post flambment panneau composite

7/23/2019 Post flambment panneau composite

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La construction navale en composites. Paris, 7-9 dcembre 1992

Ih REMER. A ctes de colloques n 15. communication /;

c

1 5

15

M O D LIS A TIO N N U M R IQ U E D U F LA M BA G E D E P A N N EA U X

SANDWICH RAIDIS

J . L . B A T O Z * , T . Q U E S N E L * *

R s u m

- C e t a r ti c le p r s e n t e u n e m t h o d e n u m r i q u e d ' a n a l y s e

d u f l am b a g e d e p a n n e a u x s a n d w i c h s r a i d i s p o u r l a c o n s t r u c t i o n

n a v a l e e n c o m p o s i t e s . L a f o r m u l a t i o n d ' u n l m e n t fini

q u a d r i l a t r e d e c o q u e p l a n e p r e n a n t e n c o m p t e l e c i s a i l l e m e n t

t r a n s v e r s e e s t p r s e n t e d a n s u n e v e r s i o n m u l t i c o u c h e . Q u e l q u e s

t e s t s c l a s s i q u e s p e r m e t t e n t d ' v a l u e r la p e r f o r m a n c e d e c et

l m e n t p o u r d e s p l a q u e s c o m p o s i t e s . La m t h o d e q u i s e r a

u t i l i s e p o u r l ' a n a l y s e d e f l a m b a g e , e s t e n s u i t e e x p o s e .

m o t s c l s : m a t r i a u c o m p o s i t e , s t r u c t u r e s a n d w i c h ,

flambage , p la qu e co qu e , l m en ts f in is

IN TR O D U C TIO N

Le f l a m b a g e d e s p a n n e a u x c o m p o s i t e s r a i d i s e s t u n

p h n o m n e q u i p r o c c u p e la c o n s t r u c t i o n n a v a l e . D a n s u n

p r e m i e r t e m p s , o n v o i t e n q u o i c e t y p e d e c o m p o r t e m e n t e t d e

s t r u c t u r e s u s c i t e u n i n t r t . O n v e i l l e e n p a r t i c u l i e r b i e n

d g a g e r l e s c a r a c t r i s t i q u e s d e c e t y p e d e p a n n e a u e t m e t t r e e n

v i d e n c e c e q u e c e l a i m p l i q u e p o u r l ' t u d e d u p h n o m n e .

E n s u i t e , n o u s p r s e n t o n s la m o d l i s a t io n n u m r i q u e g n r a l e

p o u r l ' tu d e d e c e p h n o m n e . P u i s , n o u s e x p o s o n s p l u s

p r c i s m e n t d e u x b r i q u e s d e c e t t e m o d l i s a t i o n ; l ' l m e n t fin i d e

c o q u e c o m p o s i t e d ' u n e p a r t , le m o d u l e d e r s o l u t i o n e n fla mb ag e

l i n a i r e d ' a u t r e p a r t . C e s o u t i l s n u m r i q u e s n ' t a n t p a s t o u s

U N I V E R S IT E D E T E C H N O L O G I E D E C O M P I E G N E - D i v is io n

M o d l e s N u m r i q u e s e n M c a n i q u e

P r o f e s s e u r d e G n i e M c a n i q u e

I N S T I T U T D E R E C H E R C H E S D E L A C O N S T R U C T I O N

N AV AL E - S e r v i c e R e c h e r c h e M c a n i q u e

I n g n i e u r d e R e c h e r c h e

I5.i

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f inaliss, nous terminons en valuant l 'apport de cette tude et

ses l imites . Les possibil i ts de complter cette analyse et d 'en

exploi ter les rsul ta ts pour la cons truct ion navale sont voques .

INTRT D E LA RECHERCHE ET CONSTRUCTION NAVALE

L' lment s t ructure l de base rencontr dans les

navires es t le panneau ra idi , g lobalement plan, sur des uni ts de

ta i l le moyenne grande. Sur les navires en matr iaux composi tes ,

encore peu nombreux, l 'ut i l isation de ce type de panneau a t

main tenue . Par r appor t aux panneaux r a id i s mta l l iques , une

plaque sandwich se subs t i tue la plaque en tle mta l l ique mince

et les ra idisseurs mta l l iques mes minces font place des

poutres composi tes en U ou en

1.

Ces p an ne au x r a id is

cons t i tuant des ponts ou des c loisons du navire , leur mode de

sollicitation privilgi est la compression. La prvision du

compor tement en f lambage de ces panneaux es t donc un

problme qui se pose l 'ensemble des concepteurs . Afin

d ' apprhender l e compor tement de ces panneaux sous une

sollicitation de compression, il convient donc de bien dfinir les

caractr is t iques de ces s t ructures navales composi tes af in de

dvelopper un modle adapt au problme.

Les panneaux e t ra idisseurs composi tes ont des

lancements plus faibles que ceux mtall iques. Ngliger le

cisail lement transversal devient donc peu ralis te. De plus,

l ' empilage de plus ieurs matr iaux entra ne une discont inui t du

comportement. Cette htrognit favorise l 'effet du cisaillement,

mme dans des s t ructures peu paisses . Ceci impl ique

l 'uti l isation de thories de plaque et poutre prenant en compte le

c isa i l lement t ransverse . Comme dans le cas des panneaux

mtal l iques ut i l i ss en cons truct ion navale , le ra idissement de ces

panneaux compos i tes p rsen te une d i s symt r ie pa r r appor t au

plan de la plaque. Cette dissymtr ie engendre un tat de

f lchissement du panneau ds que l 'on entre en compress ion. Le

panneau ne se t rouve donc pas en compress ion pure au moment

o il flambe.

L ' tude de ces panneaux pour la cons truct ion navale

ne peut donc se faire directement avec des formules et abaques de

type R.d.M. contenant des tapes empir iques fondes sur

l 'exprience en mtall ique. Avant de prvoir le comportement en

flambage sur ce type de structure, i l convient de se forger une

connaissance de ce phnomne. La mise en place d 'out i ls

numr iques prenant en compte la spcif ic i t du problme es t une

manire de l 'aborder .

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DMARCHE DE L TUDE

On s ' in tresse des panneaux du type prsent dans

la figure 1. Vu le savoir-faire en lments finis, on retient cette

mthode . Les panneaux tan t p lans e t gomt r ie r ec tangula i r e ,

on a chois i d 'u t i l i ser des lments quadr i la tres de coques planes

qu atre no eu ds offrant de bon ne s per form ances tan t en

f lexion-cisa i l lement qu 'en membrane. Pour les ra idisseurs

section ferme, un lment de poutre en torsion l ibre a t retenu.

Pour ces lments , on prend en compte l ' aspect matr iau par une

homognisa t ion des poutres e t des plaques . Pour la poutre , un

module de ca lcul value les caractr is t iques d 'un matr iau

homogne or thotrope quivalent suivant les mthodes exposes

p ar Batoz et D ha tt [1] et Gay [2]. Po ur les pla qu es stratifie s,

l 'homognisa t ion se fa i t automatiquement en pr t ra i tement

partir de la donne de l 'empilement, comme on le trouve dans les

rfren ces Bato z et Dh at t [I] et Tsai [3], Po ur la po ut re com me

pour la plaque, le compor tement en c isa i l lement t ransversa i a t

valu [1] et [4]. Pour ces lments, nous avons la possibilit de

les excentrer . La pr ise en compte de ces excentrements passe par

l ' in t roduct ion de couplages membrane- f lexion, ce qui es t cohrent

avec l 'apparition d'effets de flexion ds la mise en compression

d 'un panneau ra idi . Avec ces lments , on peut donc modl iser ce

type de panneau. L ' lment de poutre tant de formulat ion assez

courante [1] , [5] , [6] , nous reviendrons par la suite sur la

formulation plus or iginale de notre lment de coque plane. Ces

lments e t leur module d 'es t imat ion de loi de compor tement ont

tout d 'abord t mis au point e t tes ts dans le domaine s ta t ique

linaire.

Afin d'aborder le comportement en flambage de ces

panneaux, i l convient de met t re en place un module de rsolut ion

en flambage. Vu la prsence de flexion sous sollicitation de

compression, l 'es t imation de la s tabil i t du panneau devrait

pren dre en compte ce ph no m ne . En fa it, le pa nn ea u a u n

compor tement non l inaire gomtr ique ds sa mise sous charge .

Une tude prenant en compte ces non- l inar i ts permet

d'apprhender la s tabil i t de ces s tructures et sur tout de f ixer les

ordres de grandeur pour une analyse non l inaire plus f ine. La

mise au point d 'un module de calcul en f lambage l inaire s 'avre

donc un passage ncessaire. La validit de la charge cr i t ique

fournie pourra t re value pos tr ieurement par un calcul non

l inaire gomtr ique sous forme incrmenta le . Le dveloppement

d 'un modle non l inaire gomtr ique devrai t s ' appuyer sur une

formulat ion lagrangierme tota le permet tant de cons idrer les

grands dp lacements tou t en r es tan t dans le domaine des

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ro ta t ions modres , r a l i s te s pour nos panneaux . Ce module f e r a

suite celui de f lambage l inaire, aujourd'hui en cours de

validation.

PRSENTATION DE L LMENT FINI DE COQUE PLANE

Dans la mesure o le compor tement tudi fa i t

intervenir la fois la membrane et la flexion, l 'lment utilis est

la combinaison d 'un lment de membrane robus te e t d 'un

lment de f lexion-cisail lement performant.

L'lment de membrane est celui propos en lastici t

plan e pa r Wilson et Taylor [7], C'est u n lm ent qu ad rilat re

quatre noeuds de type dplacement pour lequel on a int rodui t des

modes incompat ib les quadra t iques e t qua t r e pa ramt res

indtermins . L 'adjonct ion de ces modes permet une bonne

reprsentation des effets de membrane grce une faible

sensibil i t la distorsion du maillage. De plus, ces modes peuvent

tre l imins au niveau lm entaire (con den sation statiq ue) , ce

qui n 'augmente pas la tai l le du problme par rapport l ' lment

Q4 bilinaire. L'lment de flexion-cisaillement choisi est un

lment Q4 bi l inaire avec reprsenta t ion par t icul ire du

cisa i l lement t ransverse par subs t i tu t ion du champ de

dformations de cisail lement. Cet lment a t prsent par

plusieurs auteurs : Bathe.Dvorkin [8] , Donea [9] . . . , Prathap [10] ,

Batoz.Dhatt [1] . I l uti l ise le champ de dformation qui dcoule du

champ de dplacement de Mindl in-Reissner pour ce qui concerne

la flexion. Pour le cisaillement, c 'est un champ de dformation de

subs t i tut ion qui es t pr is te l que sa moyenne sur chaque ct de

l 'lment soit gale la moyenne de celui utilis partir du

dplacement. Ces deux lments sont la base de celui uti l is

pour notre tude, mais af in de prendre en compte les effets

possibles de couplage membrane-f lexion, c 'est un lment mixant

les deux aspects qui a t dvelopp dans une version

mul t icouche .

A par t i r du cha m p de dplacem ent su iva nt :

-> f u i f uo + zBxl

u = v = vo + z 3y

. w [ wo J

on dfinit le champ de dformation suivant :

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= = + z

< u

o , x o . y

u

o , y

+ v

o . x -

>

+ z

=

=

Df in i co m m e ce la , (e) es t l in a i r e a l o r s q ue {y } es t

c o n s t a n t d a n s l ' p a i s s e u r . L a loi d e c o m p o r t e m e n t e s t d fi n ie

p a r t i r d e l a d o n n e d e s c a r a c t r i s t i q u e s d e l a s t r a t i f i c a t i o n p a r :

[H

m

J

t

+

t

[H

j

]dz [Hm l] = z[H ']dz [Hf] =

t" t" t

z

2

(H'idz

ax ex

av ec [Hi] tel q u e i oy r = [H

1

] \ ey r pour l e i me p l i .

i ox yj lexy J

(voir Figure 2) .

[Hc] e s t l u i d f in i p a r c o m p a r a i s o n d e s n e r g i e s d e

c i s a i l l e m e n t ; l ' u n e a s s o c i e a u m o d l e d e p l a q u e d e M i n d l i n -

R e i s s n e r , l ' a u t r e a s s o c i e l a d i s t r i b u t i o n t h o r i q u e e x a c t e d e s

c o n t r a i n t e s d e C .T . [1 ] [ 4 ] .

L e t r a v a i l v i r t u e l l m e n t a i r e i n t e r n e e s t :

W in t = J ([Hm ] fel + [Hm f] (X))

A

e

+ ([Hml] |e} + [Ht] |X})

+ [HcJ

{

y ) d A

e

A

e

es t l ' a i r e de l ' l ment .

E n u t i l i s a n t l ' i n t e r p o l a t i o n d e l ' l m e n t Q4 WT p o u r u

et v. on a :

u

v

Z Ni

u

i + P l l + P 2

a

3

i=l

l

v

i J l

p

l

a

2

+

p

2 4 .

O n o b t i e n t

{

e

}

= [ B

m

] ( u

n

m

}

+ [ B

m a

( an

P o u r l a p a r t i e f l e x i o n - c i s a i l l e m e n t , o n a :

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{

X

}=

[

B

f

]{ u

n

f

} e t {j =[

N

7] { i

n

} = [ B

c

]

{

u

n

)

a v e c

\y \

c h a m p d e s u b s t i t u t i o n e t < 7

n

>

=


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Pour montrer la val idi t de notre lment , nous

rap po r ton s les rs ul ta ts du tes t de Pagano po ur un 9 cou che s

dcrit da n s [11], Tab leau 1, Figu res 3 et 4. Po ur des p laq ue s telles

que L /H> 10, l e s r su l ta t s son t bo ns ; pou r un lancem ent p lus

faible, l 'lment Q47WT ne permet de fournir que des ordres de

grandeur .

Pour vr if ier le comportement de notre lment dans le

cas de panneaux sandwich , nous avons compar nos r su l ta t s

ceux ana lyti qu es trouv s da n s la rfrence [12] , Tab leau 2.

FLAMBAGE LINAIRE

Pour notre tude du f lambage, nous explicitons le

problme que nous a l lons t re amens rsoudre a ins i que le

moyen d'y donner une rponse. Le f lambage est caractr is par

une augmentat ion dispropor t ionne de la dforme d 'une

s tructure pour un pet i t accroissement de charge . Ceci indique que

le phnomne tudi es t non l inaire , au moins gomtr ique.

La thorie du flambage linaire est une analyse de la

stabilit de la configuration initiale (non dforme) qui suppose un

compor tement las t ique de la s t ructure . Les matr iaux

compos i tes the rmodurc i s sab les u t i l i s s son t compor tement

lastique fragile, ce qui rend l 'hypothse de linarit matrielle

valable . Pour fa i re ce t te tude, nous avons cons idr direc tement

une formulat ion non l inaire gomtr ique (Formulat ion

Lagrangienne Tota le) . Cet te prsenta t ion a pour avantage de

prparer le ter ra in pour une tude non l inaire ul tr ieure . En

effet, le flambage linaire correspond la recherche d'un tat

cr i t ique entre un compor tement l inaire e t un compor tement non

l inaire . Des rens eig nem ents com plm enta ires peuv ent t re

trouvs dans les rfrences [13] et [14].

L'tat d 'quil ibre est caractr is par un minimum de

l 'nergie soit , d 'aprs le pr incipe des travaux vir tuels ,

7t = W = Wint - Wext = 0

Quand on ut i l i se une formulat ion lagrangienne tota le ,

on exprime cette relation sur la configuration initiale, soit :

W = I< e >{S}dV - J< 8u>|fv}dV - I{fs}dS = 0

V V S

F

I.VJ


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= 0 s u r S

u

av ec {S} = [H] |e) [H] co n s t a n t

( S ) c o n t r a i n t e s d e P i o l a - K i r c h o i d e 2 d e e s p c e

et le} = \ti } + le

n l

)

je) c o n t r a i n t e s d e G r e e n L a g r a n g e

C e t t e r e l a t i o n t a n t n o n l i n a i r e , o n n e p e u t

d t e r m i n e r (u) d i r e c t e m e n t . O n r s o u t ce p r o b l m e d e f a o n

i t ra t ive de l a f aon su ivan te :

A p a r t i r d e U

1

s o l u t i o n e s t i m e , o n a :

W (u

J

) ^ 0

o n c h e r c h e A u

1

tel q u e W( u ' + Au ' ) =0

or W( u + A u

]

) = W( u ) + AW( u ' , Au ' ) + 0 (( Au ' )

2

)

AW = {(< e >)[H]{5e|+< 8

2

e>(S}dV -J< 8u>{ fvJdV

e n s u p p o s a n t l e s f o r c es d e c o n t o u r fs i n d p e n d a n t e s d e U .

D a n s l ' e x p r e s s i o n d e W , s e u l s l e s t e r m e s l i n a i r e s e n

d p l a c e m e n t s o n t c o n s e r v s . A i n s i e n e x p l i c i t a n t

(e) =

{ei } +

{ e

n l

}

o n a AW = j(< Se i >) [ H ]{ en ) > [Kj]

V

+ < 8 e

n l

> ) [H] (5

e i

) + < 8e j >) [H ](8e

n l

} > [K

u

]

8fIdV

8^e

n l

> (Si) - < 8u >

> lK

a

]

> l%]

E n n o n l i n a i r e , o n c h e r c h e r s o u d r e : AW ( U

1

, AU

1

) = - W(U')

E n d i s c r t i s a n t , o n a d o n c :

[K

T

]{AUi) = {R(U

J

)|

d 'o )U

2

) = (U

1

) + (AU

1

)

avec (R) = (Fext) - (Fini)

e t [ K

T

] = [ K

1

] + [ K

u

] + [ K

a

] - [ K ^ ]

[Kj]

[K

u

l

[ 1

matr ice de r ig idi t l inai re

m a t r i c e d e s d p l a c e m e n t s i n i t i a u x

m a t r i c e c o n t r a i n t e s i n i t i a l e s

m a t r i c e d e s f o r c e s s u i v e u s e s

160


9/16

Un t a t c r i t i q u e ( s i t u a t i o n d e f l a m b a g e ) e s t c a r a c t r i s

p a r u n e m a t r i c e t a n g e n t e s i n g u l i r e , c ' e s t - - d i r e u n t a t o

[K-p]{Au) = (0) . E n f la m ba ge l in a i re , on s u p p o s e q ue le

c o m p o r t e m e n t d e la s t r u c t u r e e s t l in a i re j u s q u ' l a r e n c o n t r e

d ' u n t a t c r i t i q u e . P a r c o n s q u e n t , c o n n a i s s a n t u

0

s o l u t i o n

l i n a i r e p o u r u n t a t d e c h a r g e m e n t {F ol, o n c h e r c h e

^ c r

=

V i o

On a a lo r s :

[K

T

] - [KJ + X([K

U

]

0

+

[ K ^ Q

- [K

X

\

0

) => [K

T

] ( u

c r

l = {0)

so i t encore :

([K4] +

U[K

U

]

0

+

[ K ^ - [K jJ

0

) ) |u

c r

l = (0)

s o i t l e p r o b l m e a u x v a l e u r s p r o p r e s s u i v a n t r s o u d r e :

([Kj] + Xf,[K

s

] { u

c r

} = (0)

avec [K

s

] m a t r i c e d e s t a b i l i t ( [ K

u

] + [K

c

) - [K5J)

On o b t i e n t l a c h a r g e c r i t i q u e d e f l a m b a g e {F

cr

} =

X

CT

|FQ( avec X

c r

p l u s p e t i t e v a l e u r p r o p r e p o s i t i v e d u p r o b l m e .

No t o n s q u e [ K

t

] {u

c r

} = 0 c o r r e s p o n d 8

2

n = 0 ( c r i t r e c l as s iq ue

d ' a n a l y s e d e s t a b i l i t ) . P o u r i l l u s t r e r c e t t e d m a r c h e , p r e n o n s l e

g r a p h e f o r c e d p l a c e m e n t d e l a f i g u r e 5 .

L o r s d ' u n p r e m i e r c a l c u l s t a t i q u e l i n a i r e , o n o b t i e n t

l a s o l u t i o n ( u

0

, F t , p u i s o n c h e r c h e ( u , F ) c o r r e s p o n d a n t u n t a t

l i m i t e e n t r e u n q u i l i b r e s t a b l e e t u n q u i l i b r e i n s t a b l e . L e f a i t d e

c o n s i d r e r u n c o m p o r t e m e n t i n i t i a l l i n a i r e c o n d u i t t r o u v e r u n

p o i n t d e b i f u r c a t i o n B . C e p o i n t c r i t i q u e p e u t c e p e n d a n t t r e s o i t

u n p o i n t l i m i t e , s o i t u n p o i n t d e b i f u r c a t i o n . Ce l a p e u t t r e m i s e n

v i d e n c e e n e f f e c t u a n t u n e a n a l y s e n o n l i n a i r e o u g r c e a u

p r o d u i t < U

c r

> (F

0

) . S i ce p rodu i t es t nu l , on a a f f a i r e une

b i f u r c a t i o n s i n o n c ' e s t u n p o i n t l i m i t e . L e s l i m i t e s d e c e t t e

a p p r o c h e s o n t m i s e s e n v i d e n c e s u r le g r a p h e . P l u s l ' h y p o t h s e

d e l i n a r i t d u c o m p o r t e m e n t e s t d o u t e u s e , p l u s l a v a l e u r d e l a

c h a r g e c r i t i q u e d e f l a m b a g e e s t s u r v a l u e , m m e s i e n l a s t i q u e

l i n a i r e l e m o d e {U

c r

) d u f l a m b a g e l i n a i r e a l a b o n n e f o r m e . P o u r

v a lu er l a f i ab i li t d 'u n e ch ar ge c r i t iq ue o b te n u e en flambage

l i n a i r e , u n c a l c u l n o n l i n a i r e e s t d o n c n c e s s a i r e e n l ' a b s e n c e d e

r s u l t a t s e x p r i m e n t a u x , m o i n s d 'a v o ir la c e r t i t u d e d u

c o m p o r t e m e n t l i n a i re d e la s t r u c t u r e . C e n ' e s t p a s le c a s p o u r l e s

p a n n e a u x r a i d i s .

161


10/16

CONCLUSION

Cette tude en cours doit permettre, une fois les

dveloppements termins , de mieux prvoir le compor tement des

panneaux ra idis composi tes ut i l i ss en cons truct ion navale . Mais

une confronta t ion avec des rsul ta ts expr imentaux es t un

passage obl ig pour la val idat ion de ce t te tude numr ique. Peu

de m es u re s ay an t t faites ce jo ur , il serait in t re ss an t de

monter une campagne d 'essa is qui pourra i t t re mene en

corr la t ion avec l ' tude ac tuel le . Malheureusement , ce t te tude

exprimentale n 'est pour l ' instant qu'au stade de projet . De toute

faon, l 'outi l numrique en dveloppement doit aboutir un

logiciel complet vocation industrielle. Ce logiciel permettra la

vr if ication de structures en f lambage. L 'tude exprimentale

envisage permettrait non seulement de f iabil iser cet outi l

informat ique mais auss i de complter notre connaissance du

phnomne de f lambage de panneaux ra idis en composi tes . Ains i ,

l ' tabl issement de formules d 'chant i l lonnage ou de

prdimensionnement l 'usage des bureaux d ' tudes devrai t t re

possible.

Pour t e rminer , nous vous donnons r endez-vous dans

quelques temps pour les rsul ta ts de ce t te tude.

162


11/16

[ 1] BAT OZ J .L . , DHAT T G. , 1 9 9 0 , M o d l i s a t i o n d e s S t r u c t u r e s

p a r E l m e n t s F i n i s , H e r m s , V ol 1 e t 2 .

[ 2 ] G AY . D . , 1 9 8 9 , M a t r i a u x C o m p o s i t e s , H e r m s , 2 e d i t i o n .

[ 3 ] T SA I S .W . , M a i 1 9 8 8 , C o m p o s i t e s D e s i g n , T h i n k

C o m p o s i t e s , 4 e d i t i o n .

[ 4 ] Q U E S N E L T . , 1 9 9 0 , F a c t e u r s d e C o r r e c t i o n d e

C i s a i l le m e n t T r a n s v e r s e d a n s l e s P l a q u e s C o m p o s i t e s ,

U .T .C . , Ra p p o r t d e D .E .A .

I 5] L A R D E U R P . , 1 9 9 0 , D v e l o p p e m e n t e t E v a l u a t i o n d e d e u x

N o u v e a u x E l m e n t s F i n i s d e P l a q u e e t C o q u e s C o m p o s i t e s

a v e c I n f l u e n c e d u C i s a i l l e m e n t T r a n s v e r s a l , U . T . C . , T h s e

d e Do c t o r a t .

[ 61 P R Z E M IE N IE C K 1 J . S . , 1 9 6 8 , T h e o r y of M a t r i x S t r u c t u r a l

A n a l y s i s , D o v e r P u b l i c a t i o n s .

[ 7 ] T AYL OR R .L ., BE R E S F O RD P . J . , WI L S ON E .L . , 1 9 7 6 , A

N o n C o n f o r m i n g E l m e n t f o r S t r e s s A n a l y s i s , V o l 1 0 , p p

1 2 1 1 - 1 2 1 9 .

[ 8 ] BAT H E K. J . , DVORKIN E .N . , 1 9 8 5 , A F o u r - N o d e P l a t e

B e n d i n g E l m e n t B a s e d o n M i n d l i n / R e i s s n e r P l a t e T h e o r y

a n d a M i x e d I n t e r p o l a t i o n , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r

N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g , Vol 2 1 , p p 3 6 7 - 3 8 3 .

[ 9 ] DO NEA J . , LAMAIN L .G. , 19 87 , A Modi f i ed R ep r se n ta t io n

of T r a n s v e r s e S h e a r in C" Q u a d r i l a t r a l P l a t e E l m e n t s ,

C o m p u t e r M e t h o d s in A p p l ie d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g ,

V ol 6 3 , p p 1 8 3 - 2 0 7 .

[1 0] P RAT HAP G. , S OM AS H E KA R B.R . , 1 9 8 8 , F i e l d - a n d

E d g e - C o n s i s t e n c y S y n t h e s i s of a 4 N od e Q u a d r i l a t r a l

P l a t e B e n d i n g E l m e n t , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r

N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g V o l 2 6 , p p 1 6 9 3 - 1 7 0 8 .

[11] PAGANO N .J . , HATFIELD S .J . , 1 97 2 , E l as t i c B eh av io r of

M u l t i l a y e r e d B i d i r e c t i o n a l C o m p o s i t e s , A I A A J o u r n a l ,

Vo l 1 0 , N 7 , p p 9 3 1 - 9 3 3 .

[1 2] OWE N D.R . J . , F I GUE I RAS , J .A . , A n i s o t r o p i c E l a s t o - p l a s t i c

F i n i te E l m e n t A n a l y s i s of T h i c k a n d T h i n P l a t e s a n d

S h e l l s , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d i n

E n g i n e e r i n g , V ol 1 9, p p 5 4 1 - 5 6 6

[1 3] CHATE L AIN J . , 1 9 8 7 , A n a l y s e n o n L i n a i r e d e s C o q u e s

M i n c e s I s o t r o p e s e t C o m p o s i t e s p a r E l m e n t s F i n i s

Q u a d r i l a t r a u x , U . T . C ., T h s e d e D o c t o r a t .

[1 4] P OL P . , BAT OZ J .L . , ROE L AN DT J .M . , 1 9 9 0 , Gr a n d s

D p l a c e m e n t s e t I n s t a b i l i t d e s C o q u e s M i n c e s

E l a s t o p l a s t i q u e s , S t r u c o m e 1 9 9 0 , p p 6 6 - 8 2 .

163


12/16

S = L/h

4

10

50

10 000

Modle

Q4y 6x6

Q4y 10x10

Elas l ic i t [ l l ]

Q4y 6x6

Q4y 10x10

Elasticit[l 1]

Q4y 6x6

Q4y 10x10

Elasticit 11]

Q4y 6x6

Q4y 10x10

Elasticit 11]

( / 2 , L / 2 , h / 2 )

0 468

0 472

0 684

0 506

0 509

0,551

0,531

0 535

0 539

0 533

0 537

0 539

CT

y

(L/2 ,L /2 ,2h/5)

0 485

0 506

0 628

0 458

0,461

0 477

0 428

0,431

0 433

0 426

0 429

0,431

(#1/2,0)

0 240

0,241

0 223

0 257

0 258

0 247

0 269

0 270

0 258

0 269

0 270

0 259

(l ?2,0,0)

0 239

0 240

0 223

0 220

0 220

0 226

0 206

0 207

0,219

0 205

0 206

0,219

w

(L/2 .L /2 .0)

4,290

4,281

4,079

1,529

' 1,530

1,512

1,016

1,020

1,021

0 995

0.998

1,000

Tableau 1. Plaque carr composite 9 couches sim plemen t supporte

sous chargement doublement sinusodal.

Comparaison des dplacements et contraintes (Rf. 11)

Table 1. Simply supported square 9-layer composite plate

under double sinusodal loading.

Com parison of displacements and stresses (rf. Il)

peau

F

coeur

C = 1

C = 10

C = 50

Modle

Q4y 6

X

6

Q4y 10 x 10

Elasticit 12]

Q4y 6 x 6

Q4y 10 x 10

Elasticit 12]

Q4y 6 x 6

Q4y 10 x 10

Elasticit[12]

w

175,41

175,62

181,05

40,077

40,088

41,91

16,451

16,429

16,75

( L / 5 L / 2 , - 4h - / 10 )

28,641

28,654

28,54

50,960

50,996

48,61

46,687

46,727

37,15

( L / L / 2 , - 4 h + / 1 0 )

28,641

28,654

28,54

5 096

5,100

4,86

0 934

0 935

0,74

(L/51/2,-h/2)

35,802

45,818

35,94

63,700

63,745

65,08

58,359

58,409

66,90

Tableau 2. Plaque carre (L/h=10) sandwich simplement supporte

sous charge uniforme.

Comparaison des dplacements et contraintes (Rf. 12)

Table l. Simply supported square sandwich plate

(L/h

= 10

under uniform loading.

Comparison of displacements and stresses (rf. 12)

164


13/16

C V R

mousse

b o i s a

Figure 1. Panneau sandwich raidi

Stiffened sandwich panel

Rfr

ncg. \=o)

Figure 2. Plaque stratifie

Laminated panel

165


14/16

Figure 3. Distribution de a

x x

travers l'paisseur.

Test de Pagano pour 9 couches avec L/h = 10.


15/16

E lo s b lo l

QWWT 6x6

V*

%

Figure 4. Distribution de x

x z

travers l'paisseur.

Test de Pagano pour 9 couches avec L/h = 10.

distribution through the thickness.

Pagano s test for 9 loyers, L/h

=

10.

167


16/16

Figure 5. Courbe charge-dplacement de flambage.

Load-displacemen t plot for

buckling

post flambment panneau composite

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