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Pensées (mathématiques) de Tao µ

Pensées (mathématiques) de TaoJacques Bair

Mots clés : Bonnes mathématiques, étapes dans l’apprentissage des mathématiques,rigueur, intuition, métacognition, résolution de problèmes.

1. Une biographie succincte

Terence (Chi-Shen) Tao est né le 17 juillet 1975en Australie, de parents intellectuels : son père estmédecin (pédiatre), et sa mère est diplômée en ma-thématiques et en physique. Il apprend à lire età écrire dès l’âge de deux ans et fait rapidementpreuve de talents extraordinaires pour les études,et en particulier pour les mathématiques. À six ans,il construit ses premiers programmes informatiques(en langage BASIC) en faisant notamment réfé-rence à Fibonacci. Il publie en 1983 son premierarticle [13] où il fournit un programme (toujours enBASIC) pour trouver les nombres parfaits (1), enexploitant un résulat d’Euclide affirmant qu’unnombre de la forme 2p−1 (2p − 1) est parfait si lenombre 2p−1 est premier. À l’âge de 8 ans, il subitavec succès différents tests montrant qu’il possèdedéjà (et au moins) un bagage mathématique ha-bituellement atteint à l’issue d’études secondaires,tels le SAT (2) : par exemple, il est alors capablede dériver des fonctions et d’appliquer le conceptde dérivée pour tracer la représentation graphiquecorrespondante, il sait calculer des aires à l’aided’intégrales, il peut reconnaître une structure degroupe ; on peut trouver différentes questions quilui ont été posées à cette époque, ainsi que ses ré-ponses, dans l’article [4]. Deux ans plus tard, il estle plus jeune participant aux Olympiades interna-tionales et y gagne une médaille de bronze ; les deuxannées suivantes, il décroche une médaille d’argent,puis une médaille d’or, ce qui est évidemment ex-ceptionnel pour un jeune de 13 ans. Il n’a que 17ans quand il termine son Master en Mathématiquesà l’université Flinders en Australie. Trois ans plustard, il reçoit le diplôme de docteur à l’universitéaméricaine de Princeton. A l’âge de 24 ans, il est

nommé full professor à l’université de Californie àLos Angeles (UCLA) ; il y enseigne encore aujour-d’hui.

Il a été récompensé par de multiples prix interna-tionaux, dont la médaille Fields (en 2006), ce quiest assurément la récompense la plus prestigieusepour un jeune mathématicien. En 2012, il a encorereçu le célèbre prix Crafoord, conjointement avec lebelge Jean Bourgain, pour « leur travail brillantet novateur dans les domaines suivants : analyseharmonique, équations aux dérivées partielles, théo-rie ergodique, théorie des nombres, combinatoire,analyse fonctionnelle et informatique théorique. »Ses travaux mathématiques sont nombreux (3), pro-fonds, originaux et de première importance ; le lec-teur intéressé par la découverte de « plusieurs tra-vaux de T. Tao [qui] comprennent des parties desmathématiques que tout le monde comprend (4) »peut consulter la référence [5].

Terence Tao est donc un « surdoué » des mathé-matiques. Il est encore présenté comme étant « unmathématicien sympathique, modeste, aimant tra-vailler avec ses collègues. Il s’intéresse à l’enseigne-ment et à la diffusion des mathématiques vers tousles publics, il est curieux et poursuit des travaux si-multanément dans plusieurs domaines de recherche[. . . ] T. Tao est considéré par de nombreux cher-cheurs comme le plus grand génie vivant des ma-thématiques . » ([5], p. 150).

Visiblement, il semble apprécier les moyens de com-munication modernes. Il est en effet aisé d’obtenir,sur internet, des photos de lui ou des vidéos. Onpeut trouver, sur son site de l’UCLA, ses articles(même en prépublications), ses livres, son blog in-titulé What’s new, dont il sera question ultérieure-ment.

(1) Un nombre entier est dit parfait lorsqu’il est égal à la somme de tous ses facteurs, le 1 étant inclus dans la liste desdiviseurs mais le nombre lui-même en étant exclu ; par exemple, 6 est un nombre parfait car 6 = 1 + 2 + 3.(2) Le Scholastic Aptitude Test est une épreuve connue, un peu semblable au « baccalauréat » français.(3) En 2012, il avait déjà rédigé plus de 150 articles scientifiques de haut vol et 6 livres ([5], p. 151).(4) Nombre de ses résultats ne sont réellement accessibles qu’à de rares experts internationaux.

Losanges • N� 23 • 2013 • 33 – 41 33

Pensées (mathématiques) de Taoµ

2. Quand des mathématiques sont-elles bonnes ?

Il est assez rare qu’un mathématicien de tout pre-mier plan, dont la carrière est loin d’être terminée,prenne le temps d’écrire, dans une revue spécialiséeet réputée, ses idées sur la nature profonde des ma-thématiques. C’est pourtant ce qu’a réalisé T. Taoen publiant un article sur le sujet [14].

Voici un aperçu de ce travail ; il se veut fidèle à l’ori-ginal pour ne pas dénaturer les idées de l’auteur ; ilest donc essentiellement une traduction (libre) d’ex-traits de l’article initial.

Au début de sa note, T. Tao constate l’existencede multiples types différents de mathématiques etdresse une liste d’une vingtaine d’entrées pouvantévoquer de bonnes mathématiques (en fait, il re-cense 22 items, dont le dernier consiste en les mots« etc., etc. » indiquant clairement qu’il est possiblede trouver bien d’autres cas). Voici 10 de ces en-trées, les termes utilisés étant ceux de l’auteur lui-même. Cette sélection est subjective : elle est baséesur des goûts personnels ; elle ne reprend donc pasforcément les points les plus importants (d’ailleurs,T. Tao écrit lui-même qu’il n’existe aucun ordreentre ses critères) ; par ailleurs, elle ne reflète qu’unepart (pratiquement la moitié) des arguments citésdans le texte original.

Selon T. Tao, de bonnes mathématiques peuventse référer à

1. une bonne résolution de problème mathéma-tique (par exemple, une découverte capitale relativeà un problème mathématique important) ;

2. une bonne théorie mathématique (par exemple,une structure conceptuelle ou un choix de nota-tions qui systématiquement unifie et généralise unensemble existant de résultats) ;

3. une bonne application mathématique (parexemple, concernant d’importants problèmes enphysique, en science de l’ingénieur, en informatique,en statistique, etc., ou d’un champ des mathéma-tiques à un autre) ;

4. une bonne pédagogie mathématique (parexemple, une lecture ou un style d’écriture qui per-

met à d’autres d’apprendre et de faire des mathé-matiques plus efficacement, ou des contributions àl’enseignement) ;

5. une bonne vision mathématique (par exemple,un programme à long terme et productif ou un en-semble de conjectures) ;

6. des mathématiques rigoureuses (avec des dé-tails correctement et soigneusement donnés entiè-rement) ;

7. des mathématiques belles (par exemple, lesidentités extraordinaires de Ramanujan ; des ré-sultats qui sont aisés (et jolis) à énoncer mais pas àprouver) ;

8. des mathématiques élégantes (par exemple, leconcept de « preuves issues du Livre » de PaulErdös (5) atteignant un résultat difficile avec unminimum d’effort) ;

9. des mathématiques profondes (par exemple, unrésultat qui est manifestement non trivial, notam-ment en saisissant un phénomène subtil au-delà dela portée d’outils plus élémentaires) ;

10. des mathématiques intuitives (par exemple, unargument qui est naturel et aisément visualisable).

T. Tao, qui insiste sur le caractère non exhaus-tif de sa liste (ici réduite de moitié, rappelons-le ànouveau), signale que celle-ci met en évidence ladimension élevée du concept de « bonne qualité »en mathématiques. Selon lui, ceci est dû au faitque les mathématiques elles-mêmes sont complexeset de grande dimension, et qu’elles progressent demanière inattendue et adaptative. Chacune des fa-cettes énoncées représente une voie différente quipermet à la collectivité d’améliorer la compréhen-sion et l’usage du sujet. L’auteur estime égalementqu’il n’est pas possible de trouver un accord univer-sel sur les poids qui peuvent être attribués aux dif-férentes qualités recensées. Cette impossibilité peutêtre expliquée par des considérations tactiques ouculturelles ; elle reflète également la diversité dansl’aptitude mathématique. Il pense encore que lanature variée et multifacette de bonnes mathéma-tiques est globalement très salutaire pour les ma-thématiques, dans le sens où cela nous permet depoursuivre de nombreuses approches différentes du

(5) Paul Erdös (1913 - 1996) fut un mathématicien hongrois prolifique, auteur de plus de 1500 articles scientifiques, dontde nombreux en collaboration avec plus de 450 auteurs. Il disait volontiers que tout mathématicien, croyant ou non, devraitadmettre que Dieu possède un grimoire, le Grand Livre, dans lequel sont rassemblées les plus élégantes démonstrations desthéorèmes mathématiques. Il se pencha sur de multiples problèmes mathématiques ; il émit encore diverses conjectures, dontcelle appelée de Erdös - Turan.

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sujet, et d’exploiter différents types de talent ma-thématique, dans la direction de notre objectif com-mun d’un plus grand progrès et d’une meilleurecompréhension des mathématiques.

Après avoir étudié un cas particulier (dans une par-tie plus technique), à savoir le théorème de Szeme-rédi (6), T. Tao conclut que la bonne qualité desmathématiques ne peut pas être simplement me-surée par l’une ou l’autre des qualités énumérées,qu’il qualifie d’ailleurs de locales, mais qu’elle dé-pend aussi de la question plus globale de savoir com-ment ceci va s’intégrer dans les autres facettes desbonnes mathématiques, chacune d’entre elles repo-sant sur les réussites antérieures ou encourageant ledéveloppement de percées futures.

Nous invitons le lecteur à lire en entier l’article ori-ginal [14], passionnant et plutôt abordable, dont laprésente note ne peut donner qu’un aperçu forcé-ment incomplet.

3. Les étapes dans l’apprentissagedes mathématiques

Sur son blog What’s new, T.Tao publie réguliè-rement des billets (appelés des posts en anglais).Ceux-ci traitent des mathématiques sur lesquellesl’auteur travaille (7), mais ils abordent parfois desquestions générales sur l’apprentissage des mathé-matiques : dans ce cas, ces billets sont toujoursprofonds et d’une lecture (en langue anglaise) aiséedans la mesure où l’auteur se réfère en toute simpli-cité à ses expérience et ses réflexions personnelles ;il ne fait alors pas appel à des théories utilisant unjargon particulier.

Cette section est consacrée au billet intitulé (8) « Ily a davantage à propos des mathématiques que dela rigueur et des preuves », ainsi qu’à certaines réac-tions ou questions émanant d’internautes qui sontaussi bien des étudiants que des professeurs et aux-quels Tao prend souvent la peine de répondre.

Ce courrier est essentiellement consacré à l’édu-cation mathématique et s’inscrit, de façon impli-

cite, dans la lignée des travaux de Piaget pourqui l’intelligence d’un individu se développe par« stades » allant du peu formel vers le plus for-mel. Il commence, comme tous les autres billetsd’ailleurs, par une citation non mathématique pla-cée en encadré ; celle-ci est originale, due à DouglasAdams : « l’histoire de toute civilisation majeure dela galaxie a tendance à passer par trois étapes dis-tinctes et reconnaissables, à savoir celles de la Sur-vie, de la Demande de renseignements et de la So-phistication, autrement connues comme les étapesdu Comment, du Pourquoi et du Où. Par exemple,la première phase est caractérisée par la question« Comment pouvons-nous manger ? », la deuxièmepar la question « Pourquoi mangeons-nous ? » et latroisième par la question « Où allons-nous déjeu-ner ? » » (dans The Hitchhiker’s Guide to the Ga-laxy).

Cette pensée s’applique à la majorité des activi-tés humaines où l’on retrouve, schématiquement, lestrois étapes rencontrées respectivement par un dé-butant qui doit trouver sa voie, par une personneplus expérimentée qui s’efforce de comprendre com-ment elle pourrait mieux se comporter, et enfin parun expert qui cherche à être le plus performant pos-sible. C’est en particulier vrai en ce qui concerne laformation mathématique qui comprend trois étapesqualifiées par T. Tao de, respectivement, « pré-rigoureuse, rigoureuse, post-rigoureuse ». Lors deces trois phases, l’enseignement y est différent etl’accent principalement porté sur des aspects diffé-rents de la discipline.

1. Dans l’étape pré-rigoureuse, les mathématiquessont abordées de manière assez informelle et intui-tive, avec de nombreux exemples ; ainsi, le calculdifférentiel et intégral est présenté à l’aide de pentesou de taux de variation et d’aires. Les calculs et lesprocédures sont souvent privilégiés par rapport à lathéorie. Cette époque dure généralement pour lesétudiants jusqu’aux premières années du supérieur.

2. En phase rigoureuse, on fait des mathématiques« proprement » ; on a besoin de travailler et de pen-ser avec plus de précision et de manière plus for-

(6) La conjecture de Erdös - Turan, évoquée ci-dessus, fut démontrée en 1975 par le hongrois Endre Szemerédi (né en1940) et porte désormais son nom : son énoncé affirme en substance que tout sous-ensemble de nombres entiers de densitépositive doit nécessairement contenir des progressions arithmétiques de longueur arbitrairement grande. En récompense pourses travaux, Szemerédi a notamment reçu le prestigieux prix Abel en 2012.(7) Le niveau est souvent élevé, de sorte que les textes sont difficilement compréhensibles pour des étudiants du secondaire,et même du supérieur . . . ainsi que pour leurs professeurs.(8) Tous les textes originaux sont indiqués entre guillemets, mais ont été traduits en français. Le lecteur intéressé par le sujetest invité à consulter la version originale, qui est quelquefois plus nuancée que sa traduction.

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melle ; notamment, le concept de limite n’est plusintroduit intuitivement, mais est présenté avec ladéfinition en ε−η due àWeiertsrass. On y insisteprincipalement sur la théorie ; on doit être capablede manipuler aisément des objets mathématiquesabstraits, sans attacher trop d’attention à la signi-fication réelle de ces objets. Cela occupe les der-nières années de Bachelier et les premières annéesde Master à l’Université.

3. L’étape post-rigoureuse commence générale-ment en fin de Master à l’université et n’a pas réel-

lement de fin. Ayant bien assimilé les fondationsrigoureuses de la question étudiée, on est désor-mais apte à revisiter et peaufiner l’intuition pré-rigoureuse, mais cette fois avec l’intuition conso-lidée par la théorie rigoureuse. On doit être ca-pable de convertir des raisonnements heuristiques,par exemple en utilisant des infinitésimaux avec desarguments rigoureux. L’accent est alors principa-lement porté sur les applications et les problèmesinédits à résoudre.

Un tableau récapitulatif résume ce qui précède :

Étape Maths enseignées de manière Accent mis sur Quand ?Pré-rigoureuse informelle, intuitive les calculs transition secondaire-universitéRigoureuse formelle la théorie début de l’université

Post-rigoureuse rigoureuse et intuitive les applications fin de l’université et après

Comme il est signalé sur le blog « M-Phi » (abré-viation de Mathematical Philosophy), les idées deT. Tao peuvent être mises en parallèle avec destravaux de philosophes (tels Hegel) et de péda-gogues (comme Sfard, Tall) qui faisaient appel àtrois étapes dans les théories qu’ils exposaient.

En effet, la présentation du mathématicien fait pen-ser à la dialectique hégélienne : celle-ci se déve-loppe par « triade », à savoir trois stades appelésrespectivement thèse, antithèse et dépassement (ousynthèse), et est un « mode de raisonnement quiconsiste à analyser la réalité en mettant en évidenceles contradictions de celle-ci et à chercher à les dé-passer » (Le Petit Larousse illustré, 1989, p. 322).Chacune des trois étapes de T. Tao représente unesorte de synthèse de l’étape précédente. L’étape pré-rigoureuse doit permettre à l’apprenant de se fami-liariser avec l’outil mathématique étudié et de sel’approprier ; à cet effet, il convient de faire appel àde l’intuition et à du « concret », pour que les cal-culs effectués aient du sens. L’étape rigoureuse doits’appuyer sur une certaine aisance dans la manipu-lation de procédures et veut asseoir la matière grâceà une théorie indiscutable ; la rigueur a pour objec-tif « non pas de détruire toute l’intuition, mais biende détruire la mauvaise intuition tout en clarifiantet favorisant la bonne intuition ». Ainsi, comme lefait remarquer Catarina Duthil Novaes, le for-malisme et la rigueur sont indispensables en ma-thématiques, car ils jouent le rôle d’un d’« écha-faudage cognitif : [c’est un] dispositif externe quiaméliore la connaissance cognitive du sujet, en luioffrant en particulier un moyen de corriger d’éven-

tuelles erreurs » ([6]) ; en d’autres termes, toujoursselon la même auteure, l’intuition fait office de pro-posant qui a un aspect créatif, tandis que la rigueurest un opposant ayant un côté correctif pour rendresûres les propositions trouvées par intuition. Il fautdonc pouvoir combiner un formalisme rigoureux etune bonne intuition pour être capable d’aborderavec fruit la troisième étape post-rigoureuse ; alors,les objets mathématiques sont devenus des procepts([11]), en ce sens qu’ils peuvent être utilisés commeprocédures ou comme concepts et sont dès lors sus-ceptibles de jouer un double rôle d’outil et d’objet ;ceci permet alors de résoudre des problèmes com-plexes et de découvrir de nouveaux résultats.

La théorie des trois étapes de la formation mathé-matique rejoint également un peu celle des troismondes mathématiques de D. Tall ; ceux-ci serontnotés dans la suite de M1 à M3 et appelés commesuit, conformément à la terminologie utilisée dansla référence [12] (ou sur le site de cet auteur)

M1 : le concrétisé (conceptuel)M2 : le symbolique (proceptuel)M3 : le formel (axiomatique)

De fait, tout se passe, grosso modo et de manièreimagée, comme si les habitants de chacun de cestrois pays se trouvaient dans une des trois étapes en-visagées par T.Tao. Plus précisément, on peut pen-ser que le monde M1 est peuplé principalement pardes élèves se trouvant à l’étape pré-rigoureuse, M2

est essentiellement composé d’étudiants en phase ri-goureuse, tandis que pour vivre de façon épanouie

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et effectivement fructueuse dans M3, il faut proba-blement se situer à l’étape post-rigoureuse.

Cette vision de T. Tao sur l’évolution dans laformation mathématique est évidemment holis-tique (9) et est construite a posteriori, avec beau-coup de « hauteur ». Quand on examine la situationde manière moins macroscopique , c’est-à-dire plusindividuelle, il apparaît vite que deux personnesn’apprennent pas de la même manière : chaque indi-vidu doit s’approprier un certain nombre (d’ailleursvariable) de concepts. Or, l’acquisition de chacun deceux-ci se réalise selon « un parcours du procédu-ral au structural », en passant successivement parles trois stades dans la formation de tout conceptmathématique, à savoir les phases respectivementd’intériorisation, de condensation et de réification([3], [10]). Cette progression en trois stades est à re-commencer à chaque fois qu’est rencontré un nou-veau concept. En conséquence, quelqu’un(e) peutse trouver à des stades distincts pour deux conceptsdifférents ; c’est, par exemple, le cas lorsqu’une per-sonne maîtrise parfaitement certains concepts et setrouve alors au stade de réification pour ceux-ci,et rencontre de nouveaux concepts, auquel cas elleen est donc pour ces derniers au stade d’intério-risation. Bien entendu, plus la personne possèdede l’expérience, plus elle maîtrise un grand nombrede concepts et, le plus souvent, plus chaque étapede réification est atteinte aisément et rapidement ;mais il convient à chaque fois d’accomplir le par-cours complet. Ainsi, selon une pertinente formuledue à Guy Noël qui m’a fortement aidé pour ceparagraphe, on peut considérer l’explication de T.Tao comme étant un schéma global valable mais nedispensant pas de multiples petits schémas locaux.

Il est clair que T. Tao, en s’appuyant sur son expé-rience personnelle, envisage principalement l’édu-cation de mathématiciens de haut niveau. Mais,dans les commentaires qui ont suivi le billet, il en-visage également le cas de non mathématiciens. Ilconstate en effet que certains de ses collègues physi-ciens ou ingénieurs partent de l’étape pré-rigoureuseet arrivent au niveau de la post-rigoureuse, maisne transitent pas par la phase rigoureuse ; cettedernière est remplacée par l’étape qu’il qualified’heuristique : par exemple, au stade heuristique,on est apte à exploiter des infinitésimaux efficace-ment et avec précision, mais on n’est pas capable

de les transformer au sein d’un raisonnement ri-goureux. Quant à la question de savoir si ces deuxparcours, à savoir « pré-rigoureux → rigoureux →post-rigoureux » ou « pré-rigoureux → heuristique→ post-rigoureux », donnent finalement des résul-tats équivalents, le mathématicien répond implici-tement par cette comparaison : « les personnes quiapprennent (par exemple) l’anglais comme languenatale et le français comme second langage sontd’habitude reconnaissables de ceux qui apprennentces deux langues dans l’ordre inverse, même si ellesont acquis de l’aisance dans les deux langues. »

Bien entendu, il n’est pas donné à tout le monded’atteindre un niveau de post-rigueur comparableà celui de T. Tao . . . et c’est évidemment un eu-phémisme. Mais on peut penser que la formationmathématique de toute personne suit schématique-ment une évolution semblable à celle décrite ci-dessus, en s’arrêtant éventuellement à l’une desdeux premières étapes.

4. Quelques conseils pratiques

Le sous-titre du blog What’s new est le suivant :« mises à jour des papiers de recherche et d’exposés,discussions de problèmes ouverts, et autres sujetsrelatifs aux maths. » Chaque billet, précédé d’unecitation pertinente, est assez court et toujours enlangage simple, suivi de commentaires, réactions etquestions posées par des internautes qui sont assezsouvent des étudiants du supérieur ; de multiplesliens permettent de passer d’un billet à un autre.

Les textes au contenu mathématique sont évidem-ment des plus intéressants mais ne sont pas tou-jours accessibles pour le « commun des mortels ».Par contre, la série « Career advice » est, d’aprèsl’auteur lui-même, « une collection de pièces variéesde conseils sur la carrière académique en maths,grossièrement ordonnée par la période de la car-rière durant laquelle le conseil est le plus pertinent(même si, évidemment, certains des conseils sontpertinents à de multiples périodes). » L’auteur yenvisage tous niveaux, allant de l’école primaireau post-doctorat ; il vise particulièrement les fu-turs mathématiciens, mais certains de ses avis pour-raient (et même devraient) intéresser tout public.Par exemple, des titres tels que « Travaillez dur »,« Aimez votre travail », « Soyez flexible », « Soyez

(9) Le mot holisme désigne ici « un système d’explication globale » (d’après une définition donnée dans le dictionnaire LePetit Robert, 1996, p. 1095).

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sceptique à propos de votre propre travail », « Soyezpatient » . . . intéressent tout le monde : émanantd’un scientifique aussi exceptionnel, de tels conseilssimples et judicieux ne devraient pas laisser indiffé-rent ! Nous recommandons aux professeurs de ma-thématiques de lire les billets qui les concernent leplus et d’inviter leurs élèves à en faire de même.

Nous allons nous contenter dans la suite de rassem-bler, parmi tous les conseils pertinents donnés surle blog, certaines idées concrètes qui, au vu de notreexpérience professionnelle, nous paraissent des plusintéressantes dans l’éducation des mathématiques ;en effet, on peut y trouver des éléments de réponse àtrois questions pratiques (évidemment reliées entreelles, d’ailleurs) que nous avons souvent rencontréesau cours de notre carrière et qui nous semblent pri-mordiales pour la plupart des étudiants que nousavons côtoyés (au niveau de la transition entre lesecondaire et l’université).

– Un élève se demande parfois comment il peut êtrecertain d’avoir compris une matière. On pour-rait disserter longtemps sur ce sujet et y appor-ter des arguments détaillés, voire sophistiqués.T. Tao fournit une réponse toute simple à cettequestion récurrente : « être capable d’expliquerquelque chose est la preuve ultime que vous avezcompris. Vous devriez constamment expliquer ceque vous cherchez à comprendre, à vos amis ou àvous-même, pour contrôler si vous avez des ques-tions. »

– Un professeur de mathématiques est souventamené à encourager ses élèves à « travailler acti-vement » ses mathématiques ; qu’est-ce que celasignifie concrètement ? Bien sûr, cette questionmériterait de longs développements, mais notremathématicien nous propose une recette incon-tournable dont l’application ne semble pas (trop)difficile : « posez-vous des questions idiotes -et répondez-y. » A différents endroits, l’auteurdonne des exemples concrets de ce qu’il convien-drait de se demander. Ainsi, il cite Paul Hal-mos : « ne vous contentez pas de le [un texte ma-thématique] lire ; combattez avec lui ! Posez vospropres questions, regardez vos propres exemples,découvrez vos propres preuves. Est-ce que l’hy-pothèse est nécessaire ? Est-ce que la réciproqueest vraie ? Que se passe-t-il dans le cas spécialclassique ? Et qu’en est-il avec les cas dégénérés ?Où la preuve fait-elle appel aux hypothèses ? »(dans I want to be a mathematician). Un autre

exemple est donné par ces questions à se poserlorsqu’on est amené à prouver un lemme (mais cequi suit pourrait être adapté dans d’autres cas) :« Si le lemme est prouvé, comment peut-il êtreutilisé ? Quelles caractéristiques du lemme sontles plus importantes selon vous ? Est-ce qu’unlemme plus faible suffit ? Existe-t-il une formu-lation plus simple du lemme ? Est-ce que celavaut quelque chose d’omettre une hypothèse dulemme, si cette hypothèse semble difficile à ob-tenir en pratique ? ». De telles questions néces-sitent un fréquent retour en arrière pour décou-vrir de nouveaux aspects et de nouvelles applica-tions de la matière vue antérieurement : « appre-nez et re-apprenez votre champ » ; par ailleurs,il importe également d’anticiper la matière poursavoir vers où on va, d’où ce nouveau conseil :« pensez devant ». Ainsi, un apprentissage desmathématiques n’est pas uniquement séquentiel,comme on le pense parfois.D’autres conseils du blog concernent le lien in-évitable entre les mathématiques et l’écrit. Bienentendu, l’oral n’est pas à négliger et doit mêmeêtre privilégié en certaines circonstances, maisles étudiants doivent se rendre compte que, pourfaire réellement des mathématiques, il faut beau-coup écrire pour rendre son travail « disponible ».Selon T. Tao, « mettez par écrit tout ce quevous avez fait » ; cette recommandation rejointl’idée d’accorder une place non négligeable auxnarrations de recherche (voir à ce sujet [1], parexemple). L’auteur ajoute ceci, qui pourrait sur-prendre des débutants mais pas des mathémati-ciens professionnels : « utilisez la corbeille à pa-pier ».Une recommandation méthodologique supplé-mentaire consiste à ne pas se contenter d’ap-prendre ce que le professeur a enseigné. Ilconvient de prendre connaissance d’autres pré-sentations ou points de vue, donc de faire ap-pel à des sources multiples et variées. En par-ticulier, « apprenez la puissance des outils utili-sés par d’autres mathématiciens », car, commele souligne cette savoureuse métaphore d’Abra-ham Maslow : « je suppose qu’il est tentant, sivous n’avez qu’un marteau, de traiter toute chosecomme si c’était un clou » (dans Psychology ofScience).

– Comment résoudre un problème ? Il s’agit assu-rément d’une question essentielle en mathéma-tiques. En effet, la résolution de problèmes consti-

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tue, d’un point de vue collectif, le « moteur » quifait sans cesse progresser la discipline elle-mêmeet par ricochet, toutes les autres sciences ; d’unpoint de vue individuel, elle aide un étudiantà mieux assimiler la matière (car un conceptmathématique n’est pas réellement assimilé parquelqu’un tant que celui-ci n’est pas capable del’appliquer pour résoudre un problème inédit) etpeut lui donner de lui-même une image valo-risante qui le mettra dans d’excellentes dispo-sitions mentales pour souhaiter approfondir lesmathématiques et, plus généralement, apprendretoute autre matière.Mais il n’est pas facile de répondre à la ques-tion posée, puisque, par définition, un problèmeconstitue un défi nouveau pour celui qui le ren-contre. S’il n’existe donc aucune « recette » toutefaite et universelle, on peut toufefois donner desrègles heuristiques générales dictant des straté-gies à suivre pour performer dans la résolutionde problèmes mathématiques. Une référence in-contournable sur cette question est le livre [8].Dans la même veine, T. Tao a rédigé un ex-cellent livre intitulé « Résolution de problèmesmathématiques : un point de vue personnel »[15]. Le premier chapitre est consacré précisé-ment aux stratégies à envisager face à un pro-blème inédit. Ces dernières, qui s’inspirent expli-citement de celles données par Polya, sont pré-sentées, puis illustrées concrètement sur le pro-blème (très abordable) P que voici : « un trianglea ses longueurs en progression arithmétique, avecdifférence (10) d. L’aire du triangle est t. Trouvezles longueurs et les angles du triangle ». Pour ré-soudre ce problème P , l’auteur donne les conseilssuivants : « comprenez le problème ; comprenezles données ; comprenez l’objectif ; sélectionnezde bonnes notations ; mettez par écrit ce que vousconnaissez avec la notation sélectionnée, dessinezun diagramme ; modifiez légèrement le problème ;modifiez significativement le problème ; prouvezdes résultats au sujet de votre question ; simpli-fiez, exploitez les données, et atteignez les butstactiques ». Tous ces points sont donc appliqués,successivement et méticuleusement, au cas parti-culier P . Il est extrêment instructif de découvrirla multitudes de pistes envisagées par l’auteur,puis de voir comment celles-ci sont soit exploitéeset approfondies, soit rejetées. Dans les chapitressuivants, T. Tao traite, selon la même méthodo-

logie, des exemples émanant successivement de lathéorie des nombres, l’algèbre et l’analyse, la géo-métrie euclidienne, la géométrie analytique, ainsique des problèmes divers. Ces énoncés sont, pourla plupart, des questions à des concours tels queles Olympiades mathématiques.Ce livre remarquable n’est pas le seul sur ce sujet(outre le livre déjà mentionné de Polya, signa-lons les ouvrages belges [2] et [3]). Mais, par lafécondité et la clarté de son contenu, nous tenonsà le recommander aux élèves du niveau prochede la transition entre le secondaire et le supérieur(ceux en tout cas qui sont intéressés à progresseren mathématiques), ainsi qu’à leurs professeurs.Un dernier point, peut-être anecdotique, sur cetouvrage : le manuscrit de la première édition aété rédigé lorsque l’auteur était âgé de 15 ans etn’avait pas encore commencé sa carrière propre-ment dite de mathématicien . . .mais avait déjàété trois fois médaillé aux Olympiades interna-tionales ! Dans la deuxième édition, écrite 15 ansplus tard, l’auteur signale qu’évidemment le ba-gage acquis à la fin de ses études et lors des pre-mières années de sa carrière académique lui per-mettrait de résoudre les problèmes d’une autremanière que celle du livre . . . ce qui n’enlève rienà la qualité du texte proposé par un jeune (certesextrêmement doué) qui rencontre pour la pre-mière fois les problèmes traités. De ce fait, celivre est accessible et représente un modèle donton peut s’inspirer. De tels documents sont desplus intéressants, car nous pensons, à l’instar dePolya, que « résoudre des problèmes est unequestion d’habilté pratique, comme de nager, parexemple. Or, l’habileté pratique s’acquiert parl’imitation et l’usage. Lorsqu’on essaie de nager,on imite les mouvements des pieds et des mainsde ceux qui réussissent à tenir la tête hors de l’eauet finalement on apprend à nager en pratiquantla natation. Lorsqu’on résoud des problèmes, ilfaut observer et imiter ce que font les autres enpareil cas, et finalement on apprend à faire desproblèmes en en faisant » ([8], p. 10). T. Tao pro-longe et explicite cette pensée en constatant que« c’est en expérimentant qu’on accède à la com-préhension profonde des situations et qu’on finitpar avoir une bonne idée de ce qui est importantou accessoire » (cité dans [5], p. 154).

(10) Par différence, on entend bien entendu la raison de la progression.

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Comme on a pu l’observer, les conseils donnés parT. Tao sont simples, concrets, faciles à mettreen application. Ils sont surtout « multifacettes »puisqu’ils portent aussi bien sur des connaissancesen mathématiques, mais aussi des métaconnais-sances (11), des méthodes de travail ou encore di-verses qualités psychologiques. Ces pensées sont évi-demment conformes à ce que l’auteur appelle des« bonnes mathématiques ». Cette variété des pointsde vue, omniprésente dans les écrits de T. Tao, ex-plique probablement la difficulté que représentent(pour certains) les mathématiques , mais aussi la ri-chesse, l’intérêt et la beauté de celles-ci. C’est aussice qui a probablement poussé T. Tao à écrire, audébut de la préface à la première édition de sonlivre sur les problèmes [15], cet avis qui semble biencaractéristique de l’auteur et constituera dès lors laconclusion de cet article :

« J’aime vraiment les mathématiques parce quec’est amusant. »

Remerciements. J’avais envoyé à Terence Tao laversion initiale de cette note en lui demandant l’au-torisation de publier ce travail. Une réponse person-nelle et affirmative m’a été envoyée quelques heuresseulement après mon envoi ; l’auteur m’écrivait no-tamment : « en tout cas, il semble que vous donniezvotre propre perspective sur ces sujets plutôt quesimplement traduire mes propres mots. » Je le re-mercie vivement pour sa disponibilité, sa courtoisieet sa magnanimité. Cet épisode met en évidence lefait que ce mathématicien de haut vol s’intéressevraiment à l’enseignement des mathématiques et,en particulier, n’est apparemment pas indifférentà la revue Losanges de la SBPMef (dont il avaitreçu les coordonnées électroniques). Selon moi, cecijustifie (à tout le moins partiellement) toutes leslouanges qu’on peut lui adresser et qui sont bientraduites par cette citation due à John Gardnett,professeur à l’Université de Californie : « Terry estcomme Mozart. Les mathématiques débordent etcoulent de lui sans effort. La différence avec Mozartest qu’il n’a aucun problème de personnalité : toutle monde l’aime bien. Il n’y a qu’un mathématicien

par génération possédant un tel talent. Le sien estinouï. » (cité dans [5], p. 151).

J’adresse également toute ma reconnaissance à GuyNoël qui a bien voulu relire et commenter la pre-mière mouture de cet article. Il m’a permis d’amé-liorer substantiellement le passage sur les liens entreles théories de Tao, de Tall et de Sfard.

Pour en savoir plus[1] Bair J. - Delagardelle J.C. - Henry V.,

Narrations de recherche - De la théorie à lapratique dans les enseignements secondaire etsupérieur. Document de la Commission péda-gogique de la SBPMef, 2006.

[2] Bair J. - Haesbroeck G. - HaesbroeckJ.J., Formation mathématique par la résolutionde problèmes, De Boeck Université, Bruxelles,2000.

[3] Cazzaro J.P. - Noël G. - Pourbaix F.- Tilleuil P., Structurer l’enseignement desmathématiques par des problèmes, De Boeck,Bruxelles 2001.

[4] Clements M.A., Terence Tao, EducationalStudies in Mathematics, 15, 1984, pp. 213 -238.

[5] Delahaye, J.P., L’éducation réussie d’un sur-doué, dans La logique, un aiguillon pour la pen-sée, Belin Pour la Science, 2012, pp. 150 - 157.

[6] Duthil Novaes C., Formal Languages in Lo-gic, Cambridge University Press, 2012.

[7] Flavell J.H., Développement métacognitif,dans Psychologie développementale, problèmeset réalités, par Bideault J. et Richelle M.,éditions Mardaga, Bruxelles, 1985.

[8] Polya G., Comment poser et résoudre un pro-blème, Dunod, Paris, 1965.

[9] Robert A. - Robinet J., Prise en comptedu méta en didactique des mathématiques,Recherches en Didactique des Mathématiques,Vol. 16, n° 2, 1996, pp. 145 - 176.

[10] Sfard A., On the dual nature of mathema-tical conceptions : reflections on processes and

(11) Comme le préfixe méta signifie « d’un niveau supérieur », le mot métaconnaissance englobe tout ce que le sujet connaît àpropos de ses connaissances et de sa connaissance. Le concept de métacognition, dans le sens qui nous occupe ici, est apparuaux USA au début des années 1970. D’après Flavell, un des pionniers en la matière, il importe à la fois de dégager desconnaissances métacognitives (c’est-à-dire « des connaissances sur la manière dont l’étudiant construit ses connaissances »)et de se pencher sur la régulation de ces métaconnaissances (en d’autres termes, sur « l’orchestration des processus d’ap-prentissage en fonction des objectifs et des données sur lesquels ils portent) » [7]. Le lecteur intéressé par « la prise en comptedu méta en didactique des mathématiques » peut consulter [9].

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objects as different sides of the same coin, Edu-cational Studies in Mathematics, 22, 1991, pp.1 - 36.

[11] Tall D., The Transition to Formal Thinkingin Mathematics, Mathematics Education Re-search Journal, 20 (2), 2008, pp. 5-24

[12] Tall D., How Humans Learns to Think Ma-thematically : Exploring the Three Worldsof Mathematics, Cambridge University Press,2013.

[13] Tao T., Perfect numbers, Trigon (School Ma-thematics Journal of the Mathematical Asso-ciation of South Australia), 21 (3), 1983, p. 7.

[14] Tao T., What is good mathematics ? ,Bulletin of the American Mathematical So-ciety, Volume 44, n° 4, 2007, pp. 623 -634 ; accessible à l’adresse électronique :arxiv.org/pdf/math/0702396.

[15] Tao T., Solving Mathematical Problems : APersonal Perspective, Oxford University Press,2006, ISBN 9780199205608.

Quelques sites et blogs sur le sujet

- http ://terrytao.wordpress.com/. Le blog de T.Tao.

- http ://www.math.ucla.edu/∼tao/. Le site de T.Tao à l’UCLA.

- http ://fr.wikipedia.org/wiki/Terence−Tao. Lesite wikipédia sur T. Tao.

- http ://m-phi.blogspot.be/. Un blog dédié à laphilosophie mathématique.

- http ://www.meirieu.com/. Site de PhilippeMeirieu intitulé Histoire et actualité de la pé-dagogie.

- http ://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/.Le site personnel de D. Tall qui peut conduire àune documentation riche sur l’enseignement desmathématiques.

Jacques Bair est professeur émérite de l’Université de Liège, k [email protected]

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pensées (mathématiques) de tao - uliege.bechacune des fa-cettes énoncées représente une voie di...

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