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La construction navale en composites. Paris, 7-9 dcembre 1992
Ih REMER. A ctes de colloques n 15. communication /;
c
1 5
15
M O D LIS A TIO N N U M R IQ U E D U F LA M BA G E D E P A N N EA U X
SANDWICH RAIDIS
J . L . B A T O Z * , T . Q U E S N E L * *
R s u m
- C e t a r ti c le p r s e n t e u n e m t h o d e n u m r i q u e d ' a n a l y s e
d u f l am b a g e d e p a n n e a u x s a n d w i c h s r a i d i s p o u r l a c o n s t r u c t i o n
n a v a l e e n c o m p o s i t e s . L a f o r m u l a t i o n d ' u n l m e n t fini
q u a d r i l a t r e d e c o q u e p l a n e p r e n a n t e n c o m p t e l e c i s a i l l e m e n t
t r a n s v e r s e e s t p r s e n t e d a n s u n e v e r s i o n m u l t i c o u c h e . Q u e l q u e s
t e s t s c l a s s i q u e s p e r m e t t e n t d ' v a l u e r la p e r f o r m a n c e d e c et
l m e n t p o u r d e s p l a q u e s c o m p o s i t e s . La m t h o d e q u i s e r a
u t i l i s e p o u r l ' a n a l y s e d e f l a m b a g e , e s t e n s u i t e e x p o s e .
m o t s c l s : m a t r i a u c o m p o s i t e , s t r u c t u r e s a n d w i c h ,
flambage , p la qu e co qu e , l m en ts f in is
IN TR O D U C TIO N
Le f l a m b a g e d e s p a n n e a u x c o m p o s i t e s r a i d i s e s t u n
p h n o m n e q u i p r o c c u p e la c o n s t r u c t i o n n a v a l e . D a n s u n
p r e m i e r t e m p s , o n v o i t e n q u o i c e t y p e d e c o m p o r t e m e n t e t d e
s t r u c t u r e s u s c i t e u n i n t r t . O n v e i l l e e n p a r t i c u l i e r b i e n
d g a g e r l e s c a r a c t r i s t i q u e s d e c e t y p e d e p a n n e a u e t m e t t r e e n
v i d e n c e c e q u e c e l a i m p l i q u e p o u r l ' t u d e d u p h n o m n e .
E n s u i t e , n o u s p r s e n t o n s la m o d l i s a t io n n u m r i q u e g n r a l e
p o u r l ' tu d e d e c e p h n o m n e . P u i s , n o u s e x p o s o n s p l u s
p r c i s m e n t d e u x b r i q u e s d e c e t t e m o d l i s a t i o n ; l ' l m e n t fin i d e
c o q u e c o m p o s i t e d ' u n e p a r t , le m o d u l e d e r s o l u t i o n e n fla mb ag e
l i n a i r e d ' a u t r e p a r t . C e s o u t i l s n u m r i q u e s n ' t a n t p a s t o u s
U N I V E R S IT E D E T E C H N O L O G I E D E C O M P I E G N E - D i v is io n
M o d l e s N u m r i q u e s e n M c a n i q u e
P r o f e s s e u r d e G n i e M c a n i q u e
I N S T I T U T D E R E C H E R C H E S D E L A C O N S T R U C T I O N
N AV AL E - S e r v i c e R e c h e r c h e M c a n i q u e
I n g n i e u r d e R e c h e r c h e
I5.i
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f inaliss, nous terminons en valuant l 'apport de cette tude et
ses l imites . Les possibil i ts de complter cette analyse et d 'en
exploi ter les rsul ta ts pour la cons truct ion navale sont voques .
INTRT D E LA RECHERCHE ET CONSTRUCTION NAVALE
L' lment s t ructure l de base rencontr dans les
navires es t le panneau ra idi , g lobalement plan, sur des uni ts de
ta i l le moyenne grande. Sur les navires en matr iaux composi tes ,
encore peu nombreux, l 'ut i l isation de ce type de panneau a t
main tenue . Par r appor t aux panneaux r a id i s mta l l iques , une
plaque sandwich se subs t i tue la plaque en tle mta l l ique mince
et les ra idisseurs mta l l iques mes minces font place des
poutres composi tes en U ou en
1.
Ces p an ne au x r a id is
cons t i tuant des ponts ou des c loisons du navire , leur mode de
sollicitation privilgi est la compression. La prvision du
compor tement en f lambage de ces panneaux es t donc un
problme qui se pose l 'ensemble des concepteurs . Afin
d ' apprhender l e compor tement de ces panneaux sous une
sollicitation de compression, il convient donc de bien dfinir les
caractr is t iques de ces s t ructures navales composi tes af in de
dvelopper un modle adapt au problme.
Les panneaux e t ra idisseurs composi tes ont des
lancements plus faibles que ceux mtall iques. Ngliger le
cisail lement transversal devient donc peu ralis te. De plus,
l ' empilage de plus ieurs matr iaux entra ne une discont inui t du
comportement. Cette htrognit favorise l 'effet du cisaillement,
mme dans des s t ructures peu paisses . Ceci impl ique
l 'uti l isation de thories de plaque et poutre prenant en compte le
c isa i l lement t ransverse . Comme dans le cas des panneaux
mtal l iques ut i l i ss en cons truct ion navale , le ra idissement de ces
panneaux compos i tes p rsen te une d i s symt r ie pa r r appor t au
plan de la plaque. Cette dissymtr ie engendre un tat de
f lchissement du panneau ds que l 'on entre en compress ion. Le
panneau ne se t rouve donc pas en compress ion pure au moment
o il flambe.
L ' tude de ces panneaux pour la cons truct ion navale
ne peut donc se faire directement avec des formules et abaques de
type R.d.M. contenant des tapes empir iques fondes sur
l 'exprience en mtall ique. Avant de prvoir le comportement en
flambage sur ce type de structure, i l convient de se forger une
connaissance de ce phnomne. La mise en place d 'out i ls
numr iques prenant en compte la spcif ic i t du problme es t une
manire de l 'aborder .
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DMARCHE DE L TUDE
On s ' in tresse des panneaux du type prsent dans
la figure 1. Vu le savoir-faire en lments finis, on retient cette
mthode . Les panneaux tan t p lans e t gomt r ie r ec tangula i r e ,
on a chois i d 'u t i l i ser des lments quadr i la tres de coques planes
qu atre no eu ds offrant de bon ne s per form ances tan t en
f lexion-cisa i l lement qu 'en membrane. Pour les ra idisseurs
section ferme, un lment de poutre en torsion l ibre a t retenu.
Pour ces lments , on prend en compte l ' aspect matr iau par une
homognisa t ion des poutres e t des plaques . Pour la poutre , un
module de ca lcul value les caractr is t iques d 'un matr iau
homogne or thotrope quivalent suivant les mthodes exposes
p ar Batoz et D ha tt [1] et Gay [2]. Po ur les pla qu es stratifie s,
l 'homognisa t ion se fa i t automatiquement en pr t ra i tement
partir de la donne de l 'empilement, comme on le trouve dans les
rfren ces Bato z et Dh at t [I] et Tsai [3], Po ur la po ut re com me
pour la plaque, le compor tement en c isa i l lement t ransversa i a t
valu [1] et [4]. Pour ces lments, nous avons la possibilit de
les excentrer . La pr ise en compte de ces excentrements passe par
l ' in t roduct ion de couplages membrane- f lexion, ce qui es t cohrent
avec l 'apparition d'effets de flexion ds la mise en compression
d 'un panneau ra idi . Avec ces lments , on peut donc modl iser ce
type de panneau. L ' lment de poutre tant de formulat ion assez
courante [1] , [5] , [6] , nous reviendrons par la suite sur la
formulation plus or iginale de notre lment de coque plane. Ces
lments e t leur module d 'es t imat ion de loi de compor tement ont
tout d 'abord t mis au point e t tes ts dans le domaine s ta t ique
linaire.
Afin d'aborder le comportement en flambage de ces
panneaux, i l convient de met t re en place un module de rsolut ion
en flambage. Vu la prsence de flexion sous sollicitation de
compression, l 'es t imation de la s tabil i t du panneau devrait
pren dre en compte ce ph no m ne . En fa it, le pa nn ea u a u n
compor tement non l inaire gomtr ique ds sa mise sous charge .
Une tude prenant en compte ces non- l inar i ts permet
d'apprhender la s tabil i t de ces s tructures et sur tout de f ixer les
ordres de grandeur pour une analyse non l inaire plus f ine. La
mise au point d 'un module de calcul en f lambage l inaire s 'avre
donc un passage ncessaire. La validit de la charge cr i t ique
fournie pourra t re value pos tr ieurement par un calcul non
l inaire gomtr ique sous forme incrmenta le . Le dveloppement
d 'un modle non l inaire gomtr ique devrai t s ' appuyer sur une
formulat ion lagrangierme tota le permet tant de cons idrer les
grands dp lacements tou t en r es tan t dans le domaine des
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ro ta t ions modres , r a l i s te s pour nos panneaux . Ce module f e r a
suite celui de f lambage l inaire, aujourd'hui en cours de
validation.
PRSENTATION DE L LMENT FINI DE COQUE PLANE
Dans la mesure o le compor tement tudi fa i t
intervenir la fois la membrane et la flexion, l 'lment utilis est
la combinaison d 'un lment de membrane robus te e t d 'un
lment de f lexion-cisail lement performant.
L'lment de membrane est celui propos en lastici t
plan e pa r Wilson et Taylor [7], C'est u n lm ent qu ad rilat re
quatre noeuds de type dplacement pour lequel on a int rodui t des
modes incompat ib les quadra t iques e t qua t r e pa ramt res
indtermins . L 'adjonct ion de ces modes permet une bonne
reprsentation des effets de membrane grce une faible
sensibil i t la distorsion du maillage. De plus, ces modes peuvent
tre l imins au niveau lm entaire (con den sation statiq ue) , ce
qui n 'augmente pas la tai l le du problme par rapport l ' lment
Q4 bilinaire. L'lment de flexion-cisaillement choisi est un
lment Q4 bi l inaire avec reprsenta t ion par t icul ire du
cisa i l lement t ransverse par subs t i tu t ion du champ de
dformations de cisail lement. Cet lment a t prsent par
plusieurs auteurs : Bathe.Dvorkin [8] , Donea [9] . . . , Prathap [10] ,
Batoz.Dhatt [1] . I l uti l ise le champ de dformation qui dcoule du
champ de dplacement de Mindl in-Reissner pour ce qui concerne
la flexion. Pour le cisaillement, c 'est un champ de dformation de
subs t i tut ion qui es t pr is te l que sa moyenne sur chaque ct de
l 'lment soit gale la moyenne de celui utilis partir du
dplacement. Ces deux lments sont la base de celui uti l is
pour notre tude, mais af in de prendre en compte les effets
possibles de couplage membrane-f lexion, c 'est un lment mixant
les deux aspects qui a t dvelopp dans une version
mul t icouche .
A par t i r du cha m p de dplacem ent su iva nt :
-> f u i f uo + zBxl
u = v = vo + z 3y
. w [ wo J
on dfinit le champ de dformation suivant :
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= = + z
< u
o , x o . y
u
o , y
+ v
o . x -
>
+ z
=
=
Df in i co m m e ce la , (e) es t l in a i r e a l o r s q ue {y } es t
c o n s t a n t d a n s l ' p a i s s e u r . L a loi d e c o m p o r t e m e n t e s t d fi n ie
p a r t i r d e l a d o n n e d e s c a r a c t r i s t i q u e s d e l a s t r a t i f i c a t i o n p a r :
[H
m
J
t
+
t
[H
j
]dz [Hm l] = z[H ']dz [Hf] =
t" t" t
z
2
(H'idz
ax ex
av ec [Hi] tel q u e i oy r = [H
1
] \ ey r pour l e i me p l i .
i ox yj lexy J
(voir Figure 2) .
[Hc] e s t l u i d f in i p a r c o m p a r a i s o n d e s n e r g i e s d e
c i s a i l l e m e n t ; l ' u n e a s s o c i e a u m o d l e d e p l a q u e d e M i n d l i n -
R e i s s n e r , l ' a u t r e a s s o c i e l a d i s t r i b u t i o n t h o r i q u e e x a c t e d e s
c o n t r a i n t e s d e C .T . [1 ] [ 4 ] .
L e t r a v a i l v i r t u e l l m e n t a i r e i n t e r n e e s t :
W in t = J ([Hm ] fel + [Hm f] (X))
A
e
+ ([Hml] |e} + [Ht] |X})
+ [HcJ
{
y ) d A
e
A
e
es t l ' a i r e de l ' l ment .
E n u t i l i s a n t l ' i n t e r p o l a t i o n d e l ' l m e n t Q4 WT p o u r u
et v. on a :
u
v
Z Ni
u
i + P l l + P 2
a
3
i=l
l
v
i J l
p
l
a
2
+
p
2 4 .
O n o b t i e n t
{
e
}
= [ B
m
] ( u
n
m
}
+ [ B
m a
( an
P o u r l a p a r t i e f l e x i o n - c i s a i l l e m e n t , o n a :
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{
X
}=
[
B
f
]{ u
n
f
} e t {j =[
N
7] { i
n
} = [ B
c
]
{
u
n
)
a v e c
\y \
c h a m p d e s u b s t i t u t i o n e t < 7
n
>
=
-
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Pour montrer la val idi t de notre lment , nous
rap po r ton s les rs ul ta ts du tes t de Pagano po ur un 9 cou che s
dcrit da n s [11], Tab leau 1, Figu res 3 et 4. Po ur des p laq ue s telles
que L /H> 10, l e s r su l ta t s son t bo ns ; pou r un lancem ent p lus
faible, l 'lment Q47WT ne permet de fournir que des ordres de
grandeur .
Pour vr if ier le comportement de notre lment dans le
cas de panneaux sandwich , nous avons compar nos r su l ta t s
ceux ana lyti qu es trouv s da n s la rfrence [12] , Tab leau 2.
FLAMBAGE LINAIRE
Pour notre tude du f lambage, nous explicitons le
problme que nous a l lons t re amens rsoudre a ins i que le
moyen d'y donner une rponse. Le f lambage est caractr is par
une augmentat ion dispropor t ionne de la dforme d 'une
s tructure pour un pet i t accroissement de charge . Ceci indique que
le phnomne tudi es t non l inaire , au moins gomtr ique.
La thorie du flambage linaire est une analyse de la
stabilit de la configuration initiale (non dforme) qui suppose un
compor tement las t ique de la s t ructure . Les matr iaux
compos i tes the rmodurc i s sab les u t i l i s s son t compor tement
lastique fragile, ce qui rend l 'hypothse de linarit matrielle
valable . Pour fa i re ce t te tude, nous avons cons idr direc tement
une formulat ion non l inaire gomtr ique (Formulat ion
Lagrangienne Tota le) . Cet te prsenta t ion a pour avantage de
prparer le ter ra in pour une tude non l inaire ul tr ieure . En
effet, le flambage linaire correspond la recherche d'un tat
cr i t ique entre un compor tement l inaire e t un compor tement non
l inaire . Des rens eig nem ents com plm enta ires peuv ent t re
trouvs dans les rfrences [13] et [14].
L'tat d 'quil ibre est caractr is par un minimum de
l 'nergie soit , d 'aprs le pr incipe des travaux vir tuels ,
7t = W = Wint - Wext = 0
Quand on ut i l i se une formulat ion lagrangienne tota le ,
on exprime cette relation sur la configuration initiale, soit :
W = I< e >{S}dV - J< 8u>|fv}dV - I{fs}dS = 0
V V S
F
I.VJ
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= 0 s u r S
u
av ec {S} = [H] |e) [H] co n s t a n t
( S ) c o n t r a i n t e s d e P i o l a - K i r c h o i d e 2 d e e s p c e
et le} = \ti } + le
n l
)
je) c o n t r a i n t e s d e G r e e n L a g r a n g e
C e t t e r e l a t i o n t a n t n o n l i n a i r e , o n n e p e u t
d t e r m i n e r (u) d i r e c t e m e n t . O n r s o u t ce p r o b l m e d e f a o n
i t ra t ive de l a f aon su ivan te :
A p a r t i r d e U
1
s o l u t i o n e s t i m e , o n a :
W (u
J
) ^ 0
o n c h e r c h e A u
1
tel q u e W( u ' + Au ' ) =0
or W( u + A u
]
) = W( u ) + AW( u ' , Au ' ) + 0 (( Au ' )
2
)
AW = {(< e >)[H]{5e|+< 8
2
e>(S}dV -J< 8u>{ fvJdV
e n s u p p o s a n t l e s f o r c es d e c o n t o u r fs i n d p e n d a n t e s d e U .
D a n s l ' e x p r e s s i o n d e W , s e u l s l e s t e r m e s l i n a i r e s e n
d p l a c e m e n t s o n t c o n s e r v s . A i n s i e n e x p l i c i t a n t
(e) =
{ei } +
{ e
n l
}
o n a AW = j(< Se i >) [ H ]{ en ) > [Kj]
V
+ < 8 e
n l
> ) [H] (5
e i
) + < 8e j >) [H ](8e
n l
} > [K
u
]
8fIdV
8^e
n l
> (Si) - < 8u >
> lK
a
]
> l%]
E n n o n l i n a i r e , o n c h e r c h e r s o u d r e : AW ( U
1
, AU
1
) = - W(U')
E n d i s c r t i s a n t , o n a d o n c :
[K
T
]{AUi) = {R(U
J
)|
d 'o )U
2
) = (U
1
) + (AU
1
)
avec (R) = (Fext) - (Fini)
e t [ K
T
] = [ K
1
] + [ K
u
] + [ K
a
] - [ K ^ ]
[Kj]
[K
u
l
[ 1
matr ice de r ig idi t l inai re
m a t r i c e d e s d p l a c e m e n t s i n i t i a u x
m a t r i c e c o n t r a i n t e s i n i t i a l e s
m a t r i c e d e s f o r c e s s u i v e u s e s
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Un t a t c r i t i q u e ( s i t u a t i o n d e f l a m b a g e ) e s t c a r a c t r i s
p a r u n e m a t r i c e t a n g e n t e s i n g u l i r e , c ' e s t - - d i r e u n t a t o
[K-p]{Au) = (0) . E n f la m ba ge l in a i re , on s u p p o s e q ue le
c o m p o r t e m e n t d e la s t r u c t u r e e s t l in a i re j u s q u ' l a r e n c o n t r e
d ' u n t a t c r i t i q u e . P a r c o n s q u e n t , c o n n a i s s a n t u
0
s o l u t i o n
l i n a i r e p o u r u n t a t d e c h a r g e m e n t {F ol, o n c h e r c h e
^ c r
=
V i o
On a a lo r s :
[K
T
] - [KJ + X([K
U
]
0
+
[ K ^ Q
- [K
X
\
0
) => [K
T
] ( u
c r
l = {0)
so i t encore :
([K4] +
U[K
U
]
0
+
[ K ^ - [K jJ
0
) ) |u
c r
l = (0)
s o i t l e p r o b l m e a u x v a l e u r s p r o p r e s s u i v a n t r s o u d r e :
([Kj] + Xf,[K
s
] { u
c r
} = (0)
avec [K
s
] m a t r i c e d e s t a b i l i t ( [ K
u
] + [K
c
) - [K5J)
On o b t i e n t l a c h a r g e c r i t i q u e d e f l a m b a g e {F
cr
} =
X
CT
|FQ( avec X
c r
p l u s p e t i t e v a l e u r p r o p r e p o s i t i v e d u p r o b l m e .
No t o n s q u e [ K
t
] {u
c r
} = 0 c o r r e s p o n d 8
2
n = 0 ( c r i t r e c l as s iq ue
d ' a n a l y s e d e s t a b i l i t ) . P o u r i l l u s t r e r c e t t e d m a r c h e , p r e n o n s l e
g r a p h e f o r c e d p l a c e m e n t d e l a f i g u r e 5 .
L o r s d ' u n p r e m i e r c a l c u l s t a t i q u e l i n a i r e , o n o b t i e n t
l a s o l u t i o n ( u
0
, F t , p u i s o n c h e r c h e ( u , F ) c o r r e s p o n d a n t u n t a t
l i m i t e e n t r e u n q u i l i b r e s t a b l e e t u n q u i l i b r e i n s t a b l e . L e f a i t d e
c o n s i d r e r u n c o m p o r t e m e n t i n i t i a l l i n a i r e c o n d u i t t r o u v e r u n
p o i n t d e b i f u r c a t i o n B . C e p o i n t c r i t i q u e p e u t c e p e n d a n t t r e s o i t
u n p o i n t l i m i t e , s o i t u n p o i n t d e b i f u r c a t i o n . Ce l a p e u t t r e m i s e n
v i d e n c e e n e f f e c t u a n t u n e a n a l y s e n o n l i n a i r e o u g r c e a u
p r o d u i t < U
c r
> (F
0
) . S i ce p rodu i t es t nu l , on a a f f a i r e une
b i f u r c a t i o n s i n o n c ' e s t u n p o i n t l i m i t e . L e s l i m i t e s d e c e t t e
a p p r o c h e s o n t m i s e s e n v i d e n c e s u r le g r a p h e . P l u s l ' h y p o t h s e
d e l i n a r i t d u c o m p o r t e m e n t e s t d o u t e u s e , p l u s l a v a l e u r d e l a
c h a r g e c r i t i q u e d e f l a m b a g e e s t s u r v a l u e , m m e s i e n l a s t i q u e
l i n a i r e l e m o d e {U
c r
) d u f l a m b a g e l i n a i r e a l a b o n n e f o r m e . P o u r
v a lu er l a f i ab i li t d 'u n e ch ar ge c r i t iq ue o b te n u e en flambage
l i n a i r e , u n c a l c u l n o n l i n a i r e e s t d o n c n c e s s a i r e e n l ' a b s e n c e d e
r s u l t a t s e x p r i m e n t a u x , m o i n s d 'a v o ir la c e r t i t u d e d u
c o m p o r t e m e n t l i n a i re d e la s t r u c t u r e . C e n ' e s t p a s le c a s p o u r l e s
p a n n e a u x r a i d i s .
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7/23/2019 Post flambment panneau composite
10/16
CONCLUSION
Cette tude en cours doit permettre, une fois les
dveloppements termins , de mieux prvoir le compor tement des
panneaux ra idis composi tes ut i l i ss en cons truct ion navale . Mais
une confronta t ion avec des rsul ta ts expr imentaux es t un
passage obl ig pour la val idat ion de ce t te tude numr ique. Peu
de m es u re s ay an t t faites ce jo ur , il serait in t re ss an t de
monter une campagne d 'essa is qui pourra i t t re mene en
corr la t ion avec l ' tude ac tuel le . Malheureusement , ce t te tude
exprimentale n 'est pour l ' instant qu'au stade de projet . De toute
faon, l 'outi l numrique en dveloppement doit aboutir un
logiciel complet vocation industrielle. Ce logiciel permettra la
vr if ication de structures en f lambage. L 'tude exprimentale
envisage permettrait non seulement de f iabil iser cet outi l
informat ique mais auss i de complter notre connaissance du
phnomne de f lambage de panneaux ra idis en composi tes . Ains i ,
l ' tabl issement de formules d 'chant i l lonnage ou de
prdimensionnement l 'usage des bureaux d ' tudes devrai t t re
possible.
Pour t e rminer , nous vous donnons r endez-vous dans
quelques temps pour les rsul ta ts de ce t te tude.
162
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11/16
[ 1] BAT OZ J .L . , DHAT T G. , 1 9 9 0 , M o d l i s a t i o n d e s S t r u c t u r e s
p a r E l m e n t s F i n i s , H e r m s , V ol 1 e t 2 .
[ 2 ] G AY . D . , 1 9 8 9 , M a t r i a u x C o m p o s i t e s , H e r m s , 2 e d i t i o n .
[ 3 ] T SA I S .W . , M a i 1 9 8 8 , C o m p o s i t e s D e s i g n , T h i n k
C o m p o s i t e s , 4 e d i t i o n .
[ 4 ] Q U E S N E L T . , 1 9 9 0 , F a c t e u r s d e C o r r e c t i o n d e
C i s a i l le m e n t T r a n s v e r s e d a n s l e s P l a q u e s C o m p o s i t e s ,
U .T .C . , Ra p p o r t d e D .E .A .
I 5] L A R D E U R P . , 1 9 9 0 , D v e l o p p e m e n t e t E v a l u a t i o n d e d e u x
N o u v e a u x E l m e n t s F i n i s d e P l a q u e e t C o q u e s C o m p o s i t e s
a v e c I n f l u e n c e d u C i s a i l l e m e n t T r a n s v e r s a l , U . T . C . , T h s e
d e Do c t o r a t .
[ 61 P R Z E M IE N IE C K 1 J . S . , 1 9 6 8 , T h e o r y of M a t r i x S t r u c t u r a l
A n a l y s i s , D o v e r P u b l i c a t i o n s .
[ 7 ] T AYL OR R .L ., BE R E S F O RD P . J . , WI L S ON E .L . , 1 9 7 6 , A
N o n C o n f o r m i n g E l m e n t f o r S t r e s s A n a l y s i s , V o l 1 0 , p p
1 2 1 1 - 1 2 1 9 .
[ 8 ] BAT H E K. J . , DVORKIN E .N . , 1 9 8 5 , A F o u r - N o d e P l a t e
B e n d i n g E l m e n t B a s e d o n M i n d l i n / R e i s s n e r P l a t e T h e o r y
a n d a M i x e d I n t e r p o l a t i o n , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r
N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g , Vol 2 1 , p p 3 6 7 - 3 8 3 .
[ 9 ] DO NEA J . , LAMAIN L .G. , 19 87 , A Modi f i ed R ep r se n ta t io n
of T r a n s v e r s e S h e a r in C" Q u a d r i l a t r a l P l a t e E l m e n t s ,
C o m p u t e r M e t h o d s in A p p l ie d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g ,
V ol 6 3 , p p 1 8 3 - 2 0 7 .
[1 0] P RAT HAP G. , S OM AS H E KA R B.R . , 1 9 8 8 , F i e l d - a n d
E d g e - C o n s i s t e n c y S y n t h e s i s of a 4 N od e Q u a d r i l a t r a l
P l a t e B e n d i n g E l m e n t , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r
N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g V o l 2 6 , p p 1 6 9 3 - 1 7 0 8 .
[11] PAGANO N .J . , HATFIELD S .J . , 1 97 2 , E l as t i c B eh av io r of
M u l t i l a y e r e d B i d i r e c t i o n a l C o m p o s i t e s , A I A A J o u r n a l ,
Vo l 1 0 , N 7 , p p 9 3 1 - 9 3 3 .
[1 2] OWE N D.R . J . , F I GUE I RAS , J .A . , A n i s o t r o p i c E l a s t o - p l a s t i c
F i n i te E l m e n t A n a l y s i s of T h i c k a n d T h i n P l a t e s a n d
S h e l l s , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d i n
E n g i n e e r i n g , V ol 1 9, p p 5 4 1 - 5 6 6
[1 3] CHATE L AIN J . , 1 9 8 7 , A n a l y s e n o n L i n a i r e d e s C o q u e s
M i n c e s I s o t r o p e s e t C o m p o s i t e s p a r E l m e n t s F i n i s
Q u a d r i l a t r a u x , U . T . C ., T h s e d e D o c t o r a t .
[1 4] P OL P . , BAT OZ J .L . , ROE L AN DT J .M . , 1 9 9 0 , Gr a n d s
D p l a c e m e n t s e t I n s t a b i l i t d e s C o q u e s M i n c e s
E l a s t o p l a s t i q u e s , S t r u c o m e 1 9 9 0 , p p 6 6 - 8 2 .
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S = L/h
4
10
50
10 000
Modle
Q4y 6x6
Q4y 10x10
Elas l ic i t [ l l ]
Q4y 6x6
Q4y 10x10
Elasticit[l 1]
Q4y 6x6
Q4y 10x10
Elasticit 11]
Q4y 6x6
Q4y 10x10
Elasticit 11]
( / 2 , L / 2 , h / 2 )
0 468
0 472
0 684
0 506
0 509
0,551
0,531
0 535
0 539
0 533
0 537
0 539
CT
y
(L/2 ,L /2 ,2h/5)
0 485
0 506
0 628
0 458
0,461
0 477
0 428
0,431
0 433
0 426
0 429
0,431
(#1/2,0)
0 240
0,241
0 223
0 257
0 258
0 247
0 269
0 270
0 258
0 269
0 270
0 259
(l ?2,0,0)
0 239
0 240
0 223
0 220
0 220
0 226
0 206
0 207
0,219
0 205
0 206
0,219
w
(L/2 .L /2 .0)
4,290
4,281
4,079
1,529
' 1,530
1,512
1,016
1,020
1,021
0 995
0.998
1,000
Tableau 1. Plaque carr composite 9 couches sim plemen t supporte
sous chargement doublement sinusodal.
Comparaison des dplacements et contraintes (Rf. 11)
Table 1. Simply supported square 9-layer composite plate
under double sinusodal loading.
Com parison of displacements and stresses (rf. Il)
peau
F
coeur
C = 1
C = 10
C = 50
Modle
Q4y 6
X
6
Q4y 10 x 10
Elasticit 12]
Q4y 6 x 6
Q4y 10 x 10
Elasticit 12]
Q4y 6 x 6
Q4y 10 x 10
Elasticit[12]
w
175,41
175,62
181,05
40,077
40,088
41,91
16,451
16,429
16,75
( L / 5 L / 2 , - 4h - / 10 )
28,641
28,654
28,54
50,960
50,996
48,61
46,687
46,727
37,15
( L / L / 2 , - 4 h + / 1 0 )
28,641
28,654
28,54
5 096
5,100
4,86
0 934
0 935
0,74
(L/51/2,-h/2)
35,802
45,818
35,94
63,700
63,745
65,08
58,359
58,409
66,90
Tableau 2. Plaque carre (L/h=10) sandwich simplement supporte
sous charge uniforme.
Comparaison des dplacements et contraintes (Rf. 12)
Table l. Simply supported square sandwich plate
(L/h
= 10
under uniform loading.
Comparison of displacements and stresses (rf. 12)
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13/16
C V R
mousse
b o i s a
Figure 1. Panneau sandwich raidi
Stiffened sandwich panel
Rfr
ncg. \=o)
Figure 2. Plaque stratifie
Laminated panel
165
-
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Figure 3. Distribution de a
x x
travers l'paisseur.
Test de Pagano pour 9 couches avec L/h = 10.
-
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15/16
E lo s b lo l
QWWT 6x6
V*
%
Figure 4. Distribution de x
x z
travers l'paisseur.
Test de Pagano pour 9 couches avec L/h = 10.
distribution through the thickness.
Pagano s test for 9 loyers, L/h
=
10.
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Figure 5. Courbe charge-dplacement de flambage.
Load-displacemen t plot for
buckling