polytechnique mp a xlc corr 2

8/13/2019 Polytechnique MP a XLC Corr 2

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Un corrig du concours X-ENS Maths-A- (XLC) 2013 Filire MP

Mr : HAMANI Ahmed Mohammedia

I-Oprateurs sur les fonctions support fini

1. (a) -Montrons queVest un sous-espace vectoriel de CZ.

.Supp(0) =, donc0 V..Soientf, g V et C, alorsSupp(f+ g) Supp(f) Supp(g)< +, doncf+ g V.On conclut queVest un sous-espace vectoriel de CZ.

(b) Montrons la linarit..f, g CZ, C, k Z,E(f+ g)(k) = (f+ g)(k+ 1) = (E(f) + E(g))(k), doncE(f+ g) =E(f) + E(g), do la linarit.Montrons la stabilit.. Soit k Z, on a k Supp(f) k 1 Supp(E(f)), doncSupp(E(f)) = Supp(f) 1 < +, cequi entraine la stabilit deV parE.

2. Inversilbilit deE..Pourf CZ, on dfinitE(f) CZ parE(f)(k) =f(k 1)k Z..On vrifit facilement queEoE =EoE= idV, doncE GL(V)dinverseE.

3. (a) Montrons que(vi)iZest une base.

.Soientp N,1,...,p Ctel quepi=1

ivi = 0, donck [[1, p]],0 =pi=1

ivi(k) =

pi=1

ii,k =k,

donc(vi)iZ est libre.

.SoitfVde support fini, alors f=

kSupp(f)

f(k)vk, donc(vi)iZest gnratrice.

(b) Calcul deE(vi).k Z,E(vi)(k) =vi(k+ 1) =vi1(k), doncE(vi) =vi1.

4. Montrons lquivalence deman de.HoE= E oH+ 2E i Z,HoE(vi) =EoH(vi) + 2E(vi) i Z, H(vi1) =(i)E(vi) + 2vi1 i Z, (i 1)vi1= (i)vi1+ 2vi1 i Z, (i) =(i 1) 2 i Z, (i) =(0) 2i.

5. Montrons lquivalence deman de.EoF =F oE+ H i Z,EoF(vi) =F oE(vi) + H(vi) i Z, (i)vi = (i 1)vi+ (i)vi i

Z, (i) =(i 1) + (i) i Z, (i) =(0) +i

k=1

(k)

or(k) =(0) 2k, donci

k=1

(k) =i(0) 2i

k=1

k= i(0) i(i +1) =i((0) 1) i2, ce qui donne lgalit

demande.

6. (a) Montrons queV ect(Hn(f)/n N)est de dimension finie.SoitfV, alorsf=

kSupp(f)

f(k)vk, donc n N,Hn(f) =

kSupp(f)

f(k)(k)nvk, ce qui montre que

V ect(H

n

(f)/n N

) V ect(vk, k Supp(f)), ce qui entraine la finitude de la dimension de lespaceV ect(Hn(f)/n N).

(b) Montrons quun s-ev deVstable parHcontient un desvi.SoitWun sous-espace deV non rduit {0}, donc W contientf Vnon nul ,donc de support nonvide, et puisque il est stable par H, il contiendra le sous-espaceV ect(Hn(f)/n N).

On posef=

kSupp(f)

f(k)vk ets = Card(Supp(f))

on obtient donc le systme

Hi(f) =

kSupp(f)

f(k)(k)ivk

0 i < squi est un systme carr de matrice de

VandermondeA = ((k)i)0i


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est non nul, le vecteur colonne (vk)kSupp(f) est aussi non nul, donc W contient lun des vk o k

Supp(f).

7. (a) Inversibilit deF.

SoitF L(V)dfini pari Z, F(vi) = 1

(i)vi1, on vrifie facilement queF

oF =F oF =idV.

(b) Montrons que les ordres deEet Fne sont pas finis.-Supposons queEet Fsont dordre fini, alors n N tel queEn =Fn =idVet , doncv0= E

n(vn) =vn et (0)(1)...(n 1)vn = Fn(v0) =v0, ce qui est absurde.

(c) Noyau deH.-Soit f =

f(k)vk Ker(H), alors H(f) =

f(k)(k)vk = 2

kf(k)vk = 0, ce qui entraine

quef(k) = 0 pour toutk = 0 et par suite f=f(0)v0.Rciproquementv0 K er(H), doncK er(H) =V ect(v0).Montrons queHr =idV .-Sir 1 tel queHr =idV, alors0 =(0)rv0= Hr(v0) =v0, ce qui est absurde.

8. (a) Montrons que C[E]est isomorphe C[X].

-On vrifit sans difficult que lapplication C[X] C[E]

P P(E) est un morphisme dalgbre, il est sur-

jectif par construction.

- Soit P = akXk un lment du noyau, alors P(E) = akE

k = 0, donc i Z P(E)(vi) =akvik = 0 et la libert de la famille (vi)iZ entraine queak = 0pour tout 0 k deg(P), cest

direP = 0.

(b) Montrons que C[F]est isomorphe C[X].

-On vrifit sans difficult que lapplication C[X] C[F]

P P(F) est un morphisme dalgbre, il est sur-


- SoitP =

akXk un lment du noyau, alors P(F) =

akF

k = 0

doncP(F)(v0) =

ak(0)(1)...(k 1)vk = 0, or les(i) sont non nuls et la famille (vi)0ideg(P)est libre, ce qui entraine queak = 0 pour tout0 k deg(P), cest direP = 0.

(c) Montrons que C[H]est isomorphe C[X].

-On vrifit sans difficult que lapplication C

[X] C

[H]P P(H) est un morphisme dalgbre, il est sur-


- Soit P =

akXk un lment du noyau, alors P(H) =

akH

k = 0, donc i Z P(H)(vi) =ak(i)

kvi =

(2i)kakvi = 0 do i Z

ak(2i)k, cest dire P admet une infinit de

racines savoir les(2i), ce qui entraine que P = 0.

II-Intermde

9. Montrons queq2 est une racine primitive.le groupe des racinesl ime de lunit estUl = {1,q,,...ql1}.

On considre lapplication Ul Ul

x x2

est un morphisme de groupes, en effet (xy) = (xy)2 = x2y2 = (x)(y). De plus si x Ker(), alorsx2 = 1et par suite x = 1.Six = 1, alorsk [[0, l 1]]tel queei2k/l = 1 = ei, donc2k l mod(2), ce qui contredit que l estimpaire.On conclut que K er() = {1}, donc est morphisme injectif, de pluscard(Ul) < +n donc est bijectif,et par suite(Ul) =Ul = {1, q2,...,q2(l1)}.

10. (a) Calcul deGlaet digonalisabilit deGa.-La matrice de Ga est une matrice compagnon associe au polynme X

l a, donc de polynmecaractristique(1)l(Xl a), doncGla = aIl.-Les valeurs propres deGasont les racinesl

ime dea C distinctes deux deux, donc diagnalisable.

(b) Valeurs propres et vecteurs propres deGa.-On abl =a, doncSp(G

a) =

{b,bq,...,bql1

}.

-Soitk =bqk une valeur propre deGa et X=

x0...

xl1

K er(Ga Il), alors

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k 0 0 . . . a1 k 0 . . . 00 1 k . . . 0...

. . . . . .

. . . ...

0 0 . . . 1 k

x0x1......

xl1

=

00......0

ce qui entraine que

xl1 kx0= x0 kx1= x1 kx2= ... = xl2 kxl1= 0

et par suiteK er(Ga kIl) =V ect(uk)o uk =

l1k...

2kk1

=l1i=0

l1ik vi

11. Montrons quePaest un projecteur.-Soit i Z tel que i= pl+rla division euclidienne de i par l, alors r= 0l+rest la division euclidienne de rparl, et par suitePa(vi) =a

pvr etPa(vr) =a0vr =vr, ce qui entraine queP2a (vi) =apPa(vr) =apvr =Pa(vi),

doncP2a =Pa.Image dePa.-Im(Pa) =V ect(Pa(vi)/i Z) =V ect(apvi/p Z et i [[0, l 1]]) =V ect(v0,...,vl1) =Wl.

III-Oprateurs quantique12. Montrons lquivalence demande.

- HoE = q2EoH i Z,HoE(vi) = q2EoH(vi) i Z, (i 1)vi1 = q2(i)vi1 i Z, (i 1) =q2(i) i Z, (i) =q2i(0).

13. Inversibilit deH.- Les(i)sont non nuls, on considre lendomorphisme deV dfini parH(vi) =

1

(i)vi.

- On vrifit sans difficult queHoH=H oH =idV.

14. Montrons lquivalence demande.-EoF =F oE+H H1 i Z, (i)vi =(i 1)vi+(i)vi (i)1vi i Z, (i) =(i 1) +(i) (i)1

ce qui donne lgalit souhaite.

15. (a) La priode deetdivisel.-q2l = 1, donci Z, (i + l) =(0)q2i2l =(0)q2i =(i).

- i Z, (i) = (0) +i

k=1

((k) (k 1)), or (k+ l) (k 1 +l) = (k+ l) (k+ l)1 =

(k) (k)1 =(k) (k 1), donc(i + l) =(i).Ceci entraine et sont priodiques sur Z et leur priode divisel.

(b) lest la priode de.q2 est une racine primitive l ime de lunit, donc la priode de est exactementl.

(c) lest aussi la priode de.Sil ]0, l[est une priode de, alors i Z,(0)q2i2l

(0)1q2i+2l

=(0)q2i(0)1q2i, ce qui

entraine aprs calcul queiZ

, (0)2

=q

4i+2l

, donc avec i = 0, puisi = l

, on aura q

2l

=q

2l

,ce qui donneq4l

= 1, et par suitel divise2l,l est impair, doncl divisel, ce qui contredit0 < l < l.

16. (a) galit demande.

C= (q q1)EoF+ q1H+ qH1 = (q q1)(F oE+ H H1) + q1H+ qH1 == (q+ q1)F oE+ qH+ q1H1.

(b) Lesvisont des vecteurs propres deC.Soit i Z, alors C(vi) = (q+ q1)F oE(vi) +qH(vi) +q1H1(vi) = ((q q1)(i 1) +q(i) +q1(i)1)vidoncvi est un vecteur propre deC.

(c) Montrons queCest une homothtie.Pour cela on va montrer que R : i (q q1)(i) + q(i) + q1(i)1 est pridique de priode1 ?

-i Z,R(i + 1) = (q q1)(i) + q(i + 1) + q1(i + 1)1 == (q q1)[(i 1) + (i) (i)1] + qq2(i) + q1q2(i)1 == (q q1)(i 1) + q(i) + q1(i)1 =R(i).donci Z, R(i) =R(0) = (q q1)(0) + (0)q1 + (0)1q.

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(d) Une application bijective.Lapplicationz R((0), z , q ) = (q q1)z+ (0)q1 + (0)1qest une transformtion affine etq2 = 1, doncqq1 = 0, ce qui assure que cette application est bijevtive.

(e) Une application surjective non injective.-Soit lapplication : z q1z+ qz1 + (q q1)(0)est surjective.-Lquation(z) =z est quivalente lquationz2 qzz + q2 + (q2 1)(0) = 0admet au moins deuxsolutions dans C, donc elle est surjective.-De plus(iq) =(iq)et iq=iq, donc nest pas injective.

IV-Oprateurs quantiques modulaires

17. (a) Un commutant avecPaest compatible avecPa.-On aP2a =Pa, si de plus commute avecPa, alorsPaooPa =P

2a o= Pao, donc est compatible

avecPa.

(b) Compatibilit deHet H1 avecPa.-Soiti = pl+ r Z la division euclidienne dei par l.-HoPa(vi) =H(a

pvr) =apH(vr) =a

p(r)vr =ap(r)vr.

-PaoH(vi) =Pa((i)vi) =(i)Pa(vi) =(i)apvr.

or est priodique de priodel, donc(i) =(r), doncH oPa = PaoH, doncPaoH1 =H1oPa, et la

question prcdente assure que HetH1 sont compatibles avecPa.

18. Uqest une sous-algbre.-Soient, Uq, C, et notons lendomorphisme nul deV.-PaooPa= Pao= ,PaoidVoPa = P

2a =Pa = PaoidV.

-Pao( + )oPa= PaooPa+ PaooPa= Pao + Pao= Pao( + ).-PaoooPa= (Pao)ooPa = (PaooPa)ooPa = (Pao)o(PaooPa) = (Pao)o(Pao) == (PaooPa)o= Paoo.doncUq est une sous-algbre de L(V).

19. -Soiti = pl+ r o 0 r < l.Montrons queE Uq.- Sii = 0mod(l), alorsi 1 =pl+ (r 1)o 0 r 1< l 1doncPa(vi1) =a

pvr1 et par suitePaoEoPa(vi) = PaoE(a

pvr) =apPa(vr) =apvr1.etEoPa(vi) =Pa(vi1) =a

pvr1, doncPaoEoPa(vi) =EoPa(vi).-Sii 0mod(l), alors 1 =1l + (l 1), doncP(v1) =a

1vl1et par suite,PaoEoPa(vpl) =PaoE(apv0) =

apPa(v1) =ap1vl1 et PaoE(vpl) =Pa(vpl1) =ap1vl1, doncPaoEoPa(vpl) =EoPa(vpl).Montrons queF Uq.-Sii =l 1mod(l), alorsi + 1 =pl+ (r+ 1) o 1 r + 1 < l, doncPa(vi+1) =apvr+1 et par suite.PaoFoPa(vi) =PaoF(apvr) =ap(r)Pa(vr+1) =ap(r)vr+1

.PaoF(vi) =(i)Pa(vi+1) =ap(i)vr+1.or(i) =(pl+ r) =(r), doncPaoFoPa(vi) =PaoF(vi).

-Sii l 1mod(l), alorsi = pl + (l 1)et i + 1 = (p + 1)l + 0, doncPa(i) =apvl1 et Pa(vi+1) =ap+1v0 et

par suite.PaoFoPa(vi) =PaoF(apvl1) =ap(l 1)Pa(vl) =ap+1(l 1)v0..PaoF(vi) =(i)Pa(vi+1) =(i)ap+1v0, or(i) =(pl+ l 1) =(l 1), doncPaoFoPa(vi) =PaoF(vi).

20. (a) Existence et unicit dun morphisme dalgbre.a: Uq L(Wl)dfinit para() =PaooPa est un morphisme dalgbre.En effet1, 1 Uq, C-(1+ 2) =Pao(1+ 1)oPa= Pao1oPa+ Pao2oPa= a(1) + a(2).-a(1o2) =Pao(1o2)oPa= (Pao1)o(2oPa) = (Pao1oPa)o(2oPa) == (Pao1oP

2a )o(2oPa) = (Pao1oPa)o(Pao2oPa) =a(1)oa(2).

-i [[0, l 1]],a(idV)(vi) =PaoidVoPa(vi) =Pa(vi) =a0vi = vi, donca(idV) =idV.Pour lunicit, supposons que a, a deux morphismes dalgbre qui vrifient lgalit, alors Uq,(a a)()oPa, cest direI m(Pa) K er(a a)(), or Im(Pa) =Wl, doncK er(a a)() =Wl,donc(a a)() = 0, ceci Uq, donca = a.

(b) quivalence demande.Soit Uq.

- K er(a) a() = 0Wl , orI m(Pa) = Wl, donc K er(a)a()oPa =Pao = 0Im() K er(Pa), orPa est une projection, donc K er(Pa) = I m(Pa idV) = V ect(Pa(vi) vi / iZ) = V ect(apvr vi / i Z) o i = pl+ r est la division euclidienne de i par l, ce qui entraine lersultat demand.

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21. (a) Calcul dea(E).On a 1 = (1)l+(l1), donc Pa(v1) =a1vl1 et par suite a(E)(v0) =a(E)oPa(v0) =PaoE(v0) =Pa(v1) =a

1vl1.

(b) Calcul dea(El).r [[1, l 1]],a(E)(vr) =a(E)oPa(vr) = PaoE(vr) = Pa(vr1) =vr1, donc la matrice de a(E)

dans la base de (v0,...,vl1) est

0 1 O... 0

. . .

0 . . . 1a1 0 . . . 0

= tMat(G1a ), donc a(El) = (a(E))l =

a1idV.

(c) Dimension de C[a(E)].Le polynme minimal dea(E)est a = X

l a1, doncdimC[a(E)] =deg(a) =l.

(d) Vecteurs propres dea(E).-Les valeurs propres de a(E) sont les racines l

ime de a1, cest dire Sp(a(E)) = {b1qk / k [[0, l 1]]}o b est une racine lime dea.- Un calcul analogue fait dans la question10 baboutit que, le vecteur propre associ k =b1qk

estuk =

1k

.

..l1k

22. (a) Wcontient lun desvi.-r [[0, l 1]], a(H)(vr) = a(H)oPa(vr) = PaoH(vr) = (r)Pa(vr) = (r)vr = H(vr), donca(H) =H|Wl .- Donc tout sous-espace Wnon nul de Wl stable para(H) est stable parH, ce qui entraine daprsla question6 b,Wcontient lun desvi,0 i < l.

(b) Un cas oWcoincide avecWl.-r [[1, l 1]],a(E)(vr) =a(E)oPa(vr) =PaoE(vr) =Pa(vr1) =vr1-a(E)(v0) =Pa(v1) =a

1vl1, doncj [[0, l 1]],V ect{an(E)(vj) / n N}= Wl.-En conclusion si de plusWest stable par a(E), alorsW contientWl, ce qui entraine que W =Wl.

23. Condition ncessaire et suffisante de nilpotence dea(F).- Soitr [[, ]],a(F)(vr) =a(F)oPa(vr) =PaoF(vr) =(r)Pa(vr+1), donca(F)(vr) =(r)vr+1 sir [[0, l 2]]et a(F)(vl1) =a(l 1)v0.

-La matrice dea(F)dans la base (v0,...,vl1)est

0 0 . . . 0 a(l 1)

(0) 0 . . .

... 0

(1) . . . 0

.... . .

. . . 0O (l 2) 0

doncla(F) =a(0)(1)...(l 1)idV, ce qui entraine que a(F)est nilpotentsi, et seulement sir [[0, l 1]]tel que(r) = 0si, et seulement siR((0), (0), q) =(0)1q2r+1 + (0)q2r1.

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