ondes élastiques dans les solides

8/3/2019 ondes lastiques dans les solides

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Universit Denis Diderot

Vibrations et Ondes

CHAPITRE IX

ONDES LASTIQUES DANS LES SOLIDES

Cours de Daniel Maillard

(seconde dition)


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Universit Paris7 Denis Diderot Vibrations et Ondes

Chapitre VII - 2 - cours de Daniel Maillard


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1. Ondes lastiques dans les solides homognes

Comme dans tout matriau qui nest pas idalement rigide, lapplication dune force

extrieure un solide produira une dformation de celui-ci. En retour, et si le solide est

lastique, la dformation gnrera une force de rappel qui, soit contribuera linstallation

dune dformation (dquilibre) si la force extrieure est applique de manire permanente

(on est alors dans le chapitre de la rsistance des matriaux, qui n'est pas notre sujet), soit

assurera un retour du solide proche de sa position initiale ds que la force extrieure sera

supprime, dclenchant ventuellement des oscillations. Le retour la stricte position initiale

nest garanti que si le solide na pas subi une dformation permanente sous laction dune

force extrieure trop importante, ce que nous supposerons dans toute la suite.

Contrairement un fluide, o la force applique un lment de volume est ncessairement

normale aux faces du fluide (forces dites de pression), un solide est capable de supporter des

forces tangentielles (dites de cisaillement) et de rsister celles-ci. Dans le solide, en

considrant ngligeables les forces volumiques (en particulier de gravitation) devant les

forces de contact, lquation du mouvement issue de la RFD se rcrit partir de la relation

(27) du chapitre VII :

"

#2$

#t 2 =

div% (1)

De lexpression (1), on a supprim la participation des forces volumiques, utilis le

dplacement " (et sa drive seconde) plutt que la vitesse v (et sa drive premire), et

enfin introduit la contrainte " pour gnraliser la notion de pression P (force par unit de

surface) de manire inclure la possibilit que la force soit tangentielle. Au passage, on

constatera que la relation (1) est la premire des deux relations constitutives pour les ondes

lastiques dans le milieu solide.

Dans le contexte de la dformation des solides, il apparat donc quon utilise la notion de

contrainte " ("stress" pour les anglo-saxophones) cest--dire de force par unit de surface

plutt que celle de force F elle-mme, et celle de dformation " ("strain" pour les mmes

anglos-saxophones) cest--dire de dplacement par unit de longueur (dplacement relatif)

de prfrence celle de dplacement mme

". Nous commencerons par dtailler les

proprits des contrainte et dformation, avant de dexaminer la relation entre ces grandeurs.

Nous tablirons que contrainte et dformation sont des tenseurs de rang 2.


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2. Contraintes sur un solide

Considrons pour commencer (figure 1) un solide infinitsimal

paralllpipdique, et choisissons des axes cartsiens XYZ

colinaires ses cts. Appliquons une force dFz sur la face

suprieure dsz, o la direction de la normale la face laxe Z

justifie lindice sur la force. On constate, ainsi que nous lavons

dit plus haut en voquant la possibilit de cisaillement, que la

force nest pas ncessairement normale la surface suprieure

du solide, ainsi la relation entre force et surface doit tre rcrite de manire plus complexe et

sous la forme :

(dFz)i = " iz (dsz)i , soit encore

dFz = " dsz

(2)

o " est le tenseur des contraintes, de dimension ML-1T-2 (qui est la dimension dune

pression) et de rang 2. Un tel tenseur comporte 32 = 9 composantes, de mme quun vecteur

(tenseur de rang 1) a 31 = 3 composantes, dans un espace 3 dimensions.

Ce solide ne peut tre soumis l'unique force dFz (car

sinon il serait mis en mouvement de translation et/ou de

rotation) : dautres forces, galement associes des

contraintes, doivent intervenir pour assurer lquilibre

en translation et en rotation du volume considr au sein

du solide. Les consquences de cette condition

dquilibre font que le tenseur des contraintes est

symtrique et que ses 9 composantes peuvent sexprimer

en fonction de 6 termes indpendants.

La figure 2 schmatise lorganisation de ces 9 composantes. On constate facilement que les

termes diagonaux "ii

du tenseur des contraintes sont associes de pures compressions,

tandis que les termes non-diagonaux " ij sont associs des cisaillements. Ecrivons

finalement le tenseur des contraintes :

" =

"xx

"xy

"xz

"xy

"yy

"yz

"xz

"yz

"zz

#

$

%%%

&

'

(((

(3)

qui inclut les proprits de symtrie du tenseur.

X

Y

Z

xz!

zz!

yz!

dFz

Figure 1

X

Y

Z

xz!

zz!

yz!

!xyxx!

!yx

! zy!zx

!yy

Figure 2


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d(D2) = 2 dxi

"#i"xj

dxjj

$i

$ = 2 %ij dxidxjj

$i

$ (9)

qui permet dobtenir lexpression du dplacement relatif "ij :

"ij = 12 #$i#xj

+ #$j#xi

%

&'

(

)*

(10)

Ces dplacements relatifs constituent les lments du tenseur des dformations ". Ce tenseur

est symtrique par dfinition, de rang 2, et ses lments sont sans dimension. De manire

explicite, il scrit :

" =

"xx

"xy

"xz

"xy

"yy

"yz

"xz "yz "zz

#

$

%%%

&

'

(((

(11)

Signalons que tous les termes du tenseur " sinterprtent comme des dformations relatives,

et quen plus les termes non-diagonaux sinterprtent comme des angles, dans la limite o ces

dformations restent petites.

Pour finir, les deux caractristiques fondamentales (norme et direction) du vecteur PQ sont en

gnral susceptibles dtre simultanment affectes (figure 3) par laction dune contrainte

extrieure. La norme D, examine en dtail ci-dessus, nous a conduit dfinir le tenseur des

dformations ; la modification de la seule direction ne conduirait qu une simple rotation, du

vecteur

PQ et au del de l'ensemble du solide infinitsimal auquel il appartient, sans aucune

dformation. Cette pure rotation est sans intrt pour nous dans ce contexte et sera par

consquent ignore. En se restreignant donc aux seules dformations, lexpression reliant la

dformation d" au vecteur PQ = dr scrit sous forme compacte :

d" = # dr (12)

De mme que pour le tenseur des contraintes, les spcialistes utilisent souvent une notation

contracte en utilisant un vecteur dun espace six dimensions pour ranger les six

composantes indpendantes du tenseur diagonal des dformations.

4. Relation contrainte dformation

Il existe naturellement une relation entre contrainte et dformation. Dans la limite des petites

dformations o nous nous placerons dans toute la suite - la relation est linaire et

sexprime en faisant intervenir un tenseur de rang 4, selon :


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r

r

" =

r

r

r

r

C :r

r

# (13)

Ce tenseur, puisque de rang 4, comporte 34 = 81 composantes dans lespace 3 dimensions. C

est le tenseur de rigidit du matriau et caractristique de celui-ci1. La relation (13) peut aussi

tre particularise pour permettre le calcul dun des lments des contraintes " connaissant

les lments des dformations " :

"ij = Cijkl #kll=1,3

$k=1,3

$ (14)

On ne peut manquer de remarquer une troite similitude entre la relationr

r

" =

r

r

r

r

C :r

r

# ci-

dessus et la loi de force dun ressort F = "K #l abondamment utilise dans les premiers

chapitres. A cause de cet apparentement, la relation (14) est appele loi de Hooke

gnralise2.

Le tenseur de rigidit C satisfait un certain nombre de proprits :

il relie des tenseurs de contraintes et de dformations, tous deux symtriques. il traduit les ventuelles proprits de symtrie du matriau quil reprsente.

Ces proprits font que C possde toujours ses 81 lments, mais certains dentre eux sont

nuls dune part, et ceux qui sont non-nuls sont lis par des relations dinterdpendance delautre ; la nullit et linterdpendance dpendent fortement de la symtrie du matriau. Pour

un matriau isotrope - la symtrie la plus haute - on montre (et la dmonstration est au del

des objectifs de ce cours) que le tenseur C ne comporte que 12 lments non nuls, ne

prsentant que 3 valeurs diffrentes pouvant sexprimer en fonction de 2 termes seulement.

Ainsi, le tenseur des contraintes sexprime en fonction du tenseur des dformations selon :

r

r

" = # $r

r

I + 2 r

r

$ (15)

o " = "iii=1,3# est la trace du tenseur des dformations et

r

r

I le tenseur identit de rang 2. La

relation (15) se rcrit aussi en explicitant chaque terme du tenseur :

"ij = # $%ij + 2 $ij (16)

1 Par souci de simplicit dcriture, nous omettrons dans la suite les 4 flches surmontant le tenseur C,

qui sont pourtant signes de son statut de tenseur de rang 4.

2 On trouve aussi la relation rciproquer

r

" =

r

r

r

r

S :r

r

#que nous nutiliserons pas, o S est le tenseur deflexibilit.


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d'o par exemple :

"xx = # $xx + $yy + $zz( )+ 2$xx et "xy = 2$xy (17)

Dans les expressions (15-17), et sont les deux coefficients indpendants voqus plus

haut : ce sont les coefficients de Lam.

En notation contracte, la rigidit sexprime comme un tableau 6x6 dont les 12 seuls termes

non nuls sexpriment en fonction des coefficients de Lam et .

5. Quelques situations simples

Contrainte uniaxiale

On choisit de provoquer une dformation normalement

une paroi dun cube lmentaire (figure 4). Si on

choisit la normale cette paroi pour porter laxe X, il

sensuit que la seule contrainte non nulle est "xx

.

Certaines dformations sensuivent. En considrant les

expression (15-17), il sensuit que :

"xx = (# + 2)$xx + #$yy + #$zz

"yy = #$xx + (# + 2)$yy + #$zz = 0

"zz = #$xx + #$yy + (# + 2)$zz = 0

(18)

qui permet d'exprimer la contrainte "xx

et les dformations "yy et "zz (soit les 3 inconnues de

la situation) en fonction de la seule dformation "xx

, condition de connatre les coefficients

de Lam. On trouve :

"xx = (3# + 2)

# +

$xx , et

$yy = $zz = % #

2(# +)$xx

(19)

Une situation aussi simple avait donn naturellement donn lieu bien des tudes ; on avait

constat la linarit entre (faible) contrainte et dformation (avec comme coefficient le

module dYoung E) et une dilatation latrale (souligne par la figure 4) dun matriau

comprim (o intervient coefficient de Poisson ). La situation avait alors t dcrite par les

relations :

Figure 4

Les contraintes sont symbolisespar des triangles, les dformations

par des flches.


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"xx = E #xx , et

#yy = #zz = $ % #xx(20)

Bien entendu, cette situation n'est qu'un cas particulier de la situation gnrale dveloppe

plus haut : il s'ensuit que module dYoung E et coefficient de Poisson sexpriment tous deux

en fonction des coefficients de Lam et , et rciproquement. Nous y reviendrons.

Cisaillement pur

Considrons une dformation "en losange"3 d'un cube lmentaire, telle que la schmatise la

figure 5. Une telle dformation est dcrite par un seul terme, par exemple

"xy selon le choix

des axes, en tous cas non diagonal, et qui se relie aisment l'angle d'inclinaison"#y

"xdu ct

du cube. Une telle dformation est provoque par une contrainte elle-mme non diagonale, et

dite de cisaillement.

On tablit facilement, partir des expressions (15-17), que :

"xy = 2 #xy (21)

et une relation identique pour "yx .

Mais une situation aussi simple avait naturellement dj t explore, et

on avait exprim la proportionnalit entre l'angle de dformation

" =#$x

#y+#$y

#x= %xy + %yx = 2%xy et la contrainte de cisaillement, dcrite

par la relation :

"xy = G # = 2G $xy (22)

o G est le module de cisaillement, de toute vidence identique au coefficient de Lam au

vu des relations (21) et (22).

Compression uniforme

On peut enfin appliquer sur un cube lmentaire du matriau une

contrainte normale uniforme, qui se rduit donc une pression

hydrostatique P et s'crit par consquent "xx = "yy = "zz = #P . Le cube,

d'un matriau isotrope, voit chacun de ses cts subir une dformation

identique, la variation relative de volume s'exprime alors, en se limitant

au premier ordre, comme la somme des dformations relatives de chacun des cts :

3 Une dformation en losange assure l'absence de rotation et donc une pure dformation.

Figure 5

Figure 6


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"V

V = #xx + #yy + #zz = # (23)

On peut reprendre la relation (17), s'en servir pour exprimer les termes diagonaux, seuls

intressants ici, et finalement les additionner entre eux pour obtenir :

" 3P = (3# + 2) $ (24)

d'o, en rassemblant les expressions (23) et (24) :

"1

P

#V

V =

3

3$ + 2(25)

On reconnat dans le premier membre le coefficient de compressibilit K. Celui-ci est assez

peu usit dans le contexte de l'lasticit des matriaux, on lui prfre son inverse : le module

volumique B, tel que :

B = 3"+ 2

3(26)

6. Les diffrents coefficients

Nous avons rencontrs, dans les quelques situations simples et trs anciennement explores

ci-dessus, plusieurs types de coefficients. Nous avons insist sur le fait que ces coefficients ne

sont pas indpendants : ils peuvent donc s'exprimer les uns en fonctions des autres.

et (coefficients de Lam)

E et (mcanique des structures)

K et G(mcanique des sols)

- = E "1+ "( ) 1# 2"( )

=

3K" 2G

3

- = E2 1+ "( )

G

E = 3" + 2( )

" + - =

9KG

3K+G

= "2 " +( ) - =3K" 2G

2 3K + G( )

K =3" + 2

3 =

E

3 1" 2#( ) -

G =E

2 1+ "( ) -

Tableau 1

(Relations entre les principaux modules et coefficients.)


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Par ailleurs, les pratiques professionnelles des diffrentes disciplines font que les spcialistes

de la mcanique des structures (tude des charpentes, des poutres) utilisent de prfrence le

module d'Young E et le coefficient de Poisson , tandis que les mcaniciens des sols

(recherche ptrolire, gophysiciens) de prfrence les modules volumique K et de

cisaillement G. Les coefficients de Lam et , qui s'introduisent si naturellement dans la

relation (15) entre contraintes et dformations, sont finalement peu usits sauf dans les

enseignements universitaires. Quoi qu'il en soit, le tableau 1 rsume les relations entre les

coefficients utiliss dans ces principaux domaines.

L'expression du module d'Young E de la colonne 1 permet de constater que celui-ci est le plus

grand parmi tous les diffrents modules de mme dimension (, , E et K).

Le tableau 2 ci-dessous rassemble quelques valeurs du module d'Young E et du coefficient de

Poisson pour quelques lments essentiellement mtalliques ( droite) et pour quelques

matriaux usuels ( gauche).

Mtal E (GPa) Matriau E (GPa) Tungstne 406,00 0,30 Lige 0 4

Nickel 214,00 0,31 Silice fondue 94,00 0,16

Fer 196,00 0,30 Bton 47,00 0,30

Cuivre 124,00 0,34 Nylon 3,00 0,25

Titane 116,00 0,30 Plexiglas 3,40 0,38

Silicium 107,00 0,22 Polycarbonate 2,60 0,36

Zinc 105,00 0,35 Polythylne 0,77 0,46

Aluminium 69,00 0,35 Caoutchouc 0,03 0,49

PVC 0,01 0,41

(1 GPa = 109 Pa = 109 Nm-2)

Tableau 2

On constate que les valeurs du module d'Young couvrent un domaine extrmement large,

s'tendant sur plus de 5 ordres de grandeur entre les matriaux les plus rigides et les plus

mous. Au contraire, les coefficients de Poisson sont frquemment confins autour de la valeur

0,3. Quelques exceptions (0,4 0,5) caractrisent les matriaux ductiles, quelques autres

(0,2) les matriaux cassants. Signalons que des considrations thermodynamiques,

4 Chacun peut constater que le bouchon de lige ne s'allonge pas quand on le comprime latralementpour le faire entrer dans le goulot de la bouteille.


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associes l'nergie de la dformation, imposent que "1# $ # 0,5; on ne connat toutefois

aucun matriau ayant un coefficient de Poisson ngatif5.

7. quations de propagation dans un matriau

L'quation du mouvement (relation 1) a t identifie comme la premire des relations

constitutives :

" #2$

#t2

= div% (27)

La seconde relation constitutive doit tre recherche dans la relation (15) entre contrainte et

dformation :

r

r

" = # $

r

r

I + 2

r

r

$ , o

$ij = 1

2%&i%xj

+%&j%xi

'()

*)

+,)

-)

(28)

En exprimant dans la relation (28) le tenseur des contraintesr

r

"en fonction du dplacement "(plutt que de la dformation

r

r

") et en prenant la divergence de l'expression (28), on arriveaprs un long chemin sem de diverses embches techniques6 :

div" = # +( ) grad div$( ) + %$ (29)

Par ailleurs, conformment au thorme de Poisson, on sait que tout vecteur (en particulier

") peut s'crire comme la somme d'un gradient (d'un champ scalaire ) et d'un rotationnel

(d'un champ vectorielr

A), soit concrtement ici :

" = grad # + rot A (30)

ce qui, appliqu une composante particulire de " amne :

"i = #$#xi

+ #Ak#xj

% #Aj#xk

(31)

On remarque que, ce faisant, on exprime les trois composantes scalaires de " en utilisant

quatre fonctions scalaires : la fonction et les trois composantes de la fonction vectorielle A,

gnrant ainsi une indtermination. On sort de l'indtermination que provoque cette

5 Mais on sait construire des structures avec des coefficients de Poisson ngatifs. De telles structures

ont ouvert une perce considrable dans la conception des chevilles pour fixer les tagres6 L'tablissement de la relation (29) est pnible, mais sa vrification ne requiert qu'un peu de soin.


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redondance en imposant une condition arbitraire supplmentaire, dite condition de jauge. On

choisit ici :

divA = 0 (32)

On limine ensuite

r

r

", et plus prcisment div" , entre les deux relations constitutives (27) et(28) :

" #2$

#t2 = % +( ) grad div$( ) + &$ (33)

o on exprime maintenant " selon la relation (30) :

" #2

#t2grad$+ rotA{ } = % +( ) grad div grad$+ rotA{ }( ) + & grad$+ rotA{ } (34)

en se souvenant de quelques relations classiques sur les oprateurs vectoriels, telles que :"A = grad(divA) # rot(rotA) , puis

rot(gradA) = 0 et div(rotA) = 0(35)

en utilisant enfin la condition de jauge (32), on obtient finalement :

" #2

#t2grad$+ rotA{ } = % + 2( ) grad &${ } + rot &A{ } (36)

qui ne peut tre vrifie en tous points et en tous temps que si les deux conditions suivantes

sont simultanment vrifies :

" #2$

#t2 = % + 2( ) &$

" #2A

#t2 = &A

(37)

o on reconnat des quations d'Alembert qu'on peut rcrire sous la forme plus habituelle :

"# $ %

& + 2'2#

't2 = 0 (38)

"A # $

%2A

%t2 = 0 (39)

Ces relations permettent de dfinir deux vitesses de propagation : l'une cL =" + 2

#pour le

potentiel scalaire , l'autre cT =

"pour le potentiel vecteur A.


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Puisque les coefficients de Lam, et en particulier sont toujours positifs, il s'ensuit que la

vitesse cL est toujours suprieure cT.

La figure 7 examine le rapport des deux vitesses en fonction

du coefficient de Poisson. Elle permet de confirmer que

cL > cT, et permet de plus de constater que la vitesse cT

disparat quand 0,5, ce que pouvait laisser prvoir la

lecture du tableau 1, qui montre que quand 0,5.

Le tableau 3 rassemble les valeurs des deux vitesses cL et cT,

qui dpendent des coefficients de Lam et de la masse

volumique (qui figure aussi dans le tableau 3), pour quelques

matriaux usuels. Le tableau 3 permet de constater la pertinence de la conclusion prcdente

cL > cT.

matriau (kg/m3) cL(m/s) cT(m/s)Fer 7900 5779 3089

Plomb 11400 1960 690

Cuivre 8900 4631 2280

Aluminium 2700 6404 3077

Silice fondue 2200 6745 4291

Bton 2500 5031 2689

Nylon 1150 1769 1022

Plexiglas 1200 2303 1013

Polythylne 900 1989 541

Caoutchouc 1500 585 82

PVC 1450 90 35

Tableau 3

8. Ondes de volume, ondes de surface

Les solutions harmoniques progressives les plus gnrales aux quations d'Alembert (38-39)

s'crivent :

"(r,t) = "0 expi #t $ kL r( ) , et

A(r,t) = A0 expi #t $ kT r( )(40)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5coefficient de Poisson !

cT /cL

Figure 7


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o il est utile de rappeler 1) que la direction de propagation de la dformation " et de ses

potentiels et A est unique, kL est ainsi colinaire kT , et d'ajouter 2) que les paramtres

satisfont d'une part les relations de dispersion (

" = cLkL = cTkT ) et d'autre part la

transversalit pour A (

A0 kT = 0). Il s'ensuit qu'on peut rcrire les vecteurs d'onde sous la

forme :

kL ="

cL l xux + l y uy + l zuz( ) , et

kT ="

cT l x ux + l y uy + l zuz( )

(41)

o l est un vecteur unitaire, avec :

l = lx

2+ l

y

2+ l

z

2=1 et de plus l A0 = 0 (42)

Dans la somme positive l x2+ l y

2+ l z

2, chacun des trois carrs peut tre positif (et les

composantes de l sont alors toutes relles), alternativement deux des carrs peuvent tre

positifs (et les composantes associes relles) et le troisime ngatif (la composante est alors

imaginaire pure). Le premier cas correspond une onde de volume. Le second cas correspond

une onde de surface7, mais il nous faudra pour nous en convaincre reconnatre que

l'amplitude reste localise proximit d'une surface de rfrence.

Ondes de volume dans un milieu infini

Le vecteur l , dont les trois composantes sont relles dans un systme de coordonnes

quelconque, est tel que l'onde (40) qu'il dcrit occupe en principe tout le volume offert : il

caractrise une onde de volume. l tant colinaire aux deux vecteurs d'onde kL et kT , a pour

composantes les cosinus directeurs de la direction de propagation.

Sans perte de gnralit, ayant choisi l'axe cartsien X pour qu'il soit vertical, on peut choisir

l'axe Z de manire ce que le plan XZ contienne la direction de propagation et donc les

vecteurs l , kL et kT (figure 8). Par ce choix d'axes, il s'ensuit que l y = 0 et que les

potentiels s'crivent :

7 On peut voquer pour mmoire, sans s'y intresser pour autant, le cas o une seule composante de l est relle, et les deux autres imaginaire. L'onde associe est alors canalise dans une direction.


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"(r,t) = "0 expi# t $1

cLl xx + l zz( )

%&'

()*

, et

A(r,t) = A0 expi# t $1

cTl xx + l zz( )

%&'

()*

(43)

On en dduit l'onde de dplacement "(r,t) grce la relation (30). En se souvenant que

l'oprateur " , qui apparat dans le gradient et le rotationnel, agit sur l'onde plane comme

"ikL = "i#

cL

l et sur l'onde plane A comme "ikT = "i#

cT

l , on trouve :

"(r,t) = #i$

cL%0 e

i$ t#1

cLl xx+l zz( )

&'(

)*+l

onde longitudinale

1 244444 344444

#i$

cTl,A0 e

i$ t#1

cTl xx+l zz( )

&'(

)*+

onde transversale

1 2444444 3444444

(44)

On arrive ainsi la conclusion essentielle, et d'ailleurs largement anticipe, que l'onde de

dplacement " est constitue de deux contributions :

La premire, associe au potentiel scalaire , est colinaire l et au vecteur d'onde ;elle est donc longitudinale (ce qui justifie a posteriori l'indice L). Elle se dplace la

vitesse cL =" + 2

#la plus grande et est trs souvent dnomme onde P (en lieu

de L) puisqu'elle arrive en premier cause de sa vitesse suprieure. Les anglo-

saxophones trouvent aussi l'origine de cette dnomination dans "Pressure wave".

La seconde, associe au potentiel vecteur A, est orthogonale l et au vecteurd'onde ; elle est donc transversale (d'o l'indice T). Comme elle se dplace la vitesse

cT =

" < cL , elle est quelquefois dnomme onde S (plutt que T) puisqu'elle

arrive en second cause de sa vitesse infrieure. Les anglo-saxophones trouvent aussi

l'origine dans "Shear wave" (ie onde de cisaillement).

Pour obtenir l'expression du dplacement ", il est utile d'expliciter au pralable les

composantes de l , de A0 et du produit vectoriel l"A0, le tout en tenant compte de la

condition de jauge l A0 = 0 . On obtient successivement l

l x

0

l z

et A0

A0x

A0y

A0z

, avec


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A0z = "l x

l z

A0x puisque l A0 = 0 , puis enfin l"A0 = #l zA0y ux +1

l z

A0x uy + l xA0y uz.

Aprs ces oprations, on obtient finalement l'expression :

"(r,t) =

"x (r,t) = "P ei# t$

1

cLlxx

+lzz( )

%

&

'

(

)

*l x + "SV e

i# t$

1

cTlxx

+lzz( )

%

&

'

(

)

*l z

"y (r,t) = "SH ei# t$

1

cTl xx+l zz( )

%&'

()*

"z(r,t) = "P ei# t$

1

cLl xx+l zz( )

%&'

()*l z $ "SV e

i# t$1

cTl xx+l zz( )

%&'

()*l x

(45)

o on a pos "P = #i$

cL

%0 , "SH = i#

cT

A0x

l z

et

"SV = i#

cTA0y , ce qui se justifie par :

la nature de la propagation (onde P) la propagation (onde S) et la

polarisation sur l'axe Horizontal Y.

et enfin la propagation (S) et lapolarisation dans le plan XZ, Vertical.

La figure 8 explicite les

axes, la direction de

propagation de l'onde

(porte par l ) et les

polarisations des trois

termes composant l'onde de

l'expression (45).

La figure 9a schmatise le

mouvement du matriau o

se propage une onde de type

P. De mme, la figure 9b

schmatise le mouvement

du matriau dans lequel se

propage une onde de type S. On notera que la direction l de propagation n'a t rendue

horizontale que pour d'arbitraires motifs de placement optimal de la figure.

X

Z

!P!SV

!SH

lY

direction de

propagation

de l'onde

Figure 8

a - Onde P

b - Onde SV (le mouvement serait horizontal pour l'onde SH)

Figure 9


18/30



Ondes de surface dans un milieu semi-infini

On choisit l'axe Z dans la direction o s'effectue la propagation. On constate facilement, par

substitution, que des expressions de la forme :

"(r,t) = "0 e#x expi$ t % zc

&

'( )

*+, et

A(r,t) = A0 e,x expi$ t %

z

c

&'(

)*+

(46)

vrifient les quations d'Alembert (38-39), condition que soient simultanment vrifies les

relations:

"2 = c2 #2 +"2

cL2

$

%&

'

() et "2 = c2 *2 +

"2

cT2

$

%&

'

() (47)

qui sont des relations de dispersion, dont on tire :

"2 =

#2

c2$#

2

cL2

et %2 =

#2

c2$#

2

cT2

(48)

Bien entendu, on n'a pas manqu de constater que les ondes (46) sont des ondes vanescentes

dans la direction X (et le sens des x dcroissants). En ce sens, ces ondes sont ncessairement

confines et, dans le cas particulier des ondes de l'expression (46), au voisinage de x = 0, c'est

dire au voisinage du plan YZ (surface x = 0) : ce sont donc des ondes de surface. D'autres

ondes de surface peuvent exister, en particulier sur des surfaces obliques.

On dduit facilement des expressions (46), et encore une fois grce la relation (30),

l'expression du dplacement " :

"(r,t) =

"x (r,t) = "RV(x) expi# t $z

c

%

&'

(

)*

"y (r,t) = "L (x) expi# t $z

cT

%

&'

(

)*

"z(r,t)=

"RH (x) expi# t $

z

c

%

&'

(

)*

(49)

o on a pos "RV(x) = i#

c$0 e

%x &'A0y e'x()

*

+,-

et "RH(x) = #$0 e#x % i

&

cA0y e

'x()*

+,-

,

ainsi que "L (x) = 2#A0x e#x . Cette nomenclature suggre la superposition de deux ondes :

d'une part R (R pour onde de Rayleigh, du nom du premier qui ait tabli sonexistence), qui possde deux composantes RV et RH et, compte tenu de la direction

de propagation selon Z, est donc la fois longitudinale (RH) et transversale (RV) et

se propage la vitesse c. Cette premire onde prsente par consquent des similitudes


19/30



avec les ondes de surface sur un liquide, sans pour autant s'y rduire compte tenu de

diffrences sur lesquelles nous reviendrons.

d'autre part L (L pour onde de Love, ne pas confondre avec une onde longitudinale),compltement transversale et se propageant la vitesse cT.

La figure 10a reprsente le

mouvement d'un matriau

la surface duquel se propage

une onde de Rayleigh. La

figure 10b reprsente de

mme le mouvement de

volumes infinitsimaux d'un

matriau la surface duquel

se propage une onde de

Love. Il faut noter que, par

hypothse, la propagation se

fait selon une direction

horizontale, et que la partie

haute de chaque figure correspond une surface de sparation du matriau considr.

Les ondes de surface impliquent l'existence d'une surface particulire, et donc l'existence de

certaines conditions aux limites sur cette surface. La surface peut tre soit une surface libre,

soit une surface de sparation entre deux milieux de caractristiques diffrentes. Dans ce

dernier cas, l'onde de Rayleigh prend alors le nom d'onde de Stoneley).

Dans la suite, on se restreindra aux ondes de Rayleigh sur une surface libre. Sur cette surface

libre (x = 0) la contrainte est nulle. Il s'ensuit que :

"yx = 0. On en dduit, conformment la relation constitutive (144) que"xy =

#$x

#y+#$

y

#x

%

&'

(

)*. On en dduit aussi, aprs intgration, que L = 0.

"xx = 0 et "zx = 0 . En explicitant, d'aprs la relation constitutive (144), lescontraintes en fonction des dplacements (relation 139), on obtient successivement :

"xx = #$%z$z

+ # + 2( )$%x$x

= 0 , et

"zx = $%z$x

+ $%x$z

&'( )

*+= 0

(50)

a Onde de Rayleigh

b Onde de Love

Figure 10


20/30



puis en reportant la solution (178) :

" + 2( )#2 $ "%2

c2

&'(

)*+

,0 + 2i%

c-A0y = 0 , et

2i %c

#,0 $ -2 + %

2

c2

&'(

)*+

A0y = 0

(51)

expressions qui n'ont de solution non triviale que si leur dterminant est nul. En posant pour

simplifier l'criture q2 =cT

cL

"

#$

%

&'

2

=

( + 2=

1) 2*

2(1) *)et s =

c

cT

, on obtient :

dt(s) = s6 " 8s4 " 8(2q2 " 3)s2 +16(q2 "1) = 0 (52)

Il ne nous chappera pas que la dtermination des solutions s de cette expression paire nous

conduira la dtermination de la vitesse c (que nous dnommerons dornavant cR ) des ondes

de Rayleigh.

La figure 11 trace l'allure du polynme dt(s) pour les valeurs positives de s, pour plusieurs

valeurs du coefficient de Poisson (entre = 0 et = 0,5). Les racines s de dt(s) = 0 se lisent

sur le graphe, et conditionnent la vitesse des ondes de Rayleigh grce

cR =

scT

, o cT est

connue.

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 2s

dt(s)

!=0

!=0,5

Figure 11

0,86

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

!

sexact

approx

Figure 12

Comme la propagation d'une onde de Rayleigh ne peut dpendre d'une valeur particulire du

coefficient de Poisson , on doit rechercher sur la figure 11 la seule valeur de s qui assure la

propagation au voisinage de s = 0,9, c'est dire de la seule intersection avec l'axe des

abscisses qui subsiste quelque soit la valeur de . Dans une analyse plus fouille, on reporte

quelques valeurs exactes de s, dduites en particulier de la figure 31, en fonction de la valeur


21/30



du coefficient de Poisson (figure 12). On montre qu'on peut approximer ces solutions s par

la fonction s =0,862 +1,14"

1+ ", qui est galement trace sur la figure 12 pour comparaison.

Puisque s < 1, il s'ensuit que, pour toute valeur du coefficient de Poisson, la vitesse cR des

ondes de Rayleigh est infrieure la vitesse cT des ondes S ; en consquence, les ondes de

surface de Rayleigh se propagent la plus petite de toutes les vitesses qu'on rencontre dans un

milieu lastique.

Le report de la valeur de s, et donc de cR

, dans l'expression (51) permet d'exprimer A0y en

fonction de "0, qu'on peut ensuite reporter dans l'expression (49) pour obtenir finalement le

dplacement ". On obtient alors les valeurs des amplitudes V et H de l'onde de Rayleigh R :

"RV (x) = i#

cR$0 e

%x &2%'

'2 +#2

cR2

e'x

(

)**

+

**

,

-**

.

**

"RH (x) = % $0 e%x &

2#2

cR2

'2 +#2

cR2

e'x

(

)

**

+

**

,

-

**

.

**

(53)

tant entendu que "L (x) n'a pas t trait dans cette tude de l'onde de Rayleigh. Par ailleurs,

le fait que l'une des amplitudes soit imaginaire pure est l'indication d'une quadrature de phase

entre les composantes et donc que le dplacement excute un mouvement elliptique quand le

milieu est le sige de la propagation d'une onde de Rayleigh.

Dans l'expression (53) les valeurs de , et sont relis par la relation de dispersion (47) :

"2 =

#2

cR2$#

2

cL2

et %2 =

#2

cR2$#

2

cT2

(54)

qui, puisque cL > cT > cR , indique tout d'abord que >, puis que tous deux sont rels.

Les valeurs de cL

et cT

sont alors obtenues partir des proprits du milieu (relations 47 et

48), la valeur de cR

est issue de la figure 12 par l'intermdiaire du paramtre s. On calcule

alors facilement les valeurs de et pour chaque valeur de . Tous les lments sont alors

disponibles pour le calcul des amplitudes de l'onde de Rayleigh, en fonction de la

profondeur x. Les rsultats numriques sont contenus dans la figure 13 (pour une valeur du


22/30



coefficient de Poisson choisie gale = 0,33, caractristique d'un grand nombre de

matriaux, et en particulier des mtaux).

On y remarque un

changement de signe de

l'amplitude horizontale,

indicatrice d'un

changement du sens de

parcours de l'ellipse que

dcrit le mouvement : ce

type de comportement

remarquable est illustr

sur la figure 14.

On constate aussi, mais

c'tait videmment attendu, que l'amplitude du mouvement diminue avec l'loignement de la

surface, et donc que l'onde de Rayleigh est bien une onde de surface, vanescente.

Soulignons pour terminer que le milieu considr tait semi-infini, c'est dire s'tendait

jusqu' l'infini dans le sens de la profondeur. La prise en compte d'un milieu d'paisseur

limite h impliquerait des conditions sur la limite que constituerait la profondeur x = -h. Le

traitement mathmatique prsenterait des analogies avec l'tude des vagues en eau peu

profonde, mais bien entendu les lois qui gouvernent le mouvement (la relation contrainte-

dformation au lieu de gravit + tension superficielle) et les paramtres sur lesquels

s'appliqueraient ces conditions seraient diffrentes.

9. Rflexion/rfraction des ondes de volume

Considrons une onde plane incidente se propageant selon

la directionr

k idans un milieu 1 (de coefficients de Lam 1,

1 et de masse volumique 1) et rencontrant un dioptre plan

suppos horizontal, sparant celui-ci d'un milieu 2

(respectivement 2, 2 et 2) selon une incidence quelconque

indique sur la figure 15. On peut sans perte de gnralit

choisir les axes cartsiens de la manire suivante : X selon

la normale au dioptre, orient du milieu 1 vers le milieu 2, et Z tel que l'onde incidente soit

!RH

!RV

x

0

Figure 13

mouvement

prograde

mouvement

rtrograde

x

Figure 14

milieu 1

milieu 2

!(i)

P k i

"(i) Z

X

Figure 15


23/30



contenue dans le plan XZ. Comme dans chaque situation de ce type, nous anticipons que des

ondes rflchies se propageant dans le mme milieu 1 que l'onde incidente et des ondes

transmises dans le milieu 2 seront produites. Le point-cl dans la propagation des ondes

lastiques est qu'une onde incidente de type donn donne le plus gnralement naissance

deux ondes rflchies et deux ondes transmises. Nous justifierons cette affirmation plus

loin. Nous crirons une onde sous une forme qui, particularise au cas particulier d'une onde P

incidente, s'crirait :

"P(i)

= AP(i)

pP(i)

expi# t $lP

(i) r

cP(i)

%&'

()*

(55)

o les termes qui apparaissent ont le sens suivant :

A est l'amplitude de l'onde. AP(i)

reprsente l'amplitude de l'onde incidente de type P.

p , unitaire, est la direction de polarisation de l'onde. l , unitaire, est la direction de propagation de l'onde, colinaire au vecteur d'onde k . c enfin est la vitesse de propagation de l'onde.

cP(i)

s'identifie en l'occurrence cL1.

Onde c l p A

Incidente P "(i) cL1 cos"(i)rux + sin"

(i)ruz cos"

(i)rux + sin"

(i)ruz AP

(i)

Incidente SV "(i) cT1 cos"(i)rux + sin"

(i)ruz sin"

(i )rux # cos"

(i )ruz ASV

(i)

Incidente SH "(i) cT1 cos"(i)rux + sin"

(i)ruz

r

uy ASH

(i)

Rflchie P "P(r ) cL1 "cos#P

(r )rux + sin#P

(r )ruz "cos#P

(r )rux + sin#P

(r )ruz AP

(r )

Rflchie SV "SV(r )

cT1 "cos#SV(r )rux + sin#SV

(r )ruz "sin#SV

(r )rux " cos#SV

(r )ruz ASV

(r )

Rflchie SH "SH(r )

cT1 "cos#SH(r )rux + sin#SH

(r )ruz

r

uy ASH

(r )

Transmise P "P(t ) cL2 cos"P

(t )rux + sin"P

(t )ruz cos"P

(t )rux + sin"P

(t )ruz AP

(t )

Transmise SV "SV

(t ) cT2 cos"

SV

(t )rux

+ sin"SV

(t )ruz

sin"SV

(t )rux

# cos"SV

(t )ruz

ASV

(t )

Transmise SH "SH(t )

cT2 cos"SH(t )rux + sin"SH

(t )ruz

r

uy ASH

(t )

Tableau 4

Cette terminologie, explicite pour chaque type d'onde et dtaille dans le tableau 4, sera

utilise dans la suite.

Il est alors ais d'crire les conditions de passage sur le dioptre, en x = 0, l'endroit z et

l'instant t o arrive l'onde. Ces conditions impliquent d'une part une galit (continuit) du


24/30



dplacement total ", de part et d'autre de l'interface, et galement une galit (continuit) de

la contrainte totale " de part et d'autre de l'interface.

Dans le cas particulier le plus simple, o l'onde incidente est de type SH :

L'onde incidente n'a de composante que selon Y. Rciproquement, une composante Yest associe exclusivement (tableau 4) une onde SH, la relation de continuit du

dplacement total " se particularise la seule composante Y, selon :

"SHy(i)+"SHy

(r )="SHy

(t ) (56)

relation valable en tout point (y,z) du dioptre (x = 0), et tout instant t.

Les ondes de dplacement " planes tant continues en tout point et tout instant, ilen va de mme de la dformation " qui leur est associe (lie aux drives de ") ,

puis de la contrainte " ( travers la relation contrainte-dformation). Le seul problme

est la jonction, c'est dire sur le dioptre, o il faut assurer sparment la continuit.

Compte tenu de l'interface (plan x = 0), et compte tenu du mouvement (ne comportant

de composantes que selon Y), la continuit de la contrainte se rduit dans le prsent

cas la relation :

"SHyx(i)+ "SHyx

(r )= "SHyx

(t ) (57)

relation galement valable en tout point (y,z) du dioptre (x = 0), et tout instant t.

Compte tenu des expressions gnrales (55) et des coefficients du tableau 4, compte tenu du

dioptre x = 0, l'expression (56) de continuit du dplacement se dtaille en :

ASH(i)

exp i" t #zsin$(i)

cT1

%

&'

(

)*+ ASH

(r )exp i" t #

zsin$SH(r )

cT1

%

&''

(

)**

= ASH(t )

exp i" t #zsin$SH

(t )

cT 2

%

&''

(

)**

(58)

qui ne peut tre valable, en tout lieu (y,z) de l'interface et en tout temps t, que si :

"SH(r )

= "(i)

, et

sin "SH(t )

= cT 2

cT1sin "

(i) (59)

Ce sont les lois bien connues de Snell-Descartes de la rflexion et de la rfraction.

La loi de rfraction, illustre sur la figure 16, fait apparatre un angle limite de rfraction si

cT2

< cT1

, et au contraire une possibilit de rflexion totale si cT2

> cT1

. Dans le cas de la


25/30



rflexion totale, on peut tablir l'existence d'une onde dans le milieu 2 et prouver que cette

onde est vanescente dans la direction X et progressive dans la direction Z.

Il s'agit donc d'une onde de surface, on peut montrer que cette

onde de surface s'identifie avec une onde de Love voque

plus haut. Compte tenu des premires conditions (59),

l'expression (58) se simplifie alors en :

ASH(i)+ ASH

(r )= ASH

(t ) (60)

Par ailleurs, la relation contrainte-dformation se rduit dans

le cas particulier qui nous occupe "yx = 2#yx , et la

dformation s'exprime en fonction du dplacement selon "yx = 12

#$y

#x, en l'absence de

composante X pour l'onde SH, et d'ailleurs de toute dpendance en y pour les ondes. La

relation (57) de continuit de la contrainte devient alors :

1

"#SHy(i)

"x+1

"#SHy(r )

"x=2

"#SHy(t )

"x(61)

et se particularise, compte tenu de l'expression (55), du tableau 4 et de la relation (59), en :

1

cT1 cos"(i)

ASH(i)#cos

"SH

(r )

ASH(r )

( )=

2

cT2 cos"SH

(t )

ASH(t )

(62)

Les expressions (60) et (62) constituent un systme d'quations permettant d'exprimer ASH(r )

et ASH(t ) en fonction de ASH

(i)ou, ce qui revient au mme, les coefficients de rflexion

rSH =ASH

(r )

ASH(i)

et de transmission tSH =ASH

(t )

ASH(i)

en amplitude, pour une onde SH. On obtient

aprs rsolution :

rSH = ZT 2 cos"

(i)# ZT1 cos"SH

(t )

ZT 2 cos"(i)

+ ZT1 cos"SH(t )

tSH = 2 ZT 2 cos"

(i)

ZT 2 cos"(i )

+ ZT1 cos"SH(t )

(63)

condition de dfinir l'impdance transversale ZT =

cT

= "cT .

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80

!(t)

!(i)

onde SH

angle limite

(cT2

=0,8 cT1

)

Figure 16


26/30



Les coefficients r et t des relations (63) sont bien videmment les quivalents des coefficients

de Fresnel de l'lectromagntisme en gnral et de l'optique en particulier, transposs dans le

domaine de la propagation des ondes lastiques SH.

La figure 17 illustre les valeurs des coefficients de rflexion r et de rfraction t, pour deux

valeurs du rapportZT2

ZT1

des impdances transversales et pour la valeurcT2

cT1= 0,8 du rapport

des vitesses identique celle de la figure 16, en fonction de l'angle d'incidence (i).

On constate, sur la partie droite de

la figure 17, que le coefficient de

rflexion peut devenir nul pour un

angle d'incidence (i) particulier. Il

va de soi que, dans ce cas, il n'y a

plus d'onde rflchie et qu'il ne

subsiste qu'une onde transmise

(rfracte) dans le milieu 2.

Pour caractriser mieux ce phnomne, on trace (figure 18) le

coefficient de rflexion r, autour de sa valeur intressante

r = 0, en fonction de l'incidence (i), pour quatre valeurs de

ZT2

ZT1

, de 0,9 1,5 par pas de 0,2.

La nullit du coefficient de rflexion rSH exige la nullit du

numrateur de l'expression (63) :

ZT2 cos"(i)# ZT1 cos"SH

(t )= 0 (64)

en liminant "SH(t ) entre la loi de Snell-Descartes (59) et la relation (64), on obtient au

choix :

1

2

cos2 "(i) +

2

1

sin2 "(i) =

#2#1

, ou

ZT1

ZT 2

$

%&

'

()

2

cos2 "(i ) +

cT 2

cT1sin

2 "(i ) =1

(65)

selon qu'on prfre les proprits locales {, } ou {ZT, cT} pour dcrire les matriaux.

Rappelons que les relations (65) gouvernent l'angle d'incidence "(i ) pour lequel il n'y a pas

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 20 40 60 80

r

t

!(i)

ZT2

/ZT1

=0,9

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 20 40 60 80

r

t

!(i)

ZT2

/ZT1

=1,3

Figure 17

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

20 40 60

!(i)

ZT2

/ZT1

=0,9

1,5

r

Figure 18


27/30



d'onde SH rflchie. Ce phnomne est le transpos de l'incidence de Brewster dans le

domaine des ondes lastiques.

Sans refaire l'entiret du calcul, on peut tracer les grandes lignes par lesquelles on obtiendrait

les rsultats similaires pour une onde incidente de type P.

L'onde incidente n'aurait, compte tenu de sa nature et du choix des axes, decomposantes que selon X et Z8. La relation de continuit du dplacement total " se

rduirait alors donc :

"x (milieu 1) ="x (milieu 2)

"z(milieu 1) ="z(milieu 2)(66)

L'existence de composantes selon X et Z est videmment associe des ondes P et

des ondes SV, et ce la fois pour des ondes rflchies et transmises, mais toutefois pas

pour l'onde incidente, par hypothse de pur type P. Ainsi, les relations (66) se

particularisent en :

"Px(i)+"Px

(r )+"SHx

(r )="Px

(t )+"SHx

(t )

"Pz(i)+"Pz

(r )+"SHz

(r )="Pz

(t )+"SHz

(t )(67)

ces relations sont valables en tout point (y, z) du dioptre (x = 0) et tout instant (t).

Les ondes de dplacement " planes tant continues en tout point et tout instant, ilen irait de mme de la dformation " (drives de ") et donc de la contrainte " (

travers la relation contrainte-dformation). Le seul problme serait sur le dioptre, o il

faudrait assurer la continuit du raccordement. Compte tenu de l'interface (plan x = 0),

et compte tenu du mouvement (ne comportant de composantes que selon X et Z), la

continuit de la contrainte se rduirait dans ce nouveau cas aux relations :

"Pxx(i)+ "Pxx

(r )+ "SHxx

(r )= "Pxx

(t )+ "SHxx

(t )

"Pxz(i)+ "Pxz

(r )+ "SHxz

(r )= "Pxz

(t )+ "SHxz

(t )(68)

Un peu de recul sur les relations de continuit (67-68) montre qu'il s'agit d'un systme de 4

quations 4 inconnues : les amplitudes des deux ondes rflchies et des deux ondes

transmises. Soulignons que les quatre quations sont inhrentes au problme, mais que les 4

inconnues ne surgissent que parce que nous avons pris la prcaution d'envisager 2 ondes

rflchies et 2 ondes transmises. Sans cette prcaution, avec une seule onde rflchie et une

8 Une onde incidente SV impliquerait les mmes composantes X et Z, mais d'une manire diffrente.


28/30



seule onde transmise par exemple, nous serions en face d'un systme qui comporterait

toujours 4 quations mais seulement 2 inconnues, systme impossible rsoudre dans le cas

gnral. Il faut trouver ici la justification de l'hypothse a priori surprenante du dbut, qu'une

seule onde incidente gnre, sauf dans le cas particulier d'une onde SH dj tudi, la fois

deux ondes rflchies et deux ondes transmises.

On tablit relativement simplement les lois de la rflexion sur le dioptre et de la rfraction

travers celui-ci. On trouve tous calculs faits :

pour la rflexion :"P

(r ) = "

(i), et

sin "SV(r )

= cT1

cL1sin "

(i )(69)

pour la rfraction :sin "P

(t ) =

cL2

cL1sin "

(i), et

sin "SV(t )

= cT 2

cL1sin "

(i)

(70)

La seule remarque nouvelle qu'on puisse faire propos des lois de Snell-Descartes sur la

rflexion et la rfraction (69-70) est que la rflexion ne se fait pas ncessairement sous un

angle gal l'angle d'incidence, quand elle concerne deux ondes de types diffrents.

A titre d'exemple, la figure

19 illustre cette proprit

dans le cas particulier

d'une interface fer-cuivre

(les proprits du fer et du

cuivre sont donnes dans

les tableaux 2 et 3) ou

cuivre-fer. L'angle de

rflexion ( gauche) n'est

pas gal l'angle

d'incidence pour l'onde

rflchie SV (rappelons

que l'onde incidente est de

type P).

eCu0

20

40

60

80

0 20 40 60 80

!(i)

!(r) P

SV

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80

!(i)

!(t)

P

SV

uFe0

20

40

60

80

0 20 40 60 80

!(i)

!(r) P

SV

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80

!(i)

!(t)

P

SV

angles de rflexion angles de rfraction

Figure 19


29/30



Une vue synthtique de ce phnomne est propose

sur la figure 20 : toutes les ondes susceptibles de se

former lors de la rencontre d'une onde plane de type

P, se propageant dans du cuivre, et rencontrant une

surface de sparation avec du fer sous une incidence

de 50, sont reprsentes avec des angles reproduits

de manire raliste.

Les calculs des quatre coefficients de rflexion et transmission sont extrmement fastidieux et

en ralit au-del des objectifs de ce cours. Ces calculs ne seront pas faits ici et les rsultats ne

seront mme pas donns. Signalons toutefois que ces calculs se simplifient grandement pour

une incidence soit normale, soit tangentielle.

On trouve de manire similaire les lois de Snell-Descartes pour une onde incidente de type

SV. Les rsultats sont analogues :

pour la rflexion :"SV

(r ) = "

(i ), et

sin "P(r )

= cL1

cT1sin "

(i) (71)

pour la rfraction :sin "SV

(t ) =

cT 2

cT1sin "

(i), et

sin "P(t )

= cL2

cT1sin "

(i )

(72)

Ici aussi, le calcul des divers coefficients de rflexion et de transmission est au-del des

objectifs de cet enseignement.

10. Ondes lastiques et dispersion

Aucune des proprits des ondes lastiques, de volume ou de surface, que nous avons

rencontres jusqu'ici ne dpend de la frquence : les ondes lastiques ne sont donc pas

intrinsquement dispersives.

Toutefois, des milieux stratifis suscitent des conditions aux limites qui peuvent rendre la

propagation dispersive. La situation est ici tout fait analogue la propagation guide des

Cu

Fe

P

P

SV

P

SV

incidence : 50

Figure 20


30/30


ondes lectromagntiques dans le vide : le vide n'est videmment pas un milieu dispersif par

nature, mais la propagation est quand mme rendue dispersive (la vitesse de propagation, de

phase ou de groupe, dpend de la frquence) par les conditions aux limites sur les parois du

guide.

ondes élastiques dans les solides

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