ondes élastiques et acoustiques le son -...
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Ondes élastiques et acoustiques
Le son
N. FOURATI – ENNOURI
Rappels
Equation de propagation d’une onde progressive (équation des ondes) :
Cette équation admet la solution générale suivante:
F et G sont chacune des fonctions arbitraires d'une variable, A et B desconstantes arbitraires.
2 2 2
2 2 2 2
y F y 1 y
x t c t
y A F(x ct) B G(x ct)
Théorème de superposition
3
L'équation est linéaire
la combinaison linéaire des solutions
sera encore solution.
Ce théorème de superposition permet la
collision d'ondes sans "déformations
résiduelles"
4
Interférence de deux ondes progressives
5
Interférence de deux ondes progressives
Considérons 2 sources sinusoïdales synchrones et monochromatiques:
1 21 2 1 2
d ds s s A sin[ (t ) ] A sin[ (t ) ]
c c
1 2d d
2
L'observateur fixe W reçoit le signal:
En désignant la différence de chemins d'ondes par :
La différence de phase entre les 2 signaux s'établit sous la forme:
La longueur d'onde = ,
6
Interférence de deux ondes progressives
1 2Le module s s s est maximum si n ; n
1 2
2 n 1Le module s s s est minimum si ; n
2
2
Si les 2 sources ont la même amplitude: A1 = A2 = A
les maximums observés valent: 2 A et les minimums observés sont nuls.
7
Interférence de deux ondes progressives
Ces points forment des ensembles continus qui sont des hyperboloïdes de
révolution admettant comme foyers les 2 sources synchrones:
De la même façon, à 2 dimensions, 2 sources synchrones sinusoïdales,
forment des interférences de vagues sur un plan d'eau
8
Réflexion, absorption et
transmission
9
Réflexion, absorption et transmission
Chaque type d'ondes (son, lumière etc.) peut subir des
réflexions, des absorptions et des transmissions en
interagissant avec les milieux matériels.
Nous portons notre attention sur les ondes affectant des
cordes, mais les conclusions sont largement applicables aux
autres types d'ondes.
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Une des extrémités d'une corde est tenue fixe tandis
que l'énergie est émise à l'autre extrémité sous
forme d'une onde incidente yi
Rencontrant l'obstacle fixe, l'énergie ne peut que se
réfléchir.
En théorie, l'onde réfléchie yr transporte toute
l'énergie incidente.
À l'extrémité fixe, nous devons avoir yr + yi = 0
yr = - yi Ondes en opposition de phase.
1. Réflexion d'une impulsion d'onde sur l'extrémité
fixe d'une corde
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En arrivant à l’extrémité, l'impulsion exerce
une force verticale sur le point d'ancrage.
Le point d'ancrage exerce, par réaction, une
force opposée sur la corde.
Quand la corde tire vers le haut, la fixation
tire vers le bas. C'est cette force vers le bas,
exercée par la fixation sur la corde, qui
engendre l'onde réfléchie renversée par
rapport à l'onde incidente et qui se propage
en sens opposé.
1. Réflexion d'une impulsion d'onde sur l'extrémité
fixe d'une corde
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2. Réflexion d'une impulsion d'onde sur l'extrémité
mobile d'une corde
L'extrémité libre monte jusqu'à ce que toute l'énergie
du segment extrême soit emmagasinée
élastiquement.
Elle s'arrête à un déplacement vertical maximum
égal au double de la hauteur de crête de l'onde
incidente.
Transporté vers le haut par son inertie, le segment
final tire la corde vers le haut, générant une
impulsion réfléchie non renversée par rapport à
l'onde incidente, et qui se propage en sens opposé.
Il y a alors réflexion sans changement de phase.
Un effet similaire a lieu quand les vagues à la surface
de l'eau viennent frapper un mur.
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3. Réflexion et transmission d'une impulsion
ondulatoire en un point séparant deux milieux.
Une pulsation ondulatoire se propage initialement sur une
corde de faible masse linéique et rencontre une
deuxième corde de grande masse linéique.
Quand une onde passe d'un milieu à un autre de
caractéristiques physiques différentes, une redistribution
de l'énergie se produit.
La plus grande inertie de la deuxième corde gêne le
mouvement du point de jonction.
Cas où µ2 > µ1
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Le second milieu exerce alors une force de réaction qui s'oppose au
mouvement et produit une onde réfléchie renversée (déphasée de 180°
par rapport à l'onde incidente).
Le deuxième milieu se déplace aussi ; une fraction de l'énergie incidente
paraît dans le second milieu, sous la forme d'une onde transmise.
L'onde transmise et l'onde réfléchie sont engendrées au même moment,
par le point de jonction. Mais les vitesses des impulsions sur les deux
cordes sont différentes, car les cordes ont la même tension mais des
masses linéiques différentes.
3. Réflexion et transmission d'une impulsion
ondulatoire en un point séparant deux milieux
Dans le cas d'ondes entretenues et périodiques, les ondes réfléchie et
transmise ont la même fréquence, elles ont donc des longueurs d'onde
différentes.
Cas où µ2 > µ1
15
3. Réflexion et transmission d'une impulsion
ondulatoire en un point séparant deux milieux
Cas où µ1 > µ2
Si le premier milieu est plus dense que le second, la situation
ressemble à celle de la corde avec une extrémité libre.
Il n'y a alors aucun changement de phase de l'onde réfléchie par
rapport à l'onde incidente et l'onde transmise a une plus grande
longueur d’onde.
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Relation entre les amplitudes
Impédance mécanique : Z = μc = F/c
µ = masse linéique [kg.m-1], c = célérité [m.s-1],
F = Tension [N] [Z] = kg.s-1
On montre que :
1 2
1 2
1
1 2
2
r
i
t
i
A Z Zr
A Z Z
A Zt
A Z Z
iA ampliutde de l'onde incidente
A ampliutde de l'onde réfléchie
A ampliutde de l'onde transmise
r
t
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Application 1
Un ébranlement périodique incident, de longueur d'onde i se
propage dans un milieu, où la vitesse est vi et tombe sur
l'interface avec un autre milieu, où la vitesse est vf.
Etablir une expression liant les vitesses et les longueurs d'onde
dans les deux milieux.
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Solution
Les vitesses et les longueurs d'onde dans les milieux
d'incidence et de transmission sont liées par la relation :
Comme en général :
i i i
f f f
i f
fi
i f
i i
f f
v fv f
v f
f f
vv
v
v
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Le son
20
Introduction
Le son est produit par la vibration d’un objet (corde d’un instrument
de musique, membrane d’un haut parleur, cordes vocales…)
Les vibrations de la source provoquent des variations de la pression
du milieu matériel proche. Celles-ci se propagent ensuite dans le
milieu matériel élastique.
Il s’agit d’une onde compressionelle
1) La propagation de l’onde a lieu dans la direction de vibration
des particules du milieu
2) elle est caractérisée par une succession alternée de
concentrations et de dilutions
Exemple d’onde longitudinale
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La membrane vibrante d’un tambour comprime et raréfie alternativement
dans l’air émission d’une onde longitudinale qui se propage dans l’air
La propagation d’une onde sonore dans un milieu se traduit par l’existence
d’une pression acoustique pac qui s’ajoute à la pression atmosphérique pam
pac +pam = ptotale
Propagation de l’onde sonore
Elle nécessite un milieu propagateur (air)
Succession de couches compressées et décompressées
Célérité « c » d’une onde sonore = vitesse à laquelle l’onde sepropage [m/s]
Durant le temps correspondant à une période T, l’onde parcourt unedistance = longueur d’onde
22
Double périodicité de l’onde :
Temporelle : 2 points séparées temporellement par une périodeT seront en phase
Spatiale : 2 points séparées spatialement par une longueurd’onde seront en phase
cc T c f
f
Célérité du son
Elle dépend de l’élasticité et de la densité du milieudans lequel elle se propage.
Dans un liquide
Dans un solide
Dans un gaz
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Module de compressionv
Masse volumique du liquide
E Module d Youngv
Masse volumique du solide
'
P
V
Pv
C Chaleur massique à pression
C Chaleur massique à volume
constante
constant
Quelques ordres de grandeur relatives aux solides
Densité (kg/m3)
E (Pa) Célérité v (m/s)
Acier 7850 20 .1010 5060
Cuivre 8900 12.2 . 10-10 3700
Plomb 11400 1.65 . 1010 1200
24
Remarque : Dans le manteau rocheux de la Terre, la
vitesse des ondes de compression peut atteindre 13 km/s
Quelques ordres de grandeur relatives aux liquides
(Pa) Densité (kg/m3)
Célérité v (m/s)
alcool 0.115 .1010 790 1200
Eau de mer 0.24 . 10-10 1025 1530
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Remarque : La densité et, par suite, la vitesse des ondes de
compression dans l'eau de mer dépendent de la température, la
salinité et la profondeur. Ainsi, cette vitesse est de 1,4 km/s à la
surface et 1,5 km/s à une profondeur de 5 km. De plus, une
augmentation de température de 1°C augmente la vitesse de 3,7
m/s et une augmentation de 1 % de la salinité ajoute encore 1,2
m/s. Il faut tenir compte de ces variations dans les opérations de
sonar par un sous-marin.
Quelques ordres de grandeur relatives aux gaz
Densité (kg/m3)
M (gaz) (kg/mol)
Célérité v (m/s)
Dihydrogène 0.0899 1.41 2. 10-3 1260
Air 1.293 1.41 29. 10-3 330
Dioxygène 1.428 1.41 32. 10-3 315
26
Cas particulier de l’air
27
Classification des ondes sonores
28
Vocabulaire
Front d’onde : surface virtuelle d’un champ sonore surlaquelle tous les points vibrent en phase
Source ominidircetionnelle : émet de la même façon danstoutes les directions de l’espace qui l’entoure
Milieu isotrope : ses propriétés sont indépendantes de ladirection de propagation
Si le milieu est homogène et isotrope, et si la source estponctuelle, les fronts d’onde successifs sont des sphèrescentrées sur la source. L’onde est dite sphérique
si les fronts d’onde sont direction de propagation(comme quandd on s’éloigne suffisamment de la sourcesonore) l’onde est dite plane)
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Caractéristiques
énergétiques du son
30
Introduction
Dans cette partie, on ne s’intéresse pas auxfluctuations temporelles des différentes grandeurs,mais à leur moyenne temporelle.
La pression du milieu de propagation = pressionefficace p
Les sources sont considérées ponctuelles, leursdimensions sont très inférieures aux longueursd’onde émises
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0 sin 2 sinacp t p t p t
p : valeur efficace de la pression (Pa)
: masse spécifique du milieu de transmission du son
v : célérité du son dans ce milieu
v : impédance acoustiquedu milieu de propagation (kg.m-2.s-1)
2
p S
Pv
Puissance sonore moyenne
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P : puissance sonore
p : valeur efficace de la pression (Pa)
: masse spécifique du milieu de transmission du son
v : célérité du son dans ce milieu
I = Flux de la puissance moyenne transportée par l’onde =
Puissance transportée par l’onde par unité de surface, la surface
étant prise direction de propagation
Quand on s’éloigne de la source S et P (caractéristique de la
source) demeure constante I
22.
P pI W m
S v
Intensité sonore
33
Le son
Lorsque les vibrations de la source sont ponctuelles, les fronts d'ondeforment des sphères concentriques qui s'éloignent du centre.
34
L'intensité sonore perçue par une membrane donnée (tympan de l'oreille)
diminue avec l'éloignement de la source.
Le son
Si l'onde est guidée dans un tuyau, la surface du front d'onde
n'augmente pas dans le tuyau et l'intensité demeure alors la même à
la sortie du tuyau qu'à l'entrée.
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Le Bel, le décibel
Il convient de distinguer :
L’intensité d’une onde
L’intensité physiologique ou niveau acoustique
Loi de Fechner : la sensation ressentie varie comme le
logarithme de l'excitation
Si on appelle XB le rapport de deux intensités I2 et I1, la valeur de
X en bel (B) s'écrit :
On peut également exprimer X dans un sous multiple du bel, le
décibel (dB) :
210
1
logB
IX
I
210
1
10 logd B
IX
I
36
10
0
12
0
10log
10
2
dB (pour Level)
W/m
I
IL L
I
I
Intensité, puissance et niveau de puissance acoustiques
10
0
12
0
10log
10
dB
W
W
PL
P
P
Niveau d’intensité acoustique (sonore) de référence dans l’air dans les conditions normales
Puissance acoustique (rapportée à une puissance de référence)
Niveau de pression acoustique (niveau sonore)
10 10
0 0
10log 20log
2
= dBp
p pL
p p
p0 = 2.10-5 Pa = Valeur efficace de la pression au seuil d’audition à 1000Hz)
Exemples
38
Intensité acoustique et formes d’ondes
39
Différence entre puissance et pression acoustique
Un radiateur émet une puissance thermique (Watt)
La température (°C):
Se mesure avec un thermomètre
Elle dépend de :
• Puissance du radiateur
• Environnement (distance entre le radiateur et le thermomètre,
parois, …)
Pour le son : puissance acoustique = grandeur propre à l’appareil
La pression acoustique
Se mesure avec un microphone
Elle dépend de :
• Puissance acoustique
• Environnement (distance, volume, parois, bruit de fond, …)
40
Analogie avec la puissance thermique et la température
41
Différence entre puissance et pression acoustique
Analogie lumière et son
http://energie.wallonie.be/energieplus/CDRom/Climatisation/theorie/clithacoustique.htm
Coefficient d’absorption
Dépend du domaine de fréquence
Une paroi lisse, dure et lourde est très réfléchissante a 0.
Matériaux fibreux, à porosité ouverte a 1 pour les hautes
fréquences.
42
Exemple de spectre d'absorption
0 1énergie acoustique absorbée
énergie acoustique incidente a
Coefficients d'absorption typiques de quelques matériaux
43
a 0,4 pour des locaux très absorbants (salles de concerts, cinémas,...)
a 0,2 pour des locaux moyennement absorbants (bureaux, habitations, ...)
a 0,1 pour des locaux réverbérants (églises, ateliers, salles de sports,...)
Atténuation du son avec la distance
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En pression :
En Intensité :
Le niveau résultant sera :
2 2 2
1 2 p p p
1 2 I I I
1 210
0
10log
I IL
I
Addition de niveaux sonores entre deux sources 1 et 2
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Niveaux sonores
28 Mai 2009 46IHIE / UE8 / Bruit
Application 2
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1. La vitesse du son dans l'air (T=15°C) vaut 340 [m/s]. Si unobservateur entend le tonnerre 5 secondes après avoir vu l'éclair, àquelle distance de lui gronde l'orage ?
2. L'oreille humaine ne peut distinguer deux sons brefs successifs ques'ils sont séparés d'au moins 1/10 de secondes. A quelle distanceminimale doit-on alors se trouver d'un obstacle pour que l'on puisseentendre l'écho d'un son (à T=15°C) ?
3. La vitesse du son dans l'eau fut mesurée pour la première fois dansla rade genevoise par Colladon et de Saussure à l'aide de deux barquesdistantes de 400 [m]. D'une barque sont envoyés simultanément unsignal lumineux dans l'air et une sonnerie dans l'eau. Dans l'autrebarque, on mesure alors à l'aide d'un chronographe que le son sousl'eau arrive 270 millisecondes après la lumière. Calculez la vitesse duson dans l'eau.
Solution de l’application 2
1) Le temps pris par la lumière pour nous parvenir peut être considérécomme nul. Donc la distance d à laquelle gronde l'orage est la distanceque parcours le son dans l'air en t=5 secondes, soit d = v t
d = 340 [m/s] x 5 [s] = 1700 [m].
2) En 0,1 secondes, le son parcours la distance d = v t = 340 x 0,1 = 34m
pour pouvoir distinguer un son bref et son écho, il faut que ladistance aller + retour soit supérieur à 34 mètres. Il faut donc quel'objet se trouve à plus de 34 / 2 = 17 mètres de nous.
3) Le temps mis par la lumière pour parcourir les 400 mètres estnégligeable et peut être considéré comme nul. Dans l'eau, le son adonc mis 0,270 secondes pour parcourir 400 mètres.
la vitesse du son dans l'eau est de V = distance / temps = 400/ 0,270= 1481 [m/s].
48
L'oreille humaine perçoit les sons compris entre 20 Hertz et 20 000 Hz
f 20 Hz : infrasons et f 20 000 Hz : ultrasons
28 Mai 2009 49
Sons purs, sons musicaux et bruits
Son pur : vibration caractérisée par une seule fréquence
Son musical : à la même fréquence fondamentale que le son pur s'ajoutent
des harmoniques (fréquences plus aiguës, multiples entiers de la fréquence
fondamentale) qui caractérisent le timbre de l'instrument ou de la voix.
Bruit : pas de fréquence caractéristique
49
Le son
Son aigu
Son grave
Sons fort et faible
Sinusoïde représentant un son
pur d'une fréquence de 3000 Hz
Sinusoïde représentant un son pur d'une
fréquence de 300 Hz (hauteur commune
à toutes les voix chantées;
une basse noble descend jusqu'à 65 Hz)
Sinusoïdes représentant des sons de
même fréquence (300 Hz),
mais d'intensités différentes
5020 300 6 20Hz Sons graves Hz Son Medium kHz Sons aigus kHz
Addition des niveaux sonores
Considérons deux sources différentes de niveauxd'intensité sonore de L1 et L2
1. On nomme L2 le niveau le plus élevé et L1 le niveaude la source la plus faible.
2. On calcule la différence de niveau L2 - L1
3. On lit sur l'abaque le niveau à ajouter à celui de lasource le plus élevé L2
4. On opère l'addition et on obtient alors le niveausonore total L3 .
51
52
Cette abaque est élaborée pour 0 L3 – L2 3 dB
Pour les autres cas, Il est alors nécessaire d' utiliser une méthode plus élaborée
Deux machines ont pour niveaux sonores respectifs 75 dB et 61 dB.
Que vaut le niveau sonore total lorsque ces deux machinesfonctionnent simultanément ?
53
Application n°3 : utilisation directe de l'abaque
Réponse
1. L2 = 75 dB ; L1 = 61 dB
2. L2 - L1 = 14 dB
3. On lit graphiquement (L2 - L1) = 14 dB L3 – L2 0,2 dB
4. Le niveau sonore total vaut : 75 + 0,2 = 75,2 dB
On voit qu' à 14 dB d' écart, la source la plus faible influence peu le niveau
sonore total.
Réponse
1. L3 = 56 ; L2 = 54
2. L3 - L2 = 56 - 54 = 2 dB
3. L' abaque indique que L2 - L1 correspondant à peu près 2,5 dB
4. L1 vaut 54 - 2,5 = 51,5 dB lorsque l' imprimante fonctionnera seule.
Exercice n°4: utilisation réciproque de l'abaque
Dans un bureau, le bruit en provenance de l'atelier a un niveau
sonore L2 égal à 54 dB. Lorsque l'imprimante située dans le bureau,
est mise en marche, le niveau sonore total L3 régnant dans le bureau
est de 56 dB.
Que vaut le niveau sonore
produit par l'imprimante seule ?
54
L’oreille
Physiologie de l’oreille
56
http://www.cochlee.org/
O Externe O Moy O Interne
L’oreille externe
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Elle se comporte comme une
antenne acoustique : le pavillon
diffracte les ondes, le conduit
auditif externe joue le rôle de
résonateur. Le tympan est la
terminaison acoustique de l’oreille
externe.http://www.cochlee.org/
Fonction de transfert de l'oreille externe
L'amplitude et la phase des ondes acoustiques sont modifiées
en se propageant du milieu extérieur jusqu’au tympan.
Ces modifications, qui sont particulières à chaque fréquence et
à chaque angle d’incidence des ondes sonores, caractérisent la
fonction de transfert de l ’oreille externe.
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Exemple de fonction de transfert
d’un son pur
Ecart d’amplitude = + 6 dB
Déphasage = - /2
Niveau
Rôle de l'oreille externe dans la localisation des sons
Pour une source donnée dans le milieu extérieur, il existeentre chaque oreille (pour les fréquences supérieures à 500Hz) des différences de :
59
Phase
La différence maximale de temps d ’arrivée entre les deux oreilles estde 760 microsecondes (pour une incidence de 90°).
L’oreille moyenne
Le tympan (4), sépare le conduit auditif externe
de la cavité de l'oreille moyenne
La fenêtre ovale, sur laquelle s'applique la
platine de l'étrier (3), et la fenêtre ronde (5)
séparent oreille moyenne et oreille interne.
La chaîne ossiculaire comprend le marteau (1),
l'enclume (2) et l'étrier (3) : elle relie le tympan
à la fenêtre ovale. Le rapport des surfaces
(>20/1) permet une amplification qui assure le
transfert des pressions acoustiques entre le
milieu aérien et le milieu liquidien de l'oreille
interne.
L'oreille moyenne peut ainsi être considérée
comme un adaptateur d'impédance sans
lequel une très grande partie de l'énergie
acoustique serait perdue.
60
Stympan = 0,6 cm2
Splatine+étrier = 0,03 cm2
Les deux organes sensoriels de l'oreille interne :
le vestibule et la cochlée
L'oreille interne regroupe 2organes sensoriels distincts :le vestibule, organe del'équilibration et la cochlée,organe de l'audition.
Ces deux organes partagentquelques propriétésmorphologiques etphysiologiques comme leliquide endolymphatique, lescellules ciliées et leurspropriétés de transduction.
61
Animation du transfert des pressions acoustiques
(ondes sonores) du milieu aérien aux fluides et aux
structures de l'oreille interne (cochlée)
Les vibrations mobilisent le tympan et la chaîne des osselets. L'étrier, plaqué
sur la fenêtre ovale transfère la vibration à la rampe vestibulaire et aux
structures de l'oreille interne.
En fonction de sa fréquence, la vibration a un effet maximal (résonance) en un
point différent de la membrane basilaire : c'est la tonotopie passive.
Un son de fréquence élevée affecte
une portion basale de la cochlée
Un son de fréquence grave affecte
une portion plus apicale de la cochlée
Schéma in situ de l'oreille interne humaine
Mode d’action du bruit
le vestibule (1)
le tour basal de la cochlée (4)
l'organe de Corti (3).
Les nerfs (2)
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Les stimuli sonores du milieu aérien sont transmis jusqu’aux liquides de l’oreille interne
Déplacements de la platine de l’étrier Variations de pression Déplacements de la
membrane basilaire qui supporte l’organe sensoriel de Corti
Pour résumer
oreille externe (pavillon conduit tympan):
le pavillon recueille le signal auditif et le guide dans le conduitauditif tout en favorisant les fréquences élevées (5 kHz).
Les dimensions et les parois du conduit en font un résonateurpour les fréquences voisines de 2 kHz qui sont justement lesfréquences vocales.
Le tympan vibre et transmet le mouvement aux organes quiconstituent l’oreille moyenne.
fonction de l’oreille moyenne : adaptation d’impédance etprotection contre les bruits trop forts.
Le signal arrive ensuite dans l’oreille interne, milieu liquide, où lacochlée le transforme en impulsions électriques et chimiquesconduites par le nerf auditif, aux zones du cerveau concernées.
64