nombres et calculs niveau 5ème objectifs fondamentaux : résoudre des problèmes et limiter les...

Nombres et calculs Niveau 5ème

Objectifs fondamentaux :

• Résoudre des problèmes et limiter les activités de technique pure

• Pratiquer le calcul mental, automatisé ou réfléchi, le calcul posé,

le calcul avec emploi de la calculatrice

• Poursuivre l’initiation au calcul littéral : premières transformations

d’écriture


Priorités :

• Pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes

• Prévoir des ordres de grandeur

• Opérer en conservant l’écriture fractionnaire dans les calculs

• Utiliser le vocabulaire approprié

• Contrôler ou anticiper des résultats par des calculs mentaux ou

approchés

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs

Enchaînement d’opérationsa

b

c

a

b

c

a

peut selon le cas désigner bc


Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

Sur des exemples numériques ou

utiliser les égalités dans les deux sens

littéraux,

Introduction des notations a2 et a3 utilisées dans les

formules d’aires et de volumes

1 cm 1 cm = 1 cm²

Ce carré a une aire de 1 cm²

1 cm

1 cm a cm = a cm²

Ce rectangle a une aire de a cm²

a cm

1 cm

Exemples :


A l’aide d’un compas, d’une règle non graduée et des deux segments ci-dessus, construis un rectangle d’aire 2 cm², un carré d’aire a² cm², un rectangle d’aire 2a cm², un rectangle d’aire 2a² cm².Parmi ces quatre rectangles, quel est celui qui a le plus grand périmètre ?


Exemples :

Nombres entiers et décimaux positifs

a cm1 cm

Ces pièces sont construites à partir de cubes de côté a cm.

Quelle est celle qui a le plus grand volume ?

Quelle est celle qui a la plus grande aire ?


Exemples :

Nombres entiers et décimaux positifs

Division par un décimal

Exemple :

Multiples et diviseurs, divisibilitéReconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur d’un autre nombre entier positif

24

62,4 : 0,6 = = = 4

2,4

0,6


Sens de l’écriture fractionnaire

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

a b

est un nombre

a b

est le nombre qui multiplié par b donne a

a b

peut être approché par des nombres décimaux

Sens de l’écriture fractionnaire


Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression

d’une proportion

sera justifié à l’aide d’un exemple

générique

ac a = bc b

Considérons le nombre n tel que n =

Conclusion :

Ce qui se traduit par 3 n = 5.

Donc 2 ( 3 n) = 2 5.

On obtient alors (2 3) n = 2

5,

c’est-à dire 6 n = 10.Par définition du quotient n =

53

106

53 =

106


Pour montrer que 53 =

106

Comparer deux nombres en écriture fractionnaire dans

le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans

le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du

dénominateur de l’autre


comparaison à un même entier

mise au même dénominateur dans des cas accessibles au calcul mental

calcul des quotients approchés

Quand numérateurs et dénominateurs sont différents,

la comparaison pourra être envisagée dans des cas

simples.

Différentes procédures pourront alors être envisagées :


Exemples :

7 5 x 8 3

22 6 x 7

5,4 2 x 2,1 3

Addition et soustraction de deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du dénominateur de l’autre

54,8 x 11

Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale


La nouvelle unité est le septième .

6 227 = (6 22)

17



a = 13 et b =

17

Que vaut ab ? On traduit l’énoncé : 3a =1 et 7b =1 Pour faire apparaître ab l’idée est de calculer (3a)(7b). D’après les deux égalités précédentes : (3a)(7b) = 1 Dans un produit de plusieurs nombres on peut supprimer les parenthèses et changer l’ordre des facteurs. On obtient : (3a)(7b) = 21(ab) On a donc : 21(ab) = 1

Par définition du quotient ab =1

21

Conclusion : 13

17 =

121

a = 13 et b =

17



21

Conclusion : 13

17 =

121

a = 13 et b =

17



21

Conclusion : 13

17 =

121

a = 13 et b =

17



21

Conclusion : 13

17 =

121

a = 13 et b =

17



21

Conclusion : 13

17 =

121

Notion de nombre relatif

Que peut-on dire de la différence d = 3 - 5,7 ?

d + 5,7 - 3 = 3 - 3 on enlève 3 à deux quantités qui lui sont égales

d + 5,7 = 3 définition de la différence

d + 2,7 = 0

d = 0 - 2,7 définition de la différence

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux

-2,7-2,7

0 1 2 3 4 5 6

Notion de nombre relatif

Utiliser la notion d’opposé

On décide de noter d = - 2,7


-2,7-2,7

0 1 2 3 4 5 6

Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale

Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs


Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans laquelle interviennent +, - et éventuellement des parenthèses


Sur des exemples numériques écrire, en utilisant correctement

des parenthèses, un programme de calcul

la suppression des parenthèses sera étudiée en 4ème

Tester si une égalité est vraie

ce qui disparaît :Trouver le nombre par lequel diviser un nombre

pour obtenir un nombre donné

Nombres et calculs Niveau 5ème Equation

3

x = 5Exemple du type :

Nombres et calculs

Niveau 4e

Objectifs fondamentaux :

• Résoudre des problèmes et ne pas privilégier les activités

de technique pure

• Pratiquer le calcul numérique

• Poursuivre l’étude du calcul littéral.

Nombres et calculs

Niveau 4e

Priorités :

• Calcul mental, calcul posé, calcul avec la machine ou l’ordinateur

• Maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées

• Acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres

• Réflexion et initiative dans le choix de l’écriture appropriée d’un

nombre suivant la situation

• Développement du calcul littéral

Nombres et calculs

Niveau 4e

Généralisation de règles : addition réitérée

Calculer le produit de nombres relatifs simples

3 (-2) = (-2) + (-2) + (-2)

3 (-2) = (-6)

Calcul numérique

Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales

Donner une valeur approchée du quotient de deux nombres

Nombres et calculs

Niveau 4e

Sur des exemples, la distributivité de la multiplication

par rapport à l ’addition est utilisée pour justifier la règle

des signes

Calcul numérique


Nombres et calculs

Niveau 4e

Donc les nombres (-15) et (-3)(-5) sont opposés.Conclusion : (-3)(-5) = (+15)

(- 3) 5 + (-3) (-5) = (-3) 0

(- 3) 5 + (-3) (-5) = 0

Calcul numérique

(-3) 5 + (-3) (-5) = (-3) [5 + (-5)]

Or (-3) 5 = (-15)

Pour montrer que (-3)(-5) = (+15)


Nombres et calculs Niveau 4e

Produit, quotient

Pour la somme : recherche d’un multiple commun des dénominateurs dans les cas où un calcul mental est possible

Calcul numérique

Opérations sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires

Connaître et utiliser l’égalité

Nombres et calculs Niveau 4e

La suppression de parenthèses dans une somme algébrique est étudiée

Calcul numérique

Opérations sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires (ou décimales)

Nombres et calculs

Niveau 4e

Puissances d’exposants entiers

Comprendre les notations an a-n

et

Calcul numérique

Utiliser ces notations en s’appuyant sur leur signification et non par l’application de formules

4² 43 = (4 4) (4 4 4) = 4 4 4 4 4 = 45

(5a)² = (5a) (5a) = (5a) (5a) = 5 5 a a = 5² a² = 25a²

Nombres et calculs

Niveau 4e Calcul numérique

Puissances de 10

Utiliser sur des exemples numériques les égalités :

notation scientifique, ordre de grandeur

Nombres et calculs

Niveau 4e

Racine carrée

Racine carrée à utiliser dans un problème ; elle disparaît de ce chapitre et apparaît en géométrie

Calcul numérique

Nombres et calculs

Niveau 4e

Calcul numérique de la valeur d’une expression littérale

Intérêt de tester des valeurs dans une égalité.

Calcul littéral

Nombres et calculs

Niveau 4e

Utilisation du calcul littéral sur trois axes :

- calculs numériques

- mise en équation et résolution de problèmes

- preuve d ’un résultat général

Calcul littéral

Exemples :

• La somme de deux multiples de 13 est un multiple de 13

• La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3

Nombres et calculs

Niveau 4e

Reconnaissance de la structure (somme, produit)

Factorisation avec un facteur commun

Formes réduites visées ax + b ou ax2 + bx + c

Calcul littéral

a ou ax ou x²

Développement, factorisation

Développement

Développement d’une expression du type (a+b)(c+d)

Factorisation

Identification des termes, des facteurs

Nombres et calculs

Niveau 4e

Ordre et opérations

Connaître et utiliser :

l’équivalence entre



ab =

cd et ad = bc

a b et a – b 0

a b et a – b 0

Calcul littéral

Nombres et calculs

Niveau 4e

Ordre et opérations

Mise en évidence de l’effet de la multiplication sur l’ordre par des tests de substitution, ou démonstration à partir des signes de a – b et ac - bc, c étant positif ou négatif.

Calcul littéral

effet de l’addition sur l’ordre

Ecriture d’encadrements à la troncature ou à l’arrondi à un rang donné

Problèmes conduisant à une équation du 1er degré

à une inconnue.

les équations du type ax + b = cx + d permettent de mettre en évidence les limites des méthodes arithmétiques

Nombres et calculs

Niveau 4e Calcul littéral

Exemple : Alice et Bertrand disposent chacun d’une calculatrice. Ils rentrent le même nombre sur leur calculatrice. Alice multiplie le nombre affiché par 3, puis ajoute 4 au résultat obtenu. Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu. Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ?

Nombres et calculs

Niveau 4e Calcul littéral

Problèmes conduisant à une équation du 1er degré à une inconnue

nombres et calculs niveau 5ème objectifs fondamentaux : résoudre des problèmes et limiter les...

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