polino - metodos numericos

UNMSM MTODOS NUMRICOS

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pg. 1

FACULTAD DE INGENIERA DE SISTEMAS E INFORMTICA

Alumno: Rojas Polino Jos.



Contenido

INTRODUCCIN ..................................................................................................................... 4

1. INTRODUCCIN A LA TEORA DE VALOR .............................................................. 5

2. TEOREMA DE BOLZANO (TB) ................................................................................... 10

3. MTODO DE BISECCIN ............................................................................................ 11

4. Mtodo de Regula Falsi o Mtodo de Falsa Posicin ...................................................... 16

5. MTODO DE LA SECANTE ......................................................................................... 20

6. MTODO DE PUNTO FIJO O MTODO DE APROXIMACIONES

SUCESIVAS ............................................................................................................................ 23

7. MTODO DE NEWTON RAPHSON .............................................................................. 27

8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES ............................... 30

8.1. Algoritmo del Punto Fijo en dos variables : ........................................................... 30

8.2. Algoritmo de Newton Rapson ( N.R ) en dos variables : .................................... 35

9. METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES ............................. 40

9.1. METODO DE CROUT - DOOLITLE ........................................................................... 40

9.2. METODO DE CHOLESKY .......................................................................................... 43

10. MTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ............... 47

11. MTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ......... 55

12. SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ........................ 65

12.1. METODO DE JACOBI ............................................................................................. 65

12.2. METODO DE GAUSS- SEIDEL ............................................................................... 74

13. INTERPOLACIN ......................................................................................................... 88

13.1. INTERPOLACIN DIRECTA LINEAL .................................................................. 88

13.2. INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL ................................................................ 93

13.2.1. Interpolacin de Stirling ............................................................................... 93

13.2.2. Interpolacin de Bessel ................................................................................ 94



13.2.3. Interpolacin de Everett ............................................................................... 94

13.3. INTERPOLACIN INVERSA. ................................................................................. 97

13.3.1. Interpolacin Inversa No Lineal ( IINL ) ...................................................... 97

13.3.2. Interpolacin Inversa No Lineal de tercer orden ............................................ 99

14. INTEGRACIN NUMERICA ........................................................................................ 110

14.1. Para intervalos Simples ..................................................................................... 110

14.1.1. Mtodo del trapecio .................................................................................... 110

14.1.2. Mtodo de Simpson de 1/3 ........................................................................ 110

14.1.3. Mtodo de Simpson de 3/8 ........................................................................ 111

14.2. Integracin Numrica para intervalos compuestos ........................................ 114

14.2.1. Mtodo del trapecio compuesto ................................................................ 114

14.2.2. Mtodo de Simpson de 1/3 compuesta. .................................................... 114

14.2.3. Mtodo de Simpson de 3/8 compuesta. .................................................... 117

15. EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) ............................................................. 119

16. INTEGRACION DE ROMBERG ................................................................................... 131

17. SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL...................................................................................................................... 137

18. DIFERENCIA NUMERICA ........................................................................................... 149

18.1. Para Newton Progresivo ( NP ) ............................................................................ 150

18.2. Para Newton Regresivo ( NR ) ............................................................................ 151

19. PREDICTOR CORRECTOR....................................................................................... 156

20. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR .......................................... 158

CONCLUSIONES .................................................................................................................... 161



INTRODUCCIN

En la prctica de la ingeniera y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solucin completa de un problema al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. Para una mejor organizacin y bsqueda rpida de cada tema se ha implementados con un ndice al principio del trabajo para su fcil ubicacin de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, adems en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados. Como los algoritmos de los mtodos ya estn disponibles en la mayora de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementacin (personales) de los mtodos directos (que son mas difciles de programar). El lenguaje de programacin idneo para tal fin ser matlab 6.0 Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superacin en los prximos trabajos que se han de mostrar.



1. INTRODUCCIN A LA TEORA DE VALOR

1.1. Definicin de cifras significativas

Son valores o nmeros diferentes de cero.

El cero no ser considerado cifra significativa si est en el extremo.

Ejemplo

El cero no ser considerado cifra significativa si est en el extremo.

Pero el si el cero est entre los nmeros diferentes de cero, entonces es cifra significativa.

1.2. Descomposicin polinmica de un nmero.

Todo valor o nmero se le puede expresar como una descomposicin de potencia de 10.

Ejemplo 1.2.1.

Ejemplo 1.2.2.



Ejemplo 1.2.3.

1.3. Orden de la descomposicin polinmica

{ }

Ejemplo 1.3.1.

{ } entonces

Ejemplo 1.3.2.

{ } entonces

Ejemplo 1.3.3.

{ } entonces

1.4. Error absoluto

Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o

negativo, segn si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o

negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS:

Se define por la siguiente relacin:

Donde:

es el orden de la descomposicin polinmica.

nmero de cifras significativas exactas.

DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS:

Se define por la siguiente relacin:

Donde:

numero de cifras decimales exactas.



Ejemplo 1.4.1.

Sea

Para

Error Absoluto ( )

| |

{ } Entonces

Cifra significativa exacta

Entonces

tiene dos cifras significativas exactas.

Cifras decimales exactas

Entonces

tiene 2 cifras decimales exactas



Para

Error Absoluto ( )

| |

{ } Entonces


Entonces

tiene dos cifras significativas exactas.


Entonces

tiene 2 cifras decimales exactas

Para

Error Absoluto ( )

| |



{ } Entonces


Entonces

tiene cuatro cifras significativas exactas.


Entonces

tiene cuatro cifras decimales exactas.



2. TEOREMA DE BOLZANO (TB)

Sea la ecuacin no lineal ( ) Donde ( ) es funcin no trascendente (trigonomtrica, exponencial, logartmica o polinomial), definida y continua en Si ( ) ( ) entonces existe la raz o solucin tal que ( )

Ejemplo 2.1.

( )

Por Teorema de Bolzano localizamos el intervalo donde exista la raz.

Es evidente que ( ) sigue siendo continua en

Como ( ) ( ) entonces tal que ( ) Observacin:

Es evidente que si ( ) ( ) entonces o es la raz de la ecuacin.

El teorema de Bolzano nos garantiza mostrar que existir por lo menos una raz si es que cumple los requisitos.

El intervalo apropiado a usar se recomienda que sea distanciado a 1 o menor, como lo fue en este caso del intervalo del ejemplo 2.1.



3. MTODO DE BISECCIN

Dado la ecuacin no lineal ( ) tal que existe la raz por T.B. El mtodo de biseccin consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo

La idea es encontrar el valor que se aproxime o sea igual a la raz de la ecuacin ( ) Algoritmo de biseccin: P-1.- Dado la ecuacin ( ) tal que existe la raz por T.B. P-2.- Generar la sucesin { }

mediante la siguiente relacin

P-3. Hallar ( ) ( ) Si ( ) ( ) entonces hacer

Es decir, que tome el valor de

Y que tome el valor de Si ( ) ( ) entonces hacer



Es decir, que sea la raz de ( ) P-4. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( ) | | para el caso de cifras Decimales exactas Caso contrario ir al P-2.



Ejemplo 3.1.

( )

a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raz.

b) Por Biseccin hallaremos la solucin con dos cifras significativas exactas ( ).

Se dejar de iterar si | |

Entonces | |

| |

Si es verdadera entonces es solucin con dos cifras significativas exactas.

Iteracin inicial

Entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Primera iteracin

Entonces

| | ( )



Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Segunda iteracin

Entonces

| | ( )

Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Tercera iteracin

Entonces

| | ( )

Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Cuarta iteracin

Entonces

| | ( )

Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {



Entonces ,

Quinta iteracin

Entonces

| | ( )

Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Sexta iteracin

Entonces

| | ( )

Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Sexta iteracin

Entonces

| | ( )

Entonces es raz con dos cifras significativas



Relacin vlida slo para Biseccin

Dado la ecuacin ( ) tal que existe la raz por T.B.

Conociendo:

El intervalo inicial de la Biseccin.

el orden de la descomposicin polinmica de .

numero de cifras significativas exacta de .

Entonces esta frmula:

Donde numero entero menor, indicando la cantidad de iteraciones

Ejemplo 3.2.

Tomando el ejemplo 3.1., comprobando el nmero de iteraciones que se requiere dado su nmero de cifras

significativas exactas( ), es el siguiente:

( )

( )

Entonces



4. Mtodo de Regula Falsi o Mtodo de Falsa Posicin

Es un mtodo similar al mtodo de biseccin en la que en vez de hallar el promedio simple de dos

intervalos

El mtodo de R.F. determina el promedio ponderado de los intervalos

Algoritmo del mtodo de R.F.

P-1.- Dado la ecuacin ( ) tal que existe la raz por T.B.

P-2.- Generar la { } mediante la relacin

( ) ( )

( ) ( )

P-3. Hallar ( ) ( ) Si ( ) ( ) entonces hacer





Es decir, que sea la raz de ( ) P-4. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( ) | | para el caso de cifras Decimales exactas Caso contrario ir al P-2.



Ejemplo 4.1.

( )


b) Por RF hallaremos la solucin con dos cifras significativas exactas ( ).


Entonces | |

| |


Iteracin inicial

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Primera iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

| | ( )



Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Primera iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

| | ( )

Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Tercera iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

| | ( )

Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Cuarta iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

| | ( )



Se sigue iterando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces ,

Quinta iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

| | ( )




5. MTODO DE LA SECANTE

Algoritmo del mtodo de la secante.



( ) ( )

( ) ( )

P-3. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas | | para el caso de cifras Decimales exactas Caso contrario ir al P-2.

Ejemplo 5.1.

( )


b) Por la secante hallaremos la solucin con dos cifras significativas exactas ( ).


Entonces | |

| |




Sea Entonces ,

Segunda iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

| | ( )

Tercera iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

| | ( )

Cuarta iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Entonces

| | ( )

Quinta iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Entonces

| | ( )



Sexta iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Entonces

| | ( )

Sptima iteracin

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Entonces

| | ( )




6. MTODO DE PUNTO FIJO O MTODO DE

APROXIMACIONES SUCESIVAS

Algoritmo:


P-2.- De ( ) despejar de diferentes formas y obtener una ecuacin de la siguiente forma:

( )

Donde ( ) es llamado punto fijo.

Generar la { } mediante la relacin

( )

Donde

Tomando como valor arbitrario tal que

Condicin de convergencia ?

Existe { } si se cumple lo siguiente:

a) ( )

b) ( ) tal que | ( ) | ;

es llamado constante de Lipschitz

{ | ( ) | | ( ) | }

P-3. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( ) | | para el caso de cifras Decimales exactas Caso contrario ir al P-2 en ( )



Ejemplo 6.1. ( ) ( )


b) Por punto fijo verificamos convergencia

De ( 1 ) {

( )

Entonces ( )

, ( )

, ( ) ( )

Anlisis para ( ) ( )

Primera condicin ( ) ?

( ) ( ) no cumple la primer condicin

Entonces { } con

Anlisis para ( )


( ) ( ) no cumple la primer condicin

Entonces { } con

Anlisis para ( )


( ) , ( )



Segunda condicin | ( ) | ?

Si ( )

entonces ( )

,

| ( ) |

| ( ) |

{ | ( ) | |

( ) | } { }

entonces | ( ) |

{ } con ( )

c) Obtener una solucin con dos cifras significativa exacta( n = 2 )

Se deja de iterar si | | Con

| |

Con ( )

su relacin de recurrencia :

( ) entonces

Sea

Iteracin inicial

Entonces

| | ( )

Primera iteracin

Entonces

| | ( )



7. MTODO DE NEWTON RAPHSON

El Mtodo de Newton - Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las races de la ecuacin ( )

, ya que converge rpidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de ( ) y se necesita

una aproximacin inicial muy cercana a la raz.

Se requiere que ( ) sea doblemente continua y diferenciable en .

Algoritmo:



( )

( )

Convergencia de N-R.

Existe { } si |

( ) ( )( )

( ) | y ( ) ( )( )

Esto significa que est muy cercano a la raz.

P-3. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( ) | | para el caso de cifras Decimales exactas Caso contrario ir al P-2 en



Ejemplo 7.1. ( ) ( )


b) Verificar su convergencia por N.R.

Si ( ) entonces ( ) ( ) ( )( ) ( )

Veremos si es vlido o no.

( ) ( )( ) entonces no es vlido para iterar.

Veremos si es vlido o no

( ) ( )( ) entonces es vlido para iterar.

| ( ) ( )( )

( ) | ( )

{ } por N.R.

c) En la iteracin Cuantas cifras significativas exactas tiene la solucin ?

Con y con ( ) , ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Escogeremos para dos cifras significativas exactas ( n = 2 )

Se deja de iterar si | | Con

| |



Iteracin inicial

( )

( )

( )

( )

Entonces

| | ( )

Primera Iteracin

( )

( )

( )

( )

Entonces

| | ( )

Segunda Iteracin

( )

( )

( )

( )

Entonces

| | ( )

Segunda Iteracin

( )

( )

( )

( )

Entonces

| | ( )

Entonces es solucin con dos cifras significativas exactas.



8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS

VARIABLES

Dado el Sistema:

( ) ( 1 )

( )

tal que ,

8.1. Algoritmo del Punto Fijo en dos variables :

P-1.- De ( 1 ) despejar e respectivamente para obtener una relacin de la siguiente forma.

( ) ( 2 ) ( )

P-2.- De ( 2 ) generar la sucesin:

{ } { }

Mediante la siguiente relacin de recurrencia:

( ) , ( )

Donde

P-3. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( ) | | para el caso de cifras Decimales exactas



para el caso de cifras Significativas exactas ( ) | | para el caso de cifras Decimales exactas Caso contrario ir al P-2 en

Condicin de convergencia del punto fijo:

{ } { }

Si se cumple lo siguiente:

| |( ) | |( ) y | |( ) | |( )

Donde

( )

( )

Ejemplo 8.1.1.

( ) ( )

( ) ( )

a) Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial ( ).

(i) Primero formamos de (1) la forma ( )

De (2) se obtiene ( )

De ( ) en (1) se obtiene ( )

(ii) Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.



(iii) De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1

Sea

Luego de ( ) : entonces

b) { } { }

( ) se tiene entonces ( )

( ) se tiene entonces ( )

| |( ) | |( )

| |( ) | |( )

| ( )|

( )

| |( ) | |( )

| |( ) | |( )

| |

( )



Por lo tanto f y g cumplen la condicin de convergencia.

c) Por punto fijo obtener una solucin con dos cifras significativas exactas ( ).

Se dejar de iterar si:

| | con | |

Entonces | | con | |

| | con | |

Si es verdadera entonces ( ) es solucin con dos cifras significativas exactas.

Teniendo :

entonces

entonces

con

( ) ( )

( ) Entonces

( ) Entonces

| | ( )

| | ( )

( ) ( )

( ) Entonces

( ) Entonces

| | ( )

| | ( )

( ) ( )

( ) Entonces



( ) Entonces

| | ( )

| | ( )

( ) ( )

( ) Entonces

( ) Entonces

| | ( )

| | ( )

( ) ( )

( ) Entonces

( ) Entonces

| | ( )

| | ( )

( ) ( )

( ) Entonces

( ) Entonces

| | ( )

| | ( )

Por lo tanto ( ) ( ) ( ) es raz con dos cifras significativas exacta.



8.2. Algoritmo de Newton Rapson ( N.R ) en dos variables :

P-1.- Dado el sistema siguiente tal que tal que , por T.B.

( )

( )

P-2.- Generar la sucesin:

{ } { }

Mediante la siguiente relacin de recurrencia:

|

|

( )

|

|

( )

|

|( )

|

|

( )

Donde

( )

( )

( )

( )

P-3. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( ) | | para el caso de cifras Decimales exactas



para el caso de cifras Significativas exactas ( ) | | para el caso de cifras Decimales exactas Caso contrario ir al P-2 en

Condicin de convergencia del NR:

{ } { }

Si se cumple :

( ) |

| ( )

Ejemplo 8.2.1.

( ) ( )

( ) ( )

Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial ( ).

(i) Primero formamos de (1) la forma ( )

De (2) se obtiene ( )

De ( ) en (1) se obtiene ( )

(ii) Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.



(iii) De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1

Sea

Luego de ( ) : entonces

Entonces el punto inicial es ( ) ( )

a) { } { }

Verificando su convergencia por Newton Raphson

( )

( ) |

|( )

|

|( )

( )

Entonces ( )

Por lo tanto { } { }

Sea lo siguiente:

|

|

( )

|

|

( )



|

|( )

|

|( )

|

|( )

|

|

( )

|

|( )

|

|( )

( )

( )

b) Por este mtodo, una solucin con dos cifras significativas exactas ( n = 2 ). Se dejar de iterar si:

| | con | |

Entonces | | con | |

| | con | |

Si es verdadera entonces ( ) es solucin con dos cifras significativas exactas.

( ) ( )



9. METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

LIENALES

9.1. METODO DE CROUT - DOOLITLE

Consiste en factorizar una matriz cuadrada A en un producto LU. Esto es:

Donde:

A: es la matriz a factorizar.

L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama L

porque viene de la palabra inglesa low, que significa bajo.

U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el mtodo de la eliminacin gaussiana.

Se llama U porque viene de la palabra inglesa up, que significa arriba.

Ejemplo 9.1.1.

[

]

Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.

[

] [

] [

]

Se tiene un sistema de 9 ecuaciones con 12 variables, entonces existe infinitas soluciones.

Se fijar tres variables. Sea

[

] [

] [

]



Primera columna:

Entonces Entonces Entonces

Segunda columna:

Entonces

Entonces

Entonces

Tercera columna:

Entonces

Entonces

Entonces

[

] [

] [

]

Para un sistema lineal de la forma: Donde A se factoriza de la forma:

L: Matriz Triangular Inferior U: Matriz Triangular Superior

Sea: ( )

Ejemplo 9.1.2.

Calculando [

] tal que con [

] y [ ]



Se sabe

( )

( )

Sea la cual [

]

[

] [

] [ ]

Entonces

Entonces

Entonces

[

] [

] [

]

Entonces

Entonces

Entonces

[

]



9.2. METODO DE CHOLESKY

Primera versin

Tambin para resolver el sistema para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente:

1) es simtrico, es decir debe cumplir 2) sea definida positiva.

Ejemplo 9.2.1.

Desarrolle:

[

] [

] [ ]

Dado :

[

] entonces

Viendo si es definida positiva:

entonces

[

] entonces

[

] entonces

Por lo tanto A es positiva, entonces se puede aplicar cholesky.

Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.

[

] [

] [

]



Primera columna:

( ) Entonces

Entonces

Entonces

Segunda columna:

( ) ( )

Entonces

Entonces

Tercera columna:

( ) ( )

( ) Entonces

[

] [

] [

]

Calculando [

] tal que con [

] y [ ]

Se sabe

( )

( )

Sea la cual [

]

[

] [

] [ ]

Entonces

Entonces

Entonces



[

] [

] [

]

Entonces

Entonces

Entonces

[

]

Segunda versin

Para la solucin del sistema cuando no es simtrica. Pero hacia se le puede hacer transformar.

Ejemplo 9.2.2.

Para la solucin del sistema:

[

] [

] [

]

En donde A no es simtrica.

Se le puede hacer transformar en pasos elementales de Matriz.

[

] ( )

( )

[

]

Entonces la nueva matriz es [

] con [ ]

Siendo A simtrica y positiva



[

] [

] [ ]

Es idntico al ejemplo 9.2.1.

Obtiene esta expresin, en la que [

] se mantiene igual:

El desarrollo, para hallar [

], es la misma en la versin 1, obteniendo [

] [

]

[

] es solucin de [

] [

] [

]



10. MTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES.

Sea el sistema de ecuaciones de la forma:

ALGORITMO TRIDIAGONAL: P-1: Del sistema , expresarlo como Sea , C es constante arbitraria / { } De la Ec. (1) despejar De la Ec. (2) despejar De la Ec. (3) despejar . De la Ec. (n-1) despejar De la Ec. (n) despejar Pero como no existe se hace lo siguiente: Tal que: ( ) donde R: vector residual Se tiene ( )

(

)(

) (

)



Si es solucin de Si es solucin de

P-2: Del sistema expresarlo como y sea , se procede como P-2, llegando a lo siguiente: Tal que: ( ) donde S: vector residual Se tiene ( )

Si es solucin de Si es solucin de Se tiene: .. ( ) .. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Se busca una relacin: Tal que: ( )

Ejemplo 10.1.

Sea el sistema:

( ) ( ) ( )

( )

Paso 1

Sea el sistema:

( ) ( ) ( )

( )



Sea constante arbitraria.

En ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ,

En ( 4 ) Como No existe se hace lo siguiente:

Tal que r es valor residual. Entonces

Paso 2

Del sistema entonces

Sea tal que { }

( ) ( ) ( )

( )

De ( 1 ) , ( 2 ) , y ( 3 ) se consigue , ,

En ( 4 ) Como No existe se hace lo siguiente:

Tal que t es valor residual. Entonces

Del paso 1 se obtiene: ( ) con

Del paso 2 se obtiene: ( ) con

La solucin es:

( )

( )

( )

Entonces , , ,



Ejemplo 10.2. Resolver:

2

2

Del sistema

(1)

2 ... (2)

2 (3)

(4) Sea , { }

De (1): De (2): 0 De (3):

De la ec. (4) despejo , pero como no existe

( )

( )

Del sistema Sea , luego se procede como P-2 , en

, en , en

Observacin: Si cambiar el valor inicial de ( )

( )



Se busca una solucin Tal que:

Verificando: 2 2( ) ( ) ( )

Ejemplo 2

(Solucin de sistemas lineales en Tribanda)

Sea en Tribanda.

( )

( )

( )

( )

Algoritmo del sistema Tridiagonal

Solucin:

Del sistema

( )

( )

( )



( )

Sea , C vector arbitrario talque { }

Entonces:

De (1) despejo :

( )

De (2) despejo :

( )

De (3) despejo :

( )

De (4) despejar ; pero :

( )

Y se tiene que: ( ) ( )

Ahora expresarlo como es un vector nulo.

( )

( )

( )

( )



Sea { }

sea

De (1) despejar :

( )

De (2) despejar :

( )

De (3) despejar :

( )

( ) ( )

De (4) despejar , pero entonces:

( )

Entonces:

[

] [

] [

]

[

] [

]

Comprobacin:



-46+24+13

-22+13=-9



11. MTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES.

Ejemplo 11.1. Dado el sistema se tiene lo siguiente:

( )

( )

( )

( )

( )

Paso 1

Del sistema original expresando en la forma

( )

( )

( )

( )

( )

Sea ( Uno de ellos debe ser diferente de cero y el otro debe ser cero )

De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene , ,

De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente

entonces


entonces

Entonces [

] [ ]

Se tiene ( )



Paso 2 primera solucin homognea


( )

( )

( )

( )

( )

Sea ( dos nmeros cualesquiera )

De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene , ,


entonces


entonces

Entonces [

] [

]

Se tiene ( )

Paso 3 segunda solucin homognea


( )

( )



( )

( )

( )

Sea

De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene , ,


entonces


entonces

Entonces [

] [

]

Se tiene ( )

Paso 4

[

] [

] [

]

[ ] [

] [

]

Entonces

La solucin

( )

( )

( )

(

)

Es decir



Ejemplo 11.2. Dado el sistema resolver el siguiente sistema pentadiagonal

2 + 3 + = 8 EC(1)

3 + 2 + 4 + = 15 EC(2)

+ 4 + + 4 + 2 = 13 EC(2)

+ 4 + 2 + = 19 EC(4)

2 + + 7 = 15 EC(5)

PASO DEL ALGORITMO

P-1: Expresar el sistema como A. = b

2 + 3 + = 8 Ec(1)

3 + 2 + 4 + = 15 Ec(2)

+ 4 + + 4 + 2 = 13 Ec(3)

+ 4 + 2 + = 19 Ec(4)

2 + + 7 = 15 Ec(5)

Sea = 0 = 1 cte arbitrario

De Ec(1) despejar = 5

pues 0 + 3(1) + = 8


Pues 0 + 2(1) +4(8) + = 15


Pues 0 + 4(1) + 5 + 4( 7) + 2 = 13

De Ec(4) despejar ; como , hacemos lo sgte. :

+ 4 + 2 + = 19 +

1 + 4(5) + 2( 7) + 16 = 19 + = 45



De la Ec(5) despejar ; como hacemos

2 + + 7 = 15 +

2(5) + ( 7) +7(16) = 15 + = 100

R = [

] , como R ; A. = b + R

Se tiene:

=

[

]

=

[

]

=( )

P-2:

Primera solucin homognea del sistema A.x = b, expresarlo como A. =

2 + 3 + = 0 Ec(1)

3 + 2 + 4 + = 0 Ec(2)

+ 4 + + 4 + 2 = 0 Ec(3)

+ 4 + 2 + = 0 Ec(4)

2 + + 7 = 0 Ec(5)

Sea = 10 = 20

De Ec(1) despejar ; = 80

pues 2(10) + 3(29) + = 0

De Ec(2) despejar ; = 250

Pues 3(10) +2(20) + 4( 8) + = 0

De Ec(3) despejar ; =



pues 10 + 4(20) + ( 80) + 4(250) + 2 =0

De Ec(4) despejar ; como hacemos

+ 4 + 2 + = 0 +

20 + 4( 80) + 2(250) + ( 505) = 0 + ; = 1445

De Ec(5) despejar ; como hacemos

2 + + 7 = 0 +

2( )+ (250) + 7( ) = 0 +

[

]

S = [

]

P-3: Segunda solucin homognea del sistema A.x = b expresar A. = 0

2 + 3

+ = 0 Ec(1)

3 + 2

+ 4 +

= 0 Ec(2)

+ 4

+ + 4

+ 2 = 0 Ec(3)

+ 4

+ 2 +

= 0 Ec(4)

2 +

+ 7 = 0 Ec(5)

Sea = 20

= 10

De Ec(1) despejar ; =

Pues 2(20) + 3(10) + = 0

De Ec(2) despejar =

3 + 2

+ 4 +

= 0

3(20) + 2(10) + 4( ) + = 0




+ 4

+ + 4

+ 2 = 0

20 + 4(10) + ( ) + 4(200) + 2 = 0

De Ec(4) despejar como

, hacemos

+ 4

+2 +

= 0 + = 1925

10 + 4( ) 2(200) + 395 = 0 +

De Ec(5) despejar ; como

2 +

+7 = 0 + = -2705

[

]

[

]

[

] [

]

A. = + T

P-4: Y se llega a lo siguiente

A. = b + R

A. = 0 + S

A. = 0 + T

R = 0 R= [

]

+ = R S = [

]



[

] + [

]= [

] T = [

]

1445 + 1925 = ; = 0.025992507

2705 = 100 ; = 0.003865364

x =

x =

[

]

=

[

]

+ 0.025992507

[

]

+ 0.003865364

[

]

X =

[

]

[

]

Comprobacin : Ec(1)

2 + 3 + = 8

0.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 8

8 = 8 Cumple!!!

Y tambien cumple tod l u i



NORMA DE UNA MATRIZ

La Norma de una matriz es un nmero real tal que satisface las siguientes condiciones

Principales Normas Ejemplo 1:

Sea [

]

{ | | | | } { } {| | | | } { }

( ) ( )

( ) ( )

( )

() || | | ()

{ | |

| |

| |

}

{ | |

| |

| |

}

-Norma m o Norma

-Norma l,

-Norma k, | |



Para el vector X =

[

]

{ | | | | | | }

| | | | | |

| | | | | | Ejemplo 2: Sea X = ( ) { | | | | } | | | |

( ) ( )



12. SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

12.1. METODO DE JACOBI Dado el sistema

Ec.(1) a11x1 + a12x2 + .. + a1mxm = b1

Ec.(2) a21X1 + a22X2 + .. + a2mXm = b2

Ec.(3) a31X1 + a32X2 + .. + a3mXm = b3

Ec.(m) am1X1 + am2X2 + .. + ammXm = bm

Donde:

Despejamos X de la ecuacin 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = + X De la siguiente manera.

Despejamos

X1 =

X2 =

Xm =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

X =

A = [

] b =

y si aii 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Dandole forma:

; con ( )

Con todo esto se puede expresar en la siguiente forma X = + X

X = + X

[

] [

] [

] [

]

El Sistema sugiere Jacobi la siguiente relacin de recurrencia

X (k+1) = + X (k) , k = 0, 1, 2,

De la relacin se obtiene la sucesin { } tomando como valor inicial arbitrario, que

generalmente

X (0)=0 X (0) = =1

Obs. X (k+1) = ( X1(k+1) , X2

(k+1), , Xm(k+1) )t

X (0) = ( X1(0) , X2

(0), , Xm (0) ) t

[

]



ALGORITMO DE JACOBI:

P-1 Dado el Sistema

Expresarlo en el sistema equivalente X = + X

P-2 Tomando como solucin inicial X (0) arbitrario generar la sucesin { X (k) } X (*) mediante

la relacin de recurrencia:

X (k+1) = + X (k) , k = 0, 1, 2,

P-3 Dejar de iterar si

( ) ( )

( )

caso contrario ir al P-2

CONVERGENCIA DE JACOBI

{ ( )} ( ) Si

Observacin

Para que se cumpla esa condicin es necesario que A del sistema original sea

diagonalmente dominante, es decir | | | | de su fila y de su columna

Ejemplo 12.1.1. Sea el sistema siguiente:

( ) ( ) ( )

Con

(a) Por JACOBI verificando su convergencia { } Si ?

Obs. Para que se cumpla es necesario que del sistema , A sea

diagonalmente dominante.

De (1) X1:

(2) X2:

(3) X3:



Entonces

[

] [

] [

] [

]

{ | | | | | | | | | | | | }

{ }

{ }

(b) Por el Mtodo Jacobi Hallar una solucin con

( ) ( )

Si ( ) ( )

( ) entonces ( ) es solucin con

Obs. Se toma como valor inicial arbitrario ( ) =

Sea ( ) =

K = 0 Sea ( )

( ) ( ) [

] [

] [

] [

]

( ) [

]

K = 1 Sea ( )

( ) ( ) [

] [

] [

] [

]



( ) [

]

( ) ( )

( )

[

]

[

]

( )

K = 2 Sea ( )

( ) ( ) [

] [

] [

] [

]

( ) [

]

( ) ( )

( )

[

]

[

]

( )

Entonces ( ) es solucin con

NOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBI

Sea el sistema

Donde:

A = [

]

La matriz A se le puede descomponer en la forma A = D + L + U , donde



Matriz Diagonal Matriz Triangular inferior Matriz Triangular superior

As el sistema se le puede expresar como:

( D + L + U )X = b

DX + ( L + U ) X = b

DX = b ( L + U ) X

X = D-1b D-1( L + U ) X

X = D-1b + [-D-1(L + U)] X = D-1b ^ = -D-1( L + U )

Si el mtodo de Jacobi es X = + X

Matricialmente es: X = D-1b D-1( L + U ) X

Su relacin de recurrencia es

X (k+1) = D-1b D-1 (L + U) X (k) , k=0, 1, 2

Solucin Matricial de Jacobi

Del sistema tal que

( )

Entonces

( )

Desarrollo del ejemplo anterior

[

] [

( )

] [

]



[

] [

] [ ]

[

] [

]

[

]

[

]

con [ ]

Entonces [

] [

]

[

] [ ] [

] Entonces [

]

( ) [

] [

] [

]

Entonces [

]

Ejemplo 12.1.2. Sea el siguiente sistema

Ec (1) 20x1 + 5x3 =2

Ec (2) x1 + 20x2 + 2x3 = 4

Ec (3) x1 + 9x2 + 20x3 = 6

Por Jacobi verificar su convergencia

CONVERGENCIA DE JACOBI

{ } ( ) Si .. (i)

Observacin

Para que se cumpla (i)



Es necesario que A del sistema original sea diagonalmente dominante, es decir

| | | | de su fila y de su columna

As: de su fila

de su columna

de su fila

de su columna

Igual para a33

x1 =

+ 0 + 0 -

x2 =

-

+ 0 -

x3 =

-

-

+ 0

x = + x

=

[

]

= [

]

mx.{ 0 + 0 + |

| , |

| + 0 + |

| , |

| + |

| + 0 }

mx.{ 0.25 , 0.15, 0.5 }

{ } ( ) por jacobi

Por jacobi obtener una solucin con

Si la relacin de jacobi es ( ) ( )

Para k = 0

Interaccin inicial

( ) ( )



Observacin es arbitraria

Sea =

= = +

+ *

=

Para k = 1

Primera iteracin = +

= = +

Donde

= 0.1 +

= 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\

= 0.2 +

= 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165

= 0.205

Para k = 2

Segunda iteracin = +



= = + =

*

k =3

Tercera iteracin = +

= = + =

*

Verificamos si se llego a la solucin

=

=

= = 0.03289625 < =

( ) ( ) con

12.2. METODO DE GAUSS- SEIDEL

Tambin determina la solucin del sistema iterativamente.

De la relacin matricial del sistema :

( )

( ) ( ) ( )



De ( ) se obtiene la relacin matricial de G-S , siguiente:

Observacin:

*Si ( )

{

*La relacin ( ) se puede obtener al igual que Jacobi del sistema , de la ecuacin

despejar la variable , para obtener la Matriz .

Algoritmo del mtodo de Gauss-Seidel:

Paso1: Dado el sistema obtener su sistema .

Paso 2: Para un punto inicial arbitrario ( ) generar la sucesin { ( )} ( ) mediante la

siguiente relacin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Paso 3: Dejar de iterar si ( ) ( )

( ) ; caso contrario ir al paso 2.

Observacin:

En la convergencia del mtodo de Gauss-Seidel tambin se cumple que:

entonces { ( )} ( )

Ejercicios resueltos:

1) Dados:

(

) (

) , ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )



Resuelva el sistema Ax = b por el mtodo de Gauss-Seidel.

Solucin:

Utilizando Gauss-Seidel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Operando obtenemos la secuencia:

( ) [

] ( ) [

]

( ) [

] ( ) [

]

( ) [

] ( ) [

]

Claramente converge a la solucin exacta ( ) .

La tasa de convergencia del mtodo de Gauss-Seidel viene dada por la norma de:

( ) [

]

Cuyas normas son:

= 0.454 y

= 0.4.

2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

[

] [ ]

Puede resolver este sistema por el mtodo de Gauss-Seidel? Por qu? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solucin nula y determine la tasa numrica de convergencia. Adems calcula la tasa exacta de convergencia. Cuntas iteraciones

necesitar para alcanzar un error absoluto de .

Solucin:

El mtodo de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simtrica definida

positiva. Dos iteraciones conducen a:



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Y la tasa de convergencia numrica la podemos calcular como (en norma infinito)

( )

( )

Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta:

( ( ) )

NOTA: Calculando con ms iteraciones nos acercamos a la tasa terica, por ejemplo:

( )

( )

Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor que se requieren 13

iteraciones.

Ejemplo 12.2.1. Sea el sistema:

Por el mtodo de Gauss-Seidel

Analizar su divergencia. Hallar su solucin con

Solucin:

Analizar su divergencia

[

] [

]

Luego:

( )

polino - metodos numericos

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