physique r sum du cours en fiches mpsi-mp id 34
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Rsum du coursen fichesMPsiMP
Physique
Vincent Demery
polytechnicien, doctorant en physique thorique luniversit Paul Sabatier (Toulouse)
-
Dunod, Paris, 2010.ISBN 978-2-10-056030-1
-
lectrostatique 48
Analogies avecl'interactiongravitationnelle 51
Le diplelectrostatique 53
Milieux conducteurs 55
Dynamiquedes systmes 24
tude nergtique des systmes 27
Cinmatique des solides 30
Dynamique des solides 33
tude nergtiquedes solides 37
Systme isol de deux particules 39
Particules en interactionnewtonienne 42
Oscillateurs 44
Cinmatique du point 10
Dynamique du point matriel dans les rfrentiels galilens 11
tude nergtique 13
Thorme du moment cintique 16
Changement de rfrentiel 17
Dynamique dans les rfrentiels non galilens 19
lments cintiques des systmes 20
Notions sommaires danalyse de Fourier 7
lements danalysevectorielle 2
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III
Table des matires
1
Partie 1 lments mathmatiques
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Partie 2 Mcanique du pointet des systmes de points
Partie 3 lectromagntisme
20
21
18
19
-
Fondements de l'optiquegomtrique 108
Miroirs et lentilles dans l'approximation de Gauss 111
Interfrences lumineuses 113
Interfrences donnespar des lames minces 120
Gnralits sur les ondes 74
Ondes lectromagn- tiques dans le vide 79
Magntostatique 58
Mouvement dune particule dans un champlectromagntique 60
Interfromtre de Michelson 122
Diffraction des ondes lumineuses 126
Rseaux plans 131
Interfrences ondes multiples 134
28
42
43
44
45
Ondes lectromagn- tiques transversales dans dautres milieux 82
Rayonnement d'un diple oscillant 88
quations de Maxwell 62
Induction lectromagntique 67
Diple magntique 70
Table des matires
IV
23
24
25
26
22
Partie 5 lectricit, lectronique
Modlisation des circuits,lois de Kirchhoff 92
Dipleslectrocintiques 94
Rseaux en rgime sinusodal forc 97
Systmes linaires invariants : gnralits 100
31
32
Systmes linaires classiques 102
Systme linaire en rgime non sinusodal 104
Grandes fonctions linaires 105
33
34
35
36
37
Partie 4 Ondes
Partie 6 Optique
27 29
30
39
40
41
38
-
Thorie cintique du gaz parfait 138
Gaz rels 141
Statique des fluides 142
Premier principe de la thermodynamique 145
Second principe de la thermodynamique 148
tude d'un corps pur sous deux phases 152
Diffusion thermique 156
Rayonnement thermique 158
Rayonnement du corps noir 163
Annexe :Units et constantes 165
Index 167
D
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.Table des matires
V
50
51
52
48
49
Partie 7 Thermodynamique
46
47
53
54
-
VI
Lobjectif de ce rsum du cours est de permettre den revoir rapidement lespoints importants. Pour cette raison, il ne remplace pas le cours, ne contient pasdexemples et rentre peu dans les dtails. Cependant, il ne sagit pas dun simpleformulaire : laccent a t mis sur larticulation logique entre les diffrentsconcepts du cours et, si les calculs ne sont pas dtaills, les ides utilises sontrappeles. Lorganisation en fiches permet daccder facilement un point prciset, pour aider une rvision plus globale, tous les rsultats utiliss dans une fichesont issus uniquement des fiches prcdentes. Je remercie mes professeurs de physique de classe prparatoire au lyce Pierre deFermat, Toulouse, ils mont appris tout ce qui est prsent ici : Anne Blelly-Robineau en MPSI et Jean-Luc Parize en PSI*. Il ne me reste plus qu souhaiter tous les lecteurs : bons concours !
Avant-propos
-
Partie 1
lmentsmathmatiques
-
21. Dfinitions
Champ de scalaires
Application qui chaque point de l'espace associe un scalaire (i.e. un nombre).
Champ de vecteurs
Application qui chaque point de l'espace associe un vecteur.
Bords de volumes et de surfaces
Pour un volume V , on note V la surface dlimitant ce volume, oriente vers l'ex-trieur (on l'appelle aussi bord de V). De mme, pour une surface oriente (nonferme) S , on note S le contour faisant le tour de cette surface ; son orien-tation dpend de celle de la surface (c'est le bord de S). Un exemple est donnFig.1.1.
1 lments danalyse vectorielle
S
S
Figure 1.1 Surface oriente et son bord
-
2. Caractristiques usuelles des champs
Surface de niveau
Pour un champ scalaire f, ensemble de points S tel qu'il existe une constante kvrifiant f (S) {k} .Ligne de champ
Pour un champ vectoriel A , ligne L telle que M L , t (M) est colinaire A (M) , o t (M) est le vecteur tangent L en M.
3. Grandeurs fondamentales associes un champde vecteurs
Circulation d'un champ de vecteurs
Sur un contour C orient, C =C
A dl . Plus prcisment, un contour est une
application : [0,1] R3 et C = 1
0
A( (s))
s(s) ds .
Flux d'un champ de vecteurs
travers une surface S oriente : =S
A dS . Une dfinition plus prcisefait intervenir une paramtrisation de la surface.
4. Reprage d'un point dans l'espace
Coordonnes cartsiennes
Un point M est repr par ses coordonnes (x,y,z) telles queO M = xux + yuy + zuz (cf. Figure 1.2).
Coordonnes cylindriques
Un point M est repr par ses coordonnes (r,,z) telles que O M = rur + zuz . Coordonnes sphriques
Un point M est repr par ses coordonnes (r,,) telles que O M = rur .Dun
od
La
phot
ocop
ie n
on a
utor
ise
est u
n d
lit.
lments danalyse vectorielle 1
3
lm
ents
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5. Oprateurs fondamentaux
Gradient
Cest une grandeur vectorielle associe un champ scalaire.
Dfinition : le gradient du champ scalaire f vrifie d f = grad f dr od f = f
(r + dr ) f (r ) .
lments danalyse vectorielle1
4
M
uxuy
uz z
x y
M
uz z
r
uru M
uru
ur
Figure 1.2 Coordonnes cartsiennes, cylindriques et polaires
A drive d'un potentiel scalaire f si A = grad f . Expression du gradient dans les diffrents systmes de coordonnes :
grad f =
fx
ux + fy
uy + fz
uz fr
ur + 1r
f
u + fz
uz fr
ur + 1r
f
u + 1r sin
f
u
Expression avec l'oprateur =
x
y
z
:
grad f = f .
Rotationnel
Cest une grandeur vectorielle associe un champ vectoriel
-
Dfinition : pour un champ A =
AxAyAz
, rotA = A .
Thorme de Stokes : pour une surface oriente S ,S
A dl =S
rot
A dS .
Ce thorme se montre facilement pour des contours et surfaces lmentaires etbien orients, ce qui s'tend ensuite naturellement au cas gnral.
Proprit : on montre aisment que rot(grad f ) = 0 .
Si rotA = 0 sur un volume convexe, A drive d'un potentiel scalaire sur cevolume (ce volume sera le plus souvent l'espace tout entier).
Divergence
Cest une grandeur scalaire associe un champ vectoriel
Dfinition : avec les mmes notations, divA = A = Axx
+ Ayy
+ Azz
.
Thorme d'Ostrogradski : pour un volume V :V
A dS =V
divA dV.
Ce thorme se montre de la mme manire que le thorme de Stokes.
Proprit : on montre que div(
rotA
)= 0 .
Si divA = 0 sur un volume convexe, A drive d'un potentiel vectoriel sur cevolume.
Laplacien
Il est dfinit pour un champ scalaire f par f = div(grad f ) = 2 f .
En coordonnes cartsiennes, = 2
x2+
2
y2+
2
z2. Cette dernire expression
permet de dfinir le laplacien pour un champ vectoriel.
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.lments danalyse vectorielle 1
5
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6. Formules d'analyse vectorielle
Formule du gradient
Cette formule, de mme que les deux formules suivantes, se montre de la mme
manire que le thorme de Stokes :V
grad f dV =V
f dS .
Formule de Kelvin :S
f dl =S
dS grad f .
Formule du rotationnel :V
rot
A dV =V
dS A .
lments danalyse vectorielle1
6
-
Thorme de Fourier
Toute fonction T-priodique f valeurs complexes peut se dcomposer sous laforme :
f (t) =+
n=cne
int
avec = 2T
et cn C n-ime coefficient de Fourier de f . Cette dcompositionest appele dveloppement en srie de Fourier.La convergence de la suite de fonctions du deuxime membre vient de rsultatspurement mathmatiques : thorme de Weierstrass (approximation d'une fonc-tion priodique par des polynmes trigonomtriques) et algbre sur des espacescomplexes.
Calcul des coefficients de la dcomposition
On montre facilement en utilisant la dcomposition de f dans le calcul de l'int-grale que :
cn = 1T t0+T
t0f (t)eint dt
Dcomposition des fonctions relles
Dans le cas o f est une fonction valeurs relles, elle peut se dcomposer sousla forme :
f (t) = a0 ++n=1
(an cos nt + bn sin nt
)
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2Notions sommaires danalyse de Fourier
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o les coefficients rels an et bn sont donns par :
a0 = 1T t1+T
t1f (t)dt
an = 2T t1+T
t1f (t) cos(nt)dt
bn = 2T t1+T
t1f (t) sin(nt)dt
Formule de Parseval
On montre la relation suivante pour la dcomposition ci-dessus d'une fonction valeurs complexes :
| f (t)|2 =+
n=|cn|2 .
Cette proprit vient simplement de l'orthonormalit des fonctions intervenantdans la dcomposition.
Pour la dcomposition relle, on a f 2(t) = a20 +12
+n=1
(a2n + b2n) .
Notions sommaires danalyse de Fourier2
8
-
Partie 2
Mcaniquedu pointet des systmes de points
-
10
Vitesse
On dfinit la vitesse d'un point M dans un repre R par : v =dO M
dt
R
.
Acclration
On dfinit l'acclration d'un point M dans un repre R par :a =
(dvdt
)R
=(
d2O Mdt2
)R
.
Expressions dans les diffrents systmes de coordonnes
coordonnes cartsiennes :v = xux + yuy + zuza = xux + yuy + zuz .
coordonnes cylindriques :v = rur + r ua = (r r 2)ur + (2r + r )u .
coordonnes sphriques : v = rur + r u + r sin u(il n'y a pas d'expression simple de l'acclration avec ce systme de coordonnes).
3 Cinmatique du point
-
1. lments cintiques
Quantit de mouvement (ou impulsion)
On dfinit la quantit de mouvement d'un point matriel de masse m et de vitessev par p = mv (vitesse et quantit de mouvement sont dfinies dans le mmerfrentiel).
nergie cintique
L'nergie cintique d'un point matriel est dfinie par EC = 12mv2. On utilise
aussi l'expression EC = p2
2m, o p est le module de la quantit de mouvement.
2. Lois de Newton
Principe fondamental de la dynamique (PFD)
Pour un point matriel de quantit de mouvement p soumis une rsultante des
forces F , on a dpdt
= F .
Pour un point matriel de masse constante on a : ma = F .
Principe des actions rciproques
Si A et B sont deux points matriels, on note FAB l'action de A sur B. On aalors, d'aprs le principe des actions rciproques : FAB + FBA = 0 .
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4Dynamique du point matriel
dans les rfrentiels galilens
-
Conservation de la quantit de mouvement
Pour un systme isol de particules (chaque particule n'est soumise qu'aux actionsd'interaction avec les autres particules), on a :
d
kpk
dt=
k
dpkdt
=
k
l =k
Flk
par application du principe fondamental de la dynamique. Avec le principe des
actions rciproques, les forces s'annulent deux deux et on a :d
kpk
dt= 0 .
Dynamique du point matriel dans les rfrentiels galilens4
12
-
1. nergie cintique
nergie cintique
La dfinition de l'nergie cintique a t donne plus haut : EC = 12mv2.
Puissance d'une force
On dfinit la puissance P d'une force F applique un point M parP F =
F v o v est la vitesse du point M.
Travail d'une force
On dfinit le travail lmentaire d'une force (on conserve les notations prcden-tes) par W F = P F dt .Avec la dfinition de la puissance, on a directement :
W F =F dO M .
On a alors le travail sous forme intgrale comme somme des travaux lmentai-res, entre deux points A et B :
W F, AB = B
A
F dl
On remarque qu'il s'agit de la circulation de la force sur la trajectoire du point M.
Thorme de l'nergie cintique
Pour un point matriel de masse m constante, on a
d ECdt
= 12
md
(v v )dt
= mv dvdt . En appliquant le principe fondamental
de la dynamique, on a d ECdt
= v F , c'est--dire d ECdt = P F .
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5tude nergtique
-
Attention : F reprsente la rsultante des actions extrieures.Ce thorme peut aussi s'crire sous sa forme intgrale :
AB
EC = W F, AB .
2. nergie potentielle
Force conservative
On dit qu'une force F est conservative si son travail lmentaire peut s'crirecomme une diffrentielle, c'est--dire s'il existe une fonction EP telle que
W F =F dO M = d EP .
Cette condition est vrifie si et seulement si rotF = 0 .
nergie potentielle
L'nergie potentielle est dfinie pour une force conservative F . L'nergie poten-tielle est alors la fonction EP caractrise plus haut ( une constante prs). On aalors, par dfinition du gradient : F = grad EP .
Travail d'une force conservative
Avec l'expression de la force en fonction de son nergie potentielle, sur la trajec-toire A B, on a directement : W F, AB = AB EP .
3. nergie mcanique
nergie mcanique
On considre un point M soumis l'action conservative F drivant de l'nergiepotentielle EP et l'action
F non ncessairement conservative. On dfinit alors
l'nergie mcanique de M par : EM = EC + EP o EC est l'nergie cintiquede M.
tude nergtique5
14
-
Thorme de l'nergie mcanique
On montre facilement que EM = WF
, c'est--dire, sous forme intgrale :
AB
EM = W F , AB .
Notamment, si un point matriel est soumis seulement des actions conservati-ves, son nergie mcanique se conserve.
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.tude nergtique 5
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Moment cintique d'un point matriel
Dans un repre R, on dfinit le moment cintique du point matriel M, de massem , de vitesse v et de quantit de mouvement p , par rapport au point fixe Opar L O = O M p = mO M v . On dfinit aussi le moment cintique de M par rapport l'axe , passant par O
et orient par u , par L = L O u . Attention : le signe de L dpend du sens du vecteur u .
Moment d'une force
Le moment de la force F (applique au point M) au point O est donn par :MO, F =
O M F . On peut ici aussi dfinir le moment par rapport un axe :
M, F =
MO, F u .
Thorme du moment cintique (TMC)
Le calcul de dL O
dt et l'application du principe fondamental de la dynamique mon-
trent directement le thorme du moment cintique :dL O
dt= MO, F .
Cette dmonstration montre que le TMC n'apporte rien de plus que le PFD : c'estune consquence du PFD parfois plus facile utiliser.
16
6 Thorme du momentcintique
-
1. lments de cinmatique du solide
Vecteur rotation
Pour caractriser la rotation d'un solide par rapport un repre ou d'un repre parrapport un autre repre, trois informations sont ncessaires : la vitesse de rota-tion, l'axe et le sens. Ces trois informations peuvent tre contenues dans un vec-teur, respectivement avec sa norme, sa direction et son sens. Ce vecteur, appelvecteur rotation, est not .Son utilisation est trs pratique pour les calculs.
Formule de Varignon
En considrant les projections sur les axes de coordonnes, on montre que, si est le vecteur rotation du repre R par rapport au repre R, pour un vecteur A ,
on a :
dA
dt
R
=dA
dt
R
+ A .
Cette relation se vrifie facilement pour des rotations simples et s'tend par chan-gement de repre aux autres rotations.Cette relation est un autre moyen d'introduire le vecteur rotation : en drivant lesvecteurs de la base du repre R dans le repre R, on montre qu'il existe un vec-teur tel que la formule ci-dessus soit vrifie, ce vecteur est le vecteur rotation.
Relation fondamentale de cinmatique du solide
En utilisant la relation prcdente et la relation de Chasles (O B = O A + AB ),on montre que vB vA = AB , o est le vecteur rotation du solideconsidr par rapport au repre dans lequel on calcule les vitesses.
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7Changement de rfrentiel
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2. Composition des mouvements
Composition des vitesses
On considre un point matriel dans les repres R (absolu) et R (relatif), O etO sont les origines respectives de R et R. est le vecteur rotation du repreR par rapport au repre R. L'application de la dfinition de la vitesse permet demontrer que va = vr + ve o va est la vitesse absolue (dans R), vr est lavitesse relative (dans R) et ve est la vitesse d'entranement, donne par
ve =vR(O ) +
O M
(vR(O ) =
(dO O
dt
)R
).
Composition des acclrations
En drivant la formule prcdente et en utilisant la formule de Varignon, on mon-tre que aa = ar + ae + ac , o ae est l'acclration d'entranement et ac estl'acclration de Coriolis. Ces acclrations sont donnes par :
ae =aR(O ) + d
dt O M + ( O M)
ac = 2 vr.
On remarque que ddt ne dpend pas du rfrentiel.
Changement de rfrentiel7
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PFD dans un rfrentiel non galilen
On considre un point M de masse constante m dans un rfrentiel non galilen.En appliquant le principe fondamental de la dynamique M dans un rfrentielgalilen et en utilisant la composition des acclrations, on montre quedpdt
= F + Fie + Fic o Fie et Fic sont les pseudo-forces (respectivementforce d'inertie d'entranement et force d'inertie de Coriolis).Elles sont donnes par Fie = mae et, de mme, Fic = mac .
TMC dans un rfrentiel non galilen
De mme, on a
dL Odt
= MO, F +MO, Fie +
MO, Fic
Influence de la rotation de la Terre sur le poids
Si g0 est l'acclration de la pensanteur due seulement l'attraction gravitation-nelle, alors en un point M, l'acclration tenant compte de la rotation de la Terre
est : g = g0 + 2H M , o H est le projet orthogonal de M sur l'axe de la Terreet la vitesse de rotation de la Terre sur elle-mme.
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8Dynamique dans les rfrentiels non galilens
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1. Systme matriel
Dfinition
On appelle systme matriel un ensemble de points matriels. Les systmesseront nots S . Cet ensemble peut tre discret ou continu ; les sommations effec-tues sur le systme prendront alors respectivement la forme d'une somme oud'une intgrale. On considre dans la suite un systme continu, le passage entrediscret et continu ne posant aucune difficult.
Systme ouvert, ferm
Un systme qui change de la matire avec le milieu extrieur est dit ouvert, sinonil est dit ferm. On n'tudie ici que des systmes ferms.
Principe de l'tude
L'tude des systmes matriels est une gnralisation de l'tude des points mat-riels. Cette gnralisation est possible en n'utilisant aucun postulat supplmen-taire : les lois mcaniques rgissant l'volution des systmes peuvent tre ddui-tes de celle rgissant l'volution des points.
2. lments cintiques
Masse
La masse (totale) d'un systme S vaut par dfinition :
M =
PSdm(P)
o dm(P) reprsente l'lment de masse situ au voisinage du point P. En notant(P) la masse volumique au point P, on a dm(P) = (P)dV.
20
9 lments cintiques des systmes
-
Centre d'inertie
On dfinit pour un systme S de masse totale M le centre d'inertie, not G, par :OG = 1
M
PS
O P dm(P)
o O est un point quelconque. Le centre d'inertie est en fait un barycentre, il pos-sde donc la proprit d'associativit des barycentres qui permet de dcomposerle calcul de sa position.
Proprit de symtrie du centre d'inertie
La dfinition du centre d'inertie montre que le centre d'inertie G d'un systme Sest inclus dans tout plan de symtrie de S .
Grandeurs cintiques
L'expression des grandeurs suivantes vient de leur dfinition pour un point mat-riel :
quantit de mouvement : p =S
vP dm(P)
moment cintique en O : L O =S
O P vP dm(P)
moment cintique par rapport l'axe passant par O et dirig par le vecteuru : L = L O u
nergie cintique : EC =S
12v2P dm(P)
Expression de la quantit de mouvement
En prenant pour O l'origine du rfrentiel d'tude et en drivant l'expression dfi-nissant le centre d'inertie, on a directement l'expression p = MvG .
Changement de point d'expression du moment cintique
On montre simplement avec les dfinitions du moment cintique et de la quantit
de mouvement la relation L A = L B + AB p .
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.lments cintiques des systmes 9
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Torseur cintique
On appelle torseur tout couple de la forme (R ,MA
)vrifiant la relation de
changement de point d'expression du moment : MA = MB + AB R . Un torseur a deux composantes :
la premire est appele de manire gnrale rsultante du torseur, elle nedpend pas du point d'expression,
la deuxime est le moment du torseur, elle dpend du point d'expression.
Un torseur est not de manire gnrale T ={R ,MA
}A
.
Le couple (p ,L A
)a une structure de torseur, c'est le torseur cintique.
3. Rfrentiel barycentrique
Rfrentiel barycentrique
On considre un systme S de centre d'inertie G dans le rfrentiel R. On appellerfrentiel barycentrique et on note R le rfrentiel d'origine G obtenu par trans-lation du rfrentiel R.Les grandeurs relatives au rfrentiel barycentrique seront notes .
Quantit de mouvement
En drivant la dfinition du centre d'inertie dans le rfrentiel barycentrique R,on obtient directement que la quantit de mouvement barycentrique du systme
est nulle :p = 0 .
Thorme de Knig pour le moment cintique
En crivant pour la vitesse d'un point P du systme vP =vP + vG , et en utili-
sant la dfinition du centre d'inertie, on obtient la relation :L A =
LA +
AG p . On a immdiatement que le moment cintique barycen-trique ne dpend pas du point d'expression (LA =
LB ), on le note plus simple-
ment L . On a donc le thorme de Knig pour le moment cintique :
L A =L + AG p .
lments cintiques des systmes9
22
-
On remarque que le couple (
p,L
)a aussi une structure de torseur.
Thorme de Knig pour l'nergie cintique
En utilisant la mme dcomposition des vitesses que pour le moment cintique,
on obtient facilement EC = EC +12
Mv2G +p vG . Avec
p =0 , on a le
thorme de Knig pour l'nergie cintique :
EC = EC +12
Mv2G .
cf. Thorie cintique du gaz parfait pour l'interprtation de cette dcomposition.
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.lments cintiques des systmes 9
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1. Actions mcaniques, actions rciproques
Action mcanique, structure de torseur
Une action mcanique est un ensemble de forces. Une action mcanique exercesur un systme est caractrise par sa rsultante et son moment :
la rsultante d'une action mcanique est la somme des forces exerces sur lesystme,
le moment d'une action mcanique est la somme des moments des diffrentesforces exprimes en un mme point : le moment dpend du point choisi.
La dfinition du moment d'une force en un point (MA, F =AMF , o M est le
point d'application de la force F ) donne directement la relation de changementde point d'expression du moment d'une action mcanique :MA = MB + AB R . On reconnat une structure de torseur, il s'agit ici du torseur d'action mcanique{R ,MA
}A
caractrisant cette action.
Loi des actions rciproques
Le principe des actions rciproques vu en mcanique du point (cf. Dynamique dupoint matriel dans les rfrentiels galilens) permet de dduire immdiatementsa gnralisation la mcanique des systmes ; en notant T12 et T21 respec-tivement les torseurs de l'action mcanique du systme S1 sur le systme S2 et dusystme S2 sur le systme S1, on a T21 = T12 (l'oppos d'un torseur est letorseur compos de l'oppos de la rsultante et de l'oppos du moment, ceci estjustifi par la structure d'espace vectoriel de l'ensemble des torseurs).
Actions intrieures un systme
La loi des actions rciproques a un corollaire important : la rsultante et lemoment des actions intrieures un systme sont nuls (la loi prcdente impliqueque T11 = 0).
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10 Dynamique des systmes
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2. Thormes gnraux
Thorme de la quantit de mouvement
On considre un systme matriel continu S dans un rfrentiel galilen R.Chaque lment de masse dm(P) situ en P est soumis une rsultante de for-
ces lmentaire d f qui peut se dcomposer en d f = d fi + d fe o d fe est larsultante lmentaire des actions extrieures au systme et d fi est celle desactions intrieures au systme (actions exerces entre deux parties du systme).Calculons la drive de la quantit de mouvement du systme en appliquant leprincipe fondamental de la dynamique chaque lment de masse du systme (onsuppose dans ce modle que chaque lment de masse se comporte comme uneparticule ponctuelle) :
dpdt
=S
ddt
(vP dm(P))=
S
d f =S
d fe +S
d fi =R
o R est la rsultante des actions mcaniques extrieures, car d'aprs la loi desactions rciproques la somme des actions intrieures est nulle. C'est le thorme
de la quantit de mouvement pour un systme :dpdt
= R .
Thorme du moment cintique en un point fixe
Procdons comme pour le thorme de la quantit de mouvement en utilisant lesmmes notations. Calculons la drive du moment cintique en un point fixe Ad'un lment de masse dm(P) situ en P :
d(d L A)dt
= ddt
(AP vP dm)= d
APdt
vP dm + AP d(vP dm)
dt.
Comme A est fixe, on a dAP
dt vP dm = 0 et d'aprs le principe fondamental
de la dynamique, on a :
AP d(vP dm)
dt= AP
(d fe + d fi)
.
En utilisant la loi des actions rciproques, il vient qu'en un point fixe A ,
dL Adt
= MA , o MA est le moment en A des actions extrieures.Dun
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Dynamique des systmes 10
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Ce thorme est souvent utilis en projection sur un axe fixe, on a alorsd L
dt=M, o M = MA u avec A .
Thorme du moment cintique au centre d'inertie
En reprenant la dmonstration prcdente dans le cas o le point A n'est pas fixe,
le terme dAP
dt vP dm ne s'annule pas, mais donne aprs intgration vA p .
La relation gnralisant le thorme du moment cintique en un point fixe est
donc :dL Adt
= MA vA p . Comme p = MvG , en prenant A = G , on
obtient le thorme du moment cintique au centre d'inertie :dLG
dt= MG .
Rfrentiels non galilens
Comme en mcanique du point matriel, l'tude d'un systme matriel dans unrfrentiel non galilen se fait par l'intermdiaire d'un rfrentiel galilen, danslequel on peut appliquer les thormes dmontrs, et en utilisant la formule decomposition des acclrations pour chaque lment de masse du systme.Il n'y a pas de formule gnrale concernant les rfrentiels non galilens et l'tuden'est faisable que dans des cas simples (rfrentiel en translation uniformmentacclre par exemple).
Dynamique des systmes10
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1. Puissance d'une action, nergie cintique
Puissance d'une action mcanique
Considrons une action mcanique exerant sur chaque lment de masse dm(P)
du systme S la force lmentaire d f (P) . La puissance de cette action mca-nique vaut par dfinition, d'aprs la puissance d'une force exerce sur une parti-cule ponctuelle :
P =S
d f (P) vP
Changement de rfrentiel de la puissance
D'aprs la dfinition de la puissance, celle-ci dpend du rfrentiel dans lequel onla calcule. On considre une action mcanique caractrise par son torseur
{R ,MA}A exerant une force lmentaire d f sur chaque lment de masse dusystme S . On tudie le mouvement du systme dans les rfrentiels R et R, onnote a la grandeur a calcule dans le rfrentiel R.La diffrence des puissances lmentaires de l'action exerce sur l'lment de
masse situ en P est dP dP = d f (vP vP ) . En utilisant la relation de
composition des vitesses vue dans Moment cintique, rfrentiels non galilens,en remplaant O par un point quelconque A fixe dans R (la dmonstration faitereste la mme), on a vP
vP = vA +
AP .
Ensuite, en reconnaissant un dterminant et en effectuant une permutation circu-laire des vecteurs, on obtient la relation de changement de rfrentiel des puis-
sances : P P = vA R + MA .Cette relation, facile dmontrer, n'est pas retenir mais a une consquenceimportante : comme la rsultante et le moment des actions intrieures un sys-tme sont nuls, la puissance des actions intrieures un systme ne dpend pasdu rfrentiel.
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11tude nergtique des systmes
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Travail d'une action mcanique
De mme qu'en mcanique du point, le travail lmentaire W exerc par uneaction mcanique dans l'intervalle de temps dt est W = Pdt , o P est la puis-sance de cette action mcanique.
Thorme de l'nergie cintique
On considre un systme S dans lequel chaque lment de masse dm(P) situ enP est soumis une force lmentaire extrieure d fe(P) et une force lmen-taire intrieure d fi (P). Calculons la drive de l'nergie cintique lmentaire del'lment de masse dm(P) : d EC (P) = 12dm(P)v
2P et utilisons le principe fon-
damental de la mcanique du point comme pour la dmonstration du thorme dela rsultante cintique :
d(d EC (P))dt
= vP (
dm(P)vPt
)= vP d fe + vP d fi .
Aprs intgration, on obtient le thorme de l'nergie cintique :d ECdt
= Pe + Pi. Pe est la puissance des actions mcaniques extrieures et Pi la puissance desactions mcaniques intrieures au systme.
Thorme de l'nergie cintique barycentrique
Le thorme de l'nergie cintique est appliquable dans un rfrentiel galilen.On peut calculer la drive de l'nergie cintique barycentrique en utilisant le
thorme de Knig :d ECdt
= Pe + Pi R vG d'aprs les thormes de laquantit de mouvement et de l'nergie cintique, appliqus dans un rfrentielgalilen. En crivant les puissances et la rsultante sous la forme d'intgrales, on
voit directement que d ECdt
= Pe + Pi (les puissances barycentriques sont lespuissances calcules avec les vitesses barycentriques).
tude nergtique des systmes11
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2. nergie potentielle, nergie mcanique
nergie potentielle
Une action mcanique s'exerant sur un systme est dite conservative si pour toutdplacement du systme le travail lmentaire W de cette action peut s'exprimercomme un lment diffrentiel : W = d EP pour une certaine fonction EP.C'est--dire que le travail de l'action mcanique au cours d'un changement d'tatdu systme ne dpend que des tats initial et final du systme (l'tat d'un systmematriel est donn par la position de chacun de ses points).Pour une action conservative, la fonction EP (EP est une fonction de l'tat du sys-tme) est l'nergie potentielle associe cette action.On remarque que la somme de deux actions conservatives est conservative :l'nergie potentielle totale est alors la somme des nergies potentielles.
nergie mcanique
On considre un systme soumis notamment des actions conservatives pour les-quelles l'nergie potentielle totale est EP. De mme qu'en mcanique du point, onappelle nergie mcanique de ce systme la somme de ses nergies cintique etpotentielle : EM = EC + EP.
Thorme de l'nergie mcanique
Considrons un systme soumis des actions non conservatives de puissance Pncet des actions conservatives de puissance Pc et d'nergie potentielle associeEP. Calculons la drive de l'nergie mcanique de ce systme en utilisant ladfinition de l'nergie potentielle et le thorme de l'nergie cintique :d EM
dt= (Pnc + Pc) +
(Wcdt
). On obtient donc le thorme de l'nergie
mcanique :
d EMdt
= Pnc.
Cette relation montre l'intrt de l'nergie mcanique : elle se conserve dans beau-coup de cas.
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1. Dfinitions, torseur cinmatique
Solide indformable
On appelle solide indformable un systme matriel tel que la distance entre deuxpoints du systme soit conserve au cours du temps : pour tout couple (A,B) depoints du solide, AB = cte. Un solide est un cas particulier de systme matriel ; la dynamique des solides estdonc l'application de la dynamique des systmes aux solides.
Repre li un solide
D'aprs la dfinition du solide indformable, il est possible de trouver un repredans lequel le solide est immobile (en prenant par exemple quatre points dusolide qui ne sont pas inclus dans un plan), un tel repre est dit li au solide. On remarque que d'aprs la dfinition du solide indformable, l'angle entre deuxvecteurs lis au solide ne varie pas au cours du temps.
Degrs de libert
Pour connatre entirement la position d'un solide, il faut connatre un certainnombre de paramtres indpendants, c'est le nombre de degrs de libert dusolide. Un solide libre a six degrs de libert (pour connatre la position du repreli un solide, il faut connatre la position de l'origine et trois angles) : trois entranslation et trois en rotation.En imposant des contraintes au solide, on lui supprime des degrs de libert.On pourrait dfinir le nombre de degrs de libert d'un systme quelconque, quiest infini dans le cas gnral d'un systme d'une infinit de points (systmecontinu par exemple).
Vecteur rotation, composition
Le vecteur rotation d'un solide par rapport un repre est introduit dansChangement de rfrentiel. Nous allons voir que ce vecteur joue un rle fonda-mental dans la cinmatique du solide.
30
12 Cinmatique des solides
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La formule de Varignon peut tre vue comme une caractrisation du vecteur rota-tion ; il est alors ais de montrer la formule de composition des vecteurs rotation :
en notant i/j le vecteur rotation du repre Ri par rapport au repre Rj , on a
2/0 = 2/1 + 1/0 .
Relation entre les vitesses, torseur cinmatique
On a dj montr (Changement de rfrentiel) que la formule de Varignon don-nait pour un solide la relation entre les vitesses suivante : vA = vB + AB . On reconnat la relation de structure de torseur pour le couple
( ,vA
).
Le torseur {
,vA}
Aest appel torseur cinmatique ; sa rsultante est le vecteur
rotation et son moment est la vitesse instantane en un point. La connaissance dece torseur, c'est--dire du vecteur rotation et de la vitesse d'un point du solide, per-met de connatre la vitesse de tous les points du solide.
2. Contact entre solides
Solides en contact, plan tangent
On considre deux solides S1 et S2 en contact ponctuel en I (cf. Fig 1.1). Alorsles surfaces de ces solides admettent en I un plan tangent commun que l'onnotera P.
Vitesse de glissement
Le point I peut tre considr comme le lieu gomtrique du contact, commeappartenant au solide S1 ou comme appartenant au solide S2. On note vI,1 la vitesse du point I considr comme appartenant au solide S1 etvI,1/2 = vI,1 vI,2 . Les trajectoires du point I considr comme appartenant S1 ou S2 sont de toutevidence tangentes au niveau du point gomtrique I (elles ne se croisentpas), on en dduit que vI,1/2 est colinaire au plan P, c'est la vitesse de glisse-ment du solide S1 par rapport au solide S2.
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Vecteur pivotement, vecteur roulement
Comme pour la vitesse, on introduit le vecteur rotation de S1 par rapport S2 :1/2 . Ce vecteur peut se dcomposer en :
une composante normale au plan P, c'est le vecteur pivotement que l'on notep ,
une composante colinaire au plan P, c'est le vecteur roulement que l'on noter
Cinmatique des solides12
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S2
S1
I PI ,1/ 2
pr
1/ 2
Figure 12.1 Solides en contact.
Roulement sans glissement
On dit qu'il y a roulement sans glissement pour deux solides en contact lorsque lavitesse de glissement et le vecteur pivotement sont nuls :
Roulement sans glissement {vI,1/2 = 0
p = 0
-
1. lments cintiques des solides en mouvement
Cas gnral
Les relations donnant les lments cintiques d'un solide en mouvement en fonc-tion de sa rpartition de masse et de son torseur cinmatique sont hors-programme. Il est cependant possible d'obtenir des relations simples dans certainscas particuliers.
Mouvement de translation
Un solide est en translation quand tous ses points ont la mme vitesse v . Seslments cintiques se calculent sans difficults : p = Mv , L A = AG p ,EC = 12 Mv
2.
Mouvement de rotation autour d'un axe fixe
On considre un solide S en mouvement de rotation autour d'un axe fixe ( passe par A et est dirig par u unitaire) : le vecteur rotation du solideest colinaire , on note donc = u . De plus, tous les points du solidesitus sur l'axe ont une vitesse nulle.Il est alors intressant de calculer le moment cintique par rapport cet axe .Le moment cintique lmentaire en A d'un lment de masse dm du solide situen P est
d L A = AP vP dm = AP (P A u ) dm
en utilisant la relation entre les vitesses et le fait que est axe de rotation. En uti-lisant le projet H de P sur , on obtient aprs simplification le moment cin-tique lmentaire par rapport l'axe : d L(P) = d L A u = d(P,)2dmo d(P,) = H P . Aprs intgration on obtient le moment cintique total :
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13Dynamique des solides
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L = J (S/) o J (S/) =S
d(P,)2 dm(P)
J (S/) est le moment d'inertie du solide S par rapport l'axe .Il est aussi possible de calculer l'nergie cintique du solide S : avec les mmesnotations, l'nergie cintique lmentaire de cet lment de masse est
d EC = 12v2P dm =
122
(P A u )2 dm . En utilisant le point H, on obtient(P A u )2 = d(P,)2 . Finalement, aprs intgration, on a :
EC = 12 J (S/)2
2. Application des thormes gnraux aux solides
Thorme de la rsultante cintique
La forme gnrale de ce thorme est la plus simple que l'on puisse trouver car la
rsultante cintique s'exprime simplement ; on a encore MdvGdt
= R .
Thorme du moment cintique pour un solide en rotation autourd'un axe fixe
Le moment cintique d'un solide s'exprime simplement pour un solide en rotationautour d'un axe fixe. On a donc dans ce cas, en conservant les notations du para-
graphe prcdent : J (S/)ddt =M .Dans le cas gnral, la forme la plus simple reste celle vue pour tous les systmes.
3. tude dynamique des contacts
Dcomposition de l'action de contact
On considre ici les deux solides en contact vus plus haut. On considre l'action
exerce par S1 sur S2, caractrise par sa rsultante R et son moment en I parexemple : MI . Ces deux vecteurs se dcomposent comme les vecteurs vitesserelative et rotation relative en deux composantes : une composante tangente au
plan P (le frottement de glissement RT et le frottement de roulement MI,T ) et
Dynamique des solides13
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une composante normale au plan P (l'action rpulsive RN et le frottement depivotement MI,N ).Cette tude des contacts donne des lois vrifies par ces composantes qui ne pro-viennent pas des thormes gnraux mais de principes simples relatifs auxcontacts. Les lois seront en fait plus expliques que dmontres.
Contact ponctuel
En cas de contact rigoureusement ponctuel, le moment en I de l'action de contactest nul :
Contact rigoureusement ponctuel en I MI = 0Un contact rigoureusement ponctuel est par dfinition un contact tel que l'inter-section gomtrique des deux solides soit rduite un point : les deux solides ontun seul point en contact. On se retrouve dans le cas d'une interaction entre deuxpoints matriels (dans une action de contact, seuls les points en contact interagis-sent), qui ne peut pas transmettre de moment.On se placera toujours dans ce cas pour la suite.
Opposition la pntration
En partant du principe que deux points matriels ne peuvent pas rigoureusementse superposer, l'interaction de deux points en contact est ncessairementrpulsive. On en dduit que l'action de contact tend empcher la pntration d'un solide
dans l'autre, c'est--dire R n12 0, o n12 est un vecteur normal au planP et dirig de S1 vers S2.
Loi de Coulomb en cas de non glissement
Cette loi donne une relation entre entre les normes des rsultantes normale et tan-gentielle de l'action de contact.
Si la vitesse de glissement est nulle (vI,1/2 = 0 ), alors RT fsRN o fsest le coefficient de frottement statique entre les deux solides ; il dpend des mat-riaux composant les solides.
Loi de Coulomb en cas de glissement
On a une relation du mme type en cas de glissement, mais cette fois la directiondu frottement de glissement est connue : celui-ci s'oppose au glissement.
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De plus la norme du frottement de glissement est entirement connue, on aRT = fdRN ug o fd est le coefficient de frottement dynamique etug =
vI,2/1vI,2/1
est le vecteur unitaire indiquant la direction et le sens du glisse-
ment.
Exprimentalement, on a fs fd , et on se place souvent dans le cas ofs = fd = f, appel plus simplement coefficient de frottement.
Glissement parfait
On dit qu'un glissement est parfait lorsque fs = fd = 0.
Dynamique des solides13
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1. Puissance d'une action mcanique sur un solide
Puissance d'une action mcanique sur un solide
On considre un solide S en mouvement caractris par son torseur cinmatique{ ,vA}A sur lequel s'exerce une action mcanique caractrise par son torseur{R ,MB}B. Cette action mcanique exerce en fait une force lmentaire d f sur l'lment demasse du solide situ en P. Calculons la puissance lmentaire de la force exer-
ce sur cet lment de masse : dP = d f vP = d f (vA + P A
).
On reconnat un dterminant dans d f (P A ) = (d f P A) .
Aprs intgration, il vient directement la relation gnrale
P = vA R + MA.
Puissance des actions intrieures un solide
De la relation prcdente on dduit que la puissance des actions intrieures unsolide est nulle (en effet, on a vu que la rsultante et le moment de ces actionssont nulles).
Puissance des actions de contact
En reprenant les mmes notations, la puissance des actions de contact est lasomme de la puissance de l'action de S1 sur S2 et de la puissance de l'action deS2 sur S1. En utilisant l'expression de la puissance d'une action sur un solide on a : Pc =P12 + P21 =R vI,2 + (R ) vI,1 =R vI,2/1 . En utilisant ladcomposition de la rsultante, on obtient
Pc = RT vI,2/1.
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14tude nergtiquedes solides
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D'aprs la loi de Coulomb, on a Pc 0 : de la puissance est perdue par frotte-ment lors d'un contact.
Liaison parfaite
On dit que deux solides sont en liaison lorsque des actions s'exercent entre cesdeux solides. La liaison est dite parfaite si la puissance de ces actions est nulle.
Liaison rotule, liaison pivot
Ces liaisons sont frquemment utilises : deux solides sont lis par une liaison rotule lorsqu'il existe un point fixe dans
les rfrentiels lis aux solides, deux solides sont en liaison pivot lorsqu'il existe une droite fixe dans les rf-
rentiels lis aux solides.
2. nergies cintique, potentielle et mcanique
Thorme de l'nergie cintique
Comme la puissance des actions intrieures un solide est nulle, le thorme de
l'nergie cintique appliqu un solide donne d ECdt
= P o P est la puissancede toutes les actions extrieures exerces sur le solide. Ce thorme est appliquer dans des cas simples o l'nergie cintique du sys-tme est facilement calculable.
nergies potentielle et mcanique
La dfinition de l'nergie potentielle ne dpend en rien de la forme du systme, iln'existe donc pas d'application spcifique aux solides.
tude nergtique des solides14
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1. Problme deux corps, mobile fictif et masse rduite
Mobile fictif et masse rduite
On ramne l'tude des mouvements des deux points dans le rfrentiel barycen-trique l'tude du mouvement du mobile fictif M dfini par sa positionr = G M = M1 M2 et sa masse, appele masse rduite du systme : = m1m2
m1 + m2 .
On note v = drdt .
Moment cintique dans le rfrentiel barycentrique
On montre que LS = r v .
nergie cintique dans le rfrentiel barycentrique
De mme on a ECS =12v2 .
InterprtationLS et ECS sont considrs comme les lments cintiques du mobile rduit. On a aussi montr que l'tude du mouvement du mobile rduit suffisait dter-miner les mouvements des deux points matriels.
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15Systme isol de deux particules
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2. Mouvement du mobile rduit :mouvement force centrale
Dfinition
Un point M dans le rfrentiel R est soumis une force centrale f quand entout point, f = f (M)ur .Consquences, constante des aires
En reprenant les notations du paragraphe prcdent, pour un point matriel M
soumis une force centrale,dL O(M)
dt= 0 , il apparat une constante, appele
constante des aires : C = r v = r2k . On observe alors que le mouvement est plan (orthogonal k ), d'o l'utilisationdes coordonnes polaires.
Vitesse arolaire
La constante des aires peut tre relie l'aire A (t1,t2) balaye par le vecteur r
entre les instants t1 et t2 :A (t1,t2) =
t2t1
12r dr =
t2t1
12C dt =
C t2
L'aire balaye ne dpend que de l'intervalle de temps t = t2 t1. On relie ainsi la constante des aires l'aire balaye par r par unit de temps :dA
d(t)=
C2
.
Formules de Binet
En introduisant u = 1/r, en utilisant les expressions de la vitesse et de l'accl-ration en coordonnes polaires et la norme de la constante des aires C = r2 on
montre la formule de Binet pour la vitesse : v2 = C2[(
dud
)2+ u2
]
et la formule de Binet pour l'acclration :
a = C2u2(
d2ud2
+ u)
ur .
Systme isol de deux particules15
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tude par l'nergie
On montre simplement que si la force centrale drive d'une nergie potentielle dela forme EP (r) , alors l'nergie mcanique peut s'exprimer sous la forme
EM = 12r2 + EP eff(r)
avec EP eff(r) =12
C2
r2+ EP (r) .
On en vient ainsi une tude par l'nergie d'un problme monodimensionnel enayant seulement considrer le graphe de EP eff(r).
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1. Dfinition et nergie potentielle
Dfinition de l'interaction newtonienne
On dit que l'action f exerce sur le point matriel M repr par ses coordonnespolaires dans le plan est newtonienne si elle est de la forme f = k
r2ur ,
o {1,1} et k > 0 est une constante du problme.nergie potentielle associe
On montre simplement que l'nergie potentielle associe une action newto-nienne est
EP (r) = kr.
2. Trajectoires pour une interaction newtonienne
quation de la trajectoire
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique M dans le rfrentielR et en utilisant la formule de Binet pour l'acclration, on montre que u = 1/rsatisfait l'quation
d2ud2
+ u = kC2
.
En posant p = C2
k , la solution s'exprime sous la forme r = p + e cos( 0) .
42
16 Particules en interactionnewtonienne
-
Cette quation est l'quation polaire d'une conique, les constantes p , e et 0 tantdtermines par les conditions initiales.La trajectoire est une hyperbole si e > 1, une parabole si e = 1, une ellipse si0 < e < 1 et un cercle si e = 0.Expression de l'nergie
On montre que l'nergie s'exprime de manire gnrale EM = k2p (e2 1) .
Dans le cas d'une trajectoire elliptique, elle vaut EM = k2a , o a est le demigrand axe de l'ellipse.
Loi des aires pour une trajectoire elliptique
En notant T la priode de rotation, on montre la troisime loi de Kepler en utili-sant les proprits gomtriques des ellipses.
a3
T 2= k
42.
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.Particules en interaction newtonienne 16
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1. Oscillateur harmonique
Dfinition
Un oscillateur harmonique est un systme dont la variable caractristique u (sca-laire ou vectorielle) vrifie l'quation diffrentielle d
2u
dt2+ 20u = 0 , o 0 est la
pulsation caractristique du systme.
Isochronisme des oscillations
Un oscillateur variable caractristique scalaire oscille avec une priode
T0 = 20
. Ce rsultat se gnralise aux oscillateurs variable caractristique
vectorielle composante par composante, on retrouve la mme priode.
Portrait de phase
Le portrait de phase est le trac de la courbe paramtre (
u(t),dudt
(t)
)dans le
plan, pour u variable scalaire.Pour un oscillateur harmonique, en notant U l'amplitude des oscillations, le por-
trait de phase est donn par l'quation ( u
U
)2 +( du
dtU0
)2= 1 : la trajectoire de
phase est elliptique.
nergie mcanique
Pour un oscillateur mcanique, on remarque qu'il y a conservation de l'nergiemcanique.
44
17 Oscillateurs
-
2. Oscillateur amorti
quation
Un oscillateur amorti par frottement fluide aura une quation de la formed2udt2
+ 0Qdudt
+ 20u = 0, o 0 est la pulsation et Q le facteur de qualit.
quation caractristique
L'quation diffrentielle rgissant l'oscillateur amorti s'tudie partir de sonquation caractristique : r2 + 0Q r +
20 = 0. Le discriminant vaut alors :
= 420(
14Q2 1
). On distingue alors trois cas :
si > 0 : le rgime est apriodique, le systme cart de sa position d'quili-bre va y revenir sans oscillations ;
si = 0 : le rgime est apriodique critique, le systme est la limite desoscillations lorsqu'il est cart de sa position d'quilibre ;
si < 0 : le rgime est oscillatoire amorti, le systme cart de sa position d'quilibre va y revenir en passant par des oscillations d'amplitude dcroissanteet tendant vers 0.
Dcrment logarithmique
Si T est la pseudo-priode dans le cas d'un rgime oscillatoire amorti (on a iciT = 2
0
1 1
4Q2), on introduit le dcrment logarithmique
= 1n
ln(
u(t)
u(t + nT0))
, pour t quelconque et n entier quelconque.
Un calcul simple partir de la forme des solutions montre que = Q
1 1
4Q2.
Pour un facteur de qualit trs grand, on a alors Q .
D
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otoc
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.Oscillateurs 17
45
Mc
aniq
ue
du
po
int
et d
es s
yst
mes
de
po
ints
-
Portrait de phase
Pour un oscillateur amorti, la trajectoire de phase converge vers l'origine durepre, en spirale dans le cas d'un rgime oscillatoire amorti.
nergie mcanique
Pour un oscillateur mcanique, on montre par le calcul que l'nergie mcaniqueest dcroissante.
Oscillateurs17
46
-
Partie 3
lectromagntisme
-
48
1. Champs et potentiel lectrostatique
Champ lectrostatique cr par une charge ponctuelle
On considre une charge q ponctuelle place l'origine du repre. La force
lectrostatique exerce sur une charge q place en M est F = 140
qq
O M2uO M
o uO M dsigne le vecteur unitaire O MO M
et 0 = 8,85 1012 Fm1 est la per-mittivit du vide. Cette expression conduit dfinir le champ lectrostatique cr par la charge q :E (r ) = 1
40qr2
ur .
La force exerce sur la charge q place en M(r ) s'exprime alorsF = q E (r ).
Potentiel associ
On remarque qu'en dfinissant le champ scalaire V (r ) = 140
qr
, on a
E = grad V . On dit alors que le champ E drive du potentiel scalaire V. Distribution de charges ponctuelles, principe de superposition
Pour une distribution de charges ponctuelles qk, le potentiel et le champ lectro-statique crs sont donns par le principe de superposition : si deux distributionsD1 et D2 crent respectivement les potentiels V1 et V2, la distribution D1 +D2cre le potentiel V1 + V2. Le potentiel et le champ lectrostatique crs sontdonc :
V (M) =
k
140
qkOk M
E (M) =
k
140
qkOk M2
uOk M
18 lectrostatique
-
Distribution continue de charges
On note (M) la densit volumique de charges au point M (le volume lmen-taire dV contenant le point M porte la charge (M)dV), le potentiel et le champlectrostatique crs sont alors :
V (M) =
PE1
40(P)dV
P ME (M) =
PE
140
(P)dVP M2
u P M
L'intgration se fait sur tout l'espace (E).Cette formule peut tre facilement adapte aux distributions liniques et surfa-ciques de charges.
2. Proprits du champ lectrostatique
Invariance du champ lectrostatique
Le champ lectrostatique possde toutes les proprits d'invariance de la distri-bution de charges qui l'engendre.
Circulation du champ lectrostatique
Sur le contour C allant du point A au point B, la circulation du champ lectriquevaut C = C E dl = V (A) V (B) d'aprs la dfinition du gradient et parceque E = grad V.Sur un contour ferm, la circulation du champ lectrostatique est nulle : on ditque le champ lectrostatique est circulation conservative.
Flux du champ cr par une charge ponctuelle travers une surface
On considre une charge q ponctuelle place l'origine du repre et une surfaceS oriente. Alors le flux du champ lectrique cr par la charge q travers la sur-face oriente vaut :
=S
E dS = q40
o est l'angle solide sous lequel est vue la surface S depuis le point o est pla-ce la charge, il vaut par dfinition :
D
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aut
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e es
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dlit
.lectrostatique 18
49
lec
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mag
nt
ism
e
-
=S
dS urr2
Thorme de Gauss
On considre une surface ferme S oriente vers l'extrieur. On note Q la chargecomprise dans le volume dlimit par la surface S . L'angle solide sous lequel estvue une surface ferme depuis un point situ l'intrieur de la surface est 4 (cecise calcule aisment pour une sphre, et l'angle ne dpend pas de la forme de lasurface), et cet angle est nul quand elle est vue depuis un point extrieur (les l-ments de surface s'annulent deux deux en tant sur le mme cne partant dupoint considr). Ces rsultats et le principe de superposition montrent que le fluxdu champ lectrique cr par l'ensemble des charges de l'espace est = Q
0.
Proprits de symtrie du champ lectrostatique
On considre une distribution de charges D crant un champ lectrostatique E .On a alors les proprits suivantes :
Si la distribution D admet un plan de symtrie, le champ E est en tout pointde ce plan colinaire ce plan. Ceci se dmontre avec la formule donnant lechamp lectrostatique partir du champ de charge volumique (r ), en grou-pant les lments de volume deux par deux (par symtrie par rapport au plan,cf. Fig. 18.1).
Si la distribution D admet un plan d'antisymtrie, le champ E est en tout pointde ce plan orthogonal ce plan. Cette formule se montre de la mme manire.
lectrostatique18
50
1dV1
2dV2
dE2
dE1
dE
plan de symetrie de D
1 = 2dV1 = dV2
Figure 18.1 Proprit de symtrie du champ lectrostatique.
-
1. Analogies
Constantes, grandeurs
On peut faire les analogie suivantes, en partant de l'analogie entre les interactionslectrostatique et gravitationnelle :
D
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opie
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aut
oris
e es
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.
51
lec
tro
mag
nt
ism
e
19Analogies avec l'interactiongravitationnelle
Cas electrostatique Cas gravitationnelcharge q masse m
1
40G
Champ et potentiel engendrs
Pour une charge q situe l'origine du repre et son analogue, on a :
E (r ) = 1
40
q
r2ur A = G mr2
ur
V (r ) = 140
q
r(r ) = G m
r
Thorme de Gauss
Avec les notations utilises plus haut, en notant le flux du champ considr etM la masse analogue de la charge Q,
= Q0
= 4GM
2. Aspect nergtique
nergie potentielle d'une charge dans un champ lectrostatiqueextrieur
Calculons le travail de la force lectrostatique pour un dplacement lmentaire
d'une charge q : W = F dl = qE dl , et en considrant que le champlectrostatique drive du potentiel V, on obtient :
-
W = qdV = d(qV ).
Ceci conduit introduire l'nergie lectrostatique de la charge q situe en r :E = qV (r ) . nergie potentielle d'un systme de deux charges
Cette nergie correspond simplement l'nergie d'une charge dans le potentiel
cr par l'autre : E = 140
q1q2M1 M2
o les charges q1 et q2 sont places respecti-
vement en M1 et M2.
nergie lectrostatique volumique
On se contente ici d'introduire cette nergie volumique due la prsence d'un
champ lectrique E : e = 0 E2
2. L'expression de cette nergie sera justifie
plus tard.
Analogies avec linteraction gravitationnelle19
52
-
1. Dfinition et champ cr
Dfinition
On appelle diple lectrostatique l'ensemble des deux charges ponctuelles{(P,q),(N ,q)} .Moment dipolaire
Un diple lectrostatique est caractris par son moment dipolairep = qN P = qO P + (q)O N .Potentiel cr par le diple
En sommant les potentiels des charges ponctuelles et se plaant grande distancedu diple (a = N P r ), on dtermine le potentiel cr par le diple :
V (r ) = 140
p urr2
= 140
p rr3
.
Champ lectrostatique cr
En utilisant l'expression du potentiel et la relation E = grad V en coordonespolaires avec r = O M et = (p ,r ) :
E (r ) = 140
2p cos r3
ur + 140p sin
r3u .
On peut montrer cette autre expression du champ en calculant le gradient direc-
tement (sans passer en coordonnes) : E (r ) = 140
(pr3
3p r
r5r
).
Diagramme lectrique
On dtermine l'aide des expressions du potentiel et du champ lectrique lesquations : d'une ligne quipotentielle : r2 = cos , d'une ligne de champ : r = sin2 .D
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.
53
lec
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e
20Le diple lectrostatique
-
2. Aspect nergtique
nergie propre
L'nergie propre est l'nergie potentielle d'interaction des charges du diple :
Ep = q2
40a.
Diple dans un champ extrieur uniforme
On a l'expression de l'action rsultante sur le diple : F = 0 et le momentexerc sur le diple est m = p E .L'nergie potentielle du diple plong dans E est alors
EP = p E .
3. Notion de diple en chimie
La notion de diple s'tend des distributions diverses de charges, ce qui permetson application en chimie :
Le diple lectrostatique20
54
Ensemble de chargesponctuelles
Distributions continues
Q = i qi Q = V(P )dV
Si Q = 0, V (M) =Q
40r(pour a r)
Si Q = 0,on denit p :
p = i qiOAi p =
V(P )
OPdV
si p = 0 , V (M) = 140
p . rr3
(pour a r)
-
1. Milieux conducteurs
Mouvement d'excitation thermique
Dans un milieux conducteur au repos, les porteurs de charges mobiles ont un
mouvement d'excitation thermique au sein du mtal, tel que vth = 0 (cettemoyenne est aussi une moyenne sur l'ensemble des porteurs mobiles de charges).
Courant, vecteur densit de courant
Quand le mouvement d'ensemble ve = v des porteurs de charge devient nonnul, il y a apparition d'un courant. On dfinit le vecteur densit de courant en un
point par j = i ivi o les diffrents types de porteurs de charges (lectrons,cations...) sont indics par i , vi tant la vitesse moyenne des porteurs de chargei et i tant la charge volumique de ces porteurs de charge.
On montre que la charge dq traversant l'lment de surface orient dS pendantl'intervalle de temps dt est dq = j dSdt.
Courant travers une surface SOn dfinit le courant travers une surface S oriente par
I =S
j dS
2. Loi d'Ohm
Modle de mtal
On modlise le comportement d'un mtal de la manire suivante : seuls les lectrons sont mobiles, ils sont rpartis uniformment (de densit ne ) ; on nglige l'action du poids sur les lectrons, on nglige aussi toute interaction
entre les lectrons. On note q = e leur charge.Dun
od
La
phot
ocop
ie n
on a
utor
ise
est u
n d
lit.
55
lec
tro
mag
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ism
e
21Milieux conducteurs
-
Dduction de la loi d'Ohm
On se place dans le cadre de l'lectrostatique : le champ E est constant, de plus,on suppose qu'il varie peu sur une distance de l'ordre du libre parcours moyen deslectrons. En appliquant le principe fondamental de la dynamique un lectron, c'est--dire
mdvdt
= qE , on obtient : v = qEm
(t ti ) + v0i , o ti est la date de la der-nire collision et v0i la vitesse de l'lectron juste aprs la collision (que l'on sup-posera alatoire ici).En se plaant t fix et en effectuant une moyenne sur l'ensemble des lectrons,
on obtient v = qEm
, o = t ti est la dure caractristique du libre par-cours dans le mtal.
Alors il suffit d'crire la dfinition de j :j = neqv = neq
2
m
E .
En posant = neq2
m, on a la loi d'Ohm dans un mtal : j = E .
Puissance de la force exerce sur les porteurs
En crivant la puissance de la force exerce par E sur chaque lectron, on trouveque la puissance fournie aux porteurs de charge par unit de volume est :d PdV
= j E .Cette puissance est dissipe par effet Joule.Pour un conducteur ohmique, cette puissance vaut P = RI 2 o R est la rsistancedu conducteur ohmique, dfinie par le rapport de la diffrence de potentiel surl'intensit qui le traverse.
Cas d'un lectrolyte
Pour un type d'ions i, on a la mme relation que prcdemment pour leur vitesse
d'ensemble (note vi ) : vi = qiimi
E .
Milieux conducteurs21
56
-
En introduisant leur mobilit i =qiimi
, on a vi = iiE avec i {1,1}selon le signe de la charge de l'ion.
Alors j =
ii
vi =
i(cii ziNA|e|)(ii )E = E , o =
i ci zii
avec i = iF = iNA|e| la conductivit molaire ionique relative l'ion i (ciest la concentration et zi le nombre de charge de l'ion i).Entre deux lectrodes de surface S spares de l, la conductance est alors
G = 1/R = Sl .
D
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.Milieux conducteurs 21
57
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-
58
22 Magntostatique
1. Le champ magntostatique
Existence du champ magntostatique
Les observations ont conduit introduire le champ magntostatique, engendr pardes courants et vrifiant certaines proprits dcrites plus bas. Ce champ est,
comme le champ lectrostatique, un champ vectoriel ; il est not B .
Loi de Biot et Savart
Cette loi donne le champ magntostatique partir de la distribution de courantsdans l'espace.
Dans le cas d'une distribution continue de courants, donne par le champ j (r ),la loi de Biot et Savart donne :
B (M) = 04
PE
j dV u P MP M2
o 0 = 4 107 USI est la permabilit du vide.Cette expression est applicable aux distributions surfaciques et liniques de cou-rants (champ cr par une spire parcourue par un courant par exemple).
2. Proprits du champ magntostatique
Invariance du champ magntostatique
Comme le champ lectrostatique, le champ magntostatique possde toutes lesproprits d'invariance de la distribution de courants qui l'engendre.
Proprits de symtrie
On considre une distribution de courants D engendrant un champ magntosta-tique B . La loi de Biot et Savart permet de montrer les proprits suivantes(comme pour le champ lectrique) :
-
si la distribution D admet un plan de symtrie, le champ B est en tout pointde ce plan orthogonal ce plan ;
si la distribution D admet un plan d'antisymtrie, le champ B est en tout pointde ce plan colinaire ce plan.
Principe de superposition
Ce principe est le mme que pour le champ lectrostatique : pour avoir le champcr par la somme de deux distributions de courants, il suffit de sommer lechamp cr par chaque distribution.
Thorme d'Ampre
On considre un contour ferm et orient C . D'aprs le thorme d'Ampre,C
B dl = 0 Ienlace
o Ienlace est l'intensit du courant traversant une surface reposant sur le contourC et oriente d'aprs l'orientation de C avec la rgle du tire-bouchon .Contrairement au champ lectrostatique, le champ magntostatique n'est pas circulation conservative : il n'existe donc pas de potentiel scalaire pour le champmagntostatique.
Flux du champ magntostatique
Pour une surface ferme et oriente S , on a :S
B dS = 0
On dit que le champ magntostatique est flux conservatif.
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.Magntostatique 22
59
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-
1. Force de Lorentz, aspect nergtique
Force de Lorentz
On considre une particule de charge q et de vitesse v , place dans un champlectromagntique (E ,B ) . Alors, la force exerce sur cette particule, dite forcede Lorentz, s'exprime FL = q(E + v B ) , les valeurs des champs sont pri-ses l'endroit o est la particule.Cette expression vient d'observations exprimentales.
Puissance de la force de Lorentz
La puissance dveloppe par la force de Lorentz est, d'aprs l'expression de cette
force, PL = qv E .Conservation de l'nergie mcanique
On introduit l'nergie mcanique de la particule comme somme de l'nergie cin-
tique et de l'nergie potentielle lectrostatique : E = 12
mv2 + qV o m est lamasse de la particule et V le potentiel lectrostatique. La puissance de l'actionnon-conservative du champ magntique est nulle, donc, d'aprs ce qui a t mon-tr en mcanique du point, l'nergie mcanique se conserve.
2. Mouvement dans un champ magntique uniforme permanent
Gyropulsation
En gardant les mmes notations, on introduit la gyropulsation : = qm
B .
60
23 Mouvement dune particule dans un champlectromagntique
-
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.Mouvement dune particule dans un champ lectromagntique 23
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Cas de vitesse initiale colinaire au champ
En notant v0 la vitesse initiale, dans le cas o elle est colinaire au champ B ,alors la vitesse est constante et gale la vitesse initiale.
Cas de vitesse initiale orthogonale au champ
On note respectivement les position, vitesse, vitesse initiale et champ dans unrepre orthonorm :
r =( x
yz
),v =
( vxvyvz
),v0 =
( v000
),B =
( 00B
).
Les quations vrifies par les composantes d'aprs le principe fondamental de ladynamique sont alors :
mdvxdt
= q Bvym
dvydt
= q Bvxm
dvzdt
= 0
donc
d2vxdt2
= 2vxd2vydt2
= 2vydvzdt
= 0
avec = q Bm
On obtient finalement les solutions suivantes :
r (t) =
v0
sin(t)
v0
(cos(t) 1)
0
.
Vitesse initiale quelconque
On se ramne une superposition des deux tats prcdents, on obtient alors unetrajectoire hlicodale.
-
1. Postulats de l'lectromagntisme
Courant
On dfinit le vecteur densit de courant j = i ivi et l'intensit du courant travers une surface S oriente :
I =S
j dS
Conservation de la charge (quation locale)
Un bilan de charge sur le volume lmentaire lmentaire dV donne directement
divj + t
= 0 .
Force de Lorentz (postulat)
La force exerce sur une particule de charge q et de vitesse v dans un champlectromagntique (E ,B ) vaut F = q
(E + v B ) . quations de Maxwell (postulat)
Avec les notations usuelles, les champs lectrique E et magntique B sontdans le vide solutions des quations :
divE = 0
,
rot
E = Bt
,
divB = 0 ,
rot
B = 0j + 00 Et
.
Il s'agit respectivement des quations de Maxwell-Gauss, Maxwell-Faraday,Maxwell, Maxwell-Ampre.
62
24 quations de Maxwell
-
D
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.quations de Maxwell 24
63
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Forme intgrale des quations de Maxwell
Elles sont obtenues partir des quations locales en utilisant les thormes deStokes et d'Ostrogradski. On obtient ainsi le thorme de Gauss, la conservationdu flux magntique, la loi de Faraday et le thorme d'Ampre gnralis.
Potentiels
Des quations vrifies par les champs E et B , on dduit l'existence des poten-
tiels lectrique V et magntique A : B = rotA et E = grad V At
.
Jauge de Lorentz
On impose une condition supplmentaire sur les potentiels, appele jauge deLorentz : divA + 00 V
t= 0. En rgime permanent, cette condition devient la
jauge de Coulomb : divA = 0 ; seule la jauge de Coulomb est au programme.Avec la condition de jauge de Lorentz, on montre facilement que les potentielsvrifient les quations suivantes :
V 2V2t
= 0
A 2 A
2t= 0j
Potentiels retards
On vrifie (aprs de longs calculs) que les quations vrifies par les potentielsont pour solutions les potentiels retards :
V (M,t) = 140
PE
(P,t P M
c
)dV
P M
A (M,t) = 04
PE
j(
P,t P Mc
)dV
P M
o c = 1/00 est la vitesse de la lumire dans le vide. Cela traduit le faitqu'une charge place en P ne produit un effet en M qu'aprs P M/c : l'effet decette charge est retard (il en est de mme pour les courants). La propagation duchamp lectromagntique n'est pas instantane, elle se fait la vitesse de lalumire.
-
2. Application aux rgimes statiques ou quasi-permanents
Application l'lectrostatique
Thorme de Gauss : il se dduit de l'quation de Maxwell-Gauss avec le tho-
rme d'Ostrogradski :S
E dS = Qint0
.
Existence d'un potentiel lectrostatique : en rgime statique, rotE = 0 , doncil existe un potentiel scalaire V vrifiant E = grad V .
quation de Poisson : l'utilisation du potentiel lectrostatique dans la loi deMaxwell-Gauss donne V = /0 .
Loi de Coulomb pour une distributions de charges localise :
V = 140
V
rdV et E = 1
40
V
r2ur dV , ces solutions respectent toutes
les proprits attendues de symtrie, d'invariance et de conditions aux limites.
Application la magntostatique
Le flux de B est conservatif :S
B dS = 0 , par intgration de divB = 0 .
Thorme d'Ampre :C
B dl = 0 Ienlac , par intgration de la loi deMaxwell-Ampre avec le thorme de Stokes.
Le potentiel vecteur A est avec la condition de jauge et l'quation de Maxwell-Ampre solution de A = 0j . On reconnat ici l'quation de Poissonvectorielle, ses solutions sont donc connues, ce qui permet de retrouver la loi de
Biot et Savart en appliquant simplement B = rotA .
Approximation des rgimes quasi-permanents
Dans un mtal, quand la distance caractristique entre deux points du systme
tudi est faible devant la longueur d'onde des champs E et B , on obtient desquations simplifies :
dans un mtal de conductivit , on a j = E et donc
t= divj = divE =
0 : la charge volumique vrifie une qua-
quations de Maxwell24
64
-
tion diffrentielle qui montre que, si elle est non nulle, elle s'annule en un temps
caractristique = 0
trs court. On obtient divj = 0 ;
on montre aussi que dans l'quation de Maxwell-Ampre, le courant de dpla-
cement 0Et
est ngligeable devant le courant j pour des temps caractris-tiques d'volution usuels.
Finalement, il reste :
divj = 0 ,divE = /0 ,rot
E = Bt
,
divB = 0 ,rot
B = 0j .
3. nergie lectromagntique
Puissance fournie par un champ lectromagntique des porteursde charge
En utilisant la dfinition de la puissance vue en mcanique et l'expression de laforce de Lorentz, la puissance volumique fournie aux porteurs de charge vaut
P = j E .Vecteur de Poynting
Ce vecteur est dfini par =E B
0, il reprsente un courant d'nergie
(d'aprs l'quation locale de Poynting).
quation locale de Poynting, nergie lectromagntique volumique
Le calcul de la divergence du vecteur de Poynting avec les quations de Maxwell
et la proprit div(A B ) = B rotA A rotB donne div =
t
(B2
20+ 0 E
2
2
) j E .
D
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.quations de Maxwell 24
65
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-
En introduisant l'nergie lectromagntique volumique (ou densit d'nergielectromagntique) uem = B
2
20+ 0 E
2
2, cette quation prend la forme d'un
bilan nergtique : div + uemt
= P .On remarque dans l'expression de l'nergie lectromagntique volumique uneconposante lectrique et une composante magntique. On a donc dmontr l'ex-pression de l'nergie lectrique volumique admise dans lectrostatique.
4. Relations de passage
Champ lectrique
En utilisant les quations de Maxwell dans des cas limites, on trouve qu'au pas-
sage d'une surface charge (), le champ lectrique vrifie : E2 E1 = 0
n12
o n12 est le vecteur unitaire normal l'interface allant du milieu 1 vers lemilieu 2.
Champ magntique
De mme, au passage d'une nappe de courant (js ), le champ magntique vrifie B2 B1 = 0js n12 .
quations de Maxwell24
66
-
1. Induction lectromagntique pour un circuit mobiledans un champ permanent
Changement de rfrentiel du champ lectromagntique
D'aprs l'galit des forces de Lorentz dans les diffrents rfrentiels, on dduit
l'expression du champ lectromagntique (E ,B ) dans R en fonction du champ(Es ,Bs ) dans Rs et de la vitesse relative v de R par rapport Rs au point
considr :B = BsE = Es + v Bs
Ces relations dcoulent directement de principes : expression de la force deLaplace et de la composition galilenne des vitesses, galit des forces dans lesdiffrents rfrentiels. Or elles sont clairement fausses : le champ magntiquedans un repre o un lectron est au repos est nul, alors qu'il est non nul dans unrepre o cet lectron est en mouvement ! On peut en dduire directement qu'undes trois principes noncs est faux : c'est celui de l'addition galilenne des vites-ses, remis en cause juste titre par la thorie de la relativit. Toutefois, si la vitesse v est petite devant la vitesse de la lumire c, ces relationsconstituent une bonne approximation.
Champ induit dans un circuit par son dplacement
La composante du champ dans le circuit qui est induite par son dplacement,
appele aussi champ lectromoteur, vaut Em = v B . Force lectromotrice induite
La force lectromotrice dans un circuit filiforme rigide et mobile dans Rs : obte-nue en intgrant l'quation prcdente :
eAB =
AB
(v B ) dl .Alors on a VA VB = RAB IAB eAB et pour tout le circuitRI = C(v B ) dl . D
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.
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25Induction lectromagntique
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Loi de Faraday
Expression de la force lectromotrice induite dans tout le circuit : e = ddt o
est le flux de B travers une surface oriente reposant sur le circuit.Cette expression se montre en interprtant le produit mixte dans l'expression de eABcomme produit scalaire du champ magntique avec une variation de surface .
Loi de Lenz
Les consquences des phnomnes d'induction s'opposent aux phnomnes quileur ont donn naissance.
Couplage lectromcanique parfait
Un bilan de puissance permet d'tudier qualitativement les phnomnes de modration : la puissance des forces de Lorentz (dues au courant induit i)exerces sur le circuit vaut P = ei .
2. Induction lectromagntique pour un circuit fixe dans un champ variable
Champ lectromoteur
Les quations de Maxwell donnent : E = grad V At
, le champ lectro-
moteur est alors Em = At
.
On a les mmes relations que pour le premier type d'induction, avec la forcelectromotrice induite valant :
eAB =
AB
At
dl .
Induction lectromagntique25
68
-
3. Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes,ferms et immobiles
Inductance propre d'un circuit filiforme ferm
Le flux propre p , c'est--dire le flux du champ cr par le circuit travers le cir-cuit, s'exprime en fonction de l'inductance propre L du circuit : p = Li . Coefficient de mutuelle inductance
Le flux 12 du champ magntique cr par le circuit 1 travers le circuit 2 estproportionnel l'intensit i1, on note M12 le coefficient de proportionnalit :12 = M12i1 . De mme, on introduit le coefficient M21.On montre, en gnralisant un raisonnement sur des circuits lmentaires partirde la loi de Biot et Savart (la dmonstration n'est pas au programme), queM12 = M21. On note ce coefficient M : c'est le coefficient de mutuelle induc-tance entre les deux circuits. On a les relations :
{12 = Mi121 = Mi2
4. nergie magntique
Cas de deux circuits fixes
La puissance lectrique reue par un ensemble de deux circuits fixes, vaut avecles notations usuelles,
P = u1i1 + u2i2=
(L1
di1dt
+ M di2dt
)i1 +
(L2
di2dt
+ M di1dt
)i2,
d'aprs les expressions des champs lectromoteurs induits. On a donc
P = ddt
(12
L1i21 +12
L2i22 + Mi1i2)
, ce qui conduit introduire l'nergie
magntique stocke par un ensemble de deux circuits fixes par les phnomnesd'autoinductance et de mutuelle inductance :
Um = 12 L1i21 +
12
L2i22 + Mi1i2 .
Cette nergie est rcuprable, en rgime libre notamment.Le calcul de la puissance ne tient compte que des tensions dues aux phnomnesd'inductance, l'nergie est donc seulement l'nergie stocke par inductance.
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Induction lectromagntique 25
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70
26 Diple magntique
Moment magntique d'un circuit filiforme
On dfinit le moment magntique engendr d'un circuit filiforme orient C par-couru par un courant i par
M = iS o S est le vecteur surface du circuitorient :
S =S
n (P) dS ,
o n(P) est le vecteur normal la surface au point P.Moment magntique dans le cas gnral
On dfinit le moment magntique d'une distribution de courants D par :M = 1
2
D
r j dV
Comme pour une surface dlimite par un contour orient S = 12
C
r dr ,on retrouve l'expression du moment magntique d'un circuit filiforme.
Diple magntique
On appelle diple magntique toute distribution de courants de moment magn-tique non nul dont les dimensions sont petites devant la distance laquelle on tu-die le champ magntique.On remarque que cette dfinition est analogue celle du diple lectrostatique.
Modlisation d'un diple magntique
Tout diple magntique peut tre reprsent par une spire circulaire de petitedimension parcourue par un courant et de mme moment magntique.
-
Champ magntique cr par un diple magntique
Par analogie avec le diple lectrostatique (cf. Diple lectrostatique), le poten-tiel cr par le diple est :
A = 04
M urr2
.
De mme, par analogie, le champ magntique cr est :
B = 04
2M cos r3
ur + 04M sin
r3u .
Action d'un champ magntique uniforme sur un diple magntique
De mme, par analogie, F = 0 et m = M B . nergie potentielle d'interaction d'un diple avec un champ magn-tique
EP = M B .
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.Diple magntique 26
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Partie 4
Ondes
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1. Dfinitions, proprits
quation d'onde
On considre une grandeur u(x,t) dpendant d'une coordonne d'espace x et dutemps t. Cette grandeur vrifie l'quation d'onde si elle est solution d'une qua-
tion de la forme 2u
t2= c2
2u
x2, o c est une constante. Cette quation est l'qua-
tion de d'Alembert unidimensionnelle.
Linarit, solution gnrale
L'quation de d'Alembert est linaire, l'ensemble de ses solutions a donc unestructure d'espace vectoriel.En effectuant dans l'quation de d'Alembert le changement de variables
(a = x ct, b = x + ct), l'quation devient 2u
ab= 0. Ceci nous amne sup-
poser que les solutions de cette quation sont de la formeu(x,t) = g(x ct) + h(x + ct) , g et h tant des fonctions continues quel-conques. Les fonctions de cette forme sont bien solutions