Points à coordonnées entières sur une droite !

La valeur ajoutée du numérique

Sommaire

1. Tableau récapitulatif ................................................................................................................... 2

2. Enoncé et consigne données aux élèves ..................................................................................... 3

3. Objectifs et analyse a priori ......................................................................................................... 3

4. Scénario de mise en œuvre ......................................................................................................... 6

5. Evaluation .................................................................................................................................. 11

6. Apport des outils numériques ................................................................................................... 12

1. Tableau récapitulatif

Enoncé

Recherche de points à coordonnées entières sur une droite !

Niveau Concerné

2nd

générale ou 1ère

générale

Période de l’année

En fonction des chapitres abordés (voir prérequis)

Durée et organisation

Travail en groupe : 3 élèves

Durée : 2h + 1h

Prérequis

Mathématiques :

Fonctions affines

Repérage dans le plan

Coordonnées d’un point du plan

Équation réduite d’une droite (ou équation cartésienne en 1ère

S)

Partie entière (connaissance de la partie entière d’un nombre réel

positif)

TICE :

Géogébra (fonctions)

Algorithme : Boucle et itérateur, instruction conditionnelle

commande (« floor »)

Tableur

Objectifs généraux

Objectifs :

Utilisation des TICE dans le but :

- Aider à l’appropriation du problème.

- Conjecturer, donner des pistes de résolution.

Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’utilisation des TICE par

les élèves leur donne une plus grande autonomie et encourage leur prise

d’initiative.

Utiliser les connaissances et les capacités attendues au

programme de seconde :

- Mettre en applications les notions du prérequis.

- Mettre en œuvre des algorithmes simples avec boucle, itérateur et

instructions conditionnelles.

2. Enoncé et consigne données aux élèves

Enoncé du problème donné aux élèves :

Dans un repère orthogonal, on considère la droite (d) d’équation :

Le « premier point » à coordonnées entières positives de la droite (d) est le point de

coordonnées D(11 ;2)

Quel est le 20ième

point à coordonnées entières positive ?

Consignes données aux élèves

Vous travaillerez par groupe de trois.

Vous disposerez de deux heures, puis on consacrera une heure en classe entière à exposer vos

recherches et remplir la fiche d’autoévaluation.

3. Objectifs et analyse a priori

Textes de références

Les notions abordées et utilisées sont diverses et concernent plusieurs points du programme que vous

pouvez retrouver sur le Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009.

Documents ressources sur ENT

Mise en ligne d’une vidéo concernant la notion de partie entière abordée par la pédagogie inversée.

Mise en ligne d’un mini formulaire pour Algobox.

Compétences en mathématiques au lycée développées dans cette activité

Compétences évaluées

/ mises en jeu Les critères d’évaluation et indicateurs de réussite

Chercher

J’analyse le problème seul.

- J’extrais, j’organise et je traite les informations utiles.

J’analyse le problème en groupe.

- Je partage et je discute de mon analyse avec le groupe.

Je m’engage dans une démarche,

J’expérimente en utilisant éventuellement des outils logiciels.

Emettre une conjecture.

Valider, corriger une démarche, ou en adopter une nouvelle.

Je fais une analyse critique d’un résultat.

Modéliser Modéliser le problème en utilisant les outils TICE.

Modéliser le problème « à la main ».

Représenter

Choisir à bon escient un cadre de résolution (numérique, graphique,

algorithmique …).

Appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes.

Calculer

Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument

(calculatrice, logiciel).

Mettre en œuvre des algorithmes simples.

Raisonner

Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux

résultats, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une

conjecture, prendre une décision.

Communiquer Expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou

par écrit.

Notions du programme de mathématiques travaillées dans cette activité

Notions Dans le problème ?

Coordonnées de point dans un

repère

Que signifie qu’un point appartient à une droite ?

Equations de droites Utilisation de la capacité attendue :

On démontre que toute droite a une équation soit

de la forme y = mx + p, soit de la forme x = c.

Droite comme courbe représentative d’une

fonction affine.

Faire le lien entre l’équation donnée et l’équation

réduite d’une droite.

Division euclidienne être multiple de 27 ?

Compétences algorithmiques

Notions d’algorithmique Dans le problème

Boucle Boucle For ou « Pour … allant »

Instruction conditionnelle « SI … ALORS … » ; « SI … ALORS …

SINON … »

Les élèves, dans le cadre d’une résolution du

problème, doivent être capables

- de programmer un calcul itératif, le

nombre d’itérations étant donné ;

- de programmer une instruction

conditionnelle, un calcul itératif, avec

une fin de boucle conditionnelle.

Compétences TICE

Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique Représenter une fonction affine

Faire des conjectures graphiques

Utilisation d’un logiciel algorithmique ou la

calculatrice

« Si …ALORS… » « Si… ALORS… Sinon …»

« Pour … allant …. »

Déclaration de variables

Gestion des entrées-sorties

affectation d’une valeur

mise en forme d’un calcul.

Partie entière d’un nombre réel

Afficher un message

Utilisation d’un tableur Formules à valeurs absolues ou relatives

Détails des objectifs de cette activité

Ce problème a été conçu de façon à prendre en compte la diversité et l’hétérogénéité des aptitudes

des élèves. Comment ?

le problème peut se résoudre de différentes manières.

- La manière experte : résolution partielle d’une équation diophantienne sans le savoir, à la portée

des (bons) élèves, utilisation du PGCD vu au collège.

- La manière TICE : à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on « regarde » le 20ème

point.

- La manière TICE : algorithme : création d’une boucle avec des conditions.

- La manière TICE : tableur : affichant les images dans une colonne de valeurs entières.

- La manière « tâtonnement ».

Différentes « aides » seront données selon les difficultés rencontrées par le groupe.

La pédagogie inversée, sera proposée pour certaines notions.

Quelques points forts de cette activité

Permettre aux élèves d’étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs et diverses

notions du programme :

- Se représenter la droite comme courbe représentative d’une fonction affine.

- Savoir si un point appartient à une courbe.

- Etc

La situation proposée dans ce cadre permet aux élèves de disposer de méthodes variées pour

aboutir à une résolution.

La situation proposée met en avant l’utilité des TICE (les résolutions les plus « abordables » sont

obtenues à l’aide de TICE).

Rendre les élèves capables d’autonomie.

Cette activité permet familiariser les élèves avec les grands principes d’organisation d’un

algorithme : on touche ainsi aux objectifs du lycée en algorithmique.

Utilisation des Tice dans le but

Aider à l’appropriation du problème.

Conjecturer, donner des pistes de résolution.

Donner une plus grande autonomie et encourage leur prise d’initiative.

Quelques explications sur la mise en œuvre

Travail en groupe : j’ai demandé à cinq élèves (les meilleurs) de former leur groupe

En effet, je dirai que ce problème ouvert est d’un bon niveau pour une classe de seconde, c’est

pourquoi il m’a semblé indispensable -un de travailler en groupe (favorisant ainsi l’émulation des

idées) – deux d’équilibrer les groupes.

Le temps consacré : j’ai constaté que deux heures était un temps raisonnable à un groupe pour

élaborer leurs recherches (narration de recherche, explorations de diverses pistes de recherche), entre

coupé de quelques « pauses » de débats.

Le temps de la restitution : j’ai consacré une heure pour permettre à certains groupes d’exposer

leurs recherches. Je considère que travailler l’oral et la communication est aussi important que la

recherche de solutions.

De plus cette séance me permet d’enregistrer (audio) certains exposés. Pour demander ensuite aux

élèves de rédiger (à la maison) une restitution d’une solution au problème (baladodiffusion à leur

rythme, au moment qu’ils choisiront chez eux, les élèves pourront écouter, réécouter et rédiger une

solution …).

4. Scénario de mise en œuvre

Ce qui a été fait avant

Les notions du prérequis ont été abordées en cours : fonctions affines, équation de droite, géométrie

repérée, repérage dans le plan.

Par exemple les capacités suivantes:

Savoir déterminer si un point appartient ou non à la courbe représentative d’une fonction ;

Se représenter une droite comme courbe représentative d’une fonction affine.

Concernant les notions d’algorithmiques, ont été abordées :

Les grands principes de l’élaboration d’un algorithme : entrée, affectation et sortie ;

Les conditions « Si ALORS » « SI ALORS SINON » ;

Affichage de message ;

L’élaboration simple d’algorithme ;

La lecture d’algorithme plus complexe ;

L’utilisation de la boucle FOR (boucle finie).

Une vidéo, concernant la notion de la partie entière a été donnée (pédagogie inversée) :

Vidéo 1

Vidéo 2

Et l’assimilation de cette notion vérifiée en classe.

Les élèves ont déjà eu l’occasion d’utiliser un logiciel de géométrie dynamique (pour les fonctions et

les vecteurs) et un tableur (en statistiques).

Pour moi, ce problème ne peut être donné que vers la fin de l’année car

beaucoup de notions et compétences doivent avoir été abordées en amont.

Par exemple, avant, les élèves ont eu déjà l’occasion de travailler sur d’autres problèmes

ouverts avec recours à la pédagogie inversée, à la baladodiffusion et à l’algorithmique.

Déroulement de la séance

Matériel – logiciel :

Salle informatique ou utilisation des ordinateurs Pop

Logiciels : tableur, géométrie dynamique, algorithme, lecture de vidéo

Durée :

Deux heures : pour les recherches (y compris les « pauses » de débats)

Une heure : pour exposer les solutions

Organisation :

En groupe de 3 élèves (j’ai fait en sorte que le niveau soit équilibré)

Phases et timing :

La séance commence par le rappel des objectifs, à savoir : (10 min)

-Une grille de notation (auto-évaluation) sera réalisée à la fin (présentation rapide des items de

la grille).

-2h pour le problème + 1h pour la présentation par groupe.

-Une présentation de vos recherches par écrit et oralement de certains groupes.

-Une restitution à l’aide de la baladodiffusion à faire à la maison.

Distribution de l’énoncé et recherche individuelle : 05 min

Aucune indication n’est donnée, les élèves sont en autonomie pour s’approprier le problème.

Ils réfléchissent individuellement.

Travail de groupe : 1h45 durant cette phase :

-Les élèves se mettent à partager leurs idées.

Le but est de laisser les élèves prendre les initiatives, des pistes différentes … conjecturer ….

Après 10 minutes

-Avec une classe : j’ai senti la nécessité de faire une « pause débat » afin que les élèves

débattent sur « que nous demande-t-on ? ».

-Le professeur passe dans les rangs, sans rien dire, mais note les difficultés afin de « distribuer »

certaines « aides » sous formes numériques selon le blocage rencontré par les groupes.

Après 20 minutes, je commence à « distribuer certaines aides » selon le degré de blocage.

Voici quelques exemples de productions, de pistes d’élèves … et l’aide distribuée :

Production

élèves

Commentaire Piste suivie : « à la main »

Ce groupe pense que la droite est la représentation graphique d’une fonction

linéaire

Point positif : notions réutilisées : proportionnalité et linéarité

Ce groupe sait utiliser une des conséquences de l’utilisation d’une fonction

linéaire, à savoir, la situation de proportionnalité.

Erreurs :

Ce groupe ne s’est pas posé la question de l’appartenance ou non de

l’origine à la droite, et a fait confiance à la lecture graphique.

Ce groupe n’a pas vérifié son résultat et pense alors avoir la bonne réponse.

Aide

distribuée et

conséquence

Sous forme de question : « L’énoncé affirme t-il que la droite passe par

l’origine ? ».

Un membre du groupe s’est alors exclamé « Hey mais oui, ce n’est pas

écrit !! on n’en est pas sûr ! » .

Puis leurs recherches ont repris …

Production

élèves

Commentair

e

Piste suivie : « à la main »

Point positif :

Ce groupe a fait une vérification pour le 1er point donné D.

Production

élèves

Commentaire Piste suivie : « géogébra »

Ce groupe souhaite modéliser le problème sous géogébra.

Point positif :

Utilisation des TICE – autonomie sur le logiciel.

Erreurs :

Ce groupe ne s’est pas posé la question de l’appartenance ou non de

l’origine à la droite, et a fait confiance à la lecture graphique.

Aide

distribuée et

conséquence

Sous forme de question : « L’origine appartient-il à la droite ?».

Un membre du groupe s’est alors exclamé « Ah mais non ça passe à côté

! ».

Production

élèves

Commentaire Piste suivie : « géogébra »

Ce groupe souhaite modéliser le problème sous géogébra.

Point positif :

Utilisation des TICE – autonomie sur le logiciel

Expression y=ax+b

Production

élèves

Commentaire Piste suivie : « tableur »

Ce groupe souhaite modéliser le problème à l’aide d’un tableur

Point positif :

Utilisation des TICE – autonomie sur le logiciel

Production

élèves

Commentaire Piste suivie : « algobox »

Ce groupe souhaite modéliser le problème sous algobox.

Point positif :

Prise initiative - Utilisation des TICE – autonomie sur le logiciel

Erreurs :

Des erreurs de syntaxes (oubli du * entre le 5 et le x).

Il manque des parenthèses.

La valeur en entrée est incorrecte.

Aide

distribuée et

conséquence

Sous forme de vidéo : « sur un exo travaillé il y a quelques semaines».

Le groupe réussi a modifié seul son

algorithme.

Mais la recherche n’est pas finie, le

groupe se rend compte qu’il faut

améliorer le programme car la

recherche du dixième point semble

« compliqué » avec ce programme.

Production

élèves

Ce groupe avait bien écrit en pseudo français, un algorithme permettant de

répondre à la question, mais demandait un rappel pour la partie entière sur

algobox.

Commentaire Piste suivie : « algobox »

Ce groupe souhaite modéliser le problème sous algobox

Point positif :

Prise initiative - Utilisation des Tice – autonomie sur le logiciel

Aide

distribuée et

conséquence

Sous forme d’un programme : « floor.alg»

Le groupe réussi a modifié seul

son algorithme et me propose :

Exemples d’autres aides utilisées accessibles sur l’ENT des élèves:

Toutes les aides sont protégées par un mot de passe, données uniquement lorsque le professeur

les juge nécessaires.

-la vidéo sur la partie entière1

-la vidéo sur la boucle FOR

-Qu’est-ce qu’une fonction linéaire ?

-Dans quelle situation rencontre-t-on une fonction linéaire ?

Ces différentes aides peuvent être de nature à :

- Aider aux connaissances et aux savoir-faire ;

- Aider à la démarche de résolution.

Exposé : 10 minutes par groupe volontaire (3 groupes sont passés) suivi de 5 minutes de débat.

Grille d’évaluation : 15 minutes pour remplir la grille par autoévaluation.

Une semaine plus tard : un fichier mp3 est distribué par ENT pour un travail à la maison de

restitution.

Autres aides prévues non utilisées

- Les aides aux connaissances et aux savoir-faire

La vidéo sur : le reste de la division euclidienne dans algobox.

Prolongements possibles

Quel est le 2014ième

point à coordonnées entières positive ?

La diversité des notions mathématiques mises en jeu dans ce problème, permet de :

• chercher, expérimenter – en particulier à l’aide d’outils logiciels;

• appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes;

• raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective;

• expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit.

La plupart des notions de ce problème ont été largement reprises plus tard car elles font partie des

capacités attendues d’un élève de seconde (équation de droite, point appartenant à la droite …)

Certains élèves ont eu l’occasion de réutiliser la notion de « Partie entière » en MPS

Les élèves ont eu l’occasion de réutiliser la notion de boucle FOR en simulation échantillonnage

1 Voir vidéos 1 et 2 dans la paragraphe 4.Scénario de mise en œuvre.

5. Evaluation

Il n’y a pas eu d’évaluation chiffrée, mais une simple évaluation suivant une grille de

compétences

Les commentaires dans la grille ci-dessous sont des exemples pouvant guider les élèves à

s’autoévaluer

Rechercher,

extraire et

organiser

l’information

utile

Distinguer ce

qui est établi de

ce qui est à

prouver ou à

réfuter.

Bon

On a bien vu que

l’énoncé ne disait

rien au sujet de

l’origine

On a bien vu que

l’équation donnée

était une équation

de la droite …

Moyen

On a bien vu que le

point D appartenait à

la droite mais on a

considéré que

l’origine aussi sans le

vérifier …

Insuffisant

On a eu du mal à

comprendre

l’énoncé, à faire le

lien entre la droite

et l’équation …

Réaliser,

manipuler,

mesurer,

expérimenter

Suivre un

protocole,

utiliser un outil,

modéliser une

situation

Bon

On a utilisé un

outil en sachant

expliquer dans

quel but.

On est autonome

sur l’outil choisi.

Moyen

On a utilisé un outil

en sachant expliquer

dans quel but.

Mais on a eu du mal

à maîtriser l’outil, on

a eu besoin d’aide.

Insuffisant

On a utilisé un

outil mais sans

arriver à expliquer

notre objectif.

pratiquer une

démarche

expérimentale

émettre une

hypothèse, une

conjecture :

proposer une

méthode, un

calcul, un

algorithme, une

procédure, une

expérience

Bon

Le groupe a :

Formulé des

conjectures

conduit un

raisonnement

contrôle la

vraisemblance

d’un résultat.

Adopte une

démarche

d’investigation par

une narration de

recherche …

Moyen Le groupe a :

Formulé des

conjectures

conduit un

raisonnement

mais ne contrôle pas

la vraisemblance

d’un résultat.

Adopte une

démarche

d’investigation par

une narration de

recherche …

Insuffisant

Le groupe a :

Formulé des

conjectures

conduit un

raisonnement

mais ne contrôle

pas la

vraisemblance d’un

résultat.

La démarche

d’investigation par

une narration de

recherche est

insuffisante …

communiquer

à

l’aide d’un

langage

adapté

Présentation

orale

Explications

orales

Bon

Le groupe

explique

clairement ses

idées avec un

langage adapté.

Moyen La formulation des

idées et le langage

manquent de clarté et

de précision

Insuffisant

Le groupe a du mal

à expliquer

clairement ses

recherches

6. Apport des outils numériques

Quel est le rôle des outils logiciels ? Des supports matériels ? (classe mobile, tablettes

numériques…) ? Quelles compétences transversales et disciplinaires développées ? Comment les

a-t-on mises en valeur ? A l’aide de quels outils numériques ?

D’une manière générale, les outils logiciels permettent de :

Favoriser et stimuler la prise d’initiative

Visualiser

développe la possibilité d’expérimenter

ouvre largement la dialectique entre l’observation et la démonstration

Mais dans ce problème, en particulier :

Géogébra L’utilisation de ce logiciel oblige les élèves à se poser la question « comment trace-t-

on une droite ? »

Certains élèves veulent représenter la droite de l’énoncé.

Ils se rendent compte qu’un seul point D n’est pas suffisant !

Algobox Développe les compétences transversales et disciplinaires:

Déployer un raisonnement mathématique grâce à l’élaboration d’algorithme.

Se familiariser avec les algorithmes.

Montrer qu’un problème difficile à résoudre à la main a priori, peut être facile avec un

algorithme.

ENT Développe les compétences transversales et disciplinaires:

Travailler en équipe grâce aux échanges de l’application « messagerie pédagogique ».

Travailler en autonomie grâce à l’accès des fichiers personnels utiles à ce problème et

aux aides différenciées.

Mon GSM Enregistrement audio de certains élèves durant leur phase de recherche.

Certains enregistrements sont utiles immédiatement : ils deviennent parfois une AIDE

pour un autre groupe. L’aide a été formulée par un élève pour aider un autre groupe et

non par le professeur.

Enregistrement photographique et vidéo de certains élèves durant leur phase de

recherche.

Il m’est arrivé de projeter une image que je venais de capturer.

Les enregistrements vidéo/audio ont parmi de développé chez l’élève les compétences

transversales et disciplinaires concernant :

l’aptitude à communiquer, utiliser le bon vocabulaire

J’ai remarqué que lors de l’utilisation audio/video du travail d’un élève :

-l’élève enregistré était fier et mettait bien plus de bonne volonté à exprimer

oralement ses idées sans le prendre comme un « travail » mais plutôt comme un

« jeu ».

L’aptitude à écouter, extraire l’information

-l’élève qui reçoit l’aide, est plus à l’écoute, lorsque c’est un camarade de classe qui

« parle ».

Quelle place accordée à la différenciation ? Sous quelle forme ?

Ce problème a été conçu de façon à prendre en compte la diversité et l’hétérogénéité des aptitudes

des élèves. Comment ? Grâce :

aux « aides ciblées»

aux différentes pistes possibles

à l’utilisation des TICE

Quels sont les innovations numériques développées ? Leurs apports ?

o Changement de posture de l’enseignant (ressource) et autonomie développée

Le problème est conçu de manière à laisser un maximum d’autonomie à l’élève.

Cette autonomie est renforcée grâce à l’apport numérique.

En effet :

Les élèves peuvent à tout moment se connecter à leur ENT et visionner le travail fait en amont

pour ce problème (par exemple, la manipulation du tableur en statistique, la manipulation de

géogébra dans les fonctions, les algorithmes faits depuis le début de l’année ….).

Les fichiers numériques donnent la possibilité à l’élève de visionner à son rythme (faire pause,

avancer, reculer …), on imagine aisément la difficulté de l’enseignant à le faire si chaque

groupe était demandeur …

o Mise en activité de l’élève

Comme je l’expliquais, l’enregistrement audio/vidéo est une source de motivation pour certains

élèves qui veulent alors faire et bien faire.

o Attractivité des maths et Meilleur apprentissage car….

La baladodiffusion mélange les maths et les outils numériques GSM, baladeurs, ordinateur qui sont

pour les élèves des accessoires ludiques. Ce qui donne une autre dimension à « je fais des maths ».

J’ai remarqué, que chez certains élèves (pas les meilleurs), le fait d’utiliser cette méthode, rendait le

travail en mathématique moins contraignant.

La pédagogie inversée sur des notions sélectionnées, semble efficace à l’apprentissage.

L’acquisition des connaissances se fait ainsi au rythme de l’élève et non au rythme du professeur

ou du programme scolaire.

En delà de ce problème, j’ai eu l’occasion d’utiliser d’autre outils liés à l’environnement numérique de

l’élève, par exemple :

L’ENT par MOODLE : Par le partage de fichiers et l’élaboration de QCM

Travailler l’autonomie.

Un moyen de mobiliser régulièrement les capacités acquises en classe.

Des liens vers des situations d’application interactives ou ludiques permettent de

solliciter l’élève à la maison, pour brasser à nouveau les capacités et connaissances

déjà acquises.

L’ENT et LA MESSAGERIE : par l’échange d’exercices.

Elaboration de parcours progressif et différencié par élève.

Un véritable outil de gestion de l’hétérogénéité.

QCM :

Pour l’enseignant, les résultats des QCM sont précieux, car l’analyse de ces résultats

par élèves pourra guider l’enseignant à pratiquer un meilleur travail différencié et

personnalisé.