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Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

1

Polytech’MontpellierDépartement MicroElectronique &

Automatique

Systèmes Electroniques Analogiques III

Chapitre II : Filtrage Analogique 2

Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2

Pascal Nouet / 2009-2010

[email protected]

Filtrage Analogique 2

• Rappels & compléments

• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique

– Filtres de Butterworth

– Filtres de Chebyshev

– Filtres elliptiques

2

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2

Rappels & compléments

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0,5f0 f0 2f0

Récupérer la raie centrale => Atténuation des raies latérales

3


-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-6dB

0,5f0 f0 2f0

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-18dB

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-12dB

0,5f0 f0 2f0

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-24dB

Filtrage => Atténuation des raies latérales + déphasage (retard ou avance)

4

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3


• Un filtre est défini par sa fonction de transfert F(p) qui permet de connaître– La réponse temporelle

X(t) -> Y(t) avec Y(t)=L-1[F(p).X(p)]

– La réponse harmonique (p=jω)

• Module et argument pour représenter la réponse harmonique d’un filtre

• Gabarit pour représenter les spécifications d’un filtre

• Un filtre est dit linéaire s’il ne fait apparaître aucune composante spectrale dans le signal de sortie

5

Rappels & compléments : gabarits

• Passe-bas

– Caractéristique dans la bande passante (ωc)

• Atténuation ou ondulation max : Ap

– Caractéristique dans la bande atténuée (ωs)

• Atténuation min : As

– Bande de transition <-> ordre du filtre

0-Ap

-As

ωc ωs ω

dBjH )( ω

cω sωcsωωcω sωcsωω

6

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4


• Passe-bas

• Passe-haut

0-Ap

-As

ωc ωs ω

dBjH )( ω

cω sωcsωωcω sωcsωω

0-Ap

-As

ωs ωc ω

dBjH )( ω

sω cωcsωωsω cωcsωω

7


• Passe-bande

– Deux bandes atténuées

– Symétrie géométrique => Bande de transition identiques (échelle log)synthèse à l’aide de passe-bande élémentaires

– Pas de symétrie => passe-haut plus passe-bas

1sω 2sω21 cc ωω

0-Ap

-As

ωs1 ωc1 ωc2 ωs2 ω

dBjH )( ω

1sω 2sω21 cc ωω

8

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5


• Passe-bande

• Réjecteur

0-Ap

-As

ωc1 ωs1 ωs2 ωc2 ω

dBjH )( ω

1cω 2cω21 ss ωω1cω 2cω21 ss ωω

1sω 2sω21 cc ωω

0-Ap

-As

ωs1 ωc1 ωc2 ωs2 ω

dBjH )( ω

1sω 2sω21 cc ωω

9

Chapitre II : filtrage analogique 2






10

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6

Filtres à amortissement critique

• Réalisation d’un filtre passe-bas d’ordre n par association de n cellules du premier ordre identiques

2/22 )1(1

)()1(

1)( nn jF

ppF

ωαω

α +=⇒

+=

( ) )1log(10)1(log20)( 222/22 ωαωαω +⋅×−=+−= njF n

dB

Il faut calculer n et αααα nombre de cellules et constante de temps

11


-Ap

-3n

-As

ωc ωs ωdBjF )( ω α

1

-20n dB/décade

0

)1log(10)( 22ωαω +−= njFdB

12

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7


• Equation n°1 : α est déduit de ωc et de Ap

0-Ap

-As

ωc ωs ωdB

jF )( ωn

A

c

p1022 101 =+⇒ ωα

1101 10 −=⇒ n

A

c

p

ωα

110 1022 −=⇒ nA

c

p

ωα

pcdBc AnjF −=+−= )1log(10)( 22ωαω

13

sc

snA

Anp

−=

−+−⇒2

210 1101log10

ωω


• Equation n°2 : on utilise l’expression de α pour calculer le gain en fin de bande de transition

0-Ap

-As

ωc ωs ωdB

jF )( ω

ssdBs AnjF −=+−= )1log(10)( 22ωαω

14

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8

Filtres à amortissement critique : calcul d’un passe-bas

• 1ère étape : on calcule l’atténuation obtenue pour différentes valeurs de n et on retient une valeur « suffisante » pour obtenir une atténuation au moins égale à As en limite de bande de transition.

• 2ème étape : on calcule alors la constante de temps des n sections de premier ordre

• et la fonction de transfert souhaitée

• Le filtre nécessaire est composé de n cellules du premier ordre de constante de temps égale à αααα.

nppF

)1(

1)(

α+=

1101 10 −=⇒ n

A

c

p

ωα

15

Filtres à amortissement critique :Exemple

• Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Ap=3dB)

• Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (As=30dB)

• On calcule la valeur de l’atténuation en limite de bande de transition pour différentes valeur de n

5et 3 avec 1101log10 2

210 ==

−+c

sp

c

snA

Anp

ωω

ωω

2 4 5 10 20 32 64 1001 6,99 12,30 14,15 20,04 26,03 30,11 36,12 40,002 8,49 17,65 21,10 32,55 44,44 52,57 64,60 72,353 9,29 21,38 26,25 42,94 60,63 72,80 90,83 102,454 9,79 24,20 30,33 51,97 75,39 91,58 115,59 131,095 10,14 26,44 33,69 60,03 89,08 109,27 139,27 158,636 10,39 28,27 36,52 67,33 101,93 126,11 162,07 185,30

c

s

ωω

n

16

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9


• On peut alors calculer la constante de temps des 4 sections du premier ordre

• Et en déduire la fonction de transfert souhaitée pour le passe-bas

• Il faut quatre cellules du premier ordre de constante de temps égale à 434 µs

46 )10.4341(1

)(p

pF −+=

µscc

nA

c

p

434434,0

1101

1101 40

310 =⇒=−=−= α

ωωωα

17

G (dB )

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000


46 )10.4341(1

)(p

pF −+=

16

. 230010.434

1 −− ≅ srad

18

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10

Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut

-Ap

-3n

-As

ωs ωc ωdBjF )( ω '

1α

+20n dB/décade

0

( )n

n

p

ppF

)'1(

')(

⋅+⋅=

αα

19


-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

100 1000 10000 100000α1

-Ap

( )n

n

p

ppF

)1()(

⋅+⋅=

αα

nppF

)1(

1)(

⋅+=

α

)(

/1

/1

)(

pb

ph

c

c

ωα

αω =

20

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11


0-Ap

-As

ωc ωs ω

dBjH )( ω

0-Ap

-As

ωs ωc ω

dBjH )( ω

conservéssont sp AetA

)(1

)('pb

phc

c ωαωα

⋅=⋅

α1

'1α

)()(

)()(

pb

pb

ph

ph

c

s

s

c

ωω

ωω =

Sélectivité identique

21


• 1ère étape : transposition du filtre passe-haut

• Exemple :

• 2ème étape : calcul du filtre transposé (passe-bas)– Ordre du filtre nécessaire : n– Calcul de αααα.ωωωωc(pb)

• 3ème étape : calcul de la constante de temps du filtre passe-haut

)()(

1'

phpb cc ωωαα

⋅⋅=

identiques sp AetA

)()(

)()(

pb

pb

ph

ph

c

s

s

c

ωω

ωω =

)()( ; )()( phpbphpb sccs ωωωω ==

22

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12

Exercice

• Calculer la fonction de transfert du filtre à amortissement critique correspondant au gabarit ci-contre.

• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.

0-3

-40

103 104 ω (rd/s)

dBjH )( ω

23







24

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13

Généralités

• On réalise un filtre de Butterworth par la mise en cascade de sections du 2nd ordre avec éventuellement une section du 1er ordre pour les ordres impairs

• Un filtre de Butterworth d’ordre nest de la forme :

• Ou Bn(p) est un polynôme de Butterworth dont les propriétés principales sont :–

– est une fonction strictement croissante

n

n jB

2

0

1)(

+=

ωωω

0pour n 2)( ωωω =∀=jBn

)( ωjBn

25

)()(ou

)(

1)( 0

pB

p

pHpB

pHn

n

phn

pb

==ω

Les polynômes de Butterworth

• Un premier ordre est un filtre de Butterworth

• Butterworth du 2nd ordre

– avec m=0.707 :

20

222

20

22

00

4121)(

ωω

ωω

ωω

ωωω mjj

mjF +

−=

++=

( )122

1)( 22

0

2

40

4

−++= mjFωω

ωωω

4

0

1)(

+=ωωωjF

26

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14

Les polynômes de Butterworth

• Butterworth du 3ème ordre : une section du 2nd

ordre avec m=0,5 et une section du premier ordre

• Les polynômes Bn(p) principaux avec– 2ème ordre : (1+1.414p’+p’2) – 3ème ordre : (1+p’+p’2) (1+p’)– 4ème ordre : (1+1.848p’+p’2) (1+0.765p’+p’2)– 5ème ordre : (1+1.618p’+p’2) (1+0.618p’+p’2) (1+p’)

• Passe-bas :

=

+−

+=

02

0

2

0

11)(ωω

ωω

ωωω jj

jB

6

0

1

+

ωω

0

'ωωj

p =

)(1

)(pB

pFn

=

27

Synthèse d’un passe-bas

• 3ème ordre avec p=jω/ωc

-12

-9

-6

-3

0

0,1 1 10

1er ordre (dB)2nd ordre (dB)3ème ordre (dB)

)1)(1(1

)( 2 ppppF

+++=

dBpF )(

0ωω

28

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15


-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0,1 1 10

2nd ordre 1 (dB)

2nd ordre 2 (dB)4ème ordre (dB)

)765,01)(848,11(1

)( 22 pppppF

++++=

dBpF )(

0ωω

29


• Cas d’un filtre ayant une atténuation maximale de 3 dB dans la bande passante

30

-3dB=-Ap

-As

ωc=ω0 ωs ωdBjF )( ω

-20n dB/décade

0

n

S

SjF2

0

1

1)(

+

=

ωω

ω

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16


• On calcule l’ordre du filtre à partir de l’atténuation souhaitée en limite de bande de transition (début de bande d’arrêt)

101log1log20

2

0

2

0

s

n

ss

n

s AA =

+⇒−=

+−

ωω

ωω

−=

⋅⇒=

+⇒ 110loglog2101 10

0

10

2

0

ss As

An

s nωω

ωω

31

−=⇒

0

10

log.2

110log

ωωs

As

n On choisit n comme l’entier immédiatement supérieur…

Exemple

• Pulsation de coupure : ω0 = 103 rd/s (Ap = -3dB)

• Bande atténuée : ωs = 5.103 rd/s (As = -30dB)

• Il suffit de déduire l’ordre nécessaire de l’atténuation souhaitée As et du rapport entre ωωωωs

et ωωωω0

• On choisit l’ordre entier immédiatement supérieur n=3

( )( )

( )( ) 15,25log.2

999log

5log.2

110log

log.2

110log 3

0

10

==−=

−=

ωωs

As

n

32

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17

Exemple

• Par rapport à l’utilisation de sections du premier ordre :– 3ème ordre suffit - Gain dans la bande plus stable -

Bande de transition plus faible

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

-20

-15

-10

-5

0

5

0 500 1000 1500 2000

Butterworth

4 cellules du 1er ordre

33

Exemple

• avec gain unitaire

+

-Vi

100n

10k

V0

+

-

C1=100nC2=400n

R=5k R=5k

srdc /10001

1

== ωτ

srdCCR

/10001

210 ==ω

121

21

1

2 ===C

C

mQ

34

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18

1000rd/s 1

0 ==RC

ω

Exemple

• avec gain égal à 2

V0

+

-

5k5k

200n200n

5k 5k

+

-Vi

100n

10k

13

121 =

−==

vAmQ

srdc /10001

1

== ωτ

35

Filtres de Butterworth généralisé

• On souhaite fixer librement l’atténuation dans la bande passante polynôme généralisé

• 1ère étape : calcul de εεεε à ωωωω=ωωωωc donnant une atténuation Ap en limite de bande passante

n

cn jB

2

21)(

+=

ωωεω

( ) 11010

1log1log20 1022 −=⇒=+⇒=+pA

pp

AA εεε

36

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19

Filtres de Butterworth généralisé

• 2ème étape : on calcule l’ordre du filtre à partir de l’atténuation souhaitée en limite de bande de transition

• 3ème étape : calcul de ω0

101log1log20

2

2

2

2 s

n

c

ss

n

c

s AA =

+⇒=

+

ωωε

ωωε

−

=⇒

−=

⋅⇒=

+⇒

c

s

A

A

c

sA

n

c

s

s

s

s

nn

ωω

ε

εωω

ωωε

log.2

110log

110loglog2101

2

10

2

1010

2

2

n

cnn

c

n

cn jB

εωω

ωωε

ωωεω =⇒=⇒

+= 02

02

22

2 11)(

37

Exemple de synthèse d’un passe-bas dans le cas général (Ap≠3dB)

• Exemple :– Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Ap = -1dB)

– Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (As = -30dB)

• 1ère étape : calcul de ε à ω=ωc

• 2ème et 3ème étape : calcul de n puis calcul de ωωωω0

565,25log.2

110log 2

3

=

−

=ε

n

509,0110 10 =−=pA

ε

srdn

c /12520 ==ε

ωω

38

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20

Exemple de synthèse d’un passe-bas dans le cas général (Ap≠3dB)

• On utilise alors le polynôme classique pour un ordre 3

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

-20

-15

-10

-5

0

5

0 500 1000 1500 2000

39

Autres types de réponses

• Réponse de type passe-haut– On calcule le passe-bas de même

sélectivité et de même pulsation de coupure

– On détermine ε et n pour le passe-bas

– On calcule alors ω0

– On assemble alors les cellules passe-haut correspondant au polynôme de degré n

• Réponse de type passe-bande et réjecteur– On calcule un filtre passe-bas et un filtre passe-haut

que l’on met en cascade ou en parallèle

nc εωω =0

conservéssont sp AetA

c

s

s

c pb

ph ωω

ωω )(

)(=

40

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21

Exercice : Passe-haut #1

• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth correspondant au gabarit ci-dessous.


0-0,5

-30

1 4 freq. (kHz)

dBjH )( ω

41

Exercice : Passe-bas #1



0-0,5

-30

10 50 freq. (kHz)

dBjH )( ω

42

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

22

Exercice : Passe-bas #2



0-1

-20

20 80 freq. (kHz)

dBjH )( ω

43

Exercice : Passe-bande #1

• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth passe-bande ayant les caractéristiques suivantes :– Bande passante à -3dB : [500Hz ; 2350Hz]

– Gain dans la BP libre

– Bande d’arrêt basse fréquence

• Atténuation de 50dB pour f<150Hz

– Bande d’arrêt haute fréquence

• Atténuation de 50dB pour f>10kHz


44

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23


• Rappels & compléments– Généralités

– Filtres actifs du 1er ordre

– Filtres actifs du 2nd ordre





45

Filtres de Chebyshev

• Il existe deux types de filtres de Chebyshev et donc deux types de fonction de transfert pour des filtres passe-bas :– Chebyshev de type 1 qui

présente des oscillations dans la bande passante ε permets de régler le taux d’ondulation

– Chebyshev de type 2 qui présente des oscillations dans la bande d’arrêt

– Cn(x) est un polynôme spécifique d’ordre n

( )cnC

HjH

ωωεω

220

1)(

+=

( )( )ωωε

ωωεωcn

cn

C

CHjH

2201

)(+⋅=

46

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24


• Les polynômes de Chebyshev

• Propriétés de ces polynômes– Cn(1) = 1 quel que soit n

– Cn(0) = 0 pour les ordres impairs

– Cn(0) = ±1 pour les ordres pairs

– Oscillations entre ±1 du polynôme entre x=0 et x=1

– augmentation monotone du polynôme pour x>1

xxxC

xxC

xxC

34)(

12)(

)(

33

22

1

−=

−=

=

...

52016)(

188)(35

5

244

xxxxC

xxxC

+−=

+−=

47


• Les polynômes de Chebyshev pour n = 2 à 5

-5

0

5

10

15

20

25

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

2nd ordre3ème ordre4ème ordre5ème ordre

-5

0

5

0,0 0,5 1,0 1,5

48

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25

Filtres de Chebyshevpasse-bas de type 1

• Variations dans la bande passante– ω/ωc ≤ 1 Cn

2(x) est toujours inférieur à 1

• Variations en dehors de la bande passante– ω/ωc > 1 Cn(x) est positif et croissant

( )cnC

HjH

ωωεω

220

1)(

+=

2

00

1)(

εω

+>> H

jHH

( )cnC

HjH

ωωεω

⋅→ 0)(

49

Chebyshev type I : 4ème ordre (-3dB)

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0,1 1 10

2nd ordre 1 (dB)

2nd ordre 2 (dB)

4ème ordre (dB)

Butterworth (dB)

50

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

26

Chebyshev type I : 4ème ordre (-3dB)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0,1 1 10

2nd ordre 1 (dB)

2nd ordre 2 (dB)

4ème ordre (dB)

Butterworth (dB)

51

Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I

• Etape 1 : le taux d’ondulation Ap (en dB) dans la bande passante permet de calculer ε

( )

( )( )( ) 9976,031log10

5089,011log10

3493,05,01log10

1)10(110

2

2

2

202

=⇒=+=⇒=+

=⇒=++

≥≤<⇒≤≤<

εεεε

εεε

dB

dB

dB

HxHxCn

( )cnC

HjH

ωωεω

220

1)(

+=

110 10 −=⇒pA

ε

52

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

27


• Etape 2 : détermination de l’ordre du filtre à partir de la largeur de la bande de transition et de l’atténuation requise en limite de bande d’arrêt.

• Solution 1( )( ) srn AC >+⇒ ωε 221log10

c

sr ω

ωω =

( ) gCn

sA

rn =−>⇒2

10 110 que tel chercheOn

εω

( )rn

sC

HjH

ωεω

22

0

1)(

+=

53


• Solution 2, on calcule

• On choisit alors la valeur de n entière et immédiatement supérieure

2

10/ 110

ε

ωωω

−=

=

As

c

sr

g

( )( )1log

1log2

2

−+−+=

rr

ggn

ωω

54

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

28


• Exemple :– Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Amax=3dB)

– Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (Amin=30dB)

• 3dB ε=1 :

5

6,31110

2

10min

==

≈−=

c

sr

A

g

ωωω

ε ( )( ) 808,1

1log

1log2

2

=−+−+=

rr

ggn

ωω

gCxxC

CxxC

>=⇒−=

=⇒=

49)5(12)(

5)5()(

22

2

11

55

( )dBjH s 8,33)49log(20

49

2

12521

2)(

2=→=

−×+=ω


• On choisit le polynôme correspondant à n et ε et on effectue le remplacement suivant :

• On vérifie :

708,0645,0

1)( 2

+

+

=

cc

jjjH

ωω

ωω

ω

( )

( )2

2

22

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

22

2

22

2

2

22

121

2

42421

1

708,01

1)(

708,0708,02645,0

1

708,0645,0

1)(

−+

=

++−

=

++−

=

++×−

=

−+

=

ccccc

cccc

jH

jH

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

⇒→c

jp

ωω

56

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

29


• Par rapport à l’utilisation de sections du premier ordre ou d’un filtre de Butterworth:– 2nd ordre suffit - Gain dans la bande moins stable

-20

-15

-10

-5

0

5

0 500 1000 1500 2000

1er ordre(dB)Butterworth (dB)Chebyshev I (dB)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

1er ordre(dB)Butterworth (dB)Chebyshev I (dB)

57


-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

100 1000 10000 100000

1er ordre(dB)

Butterworth (dB)

Chebyshev I (dB)

58

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

30

Implantation matérielle

• On part de la fonction de transfert du 2nd ordre

• On fait ensuite apparaître le dénominateur caractéristique d’un 2nd ordre synthétisable

1841,0

767,0841,0

412,1

1708,0645,0

708,01

708,01

)( 22

+

⋅+

⋅

=

+

+

=

cccc

jjjjjH

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

708,0645,0

1)( 2

+

+

=

cc

jjjH

ωω

ωω

ω

59

cωω ⋅=⇒ 841,00 304,1767,02 =⇔=⇒ Qm


• Sallen-Key Passe-bas à gain unitaire (Av=1) -

+ VS

RR(Av-1)

RC2RVE

C1

rd/s 19321

841rd/s8,6

11

8,6304,12

1

2

1

1121

0

1

2

1

2

=⇒===

=⇒===

RCRCCCR

C

C

C

C

mQ

ω

nFCnFCkR 3104610 21 =⇒=⇒Ω=

60

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

31


• Sallen-Key Passe-bas symétrique -

+ VS

RR(Av-1)

RC

RVE

C

841rd/s1

233,2767,03

304,13

1

2

1

0 ==

=⇒=−⇒

=−

==

RC

AA

AmQ

vv

v

ω

nFCkR 12010 =⇒Ω=

61


-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

10 100 1000 10000

2

2

2

121

2)(

−+

=

c

jH

ωω

ω

2

841841767,01

1)(

++=

ωωω

jjjH

62

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

32

dBjH )( ω

)(Hzf

63

Gain max : 2,96dB

-31dB @ 5 krad/s

0dB @ 1000 rad/s

Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-haut de type I

• On détermine l’ordre du filtre passe-bas de même sélectivité.

• On choisit le polynôme correspondant à n et εmais cette fois-ci on effectue le remplacement suivant :

2

10/ 110

ε

ωωω

−=

=

As

s

cr

g

( )( )1log

1log2

2

−+−+=

rr

ggn

ωω

ωωj

p c→

64

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

33

Exercice

• Concevoir un filtre passe-haut ayant les caractéristiques suivantes :– Fréquence de coupure : 1kHz

– Gain dans la BP : libre

– Ondulation maximale dans la BP : 3dB

– Atténuation de 20dB minimum pour f<600Hz

• Calculer le filtre de Chebychev correspondant

• Proposer une implantation à l’aide de cellules de Sallen-Key

65







66

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

34

Les filtres actifs principaux67

5 sections du 1er ordre68

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

35

Filtres de Butterworth (n=5)69

Filtres de Chebyshev type I (n=5)70

Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009

36

Filtres de Bessel (n=5)71

polytech’montpellier département microelectronique ...nouet/homepage/pdf_files/sea3-2.pdf ·...

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