olymp i 2009
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Sujet olympia 2009TRANSCRIPT
Neuvièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako, 26 au 27 mars 2009
Première journée - Jeudi 26 mars
ÉPREUVE N° : I Durée : 4h30
Exercice 1 ...............................................................................................................................................................(7 points)
On considère le polygone ABCDEFGH. Les côtés ont même mesure 10 cm et les angles Â, Ĉ, Ê et Ĝ sont tels que la même Â=Ĉ=Ê=Ĝ=60°.
Calculer l’aire du polygone.
Exercice 2 ...............................................................................................................................................................(7 points)
Montrer que si les angles du triangle ABC vérifient CcosBcosAcos
CsinBsinAsin222
222
)))
)))
++++
= 2
alors le triangle ABC est un triangle rectangle.
Exercice 3 ...............................................................................................................................................................(7 points)
Résoudre dans Ζ3 l’équation x3 + 2y3 = 4z3.
Neuvièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako, 26 au 27 mars 2009
Deuxième journée - Vendredi 27 mars
ÉPREUVE N° : II Durée : 4h30
Exercice 4 ...............................................................................................................................................................(7 points)
Soit le triangle équilatéral ABC de côté 20 cm. Calculer la distance OA, O étant le centre de gravité du triangle ABC.
Exercice 5 ...............................................................................................................................................................(7 points)
On considère un cercle de centre O et deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].
M étant un point du segment [AB], on trace la droite (CM) qui coupe le cercle en N. La tangente en N au cercle et la perpendiculaire en M à [AB] se coupent en P.
Montrer que : CP = CM
Exercice 6 ...............................................................................................................................................................(7 points)
Une suite (an) est définie par : a1 = 1 et an+1 = 16
1(1 + 4an + na241+ )
Trouver la formule générale de an.