Recherche Oprationnelle:Programmation dynamique, chanes de Markov, les dattenteCours de Tronc Commun Scientique 2ANotes de cours et exercices corrigsFrdric SURsur@loria.frhttp://www.loria.fr/sur/enseignement/RO/cole des Mines de Nancy2011-2012Avertissement. Ce document est constitu de notes de cours dans une version pr-liminaire. Il contient vraisemblablement des coquilles et erreurs, merci de bien vouloirme les signaler.Il sagit dun rsum trs condens de notions dont ltude approfondie ncessiteraitbien plus de temps. On essaie ici de donner les lments simplis, mais autant que pos-sible rigoureux, de la thorie qui permettent daller au del de lapplication de formules.Nhsitez pas consulter la littrature ddie.Table des matires1 La programmation dynamique 51.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 La distance ddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Problme de location de skis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 quilibrage de charge sur deux machines en parallle. . . . . . 71.1.4 Gestion de stocks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Programmation dynamique et plus court chemin . . . . . . . . 82 Les chanes de Markov 92.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Dnitions et premires proprits. . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Reprsentation graphique des chanes de Markov . . . . . . . . 122.2.3 Chanes rductibles et irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Chanes priodiques et apriodiques . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Comportement asymptotique des chanes ergodiques . . . . . . . . . . 172.4 Le thorme des coupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Comportement asymptotique des chanes absorbantes . . . . . . . . . . 212.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6.1 Lanatomie dun moteur de recherche (examen 2010-2011). . . 253 Les les dattentes 273.1 Rappels : loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Caractristiques dune le dattente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 La formule de Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.1 Processus de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Modlisation dans le cadre Markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5.1 La proprit PASTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5.2 Les clients et les serveurs sont sans mmoire . . . . . . . . . . 363.5.3 Les les dattente M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383TABLE DES MATIRES 43.5.4 Processus de naissance et de mort . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6.1 File M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.2 File M/M/1/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.3 File M/M/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6.4 File M/M/m/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7 Les les M/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7.1 Processus de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7.2 File M/G/1 gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8 Rseaux de les dattente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.9.1 Paradoxe de lautobus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.9.2 Dimensionnement dun service-client . . . . . . . . . . . . . . 553.9.3 Vlos en libre service (rattrapage 2010-2011) . . . . . . . . . . 553.9.4 Chez le mdecin (examen 2010-2011) . . . . . . . . . . . . . . 563.9.5 Problme de maintenance informatique (examen 2010-2011). . 563.9.6 tude dune le M/G/1 (examen 2010-2011) . . . . . . . . . . 574 Correction des exercices 594.1 La programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.1.1 La distance ddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.1.2 Problme de location de skis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.3 quilibrage de charge sur deux machines en parallle. . . . . . 634.1.4 Gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.5 Programmation dynamique et plus court chemin . . . . . . . . 664.2 Les chanes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.1 Lanatomie dun moteur de recherche . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Les les dattente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.1 Paradoxe de lautobus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.2 Dimensionnement dun service-client . . . . . . . . . . . . . . 704.3.3 Vlos en libre service . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.4 Chez le mdecin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.5 Problme de maintenance informatique . . . . . . . . . . . . . 734.3.6 tude dune le M/G/1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75F. Sur 2011-2012Chapitre 1La programmation dynamiqueDans cette version du polycopi, ce chapitre contient uniquement les exercices.1.1 Exercices1.1.1 La distance ddition. . .aussi appele distance de Levenshtein.Soient x et y deux mots sur un alphabet, de longueurs respectives m et n.On noted(x, y) le nombre minimal dinsertions ou de suppressions de caractrespour passer de x y. Lentier d(x, y) est appel distance ddition entre les mots x et y.Par exemple, on peut passer de mines mimes des deux manires suivantes :mines mies (suppression) mimes (insertion)mines mins (suppression) mimns (insertion) mimens (insertion) mimes (suppression)La premire solution ncessite 2 insertions/suppressions, la seconde 4.Dans cet exemple, d(mines,mimes) = 2.Questions.1. Montrez que d tablit bien une distance entre mots.2. Montrez que |mn|d(x, y)m+n.3. Pour i {0, 1, 2, . . . , m} et j {0, 1, 2, . . . , n}, on note xi et yj les prxes de xet y de longueurs respectives i et j, avec la convention x0=y0=, o est lemot vide.Quelles sont les valeurs de d(xi, y0) et d(x0, yj) ?5CHAPITRE 1. LA PROGRAMMATION DYNAMIQUE 64. Soient i {1, . . . , m} et j {1, . . . , n}. Montrez que :d(xi, yj) = min_d(xi1, yj1) + 2 i,j, d(xi1, yj) + 1, d(xi, yj1) + 1_, (1.1)oi,jvaut 0 si lai-me lettre dex et laj-me lettre dey sont identiques, et 1sinon.5. Estimezlacomplexitdelalgorithmercursifimplmentant directement lquation (1.1). On pourra raisonner sur deux mots de mme longueur n.Remarquez que dans cet algorithme les mmes calculs sont faits plusieurs fois.6. Dduisez de lquation (1.1) un algorithme de calcul de d(x, y) tel que le nombredoprations et loccupation mmoire soient en O(mn).7. Calculez d(ingenieur, igneneur).8. Trouvez une suite dopration ralisant le nombre minimal doprations dans lecas prcdent.Remarque : On dnit aussi la distance ddition comme le nombre minimal dinser-tions, suppressions ou substitutions (ces dernires sont bien sr possibles dans le cadrede lnonc, mais cotent ici 2 oprations). On peut aussi donner des cots diffrents chaque opration. Le principe de la rsolution par programmation dynamique reste lemme.La distance ddition est utilise dans de nombreux contextes (par exemple les cor-recteurs dorthographe des logiciels de traitement de texte). Une variante est galementutilise dans les problmes dalignement de gnomes en biologie molculaire.1.1.2 Problme de location de skisOn cherche attribuer m paires de skis (de longueurs l1, l2, . . . , lm) n skieurs (detailles t1, t2, . . . , tn), de manire minimiser la somme des diffrences entre la longueurdes skis et la taille des skieurs.Bien sr, nm.On suppose sans perte de gnralit que les li et les ti sont classs par ordre croissant.Le problme consiste trouver une fonction (dallocation) a telle que le skieur noise voit attribu la paire de skis noa(i) et qui minimise :n

i=1tila(i)La mme paire de skis nest pas attribue deux skieurs, donc a est injective.F. Sur 2011-20127 1.1. EXERCICESQuestions.1. Montrez que loptimum est atteint par une fonctiona croissante. On supposeradonc que laffectation des skis des i premiers skieurs se fait parmi les j premirespaires de skis.2. Soit Si,j le minimum de la fonction-objectif du problme restreint aux i premiersskieurs et j premires paires de skis.Montrez queS(i, j) = min_S(i, j 1), S(i 1, j 1) +|tilj|_.3. Comment procderiez-vous pour calculer la solution optimale ?4. Quelle est la complexit de cet algorithme ?1.1.3 quilibrage de charge sur deux machines en parallleOn considre deux machines (par exemple des machines industrielles, mais aussides processeurs) sur lesquelles sont excutes n tches de dures t1, t2, . . . tn.On souhaite rpartir les tches sur chacune des machines de manire ce quellessarrtent au plus tt.Questions.1. Justiezquelebutestdepartitionnerlensembledesntchesendeuxsous-ensembles A1 et A2, lun sexcutant sur la machine 1, lautre sur la machine 2,tels queDT(A1, A2) = max_

iA1ti,

iA2ti_soit minimum.2. Notons minDT(k, T) le temps darrt minimal ralisable en plaant les nk der-nires tches, lorsque lon impose 1) que les k premires tches ont t rpartiessur les deux machines (pas forcment de manire optimale) et 2) que la diffrence(absolue) entre les temps darrt des machines 1 et 2 est T>0 si on considreuniquement les k premires tches.Que vaut minDT(n, T) ?tablissez une formule de rcurrence (ascendante en k) sur minDT.3. Application numrique :k 1 2 3 4tk1 2 2 6Quel est lordonnancement optimal ?Recherche OprationnelleCHAPITRE 1. LA PROGRAMMATION DYNAMIQUE 81.1.4 Gestion de stocksOn cherche grer le stock dun produit unique sur n units de temps.On note :xk le nombre dunits disponibles en dbut de priode k.uk le nombre dunits commandes (reues immdiatement) en dbut de priode kwk le nombre dunits demandes par le client en dbut de priode k.On suppose que les demandes sont connues (par un historique par exemple), et que lestock a une capacit maximale C. Si une demande ne peut tre satisfaite, une pnalitdoit tre paye mais le client se tourne vers un autre fournisseur.Les cots associs sont :cot de rapprovisionnement : c(uk)=K uk+ c uk, o K est le cot xe decommande ((uk) = 1 si uk> 0, 0 sinon) et c le cot unitaire de commande ;cot de gestion du stock : r(xk, uk, wk) = h max(xk+ukwk, 0) p min(xk+uk wk, 0), o r est le cot unitaire de stockage et p le cot des pnalits entra-nes par une pnurie.On cherche dterminer les commandes uk de manire minimiser les cots. Onveut un stock nul la n des n units de temps.Question.Montrez que ce problme doptimisation satisfait le principe de Bellman en crivantla formule de rcurrence adquate.1.1.5 Programmation dynamique et plus court cheminProposez un algorithme utilisant la programmation dynamique pour calculer la dis-tance entre deux sommets xs dun graphe valu.Application : trouvez le chemin le plus court de A B, pour le graphe dont les artessont values par :d(A,C) = 5 ; d(A,D) =3 ; d(A,G) = 14 ; d(D,C) = 11 ; d(D,G) = 6 ; d(D,E) = 7 ; d(C,E) =3 ; d(C, F) = 2 ; d(F,B) = 7 ; d(E,F) =2 ; d(G,E) = 7 ; d(E,B) = 5 ; d(G,B) = 6.F. Sur 2011-2012Chapitre 2Les chanes de MarkovLes principaux rsultats que vous avez vus dans les cours de probabilit / statis-tique antrieurs ont trait des processus stochastiques ralisations indpendantes (parexemple loi des grands nombres, thorme de la limite centrale). Les chanes de Mar-kov permettent de modliser des processus dans lesquels une ralisation dpend de laralisation prcdente.2.1 Exemple introductifLobservation du ciel a permis de dduire les statistiques suivantes :unejourneensoleilleestsuiviedunejourneensoleilleavecuneprobabi-lit 0, 9,une journe ensoleille est suivie dune journe pluvieuse avec une probabilit 0, 1,une journe pluvieuse est suivie dune journe ensoleille avec une probabilit 0, 5,une journe pluvieuse est suivie dune journe pluvieuse avec une probabilit 0, 5.En introduisant la suite de variables alatoires (Xn)nN reprsentant ltat du ciel (Spour soleil ou P pour pluie) la date n 0, on peut crire les probabilits condition-nelles :Pr_Xn+1= S| Xn= S_= 0, 9Pr_Xn+1= P| Xn= S_= 0, 1Pr_Xn+1= S| Xn= P_= 0, 5Pr_Xn+1= P| Xn= P_= 0, 5Naturellement :Pr_Xn+1= S| Xn= S_+ Pr_Xn+1= P| Xn= S_= 1et :Pr_Xn+1= S| Xn= P_+ Pr_Xn+1= P| Xn= P_= 1.9CHAPITRE 2. LES CHANES DE MARKOV 10Si on sintresse lvolution de ltat du ciel au l du temps, on peut reprsenter lephnomne par le graphe suivant.S0,9

0,1

P0,5.0.5.Lorsque lon est ltat Soleil, avec une probabilit 0,9 on reste dans cet tat, et onva vers ltat Pluie avec une probabilit 0,1. Do lappellation probabilits de transitionpour les probabilits conditionnelles ci-dessus.Notons P la matrice dordre 2 (appele matrice de transition) :P =_0, 9 0, 10, 5 0, 5_et intressons-nous la distribution n de Xn, dnie par :n=_Pr(Xn= S) ,Pr(Xn= P)_.On calcule avec la formule des probabilits totales :Pr(Xn+1= S) = Pr(Xn+1= S et Xn= S) + Pr(Xn+1= S et Xn= P)= Pr(Xn= S) Pr(Xn+1= S| Xn= S) +Pr(Xn= P) Pr(Xn+1= S| Xn= P)Et de mme :Pr(Xn+1= P) = Pr(Xn= S) Pr(Xn+1= P| Xn= S) +Pr(Xn= P) Pr(Xn+1= P| Xn= P)Sous forme matricielle cela se rsume en :n+1= n P(remarquons quil sagit du produit droite de P par la matrice ligne n)Par rcurrence immdiate on peut crire :n N, n= 0 Pn.Lessentiel de ce chapitre sera consacr des questions de convergence, comme :1. la suite (n) converge-t-elle ? (vers une distribution que lon qualiera de station-naire)2. si oui quelle condition ?3. la limite ventuelle dpend-elle de ltat initial 0 ?Le thorme ergodique nous permettra, connaissant la distribution stationnaire(si celle-ci est unique), de donner la proportion moyenne de journes de beau temps surun grand intervalle de temps.F. Sur 2011-201211 2.2. VOCABULAIRE2.2 Vocabulaire2.2.1 Dnitions et premires propritsDnition 2.1Soit E un ensemble ni ou dnombrable dtats. Une suite de variablesalatoires (Xn)nN valeurs dans E telle que :Pr(Xn+1= j | X0= i0, . . . , Xn1= in1, Xn= i) = Pr(Xn+1= j | Xn= i)est une chane de Markov.Autrement dit, une chane de Markov est un processus dont la mmoire une pro-fondeur de 1 : Xn ne dpend que de Xn1.Dnition 2.2Pr(Xn+1=j | Xn=i) =pn(i, j) est la probabilit de transition deltat i ltat j.Lensemble des probabilits de transition entre tats caractrise la chane de Markov.Dans la suite (et sauf indication du contraire) on supposera :1. pn(i, j) ne dpend pas de n : la chane de Markov est dite homogne.2. Lensemble dtats E est ni, de cardinal not m.Ces hypothses permettent de dnir la matrice de transition.Dnition 2.3Pour une chane de Markov homogne tats nis, on appelle la matriceP = (pi,j) matrice de transition.Nous allons tablir quelques proprits lmentaires de la matrice de transition. No-tons, quelque soit n N, n la distribution de Xn.Proposition 2.1Avec les notations prcdentes :la somme des lments de toute ligne de P vaut 1 (on dit que Pest une matricestochastique). n N,n= n1P = 0Pn. n N,pni,j=Pr(Xt+n=j | Xt=i), opni,jdsigne llment en lignei etcolonne j de la matrice Pn.1Il sagit des quations de Chapman-Kolmogorov.Dmonstration. Le point 1 vient du fait que la somme des lments de la ligne i est par dnition

mj=1 Pr(Xn+1 = j | Xn = i) = 1.La dmonstration du point 2 se fait comme dans lexemple introductif.1Attention, il ne sagit pas de pi,j la puissance n .Recherche OprationnelleCHAPITRE 2. LES CHANES DE MARKOV 12Pour ce qui est du point 3, la dmonstration se fait par rcurrence sur n, avec :pn+1i,j=m

k=1pi,kpnk,j=m

k=1Pr(Xt+1 = k | Xt = i) Pr(Xt

+n = j | Xt= k)=m

k=1Pr(X1 = k | X0 = i) Pr(Xn+1 = j | X1 = k)=m

k=1Pr(X1 = k | X0 = i) Pr(Xn+1 = j | X1 = k et X0 = i)=m

k=1Pr(Xn+1 = j et X1 = k | X0 = i)= Pr(Xn+1 = j | X0 = i)En effet, la chane de Markov tant homogne, on peut donner toute valeur t et t

dans ce quiprcde (ligne 3), ensuite on utilise la proprit de Markov (dnition 2.1) la ligne 4, puis laformule des probabilits totales (ligne 5 et 6). 2.2.2 Reprsentation graphique des chanes de MarkovUne chane de Markov homogne ensemble dtats E peut tre reprsente par lagraphe orient valu G tel que :ses sommets sont les tats de E,il y a un arc du sommet i vers le sommet j si p(i, j) > 0,la valuation de larc i j est la probabilit de transition p(i, j).UnechanedeMarkovpeut alorstrevuecommeunemarchealatoiresur legrapheG : on tire alatoirement x0ralisation deX0selon la loi 0, puis dex0ontire x1 (ralisation de X1) selon les probabilits de transition des arcs issus de x0, etc.Exemple 1.ConsidronslachanedeMarkovvaleursdansE={1, 2, 3, 4, 5}, dematricedetransition :P =______0, 5 0 0, 5 0 00, 25 0, 5 0, 25 0 00, 4 0 0, 6 0 00 0 0 0, 9 0, 10 0 0 0, 5 0, 5______Elle est reprsente par le graphe G suivant :F. Sur 2011-201213 2.2. VOCABULAIRE20,5

0,25.ssssssssssssssssssssssss0,25

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 40,9

0,1

10,5

0,5

30,6_0,4.50,50,5Dans cet exemple, une ralisation de la chane de Markov pourra prendre les valeursdes tats 1,2,3, ou 4,5, car le graphe nest pas connexe.Exemple 2.La chanede Markov prenant sesvaleurs dans {1, 2, 3, 4, 5, 6} et dontla matrice detransition est :P =________0 0, 8 0 0 0 0, 20, 4 0 0, 6 0 0 00 0, 2 0 0, 8 0 00 0 0, 9 0 0, 1 00 0 0 0, 75 0 0, 250, 25 0 0 0 0, 75 0________est reprsente par le graphe suivant :10,2

0,8

20.4.0,6

30,2.0,8

60,75

0,2550,75

0,25.40,1.0,9Nous reviendrons sur ces deux exemples dans la suite de ce chapitre.Recherche OprationnelleCHAPITRE 2. LES CHANES DE MARKOV 142.2.3 Chanes rductibles et irrductiblesDnition 2.4Une chane de Markov est dite irrductible si chaque tat est accessible partir de chaque autre tat en un certain nombre dtapes. Avec la proposition 2.1,cela se traduit par :(i, j) E E, n N, pni,j> 0.On peut montrer que la relation ltati est accessible partir dej et ltatj estaccessible partir de i dnit une relation dquivalence sur lensemble des tats E.Les classes dquivalences de cette relation sont les composantes fortement connexes dugraphe orient G.Par dnition, un graphe reprsentant une chane de Markov irrductible est forte-ment connexe (il ne prsente quune seule classe dquivalence).Dnition 2.5Si une chane de Markov nest pas irrductible, alors elle est dite rduc-tible et G admet plusieurs composantes fortement connexes.Une composante qui ne mne aucune autre est dite nale, sinon les tats qui lacomposent sont dits transients (ou transitoires).Remarquons quune fois quon a quitt une classe tats transients, on ne peut pasy retourner (par dnition de la classe dquivalence).Considrons une chane de Markov possdantm n tats transitoires, etn tatsrpartis dans k composantes nales C1, C2, . . . Ck. Alors, quitte renumroter les tats(en considrant dabord les tats deC1, puis ceux deC2, . . .puis ceux deCk, et ennles tats transitoires), la matrice de transition P peut scrire sous la forme canoniquesuivante :P =_______P10 . . . 0 00 P2. . . 0 0...............0 0 . . . Pk0Q1Q2. . . QkQk+1_______o Pi est une matrice de taille nini (avec ni le cardinal de Ci), etQ =_Q1Q2. . . QkQk+1_est une matrice de taille (mn) m.Avant de revenir aux exemples, voyons une dernire dnition.F. Sur 2011-201215 2.2. VOCABULAIREDnition 2.6Considrons une chane de Markov rductible. Lorsque les composantesnales sont toutes rduites un seul tat, on dit que ltat correspondant est absorbant,et que la chane elle-mme est absorbante.La forme canonique de la matrice de transition devient :P =_Ims,ms0Rs,msQs,s_o s est le nombre dtats transitoires (et donc n=m s est le nombre dtats absor-bants).Dans lexemple 1 prcdent, la chane est rductible. Ses classes (composantes for-tement connexes du graphe associ) sont : {1, 3}, {2}, {4, 5}.Ltat 2 est transient, les classes {1, 3} et {4, 5} sont nales.Quittepermuterlestats,onpeutcrirelamatricedetransitionsouslaformecanonique suivante :P =______1 3 4 5 21 0, 5 0, 5 0 0 03 0, 4 0, 6 0 0 04 0 0 0 0, 9 0, 15 0 0 0 0, 5 0, 52 0, 25 0, 25 0 0 0, 5______Dans lexemple 2, la chane de Markov est irrductible : chaque tat est accessiblede nimporte quel autre tat.2.2.4 Chanes priodiques et apriodiquesDnition 2.7Un tat i dune chane de Markov est dit priodique (de priode p) si :p = pgcd {n, Pr(Xn= i | X0= i) > 0} > 1Autrement dit, si on considre le graphe associ la chane de Markov, tous les cyclespartant de i et revenant en i ont une longueur divisible par p.Lorsque p = 1 ltat est dit apriodique.Recherche OprationnelleCHAPITRE 2. LES CHANES DE MARKOV 16Proposition 2.2Les tats dune mme composante fortement connexe (classe dqui-valence) ont mme priode.Dmonstration. Soitp la priode de ltati etp

la priode de ltatj. On suppose quei etjappartiennent la mme classe, et donc il existe un chemin de i vers j et un chemin de j vers i.La concatnation de ces deux chemins forme un cycle suri, sa longueurl est donc divisibleparp. Or on peut former un cycle suri du type :i jpuis cycle surjde longueurp

, puisj i, dont la longueur estl + p

, et est divisible parp. Comme on a dj vu quep divisel,alors p divise p

. De mme on montre que p

divise p. Conclusion : p = p

. Il est donc lgitime de parler de la priode dune classe, et de classe priodique (ouapriodique). Pour une chane de Markov irrductible (qui a donc une seule classe), onpeut parler de chane priodique ou apriodique.On remarque aussi que ds que le graphe dune chane de Markov irrductible a uneboucle sur un sommet s, alors la chane est apriodique (comme le sommet s).Dans le cas dune chane irrductible priodique (priode p), on peut dmontrer quela matrice de transition peut scrire sous la forme (quitte renumroter les tats) :P =_______0 P10 . . . 00 0 P2. . . 0...............0 0 0 . . . Pp1Pp0 0 . . . 0_______Dans lexemple 1, la chane de Markov est apriodique, car par exemple le sommet 1est de priode 1 (il prsente une boucle sur lui-mme).Dans lexemple 2, on se convainc que la chane est de priode 2.Sa matrice de transition peut se mettre sous la forme canonique :P =________1 3 5 2 4 61 0 0 0 0, 8 0 0, 23 0 0 0 0, 2 0, 8 05 0 0 0 0 0, 75 0, 252 0, 4 0, 6 0 0 0 04 0 0, 9 0, 1 0 0 06 0, 25 0 0, 75 0 0 0________F. Sur 2011-201217 2.3. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES CHANES ERGODIQUES2.3 Comportement asymptotique des chanes ergodiquesDans cette section, nous nous intressons aux proprits asymptotiques de la distri-bution n de Xn (lorsque n +).De la relationn+1=n P, on voit que si(n) converge, cest vers un vecteurpropre ( gauche) associ la valeur propre 1 ( gauche).Remarquons que 1 est bien valeur propre gauche de P. Comme :P_____11...1_____=_____11...1_____(car P est une matrice stochastique) on se rend compte que 1 est valeur propre de P (droite, i.e. au sens dont vous avez lhabitude). Comme la matrice P et sa transpose PTont les mmes valeurs propres2, alors 1 est valeur propre ( droite) de PT. On conclut :1 est bien valeur propre gauche de P.Attention, ce raisonnement ne nous assure pas :1. que la suite (n) converge effectivement,2. que le sous-espace propre associ la valeur propre 1 a des vecteurs compo-santes toutes positives (de manire obtenir une distribution de probabilits ennormalisant),3. ni lunicit de la limite ventuelle : si le sous-espace propre associ la valeurpropre ( gauche) 1 est de dimension strictement suprieure 1, alors plusieurslimites sont possibles, selon la valeur de 0.Nous allons voir que les chanes irrductibles ont tout de mme une unique distribu-tion limite.Proposition 2.3Une chane de Markov irrductible admet une unique distribution deprobabilit telle que : P = .Dmonstration. (esquisse) La chane de Markov tant irrductible, pour tout couple dtat (i, j)il existe un chemin de longueurn(i, j) N entrei etj. Soitn=ppcm{n(i, j)} : pour tout(i; j) il existe aussi un chemin de longueur n entre les tats i et j (quitte reprendre plusieursfois le chemin de longueur n(i, j).Avec la proposition 2.1, on dduit :(i, j) E2, pni,j> 0.(on dit que la matrice stochastique P est rgulire.)2En effet, les polynmes caractristiques de P et PTsont identiques :det(PI) = det_(PI)T_= det(PTI)Recherche OprationnelleCHAPITRE 2. LES CHANES DE MARKOV 18Maintenantentoutegnralit, siMestunematricestochastique, unevaleurpropre,v = (vi) un vecteur propre associ (composantes vi), et vk = max{ |vi|}, alors :|vk| = |

jpk,jvj|

jpk,j|vj||vk|

jpk,j = |vk|Donc toute valeur propre de Mest infrieure ou gale 1. Comme 1 est effectivement valeurpropre daprs la remarque du dbut de section, on dit que le rayon spectral de Mest1.Ainsi Pna un rayon spectral1.Comme Pnet sa transpose ont mme spectre, il en est de mme pour (PT)nAinsi,pni,jest strictement positif pour tout couple (i, j) dtats, et la matrice (PT)na unrayon spectral gal 1.Le thorme de Perron-Frobenius (voir la littrature ddie) nous permet de conclure quelespace propre associ la valeur propre 1 de PTest de dimension 1, et quun vecteur propreassoci 1 est de composantes toutes strictement positives.On conclut lexistence de en normalisant la somme des lments 1. Avant de nous demander quelles sont les conditions pour que la suite (Xn) admetteune distribution stationnaire limite, revenons sur les deux cas particuliers de chanes deMarkov tudis prcdemment : les chanes rductibles et les chanes priodiques.Dans le cas des chanes rductibles, la limite (ventuelle) de(n) dpend de0.Dans lexemple 1, si la marche alatoire sur le graphe associ la chane part des tats1, 2 ou 3, il est clair que la distribution limite ventuelle ne pourra tre que de la forme :=_ 0 0_car les tats 4 et 5 ne seront jamais visits. Mme rsultat mutatis mutandis si lon partde 4 ou 5. La suite des (n) dpend donc de 0.On peut montrer que dans le cas des chanes rductible, la probabilit dtre dansun tat transient tend vers 0 quand le nombre de pas n tend vers +, et que si chaqueclasse nale est apriodique alors un distribution stationnaireexiste ; elle dpendalors de 0.Dans le cas des chanes priodiques, il ny a a priori pas convergence de (n). Danslexemple 2, si on part dun tat impair (0=(, 0, , 0, , 0)), alors on est certainquau bout dun nombre impair dtapes on est dans un tat pair. La suite desnvaprendre la forme :2k=_k0 k0 k0_et :2k+1=_0

k0

k0

k_.Cette suite ne peut pas converger (rappelons que n est une distribution de probabilitet que donc sa somme vaut 1).F. Sur 2011-201219 2.3. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES CHANES ERGODIQUESRemarquons au passage quon a vu en section 2.2.3 que cette chane est irrductible,donc daprs la proposition 2.3 admet une unique distribution stationnaire. On voit quecela nassure pas la convergence.On ne discutera pas davantage le cas des chanes rductibles ou priodiques.Dnition 2.8Une chane de Markov est dite ergodique si (n) converge, indpendam-ment de 0.La limitede la suite de distributions(n) est appele distribution stationnaire(car elle vrie : = P).On a vu que les chanes de Markov rductibles ou priodiques ne sont pas ergo-diques. On admet le thorme suivant.Thorme 2.1Les chanes de Markov irrductibles et apriodiques sont ergodiques.Remarquons quon a la proprit suivante :Proposition 2.4La matrice de transition P dune chane de Markov ergodique admet-tant pour distribution stationnaire est telle que (P)n , o est la matrice carreforme de la concatnation de lignes identiques .Dmonstration. Comme 0, n0, n = 0Pn, Pnest une suite de matrices convergentes.Soit Q sa limite : Q est stochastique et comme (Pn) et (Pn+1) ont mme limite : Q P = Q.En particulier nimporte quelle ligne Qi de Qvrie : Qi P = QiLa chane tant ergodique, elle est irrductible donc admet une unique distribution station-naire .Les lignes de Qsont donc gales . On admet galement le thorme ergodique suivant :Thorme 2.2(thorme ergodique pour les chanes de Markov) Soit (Xn) une chanede Markov ergodique de distribution stationnaireetfune fonction relle bornednie sur E (tats de la chane), alors :limn+1n + 1n

k=0f(Xk) =

iEif(i) p.s.Recherche OprationnelleCHAPITRE 2. LES CHANES DE MARKOV 20Ce thorme fait bien sr penser la loi forte des grands nombres lorsque lesXnsont indpendants.Un cas particulier intressant est celui o f est la fonction indicatrice dun ensembledtat S E : du thorme ergodique on dduit quen moyenne, la proportion de tempspass dans les tats de S est

iSi.Cela justie lintuition que lon peut avoir du rgime permanent. Dans lexemplemtorologique initial, la chane de Markov est apriodique (elle prsente une boucle surau moins un tat) et irrductible (une seule composante fortement connexe), donc elle estergodique. La distribution existe et satisfait par exemple = P. On peut doncdterminernumriquement (faites-le !). Alors(S) et(P) sont les probabilitsque, dans longtemps , il y ait un jour ensoleill ou pluvieux. Daprs le thormeergodique, cest aussi la proportion de journes ensoleilles ou pluvieuses sur un grandintervalle de temps.2.4 Le thorme des coupesPour une chane ergodique se pose le problme de dterminer .On peut dmontrer quePnconverge vers une matrice dont toutes les lignes sontgales . On voit quon peut utiliser les algorithmes permettant de calculer les puis-sances successives dune matrice.On peut galement rsoudre le systme linaire := P. Ce systme est derang m 1 (m : nombre dtats), et la somme des lments de est 1, ce qui permetde trouver .Dans les deux cas, cela peut tre assez compliqu lorsque la chane de Markov a untrs grand nombre dtats.Pourrsoudrelesystmedanslescassimples(ceuxdesexercices),onpeutaussi utiliser le thorme des coupes, qui permet dobtenir un systme dquationsquivalent au prcdent.Proposition 2.5 Thorme des coupes (conservation des ux). Soit (A, B) une par-tition de E (A B= E et A B= ). Alors :

jB

iAipi,j=

jA

iBipi,jDmonstration. Il sagit dun simple calcul partant de = P :j, j=

iAipi,j +

iBipi,jF. Sur 2011-201221 2.5. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES CHANES ABSORBANTES

jBj=

jB

iAipi,j +

jB

iBipi,j(somme sur j B)

jB

iAipi,j =

jBj

iBi__1

jApi,j__(la somme sur les lignesde P vaut 1)

jB

iAipi,j =

jA

iBipi,j(changement dindice dans la somme de droite)

Remarque : le thorme des coupes est valable pour E inni dnombrable.Lebut est dechoisirlapartition(oulacoupeentreAet B)enminimisant lenombre dinconnues i. Chaque coupe fournit une quation linaire en les i. On utilisealors m 1 coupes (utiliser davantage de coupes fournirait des quations linairementlies au prcdentes car le systme est de rang m1) et la condition

ii= 1.Exemple 3.On considre la chane de Markov reprsente par le graphe :10,2

0,8

20,4

0.3.0,3

30,8

0,2.Cette chane est apriodique irrductible donc ergodique.Avec la coupe A = {1}, B= {2, 3} on obtient lquation : 0.81= 0.32.Avec la coupe A = {1, 2}, B= {3} on obtient lquation : 0.32= 0.23.En ajoutant la contrainte 1 +2 +3= 1 on dduit la valeur des i.Remarquons que les probabilits des boucles ninterviennent pas.2.5 Comportement asymptotique des chanes absorbantesLesrsultatsdecettesectionsont adaptsdulivreIntroductiontoprobabilityparC.M. Grinstead et J.L. Snell, American Mathematical Society, 1997.Considrons une chane de Markov absorbante. Rappelons que, quitte renumroterles tats en listant dabord les tats absorbants puis les tats transients, la matrice detransition peut scrire sous la forme :P =_Ims,ms0Rs,msQs,s_Recherche OprationnelleCHAPITRE 2. LES CHANES DE MARKOV 22o s est le nombre dtats transients (et ms le nombre dtats absorbants).Par souci de simplicit, abandonnons les indices des matrices blocs.Comme la matrice Pest triangulaire infrieure par blocs, on peut crire quelque soitn N :Pn=_In0 Qn_Rappelons que pni,j est la probabilit darriver ltat j en partant de ltat i, aprs ntapes (proposition 2.1).Proposition 2.6DansunechanedeMarkovabsorbante, laprobabilitdatteindreaprs un certain nombre dtapes un tat absorbant est 1. (i.e. Qn0 lorsque n +).Dmonstration. Par dnition des tats transients, pour chacun de ces tats j il existe un nombreminimummjde transitions au bout desquelles on peut arriver un tat absorbant. Soitpjlaprobabilit de ne pas arriver un tat absorbant en partant de j en mj tapes. Remarquons quepj 0 si :n N,Pr(X= n) =kk!ek.Proposition 3.1Une variable alatoire qui suit une loi de Poisson de paramtre aune esprance et une variance gales .Dnition 3.2Une variable alatoire Y valeurs relles strictement positives suit uneloi de exponentielle de paramtre > 0 si :t > 0, Pr(Y= t) = et.27CHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 28Proposition 3.2Une variable alatoire Yqui suit une loi exponentielle de paramtre a une esprance gale 1/ et une variance gale 1/2.Sa fonction de rpartition est donne par :t > 0, Pr(Y< t) = 1 et.Proposition 3.3Une variable alatoire Ysuit une loi exponentielle si et seulement si :s, t > 0, Pr(Y> s +t|Y> t) = Pr(Y> s)On dit quune variable exponentielle est sans mmoire : si un vnement ne sest pasproduit entre 0 et t, la probabilit quil se produise entre t et t + s est la mme que laprobabilit pour quil se produise entre 0 et s : linstant de dpart na pas dinuence etla variable ne garde pas de mmoire du pass.3.2 Caractristiques dune le dattenteUn systme dattente est constitu de clients , qui entrent dans une le dattente,avant daccder des serveurs qui dlivrent un service pendant un certain temps. Client et serveur sont ici des termes gnriques."Clients"File dattente........."Serveurs"S11 2 3 4S2SnUn systme dattente (dnomm le dattente par lger abus de langage) estcaractris par :la loi darrive des clients dans la le (dterministe ou stochastique),la loi de la dure des services (dterministe ou stochastique),le nombre de serveurs travaillant en parallle dans le centre de service,la taille de la le dattente (nie ou innie),lorganisation de la le.F. Sur 2011-201229 3.3. LA FORMULE DE LITTLELes notations de Kendall (1953) permettent de dcrire le systme dattente de ma-nire succincte. Avec ces notations, un systme dattente est dcrit par :A/B/m/N/So :A est la distribution des arrives : stochastique (on prcise alors la loi) ou dter-ministe.B est la distribution des temps de service : idem.m est le nombre de serveurNest le nombre maximum de clients dans le systme (clients attendant dans lale + clients servis)Sest la discipline de service (la manire de sortir de la le dattente pour lesclients) : First In First Out (FIFO), Last In First Out (LIFO), alatoire (RAND),Round Robin1. . .A et B peuvent prendre les valeurs : D (distribution dterministe), M(distributionMarkovienne), Ek(distributiondErlang-k), G(distributiongnrale, onnefaitpasdhypothse particulire), etc.Comme nous ntablirons que des rsultats en moyenne , nous ne nous intres-serons pas lvolution dun individu particulier dans la le et donc la discipline deservice naura pas dimportance pour nous.Lorsque m ou N ne sont pas prciss, ils sont supposs innis.Dans la suite de ce chapitre nous allons tudier les les dattente stochastiques etvoir dans quelle condition il est possible de faire des calculs.3.3 La formule de LittleLa formule (ou loi) de Little est un rsultat trs gnral (pas dhypothse sur la dis-tribution des arrives et des services) liant la nombre moyen de clients dans le systme,leur temps de sjour, et leur taux moyen darrive.Nous allons ltablir en nous appuyant sur lillustration suivante.1Voir ltymologie trs intressante ici : http ://fr.wikipedia.org/wiki/Round-robinRecherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 30ArrivesDpartstempst123456723145Nombre darrives / dpartsSur ce schma, la courbe rouge reprsente lvolution au cours du temps du nombrecumul darrives dans le systme depuis un temps initial o le systme est vide, et lacourbe verte reprsente le nombre cumul de dparts. Les entiers gurant sur les courbesrouges et vertes correspondent au numro du client respectivement entrant ou sortant dusystme. En toute gnralit, les entres et sorties nont pas de raison de se faire dans lemme ordre.Comme les clients qui partent sont des clients qui sont arrivs un instant antrieur,la courbe rouge est toujours au dessus de la courbe verte. Lorsquelles se rencontrentil ny a aucun client dans le systme.Notons :A(t) le nombre darrives pendant [0, t],D(t) le nombre de dparts pendant [0, t],N(t) = A(t) D(t) le nombre de clients dans le systme au temps t,Ti : temps de sjour dans le systme (attente + service) du i-me client.Considrons laire entre la courbe rouge et la courbe verte jusque linstant t (il sagitbien sr de lintgrale de N entre les instants 0 et t).La quantit Ti correspond laire dune bande de hauteur 1 et de longueur Ti. Dansla partie gauche du graphe prcdent (entre larrive du client 1 et le dpart du client 4),on se convainc que laire entre les courbes rouges et vertes est T1 +T2 + T3 +T4.Nanmoins, linstant t tous les clients ne sont pas sortis, donc laire nest pas di-rectement la somme des Ti pour les A(t) clients entrs dans le systme, il faut introduireun terme correctif, not ici R(t). Cela permet dcrire la relation :_t0N(u)du =A(t)

i=1TiR(t)Donc :1t_t0N(u)du =A(t)t1A(t)A(t)

i=1TiR(t)tF. Sur 2011-201231 3.3. LA FORMULE DE LITTLECe qui nous intresse est dtablir un rsultat asymptotique (i.e. lorsquon observele systme sur un intervalle de temps grand). Faisons quelques hypothses additionnellelorsque t +:1.1t_t0 N(u) N(N est le nombre moyen de clients prsents par unit de temps)2.A(t)t ( est le nombre moyen darrives par unit de temps)3._

A(t)i=1Ti_/A(t) T (Test le temps de sjour moyen)4.R(t)t 0Les hypothses 1,2,3 semblent naturelles et caractristiques dun systme qui attein-drait un rgime permanent. Lhypothse 4 est galement naturelle dans ce cadre : onsuppose que les clients ne saccumulent pas dans le systme et que le temps de sjournaugmente pas au cours du temps, et donc que R(t) est born.On dduit donc la formule de Little (1961) :Thorme 3.1(formule de Little). Avec les notations prcdentes :N= T.Par exactement le mme raisonnement, en se restreignant aux clients dans la ledattente (et non plus dans tout le systme), on tablit le corollaire :Thorme 3.2(variante de la formule de Little). En notantNfle nombre moyen declients dans la le dattente et Tf le temps dattente moyen dans la le, alors :Nf= Tf.Remarquons encore une fois quil sagit dun rsultat trs gnral, en particulier sanshypothse sur la distribution des arrives ou des temps de services, ni sur la disciplinede service.Exemple 1.Considrons un serveur informatique 5 processeurs, recevant en moyenne 1000 re-qutes par seconde. Ladministrateur du serveur se rend compte que le serveur est oc-cup 100%, et quen moyenne 8 requtes sont en attente.Quelestletempsmoyendattentedunerequte ?(quantitmettreenrelationaveclanotiondetime-out, dureauboutduquelleclientdcidequeleserveurestindisponible.)Daprs la formule de Little (variante) : Tf= Nf/ = 8/1000 sec.Quel est le temps moyen de traitement dune requte ?Avec les deux lois de Little : T Tf= (N Nf)/ = 5/1000 sec.Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 323.4 Processus de PoissonAvant dtudier un type de les dattente dans lequel on peut faire des calculs (lesles M/M), nous introduisons la notion de processus de Poisson.3.4.1 Processus de PoissonDnition 3.3Considrons (X(t))t0 un processus stochastique croissant temps continu valeurs dans N (cela signie que pour tout t 0, X(t) est une variable alatoire valeurs entires). On suppose que ce processus vrie les hypothses suivantes :X(0) = 0, 0t1 tk,, les variables alatoires X(t1)X(0), . . . , X(tk)X(tk1)sont indpendantes,Pr(X(t +h) X(t) = 1) =h0h +o(h),Pr(X(t +h) X(t) > 1) =h0o(h)Alors (X(t))t0 est appel processus de Poisson.La deuxime hypothse traduit l absence de mmoire du processus, la troisimeque la probabilit que X saccroisse de 1 pendant un petit intervalle de temps est propor-tionnelle la longueur de cet intervalle (coefcient ), et la quatrime que la probabilitpour que X saccroisse de plus de 1 pendant un petit intervalle de temps est ngligeable.Le paramtre est un taux darrive (nombre par unit de temps).On dmontre :Thorme 3.3Un processus de Poisson (X(t))t0 vrie :1.t, X(t) suit une loi de Poisson de paramtre t :k0, Pr(X(t) = k) = et(t)kk!2. le temps Tarr entre deux arrives suit une loi exponentielle :t0, Pr(Tarr= t) = etOn dit que X(t) est un processus de Poisson.Dmonstration. Pour le point 1 : soit t0. On va montrer par rcurrence sur k que :Pr(X(t) = k) = et(t)kk!.Dune part siX(t + h)=0, cest queX(t)=0 et quaucune arrive na eu lieu entretet t +h. Avec lhypothse dindpendance de la dnition :Pr(X(t+h) = 0) = Pr(X(t) = 0)Pr(X(t+h)X(t) = 0) = Pr(X(t) = 0)(1h)+o(h).F. Sur 2011-201233 3.4. PROCESSUS DE POISSONDonc_Pr(X(t +h) = 0) Pr(X(t) = 0)_/h = Pr(X(t) = 0) +o(1).Enpassantlalimite(h0), onobtientunequationdiffrentiellequisersoutenPr(X(t) = exp(t) (rappelons que Pr(X(0) = 0) = 1).Dautre part si X(t + h) =k> 0, cest que X(t) =k

k et quil y a eu k k

arrivesentre t et t +h. Avec lhypothse dindpendance de la dnition :Pr(X(t +h) = k) = Pr(X(t) = k) Pr(X(t +h) X(t) = 0) +Pr(X(t) = k 1) Pr(X(t +h) X(t) = 1) +k2

k

=0Pr(X(t) = k

) Pr(X(t +h) X(t) = k k

)= Pr(X(t) = k)(1 h) + Pr(X(t) = k 1)h +o(h) +k2

k

=0Pr(X(t) = k

)o(h)Donc :(Pr(X(t +h) = k) Pr(X(t) = k)) /h = Pr(X(t) = k) +Pr(X(t) = k 1) +o(1)En passant la limite et avec lhypothse de rcurrence :ddx Pr(X(t) = k) = Pr(X(t) = k 1) +ktk1(k 1)!etqui est une quation diffrentielle linaire du premier ordre avec second membre .Lquation sans second membre se rsout en : Pr(X(t) = k) = Aet, et on rsout lqua-tion initiale par la mthode de la variation de la constante :_A

(t) A(t)_et= A(t)et+ktk1(k 1)!etse simpliant en :A

(t) = ktk1(k 1)!do :A(t) = A(0) +ktkk!.Conclusion :Pr(X(t) = k) = ktkk!et.(la constante A(0) est xe par Pr(X(0) = k) = 0 si k > 0.)Pour le point 2 du thorme, soit T1 la dure entre t = 0 et la premire arrive. Alors :Pr(T1> s) = Pr(X(s) = 0) = esRecherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 34car si T1> s, cest quaucune arrive na encore eu lieu la date s.Soit Tk la dure entre la k-me arrive ( la date tk) et la k + 1-me arrive. AlorsPr(Tk> s) = Pr(X(tk +s) X(tk) = 0).Nanmoins :X(t +s) X(t) = limn+n

k=1_X(t +ks/n) X(t + (k 1)s/n)_Comme les (X(t +ks/n) X(t + (k 1)s/n)) sont indpendants, on dduit 2:Pr (X(t +s) X(t) = 0) = limn+n

k=1Pr(X(t +ks/n) X(t + (k 1)s/n) = 0)= limn+(1 s/n)n= exp(s).Do Pr(Tk> s) = exp(s).LafonctionderpartitiondeTkestdonc:Pr(Tk0,et t un intervalle de temps petit . Notons aussi Att,t le nombre darrives entre t tet t. Par la formule de Bays :Pr(Ntt = n| Att,t1) = Pr(Att,t1 | Ntt = n) Pr(Ntt = n)/ Pr(At,t1)Comme un Processus de Poisson est sans mmoire (indpendance des nombres darrives surdes intervalles disjoints), Pr(Att,t1 | Ntt = n) = Pr(Att,t1).Maintenant lorsque t tend vers 0, Pr(Ntt=n| Att,t) est la probabilit que lenclients soient dans le systme lorsquun nouveau client arrive (on ne compte pas ce nouveauclient). Daprs ce qui prcde, cette probabilit est gale limt+Pr(Ntt = n) = Pr(Nt = n).Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 36Cela signie que la probabilit pour quil y ait n clients dans la le linstant t est indpen-dante du fait que t soit un moment darrive.En passant la limite (t +), en rgime permanent, cela signie quun nouveau clientvoit n clients devant lui avec une probabilit gale la proportion de temps pendant laquelle lesystme est occup par n clients.En effet, la premire probabilit est :limt+limt0Pr(Ntt = n| Att,t1)et la seconde :limt+Pr(Nt = n).

Remarque : Ce rsultat peut sembler intuitif. Nanmoins, lhypothse darrives selonun processus de Poisson est primordiale : la proprit PASTA est fausse dans le cascontraire. Considrons un systme D/D/1 initialement vide, avec des arrives aux temps1,3,5. . .et un temps de service de 1. La longueur de la queue vue par un nouvel arrivantest toujours 0, alors que le systme nest occup par 0 client que dans 50% du temps.Exemple 3.Considrons un serveur informatique. En faisant des statistiques sur son utilisation, onse rend compte quil est indisponible pendant 80% du temps.Si lon suppose que les requtes sont distribues selon un processus de Poisson, laproprit PASTA nous permet de dire quune nouvelle requte a aussi 80% de chancesde trouver le serveur indisponible.3.5.2 Les clients et les serveurs sont sans mmoireNous allons nous placer dans le cadre des les dattente pour lesquelles les arriveseffectives des clients dans le systme suivent un processus de Poisson et que lorsquaumoins une place est occupe dans le centre de service les clients sortent de la le selonun processus de Poisson.Par dnition des lois de Poisson, cela signie que les clients nont pas de mmoire,et que les serveurs non plus.Daprs le thorme sur les processus de Poisson, ces hypothses impliquent que :les arrives Poissonniennes se font au taux de arrives par unit de temps,chaque service a une dure exponentielle de moyenne 1/ units de temps ( estle taux de service).F. Sur 2011-201237 3.5. MODLISATION DANS LE CADRE MARKOVIENRemarque : la loi des dparts du systme na pas de raison dtre la loi des services.Cest le cas si les serveurs sont occups en permanence, sinon le taux de dpart estinfrieur au taux de service.Avant dillustrer cette remarque dans lexemple suivant (et dans la discussion sur lesprocessus de Markov), on aura besoin de la proprit suivante.Proposition 3.4SoitXune variable alatoire suivant une loi exponentielle de para-mtre et Yune variable alatoire suivant une loi exponentielle de paramtre , alorsla variable alatoire min(X, Y ) suit une loi exponentielle de paramtre + .Dautre part, si N est la variable alatoire qui vaut 1 si min(X, Y ) = X et 2 sinon,alors :P(N= 1) = 1 P(N= 2) = +.Dmonstration. Soit t > 0. Successivement :Pr(min(X, Y )t) = Pr(Xt et Y t)= Pr(Xt) Pr(Y t) (indpendance)= exp(t) exp(t)= exp(( +)t)Pour la seconde partie :Pr(N= 1) = Pr(XY )=_+x=0Pr(Y X| X = x) Pr(X = x)dx=_+x=0exexdx= +

Exemple 4.Considrons le cas des serveurs indpendants et sans mmoire (dure de serviceselon une loi exponentielle), chacun ayant un taux de service (dure moyenne 1/).Lecentredeservice(ensembledesserveurs)suitalorsuneloideservicesansmmoire de taux s daprs la proposition prcdente.Nanmoins, il faut tre faire attention une subtilit : la loi des dparts des clientshors du systme dattente nest pas la loi des services !En effet :Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 38si ns clients sont dans le systme, alors s dentre eux sont servis, et ns sontdans la le dattente. La loi des dparts est gal la loi des services de, et le tauxde dpart est ssi n < s clients dont dans le systme, alors ils sont tous en cours de service et snserveurs sont inoccups. La dure inter-dparts suit alors une loi exponentielle detaux n < s.La proposition 3.4 correspond lintuition : si n clients sont en service, alors la duremoyenne de service du premier client partir est : 1/(n) (la dure moyenne de servicedun client, i.e. la dure moyenne pour quun des clients soit servi, est divise par n).3.5.3 Les les dattente M/M/1Ilsagitdunexemplestandarddesystmedattenteavecunnombreillimitdeplaces dattente, avec des arrives selon un processus de Poisson (taux darrive ), unseul serveur avec une dure de service exponentielle (taux de service, i.e. dure deservice moyenne 1/).Onajoutelhypothsequelaprobabilitdunearriveetdunservicesimultanpendant lintervalle de temps [0, h] est en o(h) lorsque h 0.volution du nombre de clients dans la le au cours du tempsNotons Nt le nombre de clients dans le systme dattente linstant t. Nous allonschercher exprimer la loi de Nt.Ce qui suit nest pas ncessairement trs rigoureux mais permet de comprendre lesgrandes ides.Dune part, si m < n :Pr(Nt+h= n| Nt= m) = Pr(A(t +h) A(t) = mn) + o(h)(si la population passe de m n > m, il y a eu mn arrives car il ny a pas darriveset dparts simultanes).Donc (cf processus de Poisson) si m < n 1 :Pr(Nt+h= n| Nt= m) = o(h)et :Pr(Nt+h= n| Nt= n 1) = h +o(h).Dautre part, par un raisonnement similaire sur les dparts, si m > n + 1 :Pr(Nt+h= n| Nt= m) = o(h)F. Sur 2011-201239 3.5. MODLISATION DANS LE CADRE MARKOVIENet :Pr(Nt+h= n| Nt= n + 1) = h +o(h).De la formule des probabilits totales, on dduit :si n1 :Pr(Nt+h= n) = hPr(Nt= n 1) + (1 h h) Pr(Nt= n)+hPr(Nt= n + 1) + o(h)et :Pr(Nt+h= 0) = hPr(Nt= 1) + (1 h) Pr(Nt= 0) +o(h).Soit t le vecteur-ligne (de taille innie mais dnombrable) :t=_Pr(Nt+h= 0) Pr(Nt+h= 1) Pr(Nt+h= 2) . . ._Alors, en notant P(h) la matrice (aussi de taille innie dnombrable) :P(h) =_______1 h h 0 0 0 . . .h 1 h h h 0 0 . . .0 h 1 h h h 0 . . .0 0 h 1 h h h . . ..................._______On a :t+h= t P(h) + o(h).Remarquons que P(h) est une matrice stochastique.Vocabulaire : on dit que N(t) est un processus de Markov temps continu.Remarque : vu la forme des quations obtenues, un processus de Poisson est un casparticulierdeprocessusdeMarkovtempscontinu.DoleMdanslanotationdeKendall des dparts et arrives.Reprsentation de la le M/M/1 comme une chane de MarkovLe processus de Markov Nt saute de valeurs entires en valeurs entires au coursdu temps. Lorsque Nt= n, une arrive dans le systme le fait passer ltat n +1 alorsquune sortie le fait passer n 1. Comme les arrives sont un processus de Poissonde paramtre et les dparts sont un processus de Poisson de paramtre , on dduit dela proposition 3.4 (page 37) : le temps de sjour lorsquon vient darriver dans ltat nest distribu selon une loi de Poisson de paramtre + , puis on saute ltat n + 1Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 40avec la probabilit /(+) (larrive eu lieu avant le dpart) ou ltat n1 avec laprobabilit /( + ) (dans le cas contraire). Labsence de mmoire des processus faitqu larrive dans le nouvel tat on recommence .De cette manire, on peut associer au processus de Markov Nt le processus tempsdiscret Xn o Xn est la valeur de Nt aprs le n-me saut.On se convainc que Xn est une chane de Markov et quon peut exprimer les proba-bilits de transition par :Pr(Xn= j | Xn1= i) =___+si i = j 1+si i = j + 10 sinon.La reprsentation graphique de la chane de Markov temps discret (mais ensembledtat inni dnombrable) est :0+

1+.+

2+.+

3+.+

. . ..Aprs n0 tapes, notons pi(n) la probabilit pour que Xn soit gal ltat i.La chane tant apriodique irrductible, elle serait ergodique si lespace dtat taitni. . .Ici il faut en plus que la distribution stationnaire ventuelle =_p0p1p2. . ._soit de somme 1, donc que la srie

pn converge.Avec la formule des coupes (et la condition

pn= 1) on calcule :+p0=+p1+p1=+p2. . .+pn=+pn+1. . .___= n N, pn=__n_1 _. . .sous la condition = / < 1Le cas /1 correspondrait au cas o la chane nest pas ergodique. Si > , ily a trop darrives par rapport aux dparts et Nt +.La probabilit pn est la probabilit pour que dans longtemps , le nombre de clientsdans le systme soit n. Daprs le thorme ergodique, il sagit aussi de la proportionmoyen de temps pendant lequel n clients sont dans le systme.F. Sur 2011-201241 3.5. MODLISATION DANS LE CADRE MARKOVIENRemarqueimportante:onvoitquelesdnominateurs+sontliminsdanslescalculs. Voil pourquoi on reprsente la chane de Markov dont les tats reprsentent lenombre de clients dans le systme par :0

1.

2.

3.

. . ..Bien sr, cela simplie les quations obtenues par la formule des coupes.File M/M/1 vue comme un systme diffrentiel(peut tre omis en premire lecture.)La formulation prcdente permet didentier les probabilits pn en rgime perma-nent. Mais comment calculer les probabilits pn(t) en rgime transitoire ? (avec pn(t) laprobabilit pour que Nt= n.)On a tabli plus haut :Pr(Nt+h= n) = hPr(Nt= n 1) + (1 h h) Pr(Nt= n)+hPr(Nt= n + 1) + o(h)Ainsi :Pr(Nt+h= n) Pr(Nt= n)h=Pr(Nt= n 1) + Pr(Nt= n + 1)( + ) Pr(Nt= n) + o(1)Do :d Pr(Nt= n)dt= Pr(Nt= n 1) + Pr(Nt= n + 1)( +) Pr(Nt= n)Ilsagitdunsystmediffrentiellinairedupremierordrequilestpossibledersoudre.Dans ce cours on ne sintressera pas au rgime transitoire.Remarque : on retrouve en rgime permanent :0=pn1+ pn+1 ( + )pn(formules quivalentes celles obtenues par la formule des coupes).Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 42File M/M/1 : propritsAvec tout ce qui prcde, on est capable de calculer quelques grandeurs caractris-tiques des les M/M/1, sous condition : = / < 1 pour lequel un rgime permanentstablit.pn= n(1 )(daprs ce qui prcde)Nombre moyen de clients dans le systme :N=+

n=0npn=1 Eneffet : +n=0npn=(1 )

+n=0nn=

+n=0nn +n=0nn+1=

+n=1(n (n 1))n= 1/(1 ) 1Nombre moyen de clients dans la le dattente :Nf=+

n=1(n 1)pn=21 (mme calcul)Temps moyen de sjour dans le systme :T= N/ =11 (en utilisant la formule de Little)Temps moyen dattente dans la le :Tf= Nf/ =121 (en utilisant la variante de la formule de Little)Remarquons que le temps dattente et le nombre moyen de clients en attente peuventaussi tre obtenus uniquement partir de la formule de Little et de la proprit PASTA.Daprs la formule de Little :T= N/Mais N(nombre moyen de clients dans le systme) est gal au nombre moyen declients vus par un nouvel arrivant (daprs PASTA). Le temps de service de chacun est1/, donc le temps de sjour moyen dans le systme du nouveau client est :T= N 1+1F. Sur 2011-201243 3.5. MODLISATION DANS LE CADRE MARKOVIEN(somme des temps de service des N clients prcdents et du temps de service propre).Donc : N/ = N/ + 1/, do :N= et :T=1 .(formules identiques aux expressions trouves plus haut.)3.5.4 Processus de naissance et de mortDnition 3.4UnprocessusdenaissanceetdemortestunprocessusdeMarkovtemps continu tel que de ltat n 0 on ne puisse aller que vers ltat n 1 ou versltat n + 1.Dans la discussion sur les processus de Markov (page 38), rien nempche les para-mtres des lois exponentielles rgissant les arrives ou dparts de dpendre du nombrede clients dans le systme dattente. Cest le cas ici.Un processus de naissance et de mort se reprsente par le graphe :00

11.1

22.2

. . .3.n1 nn.n

. . .n+1.Pourquoiprocessusdenaissanceetmort ?Lestatssinterprtentcommelataille dune population, une transition n n + 1 correspondant une naissance et unetransition n n 1 une mort.Avec le thorme des coupes, on tablit en rgime stationnairepn=n

i=1i1ip0et p0 est dtermin par la condition

+n=0pn= 1.( la condition que les i et i soient tels que cette srie converge bien.)Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 44Processus de naissance ou de mort purs(peut tre omis en premire lecture.)Dnition 3.5Si n, n= 0, on parle de processus de naissance pur, et si n, n= 0,de processus de mort pur.tudions le cas particulier du processus de naissance pur tel que n, n=, etPr(N0= 0) = 1.Mais alors (pour n > 0) :Pr(Nt+h= n) = hPr(Nt= n 1) + (1 h) Pr(Nt= n) + o(h)doPr(Nt= n)dt= (Pr(Nt= n 1) Pr(Nt= n))si n > 0,et :Pr(Nt= 0)dt= Pr(Nt= 0).Donc : Pr(Nt= 0) = et, et par rcurrence : Pr(Nt= n) =(t)nn!et.Conclusion : ce type de processus de naissance pur est un processus de Poisson.Les les M/MOn remarque que tous les systmes M/M sont des processus de naissance et de mortparticulier !3Voyons deux exemples : File M/M/3.Dans ce systme, la le est de longueur illimite mais trois serveurs travaillent enparallle. Cest un exemple de processus de Markov o la dure moyenne des servicesdpend du nombre de clients dans le systme (cf exemple 4 page 37).La reprsentation de la le M/M/3 est :0

1.

22.

33.

43.

. . .3.3Mais tous les phnomnes dattente ne sont pas des processus de naissance et de mort. . .Voir lesexercices.F. Sur 2011-201245 3.6. FORMULAIREet les probabilits pn stablissent par la formule des coupes, le nombre moyen declients dans le systme ou dans la le par le mme type de calcul que dans le cas M/M/1,et les temps de sjour moyen et de temps dattente moyen par les formules de Little. File M/M/2/4.Il sagit dun systme o deux serveurs travaillent en parallle, mais o le systme nepeut accueillir quau plus quatre clients (deux en service, et deux dans la le dattente).Cette fois lensemble des tats possibles est : {0, 1, 2, 3, 4} et la reprsentation de cettele est :0

1.

22.

32.

42.Les pn, N et Nf sobtiennent toujours de la mme manire.Mais attention, dans la formule de Little (T= N/), est le taux dentre effectif.Dans le cas o le systme est de taille limite (M/M/n/K), lorsquil est plein (avec uneprobabilit p(K)) les clients se prsentant ne peuvent pas entrer.Le taux darrive des clients est de par heure, or ce nest que dans une proportion(1 p(K)) quils peuvent entrer dans le systme. Le taux dentre effectif est donc :(1 p(K)).Donc il faut adapter les formules de Little en :T= N/_(1 p(K))_et :Tf= Nf/_(1 p(K))_3.6 FormulaireOn donne ici les formules en rgime permanent, avec les notations := /pk est la probabilit que le systme soit occup par k clients.N=

Kk=0k pk est le nombre moyen de clients dans le systme (K ventuelle-ment inni).Test le temps de sjour dans le systme (obtenu par la formule de Little).Nf=

Ksk=s (k s) pk est le nombre moyen de clients en attente (K ventuel-lement inni, s est le nombre de serveurs).Tf est le temps dattente dans le systme (obtenu par la formule de Little).Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 46Vous devez tre capable de retrouver les formules comme en page 42, faire enexercice !3.6.1 File M/M/1Cas dun nombre illimit de places dattentes, et un serveur.pn= n(1 )N=+

n=0npn=1 T= N/ =11 =1 Nf=+

n=1(n 1)pn=21 Tf= Nf/ =121 =11 3.6.2 File M/M/1/KCas de K places dattentes, un serveur.Si = :pk= k1 1 K+1N= 1 (K + 1)K+KK+1(1 )(1 K+1)Si = :pk=1K + 1N=K2Dans les deux cas, pK est la probabilit pour quun client arrivant soit perdu ou (avecle thorme ergodique) la proportion du temps o le serveur est occup.Nf= N (1 p0)T=N(1 pk)Tf=Nf(1 pK)F. Sur 2011-201247 3.6. FORMULAIRE3.6.3 File M/M/mCas dun nombre illimit de places dattentes, et m serveur.si km :pk=p0k!ksi km :pk=p0m!mkmkLa le est stable si la srie

+k=0pk converge, i.e. /m < 1 ou < m ou < m.On calcule alors :1/p0=mm!(1 /m)+m1

k=0kk!La probabilit pour que tous les serveurs soient occups est donn par la formuledite dErlang-C :(m, ) =m/(m!(1 /m))m/(m!(1 /m)) +

m1k=0k/k!On a aussi :N=m+1m!(1 /m)2p0 + T=NNf=m+1m!(1 /m)2p0Tf=Nf3.6.4 File M/M/m/mCas de m places dattentes, m serveur (donc le dattente vide : tout nouveau clientest servi immdiatement ou repart si aucun serveur nest libre).pk=k/k!1 + +2/2! + +m/m!La probabilit pour que tous les serveurs soient occups est donn par la formuledite dErlang-B :(m, ) = pm=m/m!

mk=0k/k!Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 48N= (1 pm)T=1Nf= 0Tf= 03.7 Les les M/GOn va voir dans cette section des rsultats relatifs aux les M/G, cest--dire lorsqueles arrives sont toujours des processus de Poisson, mais les services non.3.7.1 Processus de MarkovLe cadre des processus de Markov temps continu permet aussi de traiter le cas decertaines les M/G.Lexpression gnrale de Nt+h en fonction de Nt est au premier ordre en h) (toujourssous lhypothse dabsence de dpart et arrive simultanes) :Pr(Nt+h= n) =+

k=n1Pr(Nt+h= n| Nt= k) Pr(Nt= k) + o(h)= hPr(Nt= n 1) + Pr(Nt= n)++

k=n+1Pr(D(t, t +h) = k n) Pr(Nt= k) + o(h)o D(t, t +h) est le nombre de dparts entre t et t + h.Dans le cas oPr(D(t, t +h) =k) ne dpend pas det (cest l quapparat laprincipale restriction : le processus de dpart est tout de mme sans mmoire) et scritsous la forme kh + o(h) (dveloppement au premier ordre), on voit que ces modlesentrent dans le cadre gnral des processus de Markov temps continu (la discussionde la page 38 sadapte sans mal).La reprsentation locale (i.e. les arcs issus de ltat n) du graphe associ est :0 1 2. . .n-1n

1.n2.n1.n.n+1F. Sur 2011-201249 3.7. LES FILES M/GRemarque 1 : ce nest bien sr pas un processus de naissance et de mort.Remarque 2 : la situation est symtrique pour une le G/M.Plusieurs exemples rentrant dans ce cadre seront traits en exercice.3.7.2 File M/G/1 gnralePour nir, nous allons tablir des rsultats gnraux sur les les M/G/1.Tout dabord, remarquons que le cas M/M/1 et le cas particulier de M/G/1 traitdans la section prcdente (qui peuvent tous deux donner lieu une modlisation parun processus de Markov continu) sont bass sur labsence de mmoire de la dure deservice. En effet dans ce cas la probabilit dun (ou plusieurs) dparts entre t et t + hnedpendpasdet.Maintenant,entoutegnralitilyadpendance:danslecaslimite dune loi de dpart dterministe (disons toutes les minutes minute entire), laprobabilit de dpart entre t et par exemple t + 0, 5 dpend clairement de t.Nous allons voir dans cette section quil est encore possible dtablir des rsultatspar une analyse en moyenne du phnomne dattente.Dans la suite on suppose que les dures de services sont indpendants identiquementdistribus, donns par la variable alatoire Yde loi y.Nousallonscommencerpartablirlexpressiondelaprobabilitp0pourqueleserveur soit inoccup.Proposition 3.5Dans une le M/G/1 avec arrive Poissonnienne de taux et servicesindpendants de dure moyenne E(Y ), si p0 est la probabilit pour que le serveur soitinoccup, alors :1 p0= E(Y ).Dmonstration. Notons Xn le nombre de clients prsents dans le systme aprs le n-me dpart,An le nombre darrives pendant le service du n-me client (dessinez une frise chronologiquepour vous aider).Alors :Xn+1 = Xn +An +u(Xn)o u(Xn) = 1 si Xn1 (il y a un dpart car dans ce cas le serveur est effectivement occup)et u(Xn) = 0 si Xn = 0 (serveur inactif)Or daprs la proprit PASTA le nombre moyen de clients vu par un nouvel arrivant nedpend pas de linstant darrive, donc E(Xn) = E(Xn+1).Par suite de quoi : E(An) = E(u(Xn)).Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 50Or E(u(Xn)) = 0 Pr(Xn = 0) + 1 Pr(Xn1) = 1 p0,et E(An) est le nombre moyen darrives pendant un service, que lon calcule par :E(An) =n

k=0k_+0Pr(k arrives pendant t)y(t)dt=+

k=0k_+0et(t)kk!y(t)dt=_+0ety(t)t_+

k=0(t)kk!_dt=_+t=0ty(t)dt = E(Y )(rappelons que

+k=0(t)kk!= et)On a bien : 1 p0 = E(Y ) Remarquons que pour une le M/M/1, alorsE(Y ) =1/ et le formulaire nousdonne bien la mme expression.Remarquonsaussiquepourquelalenesallongepasindniment,lenombremoyen darrives pendant la dure dun service doit tre strictement infrieur 1, i.e.E(Y ) < 1.Nous allons voir maintenant que lon peut dterminer le nombre moyen de clientsdans le systme et le temps moyen dattente.Dans lexercice 3.9.1 sur le paradoxe de lautobus, on dmontrera de manire d-tourne la proprit suivante sur la dure rsiduelle de service (dnie comme la durerestant un serveur pour terminer son service lorsquun nouveau client arrive dans lale) :Proposition 3.6Dans une le M/G/1, le temps moyen rsiduel de service tr vrie :tr=12E(Y ) + Var(Y )2E(Y )o Yest la dure dun service.Dans la foule nous allons tablir des formules tablissant le temps dattente moyenet le nombre moyen de clients dans une le M/G/1. Notons =E(Y ). On supposeque < 1 pour que la le dattente ne sallonge pas indniment.DaprslapropritPASTA,unnouveauclientsvoit Nfclientsdanslale,quiseront servis avant lui sous hypothse de politique de service FIFO4. Chacun de cesclients aura un temps de service moyen de E(Y ).4Cest le seul endroit o nous faisons une hypothse sur la politique de service.F. Sur 2011-201251 3.7. LES FILES M/GDonc le temps moyen dattente dun nouveau client est : Nf E(Y ), augment deson temps rsiduel moyen dattente, le temps rsiduel dattente tant la diffrence entrelinstant de la n du service courant et linstant darrive.Le temps rsiduel dattente est 0 si le serveur est inoccup lorsque le nouveau clientarrive (avec une probabilit 1 daprs la proposition 3.5 et la proprit PASTA) etgal au temps rsiduel de service sinon (probabilit ).Donc : Tf= Nf E(Y ) + tr.Avec la loi de Little, Nf= Tf, donc :Tf=tr1 E(Y )et :Nf=tr1 E(Y )Comme le temps moyen de sjourT(temps dattente + temps de service) vrieT =Tf+ E(Y ) et le nombre moyen de client dans le systme vrieN=T, onconclut :Proposition 3.7(Formules de PollaczekKhinchine).Le nombre moyen de clients dans une le M/G/1 avec des arrives Poissonniennesde taux et une dure de service Yde loi quelconque5est :N= +2(1 + Var(Y )/E(Y )2)2(1 )Le temps moyen de sjour dans la le est :T= E(Y )_1 +(1 + Var(Y )/E(Y )2)2(1 )_Remarquons que dans le cas particulier M/M/1, alors Var(Y )/E(Y )2=1 (cf pro-position 3.2) et on retrouve les formules dj tablies.Dans le cas particulier M/D/1, alors Var(Y ) = 0.5Enn admettant au moins une esprance et une variance.Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 523.8 Rseaux de les dattenteNous ne traiterons cette situation que dans le cas dun exemple.Considrons une situation o les clients entrent dans un premier systme modlispar une le M/M/1/3 (taux dentre , taux de service 1), et quune fois quils ont tservis ils entrent dans une le M/M/1/2 (taux dentre

, taux de service 2), commereprsent sur le schma ci-dessous.1S22S1

12 1 Ici lentre dans le second systme suit bien un processus de Poisson, comme lasortie du premier systme (ds quun client a t servi dans le premier systme, il entresans dlai dans la seconde le). Le taux

dentre dans la seconde le est

=0lorsquil ny a pas de client servi en S1, sinon

= 1On ajoute lhypothse que lorsque lune des les est pleine, les clients arrivant sontperdus (les clients sortant du premier systme repartent sans passer par le deuxime).Notons (i, j) pour i {0, 1, 2, 3} et j {0, 1, 2} ltat du systme global : i clientsdans le premier systme dattente, j dans le second. Le systme peut tre reprsent parle graphe de la page suivante.F. Sur 2011-201253 3.8. RSEAUX DE FILES DATTENTE0,0

1,0

1

0,1

2FFFFFFFFFFFFFFFFFFF2,0

1

1,1

2FFFFFFFFFFFFFFFFFFF1

0,2

2FFFFFFFFFFFFFFFFFFF3,01

2,1

2FFFFFFFFFFFFFFFFFFF1

1,2

2FFFFFFFFFFFFFFFFFFF13,12FFFFFFFFFFFFFFFFFFF1

2,2

2FFFFFFFFFFFFFFFFFFF13,22FFFFFFFFFFFFFFFFFFF1OnestdanslasituationdunsystmedattenteM/Gdutypedeceuxdelasec-tion 3.7.1 et les calculs se font laide du thorme des coupes, formule de Little, etc.Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 54F. Sur 2011-201255 3.9. EXERCICES3.9 Exercices3.9.1 Paradoxe de lautobusLacadencemoyennedepassagedunautobusunarrtestapproximativementde 10 minutes.Quel est le temps moyen dattente dun autobus lorsquon arrive larrt ?3.9.2 Dimensionnement dun service-clientOn veut prvoir le nombre de conseillers affecter un service client tlphonique(une hotline ) de manire assurer que dans plus de 90% des cas, les appels sonttraits.On estime que les appels sont rpartis selon un processus de Poisson de taux = 40appels par heure, et que la dure des appels est rpartie selon une loi exponentielle demoyenne 1/ = 1/5 heure.On se placera dans les deux cas limites : 1) la le dattente est illimite (les clientssont mis en attente au cas o tous les conseillers sont occups et ont la patience dat-tendre), et 2) il ny a pas de le dattente (lorsque tous les conseillers sont occups, lesclients abandonnent).Quel est le cot conomique de passer dune qualit de service de 90% 99%?3.9.3 Vlos en libre service (rattrapage 2010-2011)On considre une station de vlos en libre service (Vlo Stanlib Nancy).Cette station a une capacit de stockage de trois vlos.On suppose que les vlos emprunts reviennent dans cette mme station (une seulestation pour toute la ville). La dure demprunt de chaque vlo est exponentielle, dedure moyenne 1/ = 30 minutes. Les utilisateurs arrivent selon une loi de Poisson detaux =2 utilisateurs/heure : si un vlo est disponible leur arrive ils lempruntent,sinon ils partent.1. Dessinez le graphe du processus de naissance et de mort associ. Les quatre tatscorrespondront au nombre de vlos disponibles dans la station.2. Dterminez la probabilit pk, en rgime permanent, pour quil y ait k vlos dansla station (0k3).3. Application numrique : calculez la probabilit pour quil ny ait aucun vlo lastation.4. On envisage daugmenter la capacit de stockage de la station de trois vlos Nvlos. Avec les valeurs prcdentes de et , comment xer Nde manire cequun utilisateur trouve au moins un vlo dans plus de 99% des cas ?Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 563.9.4 Chez le mdecin (examen 2010-2011)Un mdecin reoit des patients sans rendez-vous. Les arrives sont distribues demanire Poissonnienne avec un taux = 4 arrives/heure. La dure de consultation suitune loi exponentielle de moyenne 12 minutes. Bien sr, la salle dattente a une capacitlimite, et lorsquelle est pleine, les patients sont obligs daller ailleurs.Lemdecinvoudraitassurerunequalitdeservicetellequilsoitcapabledac-cueillir plus de 90% des patients se prsentant au cabinet.1. Quel modle vu en cours (donnez la notation de Kendall) vous semble bien repr-senter cette situation ?2. Comment dimensionner la salle dattente de manire atteindre la qualit de ser-vice cible ?3. En fait, les patients qui arrivent alors que la salle dattente nest pas pleine nentrentque sils jugent lattente raisonnable. On note N la capacit du cabinet (places enconsultation et en salle dattente). Si n < N est le nombre de patients dans le cabi-net, un nouveau patient dcide daller ailleurs avec une probabilit 1 1/(n + 1)(et donc dentrer dans la salle dattente avec une probabilit1/(n + 1)). Dansquelle proportion du temps la salle dattente est-elle pleine ?Faites le calcul avec la plus petite salle dattente rpondant la question prc-dente.3.9.5 Problme de maintenance informatique (examen 2010-2011)Un serveur informatique monoprocesseur reoit des requtes distribues selon unprocessus de Poisson de taux = 800 requtes / seconde. Le temps de traitement dunerequte est distribu selon une loi exponentielle de moyenne 1 milliseconde (taux deservice 1).En raison dune programmation dfaillante, lorsqueN 1 requtes sont dans lesystme et quune N-me requte arrive, le serveur plante, et doit tre redmarr parun technicien. Le temps dintervention du technicien est distribu de manire exponen-tielle, avec une moyenne 10 minutes (taux de service 2). Aprs redmarrage, toutes lesrequtes en attente sont perdues.On vous demande de ne pas faire dapplication numrique dans cet exercice.1. Dessinez le graphe du processus associ ce systme. Sagit-il dun processus denaissance et de mort ?2. Si0 k 0 :pNk=2sk1s 1pNF. Sur 2011-201257 3.9. EXERCICESo s = 1/.3. Quelle est la probabilit pour que le serveur soit hors-service ?4. En supposant que vous avez calcul les valeurs numriques despk(on ne vousdemande pas de le faire !), par quelle formule obtiendriez-vous le nombre moyende requtes dans le serveur ?3.9.6 tude dune le M/G/1 (examen 2010-2011)Daprs le cours phnomnes alatoires de Claudie Chabriac en M2 ISMAG Toulouse 2.On considre une petite agence, un employ. On suppose quelle peut accueillirun nombre illimit de clients, qui arrivent selon un processus de Poisson de taux = 3clients par heure. La dure de service est exponentielle, de moyenne 1/1= 10 minutes.Dans =80% des cas, le client se satisfait des explications, mais, dans =20% descas, le client demande des explications supplmentaires, de dures rparties selon uneloi exponentielle de moyenne1/2=20 minutes. On a donc affaire un systme detype M/G/1. Le but de cet exercice est den faire ltude par la mthode dite des sriesformelles.1. Dessinez le graphe associ ce phnomne dattente, en prcisant les transitions.Indication:lessommetscorrespondantaucasoaumoinsunclientestdanslagence seront nots (n, i), o n > 0 est le nombre de clients dans lagence, et ila phase de service du client que lon sert (i = 1 : explications standards ; i = 2 :explications supplmentaires).2. Soit pn,i les probabilits pour quen rgime stationnaire le systme se trouve dansltat (n, i), et p0 la probabilit pour quil ny ait pas de client dans lagence.Soit pn= pn,1+pn,2 si n > 0. Notons F(x) =

n=0pnxn, F1(x) =

+n=1pn,1xn,et F2(x) =

+n=1pn,2xn.tablissez les quations suivantes :___F1(x) + F2(x) = F(x) p01F1(x) + 2F2(x) = xF(x)_(1 x) + 2_F2(x) = 1F1(x)3. Soit Nlenombremoyendeclientsdanslagence. CommentsexprimeNenfonctions des pn ?4. Justiez le systme :___F1(1) + F2(1) = 1 p0; N= F

1(1) + F

2(1)1F1(1) + 2F2(1) = ; 1F

1(1) + 2F

2(1) = (N+ 1)1F1(1) = 2F2(1) ; 1F

1(1) = 2F

2(1) F2(1)Recherche OprationnelleCHAPITRE 3. LES FILES DATTENTES 58Quelles sont les inconnues ?5. Dmontrez que :N=F1(1) + F2(1) F1(1)F2(1) +F2(1)21 F1(1) F2(1)et exprimez F1(1) en fonction de et 1, et F2(1) en fonction de , , et 2.6. Comment trouver le temps moyen de sjour Tdans cette agence ?7. Quel est le taux dactivit de lemploy ?8. Application numrique : que valent ici N, T, et le taux dactivit ?F. Sur 2011-2012Chapitre 4Correction des exercicesCes corrections ont pour unique but de permettre le travail en autonomie aprs lasance de TD.Comme pour les solutions de mots-croiss, elles ne sont consulter quaprs avoirrchi lnonc (cest--dire aprs le TD).59CHAPITRE 4. CORRECTION DES EXERCICES 604.1 La programmation dynamique4.1.1 La distance ddition1. Il suft de vrierd(x, y) 0 (vident),d(x, y)=0 si et seulement six=y(vident aussi), d(x, y) =d(y, x) (vrai car insertion et substitution jouent desrles symtriques et ont le mme cot), et lingalit triangulaire.Si on peut passer laide de d(x, z) insertions/suppressions de x z et de d(z, y)insertions/suppressions de z y, alors on peut passer en d(x, z) +d(z, y) de x y.Donc d(x, y)d(x, z) + d(z, y).2. Pour passer du plus court des deux motsx etyau plus long, il faut au moins|mn| insertions. Donc |mn|d(x, y). Il y a dailleurs galit si et seulementsi on obtient le plus long des mots partir du plus court en exactement |m n|insertions.On peut passer dex yenm suppressions (de manire arriver au mot vide)suivies den insertions. Dod(x, y) m + n. On montre que le cas dgalitcorrespond aux mots nayant pas de lettre en commun (raisonnement par lab-surde).3. d(xi, y0) =i etd(x0, yj) =j(vident, ceci rsulte aussi des ingalits prc-dentes).4. crivons xi et yj sous la forme : xi= xi1 et yj= yj1.Il y a trois manires de transformer xi en yj :a) en transformant xi1 en yj1, puis,si = on na plus rien faire (cot total d(xi1, yj1)) ;si =, en supprimant la i-me lettre de x et en insrant la j-me lettrede y (cot total de d(xi1, yj1) + 2) ;b) entransformant xi1enyj, puisensupprimantlai-melettredexi(cotde d(xi1, yj) + 1) ;c) en transformant xi en yj1, puis en insrant la j-me lettre de yj (cot de d(xi, yj1)+1).Dans le premier cas, les cot des sous-cas =et=se confondent end(xi1, yj1) + 2i,j.Do la relation demande.5. Si on noteC(i, j) le cot pour le calcul rcursif de la distance entre deux motsde longueur i et j, alors C(i, j) C(i 1, j 1) + C(i 1, j) + C(i, j 1).En dpliant cette rcurrence sous forme arborescente (faire un dessin), on voitquil faut un arbre ternaire de profondeur n pour aboutir aux C(i, 0), C(0, j) donton connat la valeur par la question 3. En remontant : les cots de la profondeur nF. Sur 2011-201261 4.1. LA PROGRAMMATION DYNAMIQUEsont (au moins1) de 1 (et il y en a 3n, ceux la profondeur (n1) sont (au moins)de 3 (et il y en a 3n1), . . ., celui la profondeur 0 est (au moins) de 3n(et il y ena un).Do une complexit exponentielle : C(n, n)3n.6. Pour un algorithme de programmation dynamique, il suft dorganiser le calculdans un tableau de taille (m+ 1) (n + 1) comme en 7.7. On applique la formule de rcurrence pour remplir le tableau, on trouve d = 3.i i n g e n i e u rj 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9i 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8g 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7n 3 2 1 2 3 2 3 4 5 6e 4 3 2 3 2 3 4 3 4 5n 5 4 3 4 3 2 3 4 5 6e 6 5 4 5 4 3 4 3 4 5u 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4r 8 7 6 7 6 5 6 5 4 3On voit que la complexit en espace (pour le calcul de la distance) est en fait enO(min(m, n)) (on na pas besoin de mmoriser toutes les lignes du tableau, maisessentiellement la ligne qui prcde la ligne courante). Bien sr, il faut conservertout le tableau si on veut remonter les oprations par back-tracking.8. Par back-tracking on peut retrouver la suite des oprations (insertion/suppression)effectues pour arriver la distance ddition.i i n g e n i e u rj 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9i 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8g 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7n 3 2 1 2 3 2 3 4 5 6e 4 3 2 3 2 3 4 3 4 5n 5 4 3 4 3 2 3 4 5 6e 6 5 4 5 4 3 4 3 4 5u 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4r 8 7 6 7 6 5 6 5 4 3En partant de la case en haut gauche, un dplacement en diagonale correspondau cas a), un dplacement vers la droite au cas b), et vers la gauche au cas c).Do la suite de transformations :1 au moins car il ny a pas que des C(i, 0) ou C(0, j) au niveau n de larbre ternaire. . .Recherche OprationnelleCHAPITRE 4. CORRECTION DES EXERCICES 62ingenieurigngenieur (insertion) ignenieur (suppression)igneneur (suppression)Bien sr, il ny a pas unicit de la suite de transformations de longueur minimale.Question subsidiaire : on autorise prsent les substitutions, avec un cot de 1 (onchange le 2 en 1 dans la formule de rcurrence, lapplication numrique est modie).4.1.2 Problme de location de skis1. Comme dans tout problme doptimisation sur un support ni, le minimum existe.Supposons le minimum ralis par a non croissante. Donc il existe deux skieursi1 et i2 tels que i1< i2 et la(i1)> la(i2). On va montrer quen changeant les pairesde skis dei1 eti2, alors on naugmente jamais la valeur de la fonction objectif.Donc on peut transformer la fonction daffectation a en une fonction daffectationcroissante tout en diminuant ou conservant la valeur de la fonction objectif.Comme i1< i2, alors ti1ti2.Soit Dla diffrence entre la valeur de lobjectif ralis par a et la valeur ralise enchangeant les deux paires de skis comme prcdemment. Aprs simplication :D = |ti1 la(i1)| +|ti2 la(i2)| |ti1 la(i2)| |ti2 la(i1)|.Alors :a) si ti1ti2la(i2)la(i1) : D = 0b) si ti1la(i2)ti2la(i1) : D = 2(ti2 la(iZ))0c) si la(i2)ti1ti2la(i1) : D = 2(la(i1)ti1 0d) si la(i2)ti1la(i1)ti2 : D = 2(la(i1)la(i2)) > 0e) si la(i2)la(i1)ti1ti2 : D = 0.2. Considrons le ski j dans laffectation optimale donnant S(i, j). Ou bien ce skinest pas affect, et donc S(i, j)=S(i, j 1), ou bien il est affect, et dans cecas il sera ncessairement affect au i-me skieur car la fonction daffectation estcroissante.3. Pour calculer laffectation optimale, on commence par trier les skis et les skieurs.Puis on remplit un tableau :t1t2t3. . . tn1tnl1|t1 l1| x x . . . xl2o |t1 l1| +|t2 l2| x . . . x xl3o o |t1 l1| +|t2 l2| +|t3 l3| . . . x x...lm1x x x . . . o olmx x x . . . x SOLF. Sur 2011-201263 4.1. LA PROGRAMMATION DYNAMIQUEo x dsigne les cases que lon ne calcule pas et o les cases calculer.En effet : 1) sil ny a quun skieur, on lui attribue le ski le plus proche de sataille (initialisation de la colonne de t1) ; 2) sil y a autant de skieurs que de skislaffectation se fait simplement par a(i)=i ; 3) pour calculer la case courante laide de la formule de rcurrence, on a besoin des valeurs des cases au dessus gauche et au dessus.Le but est de calculer la valeur de la caseSOL, donc il nest pas ncessaire decalculer toutes les valeurs du triangle infrieur gauche : dans chacune desncolonnes, mn cases sont calculer.4. Complexit des tris : O(mlog(m) +nlog(n)) (admis, cf cours 1A ou page wiki-pedia), et n(mn) cases calculer. Do une complexit globale en :O(mlog(m) + nlog(n) + n(mn)).4.1.3 quilibrage de charge sur deux machines en parallle1. Lexpression deDTest vidente. Faites un dessin comme celui de la questionsuivante.2. minDT(n, T)=(

ni=1ti + T)/2. En effet, tout se passe comme si on avait unen + 1-me tche de dure T, et des machines exactement quilibres.On a :minDT(k, T) = min_minDT(k + 1, |T tk+1|), minDT(k + 1, T+ tk+1)_.En effet, la k +1-me tche est soit sur la machine la moins charge avec k tches(cas 1, deux sous-cas sont possibles selon que la dure de la k + 1-me tche estinfrieure ou suprieure T, do la valeur absolue), soit sur la machine la pluscharge (cas 2).Ceci est illustr sur le dessin suivant : les k premires tches sont en vert, la k+1-me en rouge, les n (k + 1) restantes places de manire optimale en noir. Leschma de gauche correspond au cas 1, celui de droite au cas 2.TminDT(k,T)TminDT(k,T)M1M2 M2M13. On cherche la valeur de minDT(0, 0).tape 1. Tvarie a priori entre 0 et 11 pour k = 4 (somme des temps).Recherche OprationnelleCHAPITRE 4. CORRECTION DES EXERCICES 64On connat les minDT(4, T) et on sait que :minDT(3, T) = min_minDT(4, |T 6|), minDT(4, T+ 6)_,o Tvarie entre 0 et 5 pour k = 3.On remplit le tableau ci-dessous.tape 2. Tvarie entre 0 et 3, la rcurrence scrit :minDT(2, T) = min_minDT(3, |T 2|), minDT(3, T+ 2)_.etc.T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11tape 0 minDT(4, T) 5.5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11tape 1 minDT(3, T) 8,5 8 7,5 7 6,5 6 - - - - - -tape 2 minDT(2, T) 7,5 7 6,5 6 - - - - - - - -tape 3 minDT(1, T) 6,5 6 - - - - - - - - - -tape 4 minDT(0, T) 6 - - - - - - - - - - -Remarque 1 : comme dans lexercice avec les skieurs, il nest pas ncessaire decalculer lintgralit du tableau pour arriver minDT(0, 0) qui est la valeur cher-che. Remarquons quon a intrt ordonner les tches par dure croissante pourminimiser le nombre doprations. On peut demander quelle est la complexit delalgorithme. On voit quil est en :O_1 +n

i=1ti + 1 +n1

i=1ti + + 1 + t1 + 1_= O_n + 1 +n

i=1(n + 1 i) ti_.Remarque 2 : les dures de n non-entires correspondent des dcalages Tnonralisables puisque les dures des tches sont entires. On pourrait encore simpli-er les calculs en liminant les cases correspondantes.Conclusion : lordonnancement optimal a une dure de 6.On fait une propagation arrire (en gras sur le tableau prcdent). Le cas dgalitdans lquation de rcurrence permet de dduire si la tche est place sur la ma-chine la moins charge ou sur la plus charge. On voit quon arrive un dcalageT= 1 entre les deux machines.Il est obtenu en plaant : la tche 1 sur la machine la plus charge (machine 1par exemple, arbitraire cette tape), puis la tche 2 sur la machine la plus char-ge (donc la machine 1), puis la tche 3 sur la machine la plus charge (doncmachine 1), puis la tche 4 sur la machine la moins charge (qui est alors la ma-chine 2).F. Sur 2011-201265 4.1. LA PROGRAMMATION DYNAMIQUECest--dire :- machine 1 : tches 1 - 2 - 3- machine 2 : tche 4Sans grande surprise. . . (mais il fallait une application numrique lgre ).4.1.4 Gestion de stockOn commence par remarquer :xk+1= max(xk + uk wk, 0),ce qui justie les expressions des cots.Le but est de minimiser :n

k=1ck(uk) + r(xk, uk, wk)Soit :F(n + 1, xn+1) = min(uk)1kn_n

k=1ck(uk) + r(xk, uk, wk)_.Lescommandesuksonttellesquelestockxknedpassepaslacapacitmaxi-male C, quelque soit k.On peut crire :F(n+1, xn+1) = minun{0,...,Cxn}_cn(un) + r(xn, un, wn) + min(uk)1kn1n1

k=1ck(uk) + r(xk, uk, wk)_Donc :F(n + 1, xn+1) = minun{0,...,Cxn}cn(un) + r(xn, un, wn) + F(n, xn+1un +wn).Lextension scrit :F(k + 1, xk+1) = minuk{0,Cxk}{ck(uk) + r(xk, uk, wk) + F(k, xk+1uk +wk)) ,qui est une quation de Bellman.Le problme initial se rsout par back-tracking connaissant xn+1= 0.Recherche OprationnelleCHAPITRE 4. CORRECTION DES EXERCICES 664.1.5 Programmation dynamique et plus court cheminLe but de cet exercice est de voir que la recherche de plus court chemin vue dans lessances prcdentes peut tre rsolue par la programmation dynamique. Cest dailleursun exemple standard doptimisation dune quation de Bellman. Tous les exercices de lasance GR2.2 peuvent tre rsolus par programmation dynamique plutt que par pointxe.Soit G le graphe considr et A et B les deux sommets.Notons C(S1, S2)lensembledescheminsdusommet S1ausommet S2, l(C)lalongueurdunchemin(lasommedesvaluationsdesarcsparcourus), et c(S1, S2)lavaluation de larc (S1, S2).d(A, B) = minCC(A,B)l(C)= minSG1(B)minC

C(A,S)_l(C

) + c(S, B)_= minSG1(B)_c(S, B) + minC

C(A,S)l(C

)_= minSG1(B)(c(S, B) + d(A, S)) .o G1(B) dsigne lensemble des antcdents de B.Do la formule de rcurrence satisfaisant le principe de Bellman :S

, d(A, S

) = minSG1(S

)(c(S, S

) + d(A, S))et linitialisation d(A, A) = 0.Remarque : cette manire de procder pour tablir lquation de rcurrence est ty-pique de ce quon ferait avec une quation de Bellman gnrique.Pour ce qui est de la mise en uvre. . .Ltape 1 consiste calculer les d(A, S

) pour les S

successeurs de A laide de laformule de rcurrence.Ltape 2 consiste calculer lesd(A, S

) pour lesS

successeurs des successeursde Adont on connat la distance des antcdents A(pour pouvoir utiliser la formulede rcurrence).etc.Pour lapplication numrique, dessinez le graphe et appliquez lalgorithme en par-tant du sommet A. On trouve d(A, B) = 13, et par back-tracking le chemin A, C, E, B.F. Sur 2011-201267 4.2. LES CHANES DE MARKOV4.2 Les chanes de Markov4.2.1 Lanatomie dun moteur de recherche1. Soit M= (mi,j) la matrice N N telle que :_mi,j= 0 sil ny a pas de lien de la page pi vers la page pj,mi,j= 1/L(pi) sinono L(pk) est le nombre de liens sortant de la page pk.Soit i {1, . . . , N}. On a :N

j=1mi,j=N

j=1i,j/L(pi) = 1/L(pi)N

j=1i,jo i,j vaut 1 si i pointe vers j et 0 sinon. Ainsi

Nj=1i,j est le nombre de lienssortant de pi (et est gal L(pi)), donc

Nj=1mi,j= 1.Dans le cadre de lindication :M=__1/3 1/3 1/31/2 1/2 00 1/2 1/2__2. Le systme se rsout en : (PR1, PR2, PR3) = (3/9, 4/9, 2/9).Ce rsultat est conforme lexplication intuitive : la pagep2a le plus fort Pa-geRank car elle est la page avec le plus de liens vers elle ; p1 et p3 ont le mmenombre de liens vers elles mais p1 hrite en partie du fort PageRank de p2.3. Certaines pages (ou sites web) nont pas de liens vers lextrieur et forment doncdes classes nales. Donc la chane de Markov est rductible, donc nest pas ergo-dique. La chane tant rductible, il ny a pas unicit de la distribution stationnaire,donc le PageRank nest pas dni de manire unique.4. On dnit M= (mi,j) par :_mi,j=1dNsil ny a pas de lien de la page pi vers la page pj,mi,j= (1 d)/N+d/L(pi) sinonSoit i {1, . . . , N}. On a :N

j=1mi,j= 1 d + dN

j=1i,j/L(pi) = 1 d +d = 1.Recherche OprationnelleCHAPITRE 4. CORRECTION DES EXERCICES 68Cette matrice stochastique M vrie bien :PR M =__1 dNN

i=1PR(i) + d

pjP(pi)PR(pj)L(pj)__i{1,...,N}= PRDaprs la dnition de Brin et Page car

Ni=1 PR(i) = 1.5. La chane associe cette matrice de transition est apriodique et irrductible (legraphe est complet), donc la chane est ergodique.Ainsi le PageRank est correctement dni (unicit de la distribution stationnaire).6. La suite de la citation est :The probability that the random surfer visits a page is its PageRank.And, the d damping factor is the probability at each page the "randomsurfer" will get bored and request another random page.Le PageRank est la distribution stationnaire atteinte par le surfer qui parcourt leweb ; chaque page il a une alternative : soit il demande une page au hasard (avecla probabilit 1 d), soit il clique au hasard sur un des liens de la page courante.Le cas d = 0 correspond une succession de page web alatoire. Toutes les pagesont alors le mme PageRank de 1/N.Le cas d=1 correspond la premire formulation, qui ne permet pas de dnircorrectement le PageRank.F. Sur 2011-201269 4.3. LES FILES DATTENTE4.3 Les les dattente4.3.1 Paradoxe de lautobusLa dure entre deux arrives suit un processus alatoire de moyenne 10 minutes.Soit Xi (i > 0) la variable alatoire reprsentant la dure entre la i 1-me arriveet la i-me arrive. On suppose les Xi indpendants et identiquement distribus.Voici le graphe du temps dattente Ta(t) en fonction du temps t darrive larrt :TaX1X2X3X4X6X5tEn effet, le temps dattente scrit sous la forme : Ta(t)=tn(t) t, o n(t) est lenumro dordre du premier autobus arrivant aprs la date t, et tn(t) son horaire darrive.Le temps moyen dattente sur lintervalle [0, t] est donc :1t_t0Ta()d=1t__n(t)

i=112X2i R(t)__o R(t) est un reste positif (born).Comme t/n(t) X (dure moyenne entre deux passage) et R(t)/t 0 :Ta 1n(t)Xn(t)

i=112X2i .Donc :Ta=X22Xavec X2la moyenne des X2i .Recherche OprationnelleCHAPITRE 4. CORRECTION DES EXERCICES 70Comme Var(X) = X2X2(algbre de la variance), on dduit :Ta=12X + Var(X)2X.Conclusion(s) :Letempsmoyendattentedubusesttoujourssuprieurlamoitidutempsmoyen entre deux passages. . .(contrairement lintuition)Il ne peut tre exactement gal la moiti du temps de passage que dans le caso la variance est nulle (cas dgalit), donc dans le cas dintervalles de passagesdterministes.Dans le cas o les dures sont distribues selon une loi de Poisson de paramtre ,alors Var(X) = 1/2= X2. Donc dans ce cas : W= X.Le temps moyen dattente est alors gal au temps moyen entre deux passages !(cest une manifestation de leffet PASTA : le temps moyen dattente ne dpendpas de linstant darrive, et est gal en particulier au temps dattente lorsquonarrive juste au dpart dun bus.)Plus la variance des temps de passage est grande, plus le temps dattente lestaussi. Il peut mme tre arbitrairement grand. Une explication intuitive est queplus la variance est grande, plus on a de chance darriver dans un grand intervallede temps entre deux passages.Par le mme raisonnement on peut dire que dans une le M/G/1, le temps moyenque dure la n dun service lorsquun nouveau client trouve le serveur occup est :Ta=12X + Var(X)2X.En effet, ici le serveur (le bus) est toujours occup linstant o un nouveau client (unpassager) arrive.Par dnition, Ta est la dure rsiduelle de service.4.3.2 Dimensionnement dun service-clientNotons m le nombre de conseillers employer, et = / = 8.Dans le cas 1) il sagit dune le M/M/m, et dans le cas 2) dune le M/M/m/m.Dans le cas 1), il doit y avoir au moins 8 conseillers, sinon la le dattente sallongeindniment (pas de rgime permanent)Avec la proprit PASTA, un client qui appelle a une probabilitm=

+k=mpk(cas 1) ou m= pm (cas 2) de voir la le pleine.Avec le formulaire :F. Sur 2011-201271 4.3. LES FILES DATTENTECas 1)m=+

k=mpk=+

k=mkm!mkmp0=mm!(1 /m)p0=m/(m!(1 /m))m/(m!(1 /m)) +

m1k=0k/k!Cette dernire formule est a