qu’elle a été développé pour les murs à ossature bois dont la

rigidité transversale est négligeable. On notera également quelques similitude avec la méthode de la raideur dans

l’approche et également au niveau de l’expression des déplacements de chacun des voiles en fonction du

déplacement du centre de torsion.

Le principe de résolution de la méthode est le suivant :


Renaud DELABY

LA METHODE DEVELOPPEE POUR LES OUVRAGES

MIXTES

Cette partie est consacrée à la présentation de la méthode de répartition adoptée pour les ouvrages mixtes.

Après être revenu sur la question de la rigidité des planchers, qui se présente comme une condition nécessaire à

l’application des méthodes de répartition, le paragraphe 2 développe la nécessité de revenir à une notion de rigidité ainsi

que sur l’ensemble des problématiques soulevées par la mixité. Le choix de la méthode de la raideur pour le calcul de

répartition et les discussions relatives aux hypothèses d’applications seront présentés au paragraphe 3. Enfin, le dernier

paragraphe s’attachera à détailler l’ensemble de la démarche d’application de la méthode.

1. Préambule sur les planchers rigides

L’utilisation de planchers rigides comme élément horizontal de contreventement permet de stabiliser la structure en plan

et d’assurer la répartition des efforts dans les voiles en fonction de leur rigidité comme on a pu le voir dans la partie 2.

Ce fonctionnement en diaphragme est intéressant, car il permet que les éléments les plus raides et donc généralement

les plus résistants reçoivent le plus d’efforts.

Cette hypothèse n’est cependant pas systématiquement vérifiée. Le problème survient principalement lorsqu’on a la

présence simultanée d’élément de contreventement de natures très différentes comme le bois et le béton. C’est donc

principalement dans le cas de plancher en bois assurant la répartition vers des éléments très raides en béton armé ou

en maçonnerie que la rigidité doit être étudiée avec plus de précision. Les planchers en béton ou connectés bois-béton

sont quant à eux considérés comme infiniment rigides dans leur plan pour les structures concernées par l’étude.

1.1. Nature du plancher et répartition des efforts

Le caractère souple ou rigide d’un plancher dépend de sa capacité à transmettre des efforts de torsion. Le choix du

modèle a donc un impact direct sur la répartition des efforts.

Les planchers rigides, comme on la vu au travers des différentes méthodes, assurent une répartition au prorata de la

raideur des voiles. Les éléments verticaux fonctionnement de manière groupée et reprennent ainsi des efforts de torsion.

Les planchers considérés comme souples, compte tenu de leur déformabilité importante dans le plan, ne peuvent

transmettre d’efforts dus à la rotation. La répartition se fait en proportion de l’aire de plancher que reprend chaque voile.

Ce type de plancher rend donc impossible un contreventement par noyau.

La Figure 30 illustre l’impact du type de plancher sur la répartition des efforts dans les voiles. Dans la configuration

présentée, tous les voiles de contreventement dans la direction de la charge sont identiques.


Renaud DELABY

1.2. Approche règlementaire

Force est de constater que la littérature et les règlements nationaux sont assez pauvres quant à l’estimation de la rigidité

des planchers dans le cas de structure mixte. L’Eurocode 8 propose d’un côté des critères pour les différents types de

structure qui se traduisent généralement par des dispositions constructives et d’un autre côté un critère très restrictif au

niveau des déplacements du plancher, mais qui nécessite la modélisation du comportement réel de la structure.

Le critère de déplacement de l’Eurocode 8 pour l’ensemble des structures est le suivant : « Le diaphragme est considéré

comme rigide si, lorsqu'il est modélisé avec sa flexibilité en plan effective, ses déplacements horizontaux n'excèdent en

aucun point les déplacements résultants de l'hypothèse du diaphragme rigide de plus de 10 % des déplacements

horizontaux absolus correspondants dans la situation sismique de calcul ». C’est donc un critère de déplacement du

plancher entre une modélisation en plancher rigide et en comportement réel. La nécessité de modéliser le comportement

réel rend ce critère inutilisable pour déterminer si un plancher est rigide sans modélisation. Son utilisation peut être

intéressante pour tester diverses configurations afin d’établir ses propres critères de rigidité (élancement, épaisseur de

dalle, couturage des panneaux, etc.).

D’autres approches sont faites notamment par l’Eurocode 5 (Bois), qui fixe l’élancement maximal à 6 et fournit des

préconisations pour le calcul des planchers dans le cas où le plancher est considéré comme rigide. Cependant, il n’y a

pas de critère défini.

1.3. Approche dans la littérature

Différents ouvrages sur la résistance des structures aux séismes traitent de cette question de la rigidité des planchers.

Tous s’accordent à dire que la rigidité des planchers est fonction de la configuration globale du bâtiment et de la raideur

relative des éléments verticaux et horizontaux de contreventement. Certains auteurs procèdent à des simplifications en

définissant le caractère rigide d’un plancher en fonction de sa nature et de la nature des éléments verticaux auquel il est

lié suivant les critères du Tableau 1.

Plancher souple Plancher rigide

FIGURE 30 : REACTIONS DES EFFORTS DANS LES VOILES EN FONCTION DU TYPE DE PLANCHER


Renaud DELABY

Types de murs Types de planchers Comportement

Bois Bois Rigide

Bois Mixte bois/béton Rigide

Bois et béton/maçonnerie Bois Souple

Bois et béton/maçonnerie Mixte bois/béton Rigide

TABLEAU 1 : NATURE DU PLANCHER EN FONCTION DE LA NATURE DES ELEMENTS DE CONTREVENTEMENT

Les textes anglo-saxons traitant de la répartition des efforts horizontaux dans les structures proposent un critère

permettant de définir le caractère rigide du plancher. Un plancher est considéré comme rigide si le déplacement dans

son plan sous l’effet des charges horizontales n’excède pas de deux fois le déplacement des éléments verticaux auquel

il est lié (cf. Figure 31). Ce critère met en évidence la relation directe entre la rigidité du plancher et le rapport de rigidité

entre les éléments verticaux et horizontaux. Ce critère est cependant très favorable au regard de celui fixé par

l’Eurocode 8. On le considèrera donc avec prudence. V.Davidovici (11) propose un critère plus proche de celui de

l’Eurocode 8, mais en fixant la limite du déplacement du plancher dans son plan à 20% du déplacement total.

FIGURE 31 : CRITERE DE RAIDEUR DES PLANCHERS SELON LES REGLES ANGLO-SAXONNES (12)

1.4. Éléments influençant la rigidité des planchers

La rigidité d’un plancher est fonction de sa déformabilité en plan. En plus de la nature même du plancher (composition et

matériau) l’élancement et la présence d’ouverture sont les deux éléments principaux susceptibles de diminuer la rigidité.

Un élancement trop important, du fait de sa faible largeur, ne permet pas la transmission des efforts de part et d’autre du

plancher et il ne peut donc plus se comporter comme un ensemble rigide, cela se traduit notamment par des

déformations importantes comme l’illustre la Figure 32.


Renaud DELABY

FIGURE 32 : INFLUENCE DE L’ELANCEMENT DES PLANCHERS (2)

La présence de trémie entraîne une diminution de rigidité causée par une déformabilité plus importante au niveau de

l’ouverture. L’impact des trémies peut être limité en renforçant sa périphérie comme l’illustre la Figure 34 et surtout en

les positionnant de manière judicieuse comme l’illustre la Figure 33. Cette figure illustre l’analogie avec la poutre en I

pour le calcul des planchers généralement jugé valable pour un élancement entre 2 et 6.

FIGURE 33 : CONCENTRATION DE CONTRAINTES DANS UN DIAPHRAGME AVEC TREMIE (13)

FIGURE 34 : INFLUENCE DE LA POSITION DE LA TREMIE SUR LA RIGIDITE DU DIAPHRAGME(2)


Renaud DELABY

1.5. Conclusion pour l’application de la méthode

Compte tenu de l’absence dans les normes de critère précis pour l’évaluation des raideurs et d’une dispersion

importante des critères dans la littérature nous proposons d’adopter le critère suivant dans le cas de plancher bois

rigidifié par panneaux:

Le plancher sera considéré comme rigide si l’une des deux conditions suivantes est respectée:

- Son élancement est inférieur à 6 [EC5] ;

- Le rapport de la déformation du plancher dans son plan sur la déformation des éléments verticaux auxquels il

est lié est inférieur à 0,15 [moyenne entre le 0,10 (EC8) et 0,20 (Davidovici) et très inférieur à 2,0 (anglo-saxon)]

Ce critère peut paraître très favorable et la vérification du premier critère n’implique pas forcément le deuxième. C’est

pourquoi ce critère doit être utilisé avec prudence et c’est l’expérience de l’ingénieur qui seule permettra d’estimer la

validité de l’hypothèse pour chaque projet et son utilisation pour le calcul de répartition.

De plus, le critère de déplacement fortement limitatif de l’EC8 s’applique à des structures soumises aux efforts sismiques

déterminés par un modèle brochette. La méthode ayant vocation à être utilisée principalement pour des études au vent

le critère est peut-être trop défavorable, la nature des efforts sismiques n’étant pas les mêmes que celles des efforts de

vent.

2. Problématique de la mixité - La nécessité de la question de la rigidité

2.1. Une différence d’approche

Comme on l’a vu dans la partie 3 les différentes méthodes de répartition s’accordent quant à la distribution des efforts

horizontaux dans la structure au prorata de la raideur en utilisant un critère de répartition directement proportionnelle à la

raideur. Elles se distinguent cependant par l’évaluation de ce critère comme le montre le Tableau 2.

Béton Bois

- Raideur de flexion = Inertie [THONIER H.]

- Résistances d’assemblage des panneaux sur les

ossatures [ANCIENS REGLEMENTS] et [STEP]

- Raideur de flexion et de cisaillement d’une part +

raideur de torsion d’autre part [Méthode de la

raideur, METHODE INTERNE]

- Raideurs d’assemblages des panneaux sur les

ossatures [Jean-François BOCQUET]

TABLEAU 2 : CRITERES DE REPARTITION DES EFFORTS HORIZONTAUX POUR LE BOIS ET LE BETON SELON LES

DIFFERENTES METHODES

Cette différence dans le choix des critères de répartition d’explique par la différence de comportement des structures en

bois et en béton, par la taille et la configuration générale des structures concernées par chaque matériau et donc par la

portée des hypothèses. Ceci a pour conséquence que toutes les méthodes n’ont pas le même champ d’application et

donc que les rigidités ne sont pas appréhendées de la même manière. Ainsi, H. THONIER n’utilise que la raideur de

flexion quant une autre méthode se propose de considérer les raideurs de flexion, de cisaillement et de torsion pour les

voiles en béton armé.


Renaud DELABY

Tous les critères précédemment cités ont comme origine une manière d’estimer la raideur pour chaque matériau. Dans

une structure élancée, les voiles en béton ont un comportement en flexion, la raideur est proportionnelle à l’inertie et

donc c’est elle qui est utilisée comme critère de répartition. De même pour le bois où c’est la raideur des assemblages

du panneau sur l’ossature qui détermine la raideur. Ces critères sont utilisés à la place de la raideur probablement parce

qu’ils permettent d’augmenter la lisibilité et évitent ainsi de passer par un calcul de raideur précis qui n’est pas

nécessaire.

Cependant, la présence simultanée d’éléments verticaux de natures très différentes (murs à ossature bois, voiles béton,

murs maçonnés) pose la question du critère de répartition à adopter, c’est l’objet du paragraphe suivant.

2.2. Les difficultés de la cohérence

On a vu que la répartition des efforts se fait selon la raideur. Ce n’est donc pas la raideur en tant que telle qui est

intéressante, mais la raideur d’un élément par rapport aux autres. De ce fait, peu importe la grandeur utilisée pour la

répartition du moment que la valeur prise par les différents éléments soit proportionnelle à sa raideur.

Fort de ce constat plusieurs critères de répartition sont envisageables. Par exemple, essayer de dégager une inertie

équivalente pour tous les matériaux et ainsi revenir à une approche similaire à celle en béton armé. Cette possibilité a

cependant été écartée en partie car elle ne considère qu’une raideur de flexion de l’élément. La suite montrera que dans

bien des cas le cisaillement des voiles en béton armé doit être pris en compte.

C’est pourquoi la méthode utilise comme critère de répartition la raideur qui est, mécaniquement parlant, la valeur la plus

représentative du comportement réel et qui se présente comme une valeur commune à tous les matériaux. La difficulté

est alors de déterminer la raideur de chaque élément de la manière la plus réaliste possible vis-à-vis de la raideur des

autres éléments. Pour illustrer cette difficulté à estimer les raideurs de manière réaliste le graphique de la Figure 35

montre la dispersion des résultats obtenus pour un voile en béton armé en fonction du modèle adopté d’une part et des

sollicitations considérées d’autre part. Les résultats sont obtenus par l’application des formules de Bresses dans les

quatre situations suivantes :

Cas 1 : Poutre console, chargée en tête. Seul le déplacement dû à la flexion est considéré ;

Cas 2 : Même modèle que le Cas 1 en prenant en compte le déplacement d’effort tranchant ;

Cas 3 : Poutre bi-encastrée avec déplacement imposée en tête. Seul le déplacement dû à la flexion est considéré ;

Cas 4 : Même modèle que le Cas 3 en prenant en compte le déplacement d’effort tranchant.

FIGURE 35 : RAIDEUR D’UN MUR EN BETON ARME SUIVANT LE MODELE ADOPTE

0,00E+00

5,00E+02

1,00E+03

1,50E+03

2,00E+03

Cas 1 Cas 2 cas 3 Cas 4

Rai

de

ur

en

MN

/m


Renaud DELABY

On remarque les variations importantes qu’il peut exister pour l’évaluation de la raideur d’un seul type d’élément. Ce

constat nous amène à être très attentifs quant au modèle considéré pour les calculs en s’efforçant de déterminer les

modèles les plus proches de la réalité ou, le cas échéant, d’adopter une approche cohérente entre les différents types de

murs vis-à-vis des hypothèses qui sont faites. Cette évaluation est d’autant plus délicate que le comportement d’un voile

en béton armé est très différent de celui d’un mur à ossature en bois comme le montre la Figure 36.

FIGURE 36 : DEPLACEMENT D’UN MUR EN OSSATURE BOIS (10) ET D’UN VOILE EN BETON ARME(11) SOUMIS A UN

CHARGEMENT HORIZONTAL EN TETE

Le déplacement du mur à ossature bois trouve son origine principalement dans le glissement du panneau sur l’ossature

quant celui du béton armé est lié à la flexion du voile (cas d’un voile élancé).

L’ensemble de ces constatations nous amène à dégager entre autres les problématiques suivantes :

- La rotation qu’il peut exister au niveau des planchers pour les voiles en béton armé, peut-elle être négligée

dans toutes les situations ?

- Le voile en béton armé est assimilé à une poutre, quelle est alors la validité de cette hypothèse ?

- Les murs à ossature en bois sont-ils également soumis à une flexion d’ensemble par soulèvement ?

Toute la suite et tout particulièrement la partie 5 relative aux calculs des raideurs s’attache à apporter des réponses à

ces interrogations. L’étude se base sur l’étude de la littérature, sur des études déjà réalisées et sur une réflexion et une

interprétation personnelle. Afin de vérifier la validité des hypothèses considérées, il aurait été intéressant de modéliser le

comportement de différents éléments de la structure, de les relier par un élément rigide chargé et d’observer la

répartition entre les différents éléments. La difficulté de modélisation du comportent d’un mur à ossature bois nous a

amené à écarter cette possibilité. Par conséquent, nous nous attacherons à justifier chacune des hypothèses du mieux

possible, sachant qu’une partie relèvera toujours de l’appréciation de l’ingénieur.

3. Choix de la méthode et retour sur les hypothèses

3.1. Choix de la méthode

En raison de leur précision et de leur application possible à des dispositions de voiles quelconques, seules les méthodes

du centre de torsion et de la raideur en béton armé et celle proposée par Jean-François BOCQUET (AQCEN) en bois



C’est donc la méthode de la raideur qui a été retenue pour le calcul de répartition. Cette méthode présente l’avantage

d’être facilement programmable dans un tableur Excel. Son principe de résolution par la construction d’une matrice de

raideur pour l’ensemble du plancher est assez bien compréhensible pour quelqu’un qui découvre la méthode. De plus,

elle offre une liberté quant au choix des rigidités prises en compte dans le calcul de répartition. Ce sont donc trois

rigidités qui seront prises en compte dans la méthode ; deux correspondant aux déplacements des voiles selon leurs

axes principaux d’inerties et une à la rotation du centre de torsion de ces voiles selon son axe vertical. Nous reviendrons

sur ce choix de rigidités dans la partie 5.

3.2. Les hypothèses

Cette partie revient sur l’ensemble des hypothèses citées en 1.1 de la partie 3. Après avoir rappelé l’hypothèse

concernée, son application aux structures mixtes est discutée sur la base de retours d’expériences des ingénieurs et de

la possibilité d’estimation de l’impact qu’aurait la non-validation de l’hypothèse.

3.2.1. Hypothèse concernant les planchers rigides

- « Les planchers sont infiniment rigides dans leur plan ; »

La rigidité des planchers est une condition nécessaire à la répartition des efforts entre les différents éléments de

contreventement et surtout pour la transmission des efforts de torsion. Comme nous l’avons vu ci-dessus si cette

condition n’est pas remplie, la méthode de répartition n’est donc plus valable et la répartition des efforts se fait en

fonction de l’aire de planchers que reprend chaque élément.

La méthode n’est donc appliquée que sous réserve que les critères de rigidité du plancher soient vérifiés comme décrit

en 1.5.

3.2.2. Hypothèses concernant les voiles

- Les voiles sont de sections constantes sur toute la hauteur du bâtiment, ou leurs inerties varient toutes dans les

mêmes proportions et aux mêmes niveaux ;

- Les voiles ont mêmes conditions d’encastrement en pied et même module d’élasticité ;

- Les murs sont suffisamment élancés ) ; de sorte que les déformations d’effort tranchant sont

négligées ;

- La rigidité de torsion uniforme des murs et noyaux est négligeable ;

Ces trois hypothèses posent de nombreuses questions quant à l’application des méthodes simplifiées. En effet, nombre

de bâtiment ne répond pas aux critères de la première ni de la troisième hypothèse et l’évaluation de la qualité de

l’encastrement peut s’avérer parfois difficile notamment pour des éléments en bois.

Les choix réalisés vis-à-vis de ces hypothèses sont les suivants :

Concernant la section constante des voiles sur toute la hauteur du bâtiment :

Lorsque des structures ne répondent pas à la première hypothèse, il est nécessaire de passer par un modèle élément

fini pour déterminer le comportement global de la structure. Or, l’objectif est d’élaborer un outil utilisable rapidement et

notamment en phase de conception et de prédimensionnement. L’utilisation d’un modèle informatique est donc exclue.



Par conséquent nous avons fait le choix de prendre des libertés vis-à-vis de cette hypothèse tout en soulignant qu’il est

nécessaire de prendre des précautions vis-à-vis des résultats lorsque la structure ne répond pas à ce critère. L’annexe 4

présente une étude succincte ayant pour objectif d’étudier la variation de rigidité d’un voile en fonction de la configuration

des voiles des étages inférieurs. Le test réalisé met en évidence la difficulté de quantifier l’impact de l’inertie des voiles

des autres étages sur le rigidité du voile sans passer par une modélisation complète de la structure.

Concernant l’encastrement en pied des voiles.

Pour les éléments en béton, cette condition est supposée satisfaite à raison de dispositions constructives correctes. Pour

les éléments en bois, ce sont les assemblages qui doivent assurer cette fonction. La quantification de la qualité de

l’encastrement peut être déterminée en évaluant la souplesse de la fixation de la lisse inférieure et des montants dans la

fondation. L’encastrement doit être assuré vis-à-vis du glissement du mur et du risque de soulèvement. La raideur d’un

mur à ossature bois selon l’EC5 est déterminée en considérant le glissement du panneau sur les montants. Le

soulèvement du panneau n’entre donc pas en compte dans ce calcul.

Deux attitudes peuvent donc être adoptées vis-à-vis de l’encastrement des murs à ossature bois. La première consiste à

calculer la souplesse des organes de fixation du mur aux fondations, à en déduire un déplacement et le prendre en

compte dans le calcul de raideur. La deuxième consiste à se fixer des limites de déformations pour les ancrages de

manière à pouvoir considérer le mur comme encastré.

Dans un premier temps, on privilégiera la deuxième solution en préconisant des systèmes d’ancrage mettant en œuvre

un nombre important de petits organes d’assemblages plutôt qu’un nombre réduit d’assemblages de grand diamètre ce

qui permet de limiter les déformations.

Concernant l’élancement des voiles :

Cette condition d’élancement est directement liée au fait que les méthodes présentées précédemment en béton armé

utilisent l’inertie et non la raideur pour la répartition des efforts. Un élancement suffisant permet de considérer le voile

comme une poutre soumise uniquement à de la flexion.

On verra dans la Partie 5 relative à l’évaluation de la rigidité pour les voiles en béton armé, la manière dont cette

question de l’élancement a été envisagée dans le calcul de raideur. Les structures concernées par l’étude étant

généralement de faible hauteur, cette condition d’élancement ne sera plus prise en compte, le cisaillement ne pouvant

plus être négligé.

Concernant la rigidité à la torsion :

Le choix a été fait ici de considérer une rigidité à la torsion pour les voiles. D’une part, cela n’alourdit ni le calcul, ni

l’étude de manière significative et d’autre part, dans le cas d’une structure avec un noyau central en U, la rigidité de

torsion du noyau n’est plus négligeable, nous avons donc jugé utile de pouvoir la prendre en compte. Elle pourra bien

sûr être négligée selon le choix du concepteur.

3.2.3. Autres hypothèses

L’ensemble des autres hypothèses est supposé satisfait. L’outil de calcul étant développé essentiellement pour des

études au vent, les matériaux restent dans un comportement élastique et linéaire. Précisons d’ailleurs que la notion de

plasticité est délicate pour le bois, le matériau ayant un comportement orthotrope avec une influence très importante des

assemblages.



3.3. La méthode pas à pas

Cette partie reprend les différentes étapes de détermination de la méthode de la raideur et tente de mettre en avant les

principes mécaniques qui régissent les différentes étapes du calcul. Pour ne pas alourdir la présentation, les relations ne

sont pas toutes explicitées, on se référera pour cela à l’annexe 2.

3.3.1. Principes mécaniques sur lesquels est basée la méthode

Propriétés du centre de torsion :

Par définition du centre de torsion : [d’après (6)]

- « Toute force passant par ce point provoque une translation du plancher et donc de l’ensemble des

éléments de contreventement parallèlement à la force et sans rotation ;

- Tout moment autour de ce point provoque une rotation du plancher dan le même sens que le moment

et sans translation. »

La position du centre de torsion dépend donc:

- De la disposition en plan des éléments de contreventement ;

- De la rigidité de chaque élément.

Egalité des travaux des forces extérieures et intérieures

On se place dans les hypothèses de mécanique linéaire, à savoir que les matériaux ont un comportement élastique et

linéaire. On peut donc écrire la relation suivante :

Où et représentent respectivement le travail des forces extérieurs et des forces intérieures. Les forces

extérieures représentent les forces appliquées sur le plancher tandis que les forces intérieures sont les réactions dans

les voiles. Ainsi on a :

Avec :

Force ou couple appliqué au voile

Déplacement ou rotation associé à

et M Effort et moment appliqués au centre de torsion du plancher

et Translation et rotation engendrées au centre de torsion du

plancher



ont été comparées. Les autres étant plus ou moins des cas particuliers de la méthode du centre de torsion ont été

écartées.

La méthode de répartition ne se place que dans l’hypothèse des planchers rigides, la répartition en plancher souple ne

nécessitant pas de méthode particulière.

Nous avons vu que l’ensemble des méthodes se base sur les mêmes principes que sont les propriétés du centre de

torsion et la relation liant raideur, effort et déplacement . Le mode de calcul dépend ensuite de la manière dont

ses principes sont exploités comme il est résumé dans le tableau suivant :

Méthode du centre de

torsion Méthode de la raideur Méthode AQCEN

Détermination du Centre de

Torsion

Par écriture de l’équilibre

des moments apportés par

les inerties des voiles avec

ceux des résultantes.

Si l’effort passe par le

centre de torsion alors la

rotation est nulle.

Détermination des

coordonnées de la force

pour que cette condition

soit vérifiée à partir de

l’expression de la rotation

La somme des moments au

centre de torsion est nulle

si l’effort est appliqué au

centre de torsion.

Paramétrage de toute la

géométrie par rapport à ce

centre de torsion.

Répartition

Translation :au prorata des

inerties

Rotation : la somme des

moments des inerties au

centre de torsion est égale

au moment de torsion, d’où

l’expression du coefficient

de proportionnalité entre

l’effort de rotation et le

produit de l’inertie et du

bras du bras de levier du

voile au centre de torsion.

Expression du déplacement

des voiles en fonction de

celui du centre de torsion

(fonction du positionnement

du voile par rapport au cdt)

puis détermination de

l’effort à partir de la raideur

du voile dans la direction

considérée.

Même principe que pour la

méthode de la raideur,

mais la méthode de

détermination du

déplacement du centre de

torsion diffère.

On voit donc bien que les trois méthodes utilisent les mêmes propriétés. Nous n’avons bien sûr pas pu réaliser tout un

ensemble de tests afin de déterminer si les trois méthodes donnent des résultats strictement identiques, mais le test

précédemment cité entre les méthodes du centre de torsion et de la raideur et la comparaison des propriétés utilisées

par les méthodes nous amènent à penser qu’elles sont sensiblement équivalentes. Nous pouvons cependant faire un

certain nombre de remarques sur les différentes méthodes :

La méthode du centre de torsion utilise les inerties et non la raideur, il a été envisagé de remplacer les inerties par la

raideur et être ainsi plus libre sur le critère de répartition. Ce n’est pas ce choix qui a été fait principalement pour des

questions pratiques et de lisibilité, la programmation et la lisibilité de la méthode de la raideur étant plus conviviale.

La méthode AQCEN, développée pour les murs à ossature bois, ne permet pas de prendre en considération la rigidité

dans les deux directions principales du voile. Il aurait fallu pour cela mener le calcul de minimisation de l’énergie en

considérant dès le départ un déplacement dans les deux directions. Cette solution, jugée fastidieuse et également peu

lisible, a été écartée. De plus, le choix de considérer une raideur de torsion nous aurait amenés vers une résolution

assez complexe et fastidieuse dans la résolution.


Renaud DELABY

La rigidité

La rigidité représente l’effort à appliquer à un élément pour provoquer un déplacement unitaire. Si l’effort est une force,

le déplacement est une translation, si c’est un couple, le déplacement est une rotation. L’effort et déplacement

correspondant sont donc liés par la relation. :

En écrivant cette relation pour un déplacement dans le plan du plancher on a :

Avec :

Composante dans le plan du vecteur sollicitation

Rigidité selon X, Y, de couplage XY et vis-à-vis de la rotation de

l’élément sollicité

Déplacement selon X, Y et rotation du centre de torsion de

l’élément sollicité

Principe fondamental de la statique (PFS)

Le principe fondamental de la statique nous permet de dire que, dans un système en équilibre, la somme des forces

extérieures appliquées à la structure est nulle. Au centre de torsion du plancher on a donc :

Où se compose du chargement appliqué au plancher et des réactions des voiles sur le plancher.

3.3.2. Principe de résolution

Les données du problème sont :

- Les efforts appliqués à la structure

- La rigidité et la position du centre de torsion de chaque élément de contreventement vertical

Afin de déterminer les efforts en tête de chaque voile, la méthode de résolution suivante est adoptée.

1/Application du PFS au plancher rigide :

Avec :


Renaud DELABY

Vecteur des efforts appliqués au centre de torsion du plancher

Réduction des réactions du voile au centre de torsion du

plancher orientées selon le repère de référence

2/ Expression des efforts dans les voiles en fonction des déplacements au centre de torsion

On exprime les déplacements et du voile de ses deux directions principales en fonction des déplacements , et

du centre de torsion du plancher avec le repérage de la Figure 37.

FIGURE 37 : METHODE DE LA RAIDEUR – DEFINITION DU VOILE

On a donc :

Avec :

Inclinaison du voile par rapport au repère de référence

Les efforts dans chaque voile selon les directions 1 et 2 sont liés aux déplacements par les relations :

Avec :

Effort dans le voile selon les directions 1 et 2

Moment dans le voile

Rigidité du voile dans les directions 1 et 2, et rigidité de torsion

3/ Résolution du système d’équations pour déterminer

Avec et les composantes de et du voile selon les directions X et Y du repère de référence.

En injectant les expressions de et et dans , et , on obtient un système de trois équations à

trois inconnues dont la résolution nous fournit la valeur des déplacements du centre de torsion.


Renaud DELABY

4/ Détermination des efforts dans chaque voile

À partir des déplacements du centre de torsion, on détermine les efforts dans chacun des voiles à partir des relations

établies en 2/.

3.3.3. Application pratique

Cette méthode revient à construire la matrice de rigidité vérifiant la relation suivante :

XY

Y

X

ttYtX

YtYYX

XtXYX

Y

X

KKK

KKK

KKK

M

H

H

Les éléments de la matrice étant égaux à :

2

1

2

212

2

2

2

121

2

2

2

13

21

2

2

2

1

2

2

2

1

sincossincos)(

sincoscossin)(

)sincos()cossin(

cossin)(

cossin

sincos

xKxKyKKKK

yKyKxKKKK

yxKyxKKK

KKKK

KKK

KKK

YttY

XttX

t

YXXY

Y

X

Les composantes du vecteur des déplacements au centre de torsion sont alors obtenues par inversion de la matrice

de rigidité avec la relation :

Ce qui permet de déterminer les déplacements dans les directions des voiles par les relations :

Le détail des calculs figure en Annexe 7.

3.3.4. Position du centre de torsion

Bien que cette méthode ne nécessite pas la détermination de la position du centre de torsion, il peut être intéressant de

la connaitre pour visualiser la bonne conception du bâtiment (torsion minimale). L’étude étant réalisée par étage, la

comparaison de la position du centre de torsion des différents étages, dans le cas d’une configuration d’étage différente,

pourrait constituer un bon indicateur de la prudence à avoir à l’égard de l’application de la méthode. En effet, si les

positions du centre de torsion diffèrent de manière sensible entre les étages, des phénomènes de torsion générale du

bâtiment risquent d’apparaître ce qui peut générer des contraintes supplémentaires non considérées dans les calculs.

Principe de détermination :

Lorsqu’une force extérieure est appliquée au centre de torsion on a vu qu’il y avait translation sans rotation. Par

conséquent, on peut écrire :


Renaud DELABY

Chercher la position du centre de torsion revient à déterminer les coordonnées et pour lesquelles on a une annulation

de la rotation.

Calcul pratique :

En utilisant les expressions précédemment décrites, on obtient l’expression suivante des coordonnées du centre de

torsion :

2

2

XYYX

XtYYtXY

XYYX

XtXYYtX

KKK

KKKK

c

ey

KKK

KKKK

c

fx


Renaud DELABY

EVALUATION DES RIGIDITES DES ELEMENTS DE

CONTREVENTEMENT

Cette partie reprend en détail la manière de calculer les rigidités des éléments de contreventement pour l’application de

la méthode.

L’évaluation des rigidités dépend de la manière dont est modélisé le comportement de chaque élément de la structure.

Les structures mixtes mettent en relation des éléments au comportement mécanique très différents. Par conséquent, la

mode d’évaluation des rigidités l’est aussi. De plus, l’application d’une méthode simplifiée telle que celle de la raideur

nécessite de faire des hypothèses, ces hypothèses sont en partie liées à la manière dont sont évaluées les rigidités.

Bien que la raideur soit une valeur commune à chaque matériau de par sa définition, la manière dont on simplifie le

comportement mécanique de l’élément peut amener à des différences significatives sur la valeur de la rigidité.

Cependant, la présence de la mixité nous oblige à évaluer la raideur de chacun des éléments de la manière la plus

correcte de façon à ce que les raideurs relatives soient le plus proches de la réalité.

Après avoir détaillé ce qui nous a amenés à choisir trois rigidités pour les différents éléments, nous développons la

problématique de la cohérence des rigidités par type d’élément. Pour chaque élément sont présentées les

problématiques liées à l’évaluation de ses rigidités puis une méthode de calcul est présentée. La méthode présentée est

celle utilisée dans l’outil. Le choix de la méthode de calcul des rigidités de chaque élément s’appui d’une part sur les

méthodes existantes dans la littérature, mais également sur quelques tests menés afin de comprendre le comportement

de ces éléments.

1. Retour sur le choix des rigidités

Une méthode très générale consisterait à prendre en compte les rigidités des éléments selon chacune des directions afin

de modéliser son comportement. De telles considérations ne sont bien sûr pas possibles pour une application

fonctionnelle. Cette partie présente les simplifications et les hypothèses qui nous ont amenées à considérer trois rigidités

pour l’étude, deux dans le plan de l’étage et une perpendiculaire à ce plan.

L’ensemble des déplacements possibles d’un voile peut d’exprimer dans l’espace par trois translations et trois rotations.

La matrice de rigidité correspondante pourrait alors ressembler à l’expression suivante :

Les termes représentent les rigidités vis-à-vis des déplacements selon les axes et . Les triangles grisés

permettent d’exprimer les interactions existantes entre les différentes rigidités.

Pour notre étude seule les rigidités et sont considérées en supposant les hypothèses suivantes :

- le déplacement selon la verticale n’influe pas sur la rigidité vis-à-vis d’un effort horizontale ( négligée) ;

- les rotations autour des axes 1 et 2 sont négligées.

3

2

1


Renaud DELABY

Finalement, on considère la matrice suivante :

Soit :

En considérant le plan comme plan de l’élément de contreventement, les rigidités sont alors définies de la

manière suivante, en accord avec le repérage de la Figure 38 :

- : Rigidité de l’élément vis-à-vis d’une translation suivant l’axe faible de l’élément ;

- : Rigidité de l’élément vis-à-vis d’une translation suivant l’axe fort de l’élément ;

- : Rigidité de l’élément vis-à-vis d’une rotation autour de la verticale de l’élément.

FIGURE 38 : ELEMENT DE DEFINITION D’UN VOILE

Les voiles composés seront définis à partir de leur centre de torsion et de leurs axes principaux d’inertie pour lesquels il

sera possible de déterminer des rigidités.

2. Raideur des voiles simples en béton armé

On entend par voiles simples des voiles rectangulaires non liaisonnés à d’autres voiles. L’étude menée pour les voiles

simples sera ensuite appliquée également aux voiles composés en béton armé moyennant quelques adaptations.

Comme on a pu le constater à travers l’étude des méthodes actuelles de répartition des efforts horizontaux dans les

structures en béton armé, la raideur est souvent délaissée au profit de l’inertie. Cette substitution de la raideur par

l’inertie est rendue possible grâce à la condition d’élancement des voiles qui permet de se placer dans les situations où

le comportement global du voile se traduit de manière quasi exclusive par de la flexion. Cela est donc valable pour des

ouvrages élancés.

2

3

1


Renaud DELABY

L’évaluation de la rigidité des voiles en béton armé soulève plusieurs problèmes : comment le cisaillement peut-il être

pris en compte pour des voiles faiblement élancés ? Est-il possible de déterminer un mode de calcul simple pour la

prendre en compte du cisaillement ? Quelle est la modélisation la plus pertinente pour déterminer les déplacements du

voile d’un niveau? Et pour le déplacement de la structure complète ?

2.1. Problématique de l’élancement des voiles

Le comportement mécanique d’un voile en béton armé est fonction de son élancement défini comme le rapport de sa

hauteur sur sa longueur. L’observation du mode de ruine de chacun des deux types de mur, élancé et faiblement élancé,

permet de bien comprendre cette différence de comportement (cf.Figure 39 et Figure 40).

FIGURE 39: MODE DE RUPTURE DE VOILES ELANCES [DAVIDOVICI ET AL. 1985]

FIGURE 40 MODE DE RUPTURE DE VOILES COURTS [DAVIDOVICI ET AL. 1985]

Les voiles élancés travaillent essentiellement en flexion et peuvent dans la plupart des cas être assimilés à une poutre

encastrée, le cisaillement est alors négligé. À l’inverse, les voiles courts travaillent principalement au cisaillement et le

voile ne peut plus être considéré comme une poutre. Au regard de cette différence de comportement, la question est de

savoir s’il est possible de trouver un modèle simple de calcul des déformations des voiles pour la gamme de voiles qui

nous concerne, à savoir pour un élancement compris entre 1 et 20.


Renaud DELABY

Les voiles faiblement élancés sont sollicités principalement par du cisaillement, le schéma de la Figure 40 montre

l’apparition de bielles de traction et de compression. Il est donc possible de modéliser ce type de comportement par

analogie à une poutre treillis, il existe des règles permettant de déterminer l’inclinaison des bielles (généralement 45°). À

partir d’un tel modèle, il est alors possible de déterminer les déplacements et par conséquent la raideur. Cette méthode

ne nous satisfait cependant pas car elle nécessite une étude particulière pour chaque configuration de voile et n’est donc

pas adaptée pour un calcul systématique.

Les formules de Bresse dont l’expression est donnée en 2.3.1 prend en compte les effets de l’effort tranchant dans le

calcul du déplacement. Son utilisation se présente alors comme un bon moyen de prendre en compte de manière

systématique les déplacements apportés par le cisaillement.

L’étude présentée en Annexe 5 a pour objectif de déterminer les limites d’application des formules de Bresse pour

l’expression du déplacement en tête de voile. Dans cette étude ont été comparés les déplacements d’un voile chargé en

tête et encastré en pied obtenu d’une part par un modèle éléments finis et d’autre part par l’utilisation des formules de

Bresse sur une poutre console. Le graphique de la Figure 41 ci-dessous montre le pourcentage d’erreur entre les deux

méthodes en fonction de l’élancement pour deux largeurs de voile différentes.

FIGURE 41 : POURCENTAGE D’ERREUR DE LA VALEUR DU DEPLACEMENT D’UN VOILE ENCASTRE EN PIED ET CHARGE EN

TETE PAR OBTENU PAR UN MODELE ELEMENT FINI ET PAR LES FORMULES DE BRESSE EN FONCTION DE L’ELANCEMENT

DU VOILE

Le lien entre la validité des formules de Bresse et l’élancement est donc bien établi. L’application des formules de Bresse

pour le calcul du déplacement peut donc être considérée comme valable dès lors que l’élancement est supérieur à 1,5 à

2. On peut s’étonner de la légère l’augmentation de l’erreur pour des élancements supérieurs à 7, cette augmentation

reste cependant assez faible.

Les formules de Bresse fournissent ainsi un moyen simple et systématique de déterminer le déplacement des voiles en

béton armé dans la direction de la charge. L’expression du déplacement se base sur les diagrammes des sollicitations M

et V, l’expression des déplacements et donc des raideurs est ainsi directement fonction des sollicitations. C’est tout

l’objet du paragraphe suivant que de déterminer quel est le modèle le plus pertinent pour évaluer ces sollicitations.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

0 2 4 6 8 10 12 14

Po

urc

en

tage

d'e

rre

ur

ave

c le

m

od

èle

EF

Elancement L/h

h=5 m

h=2 m


Renaud DELABY

2.2. La modélisation du voile

Les hypothèses d’application des méthodes précisent que les voiles de contreventement doivent être toute hauteur et

que leurs sections ne doivent pas varier de manière significative entre les différents niveaux. Si tel est le cas, la

répartition est la même pour l’ensemble des niveaux. Force est de constater que cette condition est rarement vérifiée et

que par conséquent il est généralement nécessaire d’étudier plusieurs niveaux.

Le modèle habituellement retenu pour les voiles de contreventement en béton armé est celui de la poutre console

encastrée en pied et libre en tête. On comprend bien la validité de ce modèle lorsqu’on étudie la structure dans son

ensemble et que seule la flexion est considérée. Cependant, dans une étude par niveau où c’est le déplacement du voile

entre les deux planchers qui est recherché ce modèle n’est plus adapté, le plancher haut empêchant la libre déformation

du voile. Les déplacements des planchers causés par le mouvement d’ensemble de la structure, pose également la

question de la validité de l’hypothèse d’encastrement pour un niveau intermédiaire. Afin d’appréhender en partie ce

phénomène, nous avons essayer de voir l’influence du comportement global de la structure sur le déplacement entre

planchers d’un voile à partir d’une étude assez simplificatrice détaillée dans l’Annexe 6.

Le principe de l’étude est le suivant :

On réalise plusieurs modélisations d’un voile en béton armé de 12 mètres de haut chargé tous les 3 mètres. Pour

chaque configuration de voile, on représente le part du déplacement des voiles entre deux planchers par rapport au

déplacement maximal en tête.

FIGURE 42 : PART DU DEPLACEMENT RELATIF DES VOILES DANS LA DEFORMATION TOTALE EN FONCTION DE LEUR

POSITION

Cette étude montre que le déplacement du voile entre planchers est bien influencé par la position du voile et également

par la section des voiles en dessous et en dessus de lui. Cependant, rien ne nous permet d’établir un lien direct entre les

différents déplacements.

Il existe donc deux niveaux d’analyse pour les voiles. Un lié à la structure dans sa globalité, et l’autre lié à l’étage. En

définissant la rigidité d’un voile à partir de son déplacement entre planchers, on constate que celle-ci n’est pas fonction

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 2 4 6 8 10 12 14

Par

t d

u d

ép

lace

me

nt

rela

tif

dan

s le

d

ép

lace

me

ne

t to

tal e

n t

ête

Position sur le voile [m]

Série1

Série2

Série3

Série4


Renaud DELABY

uniquement de la géométrie du voile, mais est également influencée par les voiles au-dessus et en dessous du voile

concerné. La rigidité du voile est donc influencée par la rigidité de l’élément sur lequel il repose. Par extrapolation on

peut penser que dans le cas d’un voile qui ne plomberait pas, c’est la capacité du plancher à limiter les déformations

sous l’effet des charges horizontales dans le voile (qui se traduit par une charge verticale sur le plancher) qui influe

directement sur la rigidité du voile entre le niveau.

Tout ceci montre la complexité qu’il y a à appréhender ce type de comportement et on comprend d’autant plus la portée

de l’hypothèse des sections constantes sur toute la hauteur. De tout ceci, on peut en conclure que l’analyse globale de la

structure est intéressante pour évaluer les déplacements globaux ainsi que les déplacements entre niveaux dont les

règlements fixent des limites. Cependant, pour la répartition des efforts entre les différents éléments d’un même niveau

les déplacements globaux ne sont pas nécessaires et nous privilégions une approche que l’on peut qualifier de locale.

Pour l’étude nous nous limiterons donc à une évaluation de la rigidité par niveau. Cette méthode présente des limites

mais semble la plus acceptable pour une étude de différente configuration de niveau. Le modèle adopté est le suivant :

FIGURE 43 : MODELE POUTRE BI-ENCASTREE POUR LA MODELISATION DES VOILES EN BETON ARME

Ce choix est motivé par les raisons suivantes :

- Le modèle de poutre console encastrée en pied n’est pas valable compte tenu de la présence du plancher haut

qui limite les déplacements en tête de voile. Ce modèle est valable s’il l’on considère le voile toute hauteur ;

- La rotation qu’il pourrait exister entre les planchers hauts et bas et le voile est fonction à la fois du chargement,

de la largeur du voile et de la configuration des étages inférieurs et supérieurs. Il est donc très difficile de la

prendre en compte et d’évaluer la perte de rigidité qu’elle pourrait entraîner. De plus, cette rotation est

relativement faible si la largeur du voile est suffisante. Son impact sur la raideur serait alors très faible.

- La précision apportée en prenant en compte la rotation serait négligeable au regard du rapport de raideur

existant entre les éléments béton et les murs à ossature bois.

On considère donc que les voiles sont encastrés en pied et en tête dans les dalles et que les efforts qu’ils reprennent

s’opposent au déplacement du plancher haut, le déplacement du plancher bas étant repris par les voiles de l’étage

inférieur.

L’effort tranchant correspond à l’effort horizontal apporté par le plancher, il est constant sur toute la hauteur. La

constance de l’effort tranchant entraîne la linéarité du moment fléchissant. La présence d’un nœud à mi-travée peut

s’expliquer par la symétrie des réactions au niveau des planchers hauts et bas. Ce modèle est d’ailleurs utilisé par

A.Plumier & H.Degée de l’université de Liège (Belgique) dans leur calcul de rigidité(13).


Renaud DELABY

A partir des diagrammes de sollicitations de ce modèle, les déplacements du voiles sont déterminés par l’application des

formules de Bresse.

2.3. Calcul des rigidités

2.3.1. Rigidités de translation

Les rigidités vis-à-vis de la translation sont déterminées sur la base de l’expression des déplacements fournis par les

formules de Bresse en se basant sur les diagrammes des sollicitations du modèle décrit précédemment. On se place

dans le cas particulier de la poutre droite, le déplacement calculé est celui de la fibre moyenne de la poutre. Avec les

notations de la Figure 44, l’expression du déplacement dans la direction est la suivante :

Avec :

Moment fléchissant et effort tranchant à l’abscisse de la poutre

Module d’Young et de cisaillement

Inertie de la poutre selon l’axe

Section réduite de la poutre

FIGURE 44 : NOTATIONS RELATIVES AU CALCUL DES DEPLACEMENTS POUR UNE POUTRE DROITE(14)

Dans le cas de la poutre bi-encastrée les conditions aux limites donnent : et .

L’expression prend alors la forme suivante :

Où et représentent respectivement les déplacements engendrés par la flexion et le cisaillement de la poutre.


Renaud DELABY

À partir de ces sollicitations, on détermine l’expression du déplacement apporté par l’effort tranchant et par le moment

fléchissant. L’application des formules de Bresse permet d’obtenir la valeur du déplacement en fonction de l’effort. La

rigidité correspond alors à l’expression de l’effort pour un déplacement unitaire.

On définit alors une rigidité de flexion et une rigidité de cisaillement relatives aux déformées et .

Les rigidités en flexion et en cisaillement peuvent être assimilées à deux ressorts en série. La raideur globale du voile

selon les deux directions vaut alors, en utilisant le repérage du voile de la Figure 38 :

Avec :

Rigidité relative aux directions 1 et 2

Inertie du voile composé respectivement selon les axes 1 et 2

Module d’Young et de cisaillement du béton

Hauteur de l’étage

Section réduite ;

pour un voile rectangulaire

A Aire de la section du mur

2.3.2. Rigidité de torsion

L’expression général de la rigidité de torsion est donnée par :

Avec :

Module de cisaillement du béton

Constante de torsion

Hauteur du voile

Dans le cas d’un voile simple en béton armé, la constante de torsion est égale à :


Renaud DELABY

Avec :

Longueur du voile

Epaisseur du voile

Hauteur du voile

2.4. Les voiles composés en BA

Les voiles composés sont des voiles en béton armé liés mécaniquement entre eux. Le fonctionnement mécanique de

ces voiles est très différent de la somme des fonctionnements mécaniques des voiles simples qui le constitue. Les voiles

composés peuvent cependant être pris en compte dans le calcul de répartition de la même manière que les voiles

simples en définissant les éléments suivants :

- Le centre de torsion du voile composé,

- La direction des axes principaux d’inertie et les inerties principales,

- La section réduite selon les deux directions principales,

- La constante de torsion.

Les voiles composés sont ensuite considérés comme un voile simple repéré par la position de leur centre de torsion et

possédant les caractéristiques mécaniques définies ci-dessus.

Notre étude s’intéresse en particulier aux voiles composés en U, T et L. Ces voiles font intervenir la notion de largeur

participante qui représente la part du mur en retour qui est considéré comme participant à l’effet d’ensemble du voile.

2.4.1. Largeur participante

Dans le cas de voile lié en Té U, I ou L, on considère que seulement une partie du retour de voile participe à la

résistance. Ces sections sont considérées comme des sections uniques composées d’une ou plusieurs âmes parallèles

et d’une ou plusieurs membrures. Pour le calcul de résistance à la flexion, l’Eurocode 8 préconise de prendre pour

largeur participante de membrure de part et d’autre de chaque âme la valeur minimale de :

- La longueur réelle de la membrure ;

- La moitié de la distance à une âme adjacente du mur ;

- 25% de la hauteur totale du mur au-dessus du niveau considéré.

2.4.2. Rigidité de translation

Le calcul est le même que pour les voiles simples. Les inerties selon les axes principaux sont déterminées par

l’application du théorème de Huygens. La section réduite est calculée dans le cas général à partir de l’expression

suivante :

Avec :


Renaud DELABY

Moment statique de la section

Épaisseur de la section

Inertie du voile composé par rapport à l’axe (Ox)

On peut cependant procéder à l’approximation suivante :

Lorsque les voiles composés ne comportent que des voiles parallélépipédiques orthogonaux orientés selon les axes

principaux d’inertie, l’aire réduite est sensiblement égale au 5/6ème

de l’aire des voiles susceptibles de reprendre l’effort

tranchant. Pour l’exemple de la Figure 45, l’aire réduite est sensiblement égale aux 5/6ème

de la surface grisée pour la

résistance au cisaillement relative à (rigidité selon la direction 2).

2.4.3. Rigidité de torsion

Les voiles composés considérés dans l’étude sont assimilables à des profils minces ouverts dont la constante de torsion

est définie par l’expression suivante en accord avec les notations de la Figure 46 :

FIGURE 46 : ELEMENTS DE DEFINITION D’UN PROFIL MINCE OUVERT (15)

Il suffit ensuite d’appliquer l’expression de la raideur définit en 2.3.2 pour les voiles simples.

2

1

FIGURE 45 : AIRE REDUITE D’UN VOILE COMPOSE EN U

POUR UN EFFORT SELON LA DIRECTION 2


Renaud DELABY

3. Les murs à ossature bois

La composition par assemblage d’éléments des murs à ossature bois nous amène à ne considérer qu’une seule rigidité

pour ce type d’élément. Les rigidités de torsion et de translation dans le sens transversal sont supposées nulles.

Ces considérations sont confortées par le fait qu’il n’est pas possible, contrairement au béton armé, de considérer un

fonctionnement d’ensemble des murs lorsque deux murs sont liés physiquement ensemble. Cette partie présente la

méthode de calcul de l’unique rigidité déterminée pour les murs à ossature bois, à savoir celle dans la direction du voile.

3.1. Fonctionnement général des murs à ossature bois

Pour bien comprendre les problématiques liées à l’évaluation de la raideur des murs à ossature bois, observons leurs

différents modes de déformations sous l’effet d’un effort horizontal:

FIGURE 47 : MODE DE DEFORMATION DES PAROIS RIGIDES SOLLICITEES PAR DES EFFORTS HORIZONTAUX (4)

Le mode déformation pris en compte lors du dimensionnement des murs de contreventement et du calcul de la rigidité

selon l’Eurocode est le glissement des pointes liant les panneaux à la structure. Le comportement d’un mur ossature

bois est en effet directement lié à la nature des assemblages du panneau sur l’ossature. La rigidité du panneau est telle

par rapport à celle des assemblages que la ruine obtenue sous sollicitations horizontales se traduit de manière

systématique par la ruine au niveau des assemblages du panneau sur l’ossature, généralement dans les angles.

Le mode de déformation (b) dépend de l’assemblage en pied de mur servant d’ancrage pour résister aux efforts de

soulèvement et d’une déformation éventuelle par compression perpendiculaire aux fibres des éléments de l’ossature.

Le troisième mode de déformation correspond à une déformation par cisaillement du panneau. Cette déformation existe,

mais reste relativement rare.

Le dernière mode correspond à la flexion provoquée par les déformations des supports du panneau. Ces déformations

sont négligeables pour des bâtiments à un étage et très faibles pour des bâtiments à plusieurs étages.

Pour résumer, les déplacements significatifs des murs à ossature bois sont issus des modes de déformations (a) et (b),

relatifs aux assemblages. Ce sont donc à ces assemblages que nous nous intéressons.


Renaud DELABY

3.2. Problématique et choix des déplacements pour l’évaluation des rigidités

L’objet de cette partie est de présenter les choix effectués quant au calcul de la raideur des murs à ossature bois et des

raideurs considérées.

Comme on l’a vu pour les voiles en béton armé, le comportement des murs de contreventement peut être considéré soit

de manière globale, soit entre deux planchers. Les divers modes de déformations des murs à ossature bois impliquent

de faire des choix sur leurs prises en compte ou non dans le calcul des raideurs en translation.

Revenons donc sur les deux modes de déformations majeurs issues du glissement des pointes d’une part et de la

rotation au niveau de la fondation d’autre part.

Le mode de déformation par glissement des pointes, en tant que mode de déformation prédominant pour les murs de

contreventement en ossature bois, et compte tenu du fait que l’ensemble des méthodes de calcul et de résistance se

base dessus, est de manière évidente utilisée pour le calcul de la rigidité des murs pour le calcul de répartition. La

question qui se pose alors est de savoir si, dans le contexte de structures mixtes, des déplacements supplémentaires ne

doivent pas être considérés, notamment ceux liés à l’ancrage du panneau.

La question principale est liée à celle de la rotation en pied. Cette rotation est fonction:

- De l’ancrage des montants sur l’élément sur lequel est posé le mur (fondation en béton, ceinture en bois, lisse

supérieur d’un mur ossature bois, poutre de plancher, etc.)

- Des charges verticales permanentes appliquées sur le mur. Ces charges permettent de limiter le déplacement.

Elles sont généralement prises en compte pour réduire la dimension de l’ancrage.

- La liaison entre le mur ossature bois et le plancher. La rotation d’un mur continu sur plusieurs niveaux sera plus

faible qu’un mur interrompu par un plancher. Le premier profitant de l’encastrement du mur du rez-de-chaussée

aux fondations.

Dans une étude purement théorique, il est envisageable d’évaluer la souplesse de l’ancrage du mur en pied et de

déterminer ainsi le déplacement horizontal correspondant. Cependant comme le montre le paragraphe précédent, la

diversité des modes constructifs et la multitude d’assemblages possibles, ainsi que l’influence des charges permanentes

rendent difficile ce calcul et donc sa prise en compte dans le calcul de raideur. Cette hypothèse est cohérente avec celle

adoptée pour le béton armé qui consiste à ne pas considérer les déplacements issus d’une rotation.

Les déplacements existants cependant, on recommande de prendre un soin particulier quant à la conception de

l’ancrage en privilégiant des assemblages utilisant un nombre important d’organes de petit diamètre plutôt qu’un nombre

plus réduit d’organes de gros diamètre. Dans la mesure du possible, on assurera la continuité des montants entre les

étages ce qui permet aux étages supérieurs de profiter de l’encastrement aux fondations des voiles du premier niveau

Concernant les voiles composés en ossature bois, compte tenu de la variété de possibilités de liaisonnage de deux murs

ossature bois entre eux et de l’absence de rigidité dans le sens transversal, le comportement d’ensemble des voiles

n’est pas pris en compte. Ajoutons que le caractère hétérogène des murs à ossature bois réalisés par assemblage, rend

d’autant plus difficile l’estimation de ce qu’on pourrait appeler une largeur participante pour les murs de retour.

Les murs à ossature bois seront donc caractérisés uniquement par la raideur selon leur direction principale relative au

glissement des panneaux sur l’ossature.


Renaud DELABY

3.3. Principes généraux de la méthode

La rigidité des murs à ossature bois dépend de la rigidité des assemblages ([mode (a)]. C’est le glissement des

assemblages entre les panneaux et l’ossature qui entraîne la déformation des voiles sous chargement horizontal,

comme le montre la Figure 36. Rappelons également que lors d’un essai de ruine d’un mur à ossature bois soumis à une

charge horizontale, la ruine se traduit par la rupture des assemblages, généralement ceux situés dans les angles du

panneau.

Chaque panneau constitue un élément rigide sur l’ossature et travail ainsi de manière plus ou moins indépendante. La

méthode de calcul suppose que la rigidité du mur est égale à la somme des rigidités apportées par chaque panneau

comme le montre le schéma de la Figure 48. Dans une première approximation seuls les trumeaux participent au

contreventement, toute partie comportement une ouverture n’est donc pas considérée dans le calcul. De plus, la largeur

des panneaux doit être supérieure au quart de la hauteur pour pouvoir être prise en compte dans le calcul de raideur.

Dans cette hypothèse on considère que le mur fonctionne comme une suite de quatre consoles. Comme il est précisé

dans le Traité de génie civil, vol.13 (4) cette technique est simple, mais très approximative et conservatrice. De plus, elle

nécessite de disposer des ancrages pour chaque élément. Il est donc possible de considérer la grande surface sous les

ouvertures comme étant un élément rigide. La répartition des efforts internes est alors différente et les huit ancrages sont

moins sollicités. Cependant, pour valider cette hypothèse il faut garantir la continuité de la membrure supérieure.

FIGURE 48 : SYSTEME REEL ET MODELISATION DE CALCUL D’UNE PAROI RIGIDE AVEC OUVERTURES(4)

Concernant la modélisation à adopter en succession de consoles ou en ensemble solidaire il faut distinguer deux

choses : d’une part le calcul de la raideur du mur et, d’autre part, la vérification des murs. Actuellement les guides

proposent une méthode de calcul de la raideur du mur pour un fonctionnement en console. Pour le calcul de vérification,

une méthode, appelée méthode C, est en court de développement au niveau européen et permettra de prendre en

compte l’ensemble du mur dans le calcul.

La méthode consiste donc, à partir du calepinage du mur, à déterminer la largeur des panneaux participants au

contreventement puis calculer la raideur de chacun des panneaux et enfin à sommer l’ensemble des raideurs pour

obtenir la raideur totale du mur.

La suite présente le mode de calcul des raideurs pour les panneaux de mur.


Renaud DELABY

3.4. Calcul de la raideur d’un panneau de mur

3.4.1. Considérations générales et vocabulaire

La raideur des panneaux de murs à ossature bois dépend :

- De la nature des panneaux ;

- De la nature des montants ;

- De la couture (espacement des organes d’assemblages) des panneaux sur les différents montants ;

- Du type et de la taille des organes d’assemblage ;

- De la largeur du panneau.

FIGURE 49 : ELEMENTS DE DEFINITION D’UN PANNEAU DE MUR EN OSSATURE BOIS(10)

La rigidité du mur étant directement liée à l’assemblage elle augmente avec :

- L’augmentation de la masse volumique des éléments en bois (panneaux et ossature) ;

- Le nombre d’éléments d’assemblage,

- Le diamètre des éléments d’assemblage.

À propos de la largeur des panneaux, seuls ceux possédant une largeur supérieure au quart de la hauteur participent au

contreventement. Cette condition de largeur minimale s’exprime aussi dans le calcul de vérification où la résistance au

cisaillement du panneau décroit dès lors que la largeur est inférieure à la demi-hauteur et est considérée nulle pour une

largeur inférieure au quart de la hauteur.

3.4.2. Calcul de la raideur

La raideur est directement liée à la notion de déplacement. Pour les murs à ossature bois, la raideur se détermine à

partir des déplacements résultants du glissement du panneau sur l’ossature, celui du glissement du voile sur les

traverses d’une part et celui du glissement du voile sur les montants d’autre part.


Renaud DELABY

FIGURE 50 : DEPLACEMENT D’UN MUR A OSSATURE BOIS SOUMIS A UNE FORCE HORIZONTALE EN TETE(10)

A partir des sollicitations et de considérations géométriques, les deux déplacements et sont exprimés en fonction

des caractéristiques géométriques du panneau ; de la rigidité des organes d’assemblage ; et de l’effort

appliqué en tête du panneau .

Le déplacement global du mur dans la direction de la charge est exprimé en fonction des déplacements et .

La raideur du panneau de mur est alors déterminée par l’application de la formule .

Au final, on obtient la formule de la rigidité du panneau suivante :

Avec :

Rigidité de couture des montants de rive

Rigidité de couture des montants intermédiaires

Largeur du panneau

Hauteur du panneau

Les rigidités de couture et sont calculées à partir des rigidités d’assemblage données par l’Eurocode 5

en fonction du type d’organe comme le montre le Tableau 3, extrait de l’Eurocode 5. On a alors :

Où et sont les coutures (espacement des organes d’assemblage) sur les montants de rives et intermédiaires.


Renaud DELABY

TABLEAU 3 : VALEUR DE POUR LES ORGANES D’ASSEMBLAGE ET LES ASSEMBLEURS (EN N/MM) DANS LE CAS DES

ASSEMBLAGES BOIS-BOIS ET BOIS-PANNEAUX

Où :

Masse volumique moyenne entre la masse volumique du

panneau et la masse volumique de l’ossature ;

Diamètre de l’organe d’assemblage

3.5. Raideur totale du mur

3.5.1. Remarque préalable sur le calepinage

On vient de voir que le calcul de la raideur se fait par panneau et qu’à partir d’une certaine largeur les voiles sont

supposés ne plus participer au contreventement. Le calepinage des panneaux est donc important pour le calcul de

contreventement. Par souci de rigueur le guide AQCEN préconise de réaliser un calcul de raideur pour chaque panneau

composant le voile et de les sommer pour obtenir la raideur du mur complet. On remarque que cette approche est

possible pour une phase de vérification mais difficilement applicable en avant-projet dû fait du nombre important de

largeurs de panneau considérées en cas de présence d’ouvertures. De plus, ce sont les entreprises qui réalisent les

murs qui conçoivent généralement le calepinage, donc même si celui-ci est prévu par le bureau d’études, il n’est pas

évident que le même soit réalisé sur chantier. Fort de ce constat nous avons pris le parti de réaliser un calepinage de

manière automatique pour chaque élément plein de la manière suivante :

Où est la largeur de référence du panneau (donnée fournisseur).

FIGURE 51 : MODE DE CALEPINAGE DES MURS


Renaud DELABY

Cette manière de procéder peut à la fois être favorable ou défavorable selon le cas. Cependant, le test sur différentes

configurations de murs montre que les écarts au niveau des raideurs ne varient pas de manière sensible ( d’écart

au maximum).

3.5.2. Raideur totale

La raideur totale du mur est obtenue en sommant les raideurs de chacun des panneaux du mur répondant à la condition

minimale de largeur ( .

4. Raideur des maçonneries

L’ouvrage « Dimensionner les ouvrages en maçonnerie, Guide d’application de l’Eurocode 6 » (16) propose un calcul de

raideur proche de celui des voiles en béton armé, mais en utilisant les caractéristiques mécaniques de la maçonnerie.

Ainsi, on a pour un voile orienté selon X et Y.

Avec :

Rigidité du mur respectivement dans la direction x et y du voile

h Hauteur libre des murs

E Module d’Young de la maçonnerie

G Module de cisaillement de la maçonnerie, G=0,4.E

Moment d’inertie de la section transversale d’un mur

respectivement selon les y et x

Aire de la section transversale horizontale du mur,

Les inerties sont calculées de la même manière que pour un voile en béton armé. L’inertie selon l’axe faible est négligée.

Remarque :

On peut s’étonner du terme dû à la translation

. qui correspond à la raideur d’une poutre console libre en tête.

5. Raideur des murs en bois massif contrecollé

Contrairement aux murs à ossature bois, les murs en bois massif contrecollé sont des éléments pleins avec des

propriétés mécaniques bien définies dans les différentes directions. Dans la limite des conditions de transport et de

manutention, les assemblages entre les murs sont évités. On a donc un ensemble homogène.

Son caractère massif rend le panneau très rigide dans son plan. Tout laisse à penser que ce sont les fixations du

panneau qui détermineront sa capacité à se déformer. De la même manière que l’on calcul une raideur de glissement du

panneau de bois sur l’ossature on peut déterminer la raideur de glissement du mur sur son socle (fondation, ceinture,

autre mur, etc.). Au moment de la rédaction du présent document, aucune méthode n’a cependant pas été arrêtée.


Renaud DELABY

L’OUTIL DE CALCUL

L’outil de calcul d’application de la méthode a été réalisé afin de répondre au besoin actuel de l’entreprise qui est de

disposer d’un outil de calcul permettant de réaliser de manière simple et rapide un calcul de répartition des efforts dans

des structures en bois avec des éléments ponctuels en béton. Vous trouverez en annexe 7 l’aperçu de l’interface

graphique du programme.

1. Limites de l’outil

L’outil a pour objectif de réaliser le calcul de répartition uniquement. L’utilisateur définit la géométrie et la nature des

éléments de contreventement ainsi que l’intensité et le point d’application des efforts. Les résultats fournis par l’outil sont

la valeur des efforts dans chaque élément de contreventement et le déplacement du centre de torsion de l’étage.

2. Le programme de calcul développé

Les besoins actuels de l’entreprise ont orienté l’étude vers des ouvrages en bois avec des éléments localisés en béton

armé. Ces besoins pouvant évoluer aux rythmes des projets, le programme a été conçu de manière à pouvoir intégrer

d’autre type d’élément comme ceux présentés dans la Partie 2 (maçonnerie, bois massif contrecollé). L’utilisation de la

rigidité selon les trois directions permet entre autres cette évolution.

Sa vocation d’être utilisé en conception rend nécessaire une simplicité et une rapidité d’utilisation. L’intégralité des

éléments doit donc pouvoir être saisie sur la largeur de l’écran sans nécessiter un déplacement dans les différents

onglets ou à travers la feuille. L’utilisation du clavier pour la navigation a été privilégiée.

L’outil a pour vocation d’être utilisé par l’ensemble des calculateurs de l’entreprise, qu’ils soient ingénieurs ou projeteurs.

De ce fait, la conception a été menée de manière à ce que son utilisation soit aussi intuitive que possible.

2.1. Logiciel de conception

L’outil de calcul a été conçu à l’aide du tableur Excel. La saisie des données et l’automatisation de certaines procédures

sont réalisées par le biais de l’implémentation VBA (Visual Basic for Applications). L’utilisation du langage VBA permet

d’automatiser un grand nombre d’opérations et de créer une interface graphique. Cependant, il reste un langage

informatique utilisant un langage de programmation spécifique. Comme dans tout programme informatique il existe

plusieurs possibilités pour résoudre un même problème. Le risque que présente la réalisation d’un tel programme par un

non professionnel est de créer un programme figé qui, du fait de la méthode de programmation personnelle du

concepteur sans règles précises, rend difficile l’évolution du programme dans le temps.

Dans un souci de rendre l’outil évolutif et modifiable par une autre personne que le concepteur initial, l’essentiel des

calculs est exécutable à partir du tableur seul. Une notice d’utilisation sera rédigée pour permettre d’une part de

comprendre des calculs du programme et d’autre part d’expliciter les principes de programmation.

2.2. Organigramme de calcul

Le programme de calcul s’organise de la manière suivante :


Renaud DELABY

FIGURE 52 : ORGANIGRAMME DE CALCUL – ETAPES PRINCIPALES

2.3. Cinématique de calcul

Tout le travail de l’ingénieur consiste alors à procéder par itérations sur les caractéristiques des voiles et/ou leur position

afin d’obtenir la configuration optimale. A chaque étape de calcul, et pour chaque matériau est associé un onglet dans la

feuille Excel. L’onglet de données présenté en annexe (cf. Figure 71) récapitule les éléments importants pour la

compréhension du calcul et de la géométrie.

3. Evolution

Le programme à d’ores et déjà été testé sur quelques exemples très simplifiés. Les fonctionnalités, le mode de saisie et

la présentation des résultats pourront évolués au fur et à mesure de son utilisation par les personnes de l’entreprise.

DONNEES

Structure

• La Géométrie

• La composition des Murs

Chargement

•dû au Vent

•dû aux étages supérieurs

CALCULS

Raideur des murs

• Pour chaque type de mur

• En fonction des matériaux

Répartition

• au prorata des rigidités

Vérification

•des murs ossatures bois selon l'EC5

RESULTATS

Efforts dans les voiles

Vérification des MOB

RESULTATS

Effort en tête de chaque voile Déplacement du centre de torsion de l'ensemble MOB vérifié ou non

CALCULRaideur MOB

• Type 1

• Type 2

• ...

Raideur BA

• Type 1

• Type 2

• ...

Raideur Maçonnerie

• Type 1

• ...

Raideur ...

• Type 1

• ...

• Ra

Calcul de Répartition

• selon la méthode de la rigidité

DONNEES

Définition de la géométrie

•position et hauteur des voiles en plan

Définition des différents type de mur

•MOB, BA, Maçonnerie


Renaud DELABY

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

1. Application à un exemple simplifiée

L’intérêt de cet exemple est de tester l’outil sur un cas concret, mais surtout de donner des ordres de grandeur de

raideur et de répartition pour un cas où il y a présence simultanée d’élément en béton en de murs à ossature bois.

L’élément en béton (en rouge sur la Figure 53) est volontairement positionné de manière à créer de la torsion.

1.1. La structure étudiée

Soit la structure suivante :

FIGURE 53 : EXEMPLE D’APPLICATION – DEFINITION DE LA STRUCTURE

12

2

15

10

1,5 3 1,5 3 1,5 3 1,5

1,5

2,5

22,5

1,51

4

5

3

2


Renaud DELABY

Les murs 1 à 4 sont des murs à ossature bois composés d’un seul panneau OSB sur des montants en C24. Le détail de

la composition est donné dans l’annexe 8.

Le mur 5 est considéré en béton armé de 15cm d’épaisseur, le béton utilisé étant du C20/25.

1.2. Raideur et centre de torsion

Le calcul des raideurs de chacun des murs donne les résultats suivants :

Raideur k1 [kN/m] Raideur k2 [kN/m] Raideur k12 [kN/m]

mur 1 16 554

mur 2 4 672

mur 3 5 518

mur 4 11 036

mur 5 6 414 405 177 5 625

On notera la différence significative entre la raideur du voile béton et des murs à ossature bois. Pour comparaison le mur

en béton armé de 2m de long et de 15cm d’épaisseur est de l’ordre de 25 fois plus raide que le mur ossature bois de

15m sans ouvertures.

Les coordonnées du centre de torsion sont :

FIGURE 54 : DESSIN DE LA STRUCTURE GENERE PAR LE PROGRAMME

Compte tenu de l’importance de la rigidité apportée par le voile béton dans la direction X, l’ordonnée du centre de torsion

est très proche de celle du voile en béton. Dans la direction Y, c’est le mur 4 qui apporte le plus de rigidité, donc

l’abscisse du centre de torsion est légèrement décalée vers ce voile. Dû fait de la position du centre de torsion, on

comprend bien l’importance des efforts de torsion que va engendrer le voile en béton pour un effort selon la direction X

appliquée au milieu de la façade.


Renaud DELABY

1.3. Répartition des efforts

On étudie les deux cas de chargement défini sur la Figure 55 correspondant à des situations de vent sur les deux

façades

FIGURE 55 : DEFINITION DU CHARGEMENT

En considérant un effort de vent de 100daN/m², pour une hauteur d’étage de 3m on obtient :

1.3.1. Cas d’un effort selon X

La répartition des efforts dans les murs est la suivante :

selon l'axe 1-1 [daN] selon l'axe 2-2 [daN] moment [daN.m]

mur 1 - 623 -

mur 2 - 155 -

mur 3 - 11 -

mur 4 - 291 -

mur 5 136 2 387 22

Le voile en béton reprend donc environ 80% de l’effort. Les murs 2 et 4 reprennent des efforts non négligeables générés

par la torsion.

7,5

5


Renaud DELABY

1.3.2. Cas d’un effort selon Y

selon l'axe 1-1 [daN] selon l'axe 2-2 [daN] moment [daN.m]

mur 1 - 461 -

mur 2 - 809 -

mur 3 - 45 -

mur 4 - 2 510 -

mur 5 1 180 416 20

On remarque que le voile en béton armé reprend également des efforts non négligeables dans sa direction transversale.

Parmi les murs en bois, c’est le mur 4 qui reprend le plus d’effort, étant également le plus raide.

1.4. Remarques et conclusion

Cette exemple met en évidence comment la présence d’un élément très rigide excentré peut générer de la torsion en

attirant le centre de torsion vers lui.

La différence très significative de rigidité entre l’élément en béton armé et les murs en bois illustre bien les

problématiques développées précédemment notamment celle concernant l’aptitude des planchers à transmettre les

efforts. Si le plancher n’est pas suffisamment rigide, les efforts ne parviennent pas dans le voile en béton armé et donc

les éléments en bois doivent reprendre ces efforts.

Cette différence de raideur pouvant aller jusqu’à un facteur 100 permet de relativiser les incertitudes concernant

l’évaluation de la raideur des éléments en béton. C’est pourquoi nous avions dit, lorsque l’on a négligé la rotation, que

l’impact sur la raideur n’est probablement pas significatif au regard de la raideur des murs en ossature bois. Une

variation de 10% de la rigidité du voile en béton armé ne changerait pas significativement les efforts dans les murs en

ossatures bois, ces efforts étant pour l’essentiel issus de la torsion.

2. Proposition d’indicateur pour le domaine d’application

L’hypothèse sur la présence des voiles sur toute la hauteur est rarement vérifiée dans les projets. Comme il a été

montré, la rigidité des niveaux inférieurs a un impact significatif sur le déplacement relatif des voiles d’un niveau. Cet

impact est difficile à évaluer mais a probablement des conséquences sur la répartition des efforts.

La répartition est également très liée à la position et au déplacement subit par son centre de torsion. L’hypothèse de

section constante des voiles sur toute la hauteur ou ayant une variation progressive identique pour tous les voiles

implique la superposition des centres de torsion et de gravité de chaque niveau.

On se propose donc de définir un indicateur d’application de la méthode pour des structures à changement d’inertie qui

se base sur la position relative des centres de torsion des différents étages. Cet indicateur ne permet pas d’affirmer la

validité de la méthode mais il permet d’attirer l’attention du concepteur sur la prudence à avoir sur les résultats obtenus.


Renaud DELABY

Ainsi on veillera à relever la position des différents centres de torsion des niveaux. Si ces centres de torsion ne sont pas

superposés il y a également un risque de torsion général du bâtiment au niveau des planchers susceptibles de générer

des contraintes supplémentaires. Les résultats devront alors être considérés avec plus de prudence.

3. Proposition d’étude semi-rigide des planchers

On a vu que l’hypothèse des planchers souple peut s’avérer très défavorable pour la répartition des efforts. Les critères

donnés dans l’Eurocode 8 sont très restrictifs. C’est pourquoi il serait intéressant de développer la notion de semi-

rigidité. Cette approche consiste à dire que le plancher transmet une part des efforts de rotation. La répartition des

efforts dans les voiles serait alors fonction à la fois de l’aire de plancher que reprend le voile mais également de sa

rigidité ce qui pourrait s’exprimer de la manière suivante :

Avec :

Effort dans le voile

Coefficient fonction de l’aire de plancher reprise par le voile

Effort dans le voile dans l’hypothèse d’un plancher souple

Coefficient fonction de la rigidité

Effort dans le voile dans l’hypothèse d’un plancher rigide

La détermination d’un ordre de grandeur pour les coefficients nécessiterait l’utilisation d’un modèle aux éléments finis en

trois dimensions d’une structure mixte. L’étude des efforts dans les voiles ainsi déterminé pour un plancher souple

permettrait de déterminer une tendance sur la part d’effort transmis par effet d’ensemble (c'est-à-dire en fonctionnement

rigide). On pourrait alors étudier d’autres configurations géométriques afin de déterminer les interactions entre les

différents paramètres.


Renaud DELABY

CONCLUSION GENERALE

La distribution des efforts horizontaux dans les structures mixtes est fonction de la nature des différents

éléments de contreventement, horizontaux et verticaux. Les planchers assurent la transmission des efforts aux murs par

cisaillement. Si le plancher est rigide les efforts sont répartis au prorata de la raideur des éléments verticaux. S’il est

souple, l’effort reprit par chacun des éléments est fonction de l’aire de plancher qu’il supporte. Les problèmes principaux

que soulèvent les ouvrages mixtes sont donc :

- l’évaluation du caractère rigide ou non des planchers ;

- l’évaluation des rigidités des différents éléments verticaux de manière cohérente, dans l’hypothèse des

planchers rigides.

La question de la rigidité des planchers n’a malheureusement pas pu être résolue de manière rigoureuse. Nous

proposons cependant un critère d’évaluation pour les planchers en bois basé principalement sur la géométrie du

plancher, les dispositions constructives de chaînage et de fixation des éléments ainsi que sur la vérification des efforts

transmis par ces derniers permettant d’assurer en partie la rigidité. Le caractère rigide des planchers étant fonction de la

configuration globale du bâtiment et notamment de la rigidité des éléments verticaux auxquels ils sont liés, chaque

structure devra être étudiée de façon particulière. C’est notamment l’expérience et la connaissance des structures de

l’ingénieur qui devront lui permettre d’estimer la validité de cette hypothèse.

L’étude du comportement des différents éléments pris individuellement sous l’effet de charges horizontales a

permit de mettre en évidence la difficulté de déterminer la raideur effective des différents éléments. On a pu remarquer

que les déplacements à chaque niveau sont fonctions d’un nombre important de paramètres : élancement du voile,

nature des ancrages, type de fixation, nature de la liaison entre les différents éléments, etc. Face à la difficulté d’évaluer

l’impact de ces différents paramètres sur la raideur des éléments, l’évaluation de celle-ci est réalisée de façon à ce

qu’elle ne soit fonction que de la configuration par étage des éléments.

La méthode proposée est donc rendue possible au prix d’un nombre important d’hypothèse, à la fois concernant

les planchers mais également sur la nature et le comportement des voiles. Ces hypothèses ont permis de proposer une

méthode relativement simple de calcul de répartition. L’impact des estimations de la raideur des éléments doit cependant

être relativisé compte tenu de la différence de raideur entre les éléments en béton armé et ceux en bois. En effet, dans

les structures où sont présents des éléments rigides en béton et des voiles en ossature bois, les efforts dans ces

derniers sont pour l’essentiel issus des efforts de torsion qui dépendent principalement de la rigidité propre du voile et

non plus de sa rigidité relative.

Dans la mesure où l’étude a permis de développer un outil de calcul des distributions des efforts dans les

éléments de contreventement d’une structure mixte, on peut dire que le principal objectif du ce projet de fin d’études a

été atteint. Ce projet de fin d’étude a également permis de mettre en évidence un certain nombre de problématiques

liées à la répartition des efforts dans les structures où ossature bois et éléments en béton sont mis en relation. Bien

qu’elle pose peut-être plus de questions plus qu’elle ne donne de réponses, cette mise en évidence des problématiques

permet d’attirer l’attention de l’ingénieur sur certains points particuliers de la conception du contreventement.

Pour conclure, la modélisation aux éléments finis d’une structure comprenant des éléments en ossature bois et

des éléments en béton, bien que fastidieuse à réaliser, serait un bon moyen de répondre à certaines des problématiques

soulevées par l’étude. Le rôle dominant des assemblages dans ce type de structure nous permet cependant d’imaginer

la complexité que pourrait demander la réalisation d’un tel modèle pour transcrire le comportement réel.


Renaud DELABY

BIBLIOGRAPHIE

1. ZACEK, Milan. Construire Parasismique. Marseille : Editions Parenthèses, 1996.

2. —. Conception Parasismique, Niveau Avant-Projet. [éd.] Les Grands Ateliers de l'Isle d'Abeau. s.l. : La Collection des

Cahiers Parasismique, 2004.

3. Parasismique, Association Française du génie. Conception parasismique des bâtiments. s.l. : Guide AFPS, 2002.

4. NATTERER, Julius, SANDOZ, Jean-Luc et REY, Martial. Traité de Génie Civil - Construction en bois: matériau,

technologie et dimensionnement. 2e édition. Lausanne : Presse polytechniques et universitaires romandes, 2004. Vol.

13. ISBN 2-88074-609-4.

5. HENIN, Michel. Calcul statique des systèmes de contreventement tridimensionnels irréguliers par la méthode des

matrices-transfert. ANNALES de l'ITBTP. 1978, Vol. N°357.

6. THONIER, Henry. Conception et calcul des structures de bâtiments. Paris : Presses de l'Ecole Nationale des Ponts et

Chaussées, 1996. ISBN 2-85978-265-6.

7. FAVRE, Renaud, et al. Traité de Génie Civil - Dimensionnement des structures en béton. Lausanne : Presses

polytechniques et universitaires romandes, 1997. Vol. 8. ISBN 2-88074-330-3.

8. COIN, André. Ossatures des bâtiments. Paris : Editions Eyrolles, 1996. ISBN 2-212-07507-3.

9. S., WINTER. Structures en bois aux états limites, STEP2. Contreventement des systèmes structuraux. Paris :

Eyrolles, 1997. Chapitre II-5. ISBN 2-212-11833-3.

10. FCBA, IRABOIS et BOCQUET, Jean-François. Manuels d'application des Eurocodes pour les structures bois.

Règles et recommandations particulières applicables aux structures à ossature bois.

11. DAVIDOVICI, Victor. La construction en zone sismique. s.l. : Le Moniteur, 1999. ISBN: 2.281.11180.6.

12. BURR, B et TALATI, G. Diaphragm design, Présentation ppt. s.l. : Burr and Cole Consulting Engineers, Inc.

13. PLUMIER, André et DEGEE, Hervé. Conception Parasismque dans le contexte de l'Eurocode 8. [éd.] Laboratoire

ArGEnCo Université de Liège. septembre 2009. Cours de l'ULg.

14. GOULET, Jean et BOUTIN, Jean-Pierre. Résistance des matériaux- Aide mémoire. Paris : Dunod, 1998. ISBN 2-

10-006811-3.

15. DAVALLE, Eric. Cours de Mécanique des structures I. Chapitre 8 : Torsion uniforme. s.l. : EPFL, LSMS, 2009.

16. HUREZ, Marcel, JURASZEK, Nicolas et PELCE, Marc. Dimensionner les ouvrages en maçonnerie, Guide

d'application. [éd.] Eyrolles. Paris : Afnor, 2009.

17. LESTUZZI, Pierino. Génie parasismique, Amélioration Parasismique. s.l. : Cours, Ecole Polytechnique Fédéral de

Lausanne, 2008.

18. DELMOTTE, Patrick et RIVILLON, Philippe. Maçonnerie et Séisme. Cahiers du CSTB. Novembre 2003, Vol.

Recherche & Développement du département sécurité, structure et feu, Cahier 3486.

19. Configurations géométriques - Voiles et dalles. Explorations Architecturales. [En ligne] http://www.explorations-

architecturales.com/data/new/fiche_55.htm.

20. COIN, André. Ossature des bâtiments. Paris : Eyrolles, 1996. ISVN 2-212-07507-3.


Renaud DELABY

LISTE DES FIGURES

FIGURE 1 : COLLEGE CALYPSO A MONTREUIL-BELLAY (STRUCTURE MIXTE BOIS-BETON) – VUE DE

L’ENTREE.................................................................................................................................................. 9 FIGURE 2 : COLLEGE CALYPSO A MONTREUIL-BELLAY - PERSPECTIVE DE LA STRUCTURE ............ 9 FIGURE 3 : MAISON DE VILLE A BOULOGNE BILLANCOURT (OSSATURE BOIS) .................................... 9 FIGURE 4 : TYPE D’ELEMENTS EN BETON ARME CONSIDERES DANS L’ETUDE ................................. 10 FIGURE 5 : MAISON DU BOIS DE LA GUE – VUE D’ARCHITECTE ............................................................ 11 FIGURE 6 : CECP – PERSPECTIVE SUD SUR ACCES DE SERVICE ........................................................ 11 FIGURE 7 : CECP – VUE EN PLAN ET DEFINITION DE LA STRUCTURE PORTEUSE ............................ 11 FIGURE 8 : EXEMPLE DE PLANCHER CONNECTE BOIS/BETON SBB® DANS UNE STRUCTURE MIXTE

................................................................................................................................................................. 12 FIGURE 9 : PRINCIPE DE PROPAGATION DES EFFORTS HORIZONTAUX DANS LES ELEMENTS DE

CONTREVENTEMENT – EXEMPLE DE LA BOITE -(1) ........................................................................ 14 FIGURE 10 : INFLUENCE DE LA GEOMETRIE EN PLAN – CAS SANS JOINT DE DILATATION (2) ........ 16 FIGURE 11 : IMPACT DU POSITIONNEMENT DES ELEMENTS RIGIDES SUR LA TORSION DANS LE

BATIMENT(3) .......................................................................................................................................... 16 FIGURE 12 : EXEMPLES D’ANCRAGES DE PAROIS RIGIDES (4) ............................................................. 17 FIGURE 13 : DIFFERENTS TYPES DE PANNEAU DE CONTREVENTEMENT .......................................... 17 FIGURE 14 : PANNEAU EN BOIS MASSIF CONTRECOLLE (SOURCE BINDERHOLZ) ............................ 18 FIGURE 15 : EXEMPLE DE FIXATION DES SOLIVES SUR LES ELEMENTS VERTICAUX ....................... 20 FIGURE 16 : TROIS PRINCIPES D’ASSEMBLAGE MUR-PLANCHER (SOURCE BINDERHOLZ) ............. 20 FIGURE 17 : COUPE DE PRINCIPE DU SYSTEME DE PLANCHER (COLLEGE CALYPSO) .................... 21 FIGURE 18 : LES DIFFERENTS TYPES DE CONTREVENTEMENT (8) ...................................................... 23 FIGURE 19 : RELATION LIANT L’EFFORT APPLIQUE, LA RAIDEUR ET LE DEPLACEMENT ................. 24 FIGURE 20 : CONTREVENTEMENT PAR DEUX VOILES PARALLELES ET MODELE

CORRESPONDANT(6) ........................................................................................................................... 25 FIGURE 21 : CONTREVENTEMENT PAR DEUX VOILES PARALLELES DONT UN EST UN U

SYMETRIQUE(6) ..................................................................................................................................... 25 FIGURE 22 : CONTREVENTEMENT PAR N VOILES PARALLELES (6) ...................................................... 26 FIGURE 23 : CONTREVENTEMENT ISOSTATIQUE ET EFFORTS DANS LES VOILES (7) ...................... 27 FIGURE 24 : REPERAGE D’UN VOILE, DES AXES PRINCIPAUX D’INERTIE, DU CHARGEMENT (6) .... 28 FIGURE 25 : DEFINITION DES RESULTANTES P ET Q (6) FIGURE 26 : DEFINITION DES

REPERES LIES AU VOILE (6) ................................................................................................................ 28 FIGURE 27 : DEFINITION D’UN VOILE I PAR RAPPORT AU CENTRE DE TORSION C (6) ...................... 28 FIGURE 28 : MODELE POUTRE SUR APPUIS-ELASTIQUES ..................................................................... 33 FIGURE 29 : SYSTEME DE CONTREVENTEMENT HORIZONTAL HYPERSTATIQUE (9) ........................ 34 FIGURE 30 : REACTIONS DES EFFORTS DANS LES VOILES EN FONCTION DU TYPE DE PLANCHER

................................................................................................................................................................. 39 FIGURE 31 : CRITERE DE RAIDEUR DES PLANCHER SELON LES REGLES ANGLO-SAXONNES (12) 40 FIGURE 32 : INFLUENCE DE L’ELANCEMENT DES PLANCHERS (2) ....................................................... 41 FIGURE 33 : CONCENTRATION DE CONTRAINTES DANS UN DIAPHRAGME AVEC TREMIE (13) ....... 41 FIGURE 34 : INFLUENCE DE LA POSITION DE LA TREMIE SUR LA RIGIDITE DU DIAPHRAGME(2) .... 41 FIGURE 35 : RAIDEUR D’UN MUR EN BETON ARME SUIVANT LE MODELE ADOPTE ........................... 43 FIGURE 36 : DEPLACEMENT D’UN MUR EN OSSATURE BOIS (10) ET D’UN VOILE EN BETON

ARME(11) SOUMIS A UN CHARGEMENT HORIZONTAL EN TETE .................................................... 44 FIGURE 37 : METHODE DE LA RAIDEUR – DEFINITION DU VOILE ........................................................ 50 FIGURE 38 : ELEMENT DE DEFINITION D’UN VOILE ................................................................................. 54 FIGURE 39: MODE DE RUPTURE DE VOILES ELANCES [DAVIDOVICI ET AL. 1985] .............................. 55 FIGURE 40 MODE DE RUPTURE DE VOILES COURTS [DAVIDOVICI ET AL. 1985] ................................ 55


Renaud DELABY

FIGURE 41 : POURCENTAGE D’ERREUR DE LA VALEUR DU DEPLACEMENT D’UN VOILE ENCASTRE

EN PIED ET CHARGE EN TETE PAR OBTENU PAR UN MODELE ELEMENT FINI ET PAR LES

FORMULES DE BRESSE EN FONCTION DE L’ELANCEMENT DU VOILE ......................................... 56 FIGURE 42 : PART DU DEPLACEMENT RELATIF DES VOILES DANS LA DEFORMATION TOTALE EN

FONCTION DE LEUR POSITION ........................................................................................................... 57 FIGURE 43 : MODELE POUTRE BI-ENCASTREE POUR LA MODELISATION DES VOILES EN BETON

ARME ....................................................................................................................................................... 58 FIGURE 44 : NOTATIONS RELATIVES AU CALCUL DES DEPLACEMENTS POUR UNE POUTRE

DROITE(14) ............................................................................................................................................. 59 FIGURE 46 : ELEMENTS DE DEFINITION D’UN PROFIL MINCE OUVERT (15) ........................................ 62 FIGURE 45 : AIRE REDUITE D’UN VOILE COMPOSE EN U POUR UN EFFORT SELON LA DIRECTION 2

................................................................................................................................................................. 62 FIGURE 47 : MODE DE DEFORMATION DES PAROIS RIGIDES SOLLICITEES PAR DES EFFORTS

HORIZONTAUX (4) ................................................................................................................................. 63 FIGURE 48 : SYSTEME REEL ET MODELISATION DE CALCUL D’UNE PAROI RIGIDE AVEC

OUVERTURES(4) ................................................................................................................................... 65 FIGURE 49 : ELEMENTS DE DEFINITION D’UN PANNEAU DE MUR EN OSSATURE BOIS(10).............. 66 FIGURE 50 : DEPLACEMENT D’UN MUR A OSSATURE BOIS SOUMIS A UNE FORCE HORIZONTALE

EN TETE(10) ........................................................................................................................................... 67 FIGURE 51 : MODE DE CALEPINAGE DES MURS ...................................................................................... 68 FIGURE 52 : ORGANIGRAMME DE CALCUL – ETAPES PRINCIPALES .................................................... 71 FIGURE 53 : EXEMPLE D’APPLICATION – DEFINITION DE LA STRUCTURE .......................................... 72 FIGURE 54 : DESSIN DE LA STRUCTURE GENERE PAR LE PROGRAMME ............................................ 73 FIGURE 55 : DEFINITION DU CHARGEMENT .............................................................................................. 74 FIGURE 56 : ELEMENT DE DEFINITION D’UN VOILE – D’APRES THONIER .............................................. 2 FIGURE 57 : DEFINITION DES REPERES LIES AU VOILE ........................................................................... 3 FIGURE 58 : RESULTANTE P ET Q ................................................................................................................ 4 FIGURE 59 : DEFINITION D’UN VOILE I PAR RAPPORT AU CENTRE DE TORSION C ............................. 6 FIGURE 60 : EFFET D’UNE TRANSLATION SELON X ET Y .......................................................................... 8 FIGURE 61 : EFFET D’UNE ROTATION SELON XY ....................................................................................... 9 FIGURE 62 : TABLEAU DES COEFFICIENTS D’EQUIVALENCE – EXEMPLE DU PROJET ...................... 16 FIGURE 63 : TABLEAU DES COEFFICIENTS D’EQUIVALENCE DES MURS ............................................ 17 FIGURE 64 : REPERAGE ET ORIENTATION DES DISTANCES ALGEBRIQUES DES PAROIS AU

CENTRE DE RAIDEUR ........................................................................................................................... 18 FIGURE 65 : PROJECTION DES DEPLACEMENTS DE LA PAROI DANS SON PLAN ENGENDREE PAR

LA ROTATION DE LA STRUCTURE (10) ............................................................................................... 19 FIGURE 66 : TYPE DE VOILES MODELISES................................................................................................ 20 FIGURE 67 : CHARGEMENT ET DIMENSIONS DU VOILE .......................................................................... 21 FIGURE 68 : POURCENTAGE DU DEPLACEMENT RELATIF DU VOILE EN FONCTION DE L’ALTITUDE

................................................................................................................................................................. 22 FIGURE 69 : NOTATIONS RELATIVES AU CALCUL DES DEPLACEMENTS POUR UNE POUTRE

DROITE(14) ............................................................................................................................................. 25 FIGURE 70 : MODELE DU VOILE .................................................................................................................. 28 FIGURE 71 : VUE DE L’ONGLET PRINCIPAL DE L’OUTIL DE CALCUL ..................................................... 30 FIGURE 72 : ONGLET NAVIGATION ............................................................................................................. 31 FIGURE 73 : ONGLET DEFINITION DE LA GEOMETRIE FIGURE 74 : ONGLET MOB ................... 31 FIGURE 75 : ONGLET CHARGEMENT FIGURE 76 : ONGLET DESSIN ......................................... 32 FIGURE 77 : PRESENTATION DES RESULTATS ........................................................................................ 32

ANNEXES

ANNEXE 1: LA METHODE DU CENTRE DE TORSION – HENRY THONIER ............................ 2

ANNEXE 2: LA METHODE DE LA RAIDEUR .................................................................................... 7

ANNEXE 3: METHODE SELON LE GUIDE AQCEN – JEAN-FRANÇOIS BOCQUET ............... 12

ANNEXE 4: INFLUENCE D’UN CHANGEMENT D’INERTIE SUR LE DEPLACEMENT DU

VOILE 20

ANNEXE 5: IMPACT DE L’ELANCEMENT DES VOILES BA SUR LA VALIDITE D’UN

MODELE POUTRE ..................................................................................................................................... 23

ANNEXE 6: COMPORTEMENT TOUTE HAUTEUR DES VOILES BA ...................................... 28

ANNEXE 7: APERÇU DU PROGRAMME ......................................................................................... 30

ANNEXE 8: DONNEES RELATIVES A L’EXEMPLE SIMPLIFIE ................................................. 33



ANNEXE 1: LA METHODE DU CENTRE DE TORSION

– HENRY THONIER

Cette annexe détaille la démarche de calcul permettant la détermination des efforts horizontaux dans des voiles en

béton armé selon la méthode du centre de torsion présenté par Henry THONIER (6).

1. Élément de définition d’un voile

FIGURE 56 : ELEMENT DE DEFINITION D’UN VOILE – D’APRES THONIER

Nous avons donc les repères suivants :

- Oxy : repère de référence, fixé arbitrairement

- Oixiyi : repère lié au centre de torsion du voile, dont les directions sont celles du repère de référence

- Oix’iy’i : repère principal de l’élément i, lié au centre de torsion du voile, orienté selon les axes principaux

d’inerties de l’élément i

- CXY : repère principal global, lié au centre de torsion de l’ensemble de voiles et orienté selon les axes

principaux d’inertie de l’ensemble des voiles.

2. Description de la géométrie

Chaque élément doit être repéré dans un repère de référence tel que définit en 1, c'est-à-dire par :

- La position de son centre de torsion (confondu avec le centre de gravité pour des éléments rectangulaires),

- La largeur et la hauteur de l’élément,



- L’angle d’inclinaison des axes principaux d’inertie de l’élément par rapport au repère de référence. Cet angle

est pris positivement dans le sens trigonométrique, on a : si

est l’axe de l’inertie la plus grande,

dans le cas contraire,

3. Détermination des axes principaux d’inertie de l’ensemble des voiles

Les étapes de calcul sont les suivantes :

- Calcul dans le repère Oix’iy’i des moments principaux d’inertie de chaque voile ;

- Détermination des moments d’inertie de chaque voile dans le repère de référence à l’aide des formules de

rotation d’axes.

Les axes principaux d’inertie sont caractérisés par où est l’inertie composée du voile par rapport aux axes

parallèle au nouveau repère. L’écriture de cette égalité nous permet de déterminer l’angle que font ces angles

avec les axes du repère par la relation:

FIGURE 57 : DEFINITION DES REPERES LIES AU VOILE

4. Effort induit par la translation de l’ensemble

La répartition de l’effort se fait au prorata des raideurs, ou dans ce cas, au prorata des inerties. En réalisant cette

répartition dans la direction des axes principaux d’inertie, les efforts dans le repère de base du voile (

sont donnés

par les expressions suivantes :

Effort dans le voile i suivant Oix’i :

iXiiXYi

Xi

YiXYiiYi

Yi

Xxi II

I

HII

I

HF sincossincos'

Effort dans le voile i suivant Oiy’i :

iYiiXYi

Yi

XiXYiiXi

Xi

Yyi II

I

HII

I

HF sincossincos'

Avec :



et Composante selon les directions CX et CY de l’effort appliqué à la

structure.

5. Position du centre de torsion

La deuxième composante de l’effort dans les voiles est celle amenée par les efforts de torsion. Cette torsion est due à

l’excentricité entre le point d’application de la charge et le centre de torsion de la structure.

Une force, ou un moment, appliqué au centre de torsion, n’entrainerait qu’un déplacement ou une rotation. Dans le cas

d’une force appliquée au centre de torsion, seule la composante définit en 4 serait prise en compte.

5.1. Composante P et Q

Les composantes P et Q sont les résultantes des forces de réaction des voiles lorsque le plancher est soumis

respectivement selon les deux directions du repère principal. Comme les réactions sont proportionnelles aux raideurs,

donc aux inerties, les résultantes P et Q ont pour expression :

FIGURE 58 : RESULTANTE P ET Q

jIiIP xyiyi

jIiIQ xixyi

5.2. Position du centre de torsion

La position du centre de torsion se détermine à partir des composantes P et Q. D’après les propriétés du centre de

torsion, si une force est appliquée au centre de torsion de l’ensemble des voiles, ces derniers subissent une translation

sans rotation. Il n’y a donc pas de moment au niveau du centre de torsion, les deux résultantes P et Q ont alors pour

point d’application le centre de torsion.

En écrivant l’équilibre des moments au point O entre le moment engendré par la résultante P et par la somme des

moments apportés par chacun des voiles, on détermine l’abscisse et l’ordonnée de l’intersection de la droite

support de la résultante P. On fait de même avec la résultante Q.

En utilisant les propriétés du théorème de Thalès, on parvient à l’expression des coordonnées du centre de

torsion en fonction de ;les résultantes P et Q étant appliquées au centre de torsion.

Ecriture de l’équilibre des moments :



iyiixyiPxPYP yIxIyPxPM 00 ..**

ixyiixiQxQYQ yIxIyQxQM 00 ..**

Avec ;

Détermination des composantes par équilibre des moments :

Ces vecteurs définissent deux droites supports de la résultante des efforts résistants des voiles, on détermine alors

l’origine de ces droites supports par , défini comme suit :

Coordonnées du centre de torsion :

On détermine alors les coordonnées du centre de torsion par :

6. Efforts dus à la torsion

6.1. Moment appliqué au centre de torsion

L’excentricité e de la charge par rapport au centre de torsion engendre un moment au centre de torsion égal à :

Avec :



Moment au centre de torsion

Effort appliqué à la structure

Excentricité de la charge par rapport au centre de torsion

6.2. Efforts dus à la torsion

On sait que les efforts dans les voiles dus à la torsion sont proportionnels à la rigidité du voile et à sa distance par

rapport au centre de torsion. On a alors :

On détermine le coefficient de proportionnalité en écrivant l’équilibre des moments des forces au centre de torsion.

D’où on tire et les expressions des efforts dans les voiles selon les deux directions principales sont données par :

Avec :

FIGURE 59 : DEFINITION D’UN VOILE I PAR RAPPORT AU CENTRE DE TORSION C

7. Efforts finals dans les voiles

Les efforts finals dans les voiles i, dirigés selon les axes principaux d’inertie des voiles Oix’iy’i, valent :



ANNEXE 2: LA METHODE DE LA RAIDEUR

Si dessous est présentée la méthode la raideur appliquée au cas où trois raideurs sont considérées sont

considérées.

1. Principe

Elle se base sur le fait qu’au niveau du plancher on ait :

Avec :

Vecteur sollicitation dans le repère général Oxyz

Matrice des rigidités

Vecteur déplacement

Ce qui vectoriellement donne:

;

;

Avec :

Force parallèle à Ox

Force parallèle à Oy

M Moment d’axe Oz

Déplacement de l’ensemble parallèle à Ox

Déplacement de l’ensemble parallèle à Oy

Rotation de l’ensemble d’axe Oz

Le principe de la méthode consiste ensuite à déterminer l’expression des déplacements des voiles pris individuellement

selon leurs deux directions principales, ainsi que l’expression de celui dû à leur rotation en fonction des déplacements du

centre de torsion et .



2. Relation entre le déplacement du centre de torsion et le déplacement

des voiles

Effet d’une translation :

Y

figure 1 : effets des

forces XH et YH . 2

X

X

Y

1

2 2

1

1

A partir de la Figure 60 qui représente l’effet d’un déplacement selon les axes X et Y, on obtient les expressions de et

de suivantes :

FIGURE 60 : EFFET D’UNE TRANSLATION SELON X ET Y



Effet d’une rotation :

XY 1r 2r

X

Y

1

1 2

2

O

1r

2rXY

2

1'

XY

1rXY

figure 2 : translation résultant du moment M .

A partir de la Figure 61 on détermine l’expression des déplacements dus à la rotation :

Avec :

Rotation de plancher

Distances du repère lié au voile au repère général selon les deux

directions 1 et 2

Déplacement total dans les voiles selon les deux directions :

3. Construction de la matrice de rigidité

La matrice de rigidité est déterminée en écrivant l’équilibre des efforts au centre de torsion. La suite présente la

détermination de manière chronologique.

Expression des efforts repris par chaque refend :

FIGURE 61 : EFFET D’UNE ROTATION SELON XY



Ecriture de l’équilibre des refends :

On exprime l’équilibre des efforts au centre de torsion par projection des efforts exprimés dans les voiles .

En injectant les expressions de et dans le système précédent on obtient un système de trois équations

exprimant en fonction de . On détermine ainsi les composantes de la matrice de rigidité

suivantes :

2

1

2

212

2

2

2

121

2

2

2

13

21

2

2

2

1

2

2

2

1

sincossincos)(

sincoscossin)(

)sincos()cossin(

cossin)(

cossin

sincos

xKxKyKKKK

yKyKxKKKK

yxKyxKKK

KKKK

KKK

KKK

YttY

XttX

t

YXXY

Y

X

4. Détermination des déplacements au centre de torsion

Le vecteur des sollicitations et la matrice de rigidité étant désormais connus, on détermine les composantes du

vecteur par inversion de la matrice .

5. Détermination des efforts dans les voiles

L’expression des efforts dans les voiles en fonction des déplacements du centre de torsion étant connue, il suffit de

réinjecter les valeurs déterminées du déplacement pour avoir les efforts dans les voiles.

6. Position du centre de torsion

Cette méthode ne rend pas nécessaire la détermination de la position du centre de torsion. Sa connaissance est

cependant un bon indicateur de l’importance dans la torsion dans la structure et permet aussi de vérifier la cohérence

des éléments entrés dans le programme.

La position est déterminée en écrivant que si la charge est appliquée au centre de torsion le terme du déplacement

du plancher est nul.

Avec

, l’absence de rotation au centre de torsion s’exprime par :



0

0

0

YX

XYYX

YXXY

HcxfHcye

yHxHcfHeH

cMfHeH

x et y sont les coordonnées du point d’application de la force dans le repère ( O , XX , YY ). On cherche alors

pour quelles valeurs de x et y on a annulation de la rotation quelles que soient les valeurs de XH et YH ce qui se

traduit par :

0,, YXYX HcxfHcyeHH

0 cye et 0 cxf

Ce qui donne finalement :



ANNEXE 3: METHODE SELON LE GUIDE AQCEN

– JEAN-FRANÇOIS BOCQUET

Toute la méthode se base sur l’utilisation de coefficient d’équivalence entre les systèmes de murs. Ceci permet de faire

abstraction de la raideur pour tout le raisonnement en se basant sur une raideur de référence.

Sauf mention contraire, l’ensemble des figures sont extraites des notes de Cours de Jean-François BOCQUET,

enseignant chercheur à l’ENSTIB d’Epinal, principal auteur de la méthode qui suit.

1. Etape 1 : Repérage de chaque élément de la structure

Le repérage consiste à :

- La numérotation de chaque système de mur ;

- Définir leur orientation par rapport au repère fixé ;

Pour chaque système de murs on réalise le découpage en panneau suivant :

Chaque panneau est définit par les indicies S, m, p signifiant : le panneau p, du mur m, du système de mur S.



Mur 1 X panneau(x) de largeur b = X,XX m

Y panneau(x) de largeur b = Y,YY m

… panneau(x) de largeur b = …,… m

Mur 2 X panneau(x) de largeur b = X,XX m

… …

2. Étape 2 : Détermination de la raideur des panneaux de murs

Pour tous panneaux répondant à la condition :

Avec :

Largeur du panneau

Hauteur de l’étage

2.1. Raideur du panneau de référence

On prend généralement comme largeur de référence la largeur la plus grande du panneau OSB (largeur standard).

2.1.1. Raideur de cisaillement des assemblages

[EC5-section 7]

Ci-dessous, l’extrait de l’EC5 donnant la valeur de en fonction de l’organe d’assemblage :



Avec la définition de la masse volumique équivalente suivante :

Où :

Masse volumique du panneau

Masse volumique de l’ossature

2.1.2. Rigidité de couture et

- Pour les montants principaux :

- Pour les montants intermédiaires :

Avec :

Entraxe des pointes

2.1.3. Raideur du panneau de référence

Elle est obtenue par l’expression :



Avec :



Largeur du panneau de référence

Hauteur du panneau

2.2. Raideur d’un panneau de largeur quelconque

Pour un panneau avec un montant intermédiaire:

Avec :




Hauteur du panneau

Pour un panneau sans montant intermédiaire :

Avec :





Hauteur du panneau

3. Coefficient d’équivalence entre panneaux et système de murs

Au lieu de raisonner en termes de raideur, la méthode propose de raisonner à partir d’un coefficient d’équivalence entre

les raideurs des panneaux qui est le rapport de la raideur de chaque panneau sur la raideur du panneau de référence.

On peut ainsi construire un tableau d’équivalence comme suit :

FIGURE 62 : TABLEAU DES COEFFICIENTS D’EQUIVALENCE – EXEMPLE DU PROJET

Les coefficients d’équivalence ne changent pas selon les états limites (de services ou ultimes)

4. Raideur des systèmes de murs

La raideur des systèmes de murs est égale à la somme des raideurs de chaque panneau composant le système de

murs.

On a donc :

Avec :

Raideur du système de mur

Raideur du mur du système de mur

Raideur du panneau de mur du mur du système de mur

Raideur du panneau de référence

Coefficient d’équivalence du panneau de mur du mur du

système de mur



On définit également un coefficient d’équivalence pour le système de mur :

On peut alors construire le tableau récapitulatif des coefficients d’équivalence des systèmes de murs :

FIGURE 63 : TABLEAU DES COEFFICIENTS D’EQUIVALENCE DES MURS

La détermination du centre des raideurs et la répartition des efforts dans les murs se fait ensuite à partir de .

5. Position du centre des raideurs « O »

5.1. Repérage des distances algébriques des systèmes de murs au point « O »

Le principe consiste à repérer les distances algébriques des systèmes de murs au centre des raideurs « O », qui n’est

pas encore connu, afin de résoudre un système d’équations qui permettra de déterminer l’ensemble de ces distances et

donc de positionner le centre des raideurs « O ».

Il faut également repérer de la même manière la charge appliquée à la structure.



FIGURE 64 : REPERAGE ET ORIENTATION DES DISTANCES ALGEBRIQUES DES PAROIS AU CENTRE DE RAIDEUR

5.2. Résolution du système à 2*(S*m*p) équations

Les deux équations suivantes traduisent le fait que le point « O » est le barycentre des raideurs :

Les équations suivantes traduisent la géométrie de la structure :

Notons que si les parois sont orthogonales il y a une réduction importante du nombre d’équations.

On détermine ainsi :



6. Déplacement du centre des raideurs « O »

Il est caractérisé par deux translations et une rotation .

7. Déplacements et efforts dans les parois

Ils sont calculés de la manière suivante :

- Déplacement dans le système de mur S, dans la direction des murs :

En utilisant les notations de la Figure 65 :

FIGURE 65 : PROJECTION DES DEPLACEMENTS DE LA PAROI DANS SON PLAN ENGENDREE PAR LA ROTATION DE LA

STRUCTURE (10)

- Effort en tête du système de murs S :



ANNEXE 4: INFLUENCE D’UN CHANGEMENT

D’INERTIE SUR LE DEPLACEMENT DU VOILE

Objectif du test :

Etudier l’impact d’un changement de section d’un voile de contreventement en béton armé sur la valeur de ces

déplacements.

Tenter d’évaluer les conséquences sur la rigidité des voiles et sur la répartition des efforts d’un niveau.

Limites :

De par son approche très simplifiée, ce test ne peut permettre une généralisation. Il a pour unique objectif de faire

ressortir des tendances afin de comprendre le phénomène et tirer des conclusions sur l’importance des hypothèses.

Voiles étudiés :

On modélise sur le logiciel Robot® plusieurs voiles en béton armé dont la géométrie globale est donnée sur la Figure 66.

FIGURE 66 : TYPE DE VOILES MODELISES

Chaque voile est chargé au niveau des planchers par une force de même intensité pour tous les niveaux (cf.Figure 67).

Caractéristiques géométriques :

- Hauteur : 12 m

- Largeur : de 3 à 9 m

- Épaisseur : 0.3 m

Modélisation :

Le calcul est réalisé en plaque, les voiles sont encastrés en pied et libres en tête.

Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4



FIGURE 67 : CHARGEMENT ET DIMENSIONS DU VOILE

Etude :

Pour chaque configuration on relève les déplacements de chaque voile au niveau des planchers. On obtient les

résultats suivants :

TABLEAU 4 : DEPLACEMENTS DES VOILES

altitude 0 m 3 m 6 m 9 m 12 m

CAS 1

0 0,0645 0,2041 0,3799 0,5675 déplacement total

0 0,0645 0,1396 0,1758 0,1876 déplacement relatif

0 11% 25% 31% 33%

%de déplacement

relatif

CAS 2

0 0,0191 0,1021 0,2225 0,3547

0 0,0191 0,083 0,1204 0,1322

0 5% 23% 34% 37%

CAS 3

0 0,049 0,1183 0,2171 0,3282

0 0,049 0,0693 0,0988 0,1111

0 15% 21% 30% 34%

CAS 4

0 0,0072 0,0278 0,08 0,1445

0 0,0072 0,0206 0,0522 0,0645

0 5% 14% 36% 45%

On exprime alors le déplacement relatif du voile entre chaque étage. Ce déplacement relatif est rapporté au

déplacement total en tête de voile.



À partir du déplacement relatif de chaque niveau, on construit le graphique ci-dessous représentant la part de ce

déplacement dans le déplacement total du voile. L’abscisse correspond à l’altitude du point de mesure du déplacement,

l’ordonnée au rapport du déplacement relatif du niveau sur le déplacement en tête du voile. Ce rapport permet de

s’affranchir de toute valeur de déplacement.

FIGURE 68 : POURCENTAGE DU DEPLACEMENT RELATIF DU VOILE EN FONCTION DE L’ALTITUDE

On observe que quelle que soit la configuration, le déplacement relatif est plus important en tête de voile.

Il est ensuite difficile d’observer une corrélation entre l’augmentation de la rigidité et la répartition des déplacements

entre les niveaux de manière systématique.

La variation de l’inertie du voile sur sa hauteur a donc une influence directe sur le comportement global du voile mais il

ne semble pas possible de la quantifier.

En observant les déplacements du voile en tête dans le Tableau 4 on remarque que malgré la même configuration au

niveau de l’étage, le déplacement relatif est fortement influencé par les éléments sous lui. Cette constatation permet de

mettre en évidence la prudence qu’il faut adopter lors de l’application de la méthode par étage dans le cas de voiles qui

ne sont pas continus sur toute la hauteur.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 2 4 6 8 10 12 14



ANNEXE 5: IMPACT DE L’ELANCEMENT DES

VOILES BA SUR LA VALIDITE D’UN MODELE

POUTRE

Objectif :

Déterminer l’élancement minimal d’un voile en béton armé pour que l’expression des déplacements d’après les formules

de Bresse reste applicable.

Problématique :

Les formules de Bresse sont intéressantes, car elles permettent la prise en compte des déformations d’effort tranchant.

Cependant, leur domaine d’application est celui de la théorie des poutres. Dans le cas d’une application à des voiles de

contreventement en béton armé, et principalement en cas de faible élancement, le cadre d’application de la théorie des

poutres n’est plus respecté. Le but de cette étude est de déterminer à partir de quel élancement les résultats obtenus par

les formules de Bresse doivent être considérés avec prudence.

Domaine de validité :

L’étude est menée sur un voile simple en béton armé, encastré en pied et libre en tête, dont on fait varier l’élancement.

Les résultats sont obtenus en considérant le béton comme un matériau homogène et isotrope. Le comportement fissuré

du béton n’est pas pris en compte.

Modélisation du voile :

Le voile est modélisé à l’aide du logiciel Robot®, sa géométrie est la suivante . L’étude a été réalisée pour deux largeurs

de voile différentes de 2 et 5m.

L

h

Point de mesure

du déplacement



Principes :

- Modélisation d’un voile en béton armé à l’aide du module plaque chargée dans son plan du logiciel de calcul de

structure Autodesk®Robot™.

- Application d’un chargement en tête de voile,

- Relevé du déplacement au niveau de la fibre moyenne en partie supérieure du voile pour différente valeur

d’élancement allant de 30 à 0,5.

Rappels théoriques :

Les formules de Bresse dont les expressions sont rappelées ci-dessous permettent d’évaluer le déplacement à partir des

sollicitations de l’élément étudié. Ces formules sont applicables dans le domaine de validité des hypothèses de la théorie

des poutres ci-dessous

Domaine de validité des hypothèses :

- h/b < 10

- l/30 < h < L/5

- r/h>5

avec :

- h : hauteur de la poutre

- b : largeur de la poutre

- L=longueur de la poutre

- r= rayon de courbure

On suppose que la première et la troisième condition sont toujours vérifiées. La deuxième hypothèse revient à

considérer un élancement l/h compris entre 5 et 30. C’est cet élancement que nous ferons varier dans l’étude.

Formules de Bresse:

Avec les notations de la Figure 44 on a pour l’expression du déplacement :

Avec :

Moment fléchissant à l’abscisse de la poutre

Effort tranchant à l’abscisse de la poutre

Module d’Young

Inertie de la poutre selon l’axe

Module de cisaillement

Section réduite de la poutre



FIGURE 69 : NOTATIONS RELATIVES AU CALCUL DES DEPLACEMENTS POUR UNE POUTRE DROITE(14)

Les résultats manuels sont obtenus par l’application de la formule de Bresse avec compte tenu de la

condition d’encastrement en pied.

Résultats :

On obtient les résultats suivants :

Les dernières lignes de chaque tableau correspondent à l’élancement permettant d’avoir un rapport de un entre la

contribution de l’effort tranchant et celle du moment fléchissant dans la valeur du déplacement.

h =5m :

L [m] Elancement L/h déplacement en

tête[cm] milieu

déformation totale [cm]

BRESSE

Valeur

ROBOT/valeur

BRESSE

150 30 1,68E+03 1,69E+03 0,52%

25 5 7,92E+00 8,04E+00 1,48%

20 4 4,13E+00 4,18E+00 1,21%

15 3 1,80E+00 1,82E+00 1,25%

10 2 5,80E-01 5,90E-01 1,72%

5 1 1,00E-01 1,08E-01 7,50%

3,5 0,7 4,50E-02 5,29E-02 17,64%

2,5 0,5 2,00E-02 3,03E-02 51,56%

4,242304 0,848460748 7,64E-02 #DIV/0!



h=2m :

L [m] Elancement L/h déplacement en

tête[cm] milieu

déformation totale [cm]

BRESSE

Valeur

ROBOT/valeur

BRESSE

150 75 25631,50 -26370,56 2,88%

25 12,5 116,37 -122,63 5,38%

20 10 60,72 -62,95 3,67%

15 7,5 26,10 -26,70 2,32%

10 5 7,92 -8,04 1,48%

5 2,5 1,07 -1,09 1,78%

3 1,5 0,27 -0,28 3,12%

2 1 0,10 -0,11 7,50%

1,697031 0,848515297 0,07 -0,08 9,09%

A partir de ces résultats, on détermine les graphiques suivants qui représentent pour le premier la validité des formules

de Bresse en fonction de l’élancement du voile. Le deuxième permet de mettre en relation l’éloignement du domaine

d’utilisation des formules de Bresse et la part de l’effort tranchant dans les déformations.

GRAPHIQUE 1 : LIEN ENTRE ELANCEMENT DU VOILE ET VALIDITE DES FORMULES DE BRESSE

On voit à travers que le graphique que dès lors que l’élancement est inférieur à 2, la validité des formules de Bresse

n’est plus vérifiée. On peut s’étonner de la légère augmentation de l’erreur pour des élancements importants. Cette

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

0 2 4 6 8 10 12 14

Po

urc

en

tage

d'e

rre

ur

ave

c le

mo

dè

le E

F

Elancement L/h

Corrélation des résultats entre le modèle et les formules de Bresse en fonction de l'élancement

h=5 m

h=2 m



augmentation est peut-être due à la validité des autres hypothèses de la théorie des poutres notamment celles

concernant l’épaisseur du voile.

Le graphique suivant permet de mettre en évidence le lien entre la part de déplacement dû à l’effort tranchant dans la

valeur du déplacement et la validité des formules de Bresse. On présente en abscisse le rapport de la contribution de

l’effort tranchant dans le déplacement et de la contribution du moment. Un rapport de un signifie que le déplacement

d’effort tranchant est le même que celui de flexion.

GRAPHIQUE 2: L IEN ENTRE CONTRIBUTION DE L’EFFORT TRANCHANT DANS LES DEPLACEMENTS ET VALIDITE DES

FORMULES DE BRESSE

La validité des formules de Bresse est donc directement liée à la part d’effort tranchant dans le déplacement du voile.

Dès lors que les déformations d’effort tranchant prédominent sur celle de flexion, l’erreur augmente de manière

significative.

Conclusion :

Les formules de Bresse seront considérées comme acceptables pour un élancement des voiles supérieur à 1,5 à 2.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

Po

urc

en

tage

d'e

rre

ur

ave

c le

mo

dè

le E

F

(déplacement apporté par V)/(déplacement apporté par M)

h=5m

h=2m



ANNEXE 6: COMPORTEMENT TOUTE HAUTEUR

DES VOILES BA

Objectif :

Etudier le comportement d’un voile toute hauteur du point de vue des déplacements globaux et locaux des voiles entre

les étages. Le but est de voir si le positionnement du voile dans la structure affecte la valeur de son déplacement entre

planchers.

Domaine de validité

L’étude est menée sur un voile simple en béton armé modélisé à l’aide du logiciel Robot avec un modèle de calcul en

coque. Les résultats sont obtenus en considérant le béton comme un matériau homogène et isotrope. Le comportement

fissuré du béton n’est pas pris en compte.

Principe

On modélise un voile de 21m par 3m de manière à pouvoir appliquer les formules de Bresse. En chargeant le voile tous

les 3 mètres on représente une configuration de voile de contreventement toute hauteur dont la hauteur des étages

serait de 3m. Cela revient à considérer un même voile à chaque étage.

On relève ensuite le déplacement relatif de chaque étage. Si le positionnement du voile n’avait pas d’impact sur les

déplacements, tous les déplacements relatifs seraient égaux. S’ils ne sont pas égaux, on pourra conclure que la position

du voile influe sur les déplacements et donc peut-être aussi sur la rigidité.

Modélisation du voile :

Le voile est modélisé à l’aide du logiciel Robot, le calcul est réalisé en modèle coque. Le voile est en béton armé de

section 3x0.2m. Afin de représenter le chargement d’un voile de contreventement, le voi le est chargé tout les trois

mètres par une charge de 100kN comme le montre la Figure 70.

FIGURE 70 : MODELE DU VOILE



Résultats :

On relève les déplacements du voile tout les trois mètres afin de déterminer l’allure de la déformée d’une part et le

déplacement relatif entre deux niveaux d’autre part.

L’allure de la déformée est donnée par le graphique suivant :

GRAPHIQUE 3 : ALLURE DE LA DEFORMEE DU VOILE

Observons à travers le graphique ci-dessous la valeur du déplacement relatif des voiles entre les niveaux.

On observe que le déplacement relatif des niveaux augmente avec l’altitude. Cette augmentation peut s’expliquer de la

manière suivante :

- La flexion du voile entraîne une rotation au niveau des planchers ;

- Du fait de ce mouvement d’ensemble du voile, des déplacements initiaux existent pour les éléments en hauteur

ce qui amplifie les déplacements.

Conclusion :

Les déplacements d’un voile entre niveaux malgré une similitude de section ne sont pas toujours égaux du fait du

déplacement des voiles supérieurs et inférieurs. On peut donc penser que la raideur des voiles diminue avec l’altitude, le

calcul de raideur se basant sur les déplacements.

La quantification de cette augmentation est difficilement généralisable pour l’ensemble des voiles, il est donc difficile de

le prendre en compte dans le calcul de raideur.

-5,00E-02

-4,00E-02

-3,00E-02

-2,00E-02

-1,00E-02

0,00E+00

0 5 10 15 20 25

dé

pla

cem

en

t [m

]

Altitude [m]

0,00E+00

2,00E-03

4,00E-03

6,00E-03

8,00E-03

1,00E-02

0 5 10 15 20 25

Dé

pla

cem

en

t re

lati

f [m

]

Altitude [m]



ANNEXE 7: APERÇU DU PROGRAMME

Cette annexe propose un bref aperçu du programme de calcul et de ses fonctionnalités. Seules les interfaces

graphiques utilisées pour le calcul de répartition sont présentées.

1. Onglet principal

L’onglet principal résume toutes les données et résultats concernant la structure.

FIGURE 71 : VUE DE L’ONGLET PRINCIPAL DE L’OUTIL DE CALCUL

Les zones en bleu sont remplies automatiquement à partir des données fournies dans l’interface graphique. L’utilisateur

peut néanmoins choisir de remplir les éléments directement dans la feuille de calcul. Les zones en jaune permettent

d’accéder à l’interface graphique pour la saisie des données.

2. Les interfaces graphiques

Pour faciliter la saisie et la navigation la fenêtre de Figure 72 permet d’accéder à toutes les fonctionnalités du

programme :

- Définition de la géométrie : permet de saisir le positionnement des voiles, leurs caractéristiques géométrie, le

type de matériaux ;

- Définition des types de murs : pour saisir la composition des murs dans le cas des MOB, l’épaisseur et le type

de béton pour les voiles BA, etc.

Données relatives à

l’étage

Tableau récapitulatif :

géométrie, composition,

raideur, efforts dans les voiles

Rappel des types

de murs définis

par l’utilisateur

Conventions pour la définition

des voiles

Boutons d’accès

à l’interface

graphique



- Définition du chargement ;

- Calcul de répartition : réalise l’ensemble du calcul de répartition c'est-à-dire le calcul de la raideur de chacun

des murs puis le calcul de la répartition des efforts ;

- Dessin de la structure : permet d’obtenir le dessin de la structure afin de vérifier la bonne définition de la

géométrie et de visualiser entre autres la position du centre de torsion.

Les figures qui suivent donnent un aperçu de chacune des fenêtres de définition décrites ci-dessus.

FIGURE 72 : ONGLET NAVIGATION

FIGURE 73 : ONGLET DEFINITION DE LA GEOMETRIE FIGURE 74 : ONGLET MOB



FIGURE 75 : ONGLET CHARGEMENT FIGURE 76 : ONGLET DESSIN

3. Présentation des résultats

Les efforts dans les voiles sont donnés dans l’onglet principal comme illustré sur la Figure 77. Une autre fenêtre (non

présentée) permet d’obtenir les déplacements et la position au centre de torsion

FIGURE 77 : PRESENTATION DES RESULTATS

Efforts dans les

voiles

Raideurs des

voiles



ANNEXE 8: DONNEES RELATIVES A L’EXEMPLE

SIMPLIFIE

1. Composition des murs à ossature bois

Caractéristique Description

Type de panneau OSB

Nombre de panneaux 1

largeur de référence du panneau [m] 1,25

masse volumique du panneau [kg/m3] 620

Nature des montants C24

masse volumique de l'ossature [kg/m3] 420

Espacement maximal des montants [m] 0,65

Type d'organe d'assemblage pointes (sans avant-

trous)

entraxe des pointes sur montants de

rive [m]

0,15

entraxe des pointes sur montants inter

[m]

0,3

diamètre des organes d'assemblage

[mm]

2,3

projet de fin d etudes -...

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