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8/6/2019 ProbabilitesResume
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PROBABILITES
Lunivers est lensemble des rsultats possibles dune exprience alatoire. Un vnement A est une partie de
Langage ensembliste Langage probabiliste Notation
Univers des possibles { }1 2 3; ; ;... n =
{ } [ ]1;i i n Evnement lmentaire { } [ ]1;i i n
A est une partie de A est un vnement A
A est vide Lvnement A est impossible A = A est gal Lvnement A est certain A =
C A B= C est lvenement A ou B C A B=
C A B= C est lvenement A et B C A B=
A et B sont disjoints Les vnements A et B sont incompatibles A B =
A et B sont complmentaires Les vnements A et B sont contraires B A=
Une probabilit p dfinie sur vrifie :
- Pour tout vnement A, ( )0 1p A . On a ( ) 0p = et ( ) 1p =
- La somme des probabilits des vnements lmentaires vaut 1
- La probabilit dun vnement est gale la somme des probabilits des vnements lmentaires qui le composent
En cas dquiprobabilit,( )
( )( )
Card Ap A
Card=
. Pour deux vnements A et B, ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B = + .
Sils sont incompatibles ( ) ( ) ( )p A B p A p B = + . Pour tout vnement A, ( ) ( )1 p A p A=
Si A et B sont deux vnement, tels que ( ) 0p A , on dfinit la
probabilit conditionnelle de lvnement B sachant A par
( )( )
( )A
p A Bp B
p A
= . En version multiplicative on a
( ) ( ) ( )Ap A B p A p B =
Les probabilits situs sur les sous-branches dun arbre sont des
probabilits conditionnelles
Les vnements A et B sont indpendants lorsque la ralisation de lun ninflue pas sur la ralisation de lautre.
Autrement dit, ( ) ( )A p B p B= ou ( ) ( )B p A p A= , ce qui se traduit en pratique par ( ) ( ) ( )p A B p A p B =
Variable alatoire :Soit lunivers associ une exprience alatoire. On appelle variable alatoire toute application X de dans .
( )X est alors limage de . La loi de probabilit de la variable alatoire X est la fonction
[ ]: ( ) 0,1
( ) ( )
L X
k L k P X k
= =. Elle est souvent prsente dans un tableau :
valeurs possibles1
x 2x nx
probabilit 1p 2p np
Lesprance de cette loi est le nombre not E(X) gal : ( ) 1 1 2 2 .... n nE X p x p x p x= + +
La variance de cette loi est le nombre not V(X) dfini par : V(X)=E[X-E(X)] , autrement dit :
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 2( ) ( ) .... ( )
n nV X p x E X p x E X p x E X = + +
Proprit (formule de Koenig) ( ) ( )2
22 2 2
1 1 2 2
esprance de la variable alatoire X carr de l'esprancede la variable alatoire X
.... n nV X p x p x p x E X = + +
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Lcart-type de cette loi, not , est la racine carre de la variance : ( ) ( ) X V X =
On a toujours ( ) 0V X ; donc on peut toujours calculer ( ) ( ) X V X = . De plus on a toujours ( ) 0X .
Loi binomialeUne preuve de Bernoulli est une exprience alatoire deux issues possibles : Succs et Echec . Si on note p la
probabilit dun succs, alors la probabilit dun chec est gale 1q p= .
Si on considre une une preuve de Bernoulli, de succs de probabilit p, et dchec de probabilit q=1-p , rpte n fois
de manire indpendante, et si on note X la variable alatoire dsignant le nombre de succs obtenus au cours de ces n
rptitions, on dit que la variable alatoire Xsuit la loi binomiale de paramtre n et p , note B(n,p)
Alors pour tout entier k, tel que 0 k n , ( ) (1 )k n k
nP X k p p
p
= =
.
Si Xsuit la loi binomiale B(n,p) alors ( ) E X np= , ( ) (1 )V X np p= et ( ) (1 ) X np p = .
Loi de Poisson ( )L
Une variable alatoire Xsuit la loi de poisson ( )L si et seulement si sa loi de probabilit est dfinie par :
Pour tout entier naturel k, ( )!
k
P X k ek
= = .
Si Xsuit la loi de Poisson L() alors ( )E X = , ( )V X = et ( )X = .
Si n est grand , si p est proche de 0 et si np nest pas trop grand alors on peut approcher la loi binomiale
( ); B n p par la loi de Poisson ( ) L np
Lois continues
Soit fune fonction continue, positive sur un intervalle [ ]; I a b= (respectivement [ [;a + ).On dfinit sur Iune loi de probabilit P dont fest appele densit si :
- ( ) 1
b
a
f t dt = ( respectivement lim ( ) 1x
xa
f t dt +
= )
- Si c et d dsignent les bornes d'un intervalle J, (de la forme [ ] [ [ ] ] ] [; , ; , ; , ;c d c d c d c d ), avec c et d lments de I,
( ) ( )
d
c
p J f t dt = . De plus pour tout intervalle [ [;J c= + , o c appartient I, on a ( ) 1 ( )c
a
p J f t dt =
Loi de dure de vie sans vieillissement :
La loi exponentielle de paramtre (rel strictement positif) a pour densit la fonction f
dfinie sur l'intervalle
[ [0;I = + par ( ) t f t e
= .
Ainsi, pour tout rel 0x , ( )0
x
t p X x e dt
=
Loi uniforme sur [0;1]La loi uniforme P sur [0;1] modlise le choix d'un nombre rel au hasard dans l'intervalle [0;1].
Pour tous rels c et d de [0;1], tels que c d , si I dsigne l'un des quatre intervalles [ ] [ [ ] ] ] [; , ; , ; , ;c d c d c d c d ,
on a ( )p I d c=