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SECTION SMIA

MODULE Algbre 1

Chapitre III

Arithmtiqe deZ

ParMustapha Chellali

Le 13 Janvier 2015

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1. LENSEMBLE N DES ENTIERS NATURELS

1.1. Construction de N.

(Voir chapitre I, 3).

1.2. Oprations sur N. Daprs le chapitre II, 6.4 lapplicationnN |[1, n]| est une bijectionentre N et lensemble des cardinaux finis, compatible avec lordre naturel de ces deux ensembles,de plus lensemble des cardinaux finis est stable par les oprations :

(c, c) c+c, cc, cc

grce cette bijection on identifie lentiernN avec |[1, n]|, et on transporte ces oprations descardinaux finis lensemble N.

Proposition 1. (Proprits de la loi+) n, mN n+m= m+n. n, m, lN (n+m)+ l= n+ (m+ l). nN n+0 = n.

Preuve : Cela rsulte par isomorphisme des proprits correspondantes de la loi + sur les nom-bres cardinaux (voir chapitre I 6.2) Proposition 2. Soient a, x,yN, on a :

a+ x= a+y= x=yPreuve : Supposons que x= y, on peut supposer x< y, soit A, Ydes ensemble (finis nces-

sairement) tels que |A| = aet |Y| =yet A Y= . commex

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Proposition 5. (proprits de lexponentiation)

nN n0 = 1. n, m, lN (nm)l = nml. n, m, lN nm+l = nmnl. n, m, lN (nm)l = nlml.

Preuve : Cela rsulte par isomorphisme des proprits correspondantes de lexponentiation sur

les nombres cardinaux (voir chapitre I 6.2) Proposition 6. Soient a, x,yN (a> 1), on a :

ax = ay = x=yPreuve : Supposons quex=y, on peut supposerx

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2)=1) car si 2), soient N, Dtels que|N|=net|D|=d, on peut choisir N D= , donc|ND| = |N|+|D| = n+d= m,commeonaN ND, o n a |N| |ND|, cest--dire n m

Comme application on obtient les deux proprits typiquement vraie dan N.

Proposition 10.

n, mN n+m= 0 = n= m= 0

n, mN nm= 1 = n= m= 1Preuve :

0 m= 0 +n m+n, donc n 0, donc n= 0, de mme m= 0. On a n m= 1, donc m= 0, donc m 1, donc n m n, donc1 n, donc n= 1, de mme

m= 1

2. LENSEMBLE Z DES ENTIERS RELATIFS

2.1. Construction deZ.

Proposition 11. SurNN la relation :

(a, b) (a, b) a+b = b+ aest une relation dquivalence.

Preuve :

(a, b) NN a+b= b+ a= (a, b) (a, b). (a, b), (a, b) NN (a, b) (a, b) = a+ b= b+ a= a + b= b + a= (a, b)

(a, b). (a, b), (a, b), (a, b) NN (a, b) (a, b) et(a, b) (a, b) = a+b = b+ae t a+

b = b + a = a+ b+ a +b = b+ a+ b + a = a+b = b+ a Dfinition 1. Lensemble quotient deNN par la relation dquivalence sappel ensemble desentiers relatifs.

On le note Z.

Proposition 12. SurZ les relations :

(a, b), (a, b) NN (a, b)+ (a,b) = (a+ a, b+b)

(a, b), (a, b)

N

N (a, b)

(a, b)

=(aa

+bb, ab

+ba)

sont des lois de composition interne.

Preuve : Soient sur NN les lois de composition interne :

(a, b), (a, b) NN (a, b)+ (a,b) = (a+ a, b+b)

(a, b), (a, b) NN (a, b) (a, b) = (aa +bb, ab +ba)Montrons ces lois sont compatible avec la relation dquivalence ,Soient(a, b), (c, d), (a, b), (c, d)

NN, on a :

(a, b) (c, d)et(a, b) (c, d)= a+d= b+c et a +d = b +c = a+d+ a +d = b+c+b +c

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= (a+ a, b+b) (c+c, d+d)(a, b) + (a, b) (c, d) + (c, d)

De mme :

(a, b) (c, d)et(a, b) (c, d)= a+d= b+c et a +d = b +c

En remarquons que si (a, b) (c, d) alors (b, a) (d, c), on peut supposera b, dons il existexNtel queb= a+ x, en portons dansa+ d= b+ ccela donned= c+ x, de mme on peut supposerab, donc il existe y N tel que b= a +yet d=c +y, cela donne b b=(a+ x)(a +y)=aa+a y+ax+x y= ab+ax+x y, donc bb+aa = ab +ba +x y, de mme on trouve cc+dd =cd+d c+x y, donc cc+dd+ab+ba+x y= aa+bb+cd+dc+x y, donc cc+dd+ab+ba =aa +bb +cd +d c, donc (aa +bb, ab +ba) (cc +dd, cd +dc), soit :

(a, b) (a, b) (c, d) (c, d)Par suite daprs le chapitre II, 4.4 proposition 41 les relations sont des lois de composition

interne sur Z

Proposition 13. (Z,+,)est un anneau commutatif.Preuve :

On vrifie que la loi + est associative, commutative, admet un lment neutre (0,0) et toutlment (a, b) Z admet un symtrique (b, a).

On vrifie que la loiest associative, commutative, admet un lment neutre (1,0) et etdistributive par rapport +

Proposition 14. Lapplication nN (n,0) Z est un homomorphisme injectif de(N,+,)dans(Z,+,).

Preuve :

Lapplication est injective car si (n,0) = (n,0) on auran+0 = 0+n, donc = n. (n,0)+ (n,0) = (n+n,0) et (n,0) (n,0) = (nn,0)

A laide de cet homomorphisme et pour simplifier les notations on identifie (n,0) avecn, ainsiN se trouve identifier un sous-ensemble deZ et les lois naturelles + et deN sont les restrictionsdes lois + et de Z.Proposition 15.

Z=N {n| nN}Remarque . La notationn est au sens du groupe additif(Z,+).

Preuve de la proposition :

Il est clair que N {n| nN}est contenu dans Z, inversement soit (a,b) Z, si a bil existenN tel quea= b+ n, donc (a, b) = (n,0) soit (a, b) = n, si a< bil existenN tel queb= a+ n,donc (a, b) = (0, n) = n Corollaire 2. Soit xZ, on a xN ouxN.Dfinition 2. Soit xZ, on appel valeurs absolus de x lentier x oux suivant que xN ouxN.

On le note |x|.

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Proposition 16.

|x| = 0 x= 0. x,yZ

x y= |x| y. x,yZ

x+y |x|+ y.Preuve : Preuve :

|x

| =0

(x

=0ou

x

=0)

x

=0.

On utilise les relations (x) = (1)xet (1)(1) = 1, vraie dans un anneau quelconque. Seul le casxN et yN nest pas immdiat, or dans ce cas x+y= x+ (y), donc

Six+y N, on aurax+y = x+y= |x| + (y) et on a (x+y) + 2 y = |x| + ydonc

x+y |x|+y

Si (x+y) N on aurax+y= (x+y) = y+(|x|), donc x+y+2 |x| = |x|+y,doncx+y |x|+ y

Corollaire 3.x,yZ|x| y x+y.

Preuve : On ax= x+y+ (y) donc |x| x+y+|x| = x+y+ |x|, donc |x| y x+y, de

mme

y

|x|

x+y

2.2. Opration dansZ.

(Z,+) tant un groupe ablien, on a :Proposition 17. (proprits de la lois+)

n, m, lZ (n+m)+ l= n+ (m+ l). nZ n+0 = 0+n= n. nZ n(= n) Z n+n = n +n= 0. n, mZ n+m= m+n.

Notation :

Comme dans tout groupe not additivement, la notationa best classique et signifie a+ (b),cest une lois de composition interne. Avec cette notation on convient que :

Une expression qui contient des+ et des est value avec priorit dcroissante de lagauche vers la droite et o + et ont mme priorit.

5+394 +10 = (((((5)+3) 9)4) +10) (T1 +T2 + +Tn) = T1 T2 Tn (T) = T

(

5

9+

4

2+

7

13)=

5+

9

4+

2

7+

13

Proposition 18.

a, x,yZ a+ x= a+y= x=y.

Preuve : Dans un groupe quelconque, tout lment est rgulier droite et gauche

Soit (G,.) un groupe,x Get n Z, la puissancenime dexest dfinie par rcurrence surnsinN par :

x0 = e elment neutre de Gxn+1 = xn.x

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et si nN, on pose :

xn= (x1)nOn a alors :

x G,n, mZ xn+m = xn.xm(xn)m

=xnm

x,y G tel que x.y=y.x nZ (x.y)n= xn.ynSi le groupe Gest not additivement (donc ablien), on notenxla puissancenime dex G, les

proprits ci-dessus scrivent alors :

(G,+)est un gr oupe abl i enx Gn, mZ (n+m)x= nx+mx.x Gn, mZ n(mx) = (nm)x.x,y GnZ n(x+y) = nx+ ny.x G 1x= x

On traduit ces cinqs proprits en disant que Gest un Z

module.

Si au lieu dun groupe on a affaire un anneau (A,+,), en plus des quatre proprits ci-dessuson a :

x,yA nZ n(xy) = (nx)y= x (n y)il en rsulte en particulier que :

x A nZ nx= (n1A) xOn traduit ces six proprits :

(A,+)est un gr oupe abl i enxAn,mZ (n+m)x= nx+mx.xAn,mZ n(mx) = (nm)x.x,yA nZ n(x+y) = nx+n yxA 1x= xx,yA nZ n(xy) = (nx)y= x (n y)

en disant que Aest un Z al gbr e.

Que se passe til siA=Z lui mme ?

Proposition 19.

x, nZ nx= n xPreuve : On anx= n1 x, il suffit de montrer quen1 = nce qui se fait par rcurrence surnsi

nN, sinon on an1 = (n)(1) = (n)((1) 1) = ((1) (n1)) = (1)n= n

Remarque . Lorsque une loi est note on utilise souvent un abus dcriture en notant a.b ou sim-plement ab le produit a b, par concidence la proposition ci-dessus est compatible avec cet abusde notation.

(Z,+,) tant un anneau commutatif, on a :

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Corollaire 5. Soient(A,+,)un anneau, soient x A, soit nN, on a :

(x+1)n = xn+

n

1

xn1 + +

n

k

xnk+ + 1

Proposition 24. Soient(A,+,)un anneau, soient a, bA tel que ab= ba, soit nN, on a :

an

bn

= (ab)(an

1+ a

n

2b+ + ab

n

2+b

n

1

)Exemples .

a2 b2 = (ab)(a+b). a3 b3 = (ab)(a3 + a2b+ ab2 +b3)

Corollaire 6. Soient(A,+,)un anneau, soient a, bA tel que ab= ba soit nN i mp ai r,on a :

an+ bn= (a+b)(an1 an2b+ bn1)

Preuve : Remplacerbpar bdans la proposition24 Proposition 25. Soient(A,+,)un anneau, soit xA, soit nN, on a :

xn1 = (x1)(xn1 + xn2 + + x+1)Corollaire 7. Soient(A,+,)un anneau, soient xA, soit nN i mp ai r,on a :

xn+1 = (x+1)(xn1 xn2 + 1)2.3. Ordre naturel deZ.

Dfinition 3. Soit nZ, on dit que n est positif (resp ngatif) si nN (respnN).Proposition 26. Soient n, mZ Il est quivalent de dire :

1. nm est positif.2.dN tel que n= m+d

Dfinition 4. Soient n, m Z, on dit que m est infrieur ou gal n si ils vrifient les propritsquivalentes de la proposition ci-dessus.

On notem n.Proposition 27. La relation est une relation dordre total surZ.

Preuve : nZ n= n+0 doncn n. n, m Zsi n metm n, ils existentd,d Ntels quen= m+ detm= n+ d, donc

n= n+d+d, doncd+d = 0, commed, d N on aurad= d = 0, doncn= m. Soientn, m, lZ, simnN etlmN, alors (mn) + (lm) N, soitlnN. Soient n, mZ,onasoit nmN soit (nm) = mnN,doncsoit m nsoit n m

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Proposition 28.

n, m, n, m Z

n mn m = n+n

m+m

n, m, lZ

n m

0 l = l n l m

n, m, lZ

n m

l 0 = l m l n

Preuve :

mnN etm n N= (mn)+ (m n) N, soit (m+m) (n+n) N. mnN etlN= l(mn) N, soitl m l nN. mnN et (l) N= (l)(mn) N, soitl n l mN .

Proposition 29.

q, q Z qq = 1 = (q= q = 1)ou(q= q = 1)Preuve :q q

=1

= qq= 1 = q q= 1 = q= q= 1Siq= 1 on aq = 1, siq= 1 alorsq = 1 Soit (A,+,) un anneau, on note habituellement Alensemble des lments inversible pour la

loi , on a (A,) groupe.Remarque . Ne pas confondre Aet A\ {0}, en gnral on a :

A =A\ {0}La proposition ci-dessus donne :

Proposition 30.

Z = {1,1}

3. ARITHMTIQUE DE Z

3.1. Divisibilit dansZ.

Dfinition 5. Soient a, b Z, on dit que b divise a (ou que b est un diviseur de a ou que a est unmultiple de b) si il existe qN tel que a= bq.

On noteb|aProposition 31.

aZ a|a. a, bZ (a|b et b|a) = (a= b)ou(a= b). a, b, cZ (a|b et b|c) = (a|c). a1, a2, an, bZ on a :

b|a1, a2, an= (1,2, nZ b| (1a1 +2a2 + +nan)) a1, a2, an, b1, b2, bn Z on a :

(i ai|bi) = a1a2 an|b1b2 bn

Preuve : a= a1.

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Si a= b qet b= a q alors a= q qa, si a=0 alors b= a q=0=a, sinon qq=1, doncq= q = 1 ouq= q = 1, donca= boua= b.

Sia= bqetb= cqalorsa= cqq. Si chaqueai= bqiavecqiZ, alors :

1a1 +2a2 + +nan=1bq1 +2bq2 + +nbqn= 1q1 +2q2 + +nqnb Si chaqueai= biqiavecqiZ, alorsa1a2 an= (q1q2 qn)b1b2 bn Corollaire 8. SurN, la relation b|a est une relation dordre compatible avec la loi.

Habituellementa= b ou a= bse notea= b, on a :

a= b ( {1,1} a= b)Proposition 32. SurZ, la relation a b a= b est une relation dquivalence compatible avecla loi.

Preuve :

aZ a= a. a, bZ a= b= b= a. a, b, con aa= betb= c (, {1,1}) = a= cet {1,1}. Sia bet a bon aura a= bet a= bavec, {1,1}, donca a= bbet

{1,1} Proposition 33. Lapplication nN nZ/ est un isomorphisme de(N,)dans(Z/ ,).

En fait N est un ensemble de reprsentants de la relation dquivalence .

Preuve : Lapplication est injective carn= n = n= n = n= n. Lapplication est surjective car sinZ on an= |n| doncn= |n|. Par la compatibilitnn = nn

Daprs ce qui prcde, concernant les proprits purement multiplicatives de la relation divisesurZ, il suffit de se restreindre (N,) ou la relation est une relation dordre compatible avec lamultiplication.

3.2. Division euclidienne surZ. Faute davoir lentier bqui divise exactement lentier aon cherchelentierqqui rendabqminimum, la solution est donne par :Proposition 34. Soient a, bZ avec b 1, ils existent q, rZ uniques tels que :

a= bq+ r 0 r< bPreuve :

Existence de (q, r) : Sia 0, rcurrencefortesur a. Sia< bon aa= 0 b+ a, et 0 a< bdonc on peut

prendre (q, r) = (0, a), sia balors 0 a b< a, donc daprs l hypothse de rcur-

rence il existe (q1, r1) tels queab= bq1 + r1et 0 r1 < b, par suitea= b(q1 +1)+r1et0 r1 < b.

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Sia< 0 on aa 0, donc il existe (q1, r1) tels quea= bq1 + r1et 0 r1< b, donca= b(q1) r1, si r1 = 0 on prend (q,r) = (q1,0), sinon on aa= b(q1 1) + b r1eton a bien 0 b r1 < b.

Unicit de (q, r) : Supposons quea= bq+ r= bq + ravec 0 r, r < bon aurabq q=r r, or comme 0 r, r < bon peut supposer 0 r r < bpar suite 0 r r< b, donc

r r

< b, donc

q q

< 1, doncq q = 0, doncq= q, par suiter= r

Dfinition 6. Les entiers q et r de la proposition ci-dessus sappel respectivement quotient et restede la division euclidienne de a par b.

Proposition 35. Soient a, b, qZ avec b 1, Il est quivalent de dire :1. q est le quotient de la division euclidienne de a par b.2. abq est minimum (dans{abk| kZ et abk 0}).3. 0 abq< b.4. bq a< b(q+1).5. q= E( a

b)

Preuve :

1) = 2)carsi1)soitqtel que 0 abq abq, en posant r = abqon auraa= bq+ret 0 r abq= r< b, par lunicit de (q, r) on auraq = qetr= r.

2) = 3) car si 2) soit q1le quotient de la division euclidienne de aparb, alors a bqabq1 < b.

3) = 4) = 5) immdiat. 5) = 1) car si 5) on auraq a

b< q+1, soit 0 abq< b, par suite en posantr= abqon

auraa= bq+ ravec 0 r< b Notations

Soit (A,+) un groupe (ablien) not additivement, soit (ai)iIune famille dlments de A.On suppose que lensemble :

J= {i| ai= 0}est fini, (on dit par abus que lesaisont presque tous nuls ), crivonsJ= {i1, i2, , im}, on

note :

iI

ai= ai1 + ai2 + + aim Soit (A,) un groupe (ablien) not multiplicativement soit (ai)iIune famille dlments

deA. On suppose que lensemble :

J=

{i|

ai=

1}

estfini,(onditparabusqueles aisont presque tous gaux 1), crivonsJ= {i1, i2, , im},on note :

iI

ai= ai1 ai2 aim

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Voici les proprits fondamentales de ces notations :

Proposition 36.

Linarit

i ai+bi

=

i

ai

+

i

bi

i

aib

i

=

i

ai

i

bi

Commutativit : Soit :J I une bijection :

j

a(j) =

i

ai

j

a(j) =

i

ai

Associativit : Soit(J)une partition de I :

i

ai=

jJ

aj

i

ai=

jJ

aj

Proposition 37. Soient a,b N avec b2, il existe une famille unique dentiers(ri)iN, avec ripresque tous nuls et 0 ri< b tel que :

a=i

ribi

Preuve :

Existence de la famille : Rcurrence sur a: Soit a= bq+r0 0 r< b la division euclidiennedeapar b, on aq a

b< acar b 2, par lhypothse de rcurrence q= r1 + r2b+ , donc

a= r0 + r1b+ r2b2 + Unicit de la famille : Rcurrence sura : Soit a= iribi = iribi deux critures de a,

lunicit du reste de la division euclidienne r0 = r0, posonsa= bq+ r0, avecq=i1 ribi1 =i1 ribi1, commeb 2 on aa bq> q, lhypothse de rcurrence (iN (i 1) ri= ri)

Dfinition 7. Lcriture a=iribi avec0 ri< b presque tous nuls, sappel criture de a en base b.

Habituellement on crit :

a= (r2)(r1)(r0)de la droite vers la gauche qui rappel lorigine Hindou-Arabe de cette numration.

Remarque . Dhabitude on choisit un symbole unique pour chaque ri [0, b1], on supprime alorsles parenthses dans lcriture a= (r2)(r1)(r0)Exemples .

1. b= 2on utilise les symboles{0,1}.

2. b= 10on utilise les symboles{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.3. b= 16on utilise les symboles{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B,C, D, E, F}.

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La preuve de la proposition37fournit un algorithme pratique pour trouver lcriture enbaseb :

Algorithme 1.

1. i= 0;2. ri= Reste de a par b;3. a

=(a

ri)/b;

4. Si a= 0aller 7;5. i= i+1;6. aller 2.;7. Retourner(r0, r1, );

Exemples .

1. Ecrire 28 en base 2 :(a) r 0 = 0(b) 28 14(c) r 1 = 0(d) 14

7

(e) r 2 = 1(f ) 7 3(g) r 3 = 1(h) 3 1(i) r 4 = 1(j) 1 0

(k) 28 = 111002. Ecrire 1015 en base 16

(a) 1015 = 63.16 +15 r0 = 15(b) 1015 63(c) 63 = 3.16 +15 r1 = 15(d) 63 3(e) r 2 = 3(f ) 1015 = 3F F

Proposition 38. Soit a, bN (b 2), supposons que a=iaibi (aiZ), soit lalgorithme :1. Soit a0 = q0b+ r0la division euclidienne de a0par b.2. Soit a1 + q0 = q1b+ r1la division euclidienne de a1 + q0par b.3. Soit a2 + q1 = q2b+ r2la division euclidienne de a2 + q1par b.4. 5. Soit a

i+q

i1 =q

ib

+r

ila division euclidienne de a

i+q

i1par b.

6. Alors

irib

i est lcriture de a en base b.

Preuve : Rcurrence sur a, o n a a=i1 aibi+a0 =i1 aibi+q0b+r0 = bi1 aibi1 + q0+r0,comme 0 r0 < b, lcriture a= b

i1 aib

i1 + q0+r0est la division euclidienne de apar b,donc

q=i1 aibi1+q0est le quotient de la division euclidienne deapar b, doncqN, comme b 2,on aq a/b< a, partir de ligne 2. cest lalgorithme appliqu q, par lhypothse de rcurrence

i1 ribi1 est lcriture deqen baseb, donc

irib

i est lecriture deaen baseb

Comme application on a lalgorithme de laddition classique :

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Proposition 39. Soient a1, a2, an, b N(b 2). Soient ai=

jrij

bj lcriture de aien base b,

pour trouver lecriture de a1 + a2 + +anen basse b on applique lalgorithme de la proposition38

j

ir

ij

bj.

Comme cas particulier intressent on obtient :

Corollaire 9. Soient a, a, b N (b 2). Soient a= iribi et a = ir

ibi leurs critures en base b,

soit lalgorithme :1. R=02. Si r0 + r0 +R< b alors s0 = r0 + r0 +R et R= 0sinon s0 = b

r0 + r0 +R

e t R= 1.

3. Si r1 + r1 +R< b alors s1 = r1 + r1 +R et R= 0sinon s1 = br1 + r1

e t R= 1.

4. Si r2 + r2 +R< b alors s2 = r2 + r2 +R et R= 0sinon s2 = br2 + r2

e t R= 1.

5. 6.7. Si ri+ ri+R< b alors si= ri+ ri+R et R= 0sinon si= b

ri+ ri

e t R= 1.

8. Alorsisib

i est lcriture de a+ aen base b.

Preuve : Cest lalgorithme de la proposition38appliqu

i(ri+ ri)bi

Comme application on a lalgorithme de la soustraction classique :

Proposition 40. Soient a, a, bN (a ae t b 2). Soient a=iribi et a =iribi leurs crituresen base b, soit lalgorithme :

1. R=02. Si r0 (r0 +R) 0alors s0 = r0 (r0 +R)et R= 0sinon s0 =

(b+ r0) (r0 +R)

e t R= 1.

3. Si r1 (r1 +R) 0alors s1 = r1 (r1 +R)et R= 0sinon s1 = (b+ r1) (r1 +R) e t R= 1.4. Si r2 (r2 +R) 0alors s2 = r2 (r2 +R)et R= 0sinon s2 = (b+ r2) (r2 +R) e t R= 1.5.

6.7. Si ri (ri+R) 0alors si= ri (ri+R)et R= 0sinon si=

(b+ ri) (ri+R)

e t R= 1.

8. Alors

isib

i est lcriture de a aen base b.

Preuve : Cest lalgorithme de la proposition38appliqu

i(ri ri)bi

Comme application des propositions38et39on obtient lalgorithme classique de la multipli-cation :

Proposition 41. Soient a, a, bN (b 2). Soient a=iribi et a =iribi leurs critures enbase b, soit pour chaque k tel que r

k= 0, irkibi lcriture de rka=i(rkri)bi en base b. appliquons

lalgorithme de la proposition38

n

i+j=nr

j

i

bn, cela donne lcriture de ab en base b.

Remarque . On peut aussi appliquer lalgorithme de la proposition38directement

aa =n i+j=nrirjbn

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Exemple .

5278 = (82) + (85+2 7)10 + (57)102 = 16+54.10 +35.102

6+ 55.10 +35.102 = 6 +5.10+40.102 = 6+ 5.10+4.103 = 4056

Proposition 42. (Algorithme de la division) Soient a, b, b1 N (b, b1 2), soient les divisions eucli-diennes :

a par b1 a= q1b1 + r1 0 r1 < b1. q1par b q 1 = bq2 + r2 0 r2 < b.

r2b1

+r1par b r 2b1

+r1

=q3b

+r3 0

r3

0, par le lemmenp> 0, appliquons lhypothse de rcurrence n/plunicit en rsulte

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Preuve du lemme : Rcurrence sur a.b, supposons p aou p p, si p b, alors comme pdiviseab p a= a(b p) < abdoncp|aou p|b p, doncp|aou p|b, mme conclusion sip a,sinon crivons absurde=p k, soit p1le plus petit diviseur premier de a b, on a p1 bcar toutdiviseur premier de bdiviseab, donc toujours par lhypothse de rcurrencep1|aoup1|b, commeabsurde= pkon aura de mmep1|poup1|k, sip1|pon aurap= p1doncp|aoup|b, sinonp1|k,crivonsk= p1ket supposons quep1|b, doncb= p1b, doncabp1 = pkp1, doncab = pk, doncp|ab

0), pout tout pP, on a :

vp(ab)=

vp(a)+

vp(b)

Preuve : On a a b= ppvp(a).ppvp(b) = ppvp(a)+vp(b), par lunicit de la factorisation on apP vp(ab) = vp(a)+ vp(b)

Proposition 49. Soient a, bN (> 0), pout tout pP, on a :

b|apP vp(a) vp(b)

Preuve : Sib|aon auraa= bq(qN), donc pP vp(a) = vp(b)+vp(q) vp(b), inversement

si pP vp(b) vp(a), on avp(a) vp(b) presque tous nuls, soit q=

pp

vp(a)vp(b) alorsq b=a

Proposition 50. Soit nN (n 1), le nombre de diviseurs de n est :

pP

(1+ vp(n)).

Preuve : Soitp1, p2, , pkles diviseurs premiers den, par la proposition prcdente il y a bijec-tion entre les diviseurs denet lensemble deskuplet :

(n1, n2, , nk) [0, vp1 (n)] [0, vpk(n)]

Proposition 51. (Critre de primarit) Soit nN (n 1), n est compos si et seulement si n admetun diviseur premiern.

Preuve : Si nadmet un diviseur premier nalors il admet un diviseur premier< ncar sin 2 on an< n, doncnest compos. Inversement sin= abaveca, b< nsoit ple plus petitdiviseur premier den, doncp aetp bcarpest infrieur au diviseurs premiers deaetb, doncp2 ab= n, doncpn

Proposition 52. (Crible dEratosthne) Soit p premier, Soit nN avec n< p2 et tel que n nadmetpas de diviseur premier q= n et q< p, alors n est premier.

Preuve : On an< p2= n< p, sintait compos il admettrait un diviseur premier n< pcontradiction

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3.4. PGCD et PPCM.

Proposition 53. Soit A une partie deN, alors A admet une borne infrieure et une borne suprieure

pour la relation divise.

Dfinition 9. Soit AZ, soit A1 = {|x|| xA}(N), la borne infrieure (resp la borne suprieure )de A1pour la relation "divise" sappel plus grand commun diviseur (resp plus petit commun multi-

ple ) des lments de A.

On la notep gcd((a)aA) (respppcm((a)aA),

Notations : Soit (ni)iIune famille dlments de Z, soit A= {ni| i I}, on notep gcd((ni)iI)(resp ppcm((ni)iI) le plus grand commun diviseur (resp le plus petit commun multiple ) deslments deA. Si (ni)iI= (a1, a2, , an)est unnuplet, on note :

p gcd((ni)iI) = p gcd(a1, a2, , an) = a1 a2 anppcm((ni)iI) = ppcm(a1, a2, , an) = a1 a2 an

Remarque . Les applications (a, b)

p gcd(a, b)et(a, b)

ppcm(a, b)sont des lois de compo-sition interne surZ.

Proposition 54. (proprit du PGCD et du PPCM)

Commutativit : Soit(ni)iZune famille dlments de Z, soit : J I une bijection,on a :

pgcd((n(j))jJ) = pgcd((ni)iIppcm((n(j))jJ) = ppcm((ni)iI)

Associativit : Soit(ni)iZune famille dlments deZ, soit(J)une partition de I, on a :

pgcd((ni)iI) = pgcd((pgcd((nj)jJ ))ppcm((ni)iI) = ppcm((ppcm((nj)jJ ))

Distributivit du PGCD (resp PPCM) par rapport lui mme : Soit(ni)iZune famille dlments de Z, soit aZ, on a :

pgcd(a, pgcd((ni)iI)) = pgcd((pgcd(a, ni)))iIppcm(a, pgcd((ni)iI)) = ppcm((ppcm(a,ni)))iI

Distributivit du PGCD (resp PPCM) par rapport au PPCM (resp PGCD) : Soit(ni)iZune famille dlments de Z, soit aZ, on a :

ppcm(a, pgcd((ni)iI)) = pgcd((ppcm(a, ni)))iIpgcd(a, ppcm((ni)iI)) = ppcm((pgcd(a, ni)))iI

Distributivit de la multiplication par rapport au PGCD et au PPCM : Soit(ni)iZune famille dlments de Z, soit aZ, on a :

a pgcd((ni)iI) = pgcd((ani)iI)

a ppcm((ni)iI)) = ppcm((a ni)iI) Distributivit de la division par rapport au PGCD et au PPCM : Soit(ni)iZune famille dlments de Z, soit a Z, supposons que pour

tout i I on a a|ni alors :pgcd((ni)i

I)

a = pgcd((ni

a )iI)ppcm((ni)iI)

a= ppcm(( ni

a)iI)

Distributivit de lexponentiation par rapport au PGCD et au PPCM : Soit(ni)iZune famille dlments de Z, soit aZ,on a :

pgcd((ni)iI)a = pgcd((nai)iI)

ppcm((ni)iI))a= ppcm((nai)iI)

Soit(ni)iZune famille dlments deZ, soit aZ, supposons que pour tout i I on a ni|a alors :a

pgcd((ni)iI)= ppcm(( a

ni)iI)

a

ppcm((ni)iI)= pgcd(( a

ni)iI)

Preuve : Toutes ces proprits dcoulent des proprits lmentaires des oprateur min etmax

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Remarque . La huitime et dernire proprit fournit un moyen de calculer le ppcm au moyen du

pgcd :

a, bZ (> 0) ppcm(a, b) = abp gcd(a, b)

a, b, c

Z (

>0) ppcm(a, b, c)

=

abc

p gcd(ab, ac, bc)Il est intressent dnoncer la proposition54au moyen des lois de composition interne :

(a, b) ab= p gcd(a, b)et

(a, b) ab= ppcm(a, b)On a :

Proposition 55. a,bZ ab= b a

a,b

Z a

b

=b

a

a,b,cZ (ab)c= a (bc)a,b,cZ (ab)c= a (bc)

a, b,cZ a (b c) = (a b) (ac)a, b,cZ a (b c) = (a b) (ac)

a, b,cZ a (b c) = (a b) (ac)a, b,cZ a (b c) = (a b) (ac)

a,b,c

Z a.(b

c)

=(a.b)

(a.c)

a,b,cZ a.(bc) = (a.b) (a.c)

a,b,cZ (a|b,c) (bc)/a= (b/a) (c/a)

a,b,cZ (a|b,c) (bc)/a= (b/a) (c/a)

a,b, cZ (a 0) (bc)a= (ba) (ca)

a,b, cZ (a 0) (bc)a= (ba) (ca)

a,b,c

Z (b,c

|a) a/(b

c)

=(a/b)

(a/c)

a,b,cZ (b,c|a) a/(b c) = (a/b) (a/c)

Proposition 56. (Algorithme dEuclide pour le calcul du PGCD)

Soient a, bN (b 2), considrons les divisions euclidiennes : a par b a = bq1 + r1. b par r1 b= r1q2 + r2. r1par r2 r1 = r2q3 + r3. ripar ri+1 ri= ri+1qi+2 + ri+2.

Soit k le plus grand entier tel que rk= 0, alors rk= p gcd(a, b).

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Preuve : Rcurrence sur b: On a pour tout dN, si ddiviseaet b, alors il divise betabq1 = r1,inversementsi ddivise bet r1il divise bet q1b+r1 = a, par la caractrisation dune borne infrieureon en dduit quep gcd(a, b) = p gcd(b, r1). Par construction, la liste des restes associs aux couple(b, r1) est (r2, r3, ), sir1= 0, alorsb|aet on ar0= b= p gcd(a, b), sinon le plus grand ktel querk= 0 est parmi 1,2, , commer1 < b, daprs lhypothse de rcurrence on a rk= p gcd(b, r1) =p gcd(a, b)

Exemples .1. a= 32et b= 20 :

32 = 20 +12. 20 = 12 +8 12 = 8+4. 8 = 24 +0 p gcd(32,20) = 4

2. a= 27et b= 15 : 27 = 15 +12. 15 = 12 +3 12 = 43 +0 p gcd(27,15) = 3.

Proposition 57. (Identit de Bzout) Soient a,bZ, soit d= p gcd(a, b), il existent u, vZ tes que:

d= ua+ vb

Preuve : Si b= 0 o n a d= a= 1a+0b. Si |b| = 1 o n a d= 1 = b+0a. On peut donc supposerb 2. Recurence surb, soitr1le reste de la division euclidienne de aparb, par la proposition56on ap gcd(a, b) = p gcd(b, r1), commer1 < b, par lhypothse de rcurrence il existeu1, v1 Z telsqueu1b+ v1r1 = d, doncu1b+ v1(abq1) = d, soitv1a+ (u1 v1q1)b= d

1. Calcul de u, v.

1. Mthode 1 : Elle est base sur lalgorithme dEuclide, soient les divisions euclidiennes :

a par b a = bq1 + r1.b par r1 b= r1q2 + r2.r1par r2 r1 = r2q3 + r3. ripar ri+1 ri= ri+1qi+2 + ri+2.

On calcul ui, viZ de proche en proche partir du haut tels que :

uia+ vib= riAinsi on a r1 = abq1et r2 = br1q2 = b(abq1)q2 = q2a+(1+q1q2)b , on trouve :

ui+2 = ui qi+2ui+1vi+1 = vi qi+2vi+1

On sarrte sur i= k le plus grand entier tel que rk = 0, par la proposition56on ad= rk=uka+ vkb

Exemples .(a) a= 32et b= 20 :

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32 = 20 +12 12 = 322020 = 12 +8 8 = 20 12 = 20 (3220) = 2.20 3212 = 8 +4 4 = 128 = (3220) (2.20 32) = 2.32 3.208 = 2.4 +0 d= 4 = 2.32 3.20

(b) a= 27et b= 15 :

27 = 15+12 12 = 27 1515 = 12+3 3 = 1512 = 15 (27 15) = 2.15 2712 = 4.3+0 d= 3 = 2.15 3.27

2. Mthode 2 :Egalement base sur lalgorithme dEuclide : On a suivant que i pair ou impair

uivi

ui

vi

= 1

q1 +1

q2 +1

.. . qi

Exemples .

(a) Reprenons lexemple a= 32et b= 20, on a q1 = q2 = q3 = 1

u3

q3= 1

1+ 11+ 1

1

= 23

u= 2v= 3 4 = 2.32 3.20

(b) Reprenons lexemple a= 27et b= 15, on a q1 = q2 = 1

u

2v2

=1

1+ 11

=1

2 u= 1v= 2 3 = 27+2.15

3. Mthode 3Cette mthode nutilise pas lalgorithme dEuclide, on utilise simplement la proprit :

p gcd(a, b) = p gcd(ab, b)On applique alors lalgorithme :

Soit M=

1 00 1

Soient L1et L2les lignes de M Tant que a= 0et b= 0 faire :

Si a b faire : a:= ab L2:= L2 L1

Sinon faire :

b:= b a L1:= L1 L2

Si lalgorithme sarrte sur(a, b) = (d,0)alors L2 = (v u)sinon L1 = (u v).Exemples .

Reprenons lexemple a= 32et b= 20voici le droulement de lalgorithme : (a, b) = (32,20) M= 1 00 1 .

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(a, b) = (12,20) = (32 20,20) M=

1 01 1

.

(a, b) = (12,8) = (12,2012) M=

2 11 1

.

(a, b) = (4,8) = (12 8,8) M=

2 13 2

.

(a, b) = (4,4) = (4,8 4) M= 5 33 2 . (a, b) = (4,0) = (4,4 4) M=

8 53 2

(u, v) = (2,3) 4 = 2.32 3.20.

Reprenons lexemple a= 27et b= 15voici le droulement de lalgorithme : (a, b) = (27,15) M=

1 00 1

.

(a, b) = (12,15) = (27 15,20) M=

1 01 1

.

(a, b) = (12,3) = (12,1512) M=

2 1

1 1

.

(a, b) = (9,3) = (12 3,3) M= 2 13 2 . (a, b) = (6,3) = (93,3) M=

2 15 3

.

(a, b) = (3,3) = (63,3) M=

2 17 4

(a, b) = (0,3) = (33,3) M=

2 19 5

(u, v) = (1,2) 3 = 27 +2.15.

Proposition 58. Soient a, bN, soit d= p gcd(a, b) (a, b> d), ils existent u, vN uniquesvrifiant :

d= ua vb

0 u< b/d0 v< a/d

Preuve : En divisant pardon se ramne d= 1, par lidentit de Bzout il existent u1, v1 Ztels queu1a+ v1b= 1, si on avaitu1, v1 < 0 on aurai 1 < 0, de mme si on avaitu1, v1 > 0 on aurai1 a+ bor on suppose a, b> 1, doncu1, v1sont de signes contraires, on peut supposer u1 0etv1 0 car si on avaitu1 < 0 ( donv1 0) on aura v b |u|a= 1, donc pour tout qNon aura(v q a)b (|u| qb)a= 1, soit (qb |u|)a (q a v)b= 1, on choisissant qassez grand on auraqb|u| > 0 etq a v> 0, supposons doncu1 0 etv1 0, soient les division euclidienne :

u1 =

qb+

u 0

u 0), Il est quivalent de dire :

1. m=

ppcm(a, b).2. m est un multiple de a et b et pgcd(m/a, m/b) = 1.3. m est un multiple de a et b et ils existent u, vZ tels que1/m= u/a+ v/b

Preuve : Utiliser la relationab/m= abet la proposition prcdente Dfinition 10. Soient a, b Z, on dit que a et b sont premiers entre eux si ils nadmettent pas dediviseur commun autre que1.Proposition 61. Soient a, bZ, Il est quivalent de dire :

1. a et b sont premiers entre eux.2. a et b nont pas de diviseur premier commun.3. p gcd(a, b)

=1.

4. ppcm(a, b) = ab.5. Il existent u, vZ ua+ vb= 16. Il existent u, vZ u/a+ v/b= 1/ab

Preuve :

1) = 2) immdiat. 2) = 3) car si 2) soit d= p gcd(a, b) si on avaitd= 1 il admettrait un diviseur premier qui

diviseraita, b. 3) 4) 5) 6) 1) par la relationab= ab/(ab) et lidentit de Bzout

Proposition 62. (Lemme de Gauss)

Soient a, b, cZ, si a|bc et a premier b, alors a|cPreuve :a|bceta|ac a|(bc) (ac) = (b a)c= c

Proposition 63. Soient a, b1, b2, bn Z, si a est premier avec chaque bi, il est premier avec leurproduit

Preuve : Soit pun diviseur premier commun de aetb1b2 bn, il existe itel que pdivisebi,donc divisea, bicontradiction

4. ARITHMTIQUE MODULAIRE

4.1. Construction de lanneauZ/nZ. La construction de lanneau Z/nZ est un cas particulier de

projection dune structure danneau, on rappel la proposition 43 du 4.4 du chapitre 2 (voir aussicours dAlgbre 2)

Proposition 64. Soit(A,+, .)un anneau. Pour quune relation dquivalenceRsur A soit compati-ble avec les lois+ et., il faut et il suffit quil existe un idal I de A tel que :

x,yA (xRy) xy Iauquel cas(A/R,+, .)est un anneau.

Notation : Soitn

N, on note naturalementnZ lensemble :{nx

|x

Z}

Proposition 65. Les idaux deZ sont les ensembles nZ (nN).

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Dfinition 11. LanneauZ/nZ sappel anneau des classes rsiduelles modulo n.

Soientx,yZ, sixy nZ on crit :

xy modnou

x

y mod ul o n

ouxy (n)

On dit que la relation est une "Congruence" et on lit "xcongrue ymodulon".

Proposition 66. Un ensemble de reprsentant deZ/nZ est :

E= {xZ | 0 x n1}Preuve : Soit : E

Z/nZ : x

x, on a :

x E x (x). est injective car si(x) = (x)onaura n|xx, doncx= kn+x (kZ)comme0 x, x

Proposition 69. Soit(G, .)un groupe cyclique dordre n, alors G est isomorphe au groupe additif(Z/nZ,+), plus prcisment si x est un gnrateur de G (cest--dire G=< x>), alors on a un iso-morphisme de groupe m xm.

Preuve : Soit la relation sur Z/nZG :cRy mZ y= xm et c= m

Montrons que Rest une application et que cest un isomorphisme de groupe :

SoitcZ/nZ, il existemZ tel quec= m, donc en posanty= xm on acRy. SicRyetcRy, ils existentm, m Z tel quec= m= mety= xm ety = xm , orm= m =

n|(m m), par le thorme de Lagrange sur les groupes finis on aura xmm = e(elmentneutre de G), doncxm= xm soity=y.

Lapplicationm xm est surjective car pour tout y G, il existemZ tel quey= xm. Comme |Z/nZ| = |G| lapplication est bijective (voir chapitre II, proposition 71 du 6.4). Enfin la relationx

m+

m

= xm

xm

montre que lapplication est un isomorphismede groupe Proposition 70.

C a r a (Z/nZ) = nPreuve : On ax Z/nZ nx= nx= 0, inversement soitm Ztel que m(Z/nZ) =

0, alors

m1 = 0, soitm= 0, soitn|m Proposition 71. Soit(A,+,)un anneau fini n lements, Il est quivalent de dire :

1. (A,+,)est isomorphisme lanneauZ/nZ.2. C a r a (A) = n.3. Le groupe additif(A,+)est cyclique.

Preuve :

1) = 2) car si 1) immdiat par isomorphisme. 2) = 3) car si 2) on sait que C a r a (A) est lordre de 1Adans (A,+), donc dire que C a r a (A) =

|A| entraine queA=< 1A>, donc (A,+) est cyclique. 3) = 1)carsi3)soitxun gnrateur de (A,+) ,ona m1A= 0 donne mx= m1Ax(voir 2.2

), donc mx= 0, donc n|m,ainsi1Aest dordre ndans le groupe (A,+), par suite lapplicationm1A mZ/nZ est un isomorphisme de groupe (proposition69), cest aussi un isomor-phisme danneau car on am1Am1A= mm1A(voir 2.2)

Proposition 72. Soit A un anneau fini n lments, avec n de la forme p1p2

pk, o pisont des

nombres premiers distincts, alors A est isomorphisme lanneauZ/nZ.

Preuve : Par le thorme de Cauchy pour tout i, il existexi Adordrepidans (A,+), commelespisont distints, llmentx1 + x2 + + xkest dordrep1p2 pk= n, donc (A,+) est cyclique,par la proposition71lanneauAest isomorphisme lanneau Z/nZ

Rappelons que pour tout anneau (A,+,) les lments inversibles pour la multiplication formeun groupe, on le note A, dans le cas o A=Z/nZ le groupeAa une description prcise :Proposition 73. Soit cZ/nZ, Il est quivalent de dire :

1. Pour tout c Z/nZ on a cc = 0 = c = 02. c est rgulier pour la multiplication.

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3. Lapplication xZ/nZ cxZ/nZ est injective.4. Lapplication xZ/nZ cxZ/nZ est surjective.5. Lapplication xZ/nZ cxZ/nZ est bijective.6. cA.7. Pour tout x c on a x premier n.8. Il existe xZ premier n et c= x.9. c est dordre n dans le groupe additif(Z/nZ,

+).

10.< c>=Z/nZ.Preuve :

1) = 2) car si 1) supposonsc x= c yalorsc(xy) = 0, doncxy= 0, doncx=y. 2) = 3) = 4) = 5) par chapitre II, proposition 71 du 6.4 5) = 6) car si 5) il existexZ/nZ tel quexc= 1. 6) = 7)carsi6)soitx Z tel quex = c, doncxx = 1, donc n|xx1, doncx x1 = kn(kZ), doncx x kn= 1, doncxetnpremier entre eux

7) = 8) immdiat. 8) = 9) car si 8) supposons quemx= 0, doncmx= 0, doncn|mx, commenpremier x,

par le lemme de Gaussn|m.

9) 10) immdiat. 10) = 1) car si 10) soit x c, doncx x = 0, doncxc= 0, comme < c>= Z/nZ on a n|x,

doncx = 0, doncc = 0 Dfinition 12. LapplicationNN : n |(Z/nZ)| sappelle fonction dEuler.

On la note (n).

Par la proposition73on a donc :

(n) = (Z/nZ)= kZ | 0 k n1 p gcd(k, n) = 1=kZ | 0 k n1 k dordr e n dansZ/nZ

Thorme 15. (Thorme dEuler)

Soit nN, pour tout kZ premier n, on a :

k(n) 1 modulo(n)Preuve : Par le thorme de Lagrange on a :

c (Z/nZ) c(n)

= 1 Exemples .

Le thorme dEuler est efficase pour ltude arithmtique des exponentielles itres xy. .

.z

:

1. Montrer que201520132011

est congrue : 5 mod 11. On regarde 2015 mod 11=2, onregarde2013 mod (11)soit 2013 mod 10 = 3et on regarde 2011 mod (10) soit 2011mod4 = 3, donc par le thorme dEuler :

201520142013 233 27 = 7 mod 11

2. Soit un= 77. .

.7

(n f ois ), montrer que le premier chifre de unen base 10 est3. On a(10) =

4, ((10))=(4)=2. On a un1 mod 2, un+1=7un

71

3 mod 4 et un+273

3mod 10, donc pour n 3le premier chifre de unest 3.

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Proposition 74. Soit nN (n 1), on a :d|n

(d) = n

Preuve : Soit Gun groupe cyclique dordren, par la proposition73le nombre de gnrateurs deGest (n), or pour chaque diviseurdde nle groupe Gadmet un et un seul sous-groupe

dordre d, donc le nombre dlments de Gdordre dest (d). Inversement pour toutx Glordrede xdivise|G|, en classons les lments deGpar leurs ordres cela donne une partition de G, laformule en rsulte

4.3. Le corpsZ/pZ.

Proposition 75. Soi nN, Il est quivalent de dire :1. Z/nZ est un corps.2. n est premier.

Preuve :

Z/nZ corp s (Z/nZ) =Z/nZ \

0

{k| kN et1 k n1} =

k| kN et1 k n 1et p gcd(k, n) = 1

n premier

Comme cas particulier du thorme dEuler on obtient :

Thorme 16. (Thorme de Fermat)

Soit p un nombre premier et aN tel que p ne divise pas a, on a :

ap1 1 modulo(p)

Corollaire 17. Soit p un nombre premier et aN, on a :

ap a mod ul o (p)

Preuve : Sip|aon vidementp|(ap a), sinon commep|(ap1 1) alors

p|a(ap1 1) = ap a

Proposition 76. Soit p un nombre premier, le groupe multiplicatifZ/pZest cyclique.Preuve : Posons G=

Z/pZ

. Soitx G, on a xp1 =1, donc le polynme Xp1 1 admetexactementp 1 racines dans le corsp Z/pZ, par suite pour chaque diviseur ddep 1, commeXd1|Xp11, il admet exactement dracines, par suite soientx, x Gdordre d, par le thormede Lagrange on aura < x>=< x >=

z G| zd = 1

. Posons1(d) le nombre dlments dordre

ddansGet (d) le nombre dlments dordre ddans un groupe cyclique dordre p 1, on aura1(d) (d) car 1(d) = 0ou(d), or en classant les lments de Gpar leurs ordres on obtient :

p1 =

d|p11(d)

d|p1

(d) = p1

Ceci ncessite que chaque ingalit 1(d)(d) est une galit, comme (p 1)=0, on a1(p1) = 0, par suite il existe dans Gdes lments dordrep1, donc Gest cyclique

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4.4. Le thorme du reste chinois.

Thorme 18. Soient a, bN premiers entre eux, on un isomorphisme danneau :

Z/abZZ/aZZ/bZx (x, x)

Lemme 19. Soient n, mN tel que n|m, on un homomorphisme danneau :Z/mZZ/nZ

x xPreuve du thorme : Par le lemme, on a une applicationZ/abZZ/aZZ/bZ : x (x, x),

et cest un homomorphisme danneaux, montrons quelle est injective, il suffit de montrer que sonnoyau est trivial : On a (x, x) = (0,0) = a|x et b|x ppcm(a, b)|x, commeaetbsont premiersentre eux ab|x, lapplication est injective et les deux anneaux quipotents lapplication estbijective

Une autre faon quivalente dnoncer le thorme18est :

Proposition 77. (Thorme du reste chinois)

Soient a, bN premier entre eux, soient, Z, il existe xZ tel que : x modulo(a)x modulo(b)

Toute autre solution xde ce systme de congruence vrifie x x mod ul o (ab)ou encore :

Proposition 78. (Thorme du reste chinois)Soient a, bN premier entre eux, soient, Z, il existe xZ unique tel que 0 x< ab et :

x modulo(a)x modulo(b)

2. (Calcul de x )

Mthode 1 : Par lidentit de Bzout, soit u, vZ telqueua+vb= 1, multiplions par

= ua+ vbdonc

vb= ua+Posons x1 = vb= ua+, on a bien

x modulo(a)x modulo(b)

Rduisons x1modulo ab on obtient la plus petite solution positive.

Mthode 2 : Par inversion, la solution est de la forme x= + ka=+ kb, on dtermine k(ou k) par la condition :

x mod(b) +ka= mod(b) kb= mod (b)Soit blinverse de b modulo a

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k= b() mod (b)par suite une solution est donn par

x=+ a (b())Exemples .

1. Cherchons xZ tel que x 2 mod (5)x 4 mod (7)

Mthode 1 : Par lidentit de Bzout, on a3.5 27 = 1 4 2 = 6.5 4.7 4 + 4.7 =2 + 6.5soit x= 32est une solution, pour avoir la plus petite solution positive on rduitmodulo57 x= 32.

Mthode 2 : Par inversion, crivons la solution de la forme x= 4 + 7k, donc4 + 7k= 2mod (5) soit2k= 3 mod(5), linverse de2 modulo5 est3,donck= 32 = 4 mod (5) doncx= 4 +7.4 = 28.

2. Un voyageur visite chaque jour une ville Vi i= 1,2,3,4 dans lodre V1V2V3V4 V1 , sachant quil a dbut ces voyages par V1un lundi, au bout de combien devoyages va til se retrouver pour la premire fois un samedi en V3?

Dans les voyages3 + 4k le voyageur est en V3, dans les voyagse 6 + 7k il est samedi, oncherche donc la plus petite solution positive du systme de congruences :

n 3 mod (4)n 6 mod (7)

On a2.4

7

=1

6

3

=6.4

3.7

3

+6.4

=3.7

+6 donc la solution est24 modulo4

7,

soit la plus petite est n= 24.Corollaire 20. Soient a, bN premiers entre eux, on un isomorphisme de groupe :

(Z/abZ) (Z/aZ) (Z/bZ)x (x, x)

Preuve : Lisomorphisme danneau prserve les lments inversibles et on a pour A,Bdes an-neaux :

(AB) = A B

Proposition 79. Soient a, bN premiers entre eux, on a :(ab) =(a)(b)

Proposition 80. Soit aN (> 0), soitppnp la factorisation de a en produit de nombres premiers :(a) =

np1

(p1)pnp1

Preuve : Par le corollaire on a (a) = p(pnp), il suffit alors de calculer (pnp), un entier nest premier avecpnp (np> 0) si et seulement si il nest pas divisible par p(proposition61). Soitn= pnun entier non premier pnp, on a :

n< pnp n < pnp1

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par suite le nombre des entiers premier pnn et < pnp est :

pnp pnp1 = pnp1(p1) 4.5. Applications de lanneauZ/nZ.

Voici des exemples dapplications de lanneauZ/nZ, le principe est : partant dun problme

dans Z, en rduisant modulo un entier convenable (en projetant ) on obtient un problme sem-blable sur Z/nZ en principe beaucoup plus facile car Z/nZ est fini.

1. Montrer que

2 Q : Supposons que

2 Q, posons

2 = pq

p gcd(p, q) = 1, on a donc2q2 =p2, donc q|p2 comme qest premier p, il divise 1, donc q= 1, on a donc p2 = 2,rduisant modulo 3 p2 = 2, distinguons les cas :

p= 0 cela donne 2 = 0 donc 3|2 absurde. p= 1 cela donne 2 = 1 absurde. p= 2 cela donne 2 = 4 = 1 absurde.

2. Montrer que 1003 nest pas un cube dans N : On rduit modulo 7, on a 1003 2 mod 7, sion avaitn3

=1003, on aurain3

=2, on distinguant les cas on obtient 2

=0,1ou6 absurde.

3. Montrer que le polynme X3 X+ 2 na pas de racine dans Q : Supposons que Pa uneracine

p

qQ (p gcd(p, q) = 1), comme dans lexemple 1. on auraq= 1 doncp3 p+ 2 = 0,

rduisant modulo 3 on obtient 2 0 mod 3 absurde.4. La preuve dune multiplication : Pour dtecter une erreur probable dans une multiplication

a b= con rduit modulo 9, or (voir lexemple 12.) tout entiernest congrue la sommede ces chiffres modulo 9, on se ramne donc une multiplication de deux nombres 9 (onpeut aussi rduire modulo 3 mais on diminue les chances de dtecter une erreur).

5. (Critre de divisibilit par 2) Un nombre est pair si et seulement si son premier chifre enbase 10 est pair.

6. (Critre de divisibilit par 3) Comme 10

1 mod 3 on aura :

i

ri10i

i

ri mod3

Par suite un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ces chiffres en base10 est divisible par 3.

7. (Critre de divisibilit par 4) Comme 10 2 mod 3 on aura :

i

ri10i r0 +2r1 mod4

Par suite un nombre est divisible par 4 si et seulement si il est pair et 4|r0 +2r1.

8. (Critre de divisibilit par 5) Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son premierchifre en base 10 est 5 ou 0.9. (Critre de divisibilit par 6) Un nombre est divisible par 6 si et seulement si son premier

chiffre en base 10 est pair et la somme de ces chiffres divisible par 3.10. (Critre de divisibilit par 7) Un nombre est divisible par 7 si et seulement si 7|(A+3B2C)

avec :

A= r0 r3 + r6 r9 +

B= r1 r4 + r7 r10 +

C= r2 r5 + r8 r11 +

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11. (Critrededivisibilitpar8)Unnombreestdivisiblepar8sietseulementsi

2|r08|r0 +2r1 +4r2

12. (Critre de divisibilit par 9) Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme deces chiffres en base 10 est divisible par 9.

13. (Critre de divisibilit par 10) Un nombre est divisible par 10 si et seulement si son premierchiffre en base 10 est 0.

14. (Critre de divisibilit par 11) Un nombre est divisible par 11 si et seulement si 11|A

B

A= r0 + r2 + r4 + B= r1 + r3 + r5 +

15. (Critre de divisibilit par 12) Un nombre est divisible par 12 si et seulement si il est divisiblepar 4 et la somme de ces chiffres en base 10 divisible par 3.

16. (Critre de divisibilit par 13) Un nombre est divisible par 13 si et seulement si 13|(A3B4C) avec :

A= r0 r3 + r6 r9 +

B= r1 r4 + r7 r10 +

C= r2 r5 + r8 r11 + 17. (Critre de divisibilit par 14) Un nombre est divisible par 14 si et seulement si il est pair et

divisible par 7.18.

Citons enfin :

Thorme 21. (critre dirrductibilit dEisenstein) Soit P= a0 + a1X+ + anXn Z[X],supposons quil existe un nombre premier p tel que p|a0, a1, an1et p|anet p2 |a0, alorsP est irrductible dansQ[X].