nom : prénom : classe : controle premiere s - 25 / 09 /...
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NOM : Prénom : Classe :
CONTROLE PREMIERE S - 25 / 09 / 2008
EXERCICE 1 : (3 points)
f est la fonction définie sur R et représentée ci-dessous. Tracez, avec soin, les courbes C1, C2 et C3 représentant respectivement les fonctions :
f1 : x → f(x + 3) ; f2 : x → f(x) – 4 ; f3 : x → f(x)
EXERCICE 2 : Etude du sens de variation et de la parité d’une fonction (3,5 points)
Soit f la fonction définie par f(x) = x3– 1x + 2x.
1. Déterminez l’ensemble de définition de f.
2. A l’aide des fonctions de référence, déterminer le sens de variation de chacune des fonctions: u, v, w
définies par u(x) = x3, v(x) = – 1x et w(x) = 2x sur IR*.
3. En déduire le sens de variation de f sur IR*.
4. Montrez que f est une fonction impaire.
EXERCICE 3 : (4 points)
Soit f définie par f(x) = 1
1
−x et g définie par g(x) = 13 2 +x .
1. Déterminer les ensembles de définitions des fonctions f et g. 2. Déterminer l’ensemble de définition de gof et l’expression de gof(x) (vous prendrez soin de donner
cette expression sous sa forme développée et réduite). PROBLEME : (8,5 points)
f est la fonction définie sur Df par f(x) = x
x – 1.
Première partie : Etude de la fonction h : h(x) = x
x-1
1. Déterminer le domaine de définition Dh de la fonction h
2. Montrez que l’expression de h peut aussi s’écrire h(x) = 1 + 1
x – 1
3. Déterminez les fonctions de référence u, v et w telles que h = u o v o w.
4. En déduire le sens de variation de h sur ] – ∞ ; 0 ] et sur ] 1 ; + ∞ [.
5. A partir de la représentation graphique de la fonction inverse v(x)= 1x, expliquez comment obtenir la
courbe représentative de la fonction h.
6. A l’aide de la question précédente, tracez, sur la feuille annexe, la courbe Ch représentative de h, à partir de la représentation graphique de la fonction inverse. Un minimum de précision est attendu.
Deuxième partie : Etude de la fonction f
1. Expliquez pourquoi Df = ] – ∞ ; 0 ] ∪ ] 1 ; + ∞ [.
2. Démontrez que f = g ° h où g est une fonction à préciser et h la fonction étudiée en première partie.
3. En déduire les variations de f sur ] – ∞ ; 0 ] et sur ] 1 ; + ∞ [.
4. A l'aide de la calculatrice graphique ,déterminez les coordonnées de quelques points de la courbe Cf
représentant f, judicieusement choisis. Utilisez-les pour construire Cf , sur la feuille annexe.
N'oubliez de rendre avec votre copie l'énoncé et la feuille annexe
Nom : Prénom : Classe : FEUILLE ANNEXE
2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6 -7-8
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y
Ch
2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6 -7-8
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y
Cf
CORRECTION SUCCINTE CONTROLE PREMIERE S - 25 / 09 / 2008
EXERCICE 1 : (3 points)
EXERCICE 2 : Etude du sens de variation et de la parité d’une fonction (3,5 points)
Soit f la fonction définie par f(x) = x3– 1x + 2x.
1. Df = R*.
2. La fonction cube est une fonction de référence connue pour être croissante, donc u est croissante.
La fonction inverse est décroissante or v(x) = – 1x donc v est croissante.
La fonction w est une fonction linéaire dont le coefficient directeur est positif, elle est donc croissante.
3. f est croissante comme somme de fonctions croissantes.
4. Df est centré en 0, de plus, f(-x) = (-x)3– 1
(-x) + 2(-x) = - x3+
1x - 2x = - f(x)
EXERCICE 3 : (4 points)
Soit f définie par f(x) = 1
1
−x et g définie par g(x) = 13 2 +x .
3. Df = R\{1} et Dg =R
4. Dgof = R\{1}, gof(x) = 12²
42²
+−+−
xx
xx
PROBLEME : (8,5 points)
f est la fonction définie sur Df par f(x) = x
x – 1.
Première partie : Etude de la fonction h : h(x) = x
x-1
1. Dh = R\{1}
2. 1 + 1
x – 1 =
x-1 x – 1
+ 1
x – 1 =
xx – 1
3. w(x) = x-1, v(x) = 1/x , u(x) = 1+x.
4. w est croissante, v est décroissante, u est croissante, h est donc décroissante comme composée de deux fonctions croissante et d’une décroissante.
5. Faire une translation de vecteur i + j.
6. A l’aide de la question précédente, tracez, sur la feuille annexe, la courbe Ch représentative de h, à partir de la représentation graphique de la fonction inverse. Un minimum de précision est attendu.
Deuxième partie : Etude de la fonction f
1. Pour que f soit définie il faut que x
x – 1 >= 0 . Pour résoudre cette inéquation on dresse un tableau de
signe et on arrive à l’ensemble de solution Df = ] – ∞ ; 0 ] ∪ ] 1 ; + ∞ [.
2. h(x) = x
3. h est une fonction de référence connue pour être croissante, g a été déterminée comme étant décroissante dans la première partie, donc f est décroissante comme composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante.
2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y