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SECTION SMIA

MODULE Algbre 1

Chapitre INotions de bases mathmatiques

ParMustapha Chellali

Le 2 Septembre 2014

1. NOTIONS DE LOGIQUE

1.1. Oprateurs logiques. Les objets de la logique sont les propositions. Une proposition est soitVRAIE soit FAUSSE. A partir de propositions P1 P2 Pn , on peut construire au moyen dun opra-teur f , une nouvelle proposition :

Q = f (P1,P2, ,Pn)La valeur logique de Q est donne en fonction des 2n valeurs possibles de (P1 P2 Pn), pour

cela on utilise souvent une table 2n entres, dite table de vrit de loprateur f . Voici les opra-teurs fondamentaux utiliss en logique :

Loprateur ngation Q =Non(P ) (not aussi P ou P )

P Non(P )V FF V

Remarque . Non(Non(P ) a toujours mme valeur logique que P. On crit :

Non(Non(P )) P

Loprateur conjonction logique Q = P1 et P2

P1 P2 P1 et P2V V VV F FF V FF F F

Loprateur disjonction logique Q = P1 ou P2

P1 P2 P1 ou P2V V VV F VF V VF F F

Loprateur implication logique

Q = (P1 = P2)= (Non(P1) ou P2)

P1 P2 P1 = P2V V VV F FF V VF F V

Loprateur equivalence logiqueQ =(P1 P2)= ((P1 = P2) et (P2 = P1))

P1 P2 P1 P2V V VV F FF V FF F V

Remarque . Quand P1 P2 est vraie, P1 et P2 ont toujours mme valeur logique; tout sepasse comme si P1 = P2.

1.2. Le quantificateur universel. On appel tautologie une proposition qui est toujours vraie (ex-emple : Soit P une proposition, la proposition (P ou Non(P)) est une tautologie). Si une propositionP dpend dun paramtre x, une faon de dire que P est une tautologie est dcrire :

x Pqui se lit "Quel que soit x P est vraie".

Exemple :

x (x = y) ou (x 6= y)

Remarque . Il arrive de trouver une proposition de la form

x1, x2, , xn PIl est quivalente

x1 (x2 (x3 (xn P )) )1.3. Le quantificateur existentiel . Quand une proposition nest pas une tautologie, cela ne veutpas dire quelle est toujours fausse, on crit alors ;

x Non(P )qui se lit : Il existe x tel que P est fausse

Ainsi dire que Non(P) nest pas une tautologie quivaut

x Pqui se lit : Il existe x tel que P est vraie.On a donc

Non(x P )= (x Non(P ))

Non(x P )= (x Non(P ))On peut imbriquer les quantificateurs universel et existentiel

x (y (z (t u (v P ))))La ngation est

(x (y (z (t u (v Non(P )))))Remarque . Il arrive de trouver une proposition de la form

x1, x2, , xn PIl est quivalente

x1 (x2 (x3 (xn P )) )1.4. proprits des oprateurs logiques.

Commutativit du ET

(P1 et P2) (P2 et P1) Associativit du ET

(P1 et (P2 et P3)) ((P1 et P2) et P3)Remarque . Lassociativit du ET permet sans spcifier les parenthses de donner un sens lcriture :

P1 et P2 et et Pn Distributivit du ET par rapport lui-mme

(P1 et (P2 et P3)) ((P1 et P2) et (P1 et P3) Idempotence du et

(P et P ) P Commutativit du ou

(P1 ou P2) (P2 ou P1) Associativit du ou

(P1 ou (P2 ou P3)) ((P1 ou P2) ou P3)Remarque . Lassociativit du OU permet sans spcifier les parenthses de donner un sens lcriture :

P1 ou P2 ou ou Pn Distributivit du ou par rapport lui-mme

(P1 ou (P2 ou P3)) ((P1 ou P2) ou (P1 ou P3) Idempotence du ou

(P ou P ) P

Distributivit du et par rapport ou

(P1 et (P2 ou P3)) ((P1 et P2) ou (P1 et P3) Distributivit du ou par rapport er

(P1 ou (P2 et P3)) ((P1 ou P2) et (P1 ou P3) Relations de Morgan

(Non(P1 et P2)) (Non(P1) ou Non(P2))

(Non(P1 ou P2)) (Non(P1) et Non(P2)) Implication contrapose

(P =Q) (Non(Q)=Non(P )) Principes de superposition

((P1 ou P2 ou ou Pn)=R) ((P1 =R) et (P2 =R) et et (Pn =R)((P1 et P2 et et Pn)=R) ((P1 =R) ou (P2 =R) ou ou (Pn =R)(P = (R1 et R2 et et Rn)) ((P =R1) et (P =R2) et et (P =Rn)

(P = (R1 ou R2 ou ou Rn)) ((P =R1) ou (P =R2) ou ou (P =Rn) Rflexivit de limplication : Pour tout proposition P la proposition P = P est vraie Transitivit de limplication : Pour toutes propositions P,Q,R on a

((P =Q) et (Q =R))= (P =R) Rflexivit de lquivalence : Pour tout proposition P la proposition P P est vraie Transitivit de lquivalence : Pour toutes propositions P,Q,R on a

((P Q) et (Q R))= (P R)Remarque . Ils existent de nombreaux thormes dans lesquels il est question de montrer quedes propositions P1,P2, ,Pn sont equivalentes il suffit par la transitivit de montrer

P1 = P2 = = Pn = P1Lordre P1,P2, ,Pn est arbitraire, il est astucieux dadopter lordre qui simplifie le mieux

les preuves des implications.

Pour dmontrer ces relations, cest facile, on calcule dans une mme table de vrit le mem-bre de gauche et le membre de droite, et on vrifie quils ont toujours mme valeurs logiques,autrement dit les colonnes correspondants sont gaux. A titre dexemples voici les preuves de ladistributivit du ET par rapport OU et de la distributivit du OU par rapport ET et des relationsde Morgan :

P1 P2 P3 P1 et (P2 ou P3) (P1 et P2) ou (P1 etP3)V V V V VV V F V VV F V V VV F F F FF V V F FF V F F FF F V F FF F F F F

P1 P2 P3 P1 ou (P2 et P3) (P1 ou P2) et (P1 ouP3)V V V V VV V F V VV F V V VV F F V VF V V V VF V F F FF F V F FF F F F F

P1 P2 Non(P1 et P2) Non(P1) ou Non(P2)V V F FV F V VF V V VF F V V

P1 P2 Non(P1 ou P2) Non(P1) et Non(P2)V V F FV F F FF V F FF F V V

2. THORIE DES ENSEMBLES

2.1. Axiomes de la Thorie des ensembles. Les objets de base en mathmatiques sont les ensem-bles. En dfinitif en mathmatiques tout est ensemble. La manipulation des ensembles se fait parla logique et par les axiomes suivants (les rgles du jeu) :

Axiome -1 Etant donns les ensembles x et X , la proposition x X est vraie ou fausse (On lit x appar-tient X ou x est un lment de X ).

Axiome -2 Deux ensembles X et Y sont dit gaux si :

x (x X ) (x Y )Axiome -3 Soient x1, x2, , xn des ensembles (des objets), il existe un ensemble X tel que :

x (x X ) ((x = x1) ou (x = x2) ou ou (x = xn)))On le note X = {x1, x2, , xn}. On dit que lensemble X est not en extension.

Remarques .(a) Par laxiome 2, lensemble X ainsi dfinit est unique.(b) {a, a, a,b,b,c,c,c,c}= {a,b,c}

car par lidempotence ((x = a) ou (x = a) ou (x = a)) (x = a)

Soit X un ensemble, si il existe une proposition P (x) dpendant de lobjet x tel que :

x (x X ) P (x)On crit X = {x | P (x)}. On dit que X est not en comprhension (par opposition la

notation en extension).

P (x)=Descr i pti f des element s de X

Exemple : X = {x | x N x 100 et x2 61}Remarque . Pas nimporte quelle proposition P (x) dfinit un ensemble. Par exemple

{x | x x}nest pas un ensemble car supposons que cest un ensemble X , si X X alors X X , et si

X X alors X X .

De mme X = {x | x X } et X = {x | X x} et X = {x | V r ai e} ne dfinissent pas des ensem-bles.

Axiome -4 Pour tout ensemble X on a X X .

(Il en rsulte en particulier que pour tout ensemble X on a X 6= {X } car sinon comme onX {X } alors X X ).Remarque . Les axiomes prcdents ne permettent pas dexhiber un seul ensemble. Cestlobjet de laxiome suivant.

Axiome -5 Il existe un ensemble ; vrifiant :

x x ;On lappel lensemble vide. Par laxiome 2, il est unique.

Remarque . On peut maintenant construire un ensemble un lment {;} et un ensemble deux lments {;, {;}} et un ensemble trois lment {;, {;} , {;, {;}}} et ainsi de suite. Mais ilest impossible de construire jusqu maintenant un ensemble infini. Cest lobjet de laxiomesuivant :

Axiome -6 Il existe un ensemble infini

Nous prcisement plus loin le terme infini, grosso et modo cest un ensemble qui ne peutpas tre not en extension, ce qui ne veut pas dire quun ensemble not en comprhensionest forcment infini.

Axiome -7 Soit E un ensemble, alors {x | X E et x X }

est un ensemble. On le note

XEX

Si E = {A,B} on a XE

X = {x | (x A) ou (x B)}

On le note AB ce qui se lit A union B.

Axiome -8 Soit E un ensemble, alors {x | X (X E )= (x X )}

est un ensemble. On le note

XEX

Si E = {A,B} on a XE

X = {x | (x A) et (x B)}

On le note AB ce qui se lit A intersection B.Dfinition 1. Soient A,B des ensembles. On dit que lensemble A est inclu dans lensemble B(ou que A est un sous ensemble de B ou que cest une partie de B) si

x ((x A)= (x B))on note A B

Remarque .

(a) Soient A,B des ensembles, on a

((A =B) ((A B) et (B A)))(b) Pour tout ensemble E on a E E.(c) Pour tout ensemble E on a ; E.

Rien de ce qui prcde ne permet daffirmer que les parties dun ensemble forment unensemble.

Axiome -9 Soit E un ensemble, alors

{X | X E }est un ensemble. On lappel ensemble des parties de E , on le note (E).

Exemple : Soit E = {a,b,c} alors

(E)= {;, {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {b,c} ,E }

Axiome -10 Soit P (x) une proposition dpendant du paramtre x et E un ensemble, alors

{x | (x E) et P (x)}est un ensemble (de plus cest un sous ensemble de E).

Il en rsulte en particulier que si A,B sont des ensembles

{x | (x A) et (x B)}est un ensemble, on le note A \B qui se lit A moin B . pour E fix et A E lensemble E \ A

sappel complmentaire de A dans E et se note auss Ac .

2.2. Les quantificateurs et et les ensembles. On utilise aussi beaucoup la notation

x E P (x)(o E est un ensemble) cette expression quivaut :

x ((x E)= P (x))De mme

x E P (x)quivaut

x ((x E) et P (x))Par application des rgles de ngation des quantificateurs, on voit que la ngation de

x E P (x)est

x E Non(P (x))De mme la ngation de

x E P (x)est

x E Non(P (x))On peut imbriquer les quantificateurs universel et existentiel

x E (y F (z G (t H u I (v J P ))))La ngation est

x E (y F (z G (t H u I (v J Non(P )))))2.3. Proprits des oprations sur les ensembles.Soient E ,F des ensembles. Notons E et F en comprhension :

E = {x | P } F = {x |Q}Il en rsulte que

E F = {x | P et Q}E F = {x | P ou Q}

E \ F = {x | P et Non(Q)}(E F ) (P =Q)

(E = F ) (P Q)Il rsulte des proprits des oprateurs logiques des proprits parallles sur les ensembles :

Commutativit du

E1 E2 = E2 E1 Associativit du

E1 (E2 E3)= (E1 E2) E3Remarque . Lassociativit du permet sans spcifier les parenthses de donner un sens lcriture :

E1 E2 En Distributivit du par rapport lui-mme

E1 (E2 E3)= (E1 E2) (E1 E3)

Idempotence du

E E = E Commutativit du

E1 E2 = E2 E1 Associativit du

E1 (E2 E3)= (E1 E2) E3Remarque . Lassociativit du permet sans spcifier les parenthses de donner un sens lcriture :

E1 E2 En Distributivit du par rapport lui-mme

E1 (E2 E3)= (E1 E2) (E1 E3) Idempotence du

E E = E Distributivit du par rapport

E1 (E2 E3)= (E1 E2) (E1 E3) Distributivit du par rapport

E1 (E2 E3)= (E1 E2) (E1 E3) Relations de Morgan

(E1 E2)c = (E1)c (E2)c

(E1 E2)c = (E1)c (E2)c Inclusion contrapose

(E F ) (F c E c ) Principes de superposition

((E1 E2 En) F ) ((E1 F ) et (E2 F ) et et (En F )((E1 E2 En) F )= ((E1 F ) ou (E2 F ) ou ou (En F )(E (F1 F2 Fn)) ((E F1) et (E F2) et et (E Fn)

(E (F1 F2 Fn))= ((E F1) ou (E F2) ou ou (E Fn) Rflxivit de linclusion :

E (E E) Transitivit de linclusion :

E ,F,G ((E F ) et (F G))= (E G)

rflexivit de lgalit

E (E = E) Transitivit de lgalit

E ,F,G (((E = F ) et (F =G)))= (E =G)

Pour dmontrer ces relations, on les dmontre localement pour chaque x fix en posant Pi = x Ei et en utilisant les proprits des oprations sur les oprateurs logiques (cf paragraphe 4 de lasection I)

A titre dexercice expliquer pourquoi les implications 2 et 4 ci-dessous du principe de superpo-sition ne sont pas des quivalences.

3. LENSEMBLE N DES ENTIERS NATURELS

Le but de ce paragraphe est de construire lensembleN des entiers naturels. Cest aussi locasionde voir lutilit des ensembles et de voir beaucoups de type de raisonnements (labsurde, distinc-tion des cas, dductions, . . . ).

Thorme 2. [Thorme de de Peano]Il existe un ensembleN vrifiant :

1. Il existe un lment 0 N.2. Tout lment n N admet un suivant unique n+1.3. Deux lments qui ont mme suivant sont gaux.4. Aucun lment deN na pour suivant 0.5. Si une partie A deN contient 0 et le suivant de chacun de ses lments alors A =N.

Ce thorme rsulte de laxiome de lexistance dun ensemble infini. Prcisons dabord ce questun ensemble infini :

Dfinition 3. Un ensemble E et dit infini si il existe x0 E et une bijection : E E \ {x0}.Nous prcisons au chapitre 2 les notions dapplications et de bijections.

Preuve du thorme de Peano : Par laxiome 5 il existe un ensemble infini E . Soit x0 E et : E E \ {x0} une bijection. Une partie A de E est dite stable par si pour tout x A on a(x) A, par exemple E est stable et toute intersection de parties stable est stable. Posons Nlintersection des parties stables de E contenant x0, Montrons que avec 0 = x0 et (n) = n + 1,lensemble N rpond aux conditions du thorme :

1. 0 N par construction.2. Tout lment n N vrifie (n) N car N est stable.3. Deux lments de N qui ont mme suivant sont gaux car est injective.4. Aucun lment de N na pour suivant 0 car : E E \ {x0}.5. Si une partie A de N vrifie 0 A et x A (x) A, alors A est stable et contient 0 par

suite N A (car par construction N est lintersection des parties stables de E), par suiteN = A .

Remarque . La proprit 5 est la base du raisonnement par rcurrence (voir paragraphe suivant).

Nous approfondirons au chapitre 3 ltude de N. Pour le paragraphe suivant on aura besoinseulement du thorme de Peano et de lordre naturel deN :

Proposition 4. Soit N un ensemble des entiers naturel solution du thorme de Peano. Lapplicationsuivant : N N \ {0} est une bijection (autrement dit tout lment 6= 0 de N est le suivant dunlment de N).

Preuve de la proposition : Soit x N avec x 6= 0, si x (N) alors N \ {x} serait aussi stable etcontient 0 par suite par la proprit 5 du thorme de PeanoN=N\ {x} ce qui est absurde Corollaire 5. N est infini.

Notation : Soit N une solution du thorme de Peano. Soit :NN \ {0} la bijection suivant.Pour x N on note Nx lintersection des parties stables par contenant x.

Il rsulte de cette dfinition que pour toute partie S deN on a

(x S et S st able) =Nx S)

Dfinition 6. Pour x, y N on dit que x est infrieur ou gal y et on note x y si y Nx .

Remarque .x y Ny Nx

Proposition 7. La relation est une relation dordre total sur N.Pour la preuve de cette proposition on aura besoin des deux lemmes suivants :

Lemme 8. Soit x N et (x) le suivant de x, on a :

Nx = {x}N(x)Preuve du lemme : Comme x Nx et Nx stable on a (x) Nx , par suite N(x) Nx , donc {x}

N(x) Nx . dautre part {x}N(x) est stable par (car pour x1 {x}N(x), si x1 = x on a (x) {x}N(x), pour x1 N(x) on a (x1) N(x)), comme il contient x on a Nx {x}N(x) .Lemme 9. Soit x N et lapplication suivant de x, on a :

(Nx)=Nx \ {x}Preuve du lemme : Soit y Nx \ {x}. Si on avait y (Nx), alors Nx \

{y}

serai stable et contientx, par suite Nx Nx \

{y}

ce qui est absurde. Montrons que x (Nx). Posons

A = {x | x N et x (Nx)}On a 0 A car 0 (N). Soit x A, supposons que(x) A, cest--dire(x) (N(x)), par suite

il existe x1 N(x) tel que(x)=(x1), comme est injective x = x1 donc x N(x), montrons queN(x) (Nx), on a (Nx) stable (car ((Nx) Nx)=(((Nx))(Nx))) et contient (x) donc

N(x) (Nx), donc x (Nx)) cest--dire x A contradiction, par suite(x) A, par la proprit5 du thorme de Peano on a A =N, cest--dire

x N x (Nx) Preuve de la proposition : Montrons que est une relation dordre surN.

est rflexive car pour tout x N comme x Nx on a par dfinition x x. est anti-symtrique cest--dire :

x, y N (x y et y x)= x = yOn a (x y et y x) = (Ny Nx) et (Nx Ny ) donc Nx = Ny , donc x Ny , si on avait

x 6= y alors x (Ny )=(Nx) ce qui contredit le lemme 9, donc x = y . est transitive, cest--dire :

x, y, z N (x y et y z)= x zOn a (x y et y z) ((Ny Nx) et (Nz Ny ))=Nz Nx = x z.

est un ordre total car soit x N, soit :

A = {y N | (x y) ou (y x)}On a : 0 A car x N0 et N0 =N par la proprit 5. Soit y A, montrons que (y) A :

Si x y cest--dire y Nx alors (y) Nx soit x (y) donc (y) A. Si y x cest--dire x Ny alors x

{y}N(y), donc ou bien x = y donc x y on

est dans le 1er cas, ou bien x N(y) donc (y) x, donc (y) A.Conclusion par la proprit 5 du thorme de Peano on a A =N

Proposition 10. Toute partie non vide de N admet un plus petit lment.

Preuve de la proposition : Soit A une partie non vide de N. Supposons que A nadmet pas deplus petit lment, posons :

A1 = {x N | [0, x] A =;} 0 A1 car [0,0]= {0} et 0 A sinon A admettrai un plus petit lment 0. Soit x A1, montrons que (x) A1 on a par le lemme 8

[0,(x)

] = [0, x] {(x)}, comme[0, x] A = ; on a [0,(x)] A = {(x)} A = ; sauf si (x) A, or si (x) A comme[0, x]A =; on aurait y A y [0, x] cest--dire y > x donc y (x) et comme(y) A il serait le plus petit lment de A contradiction.

Conclusion A1 =N donc A =; .La proposition quit suit montre quil nexiste essentiellement quun seul ensemble N solution

du thorme de Peano :

Proposition 11. SoientN1,N2 deux solutions du thorme de Peano, notons n. le suivant de n pourn N1 et n N2, il existe une bijection :N1 N2 vrifiant :

n N1 (n.)= ((n)).

4. RAISONNEMENTS MATHMATIQUES

4.1. Notion de preuve mathmatiques : Une preuve mathmatique est une suite de dductionlmentaires (cest--dire impossible mettre en dsaccord deux personnes sages). La dduc-tion rsulte soit dun rsultat bien connu du cours (axiome, tautologie, dfinition, proposition,thorme, lemme, corollaire) ou dun rsultat classique (thorme de Pythagore, . . . ) ou du rsul-tat dune tape prcdente.

4.2. Principales mthode de raisonnement mathmatiques.

4.2.1. Raisonnement par dduction : Le principe est le suivant : Sachant que limplication P =Rest vraie, et sachant que P est vraie, on en dduit que R est vraie.

Exemples (Autant qul y a dimplications vraies)

1. x R= x2 0 et x =2 alors (2)2 0.2. (d ,n N et d |n et n pr emi er )= d = 1 ou n et a N et a|17 et a 6= 1 alors a = 17.3. . . .

4.2.2. Raisonnement par implication contrapose : Pour montrer quune implication P =Q estvraie, il peut tre plus simple de montrer sa contrapos Non(Q)=Non(P ).

Exemples :

1. Montrer que (a2 6= 16)= (a 6= 4), il est plus simple de montrer que a = 4= (a2 = 16).2. On ne doit pas abuser de cette mthode car dans de nombreux exemples la contrapose

nest gure plus simple que limplication directe, exemple x =p2= x Q

4.2.3. Raisonnement par distinction des cas : le principe est le suivant : Pour montrer quune im-plication P =R, on cherche des propositions P1,P2, ,Pn (les cas) telles que P (P1 ou P2 ou ou Pn),alors montrer que P = R quivaut montrer que P1 = R et P2 = R et . . . Pn = R, lintret estque parfois Pi =R sont beaucoups plus simples dmontrer.

Exemples (Thoriquement autant quil y a dimplications vraie, mais il y a des exemples type)

1. Montrer que pour tout entier n on a 6|n(n1)(n2). Soit r le reste de la division divisioneuclidienne de n par 6. On a n = 6q + r 1er cas r = 0 alors n(n1)(n2)= 6q(n1)(n2). 2me cas r = 1 alors n(n1)(n2)= n(6q)(n2). 3me r = 2 alors n(n1)(n2)= n(n1)(6q). 4me r = 3 alors n(n1)(n2)= 6(2q +1)(3q +1)(n2). 5me r = 4 alors n(n1)(n2)= 6(3q +2)(2q +1)(n2). 6me r = 5 alors n(n1)(n2)= 6n(2q +3)(2q +1).

2. Montrer que x R= x2 0. 1er cas x 0= x2 = x.x 0.

2me cas x 0= (x) 0= x2 = (x)(x) 0.3. Rsoudre 3|x1|+2|x|1= 0.4. Montrer que x R= x2+x+1> 0.

1er cas x 0= x2+x+1> 0. 2me cas x < 0= x2+x+1< x2+1= (x+1)2 < x2+x+1= 0< x2+x+1.

5. Rsoudre lingalit 0 sin(x) 1/2. On discute suivant les rgions de x dans le cercletrigonomtrique.

6. Rsoudre le systme

{x y =mx+y = 2

On discute suivant les valeurs de m,.7. Trouver tous les x, y Z tel que x+ y +2x+4y = 16.

On transforme lexpression x+ y +2x+4y = 16 en (x+4)(y +2)= 24 et en discute suivantles diviseurs de 24.

8. Montrons que x |x1| est continue en x = 1.On discute suivant que x 1+ ou x 1.

9. Soit p un nombre premier. Sachant que pour n premier p on a p|(np11), montrons quen N p|(np n).

On discute suivant que n est premier p ou divisible par p.10. Soit un polygone n cots. Montrons que la somme de ses angle est gal (n2)pi.

on discute suivant que le polygone est un triangle ou non.

4.2.4. Raisonnement par la table de vrit.

Cest un cas particulier de raisonnement par distinction des cas.

Exemples

1. Pour prouver une loi logique (une tautologie)

f (P1, ,Pn) g (P1, ,Pn)On calcul les deux membres dans une mme table de vrit 2n entres et on vrifie que

les deux colonnes correspondants sont identiques.2. Pour montrer une galit entre ensembles f (E1,E2, ,En) = g (E1,E2, ,En) o f , g sont

des expressions nutilisant que,,\ on crit Ei = {x | Pi } on transforme lgalit f (E1,E2, ,En)=g (E1,E2, ,En) en une loi logique (en utilisant lisomorphisme entre oprations logiques etoprations ensemblistes)

4.2.5. Raisonnement par le contre-exemple.

Le principe est le suivant : Pour montrer quune proposition de la forme :

x Pest fausse, on montre que sa ngation :

x Non(P )est vraie, pour cela on procde par tatonnement en donnant des valeurs successives x jusqu

obtenir le x qui vrifie Non(P ), a peut tre une opration longue (on peut mme avoir besoin delaide dun ordinateur).

Exemples :

1. Montrer que la proposition suivante est fausse :

x R x25x+6 0On essaye x = 0,1,2,3 on trouve x = 5/2.

2. Montrer que la proposition suivante est fausse :

Toute f oncti on conti nue en 0 est dr i vable en 0

On prend f : x |x|3. Montrer que la proposition suivante est fausse :

Toute f oncti on conti nue dr oi te en 0 est dr i vable dr oi te en 0

On prend f : x {

x sin(1/x) si x 6= 00 si x = 0

4. Le mathmaticien Euler affirmait que :

n N 22n +1 est pr emi erMontrer que laffirmation dEuler est fausse.

Laffirmation dEuler est vraie jusqu n = 0,1,2,3,4. Pour n = 5 on a :

225 +1= 4294967297= 641.6700417

5. Soit p N si 2p1 est premier alors p est premier (crire p = ab pui 2p1= (2a1)(2a(b1)+2a(b2)+ 2a +1)), montrer que la rciproque est fausse :

2p 1 est premier pour p = 2,3,5,7 cependant :

2111= 2047= 23.896. Montrer que la proposition suivante est fausse :

(un) 0=

un conver g e

La suite un = 1/n tend vers 0, mais(1/n)=+7. Montrer que la proposition suivante est fausse :

Toute par ti e ma j or e de R admet un pl us g r and l ment

On prend [0,1[.

4.2.6. Raisonnement par labsurde.

Le principe est le suivant : Pour montrer quune proposition P est vraie, on montre que Non(P )donne une proposition fausse Non(P )= F aux, par suite Non(P ) est fausse car le vrai nimpliquepas le faux, par suite P est vraie.

Exemples : On peut construire autant dexemples que lon veut en remarquons que chaque foisquon a un thorme de la forme H = R, on se place dans une situation ou R est fausse et ondemande de montrer que H est fausse.

1. Montrer quun triangle de cots 2,4,5 si il existe ne peut tre rectangle.

Sinons soit c la longueur de son hyporthnuse, comme c2 = a2+b2 a2,b2 cela montreque c a,b 52 = 22+42 = 20 ce qui est absurde.

2. Montrer que x R x2+x+1> 0

Supposons le contraire, cest--dire (x R x2+ x +1 0) donc x2+2x +1 x, donc(x+1)2 x, donc 0 x, donc 0< x2+x+1, nous obtenons donc x2+x+1 0 et 0< x2+x+1ce qui est faux (on dit aussi absurde).

3. Montrer que 1 N

Supposons que 1 N, donc 1 0, donc 1+1 1, donc 0 1 ce qui est absurde.

4. Montrer quep

2 N

Supposons quep

2 N, posons p =p2, donc p2 = 2, on a p 6= 0,1 car 02,12 6= 2, donc p 2,donc p2 4, donc 2 4 ce qui est absurde.

5. Montrer quep

2 Q

Supposons quep

2 Q, posonsp2= p/q, p, q N, pg cd(p, q)= 1, donc 2/1= p2/q2,comme pg cd(p2, q2) = pg cd(2,1) = 1, nous avons une galit entre deux fractions irr-ductibles 0, donc ils ont mme numrateur et mme dnomrateur soit p2 = 2 N cequi est faux daprs lexemple prcdent.

6. Montrer que

3+

5+p2 Q

Supposons que

3+

5+p2 Q, donc son carr 3+

5+p2 Q, donc

5+p2 Q, donc5+p2 Q, doncp2 Q ce qui est absurde.

7. Soit e la base des logarithmes npriens, montrer que e Q.

On a

e = limn

(1+ 1

1!+ 1

2!+ + 1

n!

)Donc 1+ 1

1!+ 1

2!+ + 1

n!< e, dautre part

1

(n+1)! +1

(n+2)! + =1

(n+1)!(1+ 1

n+2 +1

(n+2)(n+3) +1

(n+2)(n+3)(n+4) + )

1(n+1)!

(1+ 1

n+2 +(

1

(n+2))2+(

1

(n+2))3+

)

1(n+1)!

1

1 1n+2

= 1n(n)!

n(n+2)(n+1)2 1, posons n = qdans lingalit ci-dessus et multiplions lingalit par n! une ingalit N < p(q 1)! 1 scrit de faon unique n = 2mu avec u impair.Soit kn lentier [1,n] pour lequel m est le plus grand, alors kn est unique car si on avait

1 2mu1 < 2mu2 nalors 1 2m(u1 + 1) n, or u1 + 1 est pair, donc u1 + 1 = 2q , donc 2m(u1 + 1) = 2m+1q

donnerait un exposant meilleur. Supposons que

sn = 1+ 12+ 1

3+ + 1

nN

Soit D = 2mun i mpai r u, on a Dsn est la fois pair et impair, ce qui est absurde.4.2.7. Raisonnement par rcurrence.

Fondamentalement, il ny a quune rcurrence : La recurrence forte, cependant pour la simplic-it on peut citer la rcurence simple et la rcurrence multiple aussi.

1. Rcurrence simple.

Le principe est le suivant : Soit P (n) une proprit dpendant de lentier n N, sup-posons que : {

P (a) vr ai en N (n a et P (n) vr ai e)= P (n+1) vr ai e

Alors : n N etn a P (n) vr ai e.Preuve : Soit :

A = {n | P (n) vr ai e}On a a A et A stable par lapplication suivant, par suite Na A

Exemples :

(a) (Lincontournable exemple des sommes) : Montrer que :

n N 0.1+1.2+2.3+ +n.(n+1)= 13

n(n+1)(n+2)

On a 0.1= 13

0.1.2 donc P (0) est vraie. Supposons P (n) vraie, cest--dire :

0.1+1.2+2.3+ +n.(n+1)= 13

n(n+1)(n+2)On a alors :

0.1+1.2+2.3+ + (n+1).(n+2)= (0.1+1.2+2.3+ +n.(n+1))+ (n+1).(n+2)

= 13

n(n+1)(n+2)+ (n+1).(n+2)= (n+1).(n+2)[

1

3n+1

]= 1

3(n+1)(n+2)(n+3)

(b) Montrer que n N 6|n(n+1)(n+2)

On a 6|0.1.2 donc P (0) est vraie. supposons P (n) vraie cest--dire 6|n(n + 1)(n + 2)alors (n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n + 1)(n + 2)n + 3(n + 1)(n + 2), on a 6|n(n + 1)(n + 2) et(n + 1)(n + 2) produit de deux entiers sccessives donc pair, par suite 6|3(n + 1)(n + 2),donc 6| [(n+1)(n+2)n+3(n+1)(n+2)]

(c) Montrer que : n N(n 13) n2 < (3/2)n

On a 122 = 144> (3/2)12 = 129,746337890625... mais 132 = 169< (3/2)13 = 194.6195068359375....Supposons n2 < (3/2)n , alors (3/2)n2 < (3/2)n+1 or on a (n+1)2 (3/2)n2 car 3n22(n+1)2 = n24n2= (n2)26 0 pour n 13

(d) Montrer que la somme des angles dun polygone de n 3 cots vaut : pi(n2)

La proprit est bien connue pour le triangle n = 3, soit Pn = A1 A2 An un polygonede n cots, soit T le triangle A1 A2 A3 et Pn1 le polygone n1 cots A1 A3 A4 An , ona :

S(Pn)= S(T )+S(Pn1)=pi+ (n3)pi= (n2)pi

2. Rcurrence multiple.

Le principe est le suivant : Soit P (n) une proprit dpendant de lentier n N, sup-posons que :{

P (a),P (a+1) vr ai en N (n a et P (n),P (n+1) vr ai e)= P (n+2) vr ai e

Alors : n N etn a P (n) vr ai e.

Preuve : Poser P (n)= P (n) et P (n+1) vr ai e

De mme soit P (n) une proprit dpendant de lentier n N, supposons que :{

P (a),P (a+1),P (a+2) vr ai en N (n a et P (n),P (n+1),P (n+2) vr ai e)= P (n+3) vr ai e

Alors : n N etn a P (n) vr ai e.

Preuve : Poser P (n)= P (n) et P (n+1) et P (n+2) vr ai e

Exemples :

(a) Soit (un) une suite vrifiant u0 = 0, u1 = 1 et :

n N un+2 = 2un+1unMontrer que n N un = n

La proprit est vraie pour n = 0 et pour n = 1. Supposons quelle vraie pour n et n+1,alors

un+2 = 2un+1un = 2(n+1)n = n+2

(b) Les coefiients du binme(n

k

)interviennent dans la formule de Newton :

(a+b)n = an +(

n

1

)an1b+

(n

2

)an2b2+ +

(n

k

)ank bk + +bn

Montrer que : (n

k

)= n(n1)(n2). (nk+1)

1.2.3. .k ()

On identiant la relation (a+b)n+1 = (a+b)n(a+b) on obtient la relation :(n

k

)+(

n

k+1

)=(

n+1k+1

)Ceci suggre pour prouver () de raisonner par rcurrence double sur n+k. La formuleest bien vrifie pour n +k = 0 et n +k = 1, supposons quelle est vraie pour n +k etn+k+1, on a (

n+1k+1

)=(

n

k

)+(

n

k+1

)

= n(n1)(n2). (nk+1)1.2.3. .k +

n(n1)(n2). (nk)1.2.3. .k.(k+1)

= n(n1)(n2). (nk+1)1.2.3. .k

[1+ nk

k+1]

= n(n1)(n2). (nk+1)1.2.3. .k

n+1k+1

= (n+1)n(n1)(n2). (nk)1.2.3. .k.(k+1)

(c) Soient r1,r2,r3 les racines du polynme X 3+3X +1 dans C. Pour n N on pose Sn =r n1 + r n2 + r n3 . On a :

Sn+3+3Sn+1+Sn = r n1 (r 31 +3r1+1)+ r n2 (r 32 +3r2+1)+ r n3 (r 33 +3r3+1)= 0Montrer que Sn Z et que Sn 1+2n+1(5).

La proprit est vraie pour n = 0,1,2. Supposons quelle vraie pour n,n+1,n+2 on aSn+3 =3Sn+1Sn Z et Sn+3 3(1+2n+2) (1+2n+1)= 1+2n+4 (5)

(d) Soit le determinant dordre n (cf cours Algebre 3) :

n =

2 1 0 0 0 01 2 1 0 0 00 1 2 1 0 0

0 0 0 0 1 2

En dvellopant par rapport la premire colonne on trouve

n = 2n1n2ceci avec 1 = 2 et 2 = 5 donne par rcurrence n = 3n1.

3. Rcurrence forte.

Le principe est le suivant : Soit P (n) une proprit dpendant de lentier n N, sup-posons que : { n N (m [a,n[ P (m) vr ai e)= P (n) vr ai e

Alors : n N etn a P (n) vr ai e.

Preuve : Posons P (a)= (m [a,m] P (m) vr ai e). on a P (a) vraie car comme [a, a[=;la proposition (m [a, a[ P (m) vr ai e) est vraie, donc P (a) est vraie. Supposons P (n) vraie,donc

m [a,n+1[ P (m) vr ai edonc P (n+1) vraie, donc P (n+1) vraie. Par suite par la rcurrence simple on a

n N (n a)= P (n) vr ai e

donc

n N (n a)= P (n) vr ai e Exemple :

1. Tout entier n N( 2) admet un diviseur premier.Preuve : Supposons la proprit vraie pour tout entier m [2,n[. Si n est premier cestvrifi, sinon n est compos n = ab avec a,b > 1 par suite n = ab > a car b > 1 donc parlhypothse de rcurrence forte a admet u diviseur premier p, comme p divise a et a divisep, p divise n.

2. La factorisation en nombre premier de tout entier n 1 est unique.

Preuve : Supposons la proprit vraie pour tout entier m [1,n[. Soit n = 22 33 =2

2 3

3 des factorisation de n en produit de nombres premiers. Il existe un nombre pre-

mier p tel que p > 0 (car sinon n = 1 auquel cas p p = p = 0, donc la factorisa-tion est unique), par le lemme de Gauss, p > 0, on a n/p < n, par lhypothse de rcur-rence forte n/p = 22 33 pp1 = 22 33 pp1 admet une factorisation unique2 =2,3 =3, p 1=p 1 , donc n aussi.

3. (Identit de Besout) Soient a,b N ( 1) premiers entre eux, ils existent des entier u, v Ztels que ua+ vb = 1.

Preuve : Raisonnons par rcurrence forte sur a+b. Supposons la proprit vraie pour toutentiers a,b N ( 1) tel que a+b [1, a+b[. On peut supposer a b, on a pg cd(a,b)=pg cd(a,ba) car a,b et a,ba ont mmes diviseurs communs. Comme a+ (ba)= b 0 par lhypothse de rcurrence forte u, v Z tels que ua+ v(ba)= 1, donc(u1)a+ vb = 1.

4. Tout nombre premier p 1(4) scrit comme somme de deux carrs (exemples 5= 1+4,13=4+9,17= 16+1 )

Preuve : Raisonnons par rcurrence forte sur p. Supposons la proprit vraie pour toutpremier m [1, p[. Comme 4|(p1) le groupe multiplicatif cyclique (Z/pZ) admet un l-ment x dordre 4, x4 = 1 = x2 = 1 car Z/pZ est un corps. posons N le reste de x2 par p,donc p|N 2+1, soit N 2+1 = K p. On a N (p 1) donc N 2+1 (p 1)2+1 < p2 par suiteK < p. Soit q un diseur premier de K si q = 2 alors q = 1+ 1 somme de deux carrs, si qest impair comme N 2 1(q) N est dordre 4 modulo q aussi, donc 4|(q 1) soit q 1(4),comme q K < p, par lhypothse de rcurrence forte q = a2+b2. Nous allons montrer queN 2+1

qest encore somme de deux carres, nous continuons de proche en proche jusqu

obtenir que p est une somme de deux carrs (encore une rcurrence ). Si q = 2 on a K = 2K et N impair, K p = ( N +1

2)2+( N 1

2)2, si q 6= 2 on a q |N 2+1 et q|a2+b2 donc q |(a2(N 2+1)

N 2(a2+b2)) donc q |(aN b)(a+N b) de mme q |(b+N a)(bN a), si q|(aN b),b+N a il

divise (aN b)2+ (b+N a)2 = (a2+b2)(N 2+1) donc N2+1q

= ( aN bq

)2+ (b+N aq

)2 somme

de deux carrs. De mme si q |(a +N b),b N a donne N2+1q

somme de deux carrs, si

q|(aN b), (bN a) ou q |(a+N b), (b+N a) alors q|(N 21)a et q|(N 21)b, (comme q nepeut diviser N 21 car sinon il divise N 2+1 (N 21) = 2 (donc q = 2) q divise a,b or onaurait q = a2+b2 2q2 absurde.

1. Notions de logique1.1. Oprateurs logiques1.2. Le quantificateur universel 1.3. Le quantificateur existentiel 1.4. proprits des oprateurs logiques

2. Thorie des ensembles2.1. Axiomes de la Thorie des ensembles2.2. Les quantificateurs et et les ensembles2.3. Proprits des oprations sur les ensembles

3. L'ensemble N des entiers naturels4. Raisonnements mathmatiques4.1. Notion de preuve mathmatiques :4.2. Principales mthode de raisonnement mathmatiques 4.2.1. Raisonnement par dduction 4.2.2. Raisonnement par implication contrapose 4.2.3. Raisonnement par distinction des cas 4.2.4. Raisonnement par la table de vrit 4.2.5. Raisonnement par le contre-exemple. 4.2.6. Raisonnement par l'absurde. 4.2.7. Raisonnement par rcurrence.