poly théorie des mécanismes

11.1 Modlisation cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Modle cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Liaisons normalises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Paramtrage des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Tableau des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Chanes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Structure des mcanismes - graphe de structure . . . . . . . . 31.3.2 Analyses gomtrique et cinmatique des mcanismes . . . . 41.3.3 Liaisons cinmatiquement quivalentes . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Reprsentation schmatique des mcanismes . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Schma cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Schma cinmatique minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Schma technologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Mobilit et hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Mobilit - Hyperstaticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.3 Exemple guide - Vanne robinet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.4 Relations entre mobilit et hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . 211.5.5 Isostaticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

i

Theorie des Mecanismes

l

Theorie des Mecanismes

Tables des matires

1.1 Modlisation cinmatique

1.1.1 Problmatique

Il est souvent ncessaire dtablir un modle permettant dtudier aussi bienles mouvements du mcanisme que les efforts quil doit supporter. En effet le sys-tme rel, soit parce quil nexiste pas encore (en phase de conception) soit parcequil est trop complexe nest en gnral pas adapt ltude. La modlisation vaintervenir aussi bien au niveau de la conception dun mcanisme que dans lana-lyse posteriori dun mcanisme existant.

Dans le premier cas on se pose alors la question suivante : Comment trans-mettre une puissance, obtenir une trajectoire particulire, rsister des ef-forts,. . . ? La rponse consiste dfinir un ensemble de liaisons lmentairesassocies pour obtenir le rsultat souhait. Aprs cette tape il reste conce-voir partir de ce modle les pices qui composent le mcanisme.

Dans le second cas, le mcanisme tant donn, on se propose alors de lemodliser par un schma qui va en permettre une analyse plus simple. partir de cette modlisation on pourra en tudier le comportement tant auniveau des mouvements (trajectoire, vitesse , acclration) quau niveau desefforts transmis et ceux que doivent encaisser les liaisons.

1.1.2 Modle cinmatique

Un solide dans un mcanisme est li aux solides voisins et les mouvementsrelatifs sont limits par la nature des surfaces en contact. partir de ces surfaces encontact et des mouvements relatifs on choisit alors de modliser le contact par une

1

1.1 Modlisation cinmatique 1

(ou plusieurs) liaison(s) cinmatique(s). Le torseur cinmatique est le principaloutil de cette caractrisation :

{V1/0}= { # 1/0#

VA1/0

}A

=x vxy vyz vz

A( #x1 ,y#1,z#1)

. (1.1)

Ce torseur caractrise les 6 mouvements lmentaires possibles (3 rotations, 3translations) entre deux solides.

2 1 Mcanismes

Le principal problme que lon rencontre lors de cette phase est la diffrenceentre la ralit et le modle. En effet, les dfauts de ralisation des surfaces (rugo-sit, dfaut de forme, tolrance), la prsence ncessaire de jeu, la dformation despices, lusure, . . ., rendent cette modlisation difficile et souvent dpendante dupoint de vue.

On appelle modle cinmatique dun mcanisme, le modle construit autourdes hypothses suivantes :

des pices indformables, des liaisons sans jeu, des surfaces de contact gomtriquement parfaites, des surfaces de contact simples (plan, sphre, cylindre, hlicode). partir de ces hypothses, on modlise la liaison entre les deux solides par

une liaison normalise. Ces liaisons lmentaires permettent de caractriser lesmouvements simples entre les pices (rotations, translations, combines ou non).

1.2 Liaisons normalises

1.2.1 Paramtrage des liaisons

La liaison entre les deux solides est caractrise par le torseur cinmatique dumouvement relatif entre les deux solides. Les coordonnes de ce torseur cinma-tique sont les paramtres de la liaison.

1.2.2 Tableau des liaisons

Les tableaux en annexe (page ??) prsentent les liaisons normalises. La normeapplicable est la norme NF EN ISO 3952-1.

Pour chaque liaison on retrouve la dsignation normalise, le torseur cinmatique associ, le torseur des ef-

forts transmissibles ; une reprsentation gomtrique de la liaison ; le symbole ISO en perspective et les deux vues planes ; les torseurs sont crits sous la forme la plus gnrale possible.

1.3 Chanes de solides 3

1.3 Chanes de solides

1.3.1 Structure des mcanismes - graphe de structure

Un mcanisme est constitu de solides relis par des liaisons cinmatiques.Lensemble de ces liaisons et des solides forme une chane de solides.

Cette chane peut-tre reprsente par un graphe dit graphe de structure (ougraphe des liaisons). Sur ce graphe, les solides sont les nuds et les liaisons lesarcs. Il est dusage de prciser le solide rfrentiel.

S1

S2

Si

Si+1

Sn

L1

L2

LiLn1

(a) Chane ouverte

S1

S2

Si

Si+1

Sn

L1

L2

LiLn1

Ln

(b) Chane ferme

S1

S2

Si

Si+1

SnSk

Sl

L1

L2

LiLn1

Ln

Lk

Ll Lm

Lp

(c) Chane complexe

FIGURE 1.1 Chanes de solides

a ) Classe dquivalence cinmatique

On appelle classe dquivalence cinmatique, un ensemble de solides nayantaucun mouvement relatif. Cet ensemble de solides est considr comme un seulsolide dans les tudes qui suivent. Lors de ltude dun mcanisme, on commencepar dfinir les classes dquivalence puis on recherche les liaisons entre ces classesdquivalence.

b ) Chanes ouvertes

Une chane de solide est dite ouverte (fig 1.1(a)) lorsque la structure corres-pond un ensemble de solides lis les uns aux autres sans bouclage. On retrouvecette structure dans les mcanismes de type robot, grue, manipulateur,

c ) Chanes fermes

Une chane de solide est dite ferme (fig 1.1(b)) lorsque le graphe prsente uneboucle.

4 1 Mcanismes

d ) Chanes complexes

La chane de solides est dite complexe (fig 1.1(c)) lorsquelle prsente plusieursboucles imbriques.

Nombre cyclomatique Le nombre cyclomatique caractrise la complexit dela chane, il prcise le nombre minimal de boucles quil est ncessaire dtudierpour dfinir compltement le mcanisme. Une chane ferme simple a un nombrecyclomatique de 1.

= LN+1 (1.2)avec L, le nombre de liaisons du mcanisme et N, le nombre de solides du mca-nisme.

1.3.2 Analyses gomtrique et cinmatique des mcanismes

a ) tude gomtrique dun mcanisme en chane ferme

Pour raliser ltude gomtrique dun systme en boucle ferme (fig 1.1(b)),il suffit dcrire la relation vectorielle reliant les points caractristiques de chaquesolide.

Soit Oi , le point caractristique du solide Si , la relation de fermeture de lachane gomtrique scrit :

# O1O2+ # O2O3+ + # Oi1Oi + + # On1On + # OnO1 = #0 .

En projetant cette quation vectorielle dans une base orthonorme, on obtient3 quations scalaires reliant les diffrents paramtres gomtriques.

Remarque : Dans le cas dun mcanisme plan, on obtient 2 quations sca-laires, dduites de la projection de cette relation sur les axes du plan.

b ) tude cinmatique dun mcanisme en chane ferme

Soit, un mcanisme en chane ferme compos de n solides et n liaisons (fig 1.1(b)).Pour chaque liaison Li , on peut crire le torseur cinmatique entre les deux solidesSi et Si+1 de la liaison au point Oi caractristique de la liaison.

{V(i+1)/i

}={ # (i+1)/i

# VOi(i+1)/i

}Oi

La fermeture cinmatique sobtient en crivant la somme des torseurs en unmme point :{

V1/2}+{V2/3}+ +{V(i1)/i}+{Vi/(i+1)}+ +{Vn/1}= {0}


Cette relation permet dobtenir 2 quations vectorielles, et aprs projection 6quations scalaires.

Remarque : cette somme de torseur ne peut se calculer que si les torseurs sontcrits en un mme point.

1.3.3 Liaisons cinmatiquement quivalentes

On appelle liaison cinmatiquement quivalente entre deux pices, la liaisonqui se substituerait lensemble des liaisons ralises entre ces pices avec ou sanspice intermdiaire.

La liaison quivalente doit avoir le mme comportement que lensemble desliaisons auquel elle se substitue. On considre deux types de liaisons quivalentes :les liaisons en srie et les liaisons en parallles. Pour dterminer la liaison quiva-lente, on pourra soit raliser une tude du point de vue cinmatique, soit du pointde vue statique.

S1 S2

L1

L2

Li

Ln

S1 S2

Leq

(a) Liaisons en parallle

S1 S2

Si

S j

L1Li

L j

S1 S2

Leq

(b) Liaisons en srie

FIGURE 1.2 Liaisons quivalentes

a ) Liaisons en srie

Des liaisons sont dites en srie lorsque le graphe a la structure 1.2(b). On re-trouve en fait la structure dune chane ouverte.

tude cinmatique On recherche le torseur cinmatique du mouvement du so-lide 2 par rapport au solide 1 :

{V2/1}. En dcomposant sur les solides interm-

diaires, on obtient : {Veq

2/1

}= {V2/ j}+{V j/i}+ +{Vi/1} (1.3)On constate que, le torseur cinmatique de la liaison quivalente plusieurs

liaisons en srie est gal la somme des torseurs cinmatiques des liaisons de lachane.

6 1 Mcanismes

Remarque : chaque torseur doit tre crit au mme point avant de calculer lasomme.

tude statique On suppose les solides en quilibre, on nglige le poids des pices,les actions extrieures appliques sur le solide Sn sont reprsentes par le torseurdaction mcanique

{Fextn

}.

S1

S2

Sn2

Sn1Sn

L1Li Ln1

Ln{Fextn

}

S1 Sn{Fextn

}Leq

FIGURE 1.3 Liaisons en srie - tude statique

On note{A(n1)n

}, le torseur des actions transmissibles par la liaison Ln entre les

solides Sn et Sn1,{Aeq

}, le torseur des actions transmissibles par la liaison quivalente Leq

entre les solide S1 et Sn .La liaison quivalente doit se comporter du point de vue des efforts transmis-

sibles comme lensemble des liaisons en srie. Si on applique le PFS au solide Sn ,on peut donc crire dans un cas comme dans lautre :

pour les liaisons en srie{A(n1)n

}+{Fextn}= {0} pour la liaison quivalente{

Aeq

1n}+{Fextn}= {0}

On en dduit que {A

eq1n}= {A(n1)n}

En appliquant ensuite le PFS sur le solide Sn1, on dduit :{A(n1)n

}= {A(n2)(n1}Finalement en isolant successivement chacun des solides jusquau solide S2, onen dduit que tous les torseurs des actions de liaisons doivent tre gaux et gaux celui de la liaison quivalente.


S1

S2L1

L2

Li

Ln

{Fext2

}

S1

S2

Leq

{Fext2

}

FIGURE 1.4 Liaisons parallles

{A

eq1n}= {A(n1)n}= {A(n2)(n1)}= {A(n3)(n2)}= = {A12} (1.4)

b ) Liaisons en parallle

Lorsque plusieurs liaisons relient directement deux solides, les liaisons sontdites en parallle (fig 1.4).

tude cinmatique Lensemble des liaisons Li en parallle impose le mouve-ment du solide 2 par rapport au solide 1, le torseur cinmatique

{V2/1}

reprsentece mouvement.

On note :{V i2/1}, le torseur cinmatique de la liaison Li entre les deux solides

S1 et S2.

Chaque liaison lmentaire Li ne peut que respecter le mouvement global dusolide 2 par rapport au solide 1, on peut donc crire :{

V i2/1

}= {V2/1}

Le comportement cinmatique de la liaison quivalente Leq doit aussi respecter lemouvement global du solide 2 par rapport au solide 1 :

{Veq

2/1

}= {V2/1}do la condition que doit respecter le torseur de la liaison quivalente :

{Veq

2/1

}= {V 12/1}= {V 22/1}= = {V i2/1}= = {V n2/1} (1.5)Pour dterminer, partir de ltude cinmatique, la liaison quivalente n liai-

sons en parallle, il suffit de rsoudre le systme de 6 n quations dduit des ga-lits de torseurs ci-dessus.

8 1 Mcanismes

tude statique Pour dterminer la liaison quivalente, on isole le solide 2.Il est soumis : Aux actions transmissibles par chaque liaison Li ;{A 112

},{A 212

}, . . .,

{A i12

}, . . .,

{A n12

};

Aux autres actions extrieures :{Fext2

}.

Le P.F.S scrit donc :{A 112

}+{A 212}+ +{A i12}+ +{A n12}+{Fext2}= {0}soit

ni=1

{A i12

}+{Fext2}= {0}

La liaison quivalente doit respecter le mme quilibre :{A

eq12}+{Fext2}= {0}

On dduit donc : {A

eq12}= n

i=1

{A i12

}(1.6)

c ) Rcapitulatif

Le tableau ci dessous rcapitule les diffrents modes de calcul des liaisonsquivalentes.

tude cinmatique tude statiqueLiaisonsen srie

Somme des torseurs cinma-tiques{Veq

2/1

}= {V2/( j )}+{V j/i}+ +{Vi/1}galit des torseurs des actionstransmissibles{A

eq12} = {A(n1)n} = ={

A12}

Liaisonsen pa-rallle

galit des torseurs cinma-tiques{Veq

2/1

}= {V 12/1}= = {V i2/1}= {V n2/1}Somme des torseurs des actionstransmissibles{A

eq12}= n

i=1

{A i12

}

1.4 Reprsentation schmatique des mcanismes

1.4.1 Schma cinmatique

Le schma cinmatique dun mcanisme est un modle filaire du mcanismeutilisant les symboles normaliss des liaisons. Ce modle est utile tant au niveaude la conception que de lanalyse posteriori pour raliser ltude cinmatique oudynamique (trajectoire, vitesse, efforts, etc.).

Quelques rgles et conseils pour tablir un schma cinmatique :

1.5 Mobilit et hyperstatisme 9

Le schma peut tre ralis en une vue en perspective ou en plusieurs vuesen projection. La position relative des liaisons doit tre respecte (perpen-dicularit, paralllisme, alignement, orientation prcise, etc.) ;

Les pices sont dessines trs succinctement par un simple trait en gnralqui relie les diffrentes liaisons ;

On ne doit pas privilgier une position particulire dans la reprsentation ; Le schma doit tre clair et permettre la comprhension du mcanisme ; Le schma cinmatique ne doit comporter que des pices indformables

(pas de ressort) ; Dans certain cas, une reprsentation plane peut suffire pour dcrire le m-

canisme.Vous trouverez dans la suite de ce manuel, un grand nombre de schmas cin-

matiques.

1.4.2 Schma cinmatique minimal

Le schma cinmatique minimal est obtenu en remplaant si possible, les liai-sons en srie et ou en parallle par les liaisons normalises quivalentes.

Le schma cinmatique minimal fait disparatre des solides et des liaisons,il est utiliser avec prcaution et uniquement pour ltude cinmatique et la com-prhension cinmatique du mcanisme. Il ne doit pas tre utilis pour raliser descalculs dhyperstatisme ou des calculs deffort dans les liaisons.

1.4.3 Schma technologique

Il est parfois ncessaire afin de mieux comprendre le fonctionnement dun m-canisme, de complter le schma cinmatique en ajoutant des constituants tech-nologiques tels les ressorts, les courroies, les clapets dun circuit hydraulique, . . .

On peut aussi prciser la forme de certaines pices et dcomposer les liaisonsen liaisons lmentaires plus proche de la ralisation technologique. Ainsi on re-prsentera une liaison pivot ralise par deux roulements par une liaison sphrecylindre (linaire annulaire) et une liaison sphrique (rotule)

Ce schma est alors appel un schma technologique.

1.5 Mobilit et hyperstatisme

1.5.1 Dfinitions

a ) Degr de mobilit dun mcanisme

Le degr de mobilit m caractrise le nombre de mouvements indpendantsdun mcanisme.

un mcanisme est immobile lorsque m = 0 ;

10 1 Mcanismes

un systme est mobile de mobilit m lorsque m > 0 ;Attention : m ne peut tre ngatif.

On dfinit aussi de manire complmentaire, les notions de mobilit utile muet mobilit interne mi avec

m =mu +mi .

Mobilit utile mu : cest la ou les mobilits souhaites du mcanisme.

Mobilit interne mi : cest une mobilit qui caractrise le mouvement dune piceindpendamment des autres pices (rotation dune pice sur elle-mme).

Cette notion de mobilit interne est tendue aux mobilits du mcanisme quine concerne que des pices internes dont le mouvement nentrane pas de mou-vement des pices en relation avec le milieu extrieur.

Quelques exemples du laboratoire de sciences industrielles :

La pompe Doshydro possde deux mobilits utiles, la mobilit principale :la rotation de larbre moteur entrane la translation du piston, la seconde estle rglage de la course du piston ;

La plate-forme Steward possde six mobilits utiles (les trois translations etles trois rotations de la plate-forme) et six mobilits internes (la rotation dechaque vrin autour de laxe passant par les centres des rotules).

b ) Degr dhyperstaticit dun mcanisme

Le degr dhyperstaticit h dun mcanisme caractrise la surabondance desdegrs de liaisons de ce mcanisme. Ainsi une table avec quatre pieds est hyper-statique de degr h = 1 car trois pieds suffisent pour la poser sur le sol.

Un systme est dit isostatique (h = 0) sil est possible de dterminer la to-talit des inconnues de liaison en appliquant le principe fondamental de lastatique chacune des pices du mcanisme.

On dit quun systme est hyperstatique (h 0) si toutes les inconnues deliaison ne sont pas dterminables. Chaque inconnue non dterminable parle P.F.S est un degr dhyperstaticit.

1.5.2 Mobilit - Hyperstaticit

On se propose de rechercher des relations entre les paramtres du mcanisme(nombre de pices, liaisons, nombre cyclomatique, etc.) et le degr de mobilitet/ou dhyperstaticit. Nous allons mener cette tude du point de vue statique etdu point de vue cinmatique.


a ) Dtermination du degr dhyperstaticit

Soit un mcanisme (figure 1.5) form de N solides relis par L liaisons. On ap-plique le P.F.S chaque solide hormis le bti, ainsi pour le solide Si :{

A2i}+{Aki }+{A(i+1)i}+{Fext1}= {0} .

Pour chaque quilibre nous pou-vons donc crire un systme de 6quations. Il est possible dtudierlquilibre de N1 solides (les autresquilibres se dduisent de ceux-ci)do pour la totalit du mcanisme unnombre total dquation de

Es = 6 (N1) . (1.7)

S1

S2

Si

Si+1

SnSk

Sl

L1

L2

LiLn1

Ln

Lk

Ll Lm

Lp{Fexti

} {Fextn

}

FIGURE 1.5 chane complexe

Chaque torseur daction transmissible par une liaison Li du solide Si1 sur Si({A(i1)i

}) comporte nsi inconnues. Le tableau 1.1 prsente quelques liaisons et

les inconnues de liaisons associes.

Liaison Torseur nsi

liaison pivot

Xi 0Yi MiZi Ni

Pi( #xi , #yi , #zi )

nsi = 5

liaison pivot glissant

0 0Yi MiZi Ni

Pi( #xi , #yi , #zi )

nsi = 4

liaison sphrique

Xi 0Yi 0Zi 0

Pi( #xi , #yi , #zi )

nsi = 3

TABLE 1.1 Inconnues de liaisons

Le nombre total dinconnues statiques pour les L liaisons est donc :

Is =L

i=1nsi . (1.8)

12 1 Mcanismes

Ltude globale du mcanisme se ramne donc ltude dun systme linairede Es quations avec Is inconnues. Ce systme est un systme linaire dont le rangest not rs .

Le degr dhyperstaticit h correspond au nombre dinconnues de liaison quelon ne peut pas dterminer par la rsolution du systme :

h = Is rs (1.9) h = 0, il est alors possible de dterminer toutes les inconnues de liaison, le

systme est isostatique h > 0, il y a plus dinconnues que dquations indpendantes, le systme

est hyperstatique. Le nombre dinconnues de liaison non dtermines re-prsente le degr dhyperstaticit.

b ) Dtermination du degr de mobilit

Soit un mcanisme form de N solides relis par L liaisons (figure 1.5). Lenombre de cycles indpendants du mcanisme est :

= LN+1. (1.10)Pour analyser compltement le mcanisme, il faut donc tudier les boucles dumcanisme.

Pour chaque liaison lmentaire L j on crit le torseur cinmatique{V(i+1)/i

}.

Chaque torseur comporte nci inconnues cinmatiques (quelques exemples dansle tableau 1.2).

Liaison Torseur nci

liaison pivot

xi 0

0 00 0

Pi( #xi , #yi , #zi )

nci = 1

liaison pivot glissant

xi Vxi

0 00 0

Pi( #xi , #yi , #zi )

nci = 2

liaison sphrique

xi 0yi 0zi 0

Pi( #xi , #yi , #zi )

nci = 3

TABLE 1.2 Inconnues cinmatiques

Pour chacune des boucles indpendantes, on exprime la fermeture cinma-tique, ainsi pour la boucle (figure 1.5) constitue des solides {Si ,Si+1,Sk } :{

Vi/k}+{Vk/(i+1)}+{V(i+1)/i}= {0} .


On obtient ainsi 6 quations par boucle soit Ec quations pour le mcanismecomplet

Ec = 6 (1.11)et comportant Ic inconnues cinmatiques

Ic =Lj=1

nci . (1.12)

Le rang de ce systme est not rc .Le degr de mobilit correspond aux inconnues cinmatiques que lon ne peut

dterminer lors de la rsolution du systme soit :

m = Ic rc . (1.13)

Si m = 0 le mcanisme est immobile ; m > 0 le systme est mobile de mobilit m.

c ) Dtermination intuitive du degr de mobilit

Dans le cas des mcanismes peu complexes, il est possible de dterminer le de-gr de mobilit partir de lanalyse du mcanisme (lecture du dessin densemble,schma cinmatique, vue 3D, etc.).

On recherche les mobilits utiles : en identifiant la chane cinmatique de la (des) mobilit(s) utile(s) (de (des)

lactionneur(s) vers la sortie) ; en recherchant la chane cinmatique de rglage.

Pour identifier les mobilits internes, on sintresse aux liaisons plusieurs degrsde libert (pivot glissant, sphre cylindre, sphrique).

Chaque mouvement ainsi identifi est une mobilit.Cette dtermination intuitive est souvent suffisante pour rsoudre un problme

lmentaire.

1.5.3 Exemple guide - Vanne robinet

Le volant entrane la vis de commande en rotation par rapport au corps (liaisonpivot). Le volant et la vis sont en liaison complte (encastrement). La vis de com-mande entrane par lintermdiaire dune liaison hlicodale le pointeau. Celui-cicoulisse sans tourner par rapport au corps (liaison glissire).

On se propose de dterminer par une tude statique et un tude cinmatiquele degr de mobilit et le degr dhyperstaticit de ce mcanisme.

14 1 Mcanismes

FIGURE 1.6 Vanne

a ) Modlisation du mcanisme

Ltude dbute par la modlisation du mcanisme (identification des liaisons,schma cinmatique, etc.).

Schma cinmatique partir de la description ci-dessus on peut tablir le graphede structure et le schma cinmatique (figure 1.7).

O2 - Manivelle3 - Pointeau

1 - Corps

# Cm

#Fr

(a) Schma cinmatique

S1

S2

S3L21 : Pivot(O, #z

)L31 :Glissire #z

L23 :Hlicodale(O, #z

)# Cm

#Fr

(b) Graphe de structure

FIGURE 1.7 Modlisation de la vanne

Inventaire On retrouve dans les tableaux ci-dessous, linventaire des liaisons (ta-bleau 1.3) et linventaire des actions mcaniques extrieures (tableau 1.4).


Dsignation Torseur cinmatique Torseur des actions transmis-sibles

L31 LiaisonGlissire

{V3/1}=

0 00 00 V31

P( #x , #y , #z )

{A13

}=

X13 L13Y13 M13

0 N13

P( #x , #y , #z )

L32 LiaisonHlicodale

{V3/2}=

0 00 032 V32

P(O, #z )( #x , #y , #z )

avec V32 = p2pi32

{A23

}=

X23 L23Y23 M23Z23 N23

P( #x , #y , #z )

avec N23 = p2pi Z23

L21 LiaisonPivot

{V2/1}=

0 00 021 0

P(O, #z )( #x , #y , #z )

{A12

}=

X12 L12Y12 M12Z12 0

P( #x , #y , #z )

TABLE 1.3 Inventaire des liaisons de la vanne

Le mcanisme comporte N = 3 pices et L = 3 liaisons, do le nombre cyclo-matique : = LN+1= 1.

partir de linventaire des liaisons, on dduit pour

ltude statique que le systme rsoudre comporte Es = 6(N1)= 12 quationset Is = 5+5+5= 15 inconnues de liaisons.Le rang de ce systme ne peut dpasser rs min(Es , Is) = 12, le mcanismeest donc au moins hyperstatique dordre h = Is rs 3.

ltude cinmatique que le systme rsoudre comporte Ec = 6 = 6 quations(une seule boucle) et Ic = 1+1+1= 3 inconnues.

Remarque : la liaison hlicodale ne comporte quune inconnue cinmatiqueet cinq inconnues statiques, en effet les inconnues V32 et 32 sont lies ainsi queZ32 et N32.

Couple exerc sur le volant Effort rsistant sur le pointeau{FCm2

}= { #0Cm #z

}P

{Fext3

}= {Fr #z#0

}P(O, #z )

TABLE 1.4 Inventaire des efforts extrieurs

b ) Dtermination du degr dhyperstaticit par une tude statique

Remarque pralable : crire le P.F.S suppose que le systme est en quilibre,nous supposerons ici, que les masses sont ngligeables et/ou les vitesses constantespour pouvoir lappliquer.

16 1 Mcanismes

Nous verrons par la suite quil est possible de raliser les calculs avec des ef-forts nuls, en effet lobjectif nest pas lquilibre des pices ou ltude du mouve-ment mais la dtermination des mobilits et de lhyperstaticit du mcanisme etle rsultat de ce calcul ne dpend pas des efforts extrieurs.

P.F.S sur 2 en O On isole le solide 2 (figure 1.8(a)), le PFS scrit :{A12

}+{A32}+{FCm2}= {0} ,ou, en revenant au donnes du tableau{

A12}{A23}+{FCm2}= {0} .

Soit en O dans la base(

#x , #y , #z)

avec N23 = p2pi Z23 :

X12 L12Y12 M12Z12 0

X23 L23Y23 M23Z23 p2pi Z23

+

0 00 00 Cm

=

0 00 00 0

do les 6 quations de lquilibre de 2 (3 pour la rsultante et 3 pour les mo-

ments) : X12X23 = 0Y12Y23 = 0Z12Z23 = 0

et

L12L23 = 0

M12M23 = 00+ p

2piZ23+ Cm = 0

(1.14)

S1

S2

S3L21 : Pivot(O, #z

)L31 :Glissire #z


)# Cm

#Fr

(a) PFS - Isolement solide 2

S1

S2

S3L21 : Pivot(O, #z

)L31 :Glissire #z


)# Cm

#Fr

(b) PFS - Isolement solide 3

FIGURE 1.8 quilibres des solides 2 et 3

P.F.S sur 3 en O On isole le solide 3 (figure1.8(b)), le PFS scrit :{A13

}+{A23}+{Fext3}= {0} .


Ce qui donne en ramenant tout en O dans la base(

#x , #y , #z)

avec N23 = p2pi Z23 :

X13 L13X13 M13

0 N13

+

X23 L23Y23 M23Z23

p2piZ23

+

0 00 0

Fr 0

=

0 00 00 0

.Do les 6 quations de lquilibre de 3 :

X13+X23 = 0Y13+Y23 = 0

0+Z23 +Fr = 0et

L13+L23 = 0

M13+M23 = 0N13 p

2 pi Z23 = 0(1.15)

Rsolution Nous avons donc rsoudre un systme de 12 quations 15 incon-nues, ce systme scrit sous forme matricielle :

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 p2pi 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 p2pi 0 0 0 0 0 0 1

X12Y12Z12L12M12X23Y23Z23L23M23X13Y13L13M13N13

=

00000

Cm00Fr

000

Le rang de ce systme est au maximum de 12 (rs min(Is ,Es)= Es ).On constate rapidement que les lignes 6 et 9 sont linairement dpendantes,

le rang est donc diminu de 1 do rs = 121 et par suite h = 1511= 4.Remarque : Ces deux lignes correspondent aux quations :

p

2piZ23+Cm = 0

Z23+Fr = 0soit Cm = p

2piFr ,

cest--dire la relation entre lentre et la sortie du mcanisme.Pour dterminer le rang, il est possible de rechercher la matrice carre la plus

grande possible avec un dterminant non nul que lon peut extraire de la matrice

18 1 Mcanismes

rectangulaire mais il est souvent prfrable de rsoudre directement le systmeet dterminer les inconnues de liaisons, le degr dhyperstaticit est dduit desinconnues non dterminables. Nous allons vrifier que le rang est bien rs = 11 enen rsolvant compltement le systme.

Ainsi, partir du systme des 4 quations suivantes extraites du systme com-plet :

Z12Z23 = 0Z23+ Fr = 0p

2piZ23+ Cm = 0

N13 p2 pi Z23 = 0

soit

Cm = p2pi

Fr

Z23 =2pipCm

Z12 =Z23N13 =Cm

(1.16)

il reste donc 8 quations pour 12 inconnues, il est ncessaire dimposer 4 va-leurs pour rsoudre. On choisit, les composantes de la liaison hlicodale X23, Y23,L23 et M23 comme paramtres pour rsoudre le systme.

X12X23 = 0Y12Y23 = 0L12L23 = 0

M12M23 = 0X13+X23 = 0Y13+Y23 = 0L13+L23 = 0

M13+M23 = 0

soit

X12 =X23Y12 = Y23L12 = L23

M12 =M23X13 =X23Y13 =Y23L13 =L23

M13 =M23

(1.17)

Ces 4 inconnues de liaisons qui ne peuvent tre dtermines X23, Y23, L23 etM23, correspondent au degr dhyperstatisme du mcanisme, le mcanisme estdonc hyperstatique dordre h = 4.

On montre donc que le rang global du systme est donc : rs = 11, on retrouvedonc la relation

h = Is rs = 1511= 4

Commentaires Le systme comporte 11 quations principales et 1 quationsupplmentaire. Les quations supplmentaires traduisent les relations entre lesactions mcaniques extrieures travers le mcanisme pour quil soit en quilibrecomme dans lexemple prcdent lquation Cm = p2pi Fr .

Le nombre dquations supplmentaires est gal au degr de mobilit du m-canisme :

m = Es rs . (1.18)


On constate aussi que le caractre hyperstatique dun mcanisme est indpen-dant des efforts extrieurs, ce constat permet de mener les calculs dhyperstatismeavec des efforts extrieurs nuls.

Lors de la dtermination du degr dhyperstaticit, les inconnues hypersta-tiques sont choisies arbitrairement (dans lexemple prcdent X32, Y32, L32 et M32)mais lors de la ralisation ou dune simulation, il faudra choisir judicieusementles valeurs annuler ou imposer (pour une table 4 pieds, il semble raisonnabledimposer que le poids de la table soit rparti sur les 4 pieds).

Aux inconnues hyperstatiques correspondent des conditions de cotation entreles liaisons que doit respecter le mcanisme afin de fonctionner correctement mal-gr lhyperstatisme :

O

(a) contrainte dimensionnelle

O

(b) contrainte angulaire

FIGURE 1.9 Hyperstaticit et contraintes dimensionnelles

Figure 1.9(a) : lorsque le degr dhyperstaticit est li une inconnue de rsul-tante (X23 et Y23 dans lexemple) cela implique de respecter lors de la rali-sation du mcanisme une contrainte dimensionnelle (ici, la distance entredeux axes doit tre nulle).

Figure 1.9(b) : lorsque le degr dhyperstaticit est li une inconnue de moment(L23 et N23 dans lexemple) cela implique de respecter lors de la ralisationdu mcanisme une contrainte angulaire (ici, les deux axes doivent tre pa-rallles).

Dans notre exemple, les deux axes (vis et pointeau) doivent tre coaxiaux pourque le systme puisse fonctionner.

c ) tude cinmatique

Nous allons reprendre la mme tude partir dun point de vue cinmatique.Le systme ne comporte quune seule boucle, = 1, la fermeture gomtrique

va nous permettre dcrire un systme de Ec = 6= 6 quations avec Ic = 3 incon-nues.

Fermeture de la chane cinmatique :{V3/2}+{V2/1}+{V1/3}= {0}

20 1 Mcanismes

et en O dans la baseB = (#x , #y , #z ).0 00 032 V32

+

0 00 021 0

0 00 00 V31

=

0 00 00 0

Do les 6 quations :

0+ 0+ 0= 00+ 0+ 0= 0

32+ 21+ 0= 00+ 0+ 0= 00+ 0+ 0= 0

V32+ 0 V31 = 0

avec V32 = p2pi

32 (1.19)

Le systme comporte 4 quations supplmentaires nulles, il se ramne donc un systme de 2 quations 3 inconnues. Le rang est rc = 2, il faut fixer un para-mtre pour pouvoir rsoudre les autres. Ce paramtre est la mobilit principale dumcanisme.

Le mcanisme est mobile avec :

m = Ic rc = 32= 1.

On peut choisir comme paramtre pilote 21, la vitesse de rotation de la ma-nivelle pour dterminer les deux autres :V31 =

p

2pi21

32 =21. (1.20)

Remarque : on constate dans cet exemple que le calcul via ltude cinma-tique est plus rapide, ce constat ne doit pas tre gnralis, cela dpend du mca-nisme.

Commentaires Le systme tudi comporte 2 quations principales et 4 qua-tions supplmentaires. Les quations supplmentaires correspondent aux contraintesdhyperstatisme du mcanisme :

h = Ec rc . (1.21)

On voit que les notions de mobilit et dhyperstaticit sont lies, nous allonsdfinir ces relations.


1.5.4 Relations entre mobilit et hyperstatisme

a ) tude gnrale

Pour un systme mcanique form de N solides, et L liaisons nous avons :

= LN+1 (1.22)Es = 6 (N1) (1.23)Ec = 6 (1.24)

partir de ltude statique on dduit le degr dhyperstaticit, le nombre dqua-tions supplmentaires donnant le degr de mobilit :

h = Is rs et m = Es rsdo

mh = Es Is (1.25)De mme, partir de ltude cinmatique on dduit le degr de mobilit mais

aussi le degr dhyperstaticit (quations supplmentaires de ltude cinmatique) :

m = Ic rc et h = Ec rcdo

mh = Ic Ec (1.26)

Les deux relations 1.26 et 1.25 sont quivalentes en effet.Pour chaque liaison, le nombre dinconnues cinmatiques est le complment

6 du nombre dinconnues statiques.

nsi = 6nci (1.27)

Is =L

i=1nsi =

Li=1

(6nci ) (1.28)

On peut donc crire en dveloppant :

Is = 6 LL

i=1nci = 6 L Ic . (1.29)

Puis en remplaant dans 1.25 et en rorganisant :

mh = Es 6 L+ Ic (1.30)mh = 6 (N1)6 L+ Ic (1.31)mh =6 (LN+1)+ Ic (1.32)

22 1 Mcanismes

On reconnat le nombre cyclomatique , la relation devient :

mh =6 + Ic (1.33)

do la relation

mh = Ic Ec (1.34)

Le paramtre mh est parfois appel indice de mobilit.Les relations 1.25 et 1.26 sont deux relations quivalentes qui permettent de

relier les notions de mobilit et dhyperstaticit. Il suffit de dterminer un deuxparamtres m ou h pour obtenir le second. Il est souvent facile de dterminerintuitivement le degr de mobilit par une simple tude du mcanisme.

Mcanisme plan Il est possible de raliser une tude de mobilit et dhypersta-tisme dans le plan, les relations obtenues sont quivalentes en prenant garde quele nombre dquations que lon peut crire lors dune tude statique ou cinma-tique nest que de 3. De mme, le nombre dinconnues cinmatiques ou statiquedun torseur ne peut dpasser 3. Nous pouvons donc crire :

mh = Es Is avec Es = 3 (N1) (1.35)mh = Ic Ec avec Ec = 3 (1.36)

nsi = 3nci (1.37)

Seules trois liaisons sont utilisables dans le cas dun mcanisme plan, le ta-bleau 1.5 prcise les inconnues statiques et cinmatiques pour chacune de cesliaisons.

On considre un mcanisme plan de normale #zRemarque importante : dire quun mcanisme est plan, cest dj faire des hy-

pothses sur lorientation des liaisons (toutes les rotations sont perpendiculairesau plan dtude donc parallles) cela revient simplifier le modle dtude. Cettehypothse risque de faire disparatre des degrs dhyperstaticit.

1.5.5 Isostaticit

Un mcanisme hyperstatique est un mcanisme dans lequel les liaisons sontsurabondantes, on pourrait donc obtenir le mme fonctionnement avec une struc-ture plus simple.

Est-il pour autant judicieux dessayer de le transformer pour le rendre isosta-tique ?

1. la notation [0] prcise que la valeur 0 est impose par le modle plan


Liaison torseur cinmatique 1 torseur des actions trans-missibles

Articulationdaxe normal auplan dtude

[0] 0[0] 0z [0]

O( #x , #y , #z )

, nci =

1

X [0]Y [0]

[0] 0

O( #x , #y , #z )

, nsi =

2

Glissirela direction #u estdans le plan

[0] Vu[0] 00 [0]

O( #u , #v , #z )

, nci =

1

0 [0]

Yv [0][0] Nz

O( #u , #v , #z )

, nsi =

2

Ponctuellela normale aucontact #n est dansle plan.

[0] Vuz 0[0] [0]

O( #n , #t , #z )

, nci =

2

Xn [0]0 [0]

[0] 0

O( #n , #t , #z )

, nsi =

1

TABLE 1.5 Liaisons dans le plan

La qualit principale dun mcanisme hyperstatique est sa rigidit. La contre-partie de cette qualit est son principal dfaut, les mcanismes hyperstatiquessont plus difficiles raliser donc plus coteux.

Ainsi, la glissire (figure 1.10) permet de mieux rpartir les efforts appliqus surla table mais elle ne peut correctement fonctionner que si les deux colonnes sontrigoureusement parallles. On rserve donc les solutions hyperstatiques chaquefois que la rigidit doit lemporter sur le cot, dans les autres cas on prfre lessolutions isostatiques.

a ) Recherche disostaticit

partir de ltude statique, on identifie les inconnues de liaisons surabon-dantes. Pour chaque inconnue de liaison non dterminable, il faut ajouter un de-gr de libert dans la chane cinmatique. Il peut aussi ncessaire de rajouter despices dans le mcanisme.

McanismesModlisation cinmatiqueProblmatiqueModle cinmatique

Liaisons normalisesParamtrage des liaisonsTableau des liaisons

Chanes de solidesStructure des mcanismes - graphe de structure Analyses gomtrique et cinmatique des mcanismesLiaisons cinmatiquement quivalentes

Reprsentation schmatique des mcanismes Schma cinmatiqueSchma cinmatique minimalSchma technologique

Mobilit et hyperstatismeDfinitionsMobilit - HyperstaticitExemple guide - Vanne robinetRelations entre mobilit et hyperstatismeIsostaticit

poly théorie des mécanismes

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