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NOM GROUPE DATE

© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Savoirs • Rappel 365

SAVOIRS Rappel : Les unités de mesure de longueur et les figures semblables

Les unités de mesure de longueur Il existe diverses unités de mesure de longueur. Le tableau ci-dessous présente les unités

de mesure de longueur du système international d’unités (SI) dont le mètre est l’unité de mesure de longueur de base.

Nom de l’unité de mesure de longueur Symbole Exemple de contexte

d’utilisation Millimètre mm Épaisseur d’un ongle

Centimètre cm Largeur d’un doigt

Décimètre dm Largeur d’un ordinateur

Mètre m Hauteur d’un réfrigérateur

Décamètre dam Largeur d’une autoroute

Hectomètre hm Hauteur d’un immeuble de 50 étages

Kilomètre km Largeur d’un lac

Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de longueur a une valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa gauche.

km hm dam m dm cm mm

Exemples :

1) 714 mm 71,4 cm, car 1 mm 0,1 cm.

2) 62 km 62 000 m, car 1 km 1000 m.

Les figures semblables Deux figures sont semblables lorsque l’une est un agrandissement, une réduction ou

la reproduction exacte de l’autre. Le symbole « » signifie « est semblable à ».

Exemple : Si le triangle ABC est semblable au triangle DEF, on écrit : ABC DEF.

Dans deux figures semblables : – les angles homologues sont isométriques ; – les mesures des côtés homologues sont proportionnelles.

Le rapport des mesures des côtés homologues de deux figures semblables est appelé rapport de similitude et s’exprime de la façon suivante.

Rapport de similitude k initiale figure la de homologue côté du mesure

image figure la de côté und' mesure

10 10 10 10 10 10

10 10 10 10 10 10

10

1000

NOM GROUPE DATE

366 CHAPITRE 6 Savoirs • Rappel © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

Lorsque le rapport de similitude est :

– compris entre 0 et 1, la figure image est une réduction de la figure initiale ;

– égal à 1, la figure image est une reproduction exacte de la figure initiale ;

– supérieur à 1, la figure image est un agrandissement de la figure initiale.

Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblables.

Le DEF est un agrandissement du ABC, car :

Rapport de similitude k AB mDE m

BC mEF m

AC mDF m

2987

37111

3399

3

Figure initiale

A

B

CD

E

F

29 mm

33 mm

37 mm87 mm

111 mm

99 mm

Figure image

NOM GROUPE DATE

© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Savoirs 6.1 367

SAVOIRS 6.1 Les unités de mesure pour les volumes

Le volume Le volume est la mesure de l’espace occupé par un solide. On exprime le volume d’un solide

en unités cubes.

Exemple : Le volume du solide ci-contre est de 6 2 3 36 unités cubes, noté 36 u3.

Il existe diverses unités de mesure de volume. Le tableau ci-dessous présente les unités de mesure de volume du système international d’unités (SI) dont le mètre cube est l’unité de mesure de volume de base.

Nom de l’unité de mesure de volume Symbole Exemple de contexte

d’utilisation

Millimètre cube mm3 Volume d’un ongle

Centimètre cube cm3 Volume d’une calculatrice

Décimètre cube dm3 Volume d’un four à micro-ondes

Mètre cube m3 Volume d’une sécheuse

Décamètre cube dam3 Volume d’un immeuble

Hectomètre cube hm3 Volume d’un stade

Kilomètre cube km3 Volume d’une montagne

Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de volume a une valeur qui est 1000 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 1000 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa gauche.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Exemples :

1) 528 mm3 0,528 cm3, car 1 mm3 0,001 cm3.

2) 17 m3 17 000 dm3, car 1 m3 1000 dm3.

1000

1000

1000 1000 1000 1000 1000 1000

1000 1000 1000 1000 1000 1000

NOM GROUPE DATE

368 CHAPITRE 6 Savoirs 6.1 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

La capacité La capacité d’un solide ou d’un récipient est le volume de la matière liquide, ou pouvant

se manipuler comme un liquide, qu’il peut contenir. Le tableau ci-dessous présente des unités de mesure de capacité.

Nom de l’unité de mesure de capacité Symbole Exemple de contexte

d’utilisation

Millilitre ml Capacité d’une cuillère à thé

Centilitre cl Capacité d’une éprouvette

Décilitre dl Capacité d’un verre

Litre L Capacité d’un bol

Décalitre dal Capacité d’un sac à dos

Hectolitre hl Capacité d’une machine à laver

Kilolitre kl Capacité d’une piscine

Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de capacité a une valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa gauche.

kl hl dal L dl cl ml

Exemples :

1) 48 ml 4,8 cl, car 1 ml 0,1 cl.

2) 0,2 kl 200 L, car 1 kl 1000 L.

Il est possible de convertir les unités de mesure de volume en unités de mesure de capacité et vice versa d’après les équivalences suivantes.

Exemples : 1) 62 cm3 62 ml

2) 7,1 L 7,1 dm3

3) 589 mm3 0,589 cm3 0,589 ml

1 m3 1 kl 1 dm3 1 L 1 cm3 1 ml

10 10 10 10 10 10

10 10 10 10 10 10

10

1000

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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Renforcement 6.1 369

RENFORCEMENT 6.1 Les unités de mesure pour les volumes

Dans chaque cas, indique l’opération mathématique à effectuer pour convertir l’unité de mesure.

a) Centilitre en décilitre.

b) Mètre cube en hectomètre cube.

c) Kilomètre cube en décamètre cube.

d) Décilitre en décalitre.

e) Décamètre cube en décimètre cube.

f) Hectolitre en centilitre.

g) Centimètre cube en millimètre cube.

Dans chaque cas, complète l’égalité.

a) 56,9 dam3

m3 b) 5200 ml

dl

c) 5,009 kl

dal d) 321 052,9 cm3

m3

e) 67 990 dal

kl f) 605 dam3

km3

g) 45,1 dal

ml h) 0,008 km3

m3

Dans chaque cas, indique le symbole approprié : <, > ou .

a) 123,89 mm3

0,1732 ml b) 12,98 kl

0,0883 dam3

c) 0,654 dam3

69 900 L d) 4,09 km3

4521 hm3

e) 0,08 km3

8 000 000 kl f) 4,99 mm3

0,000 004 99 dm3

3

2

1

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370 CHAPITRE 6 Renforcement 6.1 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

Dans chaque cas, effectue l’opération et exprime le résultat en mètres cubes ou en litres, selon qu’on additionne des unités de mesure de volume ou de capacité.

a) 5600 dm3 12 800 cm3 0,9 dam3

b) 0,87 hm3 0,0498 dam3 0,0009 km3

c) 4320 ml 7120 cl 90,97 dl

d) 8,76 dal 0,9 hl 0,01 kl

Certaines activités quotidiennes requièrent une utilisation importante d’eau courante. Place les activités suivantes dans l’ordre décroissant de leur consommation d’eau.

Activité Utiliser 5 fois la chasse d’eau de la toilette : 0,03 kl d’eau. Activité Prendre une douche de 5 min : 750 dl d’eau. Activité Faire un lavage à la machine : 70 000 ml d’eau. Activité Prendre un bain : 1,76 hl d’eau.

Réponse :

Un réservoir d’eau de pluie est rempli à 80 % de sa capacité, qui est de 0,06 kl. La pluie qui tombe permet au réservoir de se remplir à un débit moyen de 500 cm3/h. Pendant combien de temps doit-il pleuvoir, au même débit, pour que le réservoir d’eau de pluie soit complètement rempli ?

Réponse :

4 3 2 1

6

5

4

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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Enrichissement 6.1 371

ENRICHISSEMENT 6.1 Les unités de mesure pour les volumes

Un camion-citerne peut contenir 32,5 m3 de lait. Ce lait est destiné à être embouteillé dans des contenants de 2 L et de 4 L. Si l’on veut utiliser 1600 contenants de 4 L de plus que de contenants de 2 L, combien de contenants de chaque format obtiendra-t-on ?

Réponse :

Dans chaque cas, détermine l’expression algébrique manquante et exprime-la en mètres cubes.

a) 46,9x3 m3 2800x3 dm3 0,019x3 dam3 2x

81,7x3 m3

b) 87 000ax2 cm3 4504ax dm3 0,0099ax2 dam3

(34 504ax 9813ax2) dm3

2

1

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SAVOIRS 6.2 Le calcul des volumes

Voici les formules pour le calcul du volume des principaux solides :

Solide Formule Exemple

Prisme droit Vprisme aire de la base hauteur Ab h

V 2

95 8

180 m3

Cylindre circulaire droit

Vcylindre aire de la base hauteur r 2 h

V 42 9 16 9 144 m3

452,39 m3

Pyramide droite Vpyramide 3

hauteurbase la de aire

3 b hA

V 3

876

112 m3

Cône circulaire droit

Vcône 3

hauteurbase la de aire

3

2hr

V 3

1542

3

1516

80 m3 251,33 m3

Boule Vboule

34 3r V

364 3

3

2164

288 m3 904,78 m3

5 m

9 m

8 m

9 m

4 m

7 m6 m

8 m

15 m

4 m

6 m

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RENFORCEMENT 6.2 Le calcul des volumes

Dans chaque cas, calcule le volume du solide.

a) Pyramide régulière à base carrée

18,1 mm

21 mm

b) Prisme droit à base rectangulaire

11,2 m

21,8 m

9 m

c) Cône circulaire droit

2,7 cm

1,9 cm

Réponse : Réponse : Réponse :

d) Cube

Ab 0,36 km2

e) Cylindre circulaire droit

111 cm

6,8 dm

f) Boule

2,5 m


g) Pyramide régulière à base pentagonale

3,9 mm

5 mm

Pb 28 mm

h) Prisme droit à base trapézoïdale

8,5 m

2,1 m

12 m

17 m

i) Cône circulaire droit

12,9 cm

7,1 cm


1

NOM GROUPE DATE


Une boule a un volume de cm3. Quelle est la mesure de son diamètre ?

Réponse :

Une pyramide régulière à base octogonale a un volume de 2375,52 mm3. Sachant que la hauteur de la pyramide est de 21 mm et que l’apothème de sa base mesure 10,1 mm, calcule le périmètre de la base de ce solide.

Réponse :

Un cône circulaire droit a un volume de 24 m3. Si la hauteur du cône est de 8 m, quel est le rayon de sa base ?

Réponse :

Une boîte de chocolat a la forme d’un prisme régulier. Le volume total de la boîte est de 322,56 cm3. Les côtés de ses bases mesurent chacun 3,2 cm, l’apothème des bases mesure 2,8 cm et la hauteur, 12 cm. Quelle est la longueur du ruban qui a été fixé sur toutes les arêtes de la boîte ?

Réponse :

5

4

3

2

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ENRICHISSEMENT 6.2 Le calcul des volumes

Détermine la formule qui permet de calculer le volume d’un octaèdre régulier à partir de la mesure x d’une des arêtes.

Réponse :

1

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SAVOIRS 6.3 Les solides semblables

Deux solides sont semblables si l’un est un agrandissement, une réduction ou la reproduction exacte de l’autre. Par exemple, les homothéties et les reproductions à l’échelle produisent des solides semblables.

Dans deux solides semblables : – les angles homologues sont isométriques ; – les mesures des arêtes homologues sont proportionnelles.

Le rapport des mesures des arêtes homologues de deux solides semblables est appelé rapport de similitude et s’exprime de la façon suivante.

Rapport de similitude k initial solide du homologue arêtel' de mesure

image solide du arête uned' mesure

Dans deux solides semblables : – le rapport des aires est égal au carré du rapport de similitude (k2) ; – le rapport des volumes est égal au cube du rapport de similitude (k3).

Exemple : Les prismes rectangulaires A et A' sont semblables.

12 cm

15 cm

18 cm

4 cm

5 cm

6 cm

Solide initial A Solide image A'

Rapport de similitude initial solide du homologue arêtel' de mesure

image solide du arête uned' mesure 6

18 3

Rapport des aires initial solide du totale aireimage solide du totale aire

)656454(2)181518121512(2

1481332 9 32

Rapport des volumes initial solide du volumeimage solide du volume

654181512

1203240 27 33

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RENFORCEMENT 6.3 Les solides semblables

Complète chacun des tableaux suivants.

a) Mesure d’un côté du solide initial A

Mesure du côté homologue du solide image A'

Rapport de similitude

Rapport des aires

Rapport des volumes

16,6 mm 41,5 mm

24 mm 31 mm

b) Mesure d’un côté

du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A'


Rapport des aires

Rapport des volumes

43,8 m

1,44 32,8 m 6,96 m 5,2 m

c) Mesure d’un côté

du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A'


Rapport des aires

Rapport des volumes

85 cm

161

47 cm

1 cm

Tous les cubes sont-ils semblables entre eux ? Explique ta réponse.

Vrai ou faux ?

a) Deux solides sont semblables même s’ils ont seulement deux paires

d’arêtes homologues dont les mesures sont proportionnelles.

b) Le rapport des volumes est égal au rapport des aires auquel

on a affecté l’exposant

23 .

c) Le rapport des angles homologues de deux solides semblables

est toujours égal à 1.

d) Le rapport de similitude est égal à la racine carrée du rapport

de l’aire du solide image par l’aire du solide initial.

2

3

1

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Parmi les solides suivants, lesquels sont semblables ?

10 cm

7,2 cm

15,2 cm

22,8 cm

11,4 cm

9,12 cm

Ab 129,96 cm2 V 8230,8 cm3

Réponse :

Dans chaque cas, sachant que les deux solides sont semblables, détermine la mesure manquante.

a)

15 m 9 m AT 221,8 m2 AT ?

b)

7,6 cm

V 3,5 cm3 V 28 cm3

a ?

Réponse : Réponse :

Une canette de boisson gazeuse a la forme d’un cylindre circulaire droit. L’entreprise qui les fabrique désire produire une canette semblable dont l’aire sera augmentée de 21 %. Si le volume du petit format de cannette est de 250 cm3, quel sera le volume du grand format ?

Réponse :

D CB A

6

5

4

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ENRICHISSEMENT 6.3 Les solides semblables

Dans chaque cas, détermine si les solides suivants sont semblables ou non. S’ils sont semblables, détermine le rapport de similitude, le rapport des aires et le rapport des volumes. Toutes les mesures sont en centimètres.

a) Prisme droit à base carrée

7,5x 3 + 5x

9x 4 + 6x 2

2,5x

3x 2

Réponse :

b)

5

23x 2

5x + 5

23x 5 + 23x 2

Réponse :

1

SPNOM GROUPE DATE

380 CHAPITRE 6 SP 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

6 Deux blocs de béton Un fabricant propose deux modèles de blocs de béton pour soutenir un abri d’auto.

Modèle Modèle

6 dm

1 dm

Le modèle est formé à partir d’un grand cône circulaire droit que l’on a coupé au tiers de sa hauteur, parallèlement à sa base. Avant que le grand cône soit coupé, son volume était de 10,8 dm3.

Le modèle est formé à partir d’une pyramide régulière à base carrée que l’on a coupée parallèlement à sa base. Avant que la grande pyramide soit coupée, son volume était de 46,8 dm3.

Sachant que les deux blocs sont fabriqués avec la même quantité de béton, lequel des deux modèles est le plus haut ?

Démarche et calculs

B

A

BA

SRNOM GROUPE DATE

382 CHAPITRE 6 SR 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

6 Une réception Lors d’une réception, les organisateurs préparent un cocktail pour 85 invités. Le cocktail sera servi dans un verre formé d’un cylindre circulaire droit et d’une demi-boule.

Le cocktail sera préparé dans des pichets ayant la forme d’un prisme régulier à base hexagonale.

On doit prévoir 1,8 portion par personne et chaque verre sera rempli à 80 % de sa capacité.

À l’aide de ces informations, démontre que si l’on veut utiliser seulement 6 pichets, chacun doit avoir une hauteur approximative de 16,97 cm et être rempli à 90 % de sa capacité.

Démarche et calculs

4 cm

4,8 cm

16,2 cm14 cm

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384 CHAPITRE 6 Carnet 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

6 Le volume des solides

La capacité

La d’un solide ou d’un récipient est le volume de la matière

, ou pouvant se manipuler comme un liquide, qu’il peut contenir.

Dans la représentation ci-dessous, chaque a une

valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement

à et 10 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure placée

immédiatement à .

kl hl dal L dl cl ml

Il est possible de convertir les unités de mesure de volume en unités de mesure de capacité et vice versa d’après les équivalences suivantes.

1 1 ml 1 dm3 1 1 1 kl

Le volume

Le volume est la mesure de l’ par un solide.

On exprime le volume d’un solide en .

Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de volume a une valeur qui est 1000 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement

à et 1000 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure

placée immédiatement à .

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1000 1000 1000 1000 1000 1000

1000 1000 1000 1000 1000 1000

10 10 10 10 10 10

10 10 10 10 10 10

NOM GROUPE DATE

© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Carnet 6 385

Les solides semblables Dans deux solides semblables :

– les angles sont isométriques ;

– les mesures des arêtes homologues sont . Le rapport des mesures des arêtes homologues de deux solides semblables est appelé rapport

de similitude et s’exprime de la façon suivante.

Rapport de similitude k initial solide du homologue arêtel' de mesure

image solide du arête uned' mesure

Dans deux solides semblables :

– le rapport des est égal au carré du rapport de similitude (k 2) ;

– le rapport des est égal au cube du rapport de similitude (k3).

Le calcul du volume Voici les formules pour le calcul du volume des principaux solides :

Solide Cylindre circulaire droit Pyramide droite

Exemple

h

r

h

Formule Vprisme aire de la base hauteur Ab h

Vcylindre aire de la base hauteur

h Vpyramide hauteur base la de aire

h A b

Solide Cône circulaire droit

Exemple

h

r

r

Formule

Vcône 3

hauteur

3

2hr

Vboule 3

4 3r

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386 CHAPITRE 6 Test 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

6 Le volume des solides

Pour chacune des questions, encercle la bonne réponse.

Une arête d’un cube mesure 0,1 mm. Quel est son volume ?

a) 0,001 mm3 b) 0,06 mm3 c) 0,1 mm3 d) 0,6 mm3

Si l’on multiplie le diamètre d’une boule par 10, par quel nombre sera multiplié le volume de la boule ?

a) 10 b) 100 c) 1000 d) 10 000

Quelle est la capacité d’un contenant dont le volume est de 6,7 dm3 ?

a) 6700 ml b) 67 L c) 0,067 kl d) 6,7 ml

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?

Affirmation Pour convertir des mètres cubes en centimètres cubes, on doit les multiplier par 10002.

Affirmation Le volume d’une boule ayant un rayon de 6 cm est d’environ 905 dm3.

Affirmation Une arête d’un cube dont le volume est de 2744 m3 mesure 1400 cm.

a) et . b) et . c) et . d) , et .

Un cône circulaire droit a un volume de 332,8 mm3 et une hauteur de 15,6 mm. Quelle est la circonférence de sa base ?

a) 29,02 mm b) 8 mm c) 21,33 mm d) 16 mm

Le solide ci-contre est formé d’un prisme régulier surmonté d’une pyramide régulière à base carrée. Quel est son volume ?

a) V 35 574 mm3

b) V 20 751,5 mm3

c) V 48 914,25 mm3

d) V 25 198,25 mm3

On verse 1,5 L d’eau dans 8 verres ayant la forme d’un cylindre circulaire droit. Les verres sont remplis à 75 % de leur capacité. Si l’aire de la base de chacun des verres est de 10 cm2, quelle est la hauteur d’un de ces verres ?

a) 18,75 cm b) 14,0625 cm c) 25 cm d) 0,15 dm

3

2

1

1 2 31 2 3 3 2 1

7

6

5

4

3

2

1

Questions à choix multiple

24 mm

38,5 mm

9 mm

NOM GROUPE DATE

© 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 387

Dans chaque cas, sachant que les deux solides sont semblables, détermine la mesure manquante.

a)

87,04 cm12,8 cm

r ? r 3,8 cm

b)

V 15 m3 V 95 m3

AT 11,7 m2 AT ?

Réponse : Réponse :

Dans chaque cas, calcule la capacité (en L) du solide.

a) Demi-boule

21 cm

b) Prisme droit

28 dm

16,8 dm

30 dm

c) Cône circulaire droit

4,1 m

C 3 m


Une pyramide régulière a un volume de 4546,56 cm3. La hauteur de la pyramide est de 32 cm, chaque côté de sa base mesure 12,8 cm et l’apothème de sa base mesure 11,1 cm. Quelle est la forme de la base de la pyramide ?

Réponse :

Questions à réponse courte

10

9

8

NOM GROUPE DATE

388 CHAPITRE 6 Test 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

Un récipient formé de deux cylindres circulaires droits est illustré ci-contre. On verse dans ce récipient l’équivalent de 13,2 L de liquide. Montre que moins de 2 % de la capacité du récipient est inutilisée.

Réponse :

On veut placer trois balles de golf les unes à côté des autres dans une boîte. Une balle de golf a un volume total équivalant à celui d’un cube dont chaque arête mesure 36 mm. Quel est le volume de la plus petite boîte en forme de prisme régulier à base carrée pouvant contenir les trois balles ?

Réponse :

Questions à développement

12

11 CD 2

CD 1

8,2 cm

24,5 cm

32 cm

nom groupe date savoirs rappel : les unités de … · · 2017-04-12xil est possible de convertir...

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